Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203
Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence. Stejnoměrná konvergence. 3 Mocninná a Taylorova řada. Mocninná řada. Poloměr konvergence. Taylorova řada. 4 Literatura
Součet nekonečné řady. Nekonečnou posloupnost {a n} reálných ( případně komplexních) čísel zapsanou ve tvaru součtu nazýváme číselnou řadou. Definice. Součet prvních n členů řady, tj. součet s n = a n n a i, nazýváme n-tým částečným součtem dané řady. Je-li limita lim s n = s konečná, nazýváme číslo s součtem řady, píšeme s = a říkáme, že tato řada konverguje. Je-li lim s n nevlastní nebo tato limita neexistuje, součet řady nedefinujeme a říkáme, že řada diverguje. Příklad: Řada n se nazývá řada harmonická. Ukážeme, že tato řada je divergentní. i= i= a i
Součet nekonečné řady. Zřejmě s 2 n = + 2 + ( 3 + 4 ) + ( 5 + 6 + 7 + 8 ) + ( 9 + + 6 ) +... + ( 2 n + + 2 n + 2 + + 2 ) n. n 2, nebot každý výraz v závorce je větší než 2. Odtud a harmonická řada tedy diverguje. Příklad: Uvažujme řadu Zřejmě lim s 2 n lim n 2 = +, ( ) i = + + + +.... i=0 n s n = ( ) i = i=0 { 0 pro n sudé, pro n liché. Tedy lim s n neexistuje a tato řada diverguje.
Součet nekonečné řady. Věta. Je-li řada i= Důkaz: Necht řada s = lim s n. Odtud a i konvergentní, pak lim i a i = 0. i= a i konverguje a s = lim s n. Pak ale též lim an = lim (sn s n ) = lim s n lim s n = s s = 0. Věta říká, že podmínka lim a n = 0 je nutnou podmínkou pro konvergenci řady a n. Větu nelze obrátit, tj. ze vztahu lim a n = 0 neplyne, že řada a n konverguje, jak ukazuje příklad harmonické řady ale řada diverguje., kde lim = 0, n n
Součet nekonečné řady. Velmi důležitou řadou je tzv. geometrická řada. Je to každá řada tvaru a + aq + aq 2 + = aq i, kde a, q R, a 0. i=0 Číslo q nazýváme kvocientem geometrické řady. Věta 2. Geometrická řada aq i je konvergentní právě tehdy, když q <. i=0 V tomto případě pro její součet platí vztah aq i = a q. i=0 Důkaz: Podle vzorce pro rozdíl n-tých mocnin dostáváme q n = ( q)( + q + q 2 + + q n ) s n = a + aq + + aq n = a qn q. Je-li q <, je lim q n = 0 a dostáváme lim sn = lim a qn q = a q.
Součet nekonečné řady. Naopak je-li q, pak lim i aq i není rovna nule a tedy podle věty je daná řada divergentní. Definice 2. řada a i. i= Říkáme, že řada a i konverguje absolutně, jestliže konverguje i= Věta 3. Jestliže řada a i konverguje absolutně, pak tato řada konverguje. i= Jinak řečeno: konverguje-li řada a i, konverguje i řada a i. Tvrzení věty 3 nelze obrátit. Později ukážeme, že řada i= i= ( ) n n konverguje, ale jak víme, řada ( )n diverguje. Řada ( ) n je tedy příkladem n n konvergentní řady, která není absolutně konvergentní. Určit součet konvergentní řady je obvykle značně obtížná úloha, kterou umíme řešit pro geometrickou řadu a dále v některých jednoduchých případech. Jednodušší úlohou může být úloha zjistit, zda je daná řada konvergentní (aniž bychom určovali její součet). K tomu slouží tzv. kritéria konvergence. Těchto kritérií je celá řada, některá z nich si nyní ukážeme.
Kritéria konvergence Věta 4 (Srovnávací kritérium). Necht pro každé n, příp. n n 0, platí 0 a n b n. Potom platí: (i) konverguje-li řada nebo totéž ve negované formě b n, konverguje i řada a n, (ii) diverguje-li řada a n, diverguje i řada b n. Důkaz: Označme s n = (a + a 2 + + a n) a S n = (b + b 2 + + b n). zřejmě s n S n a obě posloupnosti {s n} i {S n} jsou neklesající. Je-li tedy lim Sn konečná, je nutně konečná i lim sn a tím je tvrzení dokázáno. Ve větě 4 je možno platnost předpokladu 0 a n b n požadovat pro všechna n n 0, kde n 0 je nějaký pevný index. Konvergence nebo divergence řady totiž nezáleží na hodnotách konečného počtu sčítanců.
Kritéria konvergence Příklad: Uvažujme řadu. Protože 0 pro n a řada n.2 n n.2 n 2 n 2 n je konvergentní (je to geometrická řada s kvocientem q = /2), je podle věty 4 konvergentní i řada Příklad: Řada divergentní. n=2 n.2 n. je divergentní, protože pro n 2 a řada je ln n ln n n n n=2 Věta 5 (Podílové kritérium). Uvažujme řadu a n, a n 0. Je-li lim a n+ <, pak řada a n 2 Je-li lim a n+ >, pak řada a n a n konverguje absolutně. a n diverguje. Větu nebudeme dokazovat. Poznamenejme jen, že důkaz první části spočívá na porovnání dané řady s jistou geometrickou řadou. Pro druhou část lze ukázat, že řada nesplňuje nutnou podmínku pro konvergenci danou větou.
Kritéria konvergence Je-li lim a n+ =, a n podílové kritérium o konvergenci řady nerozhodne. Existují řady konvergentní (např. ) i řady divergentní (např. harmonická řada), pro které platí, že n 2 limita podílu je ). Věta 6 (Odmocninové kritérium). Uvažujme řadu a n, a necht existuje (konečná i nekonečná) limita lim n a n = L. Potom platí: je-li L <, řada a n je absolutně konvergentní, 2 je-li L >, řada a n je divergentní. Důkaz: Je-li L <, zvolme ε > 0 tak, aby platilo L + ε <. Potom existuje n 0 N takové, že pro n N, n n 0 je n a n < L + ε <, odkud a n < (L + ε) n. Řada (L + ε) n je konvergentní geometrická řada.
Kritéria konvergence Podle srovnávacího kritéria (Věta 4) řada a n konverguje. Je-li L >, potom existuje n 0 N takové, že pro n N, n n 0 je n a n. Platí tedy a n pro n n 0, není tedy splněna nutná podmínka konvergence (Věta ). Řada a n diverguje. Odmocninové kritérium selže v případě, že lim n a n neexistuje nebo je rovna jedné. Příklad: Vyšetřeme konvergenci řady (ln n). n Použijeme odmocninové kritérium: Řada tedy konverguje. n lim n=2 (ln n) n = lim ln n = 0 <.
Kritéria konvergence Zatím se uvedená kritéria týkala absolutní konvergence. Uved me nyní jedno kritérium pro neabsolutní konvergenci, Leibnitzovo kritérium. Týká se tzv. alternujících řad, tj. řad, jejichž členy pravidelně mění znaménko. Věta 7 (Leibnitzovo kritérium). Necht pro posloupnost {a n} platí: a n a n+ 0 pro každé n, a současně Potom řada ( ) n a n konverguje. lim a n = 0. Příklad: Řada ( ) (n+) splňuje podmínky věty 7 (posloupnost { } je n n klesající a lim = 0 ) a tedy konverguje. (Později ukážeme, že její součet je n ln 2.) Jak již bylo řečeno, tato řada nekonverguje absolutně, srovnej s harmonickou řadou.
Kritéria konvergence Věta 8 (Integrální kritérium). Necht funkce f (x) definovaná pro x je nerostoucí spojitá funkce splňující podmínku f (x) 0 pro x. Pak f (x) dx konverguje právě tehdy, když konverguje řada f (n). Příklad: Řada konverguje, protože integrál n 2 x 2 dx = [ ] = lim ( x x x ) ( ) = konverguje. Příklad: Pomocí integrálního kritéria můžeme také dokázat divergenci harmonické řady. Protože integrál n diverguje, diverguje i řada x dx = [ln x] n. = lim x ln x =
Bodová konvergence. Definice 3. Necht n N a f n je reálné funkce jedné reálné proměnné definované na intervalu I. Potom řadu f n(x) nazýváme funkční řadou v I. Říkáme, že řada f n(x) konverguje bodově v množině D I, jestliže pro každou hodnotu x D konverguje řada f n(x). Množinu D nazýváme oborem konvergence řady. Označíme-li s m(x) = řady a platí-li lim sm(x) = s(x), pro x D, potom píšeme m m f n(x) částečný součet f n(x) = s(x), pro x D. Důležitou otázkou týkající se řad funkcí je to, zda se vlastnosti jednotlivých členů řady (spojitost, existence derivace, apod.) přenáší také na součet řady. Bodová konvergence nám k tomu nestačí, musíme proto zavést silnější typ konvergence.
Stejnoměrná konvergence. Definice 4. Říkáme, že řada f n(x) konverguje stejnoměrně k součtu s(x) na intervalu I, jestliže posloupnost {s m(x)} jejich částečných součtů konverguje stejnoměrně k funkci s(x) na I (píšeme s m s), tj. ε > 0 n 0 N takové, že x I a n N, n n 0 platí s m(x) s(x) < ε. Je třeba si uvědomit, že slabší vlastnost bodové konvergence znamená x I ε > 0 n 0 N takové, že a n N, n n 0 platí s m(x) s(x) < ε. Věta 9 (Weierstrassovo kriterium). Necht a n 0 a a n konverguje. Necht pro všechna x I a všechna n N platí f n(x) a n. Potom řada f n(x) konverguje stejnoměrně na I. Příklad: Rozhodněme, kde řada konverguje stejnoměrně cos nx n 4.
Stejnoměrná konvergence. Použijeme Weierstrassovo kritérium cos nx n 4 n 4 pro x R. Řada konverguje, tedy daná řada konverguje stejnoměrně v R. n4 Věta 0. Necht řada funkcí f n(x) konverguje stejnoměrně na I a má na I součet s(x). Jsou-li všechny funkce f n(x) na I spojité, pak je na I spojitá také funkce s(x). Věta. Necht řada funkcí f n(x) konverguje stejnoměrně na I = [a, b] a má na I součet s(x). Jsou-li všechny funkce f n(x) na I integrovatelné, pak je na I integrovatelná také funkce s(x) a plati b b ( b ) b s(x) dx = f n(x) dx, tj. f n(x) dx = f n(x) dx. a a a a
Stejnoměrná konvergence. Příklad: Vypočtěte Řada 2 0 ( ) n x n dx. n x n konverguje stejnoměrně na [0, ] (podle Weierstrassova 2 kritéria). Platí proto ( ) 2 n x n dx = 0 ( 2 ) n x n dx = Věta 2. Necht řada funkcí 0 [ x n ] 2 0 = f n(x) konverguje na otevřeném intervalu I = (a, b) a má na I součet s(x). Necht řada funkcí f n(x) konverguje 2 n =. stejnoměrně na I. Mají-li všechny funkce f n(x) na otevřeném intervalu I derivaci pro všechna n N, potom má také funkce s(x) derivaci na I a plati ( s (x) dx = f n(x) dx, tj. f n(x)) = f n(x).
Mocninná řada. Poloměr konvergence. Definice 5. Řadu tvaru a n(x x 0 ) n, kde x 0, a 0, a,... jsou reálná čísla, x je proměnná, nazýváme mocninnou řadou. Čísla a 0, a,... nazýváme koeficienty a číslo x 0 střed mocninné řady. Pro zvolenou hodnotu proměnné x je mocninná řada číselnou řadou. Součet mocninné řady představuje jistou funkci, definovanou právě pro ty hodnoty proměnné x, pro které odpovídající číselná řada konverguje. Příklad: Mocninná řada x n (se středem x 0 = 0) je geometrickou řadou s kvocientem x, a tedy konverguje právě pro x (, ). Podle věty 2 pro její součet platí x n = pro x (, ). x
Mocninná řada. Poloměr konvergence. Věta 3. Necht a n(x x 0 ) n je mocninná řada. Pak existuje číslo R 0, + (tj. R 0, + ) nebo R = + ), takové, že: Je-li R = 0, pak daná mocninná řada konverguje pouze pro x = x 0 a pro ostatní x x 0 diverguje. 2 Je-li R (0, + ), pak daná mocninná řada konverguje absolutně pro každé x (x 0 R, x 0 + R) a diverguje pro každé x (, x 0 R) (x 0 + R, + ). 3 Je-li R = +, pak daná mocninná řada konverguje absolutně pro každé x R. Číslo R nazýváme poloměrem konvergence mocninné řady. Poloměr konvergence mocninné řady a n(x x 0 ) n je možno určit pomocí podílového kritéria. Označme R = lim an a n+.
Mocninná řada. Poloměr konvergence. Ukážeme, že R je poloměr konvergence dané mocninné řady. Platí lim a n+(x x 0 ) n+ a n(x x 0 ) n = lim a n+(x x 0 ) = x x 0 lim a n+. Odtud okamžitě plyne, že pro x x 0 < R mocninná řada konverguje absolutně a naopak pro x x 0 > R diverguje. Tedy R je poloměrem konvergence dané mocninné řady. V případě 2. věty 3, tj. v případě R (0, + ), nelze říci obecně nic o konvergenci mocninné řady pro x = x 0 R a x = x 0 + R. Existují příklady, kdy mocninná řada konverguje jak pro x = x 0 R tak pro x = x 0 + R, příklady kdy konverguje pouze pro jednu z těchto hodnot, i příklady, kdy pro obě z těchto hodnot diverguje. Příklad: Určete, pro které hodnoty proměnné x konverguje řada Protože lim x n+ n+ x n n a n = lim x n n + = x, je podle podílového kritéria daná řada absolutně konvergentní pro x (, ) a divergentní pro x (, ) (, + ). Poloměr konvergence dané mocninné řady je tedy roven. a n x n n.
Mocninná řada. Poloměr konvergence. Pro x = je daná řada harmonickou řadou, a tedy řadou divergentní, pro x = je daná řada řadou ( ) n, u které jsme již určili, že konverguje. n n
Taylorova řada. Definice 6. Necht funkce f má v bodě x 0 derivace všech řádů. Taylorovou řadou funkce f se středem v x 0 rozumíme řadu f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n. n! Příklad: Odvod te Taylorovu řadu funkce f (x) = e x se středem v bodě x 0 = 0 a určete, pro která x tato řada konverguje. Pro f (x) = e x je f (n) (x) = e x, a tedy f (n) (x 0 ) =. Taylorova řada je tedy řada x n n!. Vyšetřeme konvergenci této řady podílovým kritériem: x n+ lim = lim x n + = 0 pro každé x R. Řada (n+)! x n n! x n n! tedy konverguje pro každé x R. Součet Taylorovy řady, pokud existuje, budeme značit symbolem T (x).
Taylorova řada. Protože Taylorův polynom T n(x) n-tého stupně funkce f v bodě x 0 je právě n-tým částečným součtem Taylorovy řady této funkce, je podle definice T (x) = lim T n(x). V dalším se budeme zabývat otázkou, kdy f (x) = T (x). Z Taylorova vzorce f (x) = T n(x) + R n(x) dostaneme limitním přechodem pro n f (x) = lim T n(x) + lim R n(x) = T (x) + lim R n(x). Z této rovnosti plyne, že f (x) = T (x) právě pro ta x, pro která je Rn(x) = 0. lim Tím jsme dokázali následující větu: Věta 4. Pro součet T (x) Taylorovy řady funkce f se středem v x 0 platí T (x) = f (x) právě tehdy, když lim R n(x) = 0. Je důležité poznamenat, že existují funkce, které mají v bodě x 0 všechny derivace, a tedy mají Taylorovu řadu, jejíž součet se dané funkci v okolí x 0 nerovná.
Taylorova řada. Pro tyto funkce zřejmě lim R n(x) 0. Příkladem takové funkce je funkce { f (x) = e x 2 pro x 0 0 pro x = 0. Lze ukázat, že T (x) = 0 pro všechna x R. Ilustrujme si použití věty 4. Příklad: Ukážeme, že e x = x n n! Z předchozího příkladu víme, že řada pro každé x R. x n n! je Taylorovou řadou funkce e x se středem v x 0 = 0 a že tato řada konverguje pro každé x R. Pro pevně zvolené x R platí prodle věty o zbytku v Taylorově formuli. Zřejmě R n(x) = e c (n + )! x n+, kde c leží mezi x a x 0. R n(x) = e c (n + )! x n+ e x x n+ (n + )!.
Taylorova řada. x Ukážeme-li, že lim n+ = 0, pak nutně i lim (n+)! řadou konvergentní, a tedy podle věty je lim x n n! = lim Rn(x) = 0. Ale řada x n+ (n + )! = 0. Na závěr tohoto odstavce uved me Taylorovy řady některých funkcí, spolu s intervaly, kde se těmto funkcím rovnají: e x x n = n!, x R sin x = cos x = ln(x + ) = arctg x = ( ) n x 2n+ (2n + )!, x R ( ) n x 2n (2n)!, x R ( ) (n+) x n, x (, n ( ) n x 2n+, x, 2n + x n n! je