Optmalzace portfola ÚVOD Problémy vestováí prostředctvím ákupu ceých papírů sou klasckým tématem matematcké ekoome. Celkový výos z portfola má v době rozhodováí o vestcích povahu áhodé velčy, eíž rozložeí pravděpodobostí lze ovlvt skladbou portfola. Základím problémem v optmalzačích úvahách e alezeí kompromsu mez vysokou středí hodotou výosu a malým rzkem, s vestováím spoeým. Rzko se přtom obvykle kvatfkue velkostí rozptylu ebo směrodaté odchylky výosu. METODIKA Fačí vestováí podku Na fačích trzích se obchodue s peěz a růzým ceým papíry. Úkolem fačích trhů e přemsťovat peěží prostředky od růzých subektů, které maí přebytek peěz, k subektům, které ch maí edostatek. Účastíc fačích trhů Účastíc těchto trhů sou podky, domácost, stát a zahračí. Hlavím představtelem poptávky po peěžích prostředcích a fačím trhu sou podky, hlavím představtelem abídky volých fačích prostředků sou domácost, ech úspory. Výzam účast podků a fačích trzích Účast a fačích trzích umožňue: - efektvě alokovat volé peěží prostředky - získat peěží prostředky od subektů, které echtěí vestovat do hmotých a ehmotých vestc - dosahovat vyšší produktvty a efektvost podkatelské čost - zašťovat optmálí stupeň lkvdty podku Dverzfkace vestc a rzkovost portfola Podky domácost vestuí své volé peěží prostředky do růzých druhů hmotého, ehmotého a fačího vestčího maetku, tedy dverzfkuí své vestčí vklady. Dverzfkace vestc e dáa také sahou získat maxmálí výosost z celého portfola vestc a co evíce sížt rzkovost vestc. Problematka dverzfkace vestc a rzkovost portfola se týká všech druhů vestc, evíce však vystupue do popředí u fačích vestc do ceých papírů. Rzko portfola e rzko spoeé s vestováím do souboru fačího, hmotého č ehmotého vestčího maetku. Př volbě optmálě dverzfkovaého portfola e třeba uvážt, že výosy akcí a rzko kolísaí edak v důsledku výkyvů v prospertě celého árodího hospodářství
(systematcké rzko), edak v důsledku hospodařeí emteta (esystematcké rzko). Nelépe lze časové řady využít k dverzfkac portfola. Markowczův model optmalzace portfola H. M. Markowcz e ostelem Nobelovy cey za ekoom v oblast podkových fací, zeméa v oblast teore portfola. Předpokládeme potecálí vestčí soubor, sestaveý z ttulů pracově očíslovaých,, 3,,, a předpokládeme, že máme k dspozc pro každý z těchto ttulů údae o výosech akcí a ech kurzech za posledích T let. Ozačme symbolem v podíl výosu z akce ttulu za rok ku středímu kurzu této akce za rok. K dspozc máme M peěžích edotek, které chceme vestovat do optmálě dverzfkovaého portfola. Částku M e uté rozdělt a ezáporých položek x, x,,x udávaící za kolk e třeba akoupt akce edotlvých podků. Základím ukazatelem výše výosu z edé vestovaé peěží edotky e středí hodota m : m = ( v + v v T ) / T Základím ukazatelem rzka e rozptyl těchto výosů a odhad tohoto rozptylu e dáa výrazem: s = (( v m ) + (v m ),, (v T m ) )/ T Nakoupíme-l akce podle rozpsu x, x,,x, kde x + x +...+x = M, x 0, kde celkový výos z provestovaé částky e áhodou velčou, která e leárí kombací áhodých ezávslých velč reprezetuících výosy z edotlvých akoupeých akcí, kde koefcety áhodých kombací vestovaé částky x, x,,x. Středí hodota celkového výosu e leárí kombací středích hodot edotlvých kombovaých položek, zatímco rozptyl celkového výosu e leárí kombací rozptylů kombovaých položek, kde však koefcety z původí kombace vystupuí ve druhých mocách. Středí hodota z provestovaé částky M: x m + x m + +x m a () Rozptyl z provestovaé částky M : x s + x +.+x s () Kdybychom chtěl maxmalzovat výos bez přhlédutí k rzku, určíme rozps částky M tak, že vyřešíme maxmalzačí úlohu leárího programováí s účelovou fukcí () a
omezuícím podmíkam. V případě, že edým omezeím sou pouze blačí rovce a podmíky ezáporost, e řešeí akoupt za celou částku M akce s evětším středím výosem a vestovaou peěží edotku. Pokud bychom chtěl mmalzovat rzko bez přhlédutí k výš výosu, určíme rozděleí částky M tak, že mmalzueme kvadratckou rovc (), omezuící podmíky sou opět blačí rovce a podmíky ezáporost. Cílem optmalzace portfola e alezeí vhodého kompromsu mez výší výosu a malým rzkem. Výpočet vedoucí k alezeí kompromsího řešeí lze založt a předpokladu, že estota spoeá s vestováím sžue očekávaou výš výosu. Pro vlastí rozhodutí e pak směrodatá výše čstého výosu, tedy středího výosu sížeého o pealzačí čle úměrý výš rzka. Př maxmalzac rozdílů fukcí () a () by bylo velm obtížé terpretovat ekoomcký výzam takovéto maxmalzace, eboť středí hodota e udáa v peěžích edotkách, kdežto rozptyl sou kvadratcké odchylky peěžích edotek od průměrů. Abychom obě velčy přetrasformoval do srovatelých edotek, vydělíme fukc () maxmem této fukce a obdobě fukc () vydělíme mmem této fukce, obě př stávaících omezeích. Tím se z obou fukcí staou fukce bezrozměrých hodot s tím, že př steých subektvích vahách kladeých a výš výosů a velkost rzka, abude rozdíl obou fukcí hodoty 0 v tom případě, že exstue rozps x, x,,x, který současě maxmalzue výosy a mmalzue rzko. Jak e hodota rozdílu záporá a čím e meší, tím více e saha o maxmalzac výosů v rozporu se sahou o mmalzac rzka. Ozačíme-l W maxmum fukce () a w mmum fukce () př steých omezeích, ademe tedy optmálí rozps vestc vyřešeím úlohy maxmalzovat [ / W ] α[ ( x s + x +... + xs )/ w] ( )( x m + x m +... + x m ) α (3) Koefcet α e koefcet vestčí opatrost. Je to zvoleé číslo z tervalu 0,. Je-l α = 0, maxmalzueme výos bez přhlédutí k rzku, e-l α =, mmalzueme rzko bez přhlédutí k výš výosů. Vyvážeý komproms e α = 50%. Korelace výosů Ve výše uvedeém Markowczově modelu esou bráy v úvahu korelace mez edotlvým druhy vestc v portfolu. Skutečost, zda vestce zvyšue č sžue rzko celého podkáí, závsí a vztahu příslušé vestce k ostatím vestcím. Z tohoto hledska rozezáváme tř typy vzáemých vztahů mez vestcem:. Ivestce s poztví závslostí (poztvě korelovaé) výosost akcí v rámc časového období se vyvíí steým směrem, takto dverzfkovaé vklady esžuí rzko celkového podkáí. Ivestce s egatví závslostí (egatvě korelovaé) akce, echž výosost se v určtém časovém období vyvíí protchůdě, takto dverzfkovaé vklady zašťuí pokles rzka 3. Ivestce s ulovou závslostí (ekorelovaé) akce esou vzáemě závslé, čím více e vestc s ulovou závslostí, tím větší e možost částečého vyrováí přízvých a epřízvých faktorů.
Vztah mez vestčím proekty s růzou mírou závslost se dá matematcky vyádřt koefcetem korelace. Teto koefcet měří rozsah, ve kterém očekávaá výosost edoho vestčího proektu e závslá a očekávaých výosech druhého proektu. U korelovaých vestc se blíží +, u egatvě korelovaých vestc. takto: Koefcet korelace KA,B výosost podku B s výosostí podku A se určí K A, B V V V A B A B = (4) σ Aσ B V kde K A,B = koefcet korelace výosost podků, = počet sledovaých období výosost, V A = výosost podku A, V B = výosost podku B, σ A = směrodatá odchylka výosost podku A, σ B = směrodatá odchylka výosost podku B. Výosost celého portfola se spočítá ako vážeý artmetcký průměr výosost edotlvých vestc v portfolu, vaham sou podíly edotlvých vestc v portfolu: P V = V P =, P = 0 P, (5) kde V P = výosost portfola vestc, V = výosost edotlvých druhů vestc v portfolu, P = podíl edotlvých druhů vestc a celkovém výda, = počet vestc v portfolu. Rzko vestce do takovéhoto portfola e směrodatá odchylka portfola, která se vypočítá podle ásleduícího vztahu: σ = P P K σ σ, (6) p = = kde σ P = směrodatá odchylka výosost portfola, P, P = podíl edotlvých druhů vestc v celém portfolu, σ σ = směrodatá odchylka výosost edotlvých druhů vestc, K, = korelačí koefcet mez -tou a -tou vestcí v portfolu, = celkový počet vestc v portfolu. Pokud tedy hledáme optmálí portfolo pro daou úroveň vestčí opatrost a chceme respektovat vzáemé korelace mez akcem, musíme modfkovat vztah (3) ásleduícím způsobem
( α) z = max = = PV α p PV p m = = = = PP K σ σ PP Kσ σ (7) kde z chápeme ako účelovou fukc ež pro zvoleé α maxmalzueme.