Dráha [m] 9. Měřeí závislostí ve statistice Měřeí závislostí ve statistice se zabývá především zkoumáím vzájemé závislosti statistických zaků vícerozměrých souborů. Závislosti přitom mohou být apříklad pevé, volé, jedostraé, oboustraé, příčié, zdálivé ad. 9.1. Pevá a volá závislost Pro pochopeí závislostí je potřebé pozat především pevou a volou závislost. 9.1.1. Závislost pevá Pevá závislost se obvykle vyskytuje u ěkterých přírodích jevů, kdy změa jedoho jevu způsobuje změu jevu druhého a to v přesě odpovídající itezitě. Například délka kovové tyče je ve fukčím vztahu závislá a teplotě, v geometrii plocha čtverce fukčě závisí a jeho straě a pod. Příklad: Pevá (fukčí, determiistická) závislost volý pád: 4000 3000 1 s gt 000 1000 pozorovaé hodoty 0 10 0 30 Čas [s] Obr. 9.1 Pevá závislost dráhy a čase při volém pádu Pozorovaými hodotami lze přesě proložit spojitou křivku o zámé rovici. Případé odchylky od křivky jsou způsobey pouze chybami měřeí. Počet aměřeých hodot eovlivňuje přesost závěrů. Situaci lze kdykoli přesě opakovat. 100
Poptávka po zboží [ks] 9.1.. Závislost volá Některé jevy mohou být a sobě závislé je volě, apř. závislost výosu plodiy a spotřebě hojiv, závislost poptávky a ceě zboží apod. I zde se projeví závislost, avšak vztah je více či méě volý. Změa jedoho jevu podmiňuje úroveň jiého jevu je s určitou pravděpodobostí a rověž itezita změy druhého jevu může být růzá. Tuto závislost můžeme zkoumat je při větším možství jevů. Volá (stochastická) závislost trží poptávka: 50 pozorovaé hodoty 40 30 10 0 30 40 Cea zboží [Kč] Obr. 9. Volá závislost poptávky a cey zboží Všemi pozorovaými hodotami elze proložit křivku. Odchylky od ideálího průběhu závislosti jsou dáy idividuálími zvláštostmi jedotlivých případů. Iformace o závislosti se zpřesňují s přibývajícím počtem případů. Situaci se ikdy epodaří zovu přesě reprodukovat. Předmětem zájmu statistiky je volá závislost, která je typická pro sociálě ekoomické i mohé jié vysoce komplikovaé jevy. 101
9.. Klasifikace statistických závislostí Statistika se zabývá především zkoumáím volé závislosti. V rámci tohoto zkoumáí ale můžeme odhalit i závislosti pevé Podle druhu statistických zaků, můžeme závislosti čleit ásledově: korelačí závislost závislost mezi kvatitativími zaky (apř. vztah mezi spotřebou krmiva a dosahovaým přírůstkem u zvířat, mezi délkou klasu pšeice a počtem zr v klasu, mezi výosem plodiy a straě jedé a spotřebou hojiv), asociačí závislost závislost mezi kvalitativími alterativími zaky (apř. vztah mezi postřikem stromů a červivostí ovoce,), kotigečí závislost závislost mezi kvalitativími zaky možými (apř. citlivost růzých druhů zvířat a ěkteré stresové poděty, vliv růzých techologií a výos jedotlivých druhů obili) Veškeré závislosti můžeme rozdělit a závislosti příčié a závislosti zdálivé. Smysl zkoumat mají pouze závislosti příčié, kde vystupuje: jede jev jako příčia ezávislá proměá (X), druhý jev jako účiek závislá proměá (Y). Statistika zkoumá příčié volé závislosti. 9..1. Klasifikace statistických závislostí číselých zaků Každá závislost číselých zaků má dva vzájemě eoddělitelé atributy (vlastosti): itezitu závislosti - korelace. průběh závislosti - regrese, Statistika měří průběh a itezitu závislosti číselých zaků. Příčié závislosti číselých zaků klasifikujeme z růzých hledisek: a závislosti jedostraé a závislosti oboustraé (vždy však vzájemé), a závislosti přímočaré a křivočaré, ěkteré (zejméa přímočaré) a závislosti pozitiví a závislosti egativí (toto hledisko má pouze okrajový výzam), podle matematických fukcí použitých a zkoumáí průběhu závislosti a závislosti lieárí a závislosti elieárí, podle počtu příči (ezávislých proměých) a závislosti párové (jedoduché, s jedou ezávislou proměou) a závislosti mohoásobé (s ejméě dvěma současě působícími ezávislými proměými),atd. V praxi se většia úloh omezuje je a párové a lieárí ebo křivočaré závislosti. 10
Druhy korelačí závislosti: Podle počtu zaků: - jedoduchá (prostá) Y = f (X) - víceásobá Y = f (X 1, X,, X ) Podle typu regresí fukce: y i lieárí závislost y i elieárí závislost x i x i Podle směru regresí fukce: kladá (přímá) závislost záporá (epřímá závislost křivočará závislost y i y i y i x i x i x i Podle stupě závislosti (korelace) zaků: ezávislost volá závislost ižší stupeň vyšší stupeň pevá závislost y i y i y i y i x i x i x i x i Obr. 9.4 Příklady korelačí závislosti 103
9.3. Korelačí závislost korelačí aalýza Korelačí aalýza zkoumá korelačí závislost mezi kvatitativími (číselými) zaky. Při zkoumáí korelačí závislosti rozezáváme dva základí pojmy: Korelace = stupeň (těsost) závislosti. Regrese = průběh závislosti prostředictvím matematické fukce (zpravidla přímky), změa závislé proměé podle ezávisle proměé. Při malém počtu statistických jedotek je základem pro zkoumáí závislostí základí - datová tabulka, do které zazameáváme hodoty statistických zaků pro všechy statistické jedotky od i = 1 až po i =. Základí - datová tabulka a zkoumáí závislosti Tab. 9.1 Statistická jedotka Hodoty statistických zaků Zak x i Zak y i 1 x 1 y 1 x y... x y V této podobě jde je o zázam výsledků zjišťováí za čleý statistický soubor. Při velkém rozsahu dat je pracoví tabulka epraktická a epřehledá. Výhodější je v této situaci tzv. korelačí tabulka, v které jsou uvedey četosti kombiací obmě hodot obou zaků. Pokud jde o ezávislé proměé je možé vykoat tříděí podle proměé x i podle proměé y. Tab. 9. Korelačí tabulka a zkoumáí závislosti Zak x i Zak y i i y 1 y. y l x 1 11 1. 1l x1 x 1. l x x 3 13 3. 3l x3...... y1 y.. 105
Počet letokruhů Příklad: Za 10 rodi máme údaje o počtu dětí v rodiě (proměá x) a velikosti bytu (proměá y) vyjádřeé počtem místostí. Tab. 9.3 Základí - datová tabulka Statistické zaky rodiy Rodia 1 3 4 5 6 7 8 9 10 Počet dětí v rodiě 1 1 0 0 1 0 3 (proměá x) Počet místostí (proměá y) 3 3 3 1 3 4 4 Tab. 9.4 Korelačí tabulka Počet dětí (proměá x) Počet místostí (proměá y) Celkem 1 3 4 0 1 1 1-3 1-1 - 3 - - 1 3 3 - - - 1 1 Celkem 1 3 4 10 Prostředkem grafické prezetace závislostí číselých zaků je korelačí bodový graf. Body v grafu představují jedotlivé statistické jedotky, kterým odpovídají obměy příslušých statistických zaků a osách x a y. Pozámka: Když se vyskyte více statistických jedotek se stejými obměami statistických zaků, body se v bodovém korelačím grafu překrývají. Pro lepší ázorost je možé v tomto případě použít pseudo-3d graf. Příklad: U ařezaých prke můžeme zkoumat závislost jejich tloušťky a počtu letokruhů. 1 1 0 8 6 4 0 1, 0 1, 1, 4 1, 6 Tloušťka prka [cm] Obr. 9.3 Korelačí bodový graf a zkoumáí závislosti tloušťky prke a počtu jejich letokruhů Korelačí aalýza má dvě základí úlohy: korelačí úlohu a regresí úlohu. 1, 8, 0,, 4, 6 106
9.3.1. Korelačí úloha Aalytický ástroj korelace se může použít k testováí závislosti dvou číselých statistických zaků. Korelačí úloha spočívá ve zkoumáí těsosti korelačího vztahu. Závislost zameá, že hodoty jedoho zaku odpovídají přímo úměrě (kladá korelace) ebo eúměrě (záporá korelace) hodotám druhého zaku. Mírou korelace je koeficiet, ebo idex korelace r., který má hodoty od -1 do 1, udávající stupeň (úroveň) vztahu (závislosti) hodoceých statistických zaků. Pokud jsou hodoty obou zaků ezávislé, bude korelace blízká ule. V případě, že áhodé veličiy X a Y jsou kvatitativí áhodé veličiy je pro kokrétí hodoty (x 1,y 1 ), (x,y ),... (x,y ) Pearsoův korelačí koeficiet dá vztahem r i1 i1 ( x x)( y y) i ( x x) ( y y) i i i i1 Setkáváme se i s jedodušším vyjádřeím Pearsoova korelačího koeficietu sxy R =, s s kde s x je směrodatá odchylka proměé X, s y směrodatá odchylka proměé Y a s xy takzvaá kovariace proměých X a Y s xy = x y 1 1 ( x i x)( y i y) Podle hodoty Idexu (koeficietu) korelace určuje míru závislosti. Když bude mít Idex (koeficiet) korelace hodoty: r = 0,0 0, r = 0,3 0,4 r = 0,5 0,6 r = 0,7 0,8 r = 0,9 1,0 jedá se o žádou ebo velmi slabou závislost jedá se o slabou jedá se o průměrou závislost jedá se o silou závislost jedá se o velmi silou závislost Lieárí závislost dvou statistických lze postihout vyeseím proměých do grafu. V případě korelace estaovujeme rovici přímky závislosti (to je úlohou lieárí regrese), ale můžeme si přímku představit jako vyjádřeí lieárího vztahu a z odchylek bodů od přímky pak odhadout míru tohoto vztahu. 107
r = - 1 r = + 1 r = 0 r = + 0,8 108
9.3.. Regresí úloha Regresí úloha korelačí aalýzy má za cíl popsat průběh zkoumaého vztahu statistických zaků a použít její výsledky při progózách. Jde o to, aby jsme vyjádřili průběh korelačí závislosti t.j. změy závisle proměé a změách ezávisle proměé. Teto vztah azýváme regrese. Regresi popisujeme regresí fukcí. = regresí koeficiet = koeficiet spolehlivosti případé předpovědi, udávající, jak přesě odpovídají předpokládaé (očekávaé) hodoty, vyjádřeé regresí fukcí - spojicí tredu (tred, vývoj, směr, vyrováí měřeých veliči), skutečým datům. R Spojice tredu je ejspolehlivější v případě, že se hodota idexu (koeficietu) R spolehlivosti R blíží ebo rová hodotě 1. Přitom platí, že koeficiet spolehlivosti je čtvercem korelačího koeficietu. Přesost regresí fukce je přímo závislá a rozsahu souboru. Pomocí regresí aalýzy, prodloužeím spojice tredu, se dají staovit hodoty za, ebo před zobrazeými daty. Tím se dá provést matematická předpověď. Přesost matematického předvídáí je úměrá velikosti korelačí závislosti. K určeí parametrů (koeficietů) regresí fukce se používá metoda ejmeších čtverců. 109
9.3.3. Metoda miimálích čtverců Výzam metody miimálích čtverců Metoda miimálích čtverců je uiverzálí metodou staoveí (odhadu) parametrů b 0, b 1,..., b m fukce ahrazující původí aměřeé hodoty y i závisle proměé Y. Zameá to, že hledáme fukci, která má součet čtverců odchylek měřeých údajů od teoretických co ejmeší. V geometrické představě to zameá, že hledáme takovou křivku, která co ejtěsěji přiléhá k jedotlivým bodům. Fukce této křivky by měla být co ejjedodušší, aby se dala sado používat k výpočtu dalších potřebých hodot. Tuto fukci azýváme regresí fukcí. Původě ezámé koeficiety b j jsou parametry regresí fukce. Výběr typu fukce (tj. apř. kvadratická, lomeá apod.) je v kompeteci řešitele úlohy. Metoda miimálích čtverců aleze pak parametry ejlepší fukce předem zvoleého typu. každé pozorovaé hodotě y i odpovídá hodota vypočteá y i čtverec odchylky pozorovaé a vypočteé hodoty závislé proměé hodoty zavislé promeé Y pozorovaé hodoty závislé proměé y i regresí fukce y hodoty ezávislé proměé X Obr. 9.7 Grafické zázorěí metody kritéria miimálích čtverců 110
Metoda miimálích čtverců miimalizuje součet čtverců odchylek pozorovaých (aměřeých) hodot závisle proměé a zvoleé regresí fukce. Spočívá tedy v hledáí takové regresí fukce pro kterou bude platit vztah yi y i mi i1 Platí pro fukce lieárí i elieárí, jedoduché i víceásobé. Je-li rozsah souboru rove, je kritérium miimálích čtverců m ( yi yi ) [ yi b j f j ( xi )] i1 i1 j 0 mi. Dá se ukázat, že vyhovuje-li určitá fukce kritériu miimálích čtverců, splňuje automaticky též ( y i y i ) 0 (součet kladých a záporých odchylek kolem i1 regresí fukce se kompezuje). Tato podmíka však regresí fukci eurčuje jedozačě. Existuje jediá regresí fukce zvoleého typu, která pro kokrétí data vyhovuje podmíce miimálích čtverců. Y y i y i X Obr. 9.8 Grafické zázorěí kritéria miimálích čtverců 111
Proceta 9.3.4. Základí typy regresích fukcí a jejich aplikace Regresí fukce - spojice tredů může mít růzý tvar. Nejčastěji se používají fukce: lieárí, expoeciálí, mociá, logaritmická, polyomická, 9.3.5. Vyrováí lieárí fukcí. Lieárí spojice tredu je přizpůsobeá přímka používaá u jedoduchých lieárích moži dat. Data jsou lieárí, jestliže průběh jejich datových bodů připomíá přímku. Lieárí spojice tredu obvykle zobrazuje, že ěco roste ebo klesá kostatí měrou y a bx Příklad: Vyrováí vývoje výdajů a vědu z HDP lieárí fukcí,5 Proceta z HDP a vědu a výzkum Slovesko EU 1,5 y = 0,03x - 44,115 R = 0,9653 1 y = -0,05x + 50,645 R = 0,899 0,5 0 1998 1999 000 001 00 003 004 005 006 007 Roky Obr. 9.9 Porováí vývoje podílu vědy z HDP SR a EU 113
Počet požárů 9.3.6. Vyrováí mociou fukcí Mociá spojice tredu je křivka používaá u dat porovávajících stoupající hodoty aměřeé v určitých itervalech. Například zrychleí auta v itervalech po 1 sekudě. Mociou spojici tredu elze vytvořit, jestliže data obsahují ulové ebo záporé hodoty. b y ax 9.3.7. Vyrováí logaritmickou fukcí Logaritmická spojice tredu je přizpůsobeá křivka používaá u dat, která rychle stoupají ebo klesají a postupě se vyrovávají. U logaritmické spojice tredu je možé použít kladé i záporé hodoty. y al( x) b 9.3.8. Vyrováí polyomickou fukcí Polyomická spojice tredu je křivka používaá u dat, která kolísají. a edají se tedy aproximovat jedodušší fukcí. Stupeň polyomu může být urče počtem kolísáí v datech ebo počtem zakřiveí (maxim a miim) v křivce. Stupeň má obvykle jede vrchol. Stupeň 3 má obvykle jede ebo dva vrcholy. Stupeň 4 má obvykle až tři vrcholy. y a b x 6 1 b x... b6 x Příklad: Vyrováí počtu požárů za roky 1996 006 polyomem 0 50 Počty požárů ve stavebictví v ČR 00 y = 1,48x - 5730x + 6E+06 R = 0,9673 150 100 50 0 1 994 1 996 1 998 000 00 004 006 008 Roky Obr. 9.9 Vývoj počtu požáru za roky 1996-006 114
Počet požárů Úrazy 9.3.9. Vyrováí expoeciálí spojicí Expoeciálí spojice tredu je křivka, která se používá v případě, že hodoty dat stoupají ebo klesají ve stále větších krocích. Tuto spojici elze vytvořit, jestliže data obsahují ulové ebo záporé hodoty. bx y ae Příklad Další graf udává statistický soubor vytvořeý z reálě vysledovaých údajů v letecké dopravě. Počet smrtelých úrazů připadajících a 1 milio alétaých kilometrů je vysledová v rocích 1950 až 005 Soubor byl vyrová expoeciálí fukci. Koeficiet spolehlivosti R = 0.968 je dost vysoký, aby se expoeciálí fukce mohla použít pro statistické předvídáí. 50 Graf smrtelých úrazů Počty požárů ve stavebictví v ČR y = 5E+7e -0,08443x R = 0,968 00 18 15 y = 1,48x - 5730x + 6E+06 R = 0,9673 150 100 1 9 6 3 50 0 1950 1960 1970 1980 1990 000 010 0 1 994 1 996 1 998 000 Roky 00 004 006 008 Roky Obr. 9.9 Vývoj smrtelých úrazů v letecké dopravě a 1 mil. alétaých kilometrů za roky 1996-007 Předvídaé údaje jsou esmírě ceé iformace pro strategii krizového pláováí. Tyto a obdobě vyhodoceé další vysledovaé iformace se dají aplikovat a každé letiště. To umožňuje připravit odpovídající dimezi místích záchraých sil a prostředků, připravit potřebou kapacitu zdravotických a techických zařízeí, orgaizaci záchraé hasičské i lékařské služby, vytvořit si obraz o řídících pracích apod. 115
9.4. Asociačí závislost Asociačí závislost je závislost mezi dvěma kvalitativími alterativími (dvojými) zaky: Tab. 9.5 Základí - datová tabulka a zkoumáí asociačí závislosti přítomost zaku epřítomost zaku zak A a zak B b Zak A Všeobecá asociačí tabulka Zak B b β Celkem a ab aβ a α αb αβ α Celkem b β Tab. 9.6 Koeficiet asociace Q ab ab ab a a b b Koeficiet korelace Odchylka od ezávislosti R ab ab ab a a a b b b Příklad: Soubor pracovíků podiku B, rok 001, = 450 alterativí zaky: A očkováí, B oemocěí Oemocěí (B) Očkováí (A) ao b e ao a 1 33 335 e 53 6 115 65 385 450 Koeficiet asociace Q ab ab ab a a b b 1 6 3353 0,9 1 6 3353 Koeficiet asociace ukazuje vysoký stupeň účiosti očkováí. 116
9.5. Kotigečí závislost Kotigečí závislost mezi kvalitativími možými zaky Všeobecá kotigečí tabulka Tab. 9.7 Zak A a a a a 1 i k Celkem b 1 11 i1 Zak B b b j b l 1 1 i 1 j j k1 k kj kl 1 j l ij 1l l il Celkem 1 i k Čtvercová kotigece k l ij k i1 j1 i j i1 j1 i j l i ij j k l ij i1 j1 i j Čuprovův koeficiet kotigece K k 1l 1 117
Příklad: U 350 zákazíků byla hodocea spokojeost s poskytovaými službami vybraé firmy. Tab. 9.7 Kotigečí tabulka a zkoumáí závislosti spokojeosti a využíváí služeb zákazíky Zákazíci Využíváí služeb Spokojeost Celkem se službami firmy ao e zřídka 10 10 0 často 0 10 30 velmi často 85 15 100 Celkem 115 35 350 10 10 0 10 350 ( 115 0 35 0 115 30 35 30 85 15 ) 350 18, 7 115 100 35 100 K 350 18,7 (3 1)( 1) 0,747 Z výsledku vyplývá, že existuje silý vztah (závislost) mezi spokojeostí se službami firmy a frekvecí jejich využíváí. 118