Mtemtická lýz III - fukčí poslouposti řdy Ig. Leopold Vrá
Obsh Předmluv 5 Část. Mocié řdy 7 Kpitol. Kovergece mocié řdy 9 Kpitol. Součtová fukce mocié řdy 7 Část. Fukčí poslouposti 3 Kpitol 3. Kovergece fukčí poslouposti 33 Kpitol 4. Věty o ití fukci 4 Část 3. Fukčí řdy 55 Kpitol 5. Stejoměrá kovergece 57 Kpitol 6. Věty o záměě 69 Kpitol 7. Trigoometrické řdy 83 Litertur 7 Rejstřík 9 3
Předmluv Skriptum je určeo pro posluchče II. ročíku FJFI ČVUT jko učebí pomůck k předášce Mtemtická lýz III, kterou tké z jedé třetiy pokrývá. Prví kpitol pojedává o mociých řdách většiou v komplexím oboru. Po zvedeí pojmu kovergece mocié řdy se vyšetřují zákldí vlstosti oboru kovergece. Dále ásledují věty o spojitosti, diferecovtelosti itegrovtelosti součtové fukce mocié řdy, zkoumjí se možosti rozvoje fukce v mociou řdu. Druhá kpitol je věová fukčím posloupostem. Zvádějí se růzé typy kovergece poslouposti fukcí s cílem lézt tkový druh kovergece, který ejlépe vystihuje přeos spojitosti z čleů fukčí poslouposti ití fukci. dále jsou vyslovey dokázáy věty o derivci, itegrci zobecěé itegrci ití fukce. Ve třetí kpitole jsou plikováy výsledky předcházející kpitoly fukčí řdy. Studují se zde tké ekoečé fukčí součiy, které jsou potom bezprostředě užity při vyšetřováí fukce Γ. Závěrečý odstvec ptří trigoometrickým řdám studiu jejich bodové kovergece. V trigoometrickou řdu jsou rozvíjey fukce mjící bsolutě kovergetí zobecěý Riemův itegrál. Větši vět defiic je doplě řdou pozámek, které vysvětlují, doplňují ebo zobecňují předcházející tvrzeí pojmy. Mohé pozámky, které kosttují určité skutečosti, iž je dokzují, resp. jejich důkz pouze zčují mohou sloužit jko užitečá cvičeí to zejmé pro posluchče oboru MI. 5
Část Mocié řdy
KAPITOLA Kovergece mocié řdy Defiice.: Buďte ) + = posloupost komplexích čísel, z, z C. Potom řdu zýváme mociou řdou. z z ).) Pozámk... Je-li z = z, potom mociá řd.) koverguje pro libovolou posloupost ) +. Je-li z z, potom kovergece, resp. divergece mocié řdy.) závisí volbě poslouposti ) +. Pozámk... Řd koverguje pouze pro z = z. Pozámk..3. Řd! z z ) z z ) koverguje pro všech komplexí z. Pozámk..4. Vyšetřeme yí kovergeci řdy! z i) + v závislosti z C. ) Řd diverguje pro všech z {z C z i > }. Pro tková z totiž z i) epltí utá podmík + + =. b) Podle Cuchyov odmociového kritéri še řd bsolutě koverguje pro všech z {z C z i < }. c) Je-li z i =, můžeme číslo z i jedozčě vyjádřit ve tvru e iϕ, kde ϕ, π. Číselá řd + pro ϕ = podsttě diverguje pro ϕ, ), π e iϕ + podle Dirichletov kritéri 3 koverguje. Odtud vyplývá, že řd + z i) + Čísl v.) se zývjí koeficiety mocié řdy. Pro osttí z z totiž epltí utá podmík kovergece +! z z ) =. 3 Nechť je dá číselá řd ve tvru + b echť pltí: i) c > ) N) k= b k c); ii) posloupost ) + je reálá, mootóí pltí + =. Potom + b koverguje. Zde kokrétě: = +, b = eiϕ př. c = si ϕ viz poz. 5.6. str. 6)). 9
. KONVERGENCE MOCNINNÉ ŘADY kružici {z C z i = } koverguje ebsolutě) s výjimkou jediého bodu z = + i, kde podsttě diverguje do + ). Defiice.: Ozčme B z, )) možiu všech z C, pro která mociá řd.) koverguje. Možiu B z, )) zveme obor kovergece mocié řdy.). Pozámk... Z pozámky.. vyplývá, že obor kovergece B z, )) je eprázdá moži z B z, )). Pozámk... Pro řdy z pozámek..,..3,..4 po řdě dostáváme, že: B z,!)) = {z }, B z, = )) C B + i, = {z C z i } { + i}. + Pozámk..3. Řdy + z z ) + z z ) +p, kde p je přirozeé číslo, mjí stejý obor kovergece. Vět.3: Buď z B z, )). Potom {z C z z < z z } B z, )). Důkz. ) Je-li z = z, je tvrzeí prvdivé B z, )). b) Buď z = z B z, )), z C. Potom pltí z z ) = z z ) z z z z. Nechť dále z splňuje erovost z z < z z..) Protože číselá posloupost z z ) ) + je kovergetí ) tedy omezeá, existuje číslo K R + tk, že pro všech N je z z ) K z z z z. A jelikož prvé strě erovosti je čle geometrické poslouposti s kvocie- tem z z z z < viz.)), mociá řd z z ) koverguje podle srovávcího kritéri) tedy z B z, )). Pozámk.3.. Z důkzu věty.3 vyplývá, že je-li z B z, )), potom pro všech {z C z z < z z } mociá řd.) koverguje bsolutě. Pozámk.3.. Z předchozí pozámky plye, že mociá řd koverguje bsolutě vitřku svého oboru kovergece. Pozámk.3.3. Sdo se přesvědčíme, že z pozámky.3. rověž plye, že obor kovergece mocié řdy je moži kovexí. Vět.4: Nechť z / B z, )). Potom {z C z z > z z } C B z, )).
. KONVERGENCE MOCNINNÉ ŘADY Důkz. Sporem. Nechť tedy z B z, )) {z C z z > z z }. Potom podle věty.3 by muselo být z B z, )). To je ovšem ve sporu s předpokldem věty. Pozámk.4.. Předpokld věty.4 lze pomocí pozámky.3. ještě zeslbit: Nechť číselá řd + z z ) koverguje ebsolutě ebo diverguje. Potom pro všech z C, pro která pltí z z > z z mociá řd.) diverguje. Skutečě. Kdyby totiž bylo z B z, )) {z C z z > z z }, potom by podle pozámky.3. musel číselá řd + z z ) kovergovt bsolutě. Pozámk.4.. Z věty.4 plye, že pokud mociá řd v ějkém bodě z C diverguje ebo ebsolutě koverguje, je její obor kovergece omezeá moži. Defiice.5: Buď r R +. Ozčme B z, r) = {z C z z < r } B z, r) = {z C z z r } Vět.6 A. L. Cuchy [3]): Buďte ) + posloupost komplexích čísel, z C. Potom pltí právě jede z ásledujících výroků: i)b z, )) = {z } mociá řd.) koverguje pouze pro z = z ). ii)b z, )) = C mociá řd.) koverguje pro kždé z C). iii)existuje číslo R R + tk, že B z, R) B z, )) B z, R) pro kždé z C, z z < R mociá řd.) koverguje pro kždé z C, z z > R mociá řd.) diverguje). Důkz. Ozčme M = {r R + B z, r) B z, ))}. Potom ste právě jed z ásledujících možostí: i) M =, tj. B z, )) = {z } viz poz... str. 9)). ii) M = R +, tj. B z, )) = C viz poz...3 str. 9)). iii) = M R +. Protože M je v tomto přípdě eprázdou shor omezeou číselou možiou, existuje sup M R +. Položme R = sup M. ) Buď yí z B z, R) tj. číslo z z < R). Potom existuje r M tk, že z z < r R 4, tj. z B z, r) B z, )). tudíž eboť z bylo zcel libovolé) R = mx M). b) Nechť 4 Plye z druhé vlstosti suprém. B z, R) B z, )) z 3 C B z, R).
. KONVERGENCE MOCNINNÉ ŘADY Potom z 3 z > R tj. z 3 z je tké horí závor M) tedy z 3 z / M. Existuje proto z B z, z 3 z ) tkové, že z / B z, )) proto dle věty.4 str. ) je {z C z z > z z } C B z, )). Protože z 3 z > z z, je z 3 C B z, )), tedy C B z, R) C B z, )) B z, )) B z, R). Pozámk.6.. Bod iii) věty.6 lze topologicky formulovt tk, že existuje R R + tkové, že pltí B z, )) = B z, R) B z, )) = B z, R). Přitom symboly A, resp. Ā rozumíme vitřek, resp. uzávěr možiy A. Pozámk.6.. Z předcházející pozámky vyplývá, že pro obor kovergece B, který eí jedobodový, pltí: B z, )) = B z, )). Pozámk.6.3. Přímo z věty.6 vidíme, že číslo R s vlstostí iii) existuje pro dou mociou řdu ejvýše jedo je to suprémum možiy). Proto ásledě defiujeme: Defiice.7: Číslo R ve větě.6 zýváme poloměr kovergece mocié řdy.), bod z jejím středem kovergece. Přitom kldeme {, je-li B z, )) = {z } R = +, je-li B z, )) = C. Pozámk.7.. Připustíme-li v defiici.5 i r = r = +, můžeme větu.6 i s pozámkou.6.3 vyslovit yí tkto: K mocié řdě.) existuje právě jedo číslo R, + tk, že pltí B z, R) B z, )) B z, R). Vět.8 J. Hdmrd [6]): Buď R poloměr kovergece mocié řdy.). Potom pltí: R = sup. + Přitom zde kldeme + = = + ). Důkz. Z pozámek.3. str. ).6. vyplývá, že hledáme-li poloměr kovergece R mocié řdy.), pk vlstě vyšetřujeme její bsolutí kovergeci čili kovergeci reálé řdy s ezáporými čley). K tomu užijeme zobecěého Cuchyov odmociového kritéri 5. 5 Nechť je dá reálá řd s ezáporými čley + =, potom pltí: Jestliže sup < pk dá řd koverguje, jestliže opk sup >, pk dá + + řd diverguje.
) Nechť sup + sup +. KONVERGENCE MOCNINNÉ ŘADY 3 =. Potom pro libovolé z C pltí: z z ) = z z sup =, + tj. B z, )) = C R = +. b) Nechť < sup < +. Ozčme R =. +. Zvolme z B z, R ), potom sup + z z ) = z z sup + tedy B z, R ) B z, )).. Je-li z C B z, R ), potom sup + z z ) = z z sup + sup + = z z R < = z z R > proto C B z, R ) C B z, )), tj. B z, )) B z, R ). Dokázli jsme tk ikluzi B z, R ) B z, )) B z, R ), což vzhledem k jedozčosti poz..6.3) je možé pouze tk, že R = R. c) Nechť sup = +. Potom pro všech z C {z } pltí: + sup + z z ) = z z sup = +. + Odtud B z, )) = {z } R =. Pozámk.8.. Pokud ve větě.8 existuje R = +. Pozámk.8.. Jestliže dokoce existuje kovergece vzorec R = + +, je +, + + pltí pro poloměr Pozámk.8.3. Pomocí věty.6,.8 pozámky.3. str. ) se ám zčě zjedoduší vyšetřováí kovergece mociých řd. Vyšetřujeme-li chrkter mocié řdy.), potom ejdříve lezeme pomocí věty.8 resp. poz..8..8.) poloměr kovergece R. Z věty.6, poz..6..3. vyplývá, že řd koverguje bsolutě B z, R) diverguje možiě C B z, R). Zbývá tedy vyšetřit chrkter řdy kružici Ḃ z, R) = {z C z z = R } = Ḃ z, )), tj. hrici oboru kovergece. Pozámk.8.4. Z příkldu v pozámce..4 vyplývá, že kružice Ḃ z, )) může obshovt jk body, ve kterých mociá řd koverguje, tk body, v ichž řd diverguje. To zmeá, že chrkter řdy Ḃ z, R) budeme muset vyšetřit v kždém přípdě zvlášť. Pozámk.8.5. Jestliže mociá řd koverguje bsolutě lespoň v jedom bodě hrice Ḃ z, )), potom bsolutě koverguje i možiě B z, )) = B z, R)..
4. KONVERGENCE MOCNINNÉ ŘADY Pozámk.8.6. Poěkud jedodušší je vyšetřováí kovergece mociých řd možiě reálých čísel. Buď v ásledujících pozámkách ) + posloupost reálých čísel, x R vyšetřujme chrkter mocié řdy + x x ) pro x R. Ozčíme-li R opět poloměr kovergece této řdy, bude obor kovergece jedím z ásledujících itervlů: x R, x + R), x R, x + R, x R, x + R), x R, x + R. Přitom víme, že itervlu x R, x + R) řd koverguje bsolutě, možiě, x R) x + R, + ) diverguje. Zůstává tedy utost vyšetřit chrkter řdy pouze v bodech x R, x + R. V ásledujících příkldech je dokumetová rozmitost, která v těchto bodech může vzikout. Pozámk.8.7. Řd ) x x ) má poloměr kovergece R =, obor kovergece x, x + ) v bodech x i x + osciluje. Pozámk.8.8. Řd x x ), resp. ) x x ) má poloměr kovergece R =, obor kovergece x, x + ), v bodě x osciluje, resp. podsttě diverguje v bodě x + podsttě diverguje, resp. osciluje. Pozámk.8.9. Řd x x ) má poloměr kovergece R =, obor kovergece x, x + ) v bodech x i x + podsttě diverguje. Pozámk.8.. Řd x x ), resp. + ) x x ) + má poloměr kovergece R =, obor kovergece x, x + ), resp. x, x +, v bodě x ebsolutě koverguje 6, resp. podsttě diverguje v bodě x + podsttě diverguje, resp. ebsolutě koverguje. Pozámk.8.. Řd ) [log ] [log ] + x x ), resp. ) +[log ] [log ] + x x ) má poloměr kovergece R =, obor kovergece x, x + ), resp. x, x +, v bodě x ebsolutě koverguje, resp. osciluje v bodě x + osciluje, resp. ebsolutě koverguje. 6 Podle Leibitzov kritéri pro lterující reálé řdy: Nechť je dá číselá řd + ) b + echť pltí b b + > pro N. Pk řd ) b + koverguje + b =.
. KONVERGENCE MOCNINNÉ ŘADY 5 Pozámk.8.. Řd ) + x x ) má poloměr kovergece R =, obor kovergece x, x + v bodech x i x + ebsolutě koverguje. Pozámk.8.3. Řd + ) x x ) má poloměr kovergece R =, obor kovergece x, x + v bodech x i x + bsolutě koverguje. Vět.9: Buďte R, resp. R b poloměry kovergece mociých řd + z z ), resp. b z z ) c C eulové komplexí číslo. Potom pltí: i)poloměr kovergece řdy + c z z ) je R. ii)součet obou řd + + b ) z z ) je mociá řd, jejíž poloměr kovergece je větší ebo rove mi {R, R b }. iii)součiová řd obou řd + ) j b j z z ) je mociá řd, jejíž j= poloměr kovergece je větší ebo rove mi {R, R b }. Důkz. ) Tvrzeí bodu i) je důsledkem rovosti sup c = sup + + věty.8. b) Vzhledem k tomu, že pro všech z C N pltí erovosti + b ) z z ) z z + b z z, j b j z z ) j z z j) b j z z j), j= j= že součiová řd dvou bsolutě kovergetích řd je bsolutě kovergetí, jsou prvé stry obou erovostí pro z B z, mi {R, R b }) čley kovergetích řd. Odtud plye, že mocié řdy ii) iii) pro všech z, pro která je z z < mi {R, R b }, kovergují bsolutě, tedy jejich poloměr kovergece emůže být meší ež mi {R, R b }. Pozámk.9.. Vět.9 říká málo o vlstím oboru kovergece. Sdo hlédeme, že pltí: ) Pro všech c C {} je B z, )) = B z, c )). b) B z, + b )) B z, )) B z, b )). Pozámk.9.. Položíme-li v předchozí pozámce pro všech N b =, vidíme, že je dokoce možé, by poloměr kovergece součtu dvou mociých řd byl + i když př. pro =! měly sčíté řdy poloměr kovergece rove ule.
6. KONVERGENCE MOCNINNÉ ŘADY Pozámk.9.3. Z Mertesovy věty 7 plye, že pro součiovou řdu mociých řd + z z ) + b z z ) pltí B z, ) ) j b j B z, )) B z, b )) j= ovšem z předpokldu, že průik B z, )) B z, b )) eobshuje body, v ichž obě ásobeé řdy kovergují ebsolutě. Nutost tohoto předpokldu dokzuje ásledující příkld: Pozámk.9.4. Položme pro všech N = b = ) +. Potom pltí R = B, )) B, b )), le / B, ) ) j b j. Pro koeficiety součiové řdy totiž pltí c = j b j = j= c j= j= ) j + j + ) =. j= + ) Pozámk.9.5. V teorii číselých řd se zdálo být studium kovergece součiové řdy jkousi mtemtickou specilitou. Nyí všk vidíme, že součiová řd dvou mociých řd předstvuje jediou možost, jk ze speciálího) součiu dvou mociých řd uzávorkováím) vytvořit zovu mociou řdu. Proto tké v teorii mociých řd se pod pojmem souči dvou mociých řd rozumí jejich součiová řd. Pozámk.9.6. Buď f rcioálí fukce defiová itervlu, + ) 8. Potom mocié řdy + z z ) + f) z z ) mjí tetýž poloměr kovergece, eboť: sup f) = f) sup = sup. + + + + Pozámk.9.7. Speciálě viz též poz...3 str. )) mjí tetýž poloměr kovergece mocié řdy + z z ), + z z ) + = = z z ) ; přitom pltí př. z Abelov kritéri): )) B z, B z, )) B z, )). + Pozámk.9.8. Posledí ikluzi si můžeme pmtovt pod heslem: Derivováím mocié řdy čle po čleu se obor kovergece ezvětší itegrcí čle po čleu se obor kovergece ezmeší. Pozámk.9.9. Mocié řdy lze tké dělit. K výkldu této problemtiky je všk zpotřebí zát ěkteré vlstosti součtové fukce. Viz poz..7.7 str. 7). 7 viz poz. 6.3.4 str. 7) 8 tj. fz) = c pz p +c p z p + +c z+c d qz q +d q z q + +d z+d, kde p, q N, c k, d l R, k ˆp, l ˆq, c p =, d q.
KAPITOLA Součtová fukce mocié řdy Defiice.: Fukci s : z + z z ), defiovou možiě B z, )), zýváme součtovou fukcí mocié řdy.) str. 9). Pozámk... Pro větší přehledost budeme v tomto odstvci předpokládt z =. Obecé závěry pro libovolý střed kovergece z potom dosteme po provedeí trsformce z z z. Vět. o spojitosti): Buď z vitřím bodem oboru kovergece mocié řdy + z. Potom její součtová fukce je spojitá v bodě z. Důkz. Ozčme R poloměr kovergece řdy + z buď z B, )). Zvolme číslo r tk, by pltilo z < r < R. Potom pro všech z B, r) pltí: sz) s z ) = z = z z ) Odtud již dostáváme erovost sz) s z ) z z j= z = j= z j z j. z z ) = z j z j z z r. Protože podle pozámky.9.7 řd + z v bodě z = r koverguje, tj. c R + ) r = c) sz) sz ) c z z sz) = sz ), z z je vět dokázá. Pozámk... Z věty. vyplývá, že součtová fukce mocié řdy je spojitá vitřku svého defiičího oboru B, )). N tomto místě zůstává evyřeše otázk spojitosti v těch bodech defiičího oboru součtové fukce, které leží kružici Ḃ, )). V oboru komplexích čísel to eí jedoduchá záležitost, v oboru reálých čísel tuto otázku vyřešíme ž po zvedeí pojmu stejoměrá kovergece viz poz. 6.3. str. 7)). V důkzu jsme z volili zcel libovolě. 7
8. SOUČTOVÁ FUNKCE MOCNINNÉ ŘADY Vět.3 o derivci): Buď z vitřím bodem oboru kovergece mocié řdy + z. Potom její součtová fukce s je diferecovtelá v bodě z pltí: s z ) = = z. Důkz. Ozčme R poloměr kovergece mocié řdy + z buď z B, )). Zvolme číslo r tk, by pltilo z < r < R. Potom pro všech z B, r) {z } pltí: sz) s z ) z z z z = z ) z z z = = z z + z z z = = ) z j z j z = = j= ) = z j z j z = j= z j z j z j = = j= ) = z j j z z z j i z i = j= i= z z jr = c z z, = kde jsme ozčili c = j= = ) r, což lze, eboť jde dle.9.8 str. 6) o koečý) součet kovergetí řdy. Odtud již itím přechodem z z získáváme obě tvrzeí věty. Pozámk.3.. Z věty.3 vzhledem k pozámce.9.8 str. 6) vyplývá, že součtová fukce s mocié řdy + z s eulovým poloměrem kovergece má v kždém vitřím bodě oboru kovergece derivce všech řádů tyto derivce se djí lézt derivováím řdy + z čle po čleu, tj. s m) z) = =m m j= ) j) z m = =m ) m!) z m.) m pro všech z B, )) všech m N. Pozámk.3.. Speciálě v předchozí pozámce pro m-tou derivci s ve středu kovergece dostáváme s m) ) = m! m, tj. m = sm) ) m!, pro všech m N. Pro součtovou fukci s mocié řdy + z tedy pltí: sz) = s ) ) z, pro všech z B, ))..)! Pozámk.3.3. Z pozámky.3. vyplývá již jedozčost vyjádřeí součtové fukce pomocí mocié řdy v tomto smyslu: Jsou-li + z, + b z dvě mocié řdy s eulovými poloměry kovergece
. SOUČTOVÁ FUNKCE MOCNINNÉ ŘADY 9 R, R b součtovými fukcemi s, s b tkové, že s z) = s b z), pro všech z B, mi {R, R b }), potom = b, pro všech N. Skutečě ozčíme-li M = B, R ) B, R b ), je s M = s b M proto: m = m! sm) ) = m! s M ) m) ) = m! s b M ) m) ) = m! sm) b ) = b m. Pozámk.3.4. Buď s součtová fukce mocié řdy + z s eulovým poloměrem kovergece. Potom pltí: Je-li fukce s lichá, resp. sudá, je = s ) ) = ), resp. + = s +) ) = ) pro všech N. Defiice.4: Nechť fukce f má v bodě z derivce všech řádů. Potom mociou řdu f ) z )! z z ) zveme Tylorovou [43] řdou fukce f se středem v bodě z. Pozámk.4.. Tylorovu řdu fukce f se středem v bodě zýváme Mcluriovou [35] řdou fukce f. Pozámk.4.. Z pozámky.3. plye, že kždá mociá řd s eulovým poloměrem kovergece je Tylorovou řdou své součtové fukce se stejým středem). Dlší zobecěí libovolý střed) předstvuje ásledující vět: Vět.5: Buďte R poloměr kovergece mocié řdy + z, s její součtová fukce z B, R). Potom pro všech z B z, R z ) pltí: sz) = m= s m) z ) m! z z ) m. Důkz. Pro z = je tvrzeí věty přímo.) z pozámky.3.. Zvolme yí z B, R) {}, potom sz) = z = + ) = m m= + ) = m m= =m [z z ) + z ] = z z ) m z m = z m ) z z ) m m= m= ) m ) m z z ) m z m = z z ) m z m =.3) pro všech tková z B, R), pro která je možé v.3) provést záměu pořdí sum. Tu je možo provést určitě tehdy, koverguje-li dvojá řd ) z z ) m z m.4) m m,) N N m = pro m >
. SOUČTOVÁ FUNKCE MOCNINNÉ ŘADY bsolutě 3. Protože všk ) z z ) m z m = m m,) N N ) = z z ) m z m = m m= ) = z z ) m z m = m = m= z z + z ) < + pro všech z C tková, že z z + z < R, dvojá řd.4) koverguje bsolutě pro všech z B z, R z ). Dokázli jsme tedy, že pro všech z B z, R z ) pltí: sz) = m= + ) m =m z m ) z z ) m = m= s m) z ) m! Posledí rovost získáme doszeím z = z do.) z pozámky.3.. z z ) m. Pozámk.5.. Fukce s třídy C ), pro kterou ke kždému bodu z z jejího defiičího oboru existuje okolí, v ěmž je fukce součtovou fukcí mocié řdy.) se středem v bodě z, se zývá lytická. Dokázá vět tedy vlstě říká, že: Zúžeí součtové fukce mocié řdy vitřek jejího oboru kovergece je lytická fukce. V možiě komplexích čísel je to málo zjímvý výsledek, eboť zde je to je důsledek věty.3 o derivci tj. skutečosti, že součtová fukce mocié řdy je vitřku oboru kovergece holomorfí). Zásdí výzm má všk teto závěr v možiě reálých čísel. Pozámk.5.. Buď yí f reálá fukce reálé proměé třídy C ) echť x je bod z defiičího oboru fukce f. Jediá mociá řd se středem v bodě x, která může v jistém okolí bodu x k fukci f kovergovt, je podle pozámky.4. Tylorov řd k= f k) x ) k! x x ) k. Předpokládejme, že její poloměr kovergece R je eulový ozčme s její skutečou) součtovou fukci. Potom pro všech x z itervlu x R, x + R) pltí sx) = T x) + r x), kde T x) je -tý částečý součet Tylorovy řdy tj. Tylorův mohočle -tého stupě) r x) její zbytek po -tém čleu. Součsě le tké pltí podle Tylorovy věty z difereciálího počtu f x) = T x) + R x) pro všech x z itervlu x R, x + R), kde R x) je zbytek v Tylorově vzorci. Pro všech x z itervlu x R, x + R) pltí tedy fx) = sx) r x) + R x) odtud pro x x R, x + R) vyplývá, že fx) = sx) právě tehdy, jestliže + R x) =. Fukce f je tedy součtovou fukcí své Tylorovy řdy v bodě x z jejího oboru kovergece právě tehdy, jestliže posloupost zbytků R x) v příslušém Tylorově 3 Pro bsolutě kovergetí dvojé řdy budeme užívt symbol. Te bude m,) N N zdůrzňovt fkt, že čley bsolutě kovergetích řd lze libovolě přerovt uzávorkovt), tj. sčítt v libovolém pořdí, iž by to mělo vliv kovergeci řdy, popř. její součet. To, že řd.4) oprvdu koverguje bsolutě my jsme oprávěi použít tohoto zápisu je ukázáo dále.
. SOUČTOVÁ FUNKCE MOCNINNÉ ŘADY vzorci je v ekoečé itě ulová. V ásledující pozámce ukážeme příkld fukce třídy C ), která eí součtovou fukcí své Tylorovy řdy. Pozámk.5.3. Položme fx) = {e x pro x R {} pro x = Fukce f je zřejmě ekoečěkrát diferecovtelá možiě R {}. Idukcí přitom sdo dokážeme, že f ) x) = p 3 x ) e x,. kde p k je polyom stupě k. Protože f fx) f) ) = = x x x x e x = x f x) = x p 3 ) e x x =, je fukce f třídy C ) celém R. Předpokládejme, že f je třídy C ) f ) ) =. Potom f +) f ) x) f ) ) ) = = x x x x p 3 ) e x x = f +) x) = p 3+) x x ) e x x =. Dokázli jsme tk, že fukce f je třídy C ) celém R. Přitom sx) = f ) ) x = pro všech x R,! le fx) > pro x R {}. Neexistuje tedy mociá řd se středem v bodě, která by v ějkém okolí uly kovergovl k fukci f. Pozámk.5.4. Dosdíme-li v pozámce.5. z f postupě ěkteré elemetárí fukce, obdržíme ásledující idetity: e x = si x = cos x = x!, ) + )! x+, ) )! x
. SOUČTOVÁ FUNKCE MOCNINNÉ ŘADY pro všech x R; + x) α = l + x) = rctg x = rcsi x = ) α x,, pokud α > pro všech x,, pokud α, ;, ), pokud α ) + x+ pro všech x, ; ) + x+ pro všech x, ; ) + ) x + = x + = + )!! x!) pro všech x,. Viz tké pozámky.7. str. 3) ž.7.9 str. 8). Vět.6 o jedozčosti): Buď r > echť mocié řdy + z, + b z kovergují možiě B, r) k součtovým fukcím s, s b. Nechť koečě moži {z B, r) s z) = s b z)} má v B, r) hromdý bod. Potom = b pro všech N tedy s = s b ). Důkz. Ozčme M = {z B, r) s z) = s b z)} f = s s b. Potom fz) = c z, kde c = b, pro všech z B, r) fz) = právě když z M. Buď A moži všech hromdých bodů možiy M v B, r). Z předpokldů věty vyplývá, že A je eprázdá zřejmě i uzvřeá v B, r). Ukážeme yí, že A je tké otevřeá. Buď z A. Potom podle věty.5 lze fukci f možiě B z, r z ) vyjádřit jko součtovou fukci mocié řdy se středem v bodě z. Buď tedy fz) = + d z z ) pro všech z B z, r z ) buď dále m ejmeší idex, pro který pltí d m. Potom fz) = z z ) m gz), kde gz) = + d m+ z z ) pro všech z B z, r z ) g z ) = d m =. Odtud vyplývá 4, že existuje okolí U bodu z tkové, že pro všech z U je gz) tedy je i fz) pro všech z U {z }. To je ovšem ve sporu s tím, že bod z je hromdým bodem možiy M. Je proto d = pro všech N, fz) = pro všech z B z, r z ) tudíž B z, r z ) A. Sestrojili jsme tk v B, r) obojetou eprázdou podmožiu A. Vzhledem k tomu, že moži B, r) je kovexí tudíž souvislá), musí pltit A = B, r). Protože všk fukce f je spojitá, musí být A M, což při ikluzi M B, r) zmeá, že M = B, r) s z) = s b z) pro všech z B, r). Odtud z pozámky.3.3 str. 8) plye již tvrzeí věty. Pozámk.6.. Součtovou fukci mocié řdy můžeme povžovt z jkési zobecěí polyomu. V tomto smyslu je přirozeá otázk, které vlstosti polyomu se součtovou fukci přeášejí. Vět. str. 7) pozámk.3. str. 8) ukzují, že součtová fukce mocié řdy přejímá od polyomu tkové vlstosti, jko je spojitost diferecovtelost. 4 gz) je jkožto součtová fukce spojitá.
. SOUČTOVÁ FUNKCE MOCNINNÉ ŘADY 3 Pozámk.6.. Zákldí vět lgebry říká, že kždý polyom stupě lespoň prvího má v možiě komplexích čísel lespoň jede koře. Tuto vlstost emusí mít součtová fukce mocié řdy. Příkldem může být řd + Pozámk.6.3. Z druhé stry je kždý polyom -tého stupě jedozčě urče svými hodotmi v + vzájemě růzých bodech. Vět.6 je zobecěím této vlstosti součtovou fukci mocié řdy. Vět.7 o itegrci): Buďte R poloměr kovergece s součtová fukce mocié řdy + z. Potom pltí sx) dx = pro kždý itervl, b R, R). b + +) + Důkz. Podle pozámky.9.7 str. 6) má řd + z!. + z+ poloměr kovergece R. Ozčme F její součtovou fukci. Podle věty.3 str. 8) je fukce F v kždém bodě z B, r) diferecovtelá pltí F z) = z = sz). Speciálě tedy pro libovolý itervl, b R, R) pltí: F x) = sx) pro všech x, b tudíž sx) dx = F b) F ) = + b+ + +. Pozámk.7.. Tvrzeí věty.7 lze rozšířit libovolý itervl, b B, )) viz větu 6.8 str. 79)). Pozámk.7.. V pozámce.5.4 str. ) jsme rozvedli ěkteré elemetárí fukce v mociou řdu užitím Tylorovy věty z difereciálího počtu. Je místě zdůrzit, že teto postup je obecě velmi áročý zdlouhvý. Problémem může být již formálí sestrojeí Tylorovy řdy tj. lezeí hodot -té derivce fukce v dém bodě). Nejobtížější všk bývá lezeí možiy, v íž posloupost zbytků v Tylorově vzorci koverguje k ule. Uvážíme-li, že hrzeí fukce její mociou řdou je jede z ejzákldějších úkoů eje v čisté mtemtice, le i ve všech jejích plikcích, vidíme utost lezeí efektivějších metod rozvíjeí fukcí v mociou řdu. Ty spočívjí právě v užití teorie mociých řd. Některé metody si ukážeme v ásledujících pozámkách: Pozámk.7.3. Pro všech x, ) pltí Odtud plye + x) = + + x + x = + + x = ) x. k= ) k x k ) k x k = ) + ) x
4. SOUČTOVÁ FUNKCE MOCNINNÉ ŘADY pro všech x, ). Podobě + x) 3 = + x) + + x = = ) x k= ) k k + ) x k ) k x k = k= k + ) = pro všech x, ). Idukcí můžeme dokázt: + x) p = p ) k= ) + ) + ) x + k x = ) + p k p ) x = ) p x pro všech p N všech x, ). K tomuto závěru můžeme všk dleko sději dojít derivováím rovosti +x = + ) x při využití věty.3 str. 8). Pltí: + x) p = )p p )! = )p p )! = = d p dx p =p ) p+ p =p p ) m m= k= ) = + x p ) ) k + ) x p+ = k= k= k + x p+ = k m + p k x m = k ) p x m m pro všech x, ). Užijeme-li yí rovost +x = + dostáváme: l + x) = x dt + + t = Podobě z rovosti +x = + x rctg x = ) x větu.7 ) + x+ pro všech x, ). ) x obdržíme pro všech x, ): dt + + t = ) + x+. Zdůrzěme, že poloměry kovergece všech mociých řd v této pozámce byly plye to ejjedodušeji z pozámky.9.8 str. 6)), že všechy řdy jsou Mcluriovy rozvoje svých součtových fukcí viz.4. str. 9)). K celému oboru kovergece se ještě vrátíme pozámkou 6.3. str. 7). Pozámk.7.4. V předchozí pozámce jsme lezli rozvoj fukce f : x + x) α v počátku pro všech α Z. Pokud všk je α R Z, ezískáváme i itegrcí i derivcí fukci, jejíž rozvoj by ám byl zám epředpokládáme-li smozřejmě zlost biomického rozvoje). Využijeme tedy toho, že se derivováím fukce příliš eměí. Buď α R {}. Potom pltí f x) = α + x) α + x) f x) = αfx).
. SOUČTOVÁ FUNKCE MOCNINNÉ ŘADY 5 Fukce f je tedy řešeím tzv. difereciálí rovice lieárí I. řádu): + x) y = αy. Hledejme yí řešeí této rovice ve formě součtové fukce mocié řdy + x, o íž budeme předpokládt, že má kldý poloměr kovergece R uvedeý postup předstvuje jedu z metod, jk se difereciálí rovice skutečě řeší). Potom pro všech x R, R) pltí = x + + x) x = α x, = α) x =, [ + ) + + α) ] x =. Z pozámky.3.3 str. 8) odtud plye + = α + pro všech N. Idukcí dostáváme = α ). Sdo se přesvědčíme, že poloměr kovergece mocié řdy + α ) x je jed tudíž její součtová fukce řeší difereciálí rovici itervlu, ). Protože f) =, hledejme yí je t řešeí ší difereciálí rovice, pro která je splě tzv. počátečí) podmík y) =. Difereciálí rovici s touto počátečí podmíkou řeší itervlu, ) kromě fukce f tké součtová fukce řdy + ) x. α Kolik tkových řešeí existuje? Předpokládejme, že fukce g je jedo tkové řešeí, tj. že pltí + x) g x) = αgx) pro všech x, ) g) =. Položme ϕ = g f ; potom pro všech x, ) pltí: ϕx) = + x) α gx) ϕ x) = α + x) α gx) + + x) α g x) = = + x) α [ αgx) + + x) g x)] =. Fukce ϕ je proto kosttí itervlu, ) přitom ϕ) =. Dokázli jsme, že ϕx) = pro všech x, ) tudíž f = g. Rovice + x) y αy = s počátečí podmíkou y) = má tedy právě jedo řešeí tudíž je + x) α = ) α x pro všech x, ) α R. Speciálě pro α = dostáváme vzorec pro součet geometrické řdy. Položíme-li α =, obdržíme dlší zjímvý rozvoj: = x) / = ) ) x = + x = )!! x, )!!
6. SOUČTOVÁ FUNKCE MOCNINNÉ ŘADY ze kterého užitím věty.7 plye: rcsi x = x dt = + t ) + ) rccos x = π x + dt = π + t x = x + = x + + = + )!! x +. )!! )!! x +, )!! Pozámk.7.5. Podobě jko v předcházející pozámce můžeme lézt rozvoj fukce x e x. T vyhovuje celé možiě reálých čísel difereciálí rovici y y = s počátečí podmíkou y) =. Řešeí ve formě součtové fukce mocié řdy dává pro její koeficiety podmíku + ) + = pro všech N, tj. =!. Z podmíky y ) = vyplývá =. Zovu se přesvědčíme, že rovice y y = s podmíkou y) = má R jedié řešeí. Skutečě, je-li g jedo řešeí, pltí e x gx) ) = e x gx) + e x g x) = e x g x) gx)) =, tudíž e x gx) = e g) = pro všech x R gx) = e x, tj. e x = + všech x R. Odtud tké plye: sih x = ex e x = cosh x = ex + e x = x + + )! x )! pro všech x R pro všech x R. x! pro Pozámk.7.6. Výsledky, které jsme získli v pozámkách.7.3.7.5, lze jedoduše rozšířit z R C. Využijeme zde jedé ze zákldích vlstostí holomorfích fukcí: Buď A oblst v C, f g holomorfí fukce A. Potom, má-li moži B = {z A fz) = gz)} v A lespoň jede hromdý bod, je A = B. Speciálě: Je-li R eulový poloměr kovergece mocié řdy + z, s její součtová fukce B, R) potom dle věty.3 str. 8) je s B, R) holomorfí) f holomorfí fukce B, R), pro kterou pltí fx) = + x pro všech x R, R), je fz) = sz) = + z pro všech z B, R). Pltí proto pro všech z C e z = Odtud dostáváme: si z = i sih iz = cos z = cosh iz = z +!, sih z = z + + + )!, cosh z = z )!. ) + )! z+ pro všech z C, ) )! z pro všech z C. Podobě lze všechy rozvoje, které jsme lezli v pozámkách.7.3.7.4, rozšířit z itervlu, ) možiu B, ) C.
. SOUČTOVÁ FUNKCE MOCNINNÉ ŘADY 7 Pozámk.7.7. Již v pozámce.9.9 str. 6) jsme zčili, že mocié řdy lze tké dělit. V tomto přípdě všk již ejsou vzthy mezi koeficiety tk jedoduché. Ukážeme si to převráceé hodotě součtové fukce mocié řdy. Buď, s součtová fukce mocié řdy + z s eulovým poloměrem kovergece. Potom s) lze tedy předpisem z sz) defiovt v jistém okolí bodu fukci t. Předpokládejme, že tké fukce t je součtovou fukcí ějké mocié řdy + b z. Existuje tedy kldé r tk, že pro všech z B, r) pltí: + ) z = b z, Odtud vzhledem k.3.3 str. 8) plye tj. z b z =. b =, j b j = pro N. j= Vzhledem k tomu, že =, lze z těchto rovic vyjádřit b pomocí b, b,..., b pro všech N tk postupě určit koeficiety mocié řdy + b z pomocí koeficietů řdy + z. Protože explicití vyjádřeí koeficietů řdy + b z je zde obvykle těžko relizovtelé, elze většiou lézt poloměr kovergece řdy b z pomocí Hdmrdovy věty.8 vziká tk otázk, zd-li je vůbec áš postup zložeý předpokldu, že poloměr kovergece + b z je větší ež ) korektí. Připomeňme proto, že z teorie fukcí komplexí proměé plye, že je-li fukce f holomorfí kruhu B z, r), je tomto kruhu součtovou fukcí své Tylorovy řdy se středem v bodě z. Odtud tedy plye, že je-li še součtová fukce s eulová možiě B, r), je fukce t = s holomorfí B, r) poloměr kovergece řdy + b z je potom větší ebo rove r. Pozámk.7.8. Ozčme s součtovou fukci mocié řdy + z +)! pokusme se v duchu předchozí pozámky lézt mociou řdu + b z tk, by pltilo sz) = + b z. Protože s ) = sz) = ez z pro všech z C {}, je sz) pro všech z B, π). Z předcházející pozámky plye, že poloměr kovergece řdy + b z je lespoň π z toho, že s πi) = z věty. str. 7) dokoce plye, že poloměr kovergece je právě π). Ozčme B = b!, potom pro všech z B, π) pltí: z + )! B! z =.
8. SOUČTOVÁ FUNKCE MOCNINNÉ ŘADY Odtud j= + j)! j! B j =, tj. B = ) + B j = pro všech N. j j= Postupě můžeme lézt B =, B = 6, B 3 =, B 4 = 3, B 5 =, B 6 = 4, B 7 =, B 8 = 3, td. Čísl B se zývjí Beroulliov [7] setkáme se s imi v růzých prtiích mtemtiky viz tké poz. 7.9.9 str. 99)). Sdo se přesvědčíme, že B + = pro všech N. Pro všech z B, π) {} totiž pltí: z coth z = z ez + e z = z e z + z + = B! z + z = + + = B! z. Protože fukce z coth z je sudá, jsou podle pozámky.3.4 str. 9) koeficiety u lichých moci z ulové. Zároveň jsme tk obdrželi zjímvý rozvoj z coth z = + = B z =! = Protože coth iz = i cotg z, pltí tké že z cotg z = B z pro všech z B, π) {}. )! ) B z pro všech z B, π) {}. )! Přitom poloměr kovergece obou mociých řd je π. Pozámk.7.9. Zjíce rozvoje fukcí sius i kosius v mociou řdu, můžeme se pomocí děleí mociých řd pokusit o lezeí rozvoje fukce tges. Nechť tg z = T! z. Vzhledem k tomu, že fukce sius i kosius jsou holomorfí v C, cos z B ), π cos π =, je poloměr kovergece řdy + T! z právě π. Jelikož fukce tges je lichá, je T = pro všech N. Dosdíme-li yí pro z B ), π do rovosti si z = tg z cos z, dostáváme ) T + ) + )! z+ = + )! z+ )! z tj. tedy = j= ) + )! = j= T j+ j + )! ) j j)! ) ) j + T j+ pro všech N. j +
. SOUČTOVÁ FUNKCE MOCNINNÉ ŘADY 9 Odtud lezeme: T =, T 3 =, T 5 = 6, T 7 = 7, T 9 = 7936, td. Obecě lze vyjádřit koeficiety T + pomocí Beroulliových čísel: Protože tg z = cotg z cotg z pro všech z B ), π {}, je z tg z = ) + ) B z )! = tg z = ) + ) B z )! = pro všech z B, π ). Pltí proto: T = )+ ) B pro N.
Část Fukčí poslouposti
KAPITOLA 3 Kovergece fukčí poslouposti Defiice 3.: Buď f ) + posloupost komplexích fukcí defiových možiě A C. Nechť dále pro kždé z A posloupost f z)) + koverguje. Potom fukci f defiovou možiě A předpisem z f z) zýváme ití fukcí + poslouposti f ) +. Pozámk 3... V obecém přípdě bude posloupost f ) + defiová možiě B kovergovt bude podmožiě A B. V tomto skriptu ás všk bude zjímt pouze t moži A, které posloupost f ) + koverguje. V kokrétích přípdech budeme tedy z možiu A volit obor kovergece. Pozámk 3... V defiici 3. hovoříme o poslouposti fukcí z C do C. Stejě tk jsme všk mohli zvést pojem itího zobrzeí ze zcel libovolé možiy A do topologického prostoru F. Pozámk 3..3. Skutečost, že f je ití fukcí poslouposti f ) + možiě A) zpisujeme tké tkto: f z) A fz). Npř. pltí: z B,) ; + z ) C e z. Pozámk 3..4. V dlším odstvci se budeme zbývt otázkou, které vlstosti čleů fukčí poslouposti se přeášejí ití fukci. Při bodové kovergeci tk se tké zývá kovergece zvedeá def. 3.) se přeášejí ěkteré eití vlstosti, jko je periodičost, mootoie ebo prit, le ikoli již př. spojitost, diferecovtelost itegrbilit. Proto přikročíme k defiici tkové kovergece, při které se již uvedeé vlstosti ití fukci přeesou. Defiice 3. Ph. L. v. Seidel [4], G. G. Stokes [4]): Buď f fukce f ) + posloupost fukcí defiových možiě A. Řekeme, že posloupost f z)) + koverguje k fz) stejoměrě možiě A, jestliže ke kždému kldému číslu ε existuje R tk, že pro všech přirozeá > všech z A pltí f z) fz) < ε. Pozámk 3... Koverguje-li posloupost f z)) + k fz) stejoměrě možiě A, potom fukce f je ití fukcí poslouposti f ) + Pozámk 3... Stejoměrou kovergeci lze obecě zvést i pro zobrzeí možiy A do metrického prostoru F, σ): Buď f zobrzeí f ) + posloupost zobrzeí zcel libovolé možiy A do prostoru F, σ). Řekeme, že posloupost f z)) + koverguje k fz) stejoměrě možiě A, jestliže ke kždému kldému číslu ε existuje R tk, že pro všech přirozeá > všech z A pltí σ f z), fz)) < ε. 33.
34 3. KONVERGENCE FUNKČNÍ POSLOUPNOSTI Pozámk 3..3. Pro stejoměrou kovergeci v def. 3., resp. v poz. 3.. užíváme ásledující zápis: f z) A fz). Pltí tedy: f z) A fz) ε > ) z A) ) > ) f z) fz) < ε) f z) A fz) ε > ) ) > ) z A) f z) fz) < ε). Všiměme si, že z hledisk mtemtické logiky se defiice bodové stejoměré kovergece liší je záměou pořdí kvtifikátorů ) z A). Pozámk 3..4. V ově zvedeém ozčeí můžeme pozámku 3.. zpst ásledově: f z) A fz) f z) A fz); tj. koverguje-li f z)) + možiě A stejoměrě k fz), koverguje f z)) + možiě A tké bodově k fz). Pozámk 3..5. Implikci v předchozí pozámce elze obrátit. Položme f x) = x A pro x, ). Potom f x) fx), kde fx) = pro všech x, ). Přitom f x)) + ekoverguje itervlu, ) stejoměrě fx). Položme př. ε =. Potom pro všech existuje > existuje x, ) tk, že x = ε. Pozámk 3..6. Pro porováí bodové stejoměré kovergece je zčě chrkteristická jejich závislost možiě. Buď př. A = A α, kde A α C pro všech α I. Potom pltí: ) f x) A α fx) pro všech α I) f x) A fx). Zřejmě rověž pltí: b) f z) A α fz) pro všech α I) f z) A fz) pokud I je koečá moži. Tvrzeí b) všk již emusí pltit, zvolíme-li z I ekoečou př. spočetou možiu: Pozámk 3..7. Pro všech m N všech x, m je x = x m). Pltí tedy x, m pro všech m N; přitom le podle pozámky 3..5 posloupost x ) + ekoverguje stejoměrě itervlu, ). Pozámk 3..8. Nechť f z) A fz). Potom pro kždou možiu B A pltí f z) B fz). Viz tké pozámku 3.4.3. Pozámk 3..9. Pltí: ) jsou-li f z) A fz) c C, potom cf z) A cfz); b) jsou-li f z) A fz) g z) A gz), potom tké f + g ) z) A f + g) z). Tvrzeí b) všk elze obecě rozšířit souči. Npř.: x + R x, le x + ) R x. Viz též pozámku 3.8. str. 37). Vět 3.3: Posloupost f z)) + koverguje k fz) stejoměrě možiě A právě tehdy, když ) sup f z) fz) =. + z A α I
3. KONVERGENCE FUNKČNÍ POSLOUPNOSTI 35 Důkz. Přímo z defiice dostáváme: f z) A fz) ε > ) ) > ) z A) f z) fz) < ε) ) ε > ) ) > ) sup f z) fz) ε sup f z) fz) + z A ) z A =. Pozámk 3.3.. Ozčme ma) metrický prostor všech omezeých komplexích fukcí defiových možiě A s metrikou ϱ defiovou ásledově: Jsou-li f, g prvky možiy ma), kldeme ϱ f, g) = sup fz) gz). Potom posloupost f ) + z A koverguje k f v prostoru ma) dle defiice právě tehdy, jestliže ϱ f, f) = ; tj. dle věty 3.3 právě tehdy, jestliže f z) A fz). + Pozámk 3.3.. I v obecém přípdě, kdy studujeme zobrzeí možiy A do metrického prostoru F, σ), můžeme defiovt prostor ma) jko prostor všech omezeých zobrzeí možiy A do možiy F s metrikou ϱ f, g) = sup z A σ fz), gz)). Potom posloupost f ) + koverguje k zobrzeí f v prostoru ma) opět právě tehdy, pltí-li f z) A fz). Pozámk 3.3.3. Vět 3.3 všk kromě toho, že dokzuje metrizovtelost stejoměré kovergece, je i výhodým kritériem pro ověřováí stejoměré kovergece. Npř. v pozámce 3..7 x, m, eboť x,), eboť sup + x, m sup + x,) x = x = = ; + m) =. + Vět 3.4 B. Bolzo [], A. L. Cuchy [4] ): Buď f ) + posloupost komplexích fukcí defiových možiě A. Potom posloupost f z)) + koverguje stejoměrě možiě A k ějké ití fukci) právě tehdy, když pro kždé kldé číslo ε existuje R tkové, že pro všech přirozeá >, pro všech přirozeá p pro všech z A pltí: f +p z) f z) < ε. Důkz. ) ) Nechť f z) A fz) zvolme ε >. Potom existuje R tk, že pro všech > všech z A pltí: f z) fz) < ε. Odtud dostáváme pro všech >, pro všech z A pro všech přirozeá p f +p z) f z) f +p z) fz) + f z) fz) < ε. b) ) Předpokládejme, že pro libovolé ε > existuje tk, že pro všech >, všech p N všech z A pltí: f +p z) f z) < ε. 3.) Vždy pouze pro bodovou kovergeci.
36 3. KONVERGENCE FUNKČNÍ POSLOUPNOSTI Pro libovolé pevé z A odtud plye, že číselá posloupost f z)) + koverguje. Buď f ití fukce poslouposti f ) + možiě A. Přejdemeli yí v erovosti 3.) k itě pro p +, vidíme, že pro všech ε > existuje tk, že pro všech > všech z A pltí: fz) f z) ε < ε. Pozámk 3.4.. Z věty 3.4 vyplývá, že jsme schopi v C chrkterizovt skutečost, že posloupost f z)) + stejoměrě koverguje možiě A, bez pojmu ití fukce opodsttňuje se tk i užití zápisu f z). A Pozámk 3.4.. Vět 3.4 pltí hrdíme-li smozřejmě f +p z) f z) vzdáleostí σ f +p z), f z))) pro posloupost zobrzeí do metrického prostoru F, σ) právě tehdy, je-li prostor F, σ) úplý. Je-li prostor F, σ) úplý, potom vět 3.4 vlstě říká, že prostor ma) je tké úplý viz poz. 3.3.). Pozámk 3.4.3. Buď f ) + posloupost fukcí spojitých možiě A. Nechť dále existuje moži B tková, že B A B, že posloupost f z)) + koverguje stejoměrě možiě B. Potom posloupost f z)) + koverguje stejoměrě možiě A. Defiice 3.5: Buď f ) + posloupost komplexích fukcí defiových možiě A. Řekeme, že posloupost f z)) + koverguje možiě A lokálě stejoměrě k fz)), jestliže ke kždému bodu z A existuje okolí H bodu z tkové, že posloupost f z)) + koverguje stejoměrě k fz)) možiě A H. Pozámk 3.5.. Koverguje-li posloupost f z)) + stejoměrě možiě A k fz)) koverguje možiě A tké lokálě stejoměrě k fz)). Opčé tvrzeí pltiti emusí. Posloupost x ) + koverguje itervlu, ) lokálě stejoměrě, le ekoverguje stejoměrě. Avšk: Pozámk 3.5.. Z Heieovy Borelovy věty plye, že koverguje-li posloupost f z)) + lokálě stejoměrě kompktí možiě A, koverguje možiě A stejoměrě. N kompktí možiě jsou tedy pojmy lokálě stejoměrá kovergece stejoměrá kovergece ekvivletí. Pozámk 3.5.3. Podobě jko stejoměrou kovergeci poz. 3.. str. 33)), můžeme i lokálě stejoměrou kovergeci zvést pro posloupost zobrzeí. Tetokrát všk z topologického prostoru E do metrického prostoru F. Pozámk 3.5.4. K dosvdím druhům kovergece připojme ještě jede. Setkáme se s ím zovu v dlším odstvci umoží ám lépe vystihout přeos spojitosti v kovergetí poslouposti. Defiice 3.6 C. Arzelà [5]): Buď f ití fukcí poslouposti f ) + možiě A. Řekeme, že posloupost f z)) + koverguje kvzistejoměrě k fz) možiě A, jestliže ke kždému číslu ε kždému ezáporému celému číslu existuje přirozeé číslo p tk, že pro všech z A pltí: mi f +kz) fz) < ε. k ˆp Pozámk 3.6.. Jk plye přímo z defiice kvzistejoměrá kovergece je, stejě jko stejoměrá, resp. lokálě stejoměrá, bodová kovergece. Pozámk 3.6.. Podobě, jko tomu bylo u stejoměré, resp. lokálě stejoměré kovergece, lze tké pojem kvzistejoměré kovergece rozšířit i poslouposti zobrzeí do metrického prostoru.
3. KONVERGENCE FUNKČNÍ POSLOUPNOSTI 37 Pozámk 3.6.3. Stejoměrá kovergece je kvzistejoměrá. Vzájemý vzth jedotlivých druhů kovergece stejé možiě lze grficky zchytit ásledově: lokálě stejoměrá stejoměrá kvzistejoměrá 3 bodová Pozámk 3.6.4. Lokálě stejoměrá kovergece kvzistejoměrá kovergece vzájemě obecě esouvisí. Npř. posloupost x ) + koverguje itervlu, ) lokálě stejoměrě, le ekoverguje kvzistejoměrě eexistuje totiž přirozeé p tk, by pro všech x z itervlu, ) pltilo mi k ˆp xk = x p < ). Z druhé stry posloupost x x ) + ekoverguje lokálě stejoměrě itervlu, ekoverguje totiž stejoměrě žádém okolí bodu, le koverguje itervlu, kvzistejoměrě k ule ejjedodušeji to plye z věty 4.5 str. 44). Defiice 3.7: Fukce f, N se zývjí stejě omezeé možiě A, existuje-li kldé číslo K tkové, že pro všech přirozeá všech z A pltí f z) < K. Pozámk 3.7.. Stejě omezeé fukce možiě A jsou omezeé A. Opk pltit emusí. Npř. fukce x x itervlu, ) jsou omezeé, le ejsou omezeé stejě. Vět 3.8: Nechť posloupost f z)) + koverguje stejoměrě možiě A k fz). Potom ásledující výroky jsou ekvivletí: i)fukce f, N jsou ž koečě moho výjimek omezeé možiě A. ii)limití fukce f je omezeá možiě A. iii)existuje přirozeé číslo k tk, že fukce f k+, kde N, jsou stejě omezeé možiě A. Důkz. Protože f z) A fz), existuje přirozeé číslo k tk, že pro všech přirozeá čísl pro všech z A pltí: f k+ z) fz) <. 3.) ) i) ii): Existuje N K > tk, že f k+ z) < K pro všech z A. Z 3.) potom plye, že fz) < K + pro všech z A. b) ii) iii): Existuje M > tk, že pro všech z A pltí: fz) < M. Potom z 3.) dostáváme, že pro všech přirozeá pro všech z A je f k+ z) < M +. c) iii) i): Viz poz. 3.7.. Pozámk 3.8.. Jk plye z podého důkzu, můžeme větu 3.8 rozšířit ještě o jede ekvivletí výrok: iv) Existuje spočetá moži M N tková, že fukce f pro M jsou omezeé možiě A. Pozámk 3.8.. Jsou-li f ) +, g ) + dvě poslouposti fukcí omezeých možiě A tkových, že f z) A fz) g z) A gz), potom tké f z)g z) A fz)gz). Viz též poz. 3..9 str. 34). Pozámk 3.8.3. Buďte f ) + posloupost fukcí defiových možiě A, z hromdý bod možiy A píšeme tké z A ). Řekeme, že fukce f,
38 3. KONVERGENCE FUNKČNÍ POSLOUPNOSTI N mjí v bodě z stejě itu vzhledem k možiě A rovou ), jestliže ke kždému ε > existuje okolí H bodu z tk, že pro všech z H A {z }) všech N pltí f z) < ε. Pozámk 3.8.4. Nechť fukce f, N mjí v bodě z stejě itu rovou vzhledem k možiě A. Nechť dále je posloupost ) + = omezeá. Potom existuje okolí H bodu z tkové, že fukce f, N jsou možiě A H stejě omezeé. Pozámk 3.8.5. Nhrdíme-li v pozámce 3.8.3 předpokld z A předpokldem z A kldeme-li zde = f z ), obdržíme defiici stejé spojitosti fukcí f, N v bodě z vzhledem k možiě A. Pozámk 3.8.6. Buďte f ) + posloupost fukcí defiových možiě A, z A. Potom fukce f, N jsou stejě spojité v bodě z vzhledem k možiě A právě tehdy, je-li buď z izolový bod možiy A ebo fukce f, N mjí v bodě z stejě itu vzhledem k možiě A rovou fukčí hodotě v tomto bodě. Pozámk 3.8.7. Jsou-li fukce f, N stejě spojité v kždém bodě možiy A vzhledem k A, říkáme, že fukce f, N jsou stejě spojité možiě A. V lýze se čsto užívá ásledující druh stejé spojitosti: Defiice 3.9: Buď f ) + posloupost fukcí defiových možiě A. Řekeme, že fukce f, N jsou stejě stejoměrě spojité možiě A, jestliže ke kždému ε > existuje δ > tkové, že pro kždou dvojici bodů z z z možiy A, pro kterou je z z < δ pro všech N pltí: f z) f z ) < ε. Pozámk 3.9.. V litertuře pokud se ezvádí jiý druh stejé spojitosti ež je te, který je uvede v defiici 3.9) se čsto stejá stejoměrá spojitost stručě zývá stejá spojitost. V této termiologii bývá potom tké vyslove ásledující důležitá vět: Vět 3. G. Ascoli, C. Arzelà): Buďte J omezeý itervl v možiě reálých čísel f ) + posloupost komplexích fukcí stejě omezeých stejě stejoměrě spojitých J. Potom posloupost f x)) + má itervlu J stejoměrě kovergetí podposloupost. Důkz. Uspořádejme možiu J Q do poslouposti r m ) + m=. Ze stejé omezeosti fukcí f, N z Weierstrssovy věty plye, že pro kždé x J má číselá posloupost f x)) + kovergetí podposloupost. Ozčme: ) + f,) podposloupost poslouposti f ) +, která koverguje v bodě r, ) + ) + f,) podposloupost poslouposti f,), která koverguje v bodě r, obecě ) + ) + f m,) podposloupost poslouposti fm,), která koverguje v bodě r m. Pro m N posloupost ) + f m,) koverguje v bodech r,..., r m. Digolizcí obdržíme posloupost ) + f,), která koverguje možiě J Q. Zvolme yí ε >. Ze stejé stejoměré spojitosti fukcí f, N plye existece čísl δ > tkového, že pro všech x, x J, pro která je x x < δ pro všech N pltí f x) f x ) < ε 3. Dále existuje číslo k N tk, že pro všech x J je mi x r j < δ. j ˆk
3. KONVERGENCE FUNKČNÍ POSLOUPNOSTI 39 Koečě z kovergece poslouposti ) + f,) v bodech r j pro j ˆk vyplývá, že existuje tk, že pro všech přirozeá m, > všech j ˆk pltí fm,m) r j ) f,) r j ) < ε 3. Buďte yí x libovolý bod z itervlu J j ˆk tkové, že x r j < δ. Potom pro všech přirozeá m, > pltí f m,m) x) f,) x) fm,m) x) f m,m) r j ) + fm,m) r j ) f,) r j ) + + f,) r j ) f,) x) ε < 3 + ε 3 + ε 3 = ε. Odtud již plye, že f,) x) J fx). Pozámk 3... Vět je formulová pro posloupost komplexích fukcí reálé proměé. Z podého důkzu sdo hlédeme, že vět 3. zůste v pltosti, hrdíme-li itervl J libovolým totálě omezeým metrickým prostorem posloupost f ) + bude posloupostí zobrzeí do koečě rozměrého prostoru. Pozámk 3... Zvedli jsme pro fukce f, N pojmy stejá omezeost, stejá it v bodě, stejá spojitost. Podobě můžeme defiovt pojem stejé diferecovtelosti, dokoce i stejé itegrbility: Pozámk 3..3. Řekeme, že fukce f, N jsou stejě diferecovtelé v bodě z, jestliže fukce g : z z z ) f z) f z )), N mjí stejě itu v bodě z. Pozámk 3..4. Fukce stejě diferecovtelé v bodě z jsou v tomto bodě stejě spojité. Pozámk 3..5. Řekeme, že reálé fukce f, N jsou itervlu, b stejě itegrbilí, jestliže ke kždému ε > existuje číslo δ > tk, že pro kždé δ-rozděleí σ itervlu, b pro kždé N pltí: S f, σ) s f, σ) < ε. Přitom symbolem S f, σ), resp. s f, σ) jsme ozčili horí, resp. dolí itegrálí součet fukce f itervlu, b při rozděleí σ.
KAPITOLA 4 Věty o ití fukci Vět 4. o itě): Buď f ) + posloupost komplexích fukcí defiových možiě A C echť I)z A ; II)Pro všech přirozeá existuje III)f z) A fz). Potom pltí: i)posloupost ) + = koverguje; ii)existuje fz); z z z A z z z A iii)limity v bodech i) ii) jsou si rovy. f z) = ; Důkz. ) Z III) z věty 3.4 str. 35) plye, že k libovolému ε > existuje tk, že pro všech přirozeá >, všech p N všech z A pltí f +p z) f z) < ε 3. Zvolme yí pevě >, p N. Potom z II) plye existece okolí H bodu z tk, že pro všech z A H {z } bude pltit f z) < ε 3 i f +p z) +p < ε 3. Tudíž +p f +p z) +p + f +p z) f z) + f z) < < ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε. Dokázli jsme tk tvrzeí i). b) Ozčme = zvolme ε >. Potom z III) dokázého tvrzeí i) + plye existece tkového, že pro všech > pltí: f z) fz) < ε 3 < ε 3. pro všech z A Zvolme pevě >. Potom existuje okolí H bodu z tkové, že pro všech z A H {z } je f z) < ε 3 tudíž fz) < fz) f z) + f z) + < ε. Dokázli jsem tk, že z z z A fz) =, tj. tvrzeí ii) i iii). 4
4 4. VĚTY O LIMITNÍ FUNKCI Pozámk 4... Jsou-li splěy předpokldy věty 4. je tedy možá ásledující zámě it: f z) = f z). + + z z z A z z z A Pozámk 4... Vět 4. pltí v plém rozshu i pro posloupost zobrzeí z topologického prostoru E do úplého metrického prostoru F, σ). Pozámk 4..3. Tvrzeí věty 4. obecě epltí, vyecháme-li předpokld o stejoměré kovergeci. Stčí položit A =, ), f x) = x), x = potom epltí i); A =, ), f x) = x si x), x = potom epltí ii); A =, ), f x) = x, x = potom epltí iii). Pozámk 4..4. Stejoměrá kovergece poslouposti f z)) + všk eí podmíkou utou pro pltost tvrzeí věty 4.. Položme x A =, ), f x) = + x, x =. Potom x,) + x, le x x + + + x = = x + x + + x. Pozámk 4..5. N určitou symetrii pojmů stejoměrá kovergece stejá kovergece viz poz. 3.8.3 str. 37)) ukzuje ásledující vět: Nechť fukce f, N mjí v bodě z stejě itu vzhledem k možiě A rovou. Nechť dále f je ití fukce poslouposti f ) + možiě A. Potom pltí: i) Fukce f má itu v bodě z vzhledem k možiě A; ii) Posloupost ) + = koverguje; iii) z z z A fz) =. + Vět 4. o spojitosti): Buď f ) + posloupost komplexích fukcí defiových možiě A C spojitých v bodě z A vzhledem k A). Nechť dále posloupost f z)) + stejoměrě koverguje možiě A k fz). Potom fukce f je spojitá v bodě z vzhledem k A. Důkz. V kždém izolovém bodě možiy A je dle defiice spojitosti) fukce f spojitá. Předpokládejme proto, že z je hromdý bod možiy A. Potom jsou splěy všechy předpokldy věty 4. tudíž dle pozámky 4.. pltí: + z z z A f z) = z z z A f z). + Ze spojitosti fukcí f v bodě z vzhledem k možiě A odtud plye: f z ) = + z z z A f z), tj. f z ) = fz). + z z z A Pozámk 4... Buď f ití fukce poslouposti f ) + fukcí spojitých možiě A vzhledem k A). Koverguje-li posloupost f z)) + stejoměrě možiě A, je fukce f spojitá možiě A vzhledem k A. Pozámk 4... Vět 4. s předchozí pozámkou pltí i pro posloupost zobrzeí z topologického prostoru do metrického prostoru.
4. VĚTY O LIMITNÍ FUNKCI 43 Pozámk 4..3. Spojitost fukcí f stejoměrá kovergece poslouposti f z)) + jsou dle pozámky 4.. postčující pro spojitost ití fukce f. Žádá z těchto podmíek všk pro spojitost fukce f eí utá. Limití fukce poslouposti x x ) + je itervlu, ) spojitá, i když posloupost x ) + ekoverguje, ) stejoměrě. Z druhé stry Dirichletov fukce χ, defiová předpisem { pro x Q χx) = pro x R Q je espojitá v kždém bodě R, le posloupost χx)) + koverguje stejoměrě celém R k ule. Vět 4.3: Buď f ití fukcí poslouposti f ) + fukcí spojitých možiě A vzhledem k A). Potom koverguje-li posloupost f z)) + lokálě stejoměrě možiě A, je fukce f spojitá A vzhledem k A. Důkz. Buď z A. Potom z defiice 3.5 str. 36) plye, že existuje okolí H bodu z tk, že posloupost f z)) + koverguje stejoměrě možiě A H. Nyí stčí možiu A H bod z užít větu 4.. Pozámk 4.3.. Dokázá vět ás může vést k ásledujícímu zmyšleí. Pro přeos spojitosti z čleů fukčí poslouposti ití fukci zřejmě estčí bodová kovergece. Z druhé stry stejoměrá, resp. lokálě stejoměrá kovergece je sice postčující, le jk plye z pozámky 4..4 str. 4), resp. 3.6.4 str. 37), eí utá. Jká je to tedy kovergece, která přeáší spojitost? Touto otázkou se budeme zbývt v ásledujících dvou větách. Vět 4.4 U. Dii [7]): Buď f ) + rostoucí posloupost fukcí spojitých itervlu, b, jejíž ití fukce je itervlu, b spojitá. Potom posloupost f x)) + koverguje itervlu, b stejoměrě. Důkz. Sporem. Nechť posloupost f x)) + ekoverguje stejoměrě itervlu, b. Ozčíme-li f ití fukci poslouposti f ) +, musí existovt ε > posloupost x ) + bodů z itervlu, b tk, že pro všech N pltí: f x ) < f x ) ε. Buď x hromdá hodot poslouposti x ) + x k ) + podposloupost poslouposti x ) + kovergující k bodu x. Potom ze spojitosti fukcí f m, m N f plye: f m x k ) = f m x ) + f x k ) = f x ). + pro všech m N Přitom pro všech m N je pro kždé > m splě erovost: f m x k ) f k x k ) < f x k ) ε. Přejdeme-li v této erovosti k itě pro +, dostáváme což je ve sporu s předpokldem, že f m x ) f x ) ε pro všech m N, f m x ) = f x ). m +