Mechaka soustavy hmotých boů a tuhého tělesa Učebí text pro výuku přemětu Fyzka pro KME, letí semestr školího roku 00/ Autor: Mart Žáček, katera fyzky, Fakulta Elektrotechcká, ČVUT Vymezeí a souvslost se souvsejícím fyzkálím obory Mechaka soustavy hmotých boů se zabývá popsem pohybu možy těles, u chž lze zaebat vlastí rozměry a a které působí (zcela obecé) síly. Tvoří obecou teor pro řau specálích oborů jako je apříkla ebeská mechaka, v íž jsou síly mez tělesy áy Newtoovým gravtačím zákoem, ebo fyzkou plazmatu, ke jsou síly mez částcem způsobeé Lorezovou slou z teore elektromagetckého pole. Fyzka plazmatu a také ketcká teore plyů, u íž se vyskytují specálí síly působící je a malou vzáleost, se však zabývají velkým možstvím částc a používají se u ch avíc přístupy ze statstcké fyzky, ky se eřeší pohybové rovce jeotlvých částc ale ovozují se z ch pravěpoobostí rozěleí mechackých velč, jako jsou apříkla eerge částc ebo jejch rychlost. Zvláští přípa soustavy je tzv. tuhá soustava hmotých boů, ky jsou élky myšleých spojc boů kostatí a teto přípa má jž blízko tuhému tělesu a ěkteré vztahy jsou okoce totožé a erozlšují mez spojtým a skrétím rozložeím hmoty. V přípaě, že přpustíme proměé vzáleost mez tělesy, vee lmtí přecho o skrétího prostřeí ke spojtému k mechace kotua, která popsuje pohyb spojtých prostřeí jako jsou kapaly ebo plyy. Teto pops se v ěkterých přípaech používá jako alteratva k částcovému popsu v jž zmíěé fyzce plazmatu. Mechaka pružého tělesa je ěke a pomezí mez tuhým tělesem a mechakou kotua, ky v ejjeoušší teor přepoklááme leárí oezvu eformace tělesa a působící sílu, ve varatě élkových eformací zámou jako tzv. Hookův záko. Obecější teore pružost zaváějí růzé moely oezvy těles a eformačí síly, azývaé reologcké moely. Mechaka Hmotého bou tatstcký přístup Teore elektromag. pole Mechaka soustavy hmotých boů Ketcká teore plyů Fyzka plazmatu Nebeská mechaka Mechaka tuhého tělesa Mechaka pružého tělesa Mechaka kotua Obrázek : ouvslost mechaky soustavy hmotých boů s příbuzým fyzkálím obory.
Hmotý stře, prví věta mpulsová Řešme pohyb hmotých boů, -té těleso echť má hmotost m, achází se v poloze r a působí a ěj síla F. Kažé těleso tey bue splňovat ruhý Newtoův pohybový záko r F. () = m Máme tey rovc (), pro kažé těleso jeu rovc. ečtěme yí všechy rovce () pro všecha tělesa, obržíme vztah r F = m. () = = Přepokláejme, že všechy hmotost jsou kostatí, tj. že tělesa žáým mechasmem ezískávají a eztrácejí hmotost. Dervováí proto můžeme apsat pro celý souč m r, okoce můžeme ervac přesuout pře sumu, eboť ervace je leárí operace a kostatu lze apsat pře ervac (my ale prováíme opačý úko) a součet ervací fukcí je ervace součtu fukcí, ostaeme tey výraz F r. = m = = Z ůvoů, které se ozřejmí pozěj, upravme pravou strau tak, že celý výraz vyásobíme a zároveň vyělíme sumou hmotostí všech těles a obržíme vztah = = ml = l= mr F. (3) m čítací ex jsme pro přehleost ozačl v kažé sumě jak. Ozačme yí celkovou sílu působící a hmoté boy jako a zaveďme polohu hmotého střeu r vzorcem = k = k F = F (4) mr = r =. (5) m k = Pak můžeme vzorec (3) apsat v kompaktějším tvaru k r F = m, (6) který přestavuje pohybovou rovc pro soustavu hmotých boů a je formálě shoý s Newtoovým pohybovým zákoem () pro jeý hmotý bo. Vzorce () a (6) se však o sebe lší v tom, že F ve vzorc (6) je souhrá síla působící a všechy hmoté boy, m je jejch celková hmotost a r je vektor hmotého střeu soustavy. Hmotý stře soustavy
emusí být přtom totožý s žáým hmotým boem, je to obecě pouze geometrcký bo, získaý ze vzorce (5). ouhrý pohybový záko pro soustavu hmotých boů (6) se často vyjařuje pomocí celkové hybost. Zaveďme proto yí celkovou hybost soustavy jako součet hybostí jeotlvých hmotých boů a vyjářeme j pomocí těžště soustavy (5), ostaeme m r r p v r r v. (7) = = m = m = m = m = m = m = = = m Celková hybost je tey rova souču celkové hmotost a rychlost těžště soustavy. Dosazeím o pohybové rovce (6) ostaeme pohybovou rovc soustavy vyjářeou pomocí celkové hybost soustavy, popř. po tegrací tegrálí obobu téhož p F =, t t F = p( t) p ( t). (8), (9) Posleí va vztahy se azývají prví věta mpulsová. Pole jejího ferecálího vyjářeí (8) je celková síla působící a soustavu hmotých boů rova časové změě celkové hybost soustavy. Její tegrálí vyjářeí (9) říká, že časový tegrál z celkové síly působící a soustavu je rove rozílu celkové hybost soustavy a koc a a začátku časového tervalu, přes který je tegrováo. Pozámka (vzorec pro těžště soustavy hmotých boů pro přípa, ky jea hmotost omuje): Všměte s, že vzorec (5) pro hmotý stře soustavy je vážeý průměr, ke jako váhy vystupují hmotost jeotlvých těles. To je v soulau s aší tucí, ky očekáváme, že pohyb soustavy hmotých boů buou určovat spíše hmotá tělesa a méě hmoté boy buou pohyb soustavy jako celek ovlvňovat méě. Poku bueme uvažovat jako soustavu hmotých boů apříkla sluečí soustavu, můžeme j v prvím přblížeí ahra je lucem. kutečě, bue-l za m hmotost luce a m hmotost jeotlvých plaet, v čtatel a ve jmeovatel ve vzorc (4) buou čley obsahující m výrazě omovat oprot ostatím čleům, které tak bue možé zaebat. Dostaeme tey polohu hmotého střeu sluečí soustavy (pro jeouchost uvažujme 4 plaety): m m m m r + r + r + r + r m m m m m m m m m rt = = m m + m+ m + m3+ m4 m m3 m4 + + + + m m m m 3 4 3 4 r+ r+ r+ 3r3+ 4r4 r. Těžště luečí soustavy je tey, jak bychom tutvě očekával, přblžě ve střeu luce. To opovíá skutečost, protože ve luc se achází přblžě 99 % hmoty celé sluečí soustavy a to se započítáím asteroů, komet a ostatí mezplaetárí hmoty. Pozámka (vzorec pro těžště soustavy hmotých boů pro přípa, ky hmotost těles v soustavě jsou stejé): Poku buou hmotost všech těles stejé, tj. m = m, lze je v čtatel a ve jmeovatel vytkout a vykrátt a ostaeme výsleý vzorec pro hmotý stře jako artmetcký průměr všech polohových vektorů. = = r = mk m k= k= mr m r r = = =
Druhá věta mpulsová Vyásobme yí v rovc () levou a pravou strau vektorově polohovým vektorem r, r r F = r m a sečtěme všechy rovce pro všechy hmoté boy v soustavě. m jako skalárí velču můžeme přesuout pře vektorový souč a ostaeme rovc ( ) = = r r F = m r. umu a levé straě ozačíme jako celkový momet síly M = ( r F ) a pravou strau upravíme pomocí vztahu pro ervac vektorového souču z oatku A r r r r M = r = r = r v = = m m m = = r = = (0) ( ) ( p ) Posleí vektorový souč je momet hybost -tého hmotého bou vůč počátku a celkový momet hybost soustavy je součet všech jeotlvých mometů, tj. ( ) = = b = r p = b () a ostaeme výsleý vztah mez celkovým mometem síly a celkovým mometem hybost soustavy, který můžeme také tegrovat, M = b, t M = b ( t) b ( t ). (), (3) t Je o vě růzá vyjářeí ruhé věty mpulsové. Její ferecálí vyjářeí () říká, že celkový momet síly působící a soustavu je rove časové změě celkového mometu hybost soustavy. Pole Itegrálí formulace (3) věty je časový tegrál z celkového mometu síly působící a soustavu rove rozílu celkového mometu hybost soustavy v časech a koc a a začátku časového tervalu, přes který se tegruje. Vtří a vější síly Pro účely pozějšího přechou o skrétí soustavy koečého počtu hmotých boů ke spojté soustavě ekoečě moha boů přestavujících spojté těleso popřípaě pohybující se kotuum, ky ěkteré, jž ovozeé vzorce pro soustavu boů buou shoé ebo obobé také pro těleso č kotuum, je účelé olšt vější a vtří síly působící a soustavu. Proto vyjáříme sílu působící a -tý hmotý bo jako součet vější síly, která má příču mmo soustavu hmotých boů (apříkla gravtačí působeí těles, v jejchž blízkost se soustava achází) a vtří (často se říká vazbové) síly, která je zapříčěa vzájemým působeím boů v soustavě a je áa součtem sl o všech ostatích boů v soustavě (vější síly bueme začt Ext jako exterí a vtří síly It jako terí).
F = FExt + FIt = FExt + F k, ke jako F k jsme ozačl sílu, kterou působí k-tý hmotý bo a -tý hmotý bo. Dosazeím o vztahu (4) pro celkovou sílu působící a soustavu ostaeme k = k F = F = FExt + Fk = F Ext, (4) = = = k= = k eboť vojtá suma ve výrazu pro vtří sílu je ulová. Platí totž ze zákoa akce a reakce F k = F k a v vojté sumě se ve výrazu pro vější sílu s v posleím vztahu jeotlvé síly po vojcích vyruší. Výraz F k je totž koefcet atsymetrcké matce, což je matce, která traspozcí měí zaméko. oučet koefcetů atsymetrcké matce je ulový, eboť součet koefcetů a agoálou se oečte o součtu koefcetů po agoálou (musel bychom ještě formálě oefovat F k = 0, aby šlo skutečě o atsymetrckou matc ale přes agoálu ve vzorc (4) stejě esčítáme). Pole výsleku (4) je tey celková síla působící a soustavu je tey áa je vějším slam, vtří síly se vzájemě vyruší. Poobě vyjáříme momet síly působící a -tý bo soustavy vzhleem k počátku Ext k = = k= k ) ( ) M = M + M = r F + r F = r F + r F Ext It Ext It Ext k k = k a osaíme ho o výrazu (0) pro celkový momet síly působící a soustavu, ostaeme ( ) ( M = r F + r F Koefcet ve vojté sumě, přestavující slový momet, jímž působí vzhleem k počátku k-tý hmotý bo a -tý bo, je také atsymetrcká matce, jak yí okážeme. Neí to a rozíl o poobé matce ve výrazu (4) a prví pohle vět, protože ze avíc vystupuje ve vektorovém souču rameo r, jehož velkost směr jsou zcela obecé. Atsymetrčost však okážeme ásleující úpravou, ky ve výrazu pro sumu všech vtřích slových mometů seskupíme čley se symetrckým exy, celkový výraz však musíme vyásobt jeou polovou, jak bychom sčítal kažý koefcet matce vakrát It. M = r F = r F + r F = ( ) ( ) k k k k = k= = k= k k = ( r F r F ) = ( ) r r F = 0. k k k k k = k= = k= k k Využl jsme opět atsymetrčost vzájemé síly F k v ůsleku zákoa akce a reakce a ostal jsme a koc vektorový souč rovoběžých vektorů, který je ale ulový. Dostáváme tak výsleek Ext Ext Ext = = M = M = M = r F ( ),, (5) pole kterého je celkový slový momet všech sl působících a soustavu á pouze vějším slam, slové momety o vzájemých sl uvtř soustavy se vzájemě vyruší.
Pojem tuhého tělesa Zaveďme ejprve pojem okoale tuhá soustava hmotých boů. To je soustava, v íchž jsou velkost vzájemých vektorů r k = r k r eměé, tj. r k = rk r = kost. (6) Takovou soustavu s můžeme přestavt jako tuhou kostrukc z kulček spojeých vzájemě tyčkam, ke ale hmotost spojovacích tyček zaebáváme. Hmotý stře (těžště) tuhého tělesa Tuhé těleso s přestavíme jako tuhou soustavu hmotých boů, ky ale boů je v jstém smyslu hoě, jakoby vyplňovaly celý objem tělesa. Pak ale musíme ve vzorc pro hmotý stře soustavy hmotých boů (5) ahra sumac tegrováím a to tak, že tegrujeme ekoečě moho ekoečě malých velč tak, aby výsleek byl koečý. Matematcký aparát spouje symbolckým počtem, který s takovým tutvím fyzkálím přestavam umí pracovat a azývá se ferecálí a tegrálí počet. Dferecálí počet umí symbolcky pracovat s ekoečě malým velčam (ale spíše je o leárí teor, jak porovávat lmtě ekoečě malé přírůstky fukcí) a tegrálí počet umožňuje takovéto přírůstky spojtě sčítat. Formálí zaveeí objemového tegrálu se prováí v tegrálím počtu fukcí více proměých, ke se rověž okazují příslušé věty, za jakých pomíek apříkla můžeme objemový tegrál ahra postupým tegrováím přes jeotlvé proměé, že ezáleží a pořaí tegrováí (Fubova věta) popřípaě jak přejít k jé souřacové soustavě (věta o trasformac souřacové soustavy). Ze se spokojíme s tutví fyzkálí přestavou. Za tím účelem ahraíme hmotost m ve vzorc (7) hmotostí objemového elemetu V, která je rova m = ρv, ke ρ je hustota tělesa v aém místě. Vzorec (7) pro spojtý přípa bue mít formálě tvar rρv V r = = ρv ρv m r, (7) V který můžete chápat jako součet ekoečě moha boů (proto tegrál místo sumy) vyplňujících objem tělesa. Objem je třímezoálí, proto jsou tř tegračí zaméka v tegrálu ale často se všechy typy tegrálů ozačují uverzálě jeím tegračím zamékem, zejméa v oboré lteratuře. Moža V, přes kterou se tegruje, se vyzačuje po tegračím zamékem. Volba tegračích proměých, ve kterých bueme tegrál počítat a volba pořaí tegrace závsí a symetr tělesa, přes které se tegruje. Pozámka : Objemový (trojý) tegrál je třímezoálí varata eoretovaého tegrálu přes obecou 3 možu z. Itegrujeme-l apříkla přes možu z, je o určtý tegrál zámý z tegrálího počtu fukce jeé proměé. Itegrál přes azveme plošým (vojým) tegrálem, apo. Pozámka : Neoretovaý tegrál přes možu Ω z ječky je rove míře možy Ω, fyzkálě je o élku, resp. součet élek tervalů, celkovou plochu, objem možy at. Poku má tegra výzam hustoty (élkové, plošé, objemové, ), je tegrál rove celkové hmotost možy (úsečky, plochy, objemu, ). To je přípa jmeovatele ve vzorc (7). Pozámka 3: Vzorec (5) je vektorový, můžete se a ěj ívat jako a úsporý záps tří vzorců pro jeotlvé složky, v kartézských souřacích to buou apříkla vztahy ρ. x = xρv, y = yρv, z = z V V V V V (8)
Ovozeí polohy hmotého střeu z rovost mometů pro jeu souřac Toto ovozeí emostruje, jak lze ovo vztah pro jeu souřac hmotého střeu z rovost slových mometů a jeé a ruhé straě o hmotého střeu. Fyzkálě to opovíá přípau, ky těleso poepřeme v jeom boě po těžštěm. Prcp je stejý, jako kyž počítáme rovováhu a páce, ky se rovají slové momety vlevo a vpravo o popěry. Ze však musíme sčítat ftezmálí slové momety v celém tělese, tey tegrovat, eboť se jeá o spojtý přípa ale prcp je stejý. Uvažujme těleso acházející se v homogeím gravtačím pol, které je v rovováze, poepřeme-l ho po hmotým střeem, jak je zázorěo a obrázku vlevo. echť je hmotý stře a x echť je jeho x-ová souřace, kterou hleáme. Na élkový elemet tělesa (acházející se mez věma rovam kolmým k ose x) o tloušťce x bue působt tíha F = g m, ke g je tíhové zrychleí a m = τ x (x) x je hmotost vyjářeá pomocí élkové hustoty τ x. Délková hustota je hmotost a jeotku élky tělesa, která závsí a souřac x, protože se může mět jak průřez tělesa, tak jeho hustota. lový momet působící a zmíěý elemet je pak prostý souč ramee a síly, eboť rameo a síla jsou kolmé, tj. ( ) ( ) M = x x F= x x gτ ( x) x. Celkový slový momet, získaý tegrací elemetárího mometu přes celou élku tělesa je ulový, tj. ( ) M = x x gτ ( x) x= 0. Všměte s, že posleí pomíka vyjařuje totéž jako tvrzeí, že součet slových mometů vlevo o hmotého střeu se rová součtu slových mometů vpravo, eboť rameo x x měí zaméko a v tegrálu se tak momety pro souřace meší a větší ež je souřace těžště započítávají s opačým zaméky. Také evaí, že tegrujeme přes celou osu x, eboť élková hustota abývá eulových hoot a omezeém tervalu, tam, ke se achází těleso, takže faktcky se tegruje je přes koečý terval. Itegra rozásobíme a tegrál rozělíme a vě část, vytkeme kostaty a ostaeme x x. x g τ ( x) x= g xτ ( x) x Itegrál vlevo je rove celkové hmotost tělesa a po úpravě můžeme vyjářt souřac hmotého střeu jako x ( ) = xτ x x x m. (9) Vzorec (9) je shoý se vzorcem (7) resp. s jeho jeou kompoetou (8), eboť élková hustota τ x (x) je vlastě výsleek tegrace přes zbylé souřace, kolmé k ose x, tj. τ ( x) = ρ = ρyz x x a osazeím o (9) a přeeseím x o vtřího tegrau ostaeme prví varatu vzorce (8) pro jeu souřac hmotého střeu, vyjářeou pomocí objemového tegrálu. ( yz) x
Pohybová rovce pro těleso otáčející se kolem pevé osy Přepokláejme těleso, které se otáčí kolem pevé osy. Opovíalo by to apříkla setrvačíku uchyceého v pevých ložskách. Pro ovozeí pohybové rovce ejprve ahraďme těleso okoale tuhou soustavou hmotých boů a apšme pohybovou rovc pro jee jeý bo o hmotost m acházejícím se ve vzáleost R o osy otáčeí. Nechť a bo působí síla F. Pohybovou rovc pole. Newtoova zákoa F = ma vyásobme zleva vektorově průvočem R, což je vektor mířící kolmo o osy otáčeí k vyšetřovaému bou a ostaeme R F = mr a. (0) Levá straa je slový momet vzhleem k ose otáčeí M = R F= R F + R F = R F (způsobeý je kolmou složkou síly k průvoč). Na pravé straě rovce (0) rozepíšeme zrychleí a součet tečé a ormálové složky a= aτ + a a pravou strau (0) upravíme (trajektore je ze kružce s polomerem R a tey tečá sl ožka zrychleí je kolmá k průvoč, ormálová složka zrychleí je s průvočem rovoběžá) v R R a= R a + R a = R a = R = R v v = R v ( ) ( ) τ τ Ra oatek A R τ v z a rychlost v osaíme vzorec pro obvoovou rychlost v = ω R a upravíme vojtý vektorový souč pole vztahu v oatku B ( ) ( ) ( R) ωr R v= R ω R = ω R R R ω =. oatek B ω R Dosazeím všech obržeých výsleků zpět o rovce (0) obržíme ω M = mr. () Výsleá pohybová rovce () pro rotačí pohyb hmotého bou má formálě poobý tvar jako pohybová rovce pro hmotý bo zapsaá jako v F = m. () Vlevo v obou rovcích () a () je totž velča charakterzující slové působeí a h motý bo a obě časové ervace a pravých straách mají výzam ějakého ruhu zrychleí: v rovc () je o zámý vektor zrychleí jako ervace vektoru rychlost, v rovc () je o vektor úhlového zrychleí efovaý jako časová ervace vektoru úhlové rychlost. Protože v rovc () vystupuje mez sílou a zrychleím jako koefcet úměrost hmotost m ve výzamu míry setrvačost, ostaeme porováím vztahů () a () fyzkálí výzam kombace velč mr jako míru setrvačost vzhleem k otáčeí. Aby aaloge vzorců () a () ještě lépe vykla, vyplatí se teto souč hmotost a kvarátu vzáleost o osy otáčeí efovat jako ovou velču, momet setrvačost hmotého bou acházejícího se ve vzáleost R vůč ose otáčeí, vztahem J = mr. (3) Protože ovozeí pro kterýkolv hmotý bo z okoale tuhé otáčející se soustavy je stejé, ostaeme stejých rovc () pro hmotých boů a po jejch sečteí ostaeme,
a ω M = mr (4) = efujeme momet setrvačost pro okoale tuhou soustavu otáčející se kolem pevé osy J = mr. (5) = Pro tuhé těleso musíme ahra sumu objemovým tegrálem a hmotost jeotlvých boů součem hustoty a objemového elemetu stejě jako jsme to provel u vztahu (7) pro hmotý stře a ostaeme poobý vzorec jako je (5) pro momet setrvačost tuhého tělesa = ρ. (6) J R V V Defujme časovou ervac vektoru úhlové rychlost z rovce (4) jako vektor úhlového zrychleí ε = ω, (7) zámým jž z mechaky (jeého) hmotého bou. Jeho použtím spolu s ěkterým ze vztahů (3), (5) ebo (6) ostaeme kompaktější záps pohybové rovce () pro tuhou soustavu hmotých boů resp. její varaty s tegrálem místo sumy v přípaě tuhého tělesa, rovc pro otáčvý pohyb kolem pevé osy M = Jε, (8) ke M je celkový momet vějších sl působících a těleso vzhleem k ose otáčeí. Vtří momety sl se totž pole vztahu (5) vyruší, jak jsme jž říve okázal.
Doatek A: Dervac vektorového souču vou vektorových polí A(x) a B(x) proveeme poobě, jako se ervuje souč fukc A ( A B) = B+ A B () x x x jak se lze sao přesvěčt, apříkla rozepsáím o složek v ortogoálí souřacové soustavě a ervováím po složkách. Pro vojtý vektorový souč platí často používaá etta a ( b c) = b( a c) c( a b ). ()
Otázky ke zkoušce k soustavě hmotých boů :. Popšte, čím se zabývá mechaka soustavy hmotých boů.. Formulujte prví větu mpulsovou v ferecálím vyjářeí a vysvětlete slově její výzam. 3. Formulujte prví větu mpulsovou v tegrálím vyjářeí a vysvětlete slově její výzam. 4. Napšte vztah pro hmotý stře soustavy hmotých boů. 5. Jak je efováa celková hybost soustavy hmotých boů a jak souvsí s hmotým střeem soustavy? 6. Formulujte ruhou větu mpulsovou v ferecálím vyjářeí a vysvětlete slově její výzam. 7. Formulujte ruhou větu mpulsovou v tegrálím vyjářeí a vysvětlete slově její výzam. 8. Vyjářete celkovou sílu působící a soustavu hmotých boů pomocí vějších a vtřích sl. 9. Vyjářete celkový momet síly vzhleem k počátku souřacové soustavy působící a soustavu hmotých boů pomocí vějších a vtřích sl.