Úvod základy teorie zobrazení

Úvod základy teorie zobrazení V přednášce se budeme zabývat diferenciálním a integrálním počtem funkcí více proměnných. Přednáška navazuje na přednášku atematická analýza 1 z prvního semestru. Proto se předpokládá, že studenti úspěšně absolvovali zkoušku z tohoto předmětu. V tomto úvodu stručně zopakuji některé základní pojmy, které se týkají zobrazení. Ty se objevují prakticky ve všech oblastech matematiky. Proto by bylo dobré je znát. Definice 1. Nechť X a Y jsou množiny. Zobrazení množiny X do množiny Y nazýváme každou množinu F X Y, které má následující vlastnost: Ke každému prvku x X existuje právě jeden prvek y Y takový, že x, y F. Definice zobrazení v podstatě říká, že každému x X přiřadíme právě jedno y Y. Proto budeme často psát jako F : X Y a prvek y Y, na který se zobrazuje prvek x X značit jako y = F x. Definice 2. Nechť F : X Y a A X. Obrazem množiny A nazveme množinu F A = { y Y ; existuje x A takové, že y = F x }. Je-li A = {x} jednobodová množina, bývá zvykem psát F {x} = F x. Nechť je B Y. Vzorem množiny B nazýváme množinu F 1 B = { x X ; F x B }. Je-li B = {y} jednobodová množina, bývá zvykem psát F 1 {y} = F 1 y. Definice 3. Nechť je F : X Y zobrazení množiny X do množiny Y. nožina X se nazývá definiční obor a budeme ji značit D F. nožina F X Y se nazývá obor hodnot zobrazení F a budeme ji značit H F. Definice 4. Zobrazení F : X Y se nazývá prosté nebo injektivní právě tehdy, když pro každé y Y je množina F 1 y nejvýše jednobodová. Zobrazení F : X Y se nazývá zobrazení na množinu Y nebo surjektivní právě tehdy, když F X = H F = Y. Zobrazení, které je prosté a na množinu Y se nazývá vzájemně jednoznačné neboli bijektivní zobrazení. Věta 1. Zobrazení F : X Y je prosté právě tehdy, když z rovnosti F x 1 = F x2 plyne x1 = x 2. Toto tvrzení je ekvivalentní tvrzení, že zobrazení F : X Y je prosté právě tehdy, když pro každé x 1 x 2 je F x 1 F x2. Zobrazení F : X Y je zobrazení na množinu Y právě tehdy, když pro každé y Y existuje x X takové, že F x = y. Zobrazení F : X Y je vzájemně jednoznačné právě tehdy, když pro každé y Y existuje právě jedno x X takové, že y = F x. Poznámka. Z definice zobrazení plyne, že pro každé x X existuje právě jedno y Y takové, že y = F x. Z věty pak plyne, že pro vzájemně jednoznačné zobrazení je vztah mezi x X a y Y vzájemně jednoznačný. Věta 2. Nechť je F : X Y a G : Y Z. Pak existuje právě jedno zobrazení H : X Z definované vztahem z = Hx = G F x. Definice 5. Zobrazení H : X Z z věty 2 se nazývá složené zobrazení zobrazení F a G a značí se H = G F. Věta 3. Nechť F : X Y, G : Y Z a H : Z U jsou zobrazení. Pak platí asociativní zákon H G F = H G F. Důkaz: Pro každé x X je H G F x = H G F x = H G F x. Na druhou stranu je H G F x = H G F x. Typeset by AS-TEX 1

Věta 4. Nechť F : X Y je prosté. Pak existuje zobrazení G : Y X takové, že G F = id X, tj. pro každé x X platí G F x = x. Důkaz: Nechť y F X. Pak existuje právě jedno x X takové, že F x = y. Pro takové y definujeme Gy = x. Jestliže y Y a y / F X, položíme Gy = x 0, kde x 0 je libovolný pevně daný prvek množiny X. Snadno se lze přesvědčit, že takto definované zobrazení G : Y X má požadované vlastnosti. Věta 5. Nechť je F : X Y zobrazení množiny X na množinu Y. Pak existuje zobrazení G : Y X takové, že F G = id Y, tj. pro každé y Y platí F Gy = y. Důkaz: Pro každé y Y je množina F 1 y neprázdná. Z této množiny vybereme jedno x zde používáme axióm výběru, což je jeden z axiómů teorie množin. Snadno se ukáže, že takto definované zobrazení G : Y X má požadované vlastnosti. Věta 6. Nechť je F : X Y vzájemně jednoznačné zobrazení. Pak existuje právě jedna funkce G : Y X taková, že G F = id X a F G = id Y. Důkaz: Podle vět 4 a 5 existují zobrazení G a H množiny Y do X takové, že F G = id Y H = H id Y = H F G = H F G = id X G = G. Tedy H = G, což dokazuje existenci. Jsou-li G 1 a G 2 dvě funkce s uvedenými vlastnostmi, je a H F = id X. Pak ale je a tedy zobrazení G je jediné. G 1 = G 1 id Y = G 1 F G 2 = G 1 F G 2 = id X G 2 = G 2 Definice 6. Zobrazení G : Y X v věty 6 se nazývá inverzní zobrazení k vzájemně jednoznačnému zobrazení F a budeme jej značit F 1. Věta 7. Nechť jsou zobrazení F : X Y a G : Y Z prostá, resp. na množinu Y a Z. Pak je také složené zobrazení G F prosté, resp. na množinu Z. Důkaz: Nechť jsou zobrazení F a G prostá a x 1, x 2 X, x 1 x 2. Pak je F x 1 F x 2, a také G F x 1 G F x 2. Tedy zobrazení G F je prosté. Nechť je G zobrazení na množinu Z. Tedy pro každé z Z existuje y Y takové, že z = Gy. Je-li navíc F zobrazení na množinu Y existuje ke každému y Y prvek x X takový, že y = F x. Tedy ke každému z Z existuje x X takové, že z = Gy = G F x, neboli složené zobrazení G F je na množinu Z. Věta 8. Nechť F : X Y a G : Y Z jsou vzájemně jednoznačná zobrazení. Pak je také G F : X Z vzájemně jednoznačné a G F 1 = F 1 G 1. Důkaz: Podle věty 7 je složené zobrazení G F vzájemně jednoznačné. Proto k tomuto zobrazení existuje jediné inverzní zobrazení G F 1. Protože platí je G F 1 = F 1 G 1. G F F 1 G 1 = G F F 1 G 1 = G id Y G 1 = G G 1 = id Z F 1 G 1 G F = F 1 G 1 G F = F 1 id Y F = F 1 F = id X, V různých oborech matematiky se zkoumají množiny s určitými vlastnostmi a zobrazení mezi těmito množinami, které mají také jisté vlastnosti. V přednášce atematická analýza 1 se zkoumala zobrazení F : X Y, kde X a Y byly podmnožinami R, tj. funkce na R. V množině R jsou oproti obecné množině definovány algebraické operace sčítání a násobení a zejména okolí bodu x R. Právě okolí bodu nám dovoluje zavést na podmnožině funkcí na R takové operace jako limita funkce. Operace sčítání a násobení nám umožňují definovat pojmy jako derivace a integrál a vybudovat diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné. V přednášce atematická analýza 2 zobecníme diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné na zobrazení F : X Y, kde X R n a Y R k. 2

Přednáška 1 Prostor R n a některé jeho podmnožiny Prostor R n lze realizovat jako množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. jako množina je R n = R R R. Prvky R }{{} n budeme značit x. Tedy x = x 1, x 2,..., x n, kde xi R, i = n krát 1, 2,..., n. V prostoru R n se definují operace násobení reálným číslem a vztahem a operaci sčítání ax = a x 1, x 2,..., x n = ax1, ax 2,..., ax n x + y = x 1, x 2,..., x n + y1, y 2,..., y n = x1 + y 1, x 2 + y 2,..., x n + y n. S těmito operacemi je množina R n vektorový prostor nad tělesem reálných čísel. Abychom mohli mluvit o limitách v prostoru R n musíme zavést okolí bodů. To lze definovat pomocí vzdálenosti dvou bodů. Vzhledem k dalším aplikacím zavedeme vzdálenost obecně. Definice 1. Nechť je množina. Funkci ρ : R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: 1 pro každé x je ρx, x = 0; 2 pro každé x, y, x y, je ρx, y = ρy, x > 0; 3 pro každé x, y, z platí ρx, z ρx, y + ρy, z. nožinu, na které je definována metrika, nazýváme metrický prostor. Pokud budeme chtít zdůraznit, že je metrický prostor s metrikou ρ, budeme psát, ρ. Pomocí metriky definujeme v metrickém prostoru okolí bodů. Definice 2. Nechť je, ρ metrický prostor a x 0. Pro každé ε > 0 nazýváme množinu všech x, pro která je ρ x, x 0 < ε okolím bodu x0 přesněji otevřeným ε ovým okolím bodu x 0. ε ové okolí bodu x 0 budeme značit U ε x0. nožinu všech bodů x, pro která je 0 < ρ x, x 0 < ε nazýváme prstencové okolí bodu x0 a budeme jej značit P ε x0. Zřejmě platí P ε x0 = Uε x0 \ { x0 }. Příklad 1. Nechť je libovolná neprázdná množina. Definujme funkci ρ : R předpisem ρx, y = { 0 pro x = y 1 pro x y. Snadno se ukáže, že ρ je metrika na. Pro ε > 1 a x 0 je U ε x 0 = a P ε x 0 = \ {x 0 }. Pro ε 1 a každé x 0 je U ε x 0 = x 0, tedy jednobodová množina obsahující pouze bod x 0 a P ε x 0 =. Takto definovaná metrika se nazývá diskrétní. Definice 3. Nechť, ρ je metrický prostor a X. Bod x X nazveme vnitřní bod množiny X právě tehdy, když existuje okolí U ε x takové, že U ε x X. nožinu všech vnitřních bodů množiny X nazýváme vnitřkem množiny a značíme X. Definice 4. Nechť, ρ je metrický prostor. nožina X se nazývá otevřená právě tehdy, je-li každý bod x X vnitřním bodem množiny X, tj. právě tehdy, když X = X. Definice 5. Nechť, ρ a, σ jsou metrické prostory. Jestliže existují reálná čísla a a b, 0 < a b taková, že pro každé x, y platí aρx, y σx, y bρx, y nazveme metriky ρ a σ ekvivalentní. 3

Věta 1. Nechť jsou, ρ a, σ metrické prostory s ekvivalentními metrikami ρ a σ. nožina X je otevřená v metrice ρ právě tehdy, když je otevřená v metrice σ. Důkaz: Nechť je X otevřená množina v metrice ρ a x X. Pak existuje ε > 0 takové, že každé y, pro které platí ρx, y < ε, je prvkem X. Z nerovnosti σx, y bρx, y plyne, že každý bod y, pro který je σx, y < bε patří do množiny X. Tedy x je vnitřní bod množiny X v metrice σ. Podobně je-li v metrice σ okolí bodu x X s poloměrem ε podmnožinou X, stačí zvolit v metrice ρ okolí s poloměrem ε/a. Věta 2. Nechť je, ρ metrický prostor. Pak jsou a otevřené množiny. Jestliže jsou X α, a A, kde A je množina, otevřené množiny, je množina množina. Jestliže jsou X i, kde i = 1, 2,..., N, otevřené množiny, je množina a A N X i otevřená. X a otevřená Důkaz: Protože neobsahuje žádný bod, je každý její bod jejím vnitřním bodem ukažte, že neplatí opačné tvrzení, a tedy prázdná množina je otevřená. Protože pro každé x a libovolné ε > 0 je U εx, je množina otevřená. Nechť je x X a. Pak existuje index a A takový, že x X a. Protože je množina X a otevřená, existuje pro a A každé x X a okolí U εx X a. Tedy U εx X a. Nechť x a A N X i. Pak je pro každé i = 1,..., N bod x X i. Protože jsou množiny X i otevřené, existují okolí U εi x X i. Jestliže zvolíme ε = min ε 1,... ε N N U ε x X i. > 0 pro každé i = 1,..., N okolí U ε x U εi x X i, a tedy také Věta 3. Vnitřek množiny X je největší otevřená podmnožina X, tj. jestliže je Y X otevřená množina, pak Y X. X je sjednocení všech otevřených podmnožin Y množiny X. Důkaz: Nechť je Y X otevřená množina. Pak je každý bod x Y vnitřní bod množiny X, a tedy x X. Druhé tvrzení plyne z toho, že sjednocení libovolné množiny otevřených množin je otevřená množina. Definice 6. Nechť je, ρ metrický prostor a X. Bod x nazýváme hromadný bod množiny X právě tehdy, když každé prstencové okolí P ε x obsahuje alespoň jeden bod množiny X. nožinu všech hromadných bodů množiny X budeme značit der X. Poznámka: Je-li x hromadný bod množiny X, pak každé okolí bodu x obsahuje nekonečně mnoho bodů množiny X. Definice 7. Nechť, ρ je metrický prostor a X. Pak množinu X = X der X nazýváme uzávěr množiny X. Definice 8. Podmnožina X metrického prostoru, ρ se nazývá uzavřená právě tehdy, když obsahuje všechny své hromadné body, tj. právě když X = X. Věta 4. Nechť, ρ je metrický prostor. 1 nožina X je uzavřená právě tehdy, když je \ X otevřená. 2 nožina X je otevřená právě tehdy, když je množina \ X uzavřená. Důkaz: Nechť je množina X uzavřená. Je-li x \ X, pak není prvkem der X. Tedy existuje prstencové okolí P ε x bodu x takové, že P εx X =. Tedy pro toto ε platí U εx \ X a tedy x je vnitřním bodem množiny \ X. Nechť je množina \ X otevřená a x der X. Pak pro každé prstencové okolí P εx je P εx X. Tedy protože je \ X otevřená množina, platí x / \ X, tj. x X. Tedy množina X obsahuje všechny své hromadné body. Tvrzení části 2 lze dokázat pomocí rovnosti X = \ \ X. Věta 5. Nechť je, ρ metrický prostor. Pak jsou množiny a uzavřené. Jestliže jsou X a, a A, kde A je libovolná množina, uzavřené množiny. Pak je množina X = X a uzavřená. a A 4

N Jestliže jsou X i, i = 1, 2,..., N, uzavřené množiny, je množina X = X i uzavřená. Důkaz: Stačí použít větu 2 a de organovy vzorce a A \ X a = \ X a, a A a A \ X a Věta 6. Nechť, ρ je metrický prostor a X. Pak platí: = \ X a. 1 X je nejmenší uzavřená množina, pro kterou je X X, tj. je-li X Y a Y je uzavřená, pak X Y. 2 X je průnik všech uzavřených množin Y takových, že X Y. Důkaz: Tuto větu lze dokázat stejně jako její analogii pro otevřené množiny Věta 3 nebo pomocí de organových vzorců. Definice 9. Nechť je, ρ metrický prostor a X. Hranicí množiny X nazýváme množinu X = X \ X. Bod x X se nazývá hraniční bod množiny X. Definice 10. Nechť je, ρ metrický prostor a X je neprázdná. Průměrem množiny X nazýváme číslo diax = sup x, y X ρx, y. Je-li X =, klademe diax = 0. nožina X se nazývá omezená, je-li diax <. Věta 7. Podmnožina X metrického prostoru, ρ je omezená právě tehdy, když existuje y a K R takové, že pro každé x X je ρy, x K. Důkaz: Nechť y. Pro každé x 1, x 2 X plyne z trojúhelníkové nerovnosti ρ x 1, x 2 ρ x 1, y + ρ y, x 2. Jestliže pro každé x X platí nerovnost ρx, y K, pak pro každé x 1, x 2 X platí nerovnost ρ x 1, x 2 2K. Z toho ale plyne, že diax = sup x 1, x 2 X ρ x 1, x 2 2K. Nechť je množina X omezená a y. Nechť je x 0 pevné. Pro každé x X plyne z trojúhelníkové nerovnosti vztah ρy, x ρ y, x 0 + ρ x 0, x K, kde K = ρ y, x 0 + diax. Definice 11. Nechť je, ρ metrický prostor. nožina X se nazývá nesouvislá právě tehdy, když existují podmnožiny A, B X takové, že X = A B a A B = A B =. nožina X se nazývá souvislá pravě tehdy, když není nesouvislá. Definice 12. Vzdáleností dvou neprázdných podmnožin X a Y metrického prostoru, ρ nazýváme číslo distx, Y = inf ρx, y. x X y Y a A Prostor R n není pouze množina uspořádaných n tic reálných čísel, ale, jak jsem se zmínil na začátku, má také strukturu vektorového prostoru. Ve vektorových prostorech lze definovat jistou metriku pomocí pojmu norma vektoru, což je v podstatě vzdálenost bodu x od počátku. Definice 13. Nechť je V vektorový prostor nad tělesem R. Zobrazení ν : V R, pro které platí: 1 νx 0 2 νx = 0 = x = 0 3 νax = a νx 4 νx + y νx + νy se nazývá norma. Vektorový prostor V, na kterém je definována norma se nazývá normovaný prostor. Jestliže chceme zdůraznit, že V je normovaný prostor s normou ν, budeme psát V, ν. 5

Věta 8. Je-li V, ν normovaný prostor, je V, ρ, kde ρx, y = νx y, metrický prostor. Důkaz: Protože ν0 = 0, je ρx, x = νx x = ν0 = 0. Jestliže x y jsou libovolné dva prvky V, pak ρx, y = νx y = νy x = ρy, x 0. Pro každé tři prvky x, y, z V platí Tedy ρ je metrika. ρx, z = νx z = ν x y + y z νx y + νy z = ρx, y + ρy, z. Definice 14. Dvě normy ν 1 a ν 2 vektorového prostoru V se nazývají ekvivalentní, jestliže existují a, b R, 0 < a b, takové, že aν 1 x ν 2 x bν 1 x. Poznámka: Je zřejmé, že metriky ρ 1 a ρ 2 generované ekvivalentními normami ν 1 a ν 2 jsou ekvivalentní. Příklad 2. Lze ukázat, že pro každé p 1 je 1/p p ν p x = x i norma v prostoru R n a že tyto normy jsou ekvivalentní. Pro nás budou důležité normy ν 1, ν 2 a ν max = lim νp. Pro tyto normy platí p ν 1 x = x i, 1/2 2 ν 2 x = x i, ν max x = max x 1, x 2,..., x n. Ukážeme, že všechny tyto normy jsou navzájem ekvivalentní. Z nerovností ν maxx = max x 1, x 2,..., x n x i = ν 1 x n max x 1, x 2,..., x n = nν maxx plyne, že normy ν 1 a ν max jsou ekvivalentní. Ekvivalence norem ν max a ν 2 plyne z nerovností ν maxx = max x 1, x 2,..., x n 1/2 2 x i = ν 2 x n max x 1, x 2,..., x n = nν maxx. Z nerovností a 2 + b 2 a + b 2 a 2ab a 2 + b 2, které platí pro a, b > 0 plyne, že ν 2 2 x = x 2 i n 2 x i = ν1 2 x n x 2 i = nν 2x. Tedy platí nerovnost ν 2 x ν 1 x nν 2 x. Obecně lze ukázat, že v R n jsou vzájemně ekvivalentní všechny normy ν px, kde p 1. Dále budeme prostor R n považovat za metrický prostor s metrikou generovanou jednou z ekvivalentních norem ν 1, ν 2 nebo ν max. Příklad 3. Nechť je R a B je vektorový prostor všech funkcí omezených na. Ve vektorovém prostoru B lze zavést normu ν vztahem νf = sup x fx. V prostoru R n je norma ν 2 z příkladu 2 definována pomocí operace, která se nazývá skalární součin. Definice 15. Nechť je V vektorový prostor nad tělesem R. Pak funkci, : V V R, která má pro každé x, y, z V a a, b R vlastnosti: 1 ax + by, z = ax, z + by, z, 2 x, y = y, x, 3 x, x 0, 4 x, x = 0 x = 0 nazýváme skalární součin. Často se značí x, x = x 2. Příklad 4. Ve vektorovém prostoru R n definujeme skalární součin vztahem x, y = 6 x i y i.

Věta 9. Schwarzova nerovnost Jestliže je V vektorový prostor se skalárním součinem, pak pro každé x, y V platí nerovnost x, y 2 x 2 y 2. Přitom rovnost platí pouze tehdy, když x a y jsou lineárně závislé. Důkaz: Je-li y = 0, platí znak rovnosti. Nechť y 0. Pro každé λ R platí 0 x λy, x λy = x 2 2λx, y + λ 2 y 2. Přitom rovnost platí pouze tehdy, když x λy = 0, tj. když jsou jsou x a y lineárně závislé. Zvolme λ = z uvedené nerovnosti dostaneme 0 x 2 2 x, y2 x, y2 + y 2 y 2 = x 2 x, y2 y 2, x, y y 2. Pak z čehož plyne dokazovaná nerovnost. x, y Poznámka: Ze Schwarzovy nerovnosti plyne pro x, y = 0, že 1 x y 1. Proto lze psát x, y x y = cos ϕ, kde ϕ je úhel mezi vektory x a y. V případě R n je tedy úhel mezi dvěma nenulovými vektory x a y dán vztahem cos ϕ = x i y i 1/2 x 2 i yk 2. Věta 10. Jestliže je V vektorový prostor se skalárním součinem, je V normovaný prostor s normou definovanou vztahem νx = x, x = x. Důkaz: Ověření vlastností normy je zřejmé. Snad až na nerovnost x + y x + y. Ta plyne ze Schwarzovy nerovnosti, neboť x + y 2 = x + y, x + y = x 2 + 2x, y + y 2 x 2 + 2 x y + y 2 = x + y] 2. Definice 16. Nechť je V vektorový prostor a x, y V. nožina všech bodů z = x + y xt, t 0, 1 se nazývá úsečka z bodu x do bodu y. Bod x je počáteční bod a y koncový bod této úsečky. Definice 17. Podmnožina vektorového prostoru V se nazývá konvexní, jestliže pro každé dva body x, y leží celá úsečka z bodu x do bodu y v množině, tj. pro každé t 0, 1 je x + y xt. Definice 18. Podmnožina R n s metrikou generovanou normou ν p se nazývá kompaktní, jestliže je omezená a uzavřená. Poznámka: Význam kompaktních množin pro matematickou analýzu bude zřejmý, až zavedeme pojem limity posloupnosti. 7

Přednáška 2 Posloupnosti v metrických prostorech Definice 1. Posloupností v metrickém prostoru nazýváme každé zobrazení f : N. Pro posloupnosti bývá zvykem psát fn = x n. Definice 2. Posloupnost x n v metrickém prostoru, ρ se nazývá omezená právě tehdy, když je omezená množina {x n ; n N}, tj. když existuje x a K R takové, že pro každé n N je ρx, x n < K. Věta 1. Jsou-li metriky ρ 1 a ρ 2 ekvivalentní, je posloupnost x n omezená v metrice ρ 1 právě tehdy, když je omezená v metrice ρ 2. Důkaz: Tvrzení je zřejmé z definice ekvivalentních metrik. Definice 3. Nechť je x n posloupnost a k 1 < k 2 < k n..., k i N. Pak posloupnost y n = x kn nazýváme vybranou posloupností z posloupnosti x n. 2n 1 Příklad 1. Příkladem posloupnosti v R 4 1 je posloupnost x n = 2, n + 1, n + 3, sin n. Tato posloupnost n + 1 je omezená, protože například pro metriku generovanou normou ν max je ρx n, 0 = ν max0 x n < 100. 4n 1 1 Posloupnost y n = x 2n = 2, 2n + 1, 2n + 3, sin 2n je vybraná posloupnost z posloupnosti x n. 2n + 1 Příkladem neomezené posloupnosti v R 4 je třeba posloupnost z n = cos nπ, 5, 1 n n, n 2 + 3n + 1. Definice 4. Nechť je x n posloupnost v metrickém prostoru, ρ. Prvek x se nazývá limitou posloupnosti x n právě tehdy, když lim ρx, x n = 0, tj. když ke každému ε > 0 existuje n 0 N takové, že pro každé n N, n > n 0 je ρx, x n < ε. Jestliže je x limitou posloupnosti x n, píšeme lim x n = x a říkáme, že posloupnost x n konverguje k prvku x. Posloupnosti x n, které mají limitu se nazývají konvergentní a posloupnosti, jejichž limita neexistuje nazýváme divergentní posloupnosti. Věta 2. Každá posloupnost v metrickém prostoru, ρ má nejvýše jednu limitu. Důkaz: Nechť má posloupnost x n v metrickém prostoru dvě limity x y. Pak ε = 1 ρx, y > 0. K tomuto ε 3 existují n 0,x a n 0,y takové, že pro každé n > n 0,x je ρx, x n < ε a pro každé n > n 0,y je ρy, x n < ε. Nechť n 0 = max n 0,x, n 0,y. Tedy pro každé n > n 0 platí nerovnost ρx, y ρx, x n + ρy, x n < ε + ε = 2 ρx, y. 3 To je ale spor s tím, že ρx, y > 0. Tedy ρx, y = 0 a x = y. Věta 3. Každá konvergentní posloupnost je omezená. Důkaz: Nechť je lim xn = x. Pro ε = 1 existuje n 0 takové, že pro každé n > n 0 platí nerovnost ρx, x n < 1. Pro K = max 1, ρx, x 1, ρx, x 2,..., ρx, x n0 je splněna nerovnost ρx, x n K pro každé n N. Věta 4. Jestliže je posloupnost y n vybrána z konvergentní posloupnosti x n, je konvergentní a lim y n = lim x n. Důkaz: Protože lim x n = x, existuje ke každému ε > 0 číslo n 0 takové, že pro každé n > n 0 je ρx, x n < ε. Protože je y n vybraná posloupnost z posloupnosti x n, je y n = x m, kde m n. Proto stačí k danému ε > 0 zvolit ve vybrané posloupnosti y n stejné číslo n 0. Věta 5. Nechť jsou ρ 1 a ρ 2 dvě ekvivalentní metriky v metrickém prostoru. Pak posloupnost x n konverguje k x v metrice ρ 1 právě tehdy, když konverguje k x v metrice ρ 2. Důkaz: Plyne bezprostředně z definice ekvivalentních metrik. 8

Věta 6. Nechť je x n = x 1,n, x 2,n,..., x k,n posloupnost v prostoru R k. Pak lim x n = x = x 1, x 2,..., x k právě tehdy, když pro každou složku je lim x i,n = x i, i = 1, 2,..., k. k Důkaz: Nechť lim x n = x. Pak ke každému ε > 0 existuje n 0 takové, že pro každé n > n 0 je x k,n x k < ε. Ale k z toho plyne, že pro n > n 0 a každé i = 1, 2,..., k je x i,n x i x i,n x i < ε. Tedy pro každé i = 1, 2,..., k je lim x i,n = x i. Naopak jestliže pro každé i = 1, 2,..., k je lim x i,n = x i existují pro ε k přirozená čísla n 0,i taková, že pro každé n i > n 0,i je x i,ni x i < ε k k. Ale pak pro n 0 = max n 0,1, n 0,2,..., n 0,k je x i,n x i < k ε k = ε. Příklad 2. lim n 2 + n + 1 3n 2 + 2n + 3, n + 3 n + 1 2n 3, 2 π arctg n n = 1 3, e4, e 2/π. Příklad 3. Posloupnost x n = x n pro x 0, 1 nekonverguje u prostoru B 0, 1 k nule, přestože pro každé x 0, 1 je lim xn = 0. Pro každé n N je totiž sup x n = 1. Proto pro ε < 1 neexistuje n 0 takové, aby pro každé n > n 0 x 0,1 bylo ρx n, 0 < ε. V matematické analýze hraje konvergence v prostoru B, kde je množina, velmi důležitou roli. Konvergence v tomto prostoru se nazývá stejnoměrná konvergence na rozdíl od tak zvané bodové konvergence. Proto budu přesněji definovat tyto dva pojmy nejprve na prostoru omezených funkcí na množině R. Definice 5. Nechť je f n x posloupnost omezených funkcí na množině R. Řekneme, že posloupnost f n x konverguje bodově k funkci fx, jestliže pro každé ε > 0 a pro každé x existuje n 0 x takové, že pro každé n > n 0 x je f n x fx < ε. Bodovou konvergenci posloupnosti funkci f n x k funkci fx budeme značit f n x fx. Definice 6. Nechť je f n x posloupnost omezených funkcí na množině R. Řekneme, že posloupnost f n x konverguje stejnoměrně k funkci fx, jestliže pro každé ε > 0 existuje n 0 N takové, že pro každé x a pro každé n > n 0 je f n x fx < ε. Stejnoměrnou konvergenci posloupnosti funkcí f n x k funkci fx budeme značit f n x fx. Poznámka: Rozdíl mezi bodovou a stejnoměrnou konvergencí spočívá v tom, že při bodové konvergenci může být n 0 závislé na x, kdežto při stejnoměrné konvergenci je toto n 0 pro všechna x stejné. Zapíšeme bodovou a stejnoměrnou konvergenci symbolicky ε > 0 x n 0 N ; n > n 0 = fx f n x < ε lim f nx = fx bodově ε > 0 n 0 N ; x, n > n 0 = fx f n x < ε lim f nx = fx stejnoměrně Z tohoto zápisu je zřejmé, že pokud posloupnost funkcí f nx konverguje k funkci fx stejnoměrně, konverguje k ní také bodově. Ale opak není pravda. Právě stejnoměrná konvergence je konvergence v prostoru B. Příklad 4. Na intervalu 0, 1 uvažujme posloupnost f nx = x n. Nechť ε > 0. Nechť je 0 < ε < 1. Hledejme n 0 tak, aby pro každé x 0, 1 platila nerovnost x n 0 < ε. Pak je n 0 > ln ε. Ale protože ln x lim ln ε = +, není možné x 1 ln x zvolit n 0 nezávisle na x. n 0 je vlastně neomezenou funkcí x 0, 1. Proto posloupnost funkcí f n x = x n konverguje sice bodově k funkci fx = 0, ale nekonverguje k této funkci stejnoměrně, tj. v prostoru B 0, 1. Věta 7. Cauchy Bolzanova podmínka konvergence Nechť je posloupnost x n v metrickém prostoru konvergentní. Pak ke každému ε > 0 existuje n 0 takové, že pro každé m, n > n 0 platí nerovnost ρx m, x n < ε. Důkaz: Nechť posloupnost x n konverguje k x a ε > 0. Pak k ε 2 existuje n 0 takové, že pro každé m, n > n 0 je ρx, x m < ε 2 a ρx, x n < ε 2. Z trojúhelníkové nerovnosti plyne, že pro každé m, n > n 0 platí ρx m, x n ρx m, x + ρx, x n < ε 2 + ε 2 = ε. Definice 7. Posloupnost x n v metrickém prostoru se nazývá Cauchyovská právě tehdy, když splňuje Cauchy Bolzanovu podmínku: Ke každému ε > 0 existuje n 0 takové, že pro všechna m, n > n 0 platí nerovnost ρx m, x n < ε. 9

Věta 7. říká, že každá konvergentní posloupnost je Cauchyovská. Opak není obecně pravda. Například v množině racionálních čísel Q nekonverguje každá Cauchyovská posloupnost k racionálnímu číslu. Proto se množina racionálních čísel Q rozšiřuje na množinu reálných čísel R, ve které už každá Cauchyovská posloupnost konvergentní. Definice 8. etrický prostor, ρ se nazývá úplný, má-li každá Cauchyovská posloupnost x n v limitu v. Příklad 5. Pro každé k je prostor R k je úplný. To plyne z toho, že když je posloupnost x n v R k Cauchyovská, jsou Cauchyovské všechny posloupnosti x k,n jejich složek. Úplnost pak plyne z úplnosti množiny reálných čísel. Příklad 6. Nechť je CX BX vektorový prostor omezených spojitých funkcí na množině X R se supremovou normou. Tento prostor je úplný. Důkaz: Nechť je f n x Cauchyovská posloupnost v prostoru CX. Pak je pro každé x X Cauchyovská posloupnost reálných čísel f n x. Z úplnosti množiny reálných čísel R plyne, že pro každé x X existuje lim f nx = fx; tj.že posloupnost funkcí f n x konverguje bodově k funkci fx. O této funkci fx dokážeme, že patří do prostoru CX, tj. že je omezená a spojitá, a že je limitou posloupnosti f nx v prostoru CX. Protože je posloupnost f n x Cauchyovská, existuje pro ε = 1 přirozené číslo n 0 takové, že pro všechna m, n > n 0 je sup f m x f n x < 1. Tedy pro každé x X je f m x f n x < 1. Když přejdeme v této posloupnosti k x X limitě m, získáme nerovnost fx f n x 1, která platí pro všechna n > n 0 a x X. Jestliže nyní zvolíme jedno pevné n > n 0, získáme pro každé x X nerovnost f n x 1 fx f n x + 1. Protože je funkce f n x omezená, plyne z této nerovnosti, že je omezená také funkce fx. K důkazu spojitosti funkce fx v bodě x X použijeme nerovnost fx fy = fx f nx + f nx f ny + f ny fy fx f nx + f nx f ny + fy f ny. Nechť je je ε > 0. Protože je f nx Cauchyovská v prostoru CX, existuje k 1 4 ε číslo n 0 takové, že pro všechna m, n > n 0 a všechna x X platí nerovnost f mx f nx < 1 ε. Pokud v této nerovnosti přejdeme k limitě m, 4 získáme nerovnost fx f n x 1 4 ε < 1 3 ε, která platí pro všechna n > n 0 a všechna x X. Zvolme pevně n > n 0. Protože je podle předpokladu funkce f n x spojitá v bodě x X, existuje k 1 ε číslo δ > 0 takové, že pro 3 všechna y X, pro která je x y < δ je f n x f n y < 1 ε. Z uvedené nerovnosti plyne, že pro námi zvolené δ, 3 n platí nerovnost a pro každé y X, pro které je x y < δ fx fy fx f n x + f n x f n y + fy f n y < ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε. Tedy funkce fx je spojitá v každém bodě x X, a proto spojitá na X. Nakonec ukážeme, že funkce fx je skutečně limitou posloupnosti f n x v prostoru CX se supremovou metrikou. Nechť ε > 0 je pevně dané libovolné. Pak existuje n 0 takové, že pro všechna m, n > n 0 a pro každé x X platí nerovnost f m x f n x < 1 2 ε. Když přejdeme k limitě m dostaneme pro n > n 0 a pro každé x X nerovnost fx f n x 1 2 ε. Tedy pro n > n 0 platí nerovnost ρ fx f nx = sup fx f nx ε x X 2 < ε. To je ale tvrzení, že lim ρ fx, f nx = 0, a tedy funkce fx je v prostoru CX se supremovou normou limitou posloupnosti f nx. Příklad 7. Nechť je C 0, 2 vektorový prostor všech omezených spojitých funkcí na intervalu 0, 2 s metrikou 2 generovanou normou νf = fx dx. Ukážeme, že tento prostor není úplný. Uvažujme posloupnost funkcí 0 { x n pro x 0, 1, f n x = 1 pro x 1, 2. Nechť je ε > 0 a n < m. Pak je 2 ρ f n, f m = ν f n f m = 0 1 f nx f mx dx = x n x m dx = 1 0 n + 1 1 m + 1 < 1 n + 1. Z toho plyne, že k danému 0 < ε < 1 existuje n 0 > 1 ε takové, že pro každé m a n > n 0 je ρ f n, f m < ε. pro ε ε 1 lze zvolit n 0 = 1. áme tedy Cauchyovskou posloupnost. Bodová limita posloupnosti funkcí f n x je funkce { 0 pro x 0, 1, fx = 1 pro x 1, 2. 10

Pak je 2 1 fx f n x dx = x n dx = 1 0 0 n + 1. Ale funkce fx není spojitá v bodě x = 1, a tedy není ani limitou posloupnosti funkcí f nx v uvažovaném prostoru. Poznámka: Ke každému metrickému prostoru lze sestrojit metrický prostor, který je úplný. Touto konstrukcí lze například množině racionálních čísel Q sestrojit množinu R reálných čísel. V případě vektorového prostoru CX, kde X R, s normou použitou v příkladu 7, dostaneme tzv. prostor L 1 X. Pro zavedení takových prostorů je ale třeba integrály chápat v Lebesqueově smyslu. Věta 8. Nechť je V normovaný vektorový prostor, lim x n = x a lim y n = y. Pak posloupnost x n + y n konverguje a platí lim xn + y n = x + y. Důkaz: Protože lim x n = x a lim y n = y, existují ke každému ε > 0 přirozená čísla n 0,x a n 0,y taková, že pro každé n > n 0,x je x x n < ε 2 a pro každé n > n 0,y je y y n < ε 2. Pak pro každé n > n 0 = max n 0,x, n 0,y platí nerovnost νx + y x n y n νx x n + νy y n < ε 2 + ε 2 = ε. Věta 9. Nechť je V normovaný vektorový prostor, lim x n = x a pro reálnou posloupnost a n platí lim a n = a R. Pak je posloupnost a n x n konvergentní a platí lim an x n = ax. Důkaz: Použijeme nerovnosti ν ax a nx n = ν a a nx + a nx x n a a n νx + a n νx x n. Protože je posloupnost a n konvergentní, je omezená. Existuje tedy K R takové, že pro všechna n N platí nerovnost a n < K. Pak ale je Tvrzení věty pak snadno plyne z této nerovnosti. ν ax a n x n a a n νx + Kν x x n. Věta 10. Nechť je V vektorový prostor se skalárním součinem, lim x n = x a lim y n = y. Pak je reálná posloupnost x n, y n konvergentní a lim xn, y n = x, y. Důkaz: Použijeme nerovnost x, y x n, y n = x x n, y + x n, y y n x x n, y + x n, y y n x x n y + x n y y n. Protože je posloupnost x n konvergentní, je omezená. Tj. existuje K R takové, že pro každé n N je x n < K. Pak ale platí nerovnost x, y x n, y n x x n y + x n y y n < y x x n + K y y n, ze které již snadno plyne dokazované tvrzení. Nyní uvedeme jednu větu o úplných metrických prostorech, která je mnohých případech užitečná při důkazu existence a jednoznačnosti řešení rovnic. Věta 11. věta o pevném bodě Nechť je úplný metrický prostor a zobrazení f : má následující vlastnost: Existuje K 0, 1 takové, že pro každé x, y platí nerovnost ρ fx, fy Kρx, y. Takové zobrazení se často nazývá kontrahující. Pak existuje právě jedno x takové, že x = fx. Důkaz: Nechť x 1 je libovolný prvek. Sestrojme posloupnost x 2 = fx 1, x 3 = fx 2,..., x n+1 = fx n,.... Jestliže tato posloupnost konverguje k x je toto x řešením rovnice x = fx. To plyne limitním přechodem ve vztahu x n+1 = fx n. Jsou-li x = fx a y = fy, pak dostaneme ρx, y = ρ fx, fy Kρx, y. Protože K 0, 1, plyne z toho, že ρx, y = 0, a tedy x = y. To dokazuje jednoznačnost. usíme tedy dokázat, že za daných předpokladů je posloupnost x n konvergentní. Indukcí lze snadno dokázat, že platí nerovnost ρ x n+1, x n = ρ fx n, fx n 1 Kρx n, x n 1 K n 1 ρx 2, x 1. Tedy pro m > n plyne z trojúhelníkové nerovnosti předchozího vztahu nerovnost m 1 m 1 ρx m, x n ρ x r+1, x r K r 1 ρx 2, x 1 K r 1 ρx 2, x 1 = Kn 1 1 K ρx 2, x 1. r=n r=n r=n Protože K 0, 1 lze pro dané ε > 0 najít n 0 tak, aby pro každé m > n > n 0 platila nerovnost ρx m, x n < ε. Tedy posloupnost x n je Cauchyovská. Z úplnosti metrického prostoru pak plyne existence limity lim xn = x. Na závěr se ještě zmíníme o dvou velmi důležitých vlastnostech kompaktních, tj. omezených uzavřených, množin v R k. 11

Věta 12. Podmnožina X R k je kompaktní právě tehdy, když z každé posloupnosti x n X lze vybrat konvergentní podposloupnost y n, která je v X konvergentní. Důkaz: V tomto důkazu budeme používat metriku generovanou normou ν max. Nechť je množina X kompaktní, tj. omezená uzavřená. Protože je X omezená, existuje L R takové, že pro každé x X je x i L, i = 1, 2,..., k. Tedy množina X leží uvnitř krychle se středem v počátku a stranou rovnou 2L. Označme tuto krychli K 0. Rozřežme krychli K 0 rovinami rovnoběžnými se stěnami na 2 k shodných uzavřených krychlí se stranami L. Alespoň jedna z těchto krychlí obsahuje nekonečně mnoho bodů posloupnosti x n. Vyberme jednu z těchto krychlí a označme ji K 1. Z bodů posloupnosti, které leží v krychli K 1 vybereme jeden bod y 1 = x n1. Krychli K 1 rozdělíme opět na 2 k shodných uzavřených krychlí se stranou 2 1 L. Alespoň jedna z nich obsahuje nekonečně mnoho bodů posloupnosti x n. Vybereme jednu z těchto krychlí a označíme ji K 2. Je zřejmé, že K 2 K 1. V uzavřené krychli K 2 vybereme bod y 2 = x n2, kde n 2 > n 1. Jestliže jsme již vybrali uzavřené krychle K 1 K 2 K r se stranami L, 2 1 L,..., 2 r+1 a body y 1 = x n1, y 2 = x n2,..., y r = x nr, n 1 < n 2 < < n r, takové, že y i K i, i = 1, 2,..., r, vybereme y r+1 takto: Krychli K r rozdělíme na 2 k shodných uzavřených krychlí se stranou 2 r L. Alespoň jedna z těchto krychlí obsahuje nekonečně mnoho bodů posloupnosti x n. Vyberme jednu z těchto krychlí a označme ji K r+1. V krychli K r+1 vyberme bod y r+1 = x nr+1, kde n r+1 > n r. Takto získáme posloupnost y n vybranou z posloupnosti x n. Ukážeme, že tato vybraná posloupnost je Cauchyovská. Protože je prostor R k úplný, plyne z toho konvergence posloupnosti y n. Nechť je dáno ε > 0. Zvolme n 0 tak, aby 2 n 0 < ε. Protože všechny body posloupnosti y n, n > n 0 leží v uzavřené krychli K n0 +1, jejíž strana je 2 n 0, pro každé m, n > n 0 platí ρx m, x n 2 n 0 < ε. Nechť množina X není kompaktní, tj. není omezená nebo není uzavřená. Jestliže není množina X omezená existuje ke každému n N prvek x n takový, že ρ 0, x n = x n > n. Tedy posloupnost x n není omezená. Je-li y n podposloupnost vybraná z posloupnosti x n, platí y n > n. Tedy jakákoliv podposloupnost vybraná z posloupnosti x n není omezená a podle věty 6 ani konvergentní. Jestliže množina X není uzavřená, existuje x R k, který je hromadným bodem množiny X, ale není prvkem X. Protože x je hromadný bod množiny X existuje posloupnost x n X taková, že lim x n = x / X. Tedy podle věty 2 každá podposloupnost y n vybraná z posloupnosti x n konverguje k x / X. Poznámka: V obecných metrických prostorech slouží vlastnost kompaktních množin popsaná ve větě 12 k jejich definici: Podmnožina X metrického prostoru se nazývá kompaktní pravě tehdy, když z každé posloupnosti v X lze vybrat podposloupnost, která je v X konvergentní. Abychom mohli formulovat další velmi důležitou vlastnost kompaktních množin, budeme nejprve definovat pojem otevřené pokrytí množiny X, kde, ρ je metrický prostor. Definice 9. Nechť je X podmnožina metrického prostoru, ρ a A je libovolná množina. Systém otevřených množin U α, kde α A, takový, že X U α, nazýváme otevřené pokrytí množiny X. Věta 13. Podmnožina X R k je kompaktní právě tehdy, když z každého otevřeného pokrytí U i, n i N, množiny X lze vybrat její konečné pokrytí, tj. existuje n N takové, že X U i. Důkaz: Nechť je X R k kompaktní množina, tj. pro každou posloupnost x n X existuje vybraná podposloupnost y n taková, že lim y n = x X, a U i, i N, jsou otevřené množiny takové, že X U i. Předpokládejme, že n pro každé n N existuje x X \ U i = X n. Tedy pro každé n N existuje x n X n. Protože je množina X uzavřená a množiny U i otevřené, je každá z množin X n uzavřená. Navíc platí X n+1 X n. Z posloupnosti x n vybereme podposloupnost y n = x in, která konverguje v X. Tedy existuje lim y n = x X. Ale pak je x X in. n=1 Kdyby tomu totiž tak nebylo, existovalo by N N takové, že x / X in, a tedy x / X n pro každé n > i N. Tedy x je vnitřní bod otevřené množiny X \ X in. Proto existuje ε > 0 takové, že pro okolí U εx platí U εx X in =. Tedy pro každé n > N je U εx X in U εx X in =. Ale to je ve sporu s tím, že x = lim y n. Tedy existuje n=1 n=1 Ale to je spor s tím, že U n, n N je pokrytí množiny X. α A x X n = X \ U n = X \ U n. Naopak nechť pro každé otevřené pokrytí U k, k N, množiny X existuje n N takové, že X n=1 n U k a x n je posloupnost v X. Dokážeme, že posloupnost x n má v X alespoň jeden hromadná bod. Označme X n = x i ; i n. nožiny X n jsou uzavřené a X n+1 X n. Je zřejmé, že každý prvek x Y = X n je hromadný bod posloupnosti 12 n=1

x n. Nechť je množina Y prázdná. Pak platí X X \ Y = U i, kde U i = X \ X i jsou otevřené množiny. Tedy U i je otevřené pokrytí množiny X. Podle předpokladů existuje n N takové, že n n n n X = U i = X \ X i = X \ X i = X i =. Tedy existuje n N takové, že množina X n =. Ale to je spor s definicí množiny X n. Tedy množina Y je neprázdná a posloupnost x n má hromadné body. Z toho plyne, že z každé posloupnosti x n X lze vybrat podposloupnost y n, která konverguje v X, neboli X je kompaktní. Poznámka: Pro kompaktní množiny platí obecnější věta než uvedená věta 13: Věta 13a. nožina X je kompaktní právě tehdy, když z každého otevřeného pokrytí U α, α A, množiny X lze n vybrat konečné pokrytí, tj. když existuje n N a α 1, α 2,..., α n A takové, že X U αi. V diferenciálním počtu zkoumáme pomocí derivací lokální vlastnosti funkcí, tj. vlastnosti v nějakém otevřeném okolí bodu x. Ale většinou nás více zajímají globální vlastnosti funkce, tj. vlastnosti funkce na jisté množině X. Je-li množina X R k kompaktní a funkce má určitou vlastnost v nějakém okolí Ux každého bodu x X, pokrývají otevřené množiny Ux množinu X. Z věty 13a plyne, že existuje konečný počet takových okolí, který pokrývá celou množinu X. Tímto způsobem lze pro kompaktní množiny často přejít od lokálních vlastností funkce ke globálním vlastnostem na kompaktní množině. 13

Přednáška 3 Limita a spojitost funkce Definice 1. Nechť f : X Y je zobrazení metrického prostoru X, ρ do metrického prostoru Y, σ. Nechť a je hromadný bod X. Řekneme, že A Y je limitou zobrazení f a bodě a, jestliže ke každému ε > 0 existuje δ > 0 takové, že pro každé x X, ρa, x < δ, x a, je σ A, fx < ε. Definice 2. Nechť f : X Y je zobrazení metrického prostoru X, ρ do metrického prostoru Y, σ a X. Řekneme, že funkce fx má v bodě a, který je hromadný bod množiny limitu A vzhledem k množině právě tehdy, když má funkce f = f v bodě a limitu A. Pak píšeme lim fx = A. x a x Věta 1. Nechť je f : X Y zobrazení metrického prostoru X do metrického prostoru Y. Pak je lim fx = A právě tehdy, když pro každou posloupnost x n X, x n a, a lim x n = a, je x a lim fx n = A. Důkaz: Nechť je lim fx = A. Pak ke každému ε > 0 existuje δ > 0 takové, že pro každé x X, pro které je x a 0 < ρa, x < δ, je σ A, fx < ε. Jestliže je x n, x n a, posloupnost v X, která konverguje k a, existuje pro δ > 0 přirozené číslo n 0 takové, že pro každé n > n 0 je 0 < ρ a, x n < δ. Pak ale pro každé n > n 0 platí nerovnost σ A, fx n < ε, a tedy lim f xn = A. Opačné tvrzení dokážeme nepřímo. Nechť a je hromadný bod množiny X a limita lim fx A. To znamená, x a že existuje ε > 0 takové, že pro každé δ > 0 existuje x X P δ a takové, že σ A, fx > ε. Ke každému n N vybereme x n X P 1/n a, které má tuto vlastnost. Pak je x n posloupnost, pro kterou je x n a, lim f x n A. lim x n = a, ale Věta 2. Zobrazení f metrického prostoru X do metrického prostoru Y má v bodě a nejvýše jednu limitu. Důkaz: Tvrzení se dokáže standardním způsobem, a proto jej nechávám jako cvičení. Věta 3. Cauchy Bolzanova podmínka Jestliže limita zobrazení f metrického prostoru X do metrického prostoru Y v bodě a existuje, pak ke každému ε > 0 existuje δ > 0 takové, že pro každé x, y X P δ a je σ fx, fy < ε. Důkaz: Nechť lim x a fx = A. Pak pro každé ε > 0 existuje δ > 0 takové, že pro každé x P δ a je σ fx, A < ε 2. Nechť x, y X P δ a. Pak z trojúhelníkové nerovnosti plyne, že σfx, fy σ A, fx + σ A, fy < ε. Věta 4. Jestliže je metrický prostor Y úplný, pak limita zobrazení f : X Y v bodě a existuje právě tehdy, je-li splněna Cauchy Bolzanova podmínka. Důkaz: Nechť je x n libovolná posloupnost v X, x n a a lim xn = a. Nechť je ε > 0. Protože je splněna Cauchy Bolzanova podmínka, existuje ke každému ε > 0 δ > 0 takové, že pro každé x, y X P δ a je σ fx, fy < ε. Protože lim x n = a, existuje n 0 takové, že pro každé n > n 0 je x n X P δ a. Proto je posloupnost f x n Cauchyovská a existence limity posloupnosti f x n plyne z úplnosti metrického prostoru Y, σ. Tvrzení pak plyne z věty 1. Věta 5. Nechť jsou X, ρ, Y, σ a Z, τ metrické prostory. Nechť jsou f : X Y a g : Y Z zobrazení, lim fx = A a lim gy = B. Dále nechť existuje prstencové okolí P δ0 a takové, že pro x a y A každé x X P δ0 a je fx A. Pak platí lim g f x = lim gy = B. x a y A Důkaz: Protože lim gy = B, ke každému ε > 0 existuje η > 0 takové, že pro každé y Y, pro které je 0 < σy, A < y A η, platí τ gy, b < ε. Protože lim fx = A, existuje k η > 0 δ 1 takové, že pro každé x X, 0 < ρx, a < δ 1 je x a σ fx, A < η. Ale podle předpokladu platí pro δ = min δ 0, δ 1 a x X, 0 < ρx, a < δ nerovnost 0 < σ fx, A < η. Tedy pro každé takové x platí nerovnost τ g fx, A < ε. 14

Věta 6. Nechť jsou fx zobrazení a gx zobrazení metrického prostoru X do normovaného vektorového prostoru V. Nechť existují limity lim fx = A a lim gx = B. Pak existuje také x a x a f + g x = A + B. lim x a Důkaz: Nechť ε > 0. Pak existují δ f > 0 a δ g > 0 takové, že pro každé x X, pro které je 0 < ρa, x < δ x, resp. 0 < ρa, x < δ y, platí nerovnost ν fx A < ε 2, resp. ν gx B < ε 2. Když zvolíme δ = min δ x, δ y > 0, dostaneme pro každé x X, pro které je 0 < ρx, a < δ nerovnost ν fx + gx A B ν fx A + ν gx B < ε. Věta 7. Nechť je fx zobrazení metrického prostoru X do normovaného vektorového prostoru V a αx je zobrazení metrického prostoru X do R. Nechť existují lim fx = A V a lim αx = α R. x a x a Pak existuje také lim αxfx = αa. x a Důkaz: Plyne z nerovnosti ν αxfx αa = ν αx fx A + αx α A αx ν fx A + αx α νa. Protože existuje limita lim αx = α x a R je funkce αx v jistém okolí bodu a omezená. Z toho se již snadno dokáže uvedené tvrzení. Poznámka: Všechny uvedené věty platí po příslušných modifikacích také pro limitu vzhledem k množině. V dalším omezíme na metrické prostory R n a zobrazení f : X Y, kde X R n a Y R k. Každé takové zobrazení je dáno předpisem fx = f x 1, x 2,..., x n = f1 x, f 2 x,..., f k x, kde f i : X R, i = 1, 2,..., k, jsou reálné funkce n proměnných, tj. f i x1, x 2,..., x n. Protože R k je úplný normovaný prostor, platí pro limity zobrazení f : R n R k všechny výše uvedené věty. Věta 8. Nechť je f : X R k, kde X R n. Pak je lim fx = A právě tehdy, když pro každé x a i = 1, 2,..., k je lim f ix = A i. x a Důkaz: je podobný jako důkaz podobné věty pro posloupnosti. Proto jej na tomto místě nebudeme opakovat. Poznámka: Z věty 8 ihned plyne, že se stačí zabývat limitou funkcí více proměnných, tj. limitou funkce f : X R. Věta 9. Nechť jsou f a g funkce n proměnných, lim fx = A a lim gx = B. Pak platí lim x a x a gx = AB a je-li B 0 také lim x a x gx = A B. Důkaz: je analogií důkazu pro reálné funkce jedné reálné proměnné. x a fx Definice 3. Nechť je f : X R, kde X R n, je funkce n proměnných a a je hromadný bod množiny X. Řekneme, že funkce fx má v bodě a limitu plus nekonečno, resp. limitu mínus nekonečno, jestliže ke každému K R existuje prstencové okolí P δ a takové, že pro každé x X P δ a je fx > K, resp. fx < K. Pak píšeme lim x a Poznámka: Všechny typy limit lze definovat pomocí okolí bodu. Definice. nožina X se systémem A podmnožin X, pro které platí: 1 a X patří do systému A, 2 jestliže U α, α A, kde A je množina, patří do A, pak 3 jestliže U i, i = 1, 2,..., n patří do A, pak také α A n U i patří do A, fx = +, resp. lim x a U α patří do A, fx =. se nazývá topologický prostor. nožiny ze systému A se nazývají otevřené množiny. Okolí bodu a X se nazývá každá otevřená množina, která obsahuje a. y jsme definovali v metrických prostorech systém A otevřených množin pomocí pojmu vzdálenosti. Obecně se v topologických prostorech definuje limita následovně: 15

Definice. Nechť je f zobrazení topologického prostoru X do topologického prostoru Y a a je hromadný bod X. Bod A Y nazveme limitou zobrazení f v bodě a právě tehdy, když pro každé okolí UA Y existuje prstencové okolí P a = Ua \ {a} takové, že pro každé x X P a je fx UA. Pro limity funkcí více proměnných platí věty, které jsou podobné větám o limitách funkcí jedné proměnné. Také důkazy těchto vět jsou analogické důkazům pro limity funkcí jedné proměnné, a proto je většinou nebudeme uvádět. Věta 10. Nechť existuje prstencové okolí P a takové, že pro každé x X P a platí fx gx. Pak lim fx lim gx za předpokladu, že limity existují. x a x a Věta 11. Nechť existuje prstencové okolí P a takové, že pro každé x X P a platí nerovnost fx gx hx. Jestliže je lim fx = lim hx = A, pak existuje také lim gx = A. x a x a x a Věta 12. Jestliže je lim fx = 0 a existuje prstencové okolí P a takové, že je funkce gx v tomto x a okolí omezená, je lim fxgx = 0. x a Poznámka: Podle definice je lim fx = A R právě tehdy, když ke každému ε > 0 existuje δ > 0 takové, že pro x a každé x X, pro které je 0 < ρx, a < δ, platí nerovnost fx A < ε. Vezměme v prostoru R n metriku ρ 2, která je generována skalárním součinem, tj. ρx, y = n x i y i 2. Každé x R n, x a, lze zapsat právě jedním způsobem ve tvaru x = a + nr, kde n je jednotkový vektor s počátečním bodem a a koncovým bodem, x a r > 0. Pak je ρx, a = r. Pak lze přepsat výrok lim fx = A jako: Ke každému ε > 0 existuje δ > 0 takové, že pro každé x a r, 0 < r < δ a pro každý jednotkový vektor n platí frn A < ε. Tedy nejen že A nesmí záviset na jednotkovém vektoru n, ale také δ musíme vybrat nezávisle na n. Jedná se tedy o jistou stejnoměrnou konvergenci. To dělá výpočet limit neurčitých výrazů značně komplikovaný. Jednoduché je, když je limita závislá na n, tj. z různých směrů je různá. Ale pokud jsou limity stejné ze všech směrů, neplyne z toho, že limita existuje, protože k jistému ε > 0 nemusí být možné zvolit δ nezávisle na směru n. Příklad 1. Najděte následující limity: a lim x,y 0,0 xy 2 x 2, b lim + y2 x,y 0,0 xy x 2, c lim + y2 x,y 0,0 xy 2 x 2 + y 4. Jednotkový směr v R 2 lze psát jako n = cos ϕ, sin ϕ, kde φ 0, 2π. Pak každé x, y 0, 0 lze jediným způsobem vyjádřit ve tvaru x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r > 0. r a ϕ jsou tzv. polární souřadnice v R 2. V případě a dostaneme protože cos ϕ sin 2 ϕ 1. V případě b je lim x,y 0,0 lim x,y 0,0 xy 2 x 2 + y 2 = lim r cos ϕ sin 2 ϕ = 0, r 0 + xy x 2 + y 2 = lim cos ϕ sin ϕ = cos ϕ sin ϕ r 0 + a limita neexistuje, protože závisí na ϕ, tedy na směru. V případě c je situace poněkud komplikovanější. Jestliže je x 0, tj. ϕ 0, π, je xy 2 x 2 + y 4 xy2 x 2 a stejně jako v případě a je tato limita rovna nule. Jestliže je x = 0, je celý výraz roven nule, a tedy v těchto směrech je limita také rovna nule. Tedy ve všech směrech je limita nulová. Ale přesto daná limita neexistuje. Totiž na parabole x = y 2 je výraz roven 1, a tedy po této křivce není limita rovna nule. Aby tato limita byla rovna nule, museli bychom ke 2 každému ε > 0 najít δ > 0 nezávislé na ϕ 0, 2π tak, aby pro každé r, 0 < r < δ platila nerovnost Ale lze ukázat, že takové δ neexistuje. r cos ϕ sin 2 ϕ cos 2 ϕ + r 2 sin 2 ϕ < ε. Spojité funkce Definice 4. Nechť f : S je zobrazení metrického prostoru, ρ do metrického prostoru S, σ. Řekneme, že zobrazení f je spojité v bodě a, jestliže ke každému ε > 0 existuje δ > 0 takové, že pro každé x, pro které je ρa, x < δ, platí nerovnost σ fa, fx < ε. 16

Definice 5. Nechť je f : S zobrazení metrického prostoru do metrického prostoru S a nechť X. Říkáme, že zobrazení f je spojité v bodě a X vzhledem k množině X, jestliže ke každému ε > 0 existuje δ > 0 takové, že pro každé x X, pro které je ρa, x < δ, platí nerovnost σ fa, fx < ε. Věta 13. Zobrazení f : S je spojité v bodě a právě tehdy, když pro každou posloupnost x n, pro kterou je lim x n = a, je lim fx n = fa. Důkaz: Nechť je fx spojitá v bodě. K danému ε > 0 zvolme δ > 0 takové, že pro každé x, ρa, x < δ, je σ fa, fx < ε. Nechť je x n libovolná posloupnost v taková, že lim x n = a. Pak k našemu δ > 0 existuje n 0 takové, že pro všechna n > n 0 je ρa, x n < δ. Ale pak také pro všechna n > n 0 platí nerovnost σ fa, fx n < ε, a tedy lim fx n = fa. Nechť není zobrazení fx spojité v bodě a. Pak existuje ε > 0 takové, že pro každé δ > 0 existuje x X, ρa, x < δ, je σ fa, fx ε. K tomuto ε zvolme x n takové, že ρa, x n < 1 n a σ fa, fx n ε. Tato posloupnost x n konverguje k a, ale lim fx n fa. Poznámka: Z definice plyne, že zobrazení fx je spojité v bodě a právě tehdy, když je a izolovaný bod metrického prostoru nebo platí lim fx = fa. x a Definice 6. Nechť je f : S zobrazení metrického prostoru, ρ do metrického prostoru S, σ a X. Říkáme, že zobrazení f je spojité na množině X právě tehdy, když je spojité v každém bodě množiny X. Věta 14. Zobrazení f metrického prostoru do metrického prostoru S je spojité na množině X právě tehdy, když je vzor každé otevřené množiny V S otevřená množina v X, tj. když pro každou otevřenou podmnožinu V S platí f 1 V = X U, kde U je otevřená množina. Důkaz: Nechť je vzor každé otevřené množiny V S otevřená množina a a X f 1 V. Pak je A = fa bodem otevřené množiny V. Nechť je ε > 0. Pak je množina U εa V otevřená. A podle předpokladu je f 1 U εa V je otevřená v X. Protože je a prvkem této otevřené množiny, existuje δ > 0 takové, že U δ a f 1 U εa V. Ale z toho plyne, že pro každé x X U δ a je fx U ɛ A, a tedy zobrazení f je spojité v každém bodě a X. Nechť je zobrazení f spojité v každém bodě x X a V S je otevřená množina. Je zřejmé, že f 1 V = f 1 V fx. Protože je V otevřená množina, existuje ke každému y V takové ε y > 0, pro které je U εy y V. Pak ale V = U εy y a f 1 V = f 1 U εy y fx. Jestliže a f 1 V, pak existuje A y V y fx V fx takové, že A = fa. Protože je podle předpokladu zobrazení fx spojité v bodě a, existuje k ε A > 0 číslo δ a takové, že pro každé x X U δa a je fx U εa A. Tedy bod a je vnitřním bodem f 1 V a množina f 1 V otevřená v X. Věta 15. Nechť je f : S, resp. g : S T zobrazení metrického prostoru, ρ do metrického prostoru S, σ, resp. metrického prostoru S, σ do metrického prostoru T, τ. Nechť je lim fx = x a A a g je zobrazení spojité v bodě A. Pak je lim g fx = lim g fx = ga. x a x a Důkaz: Nechť je ε > 0. Protože je zobrazení g spojité v bodě A S existuje η > 0 takové, že pro všechna y S, pro která je σa, y < η, platí τ ga, gy < ε. Ale protože lim fx = A, existuje k η > 0 danému výše δ > 0 x a takové, že pro každé x, pro které je 0 < ρa, x < δ je σ A, fx < η. Tedy pro taková x platí nerovnost τ ga, gfx < ε. Věta 16. Nechť je f : S, resp. g : S T zobrazení metrického prostoru, ρ do metrického prostoru S, σ, resp. metrického prostoru S, σ do metrického prostoru T, τ. Nechť f je spojité v bodě a a g je spojité v bodě fa. Pak je složené zobrazení g f : T spojité v bodě a. Jestliže je f spojité na a g spojité na S, pak je složené zobrazení g f : T spojité na. Důkaz: Nechť a a A = fa. Pro dané ε > 0 existuje η > 0 takové, že pro každé y S U η A je gy U ε ga. K tomuto η > existuje δ > 0 takové, že pro každé x U δ a je fx S U η A. Tedy pro takové x je g fx U ε ga, což dokazuje spojitost složené funkce v bodě a. Druhá část tvrzení plyne z první a z toho, že f je spojité v každém bodě x a g je spojité v každém bodě y S. 17