UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Mocié řady - sbírka příkladů Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Iveta Bebčáková, Ph.D. Rok odevzdáí: 203 Vypracoval: Eva Složilová ME, III. ročík
Prohlášeí Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci zpracovala samostatě pod vedeím Mgr. Ivety Bebčákové, Ph.D. s použitím uvedeé literatury. V Olomouci de 26. duba 203
Poděkováí Ráda bych poděkovala vedoucí bakalářské práce Mgr. Ivetě Bebčákové, Ph.D. za spolupráci i za čas, který mi věovala při kozultacích.
Obsah Úvod 5 Sezam použitých zkratek a symbolů 6 Číselé řady 7. Základí pojmy............................ 7.2 Základí vlastosti.......................... 8.3 Výzamé řady............................ 0.4 Číselé řady s ezáporými čley...................4. Kritéria kovergece a divergece...............5 Řady absolutě a relativě kovergetí.............. 5.5. Alterující řady........................ 6 2 Číselé řady - příklady 7 2. Nutá podmíka kovergece.................... 7 2.2 Srovávací kritérium......................... 9 2.3 Limití srovávací kritérium..................... 23 2.4 D Alembertovo limití podílové kritérium.............. 27 2.5 Cauchyovo limití odmociové kritérium............. 32 2.6 Limití Raabeovo kritérium..................... 37 2.7 Itegrálí kritérium.......................... 42 2.8 Alterující řady............................ 49 2.9 Absolutí a relativí kovergece.................. 52 3 Mocié řady 56 3. Základí pojmy............................ 56 3.2 Vlastosti a součet mocié řady................. 58 3.3 Rozvoj fukce v mociou řadu.................. 59 4 Mocié řady - příklady 62 4. Obor kovergece a obor absolutí kovergece.......... 62 4.2 Součet mocié řady........................ 88 4.3 Rozvoj fukce v mociou řadu.................. 28 4.4 Užití mociých řad......................... 32 4.4. Určeí přibližé hodoty................... 32 4.4.2 Přibližý výpočet itegrálů................. 34 4.4.3 Výpočet limit......................... 37 5 Řešeí příkladů s programem Maple 40 5. Kovergece číselých řad...................... 40 5.2 Obor kovergece mociých řad................. 42 5.3 Součet mociých řad........................ 48
Závěr 50 Literatura 5
Úvod Bakalářská práce Mocié řady - sbírka příkladů je určea především pro studety předmětu Matematika 2 vyučovaého a katedře Matematické aalýzy a aplikací matematiky Přírodovědecké fakulty Uiverzity Palackého v Olomouci. Hlavím cílem práce je vytvořit pro studety materiál, kde alezou především dostatek příkladů i s postupem vedoucím k jejich řešeí. Tato sbírka by jim měla pomoci pochopit učivo a může sloužit i jako pomůcka k přípravě a zápočtové a zkouškové testy. Sbírka je psaá s předpokladem, že studeti již mají zalosti z předmětu Matematika a absolvovali předášku ke kurzu Matematika 2. Práce je rozdělea do pěti částí. V prví kapitole se sezámíme s číselými řadami a uvedeme základí pojmy a vlastosti, které uplatíme při počítáí jak s číselými, tak i s mociými řadami. Druhá kapitola je věováa řešeým i eřešeým příkladům týkajících se číselých řad. Především se zaměříme a vyšetřováí kovergece, resp. divergece číselých řad pomocí tzv. kritérií kovergece. Další kapitola se týká mociých řad. Stejě jako u číselých řad si ejprve zavedeme základí pojmy teorie mociých řad. Čtvrtá kapitola obsahuje opět příklady, ve kterých je především vysvětleo, jak postupovat při určováí oboru kovergece a součtu mociých řad. Nechybí ai příklady k procvičeí. Posledí kapitola ukazuje, jak je možé si pomocí matematického softwaru Maple ověřit správost výsledků získaých při řešeí příkladů. 5
Sezam použitých zkratek a symbolů N R R OK OAK možia přirozeých čísel možia reálých čísel rozšířeá možia reálých čísel obor kovergece obor absolutí kovergece {a } posloupost reálých čísel {s } posloupost částečých součtů {f (x)} posloupost fukcí a f (x) a (x x 0 ) ekoečá číselá řada ekoečá řada fukcí mociá řada f () (x 0 )! (x x 0 ) Taylorova řada fukce f v bodě x 0 f () (0)! x Maclauriova řada lim limita poslouposti {a } (a, b) otevřeý iterval (a, b a, b) a, b zprava uzavřeý (zleva otevřeý) iterval zleva uzavřeý (zprava otevřeý) iterval uzavřeý iterval sg fukce sigum. = přibližě rovo 6
. Číselé řady Dříve ež přistoupíme k samotému tématu mociých řad, musíme si uvést základí pojmy a vlastosti týkající se řad číselých. Jejich zalost je totiž základem pro práci s mociými řadami. Všechy použité defiice a věty jsou čerpáy z [], [2] a [8]... Základí pojmy Defiice.. Nechť {a } je posloupost reálých čísel. Symbol a ebo a + a 2 + a 3 + + a + azýváme ekoečou číselou řadou. Číslo a se azývá -tý čle řady, se azývá sčítací idex. Defiice.2. Uvažujme řadu a. Posloupost {s }, kde s = a s 2 = a + a 2 s 3 = a + a 2 + a 3. s = a + a 2 + + a = i= a i. se azývá posloupost částečých součtů řady a. 7
Defiice.3. Nechť je dáa řada a a jí odpovídající posloupost částečých součtů {s }. Jestliže lim s = s R, pak říkáme, že řada a koverguje a má součet s; lim s = ±, pak říkáme, že řada a diverguje k ± a má součet ± ; lim s eexistuje, pak říkáme, že řada a diverguje (osciluje) a emá součet. Pozámka. Nemůže se stát, že by řada a apř. kovergovala a divergovala zároveň, protože každá posloupost má ejvýše jedu limitu..2. Základí vlastosti Následující věta ám udává utou podmíku kovergece řady. Věta.. Jestliže řada a koverguje, pak platí lim a = 0. Pozámka 2. Pozor! Obráceá věta eplatí. Ne každá řada a, pro kterou je splěa podmíka lim a = 0, koverguje. V opačém případě, jestliže eí splěa utá podmíka kovergece, tj. pak řada a diverguje. lim a 0, Věta.2. Nechť a, b jsou kovergetí řady a echť a = s, b = = t. Pak je kovergetí i řada (a + b ) a platí 8 (a + b ) = s + t.
Pozámka 3. Obráceá věta opět eplatí. To, že koverguje řada (a + b ) ještě ezameá, že kovergují i dílčí řady a a b. Pozámka 4. V případě, že řada a koverguje a řada b diverguje, bude divergovat i řada (a + b ). Věta.3. Jestliže řada a koverguje, pak pro libovolé k R koverguje též řada k a a platí k a = k a. Naopak, koverguje-li řada k a, kde k R, k 0, koverguje i řada a. Pozámka 5. Jestliže je ale řada a divergetí, pak je pro k 0 divergetí i řada k a. 9
.3. Výzamé řady a q, kde a, q R. Řada a q se azývá geometrická s prvím čleem a a kvocietem q. V případě, že q, geometrická řada diverguje; q <, geometrická řada koverguje a má součet s = a q. p Pro řadu p mohou astat tyto dva případy: řada koverguje pro p > ; řada diverguje pro 0 < p. Jestliže položíme p = obdržíme řadu Tato řada se azývá harmoická řada a diverguje. ( ) Řada ( ) se azývá Gradiho řada a osciluje. 0
.4. Číselé řady s ezáporými čley Defiice.4. Řada a se azývá řada s ezáporými (resp. kladými) čley, je-li a 0 pro všecha N (resp. a > 0 pro všecha N). Věta.4. Každá řada s ezáporými čley buď koverguje ebo diverguje k. Pozámka 6. Tato vlastost plye ze skutečosti, že posloupost částečých součtů {s } u řad s ezáporými čley bude vždy eklesající. Tudíž tyto řady budou buď kovergovat ebo divergovat, ale emohou ikdy oscilovat..4.. Kritéria kovergece a divergece V moha případech bývá velice obtížé staovit součet řady, pomocí kterého bychom rozhodli o kovergeci, resp. divergeci řady. Často se omezujeme pouze a iformaci, zda řada koverguje či diverguje, aiž bychom teto součet určovali. K tomuto účelu používáme tzv. kritéria kovergece, které představují postačující podmíky pro kovergeci, resp. divergeci číselých řad. Věta.5. Srovávací kritérium Nechť a a b jsou řady s ezáporými čley a echť a b pro všecha N. Potom platí: koverguje-li řada b, pak koverguje i řada a ; diverguje-li řada a, pak diverguje i řada b.
Defiice.5. Nechť a a b jsou řady s ezáporými čley a echť a b pro všecha N. Potom řadu b azýváme majoratí řadou k řadě a řadu a mioratí řadou k řadě b. a Věta.6. Limití srovávací kritérium Nechť a a b jsou řady s ezáporými čley a echť existuje a lim = L. b Je-li L < a koverguje-li řada b, pak koverguje i řada a. Je-li L > 0 a diverguje-li řada b, pak diverguje i řada a. Pozámka 7. Ke srováí budeme ejčastěji používat řady uvedeé v kapitole.3, o ichž víme, zda kovergují či divergují. Věta.7. Podílové kritérium - D Alembertovo Nechť a je řada s kladými čley. Jestliže pro všecha N platí erovost: a + a a + a q <, pak řada a koverguje; >, pak řada a diverguje. 2
Věta.8. D Alembertovo limití podílové kritérium Nechť a je řada s kladými čley. Existuje-li potom v případě, že: q <, řada a koverguje; q >, řada a diverguje; a + lim = q, kde q R, a q =, elze o kovergeci řady a tímto kritériem rozhodout - řada může kovergovat i divergovat. Věta.9. Odmociové kritérium - Cauchyovo Nechť a je řada s ezáporými čley. Platí-li erovost a q < pro všecha N, pak řada a koverguje; a pro ekoečě moho N, pak řada a diverguje. Věta.0. Cauchyovo limití odmociové kritérium Nechť a je řada s ezáporými čley. Existuje-li lim a = q, kde q R, potom v případě, že: q <, řada a koverguje; 3
q >, řada a diverguje; q =, elze o kovergeci řady a tímto kritériem rozhodout - řada může kovergovat i divergovat. Věta.. Limití Raabeovo kritérium Nechť a je řada s kladými čley a echť existuje limita Potom platí: ( lim a ) + = q, kde q R. a je-li q >, pak řada a koverguje; je-li q <, pak řada a diverguje. Věta.2. Itegrálí kritérium Nechť f je fukce defiovaá a itervalu, ), která je a tomto itervalu ezáporá a erostoucí. Nechť f() = a pro všecha N. Pak řada koverguje právě tehdy, když koverguje evlastí itegrál f (x) dx. a Pozámka 8. Pokud se ám epodaří rozhodout o kovergeci řady pomocí zvoleého kritéria, musíme použít jié, silější kritérium. Při volbě kritéria musíme brát v úvahu tvar a. 4
.5. Řady absolutě a relativě kovergetí V této kapitole opustíme problematiku řad s ezáporými čley. Budeme se zabývat řadami s čley obecými, tz. řadami a, kde a R. Tato řada může být tedy tvořea eje kladými, ale i záporými, popř. ulovými čley. Při vyšetřováí kovergece řad s obecými čley budeme zároveň vyšetřovat i řady tvořeé absolutími hodotami jedotlivých čleů. Mezi dvojicí řad a a platí ásledující vztah. Věta.3. Koverguje-li řada a, koverguje i řada a. a Pozámka 9. Opačé tvrzeí eplatí. Proto je a místě pro řady s obecými čley zavedeí silější vlastosti ež je kovergece. Defiice.6. Řekeme, že řada a koverguje absolutě, jestliže koverguje řada a. Jestliže řada a koverguje a řada a diverguje, říkáme, že řada koverguje relativě. Pozámka 0. U řad s ezáporými čley je pojem absolutí kovergece totožá s pojmem kovergece. Protože a je řada s ezáporými čley, můžeme pro určováí absolutí kovergece řad použít všecha kritéria z kapitoly.4.. 5
.5.. Alterující řady Speciálím případem řad s libovolými čley jsou tzv. alterující řady eboli řady se střídavými zaméky. Defiice.7. Nekoečá řada a se azývá alterující, právě když platí sg a + = sg a pro všecha N. Pozámka. Alterující řady mohou mít tvar ( ) a = a a 2 + a 3 a 4 + a 5 a 6 +, ( ) + a = a a 2 + a 3 a 4 + a 5 a 6 +, ( ) a = a + a 2 a 3 + a 4 a 5 + a 6, kde {a } je posloupost kladých čísel. O kovergeci alterujících řad rozhodujeme pomocí Leibitzova kritéria kovergece. Věta.4. Leibitzovo kritérium Nechť {a } je erostoucí posloupost kladých čísel, tj. a a + > 0 pro všecha N. Pak alterující řada ( ) a koverguje právě tehdy, když platí lim a = 0. 6
2. Číselé řady - příklady Tato kapitola je věováa řešeým i eřešeým příkladům týkajících se číselých řad. Většia příkladů je zaměřea a zjišťováí kovergece, resp. divergece řad pomocí kritérií kovergece uvedeých v kapitole.4.. S výjimkou srovávacího kritéria budeme používat pouze limití kritéria, která jsou pro výpočty vhodější. Dále budeme ověřovat splěí uté podmíky kovergece a podmíek Leibitzova kritéria. Nakoec se aučíme určovat, zda řada s obecými čley koverguje absolutě ebo relativě. 2.. Nutá podmíka kovergece V předchozí kapitole jsme si uvedli, že platí ásledující věta. Věta. Jestliže řada a koverguje, pak platí lim a = 0. Pozámka. V případě, že eí splěa utá podmíka kovergece, tj. pak řada a diverguje. lim a 0, Příklad. Ověřte, zda je splěa utá podmíka kovergece u řady Řešeí: Pro ověřeí musíme vypočítat limitu ( + 5)! ( + 3)!. lim a ( + 5)! ( + 3)! ( + 5)( + 4)( + 3)! ( + 3)! ( + 5)( + 4) 2 7 ( + 9 + ) 20 2 = = 0.
Dokázali jsme, že utá podmíka kovergece splěa eí. Z toho plye, že řada (+5)! (+3)! diverguje. Příklad 2. Ověřte, zda je splěa utá podmíka kovergece u řady Řešeí: Pro ověřeí musíme vypočítat limitu 9 2 4 7 2 +. lim a 9 2 4 7 2 + ( ) 2 9 4 2 ( ) = 9 2 7 + 7 0. 2 Dokázali jsme, že utá podmíka kovergece splěa eí. Z toho plye, že řada 9 2 4 diverguje. 7 2 + Cvičeí. Ověřte, zda je splěa utá podmíka kovergece u řady a) b) 8 2 (6+)(+3) (2+)!8 (2)! [eí, diverguje] [eí, diverguje] 8
2.2. Srovávací kritérium Věta. Nechť a a b jsou řady s ezáporými čley a echť a b pro všecha N. Potom platí: koverguje-li řada b, pak koverguje i řada a ; diverguje-li řada a, pak diverguje i řada b. Příklad 3. Rozhoděte o kovergeci řady Řešeí: Řadu. Pro všecha N platí e- 5 rovost 5 2. budeme porovávat s řadou 5 2 Protože mioratí řada diverguje také řada. 5 2 5 = 5 5 5 2. je řadou harmoickou, která diverguje, 9
Příklad 4. Rozhoděte o kovergeci řady Řešeí: Řadu = 5 2 25 2 20. 5 2 budeme porovávat s řadou 25 2 20. Pro všecha N zjevě platí erovost 5 2 5 2 5 2 25 2 20. Z příkladu 3 víme, že mioratí řada diverguje. Z toho plye, že diverguje také řada 5 2. 25 2 20 5 2 5 2 = 25 2 20+4 5 2 = (5 2) 2 Příklad 5. Rozhoděte o kovergeci řady Řešeí: Řadu. Pro všecha N platí e- 3 rovost 3 + 7. budeme porovávat s řadou 3 +7 Protože majoratí řada 3 3 + 7 3. koverguje, koverguje také řada. 3 +7 20
Příklad 6. Rozhoděte o kovergeci řady 2 5 7 + 2 3 + 8. Řešeí: Řadu 2 5 7 +2 3 +8 N zjevě platí erovost budeme porovávat s řadou 2 5 7 =. Pro všecha 5 5 2 5 7 + 2 3 + 8 5. 5 Protože majoratí řada 2 5 7 +2 3 +8. 5 5 = 5 5 koverguje, koverguje také řada Příklad 7. Rozhoděte o kovergeci řady Řešeí: Řadu 4 5 + 3. 4 budeme porovávat s geometrickou řadou 5 +3 N platí erovost 4 5 + 3 Protože majoratí geometrická řada 4 5 +3. ( ) 4. 5 ( 4 ). 5 Pro všecha ( 4 ) 5 koverguje, koverguje také řada 2
Příklad 8. Rozhoděte o kovergeci řady Řešeí: Řadu erovost l(5 2). budeme porovávat s řadou l(5 2) 5 2 l(5 2). Z příkladu 3 víme, že mioratí řada diverguje. Z toho plye, že diverguje také řada. l(5 2) 5 2. Pro všecha N platí 5 2 Cvičeí 2. Pomocí srovávacího kritéria rozhoděte o kovergeci řady a) b) c) d) 4 (4 ) 6 2 8 2 5 +3 4 3 8 6 + 2 +5 [diverguje] [diverguje] [koverguje] [koverguje] e) 3+5 [koverguje] f) l(4 ) [diverguje] 22
2.3. Limití srovávací kritérium Věta. Nechť a a b jsou řady s ezáporými čley a echť existuje a lim = L. b Je-li L < a koverguje-li řada b, pak koverguje i řada a. Je-li L > 0 a diverguje-li řada b, pak diverguje i řada a. Příklad 9. Rozhoděte o kovergeci řady 2 3 5 + 6 2 + 7. Řešeí: Řadu koverguje. a = Vypočítáme limitu 2 3 5 +6 2 +7 budeme porovávat s řadou b =, která 2 a L b = 2. Řada 2 3 5 +6 2 +7 2 2 3 5 +6 2 +7 koverguje. 2 3 5 + 6 2 + 7 2 2 5 ( ) = 5 + 6 + 7 3 5 23
Příklad 0. Rozhoděte o kovergeci řady Řešeí: Řadu =2 a = =2 která koverguje. Vypočítáme limitu a L b Řada =2 koverguje. 6 8 =2 6 8. budeme porovávat s geometrickou řadou 6 8 6 8 6 6 8 6 =2 b = =2 6 = lim 6 ( ) =. 8 6, 6 Příklad. Rozhoděte o kovergeci řady Řešeí: Řadu a = která diverguje. Vypočítáme limitu Řada a L b diverguje. 4+3 4 + 3. budeme porovávat s harmoickou řadou 4+3 4+3 4 + 3 ( 4 + 3 b = ) = 4., 24
Příklad 2. Rozhoděte o kovergeci řady Řešeí: Řadu a = která diverguje. Vypočítáme limitu a L b Řada 5 diverguje. 2 +4 5 2 + 4. 5 budeme porovávat s harmoickou řadou 2 +4 5 2 +4 5 2 + 4 = 5 lim b = = 5. + 4 2, Příklad 3. Rozhoděte o kovergeci řady Řešeí: Řadu = a =, která diverguje. Vypočítáme limitu Řada 9 + 2 + 3. 9 + budeme porovávat s harmoickou řadou 2 +3 a L b 9 + diverguje. 2 +3 9 + 2 +3 9 + + 3 2 9 + 2 + 3 = 9 ( ) = + 9 + 3 2. 2 b = 25
Příklad 4. Rozhoděte o kovergeci řady Řešeí: Řadu b = a = Vypočítáme limitu Řada 4 ( 2 + 2) 2 7 2. 4 ( 2 +2) 2 7 2 budeme porovávat s geometrickou řadou, která koverguje. 7 a L b 4 ( 2 +2) 2 7 2 7 = 49 lim 4 4 ( + 4 2 + 4 4 ) = 49. 4 ( 2 +2) 2 7 2 koverguje. ( 2 + 2) 2 7 4 2 7 = Cvičeí 3. Pomocí limitího srovávacího kritéria rozhoděte o kovergeci řady a) 6 2 6 +8 3 +4 [koverguje] b) c) 4 [koverguje] 7 2 7 [diverguje] 5+2 d) e) f) 5 +6 4 + 2 +6 3 [koverguje] ( 2 + ) 3 2 9 [diverguje] [diverguje] 26
2.4. D Alembertovo limití podílové kritérium Věta. Nechť a je řada s kladými čley. Existuje-li a + lim = q, kde q R, a potom v případě, že: q <, řada a koverguje; q >, řada a diverguje; q =, elze o kovergeci řady a tímto kritériem rozhodout - řada může kovergovat i divergovat. Příklad 5. Rozhoděte o kovergeci řady Řešeí: 4 2 8 +. Abychom vyšetřili kovergeci této řady, vypočítáme q z předchozí věty. Platí q a + a = 8 lim 4 2 + 8 + 4 4 2 = 8 <. 4(+) 2 8 4( + ) 2 +2 8+ 4 2 8 +2 4 = 2 8 + = 8 lim 4 ( 2 + 2 + ) 2 = 4 2 Řada 4 2 8 + koverguje. 27
Příklad 6. Rozhoděte o kovergeci řady Řešeí: Řada q a + a 3(+) + (+3)! 3 (+2)! 3( + ) ( + ) ( + 3)( + 2)! 3 ( + 2)!. 3( + ) + ( + 2)! = ( + 3)! 3 ( + 2)! 3 ( + ) + lim + 3 = e = e >. 3 (+2)! diverguje. ( + ) + + 3 = Příklad 7. Rozhoděte o kovergeci řady Řešeí: Řada q a + a ( 4 = 2 lim = 2 lim ) 2 ( 4+4 + ) (+)2 + ( 4 ) 2 ( ) 4 2. ( 4+4 ) + 2 ( ( + )2+ 4 ) = (4 + 4)!! (3)! = ( + )! (3 + 3)! ( + ) (4)! ( ( ) ( ) ( ) 5 4 + ) 4 4 + 3 4 + 2 4 + ( ( ) ( ) ( ) 5 3 + ) 3 3 + 2 3 + + 2 = 26 27 >. 2 diverguje. 28
Příklad 8. Rozhoděte o kovergeci řady Řešeí: Řada ( 3 +2 8 + 4! ). 5 ( ) 3 +2 + 4! představuje součet řad 8 5 3 +2 8 a její kovergeci, resp. divergeci, musíme vyšetřit každou řadu zvlášť. a) Vyšetříme kovergeci, resp. divergeci řady Řada q a + a 3 +2 8 koverguje. 3 +3 8 3 +3 + 3 +2 8 + 8 b) Vyšetříme kovergeci, resp. divergeci řady 4!. Abychom určili 5 3 +2 8. Platí 8 3 +2 = 3 8 <. 4!. Platí 5 q a + a 4(+)! (+)5 + 4! 5 4( + )! 5 ( + )5+ 4! 4( + )! 5 ( + )5+ 4! 5 = >. = Řada (4+)! 5 diverguje. Jedá se o součet kovergetí a divergetí řady, tudíž řada diverguje. ( ) 3 +2 + 4! 8 5 29
Příklad 9. Rozhoděte o kovergeci řady Řešeí: Řada q a + a 4 + 7 ( 6 ). 4+ ( 6) + 4 + 4+7 ( 6) ( 6) ( 6) + 4 + 7 = = 4 + lim 6 4 + 7 = 4( + lim 6 4( + 7 ) = <. 4 6 4+7 ( 6) koverguje. 4 ) Příklad 20. Rozhoděte o kovergeci řady Řešeí: 3 ( ) 9. e q a + a = 9 e lim ( 3( + ) 9 + e) 3 ( 9 3( + ) 3 e = 9 e >. ) = 9 e lim 3 + 3 3 = Řada 3 ( 9 e) diverguje. 30
Příklad 2. Rozhoděte o kovergeci řady Řešeí: (2!) 2 ( + ). (4)! q a + a [2(+)!] 2 (+2) (4+4)! (2!) 2 (+) (4)! [2( + )!] 2 ( + 2) (4)! (4 + 4)! (2!) 2 ( + ) = [2( + )!] 2 ( + 2) (4 + 4) (4 + )(4)! (4)! (2!) 2 ( + ) = ( + )( + 2) (4 + 4) (4 + ) 2 + 3 + 2 (4 + 4) (4 + ) = ( + 3 + ) 2 2 4 ( 4 + 4 ) ( 4 + 3 2 ) ( 4 + 2 ) ( ) = 4 + = 0 <. Řada (2!) 2 (+) (4)! koverguje. Cvičeí 4. Pomocí limitího podílového kritéria rozhoděte o kovergeci řady a) [koverguje] 0 +2 b) 5 3 2 0 2 [diverguje] c) (+) 2 5!3 [koverguje] d) e) 2 2 5e (3+)! 3 [koverguje] [diverguje] f) 2 5! [diverguje] 3
2.5. Cauchyovo limití odmociové kritérium Věta. Nechť a je řada s ezáporými čley. Existuje-li lim a = q, kde q R, potom v případě, že: q <, řada a koverguje; q >, řada a diverguje; q =, elze o kovergeci řady a tímto kritériem rozhodout - řada může kovergovat i divergovat. Příklad 22. Rozhoděte o kovergeci řady Řešeí: [ 4 )] 5 arccos (. 2 Abychom vyšetřili kovergeci této řady, vypočítáme q z předchozí věty. Platí [ Řada q a [ 4 )] 5 arccos ( 2 = 4 5 lim arccos ( ) = 4 5 2 π = 8 5 π <. 2 4 5 arccos( 2) ] koverguje. 4 5 arccos ( ) = 2 32
Příklad 23. Rozhoděte o kovergeci řady Řešeí: q a Řada 8 ( + 2 8 ) koverguje. ( 8 + ) 2. ( + ) 2 ( 8 + ) = 8 e <. Příklad 24. Rozhoděte o kovergeci řady ( 2 2 + 3 + 4. 2 + 6) Řešeí: ( q 2 a 2 + 3 + 4 = 2 + 6) 2 2 + 3 + 4 2 + 6 = 2 2 + 3 + 4 2 + 6 2 + 3 + 4 + 2 + 6 2 + 3 + 4 + 2 + 6 = ( 2 2 + 3 + 4 + 2 + 6 ) 2 + 3 + 4 2 6 ) + 6 2 2 ( + 3 + 4 2 + 3 2 Řada ( 2 2 +3+4 +6) diverguje. 2 ( ) 2 + 3 + 4 + + 6 2 2 3 2 = 4 3 >. = 33
Příklad 25. Rozhoděte o kovergeci řady ( ) 2 +4 3 + 4 2. 3 2 Řešeí: q a ( 3 + 4 3 2 ) 2 +4 2 ( ) +4 3 + 4 2 3 2 = = ( e 4 3 ( e 2 3 {[ ( ) 3 + 4 3 3 ( ) 2 3 ) 2 ) 2 = e 2 3 e 3 ] } 2 lim = e >. ( ) 2 3 + 4 = 3 2 Řada ( 3+4 ) 2 +4 2 diverguje. 3 2 Příklad 26. Rozhoděte o kovergeci řady 3 arctg ( + ). Řešeí: q a 3 arctg ( + ) 3 arctg( + ) = Řada = 3 arctg = 3 π 4 3 arctg (+ ) diverguje. = 2 π >. 34
Příklad 27. Rozhoděte o kovergeci řady ( ) 6 + 4. 2 2 Řešeí: (6 q ) ( ) + 4 6 + 4 a 2 2 2 2 = 3 = 0 <. ( ) 6 + 4 = 2 2 Řada ( 6+4 ) 2 koverguje. 2 Příklad 28. Rozhoděte o kovergeci řady 6. Řešeí: q a 6 6 = 6 <. Řada koverguje. 6 35
Cvičeí 5. Pomocí limitího odmociového kritéria rozhoděte o kovergeci řady a) ( 5 3 4 3 +2) [diverguje] b) c) 2 e 2 [koverguje] ( 8 3 +5 3 3 +) [diverguje] d) ( + + + 3 ) [diverguje] e) ( ) [koverguje] 3 5 f) 3 2 arctg ( ) 5 [diverguje] 36
2.6. Limití Raabeovo kritérium Věta. Nechť Potom platí: a je řada s kladými čley a echť existuje limita ( lim a ) + = q, kde q R. a je-li q >, pak řada a koverguje; je-li q <, pak řada a diverguje. Příklad 29. Rozhoděte o kovergeci řady Řešeí: ( + ) 2. Abychom vyšetřili kovergeci této řady, vypočítáme q z předchozí věty. Platí Řada ( q a ) + a [ ( ) 2 + + 2 ( ) ] 2 + = ( +2 +) 2 ( + ) 2 = ( ) 4 + 4 3 + 4 2 4 4 3 6 2 6 = 4 + 4 3 + 4 2 ( 23 + 4 2 + 2 + 4 4 + 4 3 + 4 + ) 2 3 2 ( 4 + 4 + ) = 2 4 = 0 <. 2 ( + ) 2 diverguje. 37
Příklad 30. Rozhoděte o kovergeci řady (3 + 2)( + 5)(2). Řešeí: ( q a ) [ + a [ (3 + 2)( + 5)(2) Řada 6 3 ] (3+5)(+6)(2+2) = (3+2)(+5)(2) ] = (3 + 5)( + 6)(2 + 2) ( ) 6 3 + 52 2 + 06 + 60 6 3 34 2 20 = 6 3 + 52 2 + 06 + 60 ( ) 8 2 + 86 + 60 6 3 + 52 2 + 06 + 60 ( 3 + 43 + ) 0 3 2 6 3 ( + 26 + 53 + 0 3 3 2 koverguje. (3+2)(+5)(2) 3 ) = 3 >. 8 3 + 86 2 + 60 6 3 + 52 2 + 06 + 60 = Příklad 3. Rozhoděte o kovergeci řady =2 ( ) 3. Řešeí: ( q a ) [ ] + 3 a = ( ) 3 [ ( ) ] 3 ( ) 3 3 + 3 2 3 + = 3 Řada 3 3 3 2 + 3 =2 ( ) 3 koverguje. ( 3 3 + 3 + ) 2 = 3 >. 3 38
Příklad 32. Rozhoděte o kovergeci řady Řešeí: Řada 4 + 2 ( + 4)(3 + 5). ( q a ) + a [ 4 +2 2 ( + 5)(3 + 8) ( 22 + 68 + 80 3 2 + 23 + 40 93 + 45 2 + 40 3 2 + 23 + 40 4 +2 2 (+5)(3+8) 4 + 2 (+4)(3+5) ( + 4)(3 + 5) 4 + 2 ) = 3 = ( ) 3 2 + 23 + 40 2 2 68 80 = 3 2 + 23 + 40 ( 9 + 45 + ) 40 2 4 + 2 (+4)(3+5) diverguje. ] = ( 2 3 + 23 + ) = <. 40 2 39
Příklad 33. Rozhoděte o kovergeci řady! 2 ( + 3)!. Řešeí: ( q a ) [ + a [ ( + )!(2 + 2) ( + 4)! 2 2 ( + 3)!! 2 (+)!(2+2) ] (+4)! =! 2 (+3)! ] [ ] ( + )!(2 + 2) ( + 3)! = ( + 4)( + 3)!! 2 ( ) 2 2 + 8 2 2 4 2 2 2 + 8 ( ) 2 2 ( ) = 2 >. 2 + 4 = 4 2 2 2 2 + 8 = Řada! 2 koverguje. (+3)! 40
Příklad 34. Rozhoděte o kovergeci řady 7 2 (2 + )!. Řešeí: ( q a ) [ + a ] [ 72+ (2 + )! = (2 + 3)! 7 2 3 [ 7 2+ (2 + 3)(2 + 2)(2 + )! ( ) 4 2 + 0 + 6 49 4 2 + 0 + 6 ( 4 + 0 ) 43 3 ( 2 4 + 0 + ) = >. 6 2 ] 7 2+ (2+3)! = 7 2 (2+)! ] (2 + )! = 7 2 4 3 + 0 2 43 4 2 + 0 + 6 Řada 7 2 (2+)! koverguje. Cvičeí 6. Pomocí limitího Raabeova kritéria rozhoděte o kovergeci řady a) 4 (2+5) 2 [koverguje] b) c) 5 (+)(2 ) 6 +2 (+2)! [diverguje] [koverguje] d) e) f) (2+)(5 2 ) 3 [koverguje] 3 [diverguje] +7 2 [koverguje] ( 2 +3)(3+) 4
2.7. Itegrálí kritérium Věta. Nechť f je fukce defiovaá a itervalu, ), která je a tomto itervalu ezáporá a erostoucí. Nechť f() = a pro všecha N. Pak řada a koverguje právě tehdy, když koverguje evlastí itegrál f (x) dx. Příklad 35. Rozhoděte o kovergeci řady Řešeí: 2 4. Fukce f(x) = 2x 4 x je ezáporá a itervalu, ). Zda je f(x) a tomto itervalu také erostoucí, vyšetříme pomocí prví derivace. Dostaeme f (x) = 2 4 x 2x 4 x l 4 = 2 4 x ( x l 4). Protože je výraz ( x l 4) 0 pro všecha x, ) je fukce f(x) a tomto itervalu také erostoucí. Kovergeci, resp. divergeci řady zjistíme výpočtem itegrálu q = t f (x) dx = [ 2x [ t = 2 l 4 lim t = 2 l 4 2x 4 x dx ] t t + lim 4 x l 4 t ] 2 l 4 2t 4 t l 4 [ 2 l 4 ( + l 4 2 lim t l 4 4 t l 4 4 l 4 ) <. t t 2 4 x l 4 dx = [ 4 x l 4 ] 2x 4 x dx = ] t = = 2 l 4 + 2 l 2 4 = 42
Pro výpočet itegrálu t 2x 4 x dx jsme použili metodu per partes. ( Pro výpočet limity lim 2t t 4 t l 4) jsme použili L Hospitalovo pravidlo. Řada 2 4 koverguje. Příklad 36. Rozhoděte o kovergeci řady Řešeí: =3 2 + 2 3 2 + 2 8. Fukce f(x) = x2 +2x 3 je ezáporá a itervalu 3, ). x 2 +2x 8 Zda je f(x) a tomto itervalu také erostoucí, vyšetříme pomocí prví derivace. Dostaeme f (x) = (2x + 2)(x2 + 2x 8) (x 2 + 2x 3)(2x + 2) (x 2 + 2x 8) 2 = = 2x3 + 6x 2 2x 6 2x 3 6x 2 + 2x + 6 x + = 0 (x 2 + 2x 8) 2 (x 2 + 2x 8) 0. 2 Fukce f(x) je pro všecha x 3, ) erostoucí. Kovergeci, resp. divergeci řady zjistíme výpočtem itegrálu q = 3 t t f (x) dx = 3 t t 3 3 t dx + lim t 3 5 dx + lim t 6 x 2 + 2x 3 dx x 2 + 2x 8 t 5 x 2 + 2x 8 dx = ( x + 4 x 2 t 3 t 3 ) dx = x 2 + 2x 3 5 + 5 dx = x 2 + 2x 8 [x] t t 3 + lim 5 t 6 [l x + 4 l x 2 ]t 3 = ( ) (t 3) + lim l t + 4 t t t 2 l 7 = + 0 l 7 =. Pro výpočet itegrálu t 3 Řada =3 2 +2 3 diverguje. 2 +2 8 5 dx jsme použili rozklad a parciálí zlomky. x 2 +2x 8 43
Příklad 37. Rozhoděte o kovergeci řady 5. Řešeí: Fukce f(x) = 5 x je ezáporá a itervalu, ). Zda je f(x) a tomto itervalu také erostoucí, vyšetříme pomocí prví derivace. Dostaeme f (x) = 5 5 x 6 0. Fukce f(x) je pro všecha x, ) erostoucí. Kovergeci, resp. divergeci řady zjistíme výpočtem itegrálu q = Řada f (x) dx = [ ] t 5 t 4 x 4 5 5 diverguje. t 5 dx x t 5 x dx t t = 5 ) (t 4 lim 4 5 = 5 ( ) =. t 4 x 5 dx = Příklad 38. Rozhoděte o kovergeci řady Řešeí: 5 2 + 3. Fukce f(x) = 5 je ezáporá a itervalu, ). x 2 +3 Zda je f(x) a tomto itervalu také erostoucí, vyšetříme pomocí prví derivace. Dostaeme f (x) = 0x (x 2 + 3) 2 0. 44
Fukce f(x) je pro všecha x, ) erostoucí. Kovergeci, resp. divergeci řady zjistíme výpočtem itegrálu q = Řada t 5 f (x) dx = t 5 3 t 3 = 5 3 3 5 t 5 dx x 2 + 3 t x 2 + 3 dx = 5 dx x 2 + 3 t 3 ( π 2 π ) 6 = 5 3 9 π <. 5 koverguje. 2 +3 [ arctg x 3 ] t = 5 3 3 t 5 3 t 3 ( ) 2π = 6 ( ) 2 dx = x 3 + [ arctg t arctg ] = 3 3 Příklad 39. Rozhoděte o kovergeci řady Řešeí: Fukce f(x) = (6+4) 3 (6 + 4) 3. je ezáporá a itervalu, ). Zda je f(x) a tomto itervalu také erostoucí, vyšetříme pomocí prví derivace. Dostáváme f 8 (x) = (6 + 4) = 9 4 8 (3 + 2) 0. 4 Fukce f(x) je pro všecha x, ) erostoucí. 45
Kovergeci, resp. divergeci řady zjistíme výpočtem itegrálu q = Řada = f (x) dx = t dx (6x + 4) 3 t sub.: 6x + 4 = u meze x = t u = 6t + 4 6dx = du x = u = 0 dx = du 6 6t+4 t 6 0 [ t 2 (6+4) 3 du u3 t 6 (6t + 4) 2 00 koverguje. [ 2 u 2 ] = 2 ] 6t+4 0 (6x + 4) dx = 3 = = ( 0 00 ) = 200 <. Příklad 40. Rozhoděte o kovergeci řady Řešeí: Fukce f(x) = x4 x 5 +3 4 5 + 3. je ezáporá a itervalu, ). Zda je f(x) a tomto itervalu také erostoucí, vyšetříme pomocí prví derivace. Dostaeme f (x) = 4x3 (x 5 + 3) x 4 5x 4 (x 5 + 3) 2 = 4x8 + 2x 3 5x 8 (x 5 + 3) 2 = x8 2x 3 (x 5 + 3) 2 0. Fukce f(x) je pro všecha x, ) erostoucí. 46
Kovergeci, resp. divergeci řady zjistíme výpočtem itegrálu Řada q = = f (x) dx = x 4 t dx x 5 + 3 t sub.: x 5 + 3 = u meze x = t u = t 5 + 3 5x 4 dx = du x = u = 4 dx = du 5x 4 t 5 +3 t 5 4 du u t 5 [l +3 u ]t5 4 = x 4 x 5 + 3 dx = = t 5 [l t 5 + 3 ] l 4 = 5 l 4 =. 5 4 5 +3 diverguje. 47
Cvičeí 7. Pomocí itegrálího kritéria rozhoděte o kovergeci řady a) =2 6 5 6 [diverguje] b) [diverguje] 7 (5+2) 3 c) d) e) f) =4 4 2 9 2 2 4+3 3 e 3 [koverguje] [koverguje] [koverguje] [diverguje] 48
2.8. Alterující řady Věta. Leibitzovo kritérium Nechť {a } je erostoucí posloupost kladých čísel, tj. a a + > 0 pro všecha N. Pak alterující řada ( ) a koverguje právě tehdy, když platí lim a = 0. Příklad 4. Ověřte splěí podmíek Leibitzova kritéria u řady Řešeí: ( ) + 8 2 2 + 4.. { 8 2 2 +4} je posloupost kladých čleů pro všecha N. 2. { 8 2 2 +4} je erostoucí posloupost, tj. a a + pro všecha N, což si ověříme ásledujícím způsobem 8 2 2 + 4 8 2 2 + 4 + 6, 2 2 + 4 + 6 2 2 + 4, 4 + 2 0, 2. Vzhledem k tomu, že jde od, je podmíka splěa pro všecha N. 3. lim a = 0. lim 8 2 2 + 4 8 2 ( 2 + 4 2 ) = 0. Všechy podmíky jsou splěy. Z toho plye, že řada ( ) + 8 2 2 +4 koverguje. 49
Příklad 42. Ověřte splěí podmíek Leibitzova kritéria u řady Řešeí: ( ) 5 + 4 6 + 3.. { 5+4 6+3} je posloupost kladých čleů pro všecha N. 2. { 5+4 6+3} je erostoucí posloupost, tj. a a + pro všecha N, což si ověříme ásledujícím způsobem 5 + 4 6 + 3 5 + 9 6 + 9, 30 2 + 69 + 36 30 2 + 69 + 27, 9 0. Podmíka je splěa pro všecha N. 3. lim a = 0. 5 + 4 lim 6 + 3 ( ) 5 + 4 ( ) = 5 6 + 3 6 0. Neí splěa 3. podmíka. Z toho plye, že řada ( ) 5+4 6+3 diverguje. 50
Příklad 43. Ověřte splěí podmíek Leibitzova kritéria u řady Řešeí: {. 2. { } 5 (+)9 } 5 (+)9 ( ) 5 ( + ) 9. je posloupost kladých čleů pro všecha N. je erostoucí posloupost, tj. a a + pro všecha N, což si ověříme ásledujícím způsobem 5 ( + ) 9 5 + 5 ( + 2) 9 +, 45 2 + 90 5 2 + 0 + 5, 40 2 + 80 5 0. Podmíka splěa pro všecha N. 3. lim a = 0. lim 5 ( + ) 9 5 ( + ) 9 = 0. Všechy podmíky jsou splěy. Z toho plye, že řada ( ) koverguje. 5 (+)9 Cvičeí 8. Ověřte splěí podmíek Leibitzova kritéria u řady a) ( ) +7 3+ [3. podmíka eí splěa, diverguje] b) c) ( ) 5 4 2 +3 ( ) + 9 2 +6 6 2 5 [podmíky jsou splěy, koverguje] [3. podmíka eí splěa, diverguje] 5
2.9. Absolutí a relativí kovergece Věta. Koverguje-li řada a, koverguje i řada a. Defiice. Řekeme, že řada a koverguje absolutě, jestliže koverguje řada a. Jestliže řada a koverguje a řada a diverguje, říkáme, že řada koverguje relativě. Příklad 44. Rozhoděte, zda řada koverguje absolutě ebo relativě. ( ) ( + 2) 2 e + Řešeí: Nejprve vyšetříme kovergeci řady ( + 2) 2 ( ) = ( + 2) 2 e + pomocí limitího podílového kritéria. Platí q a + a (+3) 2 e +2 (+2) 2 e + e + ( + 3) 2 e + e +2 ( + 2) 2 = = e lim 2 + 6 + 9 2 + 4 + 4 = e lim ( 2 + 6 + ) 9 2 ( 2 + 4 + ) = 4 e <. 2 Řada absolutě. (+2) 2 e + koverguje, tz., že alterující řada (+2)2 ( ) e + koverguje 52
Příklad 45. Rozhoděte, zda řada koverguje absolutě ebo relativě. ( ) 6 Řešeí: Nejprve rozhodeme o kovergeci řady pomocí srovávacího kritéria. Řadu Pro všecha N platí erovost Protože mioratí řada diverguje také řada ( ) 6 = 6 6 = 6 budeme porovávat s řadou 6 6 6.. Tz., že řada 6. 6 je řadou harmoickou, která diverguje, ( ) ekoverguje absolutě, 6 ale může kovergovat relativě, což vyšetříme použitím Leibitzova kritéria. Musíme ověřit, zda jsou splěy všechy tři podmíky Leibitzova kritéria.. { 6 } je posloupost kladých čleů pro všecha N. 2. { 6 } je erostoucí posloupost, tj. a a + pro všecha N, což si ověříme ásledujícím způsobem 6 6 + 5, 6 + 5 6, 6 0. Podmíka je splěa pro všecha N. 53
3. lim a = 0. lim 6 = 0. Všechy podmíky jsou splěy. Z toho plye, že řada relativě. ( ) 6 koverguje Příklad 46. Rozhoděte, zda řada koverguje absolutě ebo relativě. ( ) + l ( + 3) Řešeí: Nejprve rozhodeme o kovergeci řady ( )+ l ( + 3) = l ( + 3) pomocí limitího odmociového kritéria. Platí Řada ( ) + l (+3) koverguje absolutě. q a l ( + 3) l ( + 3) = 0 <. koverguje, tz., že alterující řada l (+3) 54
Cvičeí 9. Rozhoděte, zda řada koverguje absolutě ebo relativě a) b) ( ) 4 + (+2)! ( ) + 3 2 [koverguje absolutě] [koverguje relativě] c) ( ) ( 6+2 [koverguje absolutě] ) 55
3. Mocié řady V této části se budeme věovat mociým řadám, které představují zvláští případ fukčích řad. Stejě jako v případě číselých řad si musíme uvést základí pojmy a vlastosti, které budeme potřebovat při řešeí příkladů. Všechy uvedeé pojmy jsou čerpáy z [], [2] a [8]. 3.. Základí pojmy Defiice 3.. Nechť {f (x)} je posloupost fukcí defiovaých a itervalu I. Symbol f (x) ebo f (x) + f 2 (x) + + f (x) + azýváme ekoečou řadou fukcí. Defiice 3.2. Nechť {a } je posloupost reálých čísel a x 0 je libovolé reálé číslo. Mociou řadou se středem v bodě x 0 a koeficiety a rozumíme řadu fukcí ve tvaru a 0 + a (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) 2 + + a (x x 0 ) + = a (x x 0 ). Pozámka 2. Velmi častým případem mocié řady, se kterou se můžeme setkat, je řada ve tvaru a x, jejíž střed x 0 = 0. Obecě každou mociou řadu a (x x 0 ) můžeme pomocí substituce (x x 0 ) = y převést a řadu a y se středem v počátku. Defiice 3.3. Oborem kovergece mocié řady a (x x 0 ) je možia všech bodů x R takových, že číselá řada a (x x 0 ) koverguje. 56
Věta 3.. Každá mociá řada koverguje ve svém středu a má součet a 0. Věta 3.2. Ke každé mocié řadě a (x x 0 ) existuje jedié číslo r 0 takové, že r = 0, pokud řada koverguje pouze ve svém středu, tj. v bodě {x 0 }; r =, pokud řada koverguje pro všecha x R; r (0, ), pokud řada absolutě koverguje pro všecha x (x 0 r, x 0 + r) a pro všecha x (, x 0 r) (x 0 + r, ) diverguje. Defiice 3.4. Číslo r z předchozí věty se azývá poloměr kovergece mocié řady a (x x 0 ) a iterval (x 0 r, x 0 + r) se azývá iterval absolutí kovergece. Pozámka 3. Podle věty 3.2 oborem kovergece mocié řady může být: jedoprvková možia {x 0 }; celá reálá osa, tj. (, ); iterval koečé délky (x 0 r, x 0 + r). Na tomto itervalu mociá řada koverguje absolutě. V hraičích bodech x 0 r a x 0 + r může ale řada kovergovat (absolutě/relativě) ebo divergovat. Proto chováí v krajích bodech musíme vyšetřit zvlášt dosazeím hodot x 0 r a x 0 + r za x. 57
Možé způsoby, jak určit poloměr kovergece, ám udává ásledující věta. Věta 3.3. Nechť je dáa mociá řada a (x x 0 ) a echť existuje (vlastí ebo evlastí) limita lim a + a = λ, resp. lim a = λ. Potom pro poloměr kovergece r mocié řady a (x x 0 ) platí r = λ. Přitom pro λ = klademe r = 0 a pro λ = 0 klademe r =. 3.2. Vlastosti a součet mocié řady Věta 3.4. Nechť mociá řada a (x x 0 ) má poloměr kovergece r > 0. Pak součet této řady je spojitá fukce a itervalu (x 0 r, x 0 + r). Věta 3.5. Abelova věta Součet s(x) řady a (x x 0 ) je fukce spojitá a itervalu (x 0 r, x 0 + r). Koverguje-li řada v kocovém bodě x 0 r (resp. v bodě x 0 + r), pak je fukce s(x) spojitá v bodě x 0 r zprava (resp. v bodě x 0 + r zleva), tj. platí ( lim s(x) x x 0 r + x x 0 r + a (x x 0 ) = resp. lim s(x) x x 0 +r x x 0 +r a ( r), a (x x 0 ) = ) a r. 58
Věta 3.6. Nechť mociá řada a (x x 0 ) má poloměr kovergece r > 0 a echť fukce s(x) = a (x x 0 ) je její součet a itervalu (x 0 r, x 0 + r). Potom pro všecha x (x 0 r, x 0 + r) platí x x 0 [ ] a (t x 0 ) dt = x x 0 s(t)dt = x x 0 a (t x 0 ) dt = (x x 0 ) + a, + [ ] a (x x 0 ) = s (x) = [a (x x 0 ) ] = a (x x 0 ). Obě mocié řady a pravých straách mají stejý poloměr kovergece r jako původí řada a (x x 0 ), ale již emusí mít stejý obor kovergece. Pozámka 4. Povšiměme si, že za dolí mez itegrálu budeme vždy dosazovat střed x 0 daé mocié řady. 3.3. Rozvoj fukce v mociou řadu Nechť je dáa fukce f(x). Při rozvoji se sažíme alézt mociou řadu odpovídající této fukci, přičemž daá fukce představuje součet hledaé mocié řady. Navíc rozvoje fukcí se uplatňují v řadě aplikací. Defiice 3.5. Nechť má fukce f v bodě x 0 derivace všech řádů. Mociou řadu ve tvaru f () (x 0 )! (x x 0 ) = f(x 0 ) + f (x 0 )! azýváme Taylorovou řadou fukce f v bodě x 0. (x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) 2 + 2! Je-li x 0 = 0, mluvíme o Maclauriově řadě, která je tedy tvaru 59 f () (0)! x.
Pozámka 5. Jestliže se ám podaří rozviout fukci f a ějakém itervalu I, uvitř kterého leží i bod x 0, v mociou řadu se středem v bodě x 0, pak eexistuje žádá jiá mociá řada, do které by bylo možé fukci f rozvést. Teto rozvoj je zároveň Taylorovým rozvojem fukce f. Přehled rozvojů ěkterých elemetárích fukcí do Maclauriovy řady. e x = + x! + x2 2! + x3 3! + = si x = x! x3 3! + x5 5! = cos x = x2 2! + x4 4! = l ( + x) = x x2 2 + x3 x, x (, ),! ( ) x 2+, x (, ), (2 + )! ( ) 3 = + x = x + x2 = + x 2 = x2 + x 4 = arctg x = x x3 3 + x5 ( + x) α = + ( ) α x + x 2, x (, ), (2)! ( ) x +, x (, ), + ( ) x, x (, ), ( ) x 2, x (, ), 5 = ( ) α x 2 + = 2 ( ) x 2+, x,, 2 + ( ) α x, x (, ), kde α R a číslo ( ) α = α (α ) (α 2)... (α + )! je biomický koeficiet. 60
Uvedeé rozvoje můžeme použít apř. k přibližému výpočtu fukčích hodot, výpočtu limit, přibližému výpočtu itegrálů atd. 6
4. Mocié řady - příklady Na ásledujících příkladech se ejprve aučíme určovat obor kovergece a součet mociých řad. Dále si odvodíme ěkteré Maclauriovy řady elemetárích fukcí uvedeých a straě 60. Nakoec si ukážeme, jak ám mohou mocié řady pomoci při přibližém výpočtu itegrálů, limit či při určováí přibližých fukčích hodot. Samozřejmě echybí ai příklady k procvičeí. 4.. Obor kovergece a obor absolutí kovergece Se zjištěím oboru kovergece a oboru absolutí kovergece souvisí i alezeí středu x 0 a poloměru kovergece r. Při jejich určováí budeme postupovat takto:. Nejprve určíme střed x 0 mocié řady podle ásledující defiice. Defiice. Nechť je dáa mociá řada a (x x 0 ). Číslo x 0 R se azývá střed mocié řady a (x x 0 ). 2. Určíme poloměr kovergece r pomocí uvedeé věty. Věta. Nechť je dáa mociá řada a (x x 0 ) a echť existuje (vlastí ebo evlastí) limita lim a + a = λ, resp. lim a = λ. Potom pro poloměr kovergece r mocié řady a (x x 0 ) platí r = λ. 62
3. Určíme iterval absolutí kovergece (x 0 r, x 0 + r). Itervalem absolutí kovergece mocié řady může být: jedoprvková možia {x 0 }, jestliže r = 0; celá reálá osa, jestliže r = ; iterval koečé délky (x 0 r, x 0 + r), jestliže r (0, ). Na tomto itervalu mociá řada koverguje absolutě. V případě, že iterval absolutí kovergece je jedoprvková možia ebo celá reálá osa, je teto iterval zároveň oborem kovergece i oborem absolutí kovergece. Jestliže obdržíme iterval koečé délky (x 0 r, x 0 + r), musíme ještě vyšetřit chováí řady v krajích bodech x 0 r a x 0 + r, a to dosazeím těchto bodů za x, tj. vyšetřujeme kovergeci číselých řad. V těchto hraičích bodech může řada kovergovat (absolutě/relativě) ebo divergovat. 4. Staovíme obor kovergece a obor absolutí kovergece mocié řady a základě výsledků získaých při vyšetřováí chováí řady v krajích bodech. 63
Příklad 47. Je dáa řada 5 ( + ) 2 x. Určete střed, poloměr kovergece, obor kovergece a obor absolutí kovergece. Řešeí:. Střed mocié řady x 0 = 0, protože řadu tvaru 5 (+) 2 (x 0). 2. Pro určeí poloměru kovergece r, vypočítáme hodotu λ. λ a + a 5 + (2+) 2 5 (+) 2 ( 2 = 5 lim + ) 2 ( 2 2 + ) 2 = 5. Pro poloměr kovergece r platí 5 (+) 2 x můžeme přepsat do 5 + ( + )2 = (2 + ) 2 5 r = λ, odtud r = 5. 3. Iterval absolutí kovergece mocié řady 5 (+) 2 x obdržíme dosazeím hodot x 0 = 0 a r = 5 do itervalu (x 0 r, x 0 + r), tj. ( 0 5, 0 + ) ( = 5 5, ). 5 Musíme vyšetřit kovergeci v krajích bodech. Dosazeím bodu x = do mocié řady 5 x dostaeme 5 (+) 2 5 ( + ) 2 ( ) = 5 ( + ) 2. 64
Abychom zjistili kovergeci, resp. divergeci této číselé řady, použijeme apř. limití Raabeovo kritérium. Platí ( q a ) [ + a ] ( + )2 [ (2 + ) 2 ( ) 2 + 3 2 + 4 + 4 Řada koverguje. (+) 2 2 (2+) 2 (+) 2 koverguje, tudíž i mociá řada Dosazeím bodu x = 5 do mocié řady 5 (+) 2 x dostaeme alterující řadu ( 5 ( + ) = 5) 2 Nejprve rozhodeme o kovergeci řady ] = ( ) 2 + 4 + 4 2 2 = 2 + 4 + 4 ( ) 2 + 3 ( 2 + 4 + ) = 2 >. 4 2 5 (+) 2 x v bodě x = 5 ( ) ( + ) 2. ( ) ( + ) 2 = ( + ). 2 S touto číselou řadou jsme se již setkali při vyšetřováí kovergece v bodě x = a zjistili jsme, že koverguje. Tz., že řada ( ) koverguje 5 absolutě, tudíž i mociá řada koverguje. (+) 2 5 (+) 2 x v bodě x = 5 absolutě 4. Obor kovergece se rová oboru absolutí kovergece mocié řady 5 x a je rove itervalu, (+) 2 5 5. 65
Příklad 48. Je dáa řada 3 ( + 2)! (x + ). Určete střed, poloměr kovergece, obor kovergece a obor absolutí kovergece. Řešeí:. Střed mocié řady x 0 =, protože řadu přepsat do tvaru 3 (+2)! [x ( )]. 3 (x + ) můžeme (+2)! 2. Pro určeí poloměru kovergece r, vypočítáme hodotu λ. λ a + a 3 + (+3)! 3 (+2)! 3 + ( + 2)! = ( + 3)! 3 ( + 2)! = 3 lim ( + 3)( + 2)! = 3 lim + 3 = 0. Pro poloměr kovergece r platí r =, odtud r =. λ 3. Iterval absolutí kovergece mocié řady 3 (+2)! (x + ) je (, ), tz., že mociá řada koverguje pro všecha x R. Současě jsme obdrželi obor kovergece i obor absolutí kovergece mocié řady. 66
Příklad 49. Je dáa řada (4) 2 ) 2 (x + 2). ( + Určete střed, poloměr kovergece, obor kovergece a obor absolutí kovergece. Řešeí:. Střed mocié řady x 0 = 2, protože řadu přepsat do tvaru (4) 2 ( + ) 2 [x ( 2)]. (4) 2 ( + 2. Pro určeí poloměru kovergece r, vypočítáme hodotu λ. ) 2 (x + 2) můžeme λ a Pro poloměr kovergece r platí (4) 2 ) 2 ( + (4) 2 ( + ) = e =. r =, odtud r = 0. λ 3. Iterval absolutí kovergece mocié řady (4) 2 ( + ) 2 (x + 2) je jedoprvká možia { 2}, tz., že mociá řada koverguje pouze ve svém středu. Současě jsme obdrželi obor kovergece i obor absolutí kovergece mocié řady. 67
Příklad 50. Je dáa řada ( ) 2 (4x + 4). Určete střed, poloměr kovergece, obor kovergece a obor absolutí kovergece. Řešeí:. Abychom mohli určit střed x 0, musíme mociou řadu ejprve upravit tak, že z výrazu (4x + 4) vytkeme 4. Dostaeme ( ) 4 2 (x + ) = ( ) 3 (x + ). Střed této mocié řady x 0 =, protože řadu můžeme přepsat do tvaru ( ) 3 [x ( )]. 2. Pro určeí poloměru kovergece r, vypočítáme hodotu λ. λ a ( ) 3 3 = = 3 lim = 3. Pro poloměr kovergece r platí: r =, odtud r = 3. λ Upozorěí. Za a jsme dosazovali ( ) 3. 3. Iterval absolutí kovergece mocié řady ( ) 3 (x + ) ( ) 2 (4x + 4) obdržíme dosazeím hodot x 0 = a r = 3 do itervalu (x 0 r, x 0 + r), tj. ( 3, + 3) = ( 4, 2). 68
Musíme vyšetřit kovergeci v krajích bodech. Dosazeím bodu x = 2 do mocié řady ( ) (4x + 4) dosta- 2 eme ( ) 2 (8 + 4) = Nejprve rozhodeme o kovergeci řady ( ) =. ( ). Obdrželi jsme harmoickou řadu, o které víme, že diverguje. Tz., že řada ( ) ekoverguje absolutě, ale může kovergovat relativě, což vyšetříme použitím Leibitzova kritéria. Musíme ověřit, zda jsou splěy všechy tři podmíky Leibitzova kritéria. a) { } je posloupost kladých čleů pro všecha N. b) { } je erostoucí posloupost, tj. a a + pro všecha N, což si ověříme ásledujícím způsobem +, +, 0. Podmíka je splěa pro všecha N. c) lim a = 0. lim = 0. Všechy podmíky jsou splěy. Z toho plye, že řada ( ) koverguje relativě, tudíž i mociá řada relativě koverguje. 69 ( ) 2 (4x + 4) v bodě x = 2
Dosazeím bodu x = 4 do mocié řady ( ) 2 (4x + 4) dostaeme ( ) 2 ( 6 + 4) = Opět jsme obdrželi harmoickou řadu, o které víme, že diverguje. Z toho plye, že i mociá řada ( ) (4x + 4) v bodě x = 4 diverguje. 2 4. Obor kovergece mocié řady ( 4, 2. Obor absolutí kovergece mocié řady ( ) 2 (4x + 4) je iterval ( 4, 2).. ( ) 2 (4x + 4) je iterval Příklad 5. Je dáa řada 3 4 2+ (x 6). Určete střed, poloměr kovergece, obor kovergece a obor absolutí kovergece. Řešeí:. Střed mocié řady x 0 = 6. 2. Pro určeí poloměru kovergece r, vypočítáme hodotu λ. λ a + a = 6 lim 3 3 ( + Pro poloměr kovergece r platí (3+3) 4 2+3 3 4 2+ ) = 6. 3 4 2+ (3 + 3) 4 2+3 = r =, odtud r = 6. λ 70
3. Iterval absolutí kovergece mocié řady (x 6) obdržíme 3 4 2+ dosazeím hodot x 0 = 6 a r = 6 do itervalu (x 0 r, x 0 + r), tj. (6 6, 6 + 6) = ( 0, 22). Musíme vyšetřit kovergeci v krajích bodech. Dosazeím bodu x = 22 do mocié řady (x 6) dostaeme 3 4 2+ 3 4 2+ (22 6) = 3 4 2+ 6 = 2 Obdrželi jsme harmoickou řadu, o které víme, že diverguje. Z toho plye, že i mociá řada (x 6) v bodě x = 22 diverguje. 3 4 2+ Dosazeím bodu x = 0 do mocié řady 3 4 2+ ( 0 6) = Nejprve rozhodeme o kovergeci řady 3 4 2+ ( 6) = 2 ( ) =.. (x 6) dostaeme 3 4 2+ ( ). Opět jsme obdrželi harmoickou řadu, která diverguje. Tz., že řada ( ) ekoverguje absolutě, ale může kovergovat relativě. Kovergeci této alterující řady ( ) jsme vyšetřili již v příkladu 50 a zjistili jsme, že koverguje relativě. Tudíž i mociá řada (x 6) v bodě x = 0 relativě ko- 3 4 2+ verguje. 7
4. Obor kovergece mocié řady Obor absolutí kovergece mocié řady ( 0, 22). (x 6) je iterval 0, 22). 3 4 2+ (x 6) je iterval 3 4 2+ Příklad 52. Je dáa řada 3 + ( + )! (5 + 2)! (6x + 3). Určete střed, poloměr kovergece, obor kovergece a obor absolutí kovergece. Řešeí:. Abychom mohli určit střed x 0, musíme mociou řadu ejprve upravit tak, že z výrazu (6x + 3) vytkeme 6. Dostaeme 6 3 + ( + )! (5 + 2)! ( x + 2). Střed mocié řady x 0 = 2, protože řadu ( x + 2) můžeme přepsat do tvaru 6 3 + (+)! (5+2)! [ x ( 2)]. 6 3 + (+)! (5+2)! 2. Pro určeí poloměru kovergece r, vypočítáme hodotu λ. λ a + a 6 + 3 +2 (+2)! (5+7)(+)! 6 3 + (+)! (5+2)! = 6 + 3 +2 ( + 2)! (5 + 7)( + )! (5 + 2)! 6 3 + ( + )! = = 8 lim 5 2 + 2 + 4 5 2 + 2 + 7 ( 2 5 + 2 = 8 lim + ) 4 2 ( 2 5 + 2 + ) = 8. 7 2 72
Pro poloměr kovergece r platí r = λ, odtud r = 8. Upozorěí. Za a jsme dosazovali 6 3 + (+)! (5+2)!. 3. Iterval absolutí kovergece mocié řady 3 + (+)! (5+2)! (6x + 3) obdržíme dosazeím hodot x 0 = 2 a r = 8 do itervalu (x 0 r, x 0 + r), tj. ( 2 8, 2 + ) ( = 5 ) 8 9, 4. 9 Musíme vyšetřit kovergeci v krajích bodech. Dosazeím bodu x = 4 9 do mocié řady 3 + (+)! (5+2)! (6x + 3) dostaeme 3 + ( + )! (5 + 2)! ( 8 3 + 3 ) = 3( + )! (5 + 2)!. Abychom zjistili kovergeci této číselé řady, použijeme limití Raabeovo kritérium. Platí Řada ( q a ) [ + a [ ( 3(+)! (5+2)! v bodě x = 4 9 diverguje. 3(+2)! ] (5+7)(+)! = 3(+)! (5+2)! ] 3( + 2)! (5 + 2)! = (5 + 7)( + )! 3( + )! ( ) 5 2 + 2 + 7 5 2 2 4 = 5 2 + 2 + 7 ) 3 5 2 + 2 + 7 diverguje, tudíž i mociá řada 73 3 2 ( 5 + 2 + 7 2 ) = 0 <. 3 + (+)! (5+2)! (6x + 3)
Dosazeím bodu x = 5 9 do mocié řady 3 + (+)! (5+2)! (6x + 3) dostaeme 3 + ( + )! (5 + 2)! ( 0 ) 3 + 3 = Nejprve rozhodeme o kovergeci řady ( ) 3( + )! (5 + 2)!. 3( + )! ( ) (5 + 2)! = 3( + )! (5 + 2)!. S touto řadou jsme se již setkali při vyšetřováí kovergece v bodě x = 4 9 a zjistili jsme, že diverguje. Tz., že řada ( ) 3(+)! ekoverguje ab- (5+2)! solutě, ale může kovergovat relativě, což vyšetříme použitím Leibitzova kritéria. Musíme ověřit, zda jsou splěy všechy tři podmíky Leibitzova kritéria. a) b) { } 3(+)! je posloupost kladých čleů pro všecha N. (5+2)! { } 3(+)! je erostoucí posloupost, tj. a (5+2)! a + pro všecha N, což si ověříme ásledujícím způsobem 3( + )! (5 + 2)! 3( + 2)! (5 + 7)( + )!, 5 2 + 2 + 7 5 2 + 2 + 4, 3 0. Podmíka je splěa pro všecha N. c) lim a = 0. lim 3( + )! (5 + 2)! ( ) 3 + ( ) = 3 5 + 7 5 0. 74
Posledí podmíka eí splěa. Z toho plye, že řada ( ) diverguje, tudíž i mociá řada diverguje. 3(+)! (5+2)! 3 + (+)! (5+2)! (6x + 3) v bodě x = 5 9 4. Obor kovergece se rová oboru absolutí kovergece mocié řady 3 + (+)! (6x + 3) a je rove itervalu ( 5, 4 (5+2)! 9 9). Příklad 53. Je dáa řada 2 +! 3 (x 4). Určete střed, poloměr kovergece, obor kovergece a obor absolutí kovergece. Řešeí:. Střed mocié řady x 0 = 4. 2. Pro určeí poloměru kovergece r, vypočítáme hodotu λ. 2 λ a + a +2 (+)! (+) 3 2 +2 ( + )! 3 ( + ) 3 2 +! = = 2 lim 3 ( + )! ( + ) 3! 2 +! 3 Pro poloměr kovergece r platí 3 = 2 lim 2 ( + =. )2 r =, odtud r = 0. λ 3. Iterval absolutí kovergece mocié řady 2 +! (x 4) je jedo- 3 prvková možia {4}, tz., že mociá řada koverguje pouze ve svém středu. Současě jsme obdrželi obor kovergece i obor absolutí kovergece mocié řady. 75
Příklad 54. Je dáa řada ( ) + 3 (3x + ). 5 2 + 8 Určete střed, poloměr kovergece, obor kovergece a obor absolutí kovergece. Řešeí:. Abychom mohli určit střed x 0, musíme mociou řadu ejprve upravit tak, že z výrazu (3x + ) vytkeme 3. Dostaeme ( ) ( + 3 3 x +. 5 2 + 8 3) Střed mocié řady x 0 = 3, protože řadu ( +3 5 2 +8) 3 ( x + 3) můžeme přepsat do tvaru ( +3 5 2 +8) 3 [ x ( 3)]. 2. Pro určeí poloměru kovergece r, vypočítáme hodotu λ. λ a = 3 lim ( ) + 3 ( ) = 0. 2 5 + 8 2 Pro poloměr kovergece r platí ( + 3 5 2 + 8 ) + 3 3 = 3 lim 5 2 + 8 = r =, odtud r =. λ Upozorěí. Za a jsme dosazovali ( +3 5 2 +8) 3. 3. Iterval absolutí kovergece mocié řady ( +3 5 2 +8) (3x + ) je (, ), tz., že mociá řada koverguje pro všecha x R. Současě jsme obdrželi obor kovergece i obor absolutí kovergece mocié řady. 76
Příklad 55. Je dáa řada ( ) (2 + 4)9 (x + 2). Určete střed, poloměr kovergece, obor kovergece a obor absolutí kovergece. Řešeí:. Střed mocié řady x 0 = 2, protože řadu můžeme přepsat do tvaru ( ) (2+4)9 [x ( 2)]. 2. Pro určeí poloměru kovergece r, vypočítáme hodotu λ. λ a + a = 9 lim 2 ( ) + 2 2 ( ) = + 3 9. Pro poloměr kovergece r platí ( ) (2+6)9 + ( ) (2+4)9 ( ) (2+4)9 (x + 2) (2 + 4)9 (2 + 6)9 + = r =, odtud r = 9. λ 3. Iterval absolutí kovergece mocié řady ( ) (2+4)9 (x + 2) obdržíme dosazeím hodot x 0 = 2 a r = 9 do itervalu (x 0 r, x 0 + r), tj. ( 2 9, 2 + 9) = (, 7). Musíme vyšetřit kovergeci v krajích bodech. Dosazeím bodu x = 7 do mocié řady ( ) (x + 2) do- (2+4)9 staeme ( ) (2 + 4)9 (7 + 2) = 77 ( ) 2 + 4.
Nejprve rozhodeme o kovergeci řady ( ) 2 + 4 = 2 + 4 pomocí limitího srovávacího kritéria. Řadu porovávat s harmoickou řadou b = Vyšetříme limitu Řada a lim b 2+4 a = budeme 2+4, o které víme, že diverguje. 2 + 4 = 2. diverguje. Tz., že řada ( ) 2+4 (2+4) ekoverguje absolutě, ale může kovergovat relativě, což vyšetříme použitím Leibitzova kritéria. Musíme ověřit, zda jsou splěy všechy tři podmíky Leibitzova kritéria. a) { 2+4} je posloupost kladých čleů pro všecha N. b) { 2+4} je erostoucí posloupost, tj. a a + pro všecha N, což si ověříme ásledujícím způsobem 2 + 4 2 + 6, 2 + 6 2 + 4, 2 0. Podmíka je splěa pro všecha N. c) lim a = 0. lim 2 + 4 = 0. 78
Všechy podmíky jsou splěy. Z toho plye, že řada ( ) ko- 2+4 verguje relativě, tudíž i mociá řada x = 7 relativě koverguje. Dosazeím bodu x = do mocié řady dostaeme ( ) (2+4)9 (x+2) v bodě ( ) (2 + 4)9 ( + 2) = ( ) (2+4)9 (x + 2) 2 + 4. S touto řadou jsme se již setkali při vyšetřováí kovergece v bodě x = 7 a zjistili jsme, že diverguje. Z toho plye, že i mociá řada ( ) (x + 2) v bodě x = diverguje. (2+4)9 4. Obor kovergece mocié řady (, 7. Obor absolutí kovergece mocié řady iterval (, 7). ( ) (2+4)9 (x + 2) je iterval ( ) (2+4)9 (x + 2) je Příklad 56. Je dáa řada 2 2 8 3 (x + 5). Určete střed, poloměr kovergece, obor kovergece a obor absolutí kovergece. Řešeí:. Střed mocié řady x 0 = 5, protože řadu 2 2 8 3 (x + 5) můžeme přepsat do tvaru 2 2 8 3 [x ( 5)]. 79
2. Pro určeí poloměru kovergece r, vypočítáme hodotu λ. λ 2 a 2 8 3 = 4 8 3 = 6. Pro poloměr kovergece r platí r =, odtud r = 6. λ 3. Iterval absolutí kovergece mocié řady 2 2 8 3 (x + 5) obdržíme dosazeím hodot x 0 = 5 a r = 6 do itervalu (x 0 r, x 0 + r), tj. ( 5 6, 5 + 6) = (, ). Musíme vyšetřit kovergeci v krajích bodech. Dosazeím bodu x = do mocié řady 2 2 8 3 (x + 5) dostaeme 2 2 8 3 ( + 5) = Obdrželi jsme řadu jediček, která diverguje. 2 2 8 3 6 = Dosazeím bodu x = do mocié řady 2 2 8 3 ( + 5) = 2 2 8 3 ( 6) = Obdrželi jsme Gradiho řadu, o které víme, že osciluje.. 2 2 8 3 (x + 5) dostaeme ( ). 4. Obor kovergece se rová oboru absolutí kovergece mocié řady 2 2 8 3 (x + 5) a je rove itervalu (, ). 80
Příklad 57. Je dáa řada 9 27 3 + (x + 4). Určete střed, poloměr kovergece, obor kovergece a obor absolutí kovergece. Řešeí:. Střed mocié řady x 0 = 4, protože řadu přepsat do tvaru 9 27 3 + [x ( 4)]. 2. Pro určeí poloměru kovergece r, vypočítáme hodotu λ. 9 27 3 + (x + 4) můžeme λ 9 a 3 + 27 9 = ( + ) 3 27 3 = 3 lim ( + ) 3 [ = 3 e 3 0 = 3. ( + ) + = 3 lim ] + 3 [ ( + ) + 3 = + 3 lim e 3 l ] + = (+) + = 3 e 3 l = Pro poloměr kovergece r platí r =, odtud r = 3. λ 3. Iterval absolutí kovergece mocié řady 9 27 3 + (x+4) obdržíme dosazeím hodot x 0 = 4 a r = 3 do itervalu (x 0 r, x 0 + r), tj. ( 4 3, 4 + 3) = ( 7, ). 8