93 Permutace s opakováím Předpoklady: 906, 9 Pedagogická pozámka: Obsah hodiy přesahuje 45 miut, pokud emáte k dispozici další půlhodiu, musíte žáky echat projít posledí dva příklady doma Př : Urči kolik růzých slov je možé vytvořit přemísťováím písme slovajak (za slovo považujeme jakékoliv seskupeí písme slovajak) Slovo má 5 písme vyrábíme růzá pořadí z pěti prvků permutace (je to i v adpisu) Problém: Neí tak úplě pravda, že máme 5 prvků, protože dvě písmea se ve slově vyskytují dvakrát a jejich prohozeím se ic ezměí (a tedy ai evytvoří ové slovo) Řešeí: Písmea ve slově si oidexujeme (pak budou rozlišitelá) KAJAK 5! možostí Jak se počet možostí změí, když idexy zrušíme? Například slova: KAJAK AJAK budou stejá ze dvou slov máme jedié Stejým způsobem se počet slov zmeší i v dalších případech: vzájemé prohozeí písme K ezpůsobí vzik ového slova po zrušeí idexů u K se počet slov zmeší a poloviu (existují dva způsoby, jak prohodit písmea K ) Stejě dopademe, když zrušíme idexy u písme A a A : existují dvě možosti, jak tyto písmea avzájem prohazovat počet slov se opět zmeší a poloviu 5! Celkový počet možostí: = 30 Pedagogická pozámka: Prví příklad je potřeba se studety vyřešit, další již zvládají téměř sami Př : Kolik růzých čtyřmístých čísel je možé vytvořit z cifer čísla? Výsledek urči aalogicky s předchozím příkladem a zkotroluj ještě libovolou další metodou Aalogicky s předchozím příkladem Čtyřmísté číslo = uspořádaá čtveřice ze čtyř cifer možostí Tři cifry jsou stejé (jedičky) jejich prohazováí (3! možostí) získáváme stejá čísla čísel je 3! krát méě ež kdyby byly cifry růzé celkem 4 3! = možosti Jiá metoda: Číslo vytvoříme, jakmile se rozhodeme a kterou pozici umístíme (zbytek doplíme jedičkami bez možosti volby) čtyřmísté číslo čtyři možosti, jak umístit cifru 4 možosti
Př 3: Kolika způsoby je možé rozdělit mezi deset dětí pět jablek, dvě hrušky a tři baáy tak, aby každé dítě dostalo jede kus ovoce Děti si můžeme a rozdělováí postavit do řady ovoce přiřadíme tím, že ho rozestavíme do stejé řady Seřazujeme 0 kusů ovoce 0! možostí, ale prohazováím pěti jablek mezi sebou se výsledé rozdáí ovoce ezměí počet výsledků se zmeší 5! krát, prohazováím dvou hrušek mezi sebou se výsledé rozdáí ovoce ezměí počet výsledků se zmeší! krát, prohazováím tří baáů mezi sebou se výsledé rozdáí ovoce ezměí počet výsledků se zmeší 3! krát, 0! celkový počet možostí: 5! 3!! = 50 Př 4: Najdi společé rysy předchozích příkladů Všechy předchozí příklady mají hodě společého: máme růzých prvků, z ich sestavujeme uspořádaou k-tici ( k, kvůli opakováí), záleží a pořadí, prvky se mohou (ale emusí) opakovat k-tice, které jsme sestavovali se azývají permutace s opakováím Permutace s opakováím z prvků je uspořádaá k-tice sestaveá z těchto prvků tak, že každý se v í vyskytuje alespoň jedou Při sestavováí k-tice potřebujeme vědět, kolikrát se který prvek bude opakovat Počet opakováí jedotlivých prvků si ozačujeme čísly k; k;; k Př 5: Urči kokrétí hodoty proměých, k, k; k;; k ve třetím příkladu Co platí pro čísla k, k; k;; k? Rozdávali jsme tři druhy ovoce = 3, rozdávali jsme deset kusů ovoce k = 0, rozdávali jsme pět jablek k = 5, rozdávali jsme dvě hrušky k =, rozdávali jsme tři baáy k3 = k = 3 Platí: 5 + + 3 = 0, počet kusů ovoce, které jsme rozdávali, získáme tím, že sečteme počet jablek, hrušek a baáů dohromady Obecě zřejmě platí: k = k + k + + k Pedagogická pozámka: Předchozí příklad je podle mého ázoru utý Samostatě ho vyřeší maximálě třetia ejlepších, ostatí mají problémy s určeím, k a samozřejmě k Vyřešeí ásledujícího příkladu je pak pro ě sadé a mohou pochopit předchozí defiici
Př 6: Urči kokrétí hodoty proměých, k, k; k;; k v prvím příkladu Ověř platost vztahu k = k + k + + k Ve slově KAJAK jsou tři růzá písmea = 3, slovo KAJAK má pět písme k = 5, písmeo K je ve slově KAJAK dvakrát k =, písmeo A je ve slově KAJAK dvakrát k =, písmeo J je ve slově KAJAK jedou k 3 = Platí: + + = 5, počet písme ve slově KAJAK získáme tím, že sečteme kolikrát se ve slově vyskytují písme, A a J Pedagogická pozámka: Část žáků písmeo J ezapočítává (v jmeovateli zlomku jsou pouze dva faktoriály), teprve zkotrolováím vztahu k = k + k + + k se ěkteří z ich zamyslí Na postoji ke kotrole se možé demostrovat tři stupě uvažováí: ti ejlepší si součet k = k + k + + k zkotrolují sami od sebe, ti horší si součet zkotrolují kvůli požadavku v zadáí a když kotrola evyjde začou zkoumat, kde je problém, ti matematicky eslabší zkotrolují součet kvůli požadavku a i když součet evyjde pokračují v klidu dál Počet k-čleých permutací s opakováím z prvků, v ichž se jedotlivé prvky opakují k; k;; k -krát začíme P ( k; k;; k ) Př 7: Urči počet k-čleých permutací s opakováím z prvků, v ichž se jedotlivé prvky opakují k; k;; k -krát Celkem máme k k k k k + k + + k! možostí Nyí musíme dělit pro každý prvek počtem možostí, kterými můžeme prohazovat jeho výskyty: prvek se vyskytuje k -krát k! možostí, jak tyto prvky prohazovat, prvek se vyskytuje k -krát k! možostí, jak tyto prvky prohazovat, prvek se vyskytuje k -krát k! možostí, jak tyto prvky prohazovat, celkem ( k ) + k + + k! možostí k! k! k! = + + + prvků, které uspořádáváme ( ) Pedagogická pozámka: Studetům, kteří mají se sestaveím vzorce problémy, většiou stačí připomeout, aby si a papír apsali řešeí příkladu 3 Většia studetů píše k! vzorec ve tvaru, který je samozřejmě také správý, ale v tabulkách k! k! k! se epoužívá Na požádáí pro ě eí problém přepsat vzorec tak, aby se v ěm 3
k evyskytovalo ; ;; Na tabuli sestavujeme i začeí P ( k k k ) ; ;; permutací s opakováím z prvků, v ichž se jedotlivé Počet P ( k k k ) prvky opakují ; ;; = k k k -krát, je P ( k ; k ;; k ) ( k + k + + k )! k! k! k! Př 8: Kolika způsoby je možé mezi 30 studetů rozdat dvě volé vstupeky a kocert, pět vstupeek a plavecký stadió a deset vstupeek do posilovy, pokud každý ze studetů může dostat maximálě jedu vstupeku (i tak jich bude málo)? Problém: Podobé zadáí jako v příkladu 3, ale máme málo lístků, a ěkteré studety ic ezbude aby ebyli smutí, dostaou prázdé papírky vyřešeo Rozdáváme: vstupeky a kocert, 5 lístků do bazéu, 0 lístků do posilovy a 3 30! 3 prázdých lístků: 4,89 0 možostí! 5! 0! 3! Pedagogická pozámka: Kromě mešiy, která dokáže příklad vyřešit samostatě, se 7! objevují dvě špatá řešeí Prví mají vzorec (těm připomíám, že! 5! 0! 30! studetů bylo 30 a e 7), druzí pak (ty upozorňuji, že jejich řešeí! 5! 0! eodpovídá vzorci pro počet permutací s opakováím, protože součet čísel ve jmeovateli se erová číslu v čitateli) 7! Při společé opravě a tabuli vyjdeme se vzorce a doplíme ho a! 5! 0! 30 správý výběrem 7 studetů, kteří dostaou ějaký lístek - 7 možostí 30 7! správý výsledek, upravíme 7! 5! 0! 30 7! 30! 7! 30! = = a pak přemýšlíme o výzamu 7! 5! 0! 7! 3!! 5! 0!! 5! 0! 3! čleu 3! ve jmeovateli Př 9: Je všeobecě zámo, že ejúčiějším zaklíadlem je formule ABRAKADABRA Urči: a) počet všech způsobů, jimiž lze přemístit písmea slova ABRAKADABRA a splést zaklíadlo, b) počet všech způsobů, jimiž lze přemístit písmea tak, aby žádá pětice sousedích písme ebyla tvořea pěti písmey A, c) počet všech způsobů, jimiž lze přemístit písmea tak, aby žádá dvojice sousedích písme ebyla tvořea dvěma písmey A a) počet všech způsobů, jimiž lze přemístit písmea slova ABRAKADABRA a splést zaklíadlo 4
Spočteme si, kolik písme slovo obsahuje A 5x B x R x K x D x! Možosti přemístěí: 5!!!!! = 8360 zaklíadlo lze splést! 8359 5!!!!! = způsoby (jedo z možých přemístěí je správé) b) žádá pětice sousedích písme eí tvořea pěti písmey A Všecha písmea A esmí být vedle sebe moho růzých možostí sáz by se počítalo, kdy jsou všecha písmea A vedle sebe odečteme teto výsledek od všech možostí Možosti, kdy jsou všecha A vedle sebe (bereme je jako jede zak): AAAAA x B x R x K x D x 7!!!! 7! Všecha A esmí být vedle sebe: = 8900 možostí 5!!!!! c) žádá dvojice sousedích písme eí tvořea dvěma písmey A Dvě písmea A esmí být vedle sebe písmea A musíme od sebe oddělovat pomocí zbývajících písme, které máme k dispozici: B R K D B R máme šest zbývajících písme existuje sedm míst (prázdé 7 čtverečky), do kterých můžeme apsat jedo z pěti písme A možostí jak apsat 5 písmea A 6! Souhlásky (zbývající písmea) můžeme prohazovat mezi sebou: možostí!! Ke každému rozmístěí písme A můžeme vystřídat všechy kombiace souhlásek 7 6! možosti kombiujeme celkem = 3780 možostí 5!! Pedagogická pozámka: Bod a) předchozího příkladu spočítají všichi, bod b) je mešia! (často se vyskytující chybou je výsledek 5!!! 7, ve kterém studeti uvažují pouze ad tím, kolik mají možostí umístit mezi souhlásky spojeé AAAAA a zapomíají, že mohou prohazovat mezi sebou také souhlásky Bod c) přesahuje možosti všech studetů, emá tedy ceu příliš dlouho čekat a řešeí zveřejňuji poměrě brzo 5
Př 0: Urči počet všech čtyřciferých přirozeých čísel dělitelých devíti v jejichž zápisu se vyskytují pouze číslice 0,, 3, 5, 6 Číslo je dělitelé devíti, právě když je ciferý součet dělitelý devíti ejdříve si zjistíme, jak ze zadaých číslic sestavit správý ciferý součet a pak zjistíme, kolik čísel je možé z každého takového seskupeí sestavit Ciferý součet 9: 6 + 3 + 0 + 0 = 9 sestavujeme z číslic 6, 3, 0, 0!!! možostí, ale a začátku esmí být ula odečítáme 3! = 3! možostí (a začátku 0 (můžeme vybrat dvakrát) a další tři číslice můžeme uspořádat libovolě, počet možostí dělíme dvěma, protože prohozeím ul se ic ezměí) celkově 3! 6! = možostí 5 + + + 0 = 9 sestavujeme z číslic 5,,, 0 začátku esmí být ula odečítáme 3!! s ulou a začátku) celkově 3! = 9 možostí!! 3 + 3+ 3+ 0 = 9 sestavujeme z číslic 3, 3, 3, 0 možostí, ale a!!! možostí (počet uspořádáí číslic 5,,, 0 3!! možostí, ale a začátku esmí být ula odečítáme možost (ulou a začátku a tři trojky za í) celkově 3 3!! = možosti 3 + + + = 9 sestavujeme z číslic 3,,, ula ic eodečítáme celkově Ciferý součet 8: 3!! = 4 možosti 6 + 6 + 6 + 0 = 8 sestavujeme z číslic 6, 6, 6, 0 3!! 3!! možostí, mezi čísly eí možostí, ale a začátku esmí být ula odečítáme možost (ulou a začátku a tři šestky za í) celkově 3 3!! = možosti 6 + 6 + 3 + 3 = 8 sestavujeme z číslic 6, 6, 3, 3 eí ula ic eodečítáme celkově!! = 6 6 + 5 + 5 + = 8 sestavujeme z číslic 6, 5, 5,!! možostí eí ula ic eodečítáme celkově! = možostí možostí, mezi čísly možostí, mezi čísly!!! 6
5 + 5 + 5 + 3 = 8 sestavujeme z číslic 5, 5, 5, 3 3!! možostí, mezi čísly eí ula ic eodečítáme celkově 4 3! = možosti Dohromady máme 6 + 9 + 3 + 4 + 3 + 6 + + 4 = 47 možostí jak sestavit čísla tak, aby bylo dělitelé devíti ( )!! ( ) ( ) k + k Na závěr si zkusíme spočítat P ( k, k ) = = = = Kk ( ) Tedy k! k! k! k! k počet permutací s opakováím ze dvou prvků, z ichž jede se opakuje k-krát a druhý k -krát je stejý jako počet k-prvkových kombiací z prvků ( ) = Př : (BONUS) Najdi kombiatorické zdůvoděí vzorce P ( k k ) K ( ), k Vytvářeí k-prvkové kombiace z prvků si můžeme představit takto: Máme prvků a tedy! možostí jak se postavit do řady, prvích k pozic v této řadě, k prvků zameá, že prvek zameá, že prvek je vybrá do kombiace, zbývajících ( ) vybrá ebyl pokud ás zajímá výsledek výběru do kombiace, musíme počet! možostí postaveí do řady vydělit: k! možostí, jak proházet mezi sebou prvky a prvích k místech (jejich proházeí eovliví výběr do kombiace), ( k )! k místech možostí, jak proházet mezi sebou prvky a zbývajících ( ) (jejich proházeí eovliví výběr do kombiace),! celkem možostí, jak sestavit kombiaci k! k! ( ) Př : Petáková: straa 48/cvičeí 73 Shrutí: 7