Kpitol 1 Formální jzyky Cíle kpitoly: Po prostudování kpitoly máte plně rozumět pojmům jko(formální) beced, slovo, jzyk, operce n slovech jzycích; máte zvládt práci s těmito pojmy n prktických příkldech. Klíčová slov: beced, slovo, jzyk, operce n jzycích Komentář: Kpitol má dvě výukové části jednu procvičovcí. U kždé výukové části jsou uvedeny podrobnější cíle, klíčová slov, orientční čs ke studiu n závěr shrnutí. 1.1 Formální beced jzyk Orientční čs ke studiu této části: 1 hod. Cíle této části: Po prostudování této části máte rozumět pojmům jko je formální slovo, beced, jzyk. Máte je být schopni vysvětlit, uvádět příkldy, rozumět popisům jzyků jko množin slov chrkterizovných nějkou podmínkou. Tké máte zvládnout elementární pojmy operce jko je délk slov, prefix, sufix, podslovo, zřetězení slov td. 1
2 Kpitol 1. Formální jzyky Klíčová slov: beced, slovo, znk, jzyk, zřetězení, prefix, sufix, podslovo Teoretická informtik poskytuje formální zákldy nástroje pro prktické informtické plikce(jko progrmování či softwrové inženýrství). Jedním z jejích důležitých úkolů je mtemticky popst různé typy lgoritmických problémů výpočtů. Pro mtemtický popis vstupů výstupů problémů (výpočtů) je užitečné nejprve zvést pojmy jko jsou(formální) beced, slovo, jzyk. Použitá symbolická beced pro vstupy výstupy výpočtů závisí n dohodnuté formě zápisu. V počítčové prxi využíváme npř. binární becedu {0,1},hexdecimálníbecedu {0,1,...,9, A,..., F }nebo textovou becedu, npř. v kódování ASCII či nověji UTF-8. Mtemticky můžeme z becedu povžovt libovolnou(dohodnutou) konečnou množinu symbolů; převody zápisů mezi různými becedmi jsou přímočré.(v konkrétním přípdě obvykle volíme becedu, která se přirozeně hodí k dnému problému.) Důležitýmpojmemje(formální) slovo,cožznmenálibovolnýkonečnýřetězec symbolů nd dnou becedou; pokud je v becedě mezer, nemá žádný zvláštní význm.(jkkoli vymezená) množin slov se nzývá(formálním) jzykem.jkopříkldyslovvbecedě {0,1}můžemeuvésttřebslovo 00110101100 slovo 10001. Příkldem jzyk s becedou {0, 1} je třeb množinvšechslov(vbecedě {0,1}),kteréobshujísudýpočetznků0 (správněji řečeno: sudý počet výskytů znku 0); první výše uvedené slovo do tohoto jzyk ptří, druhé nikoliv. Všimněme si tké, že tento jzyk je nekonečný nemohli bychom ho tedy zdt výčtem jeho prvků. Uvedené pojmy nyní přesně ndefinujeme zároveň zvedeme důležité operceseslovyjzyky. Definice 1.1 Abecedou myslíme libovolnou konečnou množinu; čsto ji oznčujeme Σ. Prvky becedy nzýváme symboly(či písmen, znky pod.). (Npř.becedΣ={,b}obshujedvěpísmen.) Slovem, neboli řetězcem, nd becedou Σ(též říkáme: v becedě Σ) rozumímelibovolnoukonečnouposloupnostprvkůmnožinyσ.proσ={,b}je to npříkld,b,b,,b; pokud nemůže dojít k nedorozumění, píšeme tkovou posloupnost obvykle bez čárek, jko bbb. Prázdnéslovo jetkéslovemznčíse ε.
1.1 Formální beced jzyk 3 Důležitá poznámk k znčení. V konkrétních příkldech budeme typicky používt becedy jko {, b}, {,b,c}, {0,1}pod.ČstoovšembudemehovořitoobecnébeceděΣ budeme třeb popisovt nějkou konstrukci, která se má provést pro kždé písmeno ze Σ. Řekneme tedy npř.: prokždé Σprovedemenásledující... To neznmená, že fyzický symbol je prvkem Σ. V této souvislosti prostě předstvuje proměnnou, kterou používáme při nšem popisu situce. Když tedy npř. příkz postupněprokždé Σvypiš plikujemenbeceduσ={0,1},jepříslušnýmvýpisem0011.ideálníby bylo, kdybychom typogrficky odlišovli používli npř. jen jko prvek konkrétní becedy jen jko onu proměnnou. Upozorňujeme n to, že náš text to nedodržuje(čsto používáme becedu Σ = {, b}, čili používáme iproprvekkonkrétní becedy); ndruhéstrněbymělbýt význm konkrétního použití symbolu vždy jsný z kontextu). Ve smyslu proměnných budou mlá písmen ze zčátku nglické becedy(, b, c,...)spřípdnými indexypředstvovt znkyzkoumnébecedy (která bude v kontextu zřejmá či tiše předpokládná). Jko proměnné pro slov budeme obvykle používt mlá písmen z konce becedy (u, v, w, x, y, z). Ilustrujme si toto použití proměnných npř. u zvedení následujícího znčení. Znčení: Délkuslov w,tj.početpísmenve w,znčíme w ;slovo εmá pochopitelnědélku0,tedy ε =0. Výrzem w oznčujemepočetvýskytůsymbolu veslově w. Symbol w v předchozí úmluvě je tedy proměnná, z niž můžeme dosdit libovolné slovo(v jkékoli zvolené becedě). Všichni jsme tk jistě pochopili, ženpř. 00110 =5.Vevýrzu w sevyskytujídvěproměnné;z wtk můžeme dosdit libovolné slovo ve zvolené becedě z libovolný prvek tétobecedy.ztohotoobecnéhopopisujenámtkjsné,ževkonkrétním přípdějenpř. 00110 1 =2.
4 Kpitol 1. Formální jzyky Znčení: VýrzemΣ znčímemnožinuvšechslovndbecedouσ;někdy použijemeσ + promnožinuvšechneprázdnýchslov vbeceděσ.(jetedy Σ =Σ + {ε}.)? Množin všech slov nd konečnou becedou je spočetná; slov v dné becedě můžeme totiž přirozeně seřdit(uspořádt): nejprve podle délky v rámci stejné délky podle becedy, tj. podle zvoleného uspořádání n prvcích becedy. Tk jsou slov seřzen do jedné posloupnosti, ve které je lze po řdě očíslovt přirozenými čísly. Kontrolníotázk: Jkbystevtomtopořdívypisovli(generovli)slovz becedyσ={0,1}sbecednímuspořádáním0 <1? Jistě jste nezpomněli n prázdné slovo, zčli jste tedy posloupnost ε,0,1,00,01,10,11,000,001,.... Znčení: Příslušnéuspořádáníslovbudemeoznčovt < L (npř.11 < L 001). Přirozenou opercí se slovy je jejich zřetězení, tj. jejich spojení z sebou do jednoho výsledného slov: Definice 1.2 Zřetězeníslov u= 1 2... n, v= b 1 b 2...b m oznčujeme u v,stručněji uv, definujeme uv= 1 2... n b 1 b 2...b m.výrzem u n oznčujeme n-násobné zřetězeníslov u;tedy u 0 = ε, u 1 = u, u 2 = uu, u 3 = uuutd. Poznámk: Uvědomme si, že operce zřetězení slov je socitivní(tzn.(u v) w= u (v w));protojenpř.zápis u v w(či uvw)jednoznčnýibez uvedení závorek. Je tké přirozené se dohodnout, že exponent váže silněji(má větší prioritu) než zřetězení. Pkjejsné,ženpř.zápisem 3 bc 4 myslímeslovo bcccc.chceme-li, by se zde npř. exponent 4 vzthovl ke slovu bc, musíme použít závorky: 3 (bc) 4 znmenáslovo bcbcbcbc. Někdy potřebujeme mluvit jen o určitých částech slov. Úsek znků, kterým nějké slovo zčíná, budeme nzývt předponou, neboli odborně prefixem.
1.1 Formální beced jzyk 5 Obdobně se úsek znků, kterým slovo končí, budeme nzývt příponou, odborně sufixem. Jkoukoliv část slov budeme nzývt podslovem(nebo podřetězcem). Definice 1.3 Slovo ujeprefixemslov w,pokudlzepsát w= uvpronějkéslovo v. Slovo ujesufixemslov w,pokudlzepsát w= vupronějkéslovo v. Slovo ujepodslovemslov w,pokudlzepsát w=v 1 uv 2 pronějká slov v 1 v 2. Všimněmesi,žepodslovo umůžemítve wněkolikvýskytů;kždývýskyt jeurčensvoupozicí,tj.délkoupříslušného v 1 zvětšenouo1.dávátosmysl ipropodslovo u=ε,byťvtomtopřípděsijednotlivé výskyty nikdy nebudeme uvžovt.(poznmenejme ještě, že konkrétní prefix či sufix u má smozřejmě jen jeden výskyt ve w.) Příkld: Vezměmesinpříkldslovo bcdbcdc.pkslovo bc jejedním zjehoprefixů,kdežto bc prefixemnení.dále bcdc jejednímzjehosufixů. Slovo bc jepodslovemuvedenéhoslov,sdvěmvýskyty npozicích2 6;neníleprefixemnisufixem.? Prefixůslov wjeočividně w +1;stejnějetospočtemsufixů.Kždýprefixi kždý sufix dného slov je i jeho podslovem. Prázdné slovo ε je pochopitelně prefixem, sufixem i podslovem kždého slov. Kontrolníotázk: Kolikjepodslovslov w? To je komplikovnější otázk; počet nezávisí jen n délce slov w, npř. slovo májenjednopodslovodélky1,kdežto bmádvě.podslovslov wje určitělespoň w +1jistěnevícenež w 2 +1;horníhrniciovšemjistě můžete snížit. Jiná věc je počet výskytů dného podslov ve slově; npř. slovo má tři výskyty podslov dv výskyty podslov. Cvičení 1.1: )Vypištevšechnslovvbecedě {, b},kterámjídélku3. b) Npište explicitně slovo u(posloupnost písmen), které je určeno výrzem v 3 b (bb) 2,kde v=b(slovo ujetedyvýsledkemprovedeníopercí uvedených ve výrzu).
6 Kpitol 1. Formální jzyky c) Vypište všechn slov délky 2, které jsou podslovy slov 00010(v becedě {0,1}). d) Vypište všech pět prefixů slov 0010. e) Vypište všech pět sufixů slov 0010. Definice 1.4 Formální jzyk, stručně jzyk nd becedou Σ je libovolná množin slov vbeceděσ,tedylibovolnápodmnožinσ. Znčení: Jzyky obvykle oznčujeme L(s indexy). Říkáme-li pouze jzyk,rozumímetím,žepříslušnábecedjebuďzřejmázkontextunebo může být libovolná. Poznámk: U přirozeného jzyk(jko je češtin) mluvíme o slovech, z nichž se skládjí věty. U formálních jzyků ze slov žádné věty netvoříme, nopk smotná slov(řetězce ptřící do jzyk) je možné chápt jko věty ( někdysetkinzývjí).pokudsenpř.njzyk češtin dívámejkon množinu všech českých grmticky správných vět, je kždá tto vět slovem tkto chápného formálního jzyk češtin.? Poznámk: Byť v prktických přípdech jzyků má jejich beced npř. desítky prvků, v nšich příkldech bude beced čsto(jen) dvouprvková(většinou {, b}či {0,1}).Uvědomme si,žetonenízásdníomezení, jelikož písmen víceprvkové becedy lze přirozeně zkódovt řetězci dvouprvkové becedy. Kontrolníotázk: Jkdlouhéřetězcezbecedy {0,1}bystepoužilipřikódování becedy, která má 256 prvků? (Pochopitelně stčí osm bitů, tedy jeden symbol 256-ti prvkové becedy reprezentujeme řetězcem délky 8 v dvouprvkové becedě.) Příkld: Příkldy formálních jzyků nd becedou {0, 1} jsou: L 1 = {ε,01,0011,1111,000111} L 2 jemnožinvšech(konečných)posloupnostívbecedě {0,1}obshujícíchstejnýpočetsymbolů0jko1,tedy L 2 = {w {0,1} w 0 = w 1 }
1.2 Některé operce s jzyky 7 L 3 = {w {0,1} číslosbinárnímzápisem wjedělitelné3} Jzyk L 1 jezdekonečný,kdežtozbylédvjsounekonečné.slovo101100ptří dojzyk L 2,le10100do L 2 neptří,neboťobshujevícenulnežjedniček. Slovo110binárněvyjdřuječíslo6,protoptřídojzyk L 3,kdežto1000 vyjdřující8do L 3 neptří. Cvičení1.2:Vypišteprvníchdesetslovzjzyk L={w {, b} kždý výskytpodslov jeve wihnednásledovánznkem b }.(Pochopitelněse odkzujemekuspořádání < L,kdepředpokládámebecedníuspořádání < b.) Shrnutí: Tkže už chápeme, že formální jzyk je něco jiného než přirozený. Je to prostě množin slov neboli konečných řetězců písmen z nějké konečné becedy. Mlé konečné jzyky lze zdávt výčtem, nekonečné jen vhodnou chrkterizcí slov jzyk podmínkou, kterou splňují. Prefixy, sufixy, podslov,zřetězení,znčenídélky,počtuvýskytůsymboluveslovětd...to vše není pro nás žádný problém. 1.2 Některé operce s jzyky Orientční čs ke studiu této části: 1 hod. Cíle této části: Po prostudování této části máte rozumět běžným opercím s jzyky, nejen klsickým množinovým, le i zřetězení, iterci, zrcdlovému obrzu (levému) kvocientu jzyk podle slov( obecně podle jzyk). Máte je být schopni definovt, vysvětlit, uvádět řešit příkldy. Klíčová slov: operce s jzyky, sjednocení, průnik, doplněk, rozdíl, zřetězení, iterce, zrcdlový obrz, kvocient Někdy je výhodné definovt složitější jzyk prostřednictvím dvou jednodušších nějké operce, která je spojí. Protože jsou jzyky definovány jko
8 Kpitol 1. Formální jzyky množiny, můžeme používt běžné množinové operce(definovné v Sekci??). Máme tedy: Zjzyků L 1, L 2 lzetvořitjzyky L 1 L 2 (sjednocení), L 1 L 2 (průnik), L 1 L 2 (rozdíl). NezmiňovlijsmebecedyΣ 1,Σ 2 jzyků L 1, L 2 ;pokudnejsoustejné,můžeme výslednýjzykcháptjkojzyksbecedouσ 1 Σ 2.Dálemáme Projzyky Ljejzykemijehodoplněk L;rozumísepropříslušnou beceduσ,tj. L=Σ L. Dále můžeme definovt nové operce speciálně pro práci s jzyky. Npř. je to zřetězení jzyků(odvozené od zřetězení slov) či iterce(tedy opkovné řetězení): Zřetězeníjzyků L 1, L 2 jejzyk L 1 L 2 = {uv u L 1, v L 2 }, tj.jzykvšechslov,kterélzerozdělitndvěčásti,znichžprvníjez jzyk L 1 druházjzyk L 2. Itercejzyk L,znčená L,jejzykvšechslov,kterálzerozdělit nněkolikčástí,znichžkždáptřídojzyk L;do L ovšemvždy zřzujeme ε(chápné jko zřetězení 0 slov). Induktivně můžeme tké definovt L 0 = {ε}, L 1 = L, L 2 = L L,..., L n+1 = L n L,... Iterce L je pk rovn L = L 0 L 1 L 2 L 3... Příkld: Uveďme si následující ukázky opercí s jzyky nd becedou {0, 1}; zkuste vždy uvedenou otázku nejdříve smi zodpovědět. )Cojesjednocenímjzyk L 0 všechslovobshujícíchvíce0než1(tedy L 0 = { w {0,1} w 0 > w 1 })jzyk L 1 všechslovobshujících více1než0(tedy L 1 = { w {0,1} w 0 < w 1 })? Jetojzykvšechslovmjícíchpočet1různýodpočtu0.(Tedy L 0 L 1 = { w {0,1} w 0 w 1 }.)
1.2 Některé operce s jzyky 9 b)jkýjzyk L 0 L 1 vzniklýzřetězenímjzykůzpředchozíukázky()? Ptří sem všechn možná slov? Všechn slov do tohoto jzyk neptří, npříkld sndno zjistíme, že npř.10 L 0 L 1.Neptřítmtkénpř.1111001obecnětmjistě neptříkždéslovo,kterénemáprefix,vněmžjevíce0než1.přesné vystižení celého zřetězení není úplně jednoduché. Podle definice tm leprostěptřívšechntslov,vnichžexistujeprefixmjícívíce0 než1,přičemžzbytekslovmánopkvíce1než0. c)jeprvd,že L 0 L 1 = L 1 L 0 vpředchozíukázce? Není,npříkld,jkužbylouvedeno,10 L 0 L 1,lesndnovidíme, že10 L 1 L 0. d)covznikneitercíjzyk L 2 = {00,01,10,11}? Tktovzniknejzyk L 2všechslovsudédélky,včetněprázdnéhoslov. Zdůvodněníjesndné,slovvL 2 musímítsudoudélku,protoževznikjí postupným zřetězením úseků délky 2. Nopk kždé slovo sudé délkyrozdělímenúsekydélky2kždýúsekbudemítzřejmějeden ztvrůvl 2. Poznámk: Všimněme si, že jsme npř. n výše uvedených jzycích ukázli, žeopercezřetězeníjzykůneníkomuttivní,tj.obecněnepltí L 1 L 2 L 2 L 1.(Použilijsmesiceprooznčeníopercezřetězenístejnýznkjko užíváme pro násobení(tedy ), to le pochopitelně neznmená, že operce zřetězení má stejné vlstnosti jko násobení.) Poznámk: Všimněme si tké, že znčení pro iterci odpovídá nšemu znčenímnožinyvšechslovσ ndbecedouσ nbecedujemožnésedívt jko n množinu všech jednopísmenných slov; kždé(neprázdné) konečné slovondbecedouσlzerozdělitnčástidélky1,znichžkždápochopitelně ptřídoσ. Definiceiterce L námtkéříká,žeprázdnéslovodoníptřívždy(vznikne zřetězenímnulslovzl ). Tedymj.pltí = {ε}. Dlší zjímvou opercí definovnou pro jzyky je zrcdlový obrz.
10 Kpitol 1. Formální jzyky Definice 1.5 Zrcdlovýobrzslov u= 1 2... n je u R = n n 1... 1,zrcdlovýobrz jzyk Lje L R = {u v L:u=v R },stručnějipsáno L R = {u R u L}. Příkld: Zrcdlovýmobrzemjzyk L 1 = {ε,, bb, bb}jejzyk L R 1 = {ε,, bb, bb}. Zrcdlovýmobrzemjzyk L 2 = {w w mod2=0}jejzyk L 2,neboli L R 2 = L 2.? Kontrolníotázk: Pltíobecně(uv)R = u R v R? Smozřejmě,žene(dosďtenpř. u=, v=b).jistěsndnonhlédnete,že obecněpltí(uv) R = v R u R ;podobnětké(l 1 L 2 ) R =(L 2 ) R (L 1 ) R. Poslední operce, kterou si uvedeme, může n první pohled působit komplikovně, le pro výkld v dlších kpitolách je velmi užitečné jí důkldně porozumět(přinejmenším tedy její jednoduché formě). Záměrně zčněme obecnou definicí: Definice 1.6 (Levý)kvocientjzyk L 1 podle L 2 jedefinovántkto: L 2 \L 1 = { v u L 2 : uv L 1 }. Když se setkáme s definicí, které ihned neporozumíme, vždy je užitečné si definici nejdříve osht n konkrétních jednodušších příkldech. Uvžme třebpřípd,kdyobjzykyobshujíjedinéslovo,tedy L 1 = {v 1 }, L 2 = {v 2 }.Podledefinice {v 2 }\{v 1 }={ v u {v 2 }:uv {v 1 } }.Tedylibovolné slovo vptřído {v 2 }\{v 1 }právětehdy,kdyžexistuje u {v 2 },tedynutně u=v 2,tkové,že uv=v 2 vjeprvkem {v 1 },tedynutně v 2 v=v 1.Dojzyk {v 2 }\{v 1 }tedyptřívůbecnějkéslovojentehdy,když v 2 jeprefixem v 1 ;v tompřípděptřído {v 2 }\{v 1 }právěto(jediné)slovo,kterévzniknezv 1 odtržením(umzáním)prefixu v 2. Npř. {b}\{bbb}={bb},kdežto {b}\{bbb}=. Teď už si sndno odvodíme onu vizovnou jednoduchou formu, kterou je velmi záhodno důkldně pochopit: (levý) kvocient jzyk podle slov {w}\l, psný tké zkráceně w\l,
1.2 Některé operce s jzyky 11 jeprostěsjednoceníjzyků w\{v}provšechnslov v L.Jinýmislovy: jzyk w\l dostneme tk, že vezmeme všechn slov z L mjící prefix w pkjimtenprefix wumžeme.ještějinkřečeno:slovo vptřídojzyk w\lprávětehdy,kdyžpopřidání wnzčátekptřívýslednéslovo wvdo L. Zvlášť důležitý bude pro nás zákldní přípd, kdy w je rovno jedinému písmenu. Příkld: Pohrjme si trochu s kvocienty; jko vždy, zkuste smozřejmě uvedené otázky nejdříve smi zodpovědět. )Jká slov ptří do jzyk w\l, kde w = L = {bb, b,, bbb}? Jsoutoslov b,. b)jkjetovpředchozímpříkldu,je-li w= ε? Jistějstesiuvědomili,že ε\l=lprokždýjzyk L,tkžesprávná odpověď v nšem konkrétním přípdě je bb, b,, bbb. c)jkjetovpřípdě w=b?acovpřípdě w= bb? V prvním přípdě se w\l rovná {ε}, v druhém přípdě se w\l rovná (žádnéslovozltotižnemáprefix bb). d) Chci-li zjistit b\l, mohu s výhodou využít již zjištěný \L? Určitě no, jelikož b\l je vlstně b\(\l); obecně pltí uv\l = v\(u\l).(promyslete si důkldně, proč je pořdí u, v prohozeno.) VnšemkonkrétnímpřípděsezjímámeoslovzL,kterámjíprefix b(kterýpkhodlámeumzt).kdyžužlevíme,jkvypdjíslovz Lzčínjící poté,cojimonenprefix umžeme,tedy \L={b, }, stčísezdepodívtnslovzčínjící btenprefix bjimumzt: Mámetedy b\{bb, b,, bbb}=b\(\l)=b\{b, }={}. e) Smozřejmě se není třeb omezovt n konečné jzyky. Jk byste chrkterizovlinpř.slovzjzyků0\l1\l,kde L={w {0,1} w 1 jeliché }? Jesndnénhlédnout,že0\L=L1\L={w {0,1} w 1 jesudé }.
12 Kpitol 1. Formální jzyky f)jkbystechrkterizovlislovzjzyků \L, b\lkde L = {w {, b} kždývýskytpodslov jeve wihnednásledovánznkem b }? Určitěrychlevidíme,že b\l=l:kždéslovozb\lzjistémusísplňovt, že kždý výskyt podslov je v něm ihned následován znkem b(tedy b\l L);ovšemkdyžklibovolnémuslovu u Lpřidámen zčátek b,tkvýsledné bujistěptřído L tedy L b\l. Pro jetojink:siceizdepltí \L L,lemámenpř. L (\L).(Proč?) Jzyk \L můžeme chrkterizovt jko {w {, b} kždývýskytpodslov jeve wihnednásledovánznkem b(nvíc)pokud wzčínáznkem,pkponěmhnednásleduje b }. Po pochopení jednoduché vrinty w\l není smozřejmě problémem ni obecná definice kvocientu, když si uvědomíme, že L 2 \L 1 = w L 2 w\l 1. Ale pro tuto chvíli postčí, že plně rozumíme kvocientu podle slov(či dokonce jen podle písmene). Shrnutí: Operce s jzyky už pro nás nejsou problémem. Plně rozumíme definicím umíme je plikovt. Speciálně jsme si dobře promysleli trochu zpeklitou operci kvocientu. 1.3 Cvičení Orientční čs ke studiu této části: 1 hod. Cíle této části: Ttočástobshujepouzeotázkypříkldy.Tymjípřispětkprohloubení všeho porozumění látce celé této kpitoly.
1.3 Cvičení 13? Otázky: Otázk 1.3: Můžeme množinu všech přirozených čísel povžovt z becedu v nšem smyslu? Otázk 1.4: Můžeme množinu všech přirozených čísel(lespoň v nějké reprezentci) povžovt z formální jzyk v nšem smyslu? Otázk 1.5: Lze konečným počtem opercí sjednocení /nebo zřetězení z konečných jzyků vytvořit nekonečný jzyk? Otázk1.6:Jkýjerozdílmeziprázdnýmjzykem prázdnýmslovem ε? Otázk1.7:Kdyjeiterce L jzyk Lkonečnýmjzykem? Otázk1.8 :Můžemedvojíitercíjzykdosttvíceslovnežjednouitercí,tj.existujejzyk,pronějž L (L )? Cvičení 1.9: Která slov jsou zároveň prefixem i sufixem slov 101110110? (Njdete všechn tři tková?) Cvičení 1.10: Vypište slov ve zřetězení jzyků {110, 0111} {01, 000}. Cvičení 1.11: Uvžujme jzyky L 1 = {w {, b} wobshujesudýpočetvýskytůsymbolu }, L 2 = {w {, b} wzčínákončístejnýmsymbolem }. Vypišteprvníchšestslov(rozumísevuspořádání < L )postupněprojzyky L 1 L 2, L 1 L 2, L 1 L 2, L 1. Cvičení 1.12: Njděte dv různé jzyky, které komutují v operci zřetězení, tj. L 1 L 2 = L 2 L 1. Cvičení1.13 :Covznikáitercíjzyk {00,01,1}?Ptřítmvšechnslov nd {0,1}? Cvičení1.14:Uvžujmejzykyndbecedou {0,1}.Nechť L 1 jejzykem všechtěchslovobshujícíchnejvýšepět(výskytůznku)1l 2 jejzykem
14 Kpitol 1. Formální jzyky všechtěchslov,kteráobshujístejně0jko1.kolikjeslovvprůniku L 1 L 2? Cvičení 1.15: Uvžujme jzyky nd becedou {, b}. Vypište všechn slov vezřetězeníjzyků L 1 = {ε, bb, bb}l 2 = {, b, bb}. Cvičení1.16 :Uvžujmejzykyndbecedou {c, d}.nechť L 0 jejzyk všech těch slov, která obshují různé počty výskytů symbolu c výskytů symbolu d. Snžte se co nejjednodušeji popst, která slov ptří do zřetězení L 0 L 0. Cvičení 1.17: Předstvme si následující elektrický obvod s dvěm přepínči A B.(Přepínče jsou provedeny jko retční tlčítk, tkže jejich polohu zvnějšku nevidíme, le kždý stisk je přehodí do druhé polohy.) N počátku žárovk svítí. Pokusme se schemticky popst, jké posloupnosti stisků A, B vedou k opětovnému rozsvícení žárovky. + A B Cvičení 1.18: Obdobně jko v předchozím příkldě si vezměme následující obvodspřepínči A, B, Cjednoužárovkou.(Přepínč Cmádvspolečně ovládné kontkty, z nichž je spojený vždy právě jeden.) N počátku žárovk nesvítí. Jké posloupnosti stisků A, B, C vedou k rozsvícení žárovky? + A C B
1.3 Cvičení 15 Cvičení 1.19: Uvžujme jzyky nd becedou {0, 1}. Popište(slovně) jzyk vzniklýitercí {00,111}. Cvičení1.20:Uvžujmejzykyndbecedou {0,1}.Nechť L 1 jejzykem všechtěchslovobshujícíchnejvýšejedenznk1l 2 jejzykemvšechtěch slov, která se čtou stejně zepředu jko zezdu(tzv. plindromů) tedy všech slov u,proněžpltí u=u R.Kterávšechnslovjsouvprůniku L 1 L 2? Poznámk: Pozor, průnik obou jzyků je nekonečný. Cvičení1.21:Pročobecněnepltí(L 1 L 2 ) L 3 =(L 1 L 3 ) (L 2 L 3 )?
16 Kpitol 1. Formální jzyky
Kpitol 2 Konečné utomty regulární jzyky Cíle kpitoly: Po prostudování této kpitoly budete znát pojmy konečný utomt regulární výrz. Budete umět nvrhnout konečný utomt rozpoznávjící dný jzyk rovněž budete umět tento jzyk popst regulárním výrzem. Budete umět provádět určité operce s konečnými utomty. Budete tké rozumět pojmu nedeterminismus budete ho umět vyžít při návrhu utomtů. Rovněž pochopíte, proč některé jzyky nemohou být rozpoznávány konečným utomtem. Klíčová slov: konečné utomty, regulární výrzy 2.1 Motivční příkld Orientční čs ke studiu této části: 2 hod. Cíle této části: Nkonkrétnímjednoduchém progrmátorském příkldubysteměli nejdříve intuitivně pochopit jeden z motivčních zdrojů, který vcelku 17
18 Kpitol 2. Konečné utomty regulární jzyky přirozeně vede k pojmu návrhu konečného utomtu jko rozpoznávče jzyk. Teprve potom(v dlších sekcích) přistoupíme k precizci tkto získné intuice. Snžíme se tím přispět k demonstrci obecného fktu,žeteoreticképojmy(vinformticejinde) nepdjíznebe, le snží se co nejprecizněji nejužitečněji zchytit objsnit podsttu skutečných prktických problémů přispět k jejich řešení. Klíčová slov: vyhledávání vzorku v textu Podívejmesennásledujícílgoritmus,zpsnýjko psclský progrm. procedure SEARCH (vr F: file) const length = 6 (* delk hledneho retezce *) const P = [,b,,,b, ] (* hledny retezec *) vr A: rry [ 1..length ] of chr begin for i:=1 to length do red( A[i], F ); if EOF (* end of file *) then return endfor while true do if EQUAL(P,A) then vypis misto vyskytu for i:=1 to length-1 do A[i]:=A[i+1] endfor red( A[length], F ); if EOF then return endwhile end Procedur EQUAL je nprogrmován následovně. function procedure EQUAL (vr S1,S2: rry [ 1..length ] of chr): boolen begin for i:=1 to length do if not( S1[i] = S2[i] ) then return FALSE endfor return TRUE end
2.1 Motivčnípříkld 19? Progrmátorsky zběhlý čtenář jistě nemá problémy s pochopením uvedeného (pseudo)kódu, byť sám třeb progrmuje v jzycích jiného typu. Kontrolníotázk: JkbystechrkterizovličinnostprocedurySEARCH,je-li spuštěn n soubor obshující(dlouhou) sekvenci znků z množiny {, b}? (Sekvence je zkončen speciálním znkem, npř. < EOF >.) Ano, jistě jste pochopili, že procedur vypíše všechny výskyty řetězce(tedy slov) bb ve vstupním souboru. Pod výpisem si npř. předstvme výpis pozice konce nlezeného řetězce; tto technická otázk teď pro nás není podsttná, i když u kompletního počítčového progrmu by se smozřejmě musel tké dotáhnout. Z progrmátorskéhohledisk sijistěhnedvšimnememožnostízmenšení čsové náročnosti uvedeného progrmu. Npř. prováděný posun obshu pole A před přečtením dlšího znku není jistě nejlepší řešení.(npdá vás něco elegntnějšího?) Dále si všimneme, že čtení z vnějšího souboru znk po znku bymohlobýtzdrojemvelkéztrátyčsu.(proč?)mělibychomsibýtjisti,že tento problém ve skutečnosti tiše řeší knihovní procedury pro čtení pod.; pk se nemusíme tímto problémem dále zbývt. Vžijmeseteďdosituce,kdymámezesebevydtmximumnpstprogrm, který je z hledisk čsové náročnosti podsttně lepší než t uvedená procedur SEARCH, byť vylepšená o přímočré progrmátorské nápdy. To je možné jen tehdy, jde-li úkol relizovt principiálně lepším lgoritmem. Existuje tkový lgoritmus? Poznámk: Nejde nám pochopitelně prvořdě o hledání speciálního řetězce bb, le obecněji o hledání výskytů vzorku v souboru(npř. textu). Vzorek bb nám teď slouží jen jko mlý konkrétní příkld. Podívejme se n jiné řešení procedury SEARCH. procedure SEARCH1 (vr F: file) const length = 6 type stte = 0.. length type lphbet = (,b) const A: rry [ stte, lphbet ] of stte = [ [1,0], [1,2], [3,0], [4,2], [1,5], [6,0], [4,2] ] vr q: stte begin
20 Kpitol 2. Konečné utomty regulární jzyky q:=0 while true do if q=6 then vypis misto vyskytu red( ch, F ); if EOF then return q := A[ q, ch ] endwhile end Bez dlšího komentáře, tj. bez pochopení, jk tento progrm vznikl, není smozřejmě vůbec jsné, že SEARCH1 relizuje tentýž úkol jko SEARCH(tj., že pro stejnou vstupní sekvenci symbolů,b vydá stejný výstup). Ihned le můžeme ověřit, že procedur SEARCH1 poběží jistě rychleji než SEARCH.(Proč?) Jkmůžemedojítkoné zázrčnétbulce (tj.dvourozměrnémupoli)a zpsnévsearch1zároveňkpřesvědčení,žejetosprávně,tedyžesearch1 děláto,coodníočekáváme?nejednásesmozřejměozázrk,leopoužití obecně pltného postupu, který můžeme nznčit npř. tkto: prvořdé je důkldné porozumění zdání úkolu, jeho přesná specifikce (n správné úrovni bstrkce), promyšlení z různých úhlů, nejprve n jednoduchých přípdech pod., řešení pk(jkoby smo) vychází z(důkldně promyšlené) podstty úkolu, stejně jko důkz jeho správnosti. Tento ideál se v nšem konkrétním příkldu můžeme pokusit relizovt následovně.specifikujmesinášúkol,oznčený U 0,npř.tkto: U 0 (specifikce):vdnéposloupnostiznků,b(zkončenéspeciálnímznkem),připrvenéksekvenčnímučtení, ohlš kždý výskyt bb. Je zřejmé, že budeme muset přečíst první znk posloupnosti. Přečtení speciálního koncového znku bude v nšem přípdě vždy znment ukončení práce, tkže tuto možnost nebudeme dále explicitně zmiňovt. Když je přečteným znkem, je očividně nším zbývjícím úkolem U 1 ( zbytek úkolu U 0 popřečtení;specifikce):vdnéposloupnosti(což je nepřečtený zbytek původní posloupnosti) ohlš
2.1 Motivčnípříkld 21 kždý výskyt bb, le n zčátku tké přípdný výskyt prefixu bb(proč?). Úkol U 1 jeočividnějinýnež U 0,protojsmejejoznčilijink(vnšempřípdě dlším dosud nepoužitým indexem). Promyslíme-lisi zbytek úkolu U 0,kterýmámevykontvpřípdě,žeprvním znkem je b, zjistíme, že se zbytkem posloupnosti máme vlstně udělt zseúkol U 0 ;nenítedyteďtřebzvádětnovýúkol(u 2 ),protožejejvyřešíme (rekurzivním)voláním U 0. Máme tedy: U 0 (relizce):přečtidlšíznk; kdyžjeto,tk(proveď) U 1,kdyžjetob,tk(proveď) U 0. Jkrelizujemevýšespecifikovnýúkol U 1? Přečtemepochopitelnědlšíznk.Kdyžjeto,tkprvníčástspecifikce U 1 (ohlš kždý výskyt bb) nám ukládá, že ve zbytku máme ohlásit kždý výskytbbtképřípdnýprefixbb,druháčástspecifikce U 1 (přípdný výskyt prefixu bb) nám už neukládá nic, protože přečtené pohřbilo nděje n prefix bb. Kdyžjetob,tkprvníčástspecifikce U 1 (ohlškždývýskytbb) námukládá,ževezbytkumámeohlásitkždývýskytbbjinknic, druháčástspecifikce U 1 (přípdnývýskytprefixubb)námukládáohlásit přípdný prefix b. Tkže máme U 1 (relizce):přečtidlšíznk; kdyžjeto,tk(proveď) U 1,kdyžjetob,tk(proveď) U 2 U 2 (specifikce):vdné( zbývjící )posloupnostiohlškždý výskyt bb, le n zčátku tké přípdný výskyt prefixu b. Všimněmesi,ženšerelizce U 0, U 1 korespondujesprvnímidvěmřádky tbulky v SEARCH1. Cvičení2.1:Pečlivědokončetekonstrukcivznikjícího progrmu (svzá-
22 Kpitol 2. Konečné utomty regulární jzyky jemněserekurzivněvoljícímiprocedurmi U 0, U 1, U 2,...).Asivásnpdne, že zchycovt vznikjící strukturu můžete zároveň tbulkou i určitým grfem, kterývásjistěpřirozeněnpdne.(uzlygrfujsouoznčeny U 0, U 1, U 2,..., korientovnýmhrnám(tedy šipkám )jsoupřipsányznky,b.(udělejte to!) Doufejme,žejstevystčilis procedurmi U 0, U 1, U 2,...,U 6 žestruktur nvržené relizce přesně koresponduje s tbulkou v SEARCH1. Speciálně by vám mělo vyjít U 6 (specifikce): v dné (zbývjící) posloupnosti ohlš kždý výskyt bb, le n zčátku tké přípdné prefixy ε, b, bb. V relizci U 6 dáme pochopitelně před přečtením dlšího znku povel OHLAŠ, neboť kždá posloupnost má prefix ε. TkževzniktbulkyvSEARCH1užjenámjsný!Nvícbychomjistěbyli schopni tkovou tbulku sestrojit pro kždý zdný vzorek(řetězec), byť by to u delších řetězců mohl být docel fušk. Poznámk: Později se k problému vrátíme uvidíme, že tvorb tkových tbulek k zdným vzorkům se dá zlgoritmizovt( tedy nprogrmovt). Všimněmesi,ženrelizcinšehoúkolu U 0 sedáhledětjkončtenízdné posloupnosti znků(tedy zdného slov) zlev doprv, přičemž před přečtenímdlšíhosymboluvždyblikne zelenésvětlo,jestližedosudpřečtené slovo(tedy dosud přečtený prefix zdné posloupnosti) splňuje podmínku mámsufixbb, blikne červenésvětlo,jestližedosudpřečtenýprefixtutopodmínkunesplňuje. Zkusme teď ještě nvrhnout podobnou tbulku pro přípd, kdy čteme soubor (tedy slovo) obshující znky 0,1 máme tentokrát(zeleným světlem) ohlásit všechny prefixy, které splňují podmínku obshujipodslovo010nebo#1vemnějesudý.
2.1 Motivčnípříkld 23 Zdevýrzem#1oznčujemepočetvýskytůznku1; nebo myslímepochopitelně v nevylučovcím smyslu(tedy obě podmínky mohou pltit součsně). Specifikovnýúkolsitentokrátoznčme q 0 všimněmesi,žerelizce q 0 bude zčínt povelem OHLAŠ(proč?). Jistě nás již npdlo, že komplikovné vyjdřování úkol, který máme vykontvezbytku,kdyžpřiplněníúkolu qpřečteme jevhodnénhrdit dohodnutou stručnou notcí, npř. δ(q, ). Cojetedyvnšemkonkrétnímpřípdě δ(q 0,0)?Jistěsndnopřijdemen to,že δ(q 0,0)(specifikce):ohlš(vezbytkukpřečtení)všechnyprefixy, kteréobshují010nebozčínjí10nebo#1jevnichsudý. Tentoúkoljeočividnějinýnež q 0,oznčímejejproto q 1 ;mámetedy δ(q 0,0)= q 1. Všimněme si, že kždý úkol(který vzniká při nšich nynějších úvhách) je typu ohlš(ve zbylé posloupnosti) všechny prefixy, které splňují jistou podmínku Proto se nbízí zjednodušení znčení i při specifikci jednotlivých úkolů. Úkol q zdáme prostě vhodným popisem množiny těch slov(potenciálních prefixů posloupnosti zbývjící k přečtení), které splňují onu podmínku. Oznčme tkovou množinu L toacc q. Je to tedy jzyk(tj. množin) obshující právě t slov, po jejichž přečtení máme zsvítit zeleně, plníme-li úkol q. Přečtení tkového slov má vést k ohlášení ;říkámetké,žeslovoje přijto, vedekpřijetí (nglicky to Acceptnce ) odtudjepoužitázkrtk. V nšem příkldu tedy máme L toacc q 0 = { w {0,1} wobshujepodslovo010nebo w 1 je sudé } L toacc q 1 = { w {0,1} wobshujepodslovo010nebomáprefix 10nebo w 1 jesudé }
24 Kpitol 2. Konečné utomty regulární jzyky (Připomínáme,že w 1 oznčujepočetvýskytůznku1ve w.) Podívejmeseteďnúkol δ(q 0,1);specifikceúkoluvlstněznmenávhodnou chrkterizcijzyk L toacc δ(q 0,1).Jistěrychlezjistíme,že L toacc δ(q 0,1) = { w {0,1} wobshujepodslovo010nebo w 1 je liché } cožjejistějinýjzyk(úkol)než L toacc q 0, L toacc q 1 (proč?).tkžezvedemenový úkol q 2 definujeme δ(q 0,1)=q 2 L toacc q 2 = { w {0,1} wobshujepodslovo010nebo w 1 je liché } Poznámk: Je užitečné si všimnout, že nše činnost se dá chrkterizovt jko určitá konstrukce jednoduchých kvocientů jzyků.(kvocient je t složitá jzykováopercezmíněnádříve.)npř.popst L toacc δ(q 0,1) vlstněznmená popst1\l toacc q 0.Pozdějisektomuještěvrátíme. Celkové vytvářené schém(funkci δ) pochopitelně můžeme zse zdt tbulkou grfem. Ztím jsme vytvořili následující frgment tbulky: 0 1 q 0 q 1 q 2 q 1 q 2 Vstupní šipkou jsme oznčili onen výchozí(počáteční) úkol(říkejme tké stv ),výstupnímišipkmi oznčujemestvy,kterézčínjí ohlášením (zelenýmsvětlem) říkámejimtké přijímjícístvy.jkvidíme,ipočáteční stv může být přijímcí přijímjících stvů může být více než jeden.? Kontrolníotázk: Pročje q 1přijímjícíq 2 ne? Ano, máte prvdu, jistě jste si uvědomili, že q je přijímjící právě tehdy, když ε L toacc q (tedy když prázdné slovo splňuje příslušnou podmínku). Cvičení 2.2: Dokončete výše zpočtou tbulku. Popište přitom pečlivě