Čísla v obecější pohledu -cezura- kotakt str. - Obsah.. Příklad ze kterých představa vchází. Přeskoč eí důležité str. -.. Model str. -.. Pravidla pro počítáí se zobecělý áhlede a čísla str. -.. Důsledk a ožá vužití obecého pohledu a čísla str. -.. Obecý pohled a poje derivace str. - 5.. rozšířeý Pascalův trojúhelík str. - 6.. Pravidlo pro popis rozšířeého Pascalova trojúhelíka str. - 7.. Uiverzálí předpis derivace či itegrace str. - 7.. Příklad řešeí liit str. - 8.. Příklad derivace ukce str. -.. Příklad uerické itegrace ukce v určité oboru hodot str. -.. Příklad řešeí součtu divergující ekoečé řad str. -.5. Příklad řešeí eurčitého itegrálu ukce str. -.6. Příklad řešeí diereciálí rovice str. -.D. Dodatek str. - 5.D. Dodatek str. - 6 5. Kotaktí údaje str. - --
.. Příklad ze kterých představa vchází Ideu se budu sažit vsvětlit a příkladech: Př. č. Uvažuje v roviě: Je dáa kružice o poloěru r se střede S, je dáa jiá kružice se střede též S, ale jiý poloěre r. Je-li dáa příka p, která prochází bode S, ted i oběa kružicei, které tak rozděluje každou a dvě části. Je-li dáa další příka p, která eí rovoběžá s příkou p a která též prochází bode S, jsou obě kružice rozděle a čtři části. Je-li dáo ožství příek P, které ejsou rovoběžé a zároveň prochází bode S, pak obě kružice jsou rozděle a stejý počet částíp. Př. č. V úvahách předpokládá, že platí a b a b vžd ať je jakékoli pořadí. Vcházeje z předchozího příkladu, pokud obě kružice jsou rozděle a počet částí, pak součet délk částí kružice o poloěru r je obvod O Πr a součet délk částí kružice o poloěru r je obvod O Πr. Pokud předpokládáe, že přík rozdělili kružici o poloěru r r a stejě velké části obvodu, pak délka části kružice o poloěru r je d O /P a délka části kružice o poloěru r je d O /P. Ted část délk takto vezeá a kružici je úěrá jejíu poloěru. V úvahách předpokládá, že platí kotiuu. a k b k a b vžd ať je k jakákoli délka, obecěji Př. č. Jsou čtři diskrétí části hot, apříklad jablka J,kg,, J,kg, J,kg, J,kg. Je zřejé, že počet pořadí ijak esouvisí s hotostí kotiuu jablek k a aopak protože stejý počet jablek apříklad tři ůže ít vžd jiou hotost a stejou hotost ůže ít i jiý počet jablek, ted jak je zřejé z tohoto příkladu platí, předpokládá, že za každých okolostí: k Př. č. Eistuje-li ějaký počet a ějaké kotiuu, které je dáo rozěre o hodotě k, eistuje-li jié ožství a jié kotiuu rozěre o hodotě k, které je větší ež počet a kotiuu rozěre o hodotě k ůže eistovat ožství a jié kotiuu rozěre o hodotě k které jsou větší ež ožství a jié kotiuu rozěre o hodotě k Předpokládá, že platí pro jakákoliv a k: < < k < k < k --
Ja Přikr l.5... Př. č.5 Eistuje-li ějaký počet a ějaké kotiuu, které je dáo rozěre o hodotě k, vztáhee-li kotiuu k kotiuu P ebo vztáhee -li počet k jiéu počtu P a eistuje-li ějaký počet, platí, že > a ějaké kotiuu, které je dáo rozěre o hodotě k, platí, že k > k, vztáhee -li kotiuu k k kotiuu P ebo vztáhee -li počet k jiéu počtu P, pak eistuje vztah poěrů: Předpokládá, že platí pro jakákoliv a k: k k < < P P P P Př. č.6 Předpokládeje, že eistuje čtverec o straě k a k o obsahu S. Eistuje-li počet příek, které jsou rovoběžé se straou k a protíají strau k a jsou od sebe ve sěru k stejě vzdále, pak rozěr takto vezeých částí čtverce ve sěru k je k / a jejich plocha S/. Takto dostaee počet částí čtverce. Eistuje-li počet příek, které jsou rovoběžé se straou k a protíají strau k a jsou od sebe ve sěru k stejě vzdále, pak rozěr takto vezeých částí čtverce ve sěru k je k / a plocha části, která je vezea příkai v obou sěrech je S/. Takto dostaee počet částí čtverce. Předpokládá, že platí pro jakýkoliv počet příek :.. Model Eistuje poloosa ezáporých čísel, ozačeá a eistuje taková poloosa ezáporých čísel ozačeá jejíž všech čísla jsou vzhlede k poloose ozačeé vsoká ade všech eze a eistuje taková poloosa ezáporých čísel ozačeá -, ke které je každé číslo poloos čísel ozačeé rostoucí ade všech eze. Čísla poloos ozačeé - vjadřuje v poloose ozačeé jedié a ejižší číslo ula a čísla poloos ozačeé jsou v poloose ozačeé vjádřea její ejižší čísle ula. Ke každé takovéto poloose eistují dvě poloos ve stejé vztahu jako k poloose ozačeé, eistuje tak espočetý počet takových to poloos ezáporých čísel. Po uplatěí setrie, eistuje také takový ssté poloos záporých čísel a ul a ted spojeí v bodě ula, odpovídajících poloos, obrazu a vzoru, eistuje ssté takovýchto os, kdž osu ozačeou ztotoží s osou reálých čísel. Ja Přikrl.5. 8.. --
.. Pravidla pro počítáí se zobecělý áhlede a čísla Číslo os je pravý dolí ide. a b a b a a a b ab a b a b a a b b a a a a a a.. Důsledk a ožá vužití obecého pohledu a čísla Zjedodušeí je předevší v to, že liita ukce po převedeí a způsob zápisu, jak je uvedeo viz... lze pak upravovat dle pravidel viz... a tak eastae případ, kd je výraz eurčitý, a lze přío vpočítat výsledek. Příklad užití při řešeí liit je uvede viz... V důsledku toho, že liita přechází v důsledku převedeí výrazu a čísla v obecější pohledu a algebraick vpočitatelý tvar, proítá se ásledě i do pojů jako itegrace viz... a.5., derivace viz... či do řešeí diereciálích rovic viz..6. Dále k zajíavý důsledků lze poocí tohoto pohledu a čísla dospět v souvislosti s číselýi řadai viz... ebo v souvislosti s poje aktoriál viz... a.d, poje kobiačí číslo viz..d. či Pascalův trojúhelík viz... a také itegrace derivace viz... a.., poje sudost a lichost viz..d. Předpokládá, že výše zíěé důsledk a vužití obecého pohledu a čísla jsou ohe širší, zahrují jak klasický pohled a poje číslo, tak i ové ožosti vžití. --
-5-.. Obecý pohled a poje derivace Jestliže je derivace ukce deiováa jako liita, pak lze teto pohled vužít i pro výpočet derivace a itegrálu. Derivace je deiováa: li pak poocí obecěji chápaých čísel ohu prví derivaci vjádřit: ebo jako všší derivace a itegrace pak aalogick vjádří takto:,6,5,6 5 dddd,5,5 5 6 ddd 5 dd d 6 koeiciet posledích čleů součtu viz... a.. 678 678
.. rozšířeý Pascalův trojúhelík V klasické Pascalově trojúhelíku platí pravidlo, že číslo v ižší řádku trojúhelíka je součte dvou čísel v řádku Pascalova trojúhelíka, které jsou ve všší řádku ejblíže touto číslu. Pokud se předpokládá, že je Pascalův trojúhelík a roviě a důsledě se dodrží pravidlo které platí v Pascalově trojúhelíku, kdž se předpokládá po straách Pascalova trojúhelíka a prázdých ístech ula, pak títo zobecěí dostaee roviu čísel, kde pro každé číslo a této roviě platí pravidlo z Pascalova trojúhelíka. Toto zobecěí pak udává koeiciet ve vztahu obecé derivace, pokud se každý sudý ásobí čísle -. - -8-7 8-6 -5 5-5 Ι Ι Ι Ι dddd - - Ι Ι Ι ddd - 6-5 Ι Ι dd - - 5 Ι d - - - 6 5 5 6 5 5 6 7 5 5 7 8 8 56 7 56 8 8 6 8 6 6 8 6 5 5 5 55 65 6 6 65 55 K určeí posledího čleu ve vztahu pro itegraci je třeba zát obecý vztah popisující posloupost koeicietů, pokud je řád itegrace, pak uvažuje řádek rozšířeého Pascalova trojúhelíku ula, tz. řitg. řposl., pořadí čleu v poslouposti je počíaje. Zde platí obecý vztah, ted od řádu poslouposti r výše: r! koeiciet! r! Takto ted lze dospět i ke koeicietu posledího čleu vztahu viz... -6-
.. Pravidlo pro popis rozšířeého Pascalova trojúhelíka Jak blo uvedeo výše viz... lze každý čle číselé řad vpočítat ze vztahu: r! koeiciet! r! Předpokládeje, že eistuje popis celé ploch rozšířeého Pascalova trojúhelíka ve orálě stejé tvaru, pak eistuje rozšířeý aktoriál, který ozačí!, a pro který platí: Pro : Pro < viz..d.:.d. přesý vztah!!!! Pak lze koeiciet vpočíst pro jakýkoliv itegrál a jakoukoli derivaci: Dle vztahu viz..d. : r 6 5 5 - - - -/ - -/ - -/ - - - / - /6 - / - - - -/ - -/ - - - - / -.. r! koeiciet! r!.... Uiverzálí předpis derivace či itegrace řád derivace - řád itegrace řádek rozšířeého Pascalova trojúhelíku r - řád derivace N sloupek rozšířeého Pascalova trojúhelíku pořadí čleu řad ve vztahu i Pak je uiverzálí předpis pro derivaci a itegraci s vužití poju rozšířeý aktoriál viz... takto: Mšleo -N-tý itegrál d N k i i N! N N i N N!! i -7-
-8-.. Příklad řešeí liit Liita lze po takto obecé pohledu a čísla počítat čistě algebraick: Je dáa liita: li Řešeí: úpravou výrazu: po dosazeí za 6 aplikací LHospitalova pravidla: po dosazeí za * 6 obecěji chápaá čísla: 6 8 8 po zaedbáí čísla os ižšího řádu viz. odel je pak výsledek 6
--.. Příklad derivace ukce Je dáa ukce: její derivace ploucí z klasické deiice jsou: a obecěji chápaá čísla: po zaedbáí čísla os ižšího řádu viz. odel je pak výsledek po převedeí a osu reálých čísel viz. odel je pak výsledek
.. Příklad uerické itegrace ukce v určité oboru hodot Výše uvedeý obecý vtah vede a ekoečou řadu, ze struktur je ted zřejé, že teto vztah je v souladu s teoretickou podstatou uerické itegrace: těto hodotá ezávisle proěé:,,,,,5 ted krok v děleí itervalu je odpovídají tto hodot závisle proěé:,,,,,5 k i 5 uerická itegrace: i 5 přesý výsledek itegrace pro tto podík je 5 5 5 d,5 s počte čleů řad jak se bude blížit počtu čleů v přesé vztahu bude i chba uerické itegrace klesat: Nuerická itegrace ukce 5 výsledek itegrace spojice tredu:,5,5,5 Jak je z grau patro, čí je iterval děleí kratší, tí je i přesější výsledek, ted přesý výsledek lze odečíst ze spojice tredu. Pak obecý předpis lze vjádřit, kdž - : k d i i 5 Ted výsledek je ožo upravit do stejého tvaru jako viz..: d --
.. Příklad řešeí součtu divergující ekoečé řad Je dáa řada: 5 Řada v obecější pohledu a čísla: Čle: 5 Částečý součet: 6 5,5,5,5,5 Ted pro součet takovéto divergující ekoečé řad po dosazeí za pak platí: k i i,5, 5 Jiý příklad, je dáa řada: 6 5 Řada v obecější pohledu a čísla: Čle: 6 5 Částečý součet: 5 55 / / /6 / / /6 Ted pro součet takovéto divergující ekoečé řad po dosazeí za pak platí: k i i,,5,6 --
--.5. Příklad řešeí eurčitého itegrálu ukce Je dáa ukce: Itegrace v obecější pohledu a čísla přechází a vřešeí ekoečé divergující řad viz... : Vztah pro jedoduchý itegrál viz. výše: d Je ožo přepsat do tohoto tvaru: 5 d pro daou kokrétí ukci: 5 5 d 5,,5,5,5 i k i po zaedbáí čísla os ižšího řádu viz. odel je pak výsledek,5 Je dáa ukce: Itegrace v obecější pohledu a čísla přechází a vřešeí ekoečé divergující řad viz... : pro daou kokrétí ukci: 5 6 5 d,6,5,,6,5, i k i po zaedbáí čísla os ižšího řádu viz. odel je pak výsledek / pozáka: Itegračí kostata je výsledke itegrace čísla, ale z obecějšího pohledu a číslo viz. odel.. á číslo kokrétí tvar a jde vlastě o itegraci součtu a proto jí ve výše uvedeých příkladech euvádí.
.6. Příklad řešeí diereciálí rovice Jak vplývá ze obecého pohledu a poje derivace, pak je d - a podobě i d - Je dáa diereciálí rovice: 5 klasické řešeí separace proěých: 5 d d výsledek: 5 d d 5 obecěji chápaá čísla: 5 /5, pak pravá straa rovice: 5 *6 zavedeí ideů *- doplěí čleů do orátu derivace doplěí a orát derivace s ociou o řád derivace ižší: poz.: po odečteí a převedeí a klasická čísla esí dojít ke zěě levá straa: - - - - --
-- pravá straa: - - - - - 5 rozšířeí levé stra - a pravé stra - 6 úprava 7 [ ] [ ] rozložeí 8a [ ] [ ] 8b [ ] [ ] *- 8a či 8b po převedeí a klasická čísla a pokud platí, že, pak: pravá straa rovice, *, viz bod výsledek: 5
.D. Dodatek : Kobiačí číslo ad k je deiováo,k je celé ezáporé číslo; k :! k k! k! Pokud budee uvažovat obecější platost rozsahu poju kobiačí číslo za předpokladu eistece poju rozšířeého aktoriálu jak v.. a.d: Pro : Pro < : Pak:!!!!! k k! k! a toto stejé kobiačí číslo lze viz... vjádřit ze.. k; rze.. --: Pak b ělo platit: k k k! k!! Příklad správosti úvah:! k! k! k k! k!! Dle rovice :! 6!!!!!! 6! 6 5 Dle rovice :!! 6!!!! 5!! Porováí výsledku je zřejé, že rovice opravdu platí. -5-
.D. Dodatek : Z předpokladu, že eistuje popis celé ploch rozšířeého Pascalova trojúhelíka ve orálě stejé tvaru jse poocí soustav rovic a zvoleí ěkolika paraetrů odvodil rozšířeý aktoriál vztah vztah platí a á ssl při výpočtu kobiačích čísel a poju rozšířeé kobiačí číslo, sá o sobě eí sslý, pokud jsou é úvah správé, pak správý a přesý vztah je odvoze v ásledující stati.!! vztah Správější vztah pro výpočet aktoriálu záporého čísla dostaee, jestliže voleé paraetr upřesíe. Voleé paraetr získáe tak, že jejich zěou ve vztahu pro výpočet kobiačího čísla, z ěhož se při odvozeí vcházelo, se ezěí výsledek: ab se výsledek eěil, lze v ístě ozačeé šipkou dosadit tto ožosti: a tato ožost je ve vztahu použita b - c - d - ab se výsledek eěil, pro k, z oži běžě používaých kovečích čísel, pak pravý dolí ide, v ístě ozačeé šipkou, usí pouze splňovat podíku: ide > zvolil jse číslo ab se výsledek eěil, je ožo volit libovolou kostatu a, kterou vztah vásobíe, ted pokud se jedá o vjádřeí poocí čísel v obecější výzau: a zvolil jse a Polože si otázku jaký b záporý aktoriál ohl ít výza, zkuse si představit jaký b bl aktoriál v obecější pohledu, dále je aktoriál pro obecěji chápaé číslo kovečě zahrovaé pod poje -. Pak vcházeje ze vztahu ve jeovateli dostaee:! Dle rozšířeého Pascalova trojúhelíka pro rozšířeý poje kobiačí číslo pro k toto kobiačí číslo usí platit, pro >, a zároveň k > :, ab toto platilo, k pak vžd ve vztahu usí být čitatel větší ež jeovatel iiálě b krát, kdž b >, -6-
-7- ted podstatě větší ež jak jse zvolil viz.. Toto bude splěo, pokud čitatel bude právě!, ted jak bcho ohli chápat aktoriál záporého čísla:!! atd Pokud je ted aktoriál záporého čísla jak je rozepsá viz. výše, pak hledeje přesý vztah, který ahradí vztah s voleýi paraetr. add teto paraetr je závislý a to, zda je počet čleů součiu sudý ebo lichý: Předpokládá, že osa s jakýkoliv idee á s čísle téhož ideu stejý vztah, ted: liché; sudé, ale i liché; sudé, což vitřě eí ve sporu protože pokud á být celkový počet lichých a sudých čísel stejý ted uzavřeý iterval ; - á - čleů a pokud je prví lichý, pak posledí je sudý a totéž platí i pro uzavřeý iterval ; - a iterval další. Protože aktoriál - jak viz. výše je souči čleů v uzavřeé itervalu ;, pak á počet čleů lichý a číslo uocěé a liché číslo je. Ted lze vřadit ožosti volb c a d. Rozdíl ezi volbou a či b je zřejý ze struktur výpočtu, ale v podstatě jde o celke epodstatý rozdíl. Pokud bch chtěl deostrovat a vztahu pro výpočet aktoriálu záporého čísla, pak správá ožost je a:!! sudé aalogick:! 5! liché add Jak viz. výše je:!! kolik ted je!:!!! l úprava viz...
l! l l l l l l d [ l ] Ted:! e! e!! e ep Ted pravý dolí ide viz. je add Odvozeí viz. výše add řeší i kostatu a: a e Ted výsledý správý vztah je pro < :!! e vztah kotrola správosti pochopeí záporého aktoriálu a příkladu kobiačího čísla: k - - - - - - k! k! k!! 5!! 5 6 5 6 6 Je patré, že řešeí příkladu je v souladu s ideou záporého aktoriálu. -8-
5. KONTAKT PSČ: tel: e-ail:.chopper@seza.cz základí iorace: Mé ejvšší dosažeé vzděláí v ateatice se sestává z těchto předětů a Uiverzitě, : Mateatika I, doc.rndr.. Csc.,.. Mateatika II, doc.rndr.. Csc.,.6. Vzděláí související s vužití ateatik: MATLAB I, Ig.. Csc.,.. MATLAB II, Ig.. Csc.,.5. --