ZÁKLADY AUTOMATIZACE

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta trojího ižeýrtví Iva Švarc ZÁKLADY AUTOMATIZACE Učebí tet pro kombiovaou formu bakalářkého tudia

Určeo pro bakalářké tudium: Obor tudia: -7-7 Aplikovaá iformatika a řízeí předmět: Automatizace a regulace Obor tudia: -4-7 Stavba trojů a zařízeí předmět: Základ automatizace a regulace Tato publikace je určea poluchačům kombiovaého bakalářkého tudia pro předmět Automatizace a regulace, který je v oovách bakalářkého oboru Ižeýrká iformatika a řízeí a pro předmět Základ automatizace a regulace, který je v oovách bakalářkého oboru Stavebí troje. Součaě je doporuče všem poluchačům bakalářkého tudia a Fakultě trojího ižeýrtví, kteří i zapiují tto předmět v ormálí formě bakalářkého tudia a koečě všem zájemcům o automatizaci. Rád bch ještě podotkl, že ve větším rozahu jou základ automatizace a jmeovitě základ automatického řízeí v publikaci Švarc, I.: Automatizace Automatické řízeí, Akademické akladateltví CERM,.r.o. Bro, březe, která je určea pro předmět Automatizace. Te je ve tudijích programech všech magiterkých oborů a Fakultě trojího ižeýrtví VUT v Brě. V Brě, říje. Autor Iva Švarc, ISBN

OBSAH. ÚVOD. 4 Kotrolí otázk 9. LOICKÉ ŘÍZENÍ. 9. Logické fukce 9. Booleova algebra. Vjádřeí booleovkých fukcí 5.4 Miimalizace logických fukcí 7.5 Realizace logických fukcí prvk NAND a NOR 9.6 Logické řídicí obvod.7 Programovatelé automat 6 Kotrolí otázk 9. SPOJITÉ LINEÁRNÍ ŘÍZENÍ. Úvod. Laplaceova traformace.. Přímá a zpětá traformace.. Hlaví vět traformace 4. Statické a damické vlatoti regulačích čleů 5.4 Difereciálí rovice tému a přeo 6.5 Impulí fukce a charakteritika 9.6 Přechodová fukce a charakteritika 4.7 Frekvečí přeo 44.8 Frekvečí charakteritika v kompleí roviě 46.9 Dopraví zpožděí 49. Bloková algebra 5. Regulátor základ, damické vlatoti 58. Regulátor kotrukčí pricip, použití 6. Stabilita regulačích obvodů 67.4 Kritéria tabilit 7.4. Hurwitzovo kritérium 7.4. Routh-Schurovo kritérium 7.4. Michajlov-Leohardovo kritérium 74.4.4 Nquitovo kritérium 75.5 Nataveí regulátorů metodou Ziegler-Nichol 76 Kotrolí otázk 79 4. DISKRÉTNÍ ŘÍZENÍ 8 4. Dikrétí regulačí obvod 8 4. Z traformace 8 4. Diferečí rovice 87 4.4 Matematický popi dikrétích čleů 9 4.5 Čílicové regulátor 94 4.6 Stabilita dikrétích obvodů 96 Kotrolí otázk LITERATURA..

. ÚVOD Všude kolem á vidíme ahu o eutálé zvšováí produktivit práce. Úkolem ižeýra v tomto proceu je hledat ové pracoví potup miimálí potřebou čau a ákladů. Jedotlivé pracoví úko muí být co ejkratší a ejjedodušší, ab vžadoval miimum lidkých il. K tomu všemu muí připívat především automatizace výrobích proceů. K automatizaci vede aha člověka ovobodit e eje od fzické čioti, ale i od jedotváré a uavující čioti duševí. Čiot člověka přebírají automat, počítače a prvk umělé iteligece. Teto poměrě ložitý proce, při ěmž lidká řídicí čiot při výrobě i mimo výrobí proce je ahrazováa čiotí růzých přítrojů a zařízeí je azýváa automatizací. V průběhu vývoje polečoti e člověk ejprve podle vých chopotí, možotí a zájmů začal ovobozovat od amáhavé a opakující e fzické práce (mechaizace apř. přechod z ručího a trojí obráběí). Později pak, dalším rozvojem techik a árůtem ároků a řídicí čiot, přitoupil i k ovobozováí od čato již i velmi áročé a rověž amáhavé řídicí duševí práce (automatizace apř. přechod ze trojího obráběí lidkou obluhou a čílicově řízeé obráběcí troje). Potupě jou tak vtváře řídicí tém buď plě automatické (bez jakékoliv účati člověka a řízeí), ebo více či méě automatizovaé, kde člověk do jiak automatick řízeého proceu zaahuje způobem, který je píše závilý a charakteru řízeého proceu (apř. volí ebo potvrzuje další uplatňovaý způob řízeí, modifikuje způob řízeí podle okamžitého průběhu řízeého proceu apod.). Řízeí je ted eoddělitelým základem automatizace. A teoretickou diciplíou, která e zabývá řízeím je vědí obor zvaý kberetika. Za jejího zakladatele je považová americký matematik Norbert Wieer, který jako prví zpracoval teorii zpětovazebích témů řízeí pro účel protiletecké obra. Tuto teorii zobecil pro všech druh techických a biologických témů. Shrul ji ve vé prolulé kize Kberetika eboli řízeí a dělováí v živých orgaimech a trojích (Cberetic or Cotrol ad Commuicatio i the Aimal ad the Machie). Tato kiha všla v roce 948 a autora prolavila jako zakladatele kberetik. Většia defiic kberetik vchází z Wieerov defiice, který ji defioval jako vědu o řízeí a dělováí v živých orgaimech a trojích. Nedotatkem této defiice je, že edoceňuje témový přítup při řízeí a jako objekt zkoumáí zahruje pouze živé orgaim a troje. Nezahruje ted další poměrě velmi důležité objekt, z dešího hledika abývající ještě a kberetika teoretická kberetika aplikovaá kberetika teorie témů teorie řízeí teorie iformace teorie algoritmů teorie her teorie automatů teorie učeí techická kberetika ekoomická kberetika orgaizačí kberetika biolog. a lékařká kberetika pedagogická kberetika Obr.. 4

důležitoti, zkoumaé deší kberetikou, jako jou objekt polečeké, ekoomické a z techických témů, de tak růzorodých, e omezuje je a troje. Ai iformačí hlediko této defiice eí úplé, protože omezuje je a dělováí čili a přeo iformací a euvažuje de tak důležité proce uchováí a zpracováí iformace. Kberetika je věda, která zkoumá obecé vlatoti a zákoitoti řízeí v biologických, techických a polečekých témech. Jako každá věda muí také kberetika dipoovat teoretickým základem a teto aplikovat a jedotlivé vědí oblati. Tímto rozlišeím dělíme kberetiku a teoretickou a aplikovaou kberetiku obr... Z dílčích čátí teoretické kberetik á bude v dalším zajímat především teorie řízeí, která e zabývá zkoumáím obecých vlatotí a zákoitotí řízeí. Při řídicích proceech hraje výzamou úlohu také iformačí apekt a te je předmětem kberetické teorie iformace. Zde e jedá o zíkáváí, přeo, zpracováí, ukládáí a vužíváí iformací z hledika řízeí. Týmiž iformačími proce, bez zřetele k těmto peciálím ouvilotem řídicími tém e zabývá vlatí teorie iformace. Protože všech kberetické děje probíhají uvitř témů, vužívá kberetika také pozatků obecé teorie témů, která zkoumá obecé vlatoti a zákoitoti iformačích témů. Kberetická teorie témů e zabývá tém, v ichž e ukutečňují řídicí proce. Uvedeé dílčí teorie jou teoretickými átroji teoretické kberetik, které mají vztah k automatizaci. Tto teorie jou amotaté vědí dicipli a á bude z hledika automatizace zajímat především teorie řízeí. Většiou ji uvádíme jako teorii automatického řízeí, čímž zdůrazňujeme, že e jedá o řízeí techických zařízeí (agl. Automatic Cotrol), protože řízeí polečeké (agl. Maagemet) e píš ozačuje bez přívlatku pouze jako teorie řízeí. Předmět kberetik lze zkoumat apř. v biologických, techických a polečekých témech. Z tohoto hledika praktického vužití je možo v rámci aplikovaé kberetik rozlišovat techickou kberetiku, biologickou kberetiku, pedagogickou kberetiku, vojekou kberetiku atd. V každém z těchto odvětví aplikovaé kberetik e vžd předotě vužívá určitých apektů teoretické kberetik. Tak apř. v oučaé době hrají v techické kberetice výzamou úlohu teorie řízeí (regulace), teorie témů a teorie iformace. Základem automatizace je řízeí. Řízeí je cíleé půobeí a řízeý objekt tak, ab e doáhlo určitého předepaého cíle. Podle toho, jak řízeí provádíme, rozlišujeme řízeí ručí a automatické. Tpickým příkladem je řízeí letadla člověkem a autopilotem. U automatického řízeí rozlišujeme přímé řízeí, u kterého řídicí proce probíhá bez přívodu eergie (regulace výšk hladi odvozeá od íl plováku) a epřímé řízeí přívodem eergie, což je de běžé a bude v dalším rozváděo. Důležitým hledikem pro děleí řízeí je zda výledek řízeí je aebo eí zpětě kotrolová zda je či eí zpětá vazba při řízeí. Podle toho rozlišujeme ovládáí, regulaci a všší form řízeí (obr..): ovládáí je řízeí bez zpěté kotrol bez zpěté vazb; ŘÍZENÍ ovládáí regulace optimálí řízeí adaptiví řízeí umělá iteligece regulace je řízeí e zpětou vazbou. Regulace je udržováí určité fzikálí veliči a kotatí Obr.. hodotě ebo jiak podle ějakého pravidla e měící hodotě. Během regulace e zjišťují hodot této veliči a rovávají e hodotou, kterou má mít. Podle zjištěých 5

odchlek e zaahuje do regulačího proceu v tom mlu, ab e odchlk odtrail. OVLÁDÁNÍ vější půobeí REULACE vější půobeí vtup řídicí tém řízeí řízeý tém výtup vtup řídicí tém řízeí řízeý tém výtup Obr.. iformace o tavu řízeého tému - zpětá vazba Rozdíl mezi oběma druh řízeí ovládáím a regulací je a obr..; všší form řízeí. Sem patří optimálí řízeí, adaptiví řízeí, učeí a umělá iteligece. optimálí řízeí je takové, kd tém doáhe požadovaých vlatotí apř. při miimu valožeé eergie, ted maimálí účiotí, ebo aopak v ejkratším čae. Stém je přitom chope vhledat ejvýhodější půobeí a doáhout tak co ejlepšího chováí celého tému v daých omezujících podmíkách; adaptiví řízeí je takové, kd tém je chope měit vou trukturu ted i vé parametr tak, ab proce řízeí probíhal tále optimálě, a to i při změách parametrů řízeého objektu; jetliže je adaptiví tém chope ukládat přijaté iformace do paměti a později v téže ebo podobé ituaci zovu vužívat zíkaých zkušeotí, lze jej azvat učícím témem a proce řízeí tohoto tému je učeí; ejvšším tupěm řízeí je řízeí tém umělou iteligecí. Umělá iteligece je vlatot uměle vtvořeého tému, který má chopot rozpozávat předmět, jev, aalzovat vztah mezi imi a tak i vtvářet model okolí, dělat účelá rozhodutí a předvídat jejich důledk, řešit problém včetě objevováí ových zákoitotí a zdokoalováí vé čioti. Automatické řízeí lze techick ukutečit ěkolika způob, které e podtatě liší pricipem půobeí řídicího tému a řízeý tém. Z tohoto hledika rozdělujeme automatické řízeí a logické pojité dikrétí fuzz Logické řízeí vužívá k řízeí dvouhodotových veliči. Jejich půobeí je takové, že jou vžd je dvě možoti vetil je otevře / zavře, vpíač je eput / vput, atd. Podobě i iformace o tavu objektu jou dvouhodotové veliči hladia je ad / pod miimálí hodotou, teplota je ad / pod 8 C, atd. Dvouhodotové veliči jou formálě vjadřová hodotami a. Jou aalogické proměými výrokové logik, a proto jou vztah mezi proměými azývá logické fukce a řídicí obvod pracující a tomto pricipu jou logické řídicí obvod. Spojité řízeí je tam, kde jak akčí záah je pojitě atavová, tak i údaje o řízeém tému jou měře jako veliči pojitě proměé v čae. Spojitý řídicí tém vtváří (a 6

rozdíl od dikrétího tému) epřetržitou vazbu mezi vtup a výtup. Všech veliči pojitého tému jou pojitě proměé v čae, žádá z ich eí ai dvouhodotová ai dikrétí. Dikrétí řízeí je de důledkem aazeí počítačů jako regulátorů i kdž jeho počátk bl při řízeí pojitých témů, dikrétě měřeých (řízeí poloh letadla, měřeé radiolokátorem). U řídicích počítačů, které ai edovedou zpracovávat pojitý igál, je utý pojitý igál převádět a dikrétí. Dikrétí řídicí tém vtváří vztah mezi vtup a výtup jako vztah mezi poloupotmi impulů, ímaých v čaovém ledu daém tzv. vzorkovací periodou. Mezi okamžik vzorkováí eí regulovaá veličia měřea a ai akčí veličia eí upravováa. Tato vzorkovací perioda je tím kratší, čím rchlejší je řízeý proce. Zatímco pojité řízeí je v deší době píše a útupu, můžeme realizovat logické a dikrétí řízeí a jedom a tomtéž programovatelém automatu. Na druhé traě dikrétí řízeí realizovaé velmi krátkou periodou vzorkováí může být přibližě hodé e pojitým. U fuzz řízeí eí základem řízeý tém a jeho model, ale pozorot je zaměřea a člověka (tzv.eperta), který umí tém řídit, ale přitom emá pojem o klaickém matematickém modelu řízeého tému. Takový člověk pak outavu řídí a základě pravidel tpu jetliže hladia kleá, otevři trochu přívod vod. Fuzz regulátor muí ejprve přiřadit zvoleým vtupím veličiám jazkovou hodotu. To e provede ejlépe pomocí tzv. fukce přílušoti bývají vole obvkle ve tvaru lichoběžíka či trojúhelíka. Tato etapa je ozačováa jako fuzzifikace. V dalším kroku určí fuzz regulátor a základě zalotí eperta loví hodot akčích veliči (apř. regulačí odchlka je záporá malá). Nakoec převede loví vjádřeí a kokrétí číelé hodot veliči tzv. defuzzifikaci. Toto řízeí je vhodé pro řízeí témů, které edovedeme popat, ale které dovedeme řídit. Je možé určit hodotu výtupu, aiž záme vzorce mezi vtupem a výtupem. Závěrem tohoto úvodu zdůrazěme ještě témový přítup k automatizaci. Řešeí problémů automatizace zaahuje do růzých oborů a je uto je řešit oučaě, kompleě. Vjmeujme apoň ěkteré problém, které e řeší při zaváděí automatizace: problém rozhodováí o účeloti automatizace v daé oblati řešeí techické záležitoti automatizace řešeí použitých techických protředků automatizace aazeí počítačů a otázk programového vbaveí těchto počítačů ociálí a ekoomické apekt automatizace půobeí automatizace a životí protředí.atd. Člověk, zabývající e automatizací muí mít alepoň základí zaloti z automatického řízeí, z protředků automatického řízeí, muí vědět ěco o imulaci témů, muí zát základ práce počítači, zát základ měřicí techik, základ elektroik a elektrotechik a ještě poutu dalších věcí. Je těmito zalotmi je možé přitupovat k zaváděí automatizace a růzých pracovištích a doáhout toho, ab protředk valožeé a zaváděí automatizace bl valože efektivě a ab přío z automatizace bl efektiví. 7

Kotrolí otázk. Podejte charakteritiku mechaizace a automatizace.. Čím e zabývá věda kberetika?. Rozděleí kberetik. 4. Defiujte pojem řízeí. 5. Jak dělíme řízeí podle toho, zda je či eí přítoma zpětá vazba? 6. Jak dělíme řízeí z techického hledika přeou iformace? 7. Čím je charakterizováo logické řízeí? 8. Podejte charakteritiku pojitého řízeí. 9. Podejte charakteritiku dikrétího řízeí (kd mluvíme o dikrétím řízeí?).. Co je to fuzz řízeí? 8

. LOICKÉ ŘÍZENÍ Logické řízeí je cíleá čiot, při íž e logickým obvodem zpracovávají iformace o řízeém proceu a podle ich ovládají přílušá zařízeí tak, ab e doáhlo předepaého cíle. Logický obvod je fzikálí tém, který lze charakterizovat logickými prvk propojeými mezi ebou logickými (dvouhodotovými) veličiami.. Logické fukce Spojité veliči, které jou popá pojitými proměými, mohou abývat ekoečého počtu hodot. V této kapitole e budeme zabývat logickými veličiami ebo logickými proměými, které mohou abývat koečého počtu hodot. Na ich je založea logická algebra, tj. outava pravidel, určeých k popiu vztahů mezi logickými proměými. Tato pravidla popiují ejčatěji logické operace vlatí úko logické algebr. Zvláštím druhem logických proměých jou dvouhodotové proměé dvouhodotové veliči, abývající pouze dvou možých hodot, ejčatěji ozačovaé jako a. To jou také ejčatěji e vktující logické veliči v techice: apětí eí apětí je, oučátka eí zmagetováa oučátka je zmagetováa, vrták eí zlome vrták je zlome, motor eběží motor běží atd. Logická algebra, založeá a dvouhodotových veličiách e také azývá Booleova algebra (.Boole, 85 864, irký matematik). Vedle této algebr ale je a dvouhodotových logických veličiách založea i jiá algebra, kterou e rověž v příštích kapitolách ezámíme. V dalším budeme zaměňovat pojm dvouhodotový a logický ve mlu dvouhodotový (logická fukce dvouhodotová fukce, logický obvod dvouhodotový obvod...). Logickou fukci f (,,... ) (.) defiujeme jako přiřazeí hodot a logické (dvouhodotové) proměé ke kombiacím hodot ezávilých logických proměých,,.... Logické fukce mohou být fukce jedé proměé fukce dvou proměých ( ) f (.) (, ) f (.) a fukce tří a obecě více proměých rovice (.). Nejjedodušší případ jou logické fukce jedé proměé. Jou v podtatě čtři a jejich pravdivotí tabulk (teto pojem bude blíže vvětle později) jou v tab... Prví fukce falum egace aerce verum Tab.. Logické fukce jedé proměé je pro libovolé rova a azývá e falum. Druhá má vžd opačou hodotu ež a azývá e egace. Je poměrě důležitá a má peciálí ozačeí (.4) 9

(čti o ). Třetí fukce má pro vžd tejou hodotu jako je a azývá e aerce (opakováí). Čtvrtá fukce má tále rovo pro všecha a azývá e verum. Avšak praktický výzam má pouze jeda fukce ze čtř fukcí jedé proměé a tou je egace a ta patří k edůležitějším logickým fukcím. Ní e budeme zabývat logickými fukcemi dvou proměých. Je jich celkem 6, jak je.falum ulová fce.kojukce log.ouči.ihibice 4.aerce opakováí 5.ihibice 6.aerce opakováí 7.dilema 8.dijukce log.oučet 9.egace log.oučtu.ekvivalece.egace.implikace.egace 4.implikace 5.egace log.oučiu 6.verum jed.fukce Tab.. Logické fukce dvou proměých vidět z tab... Všech 6 fukcí e opět epoužívá, používají e běžě pouze čtři a to: kojukce (logický ouči) č. dijukce (logický oučet) č.8 egace logického oučtu (NOR) č.9 egace logického oučiu (NAND) č.5 Přitom e a fukci egace budeme dále dívat jako a fukci jedé proměé, eboť jme i všimli, že u fukcí dvou proměých e jedalo vžd o egaci pouze jedé z ich. Pokud á zajímají fukce tří a více proměých, opakují e fukce dvou proměých, rozšířeé a tři a více proměých a to ám při zaloti fukcí dvou proměých ebude dělat potíže. V tab.. máme hrut fukce, které budeme v dalším používat. Je to egace, jako fukce jedé proměé a kojukce, dijukce, NOR a NAND jako fukce dvou proměých ( tím, že všech tto fukce lze bez potíží jak uvidíme rozšířit a tři a více proměých). Ještě i řekěme základí charakteritik čtř základích fukcí dvou proměých. Kojukce (logický ouči AND z agl.) je charakterizováa tím, že fukčí hodota abývá jedičk pouze tehd, kdž obě proměé, (obecě všech proměé) jou jedičk. Dijukce (logický oučet OR z agl.) je charakterizováa tím, že fukčí hodota abývá jedičk tehd, kdž alepoň jeda z proměých, (obecě ze všech proměých) je jedička. Negace logického oučtu (NOR, egace dijukce ěkd též Pierceova fukce) je charakterizováa tím, že fukčí hodota je jedička, kdž žádá z proměých, (obecě kdž žádá z proměých) eí jedička.

Negace logického oučiu (NAND, egace kojukce ěkd též Shefferova fukce) je charakterizováa tím, že fukčí hodota abývá jedičk tehd, kdž proměé, (obecě všech proměé) ejou oučaě jedičk. ázev fukce omí ázev algebraický zápi chémat.začka pravdiv. tabulka egace NON kojukce logický ouči AND &.. dijukce logický oučet OR egace dijukce NOR egace kojukce NAND. &. Tab... Logické fukce můžeme vjádřit Booleovými fukcemi to je egací, kojukcí a dijukcí fukcemi NAND tačí jediá fukce fukcemi NOR opět tačí jediá fukce Základí logické fukce a jejich vjádřeí Podle toho, které vjádřeí zvolíme, mluvíme o Booleově algebře, NAND algebře ebo NOR algebře. Základí je vjádřeí Booleovými fukcemi pro vjádřeí logické fukce potřebujeme tři základí fukce a při realizaci této fukce potřebujeme tři druh logických prvků. Pokud e rozhodeme pro vjádřeí logické fukce základí fukcí NAND ebo fukcí NOR, vtačíme jedím druhem základí fukce a při realizaci potřebujeme pouze jede druh logických prvků.

. Booleova algebra Používá tři základí fukce a to egaci, kojukci a dijukci. Základím požadavkem je každou logickou fukci miimalizovat, to je vjádřit ji co ejmeším počtem základích logických fukcí. Tím e při realizaci potřebuje ejmeší počet logických prvků a techická realizace vjde ejjedodušší a ejekoomičtější (a tím také e zvýší její polehlivot). Logické fukce můžeme zázorňovat pomocí Veových diagramů, zámých z možiového počtu. Jou ázoré, a proto je použijeme pro zázorěí logických fukcí a pro operace imi a ujaíme i a ich platot základích pravidel Booleov algebr. Obdélík a obr.. předtavuje uiverálí možiu, uiverum a přiřadíme mu hodotu logické jedičk. Možia (proti běžému zvku zde budeme ozačovat moži malým pímeem) je dáa vitřími bod uzavřeé křivk. Prvk epatřící do moži vjadřují fukci egace a předtavují bod vě křivk. Na obr.. je zázorěa možia předtavující fukci logického oučiu., která obahuje prvk jak moži tak i moži oučaě a je to průik obou těchto moži. Naopak a obr.. je zázorěa možia, jedocující obě moži,, obahující prvk buď z moži ebo z moži a tato možia je jedoceí obou moži a předtavuje fukci logického oučtu. K zjedodušováí čili k miimalizaci logických fukcí používáme základí pravidla Booleov algebr, e kterými e teď ezámíme. Obr.. Obr.. Obr... v Negace Log.ouči Log.oučet vloučeý třetí (.5) logický rozpor. (.6) dvojitá egace (.7) opakováí. (.8) Tto čtři záko jou logické a ado i je předtavíme podíváme-li e a diagram a obr... Leží-li ěco uvitř kruhu, má přílušá proměá hodotu. Mimo kruh má hodotu. Pokud ěco leží buď uvitř kruhu aebo vě kruhu, leží to v uiveru a logická proměá této fukce má hodotu (záko vloučeého třetího):. Ab ěco leželo oučaě v kruhu a vě kruhu eí možé a logická proměá, která vjadřuje hodotu této fukce abývá hodot (záko logického rozporu):.. Jetliže je hodota logické proměé uvitř kruhu rova, je mimo kruh rova. Ale mimo tuto oblat má hodotu ( ) a to je opět hodota proměé v kruhu, a ted je rova (záko dvojité egace):.

Jetliže ěco leží v kruhu ebo v kruhu, pak to leží amozřejmě v kruhu. Podobě leží-li ěco v kruhu a oučaě v kruhu, zae to emůže ležet jide ež v kruhu (záko opakováí). Ní i uvedeme zbývající záko Booleov algebr. Jejich pochopeí je pro další práci velmi důležité. Umožňují ám pracovat algebraickými výraz, upravovat je a miimalizovat. rafické objaěí ěkterých tpických z těchto zákoů je a obr..4. Tam jou uvede Veov diagram, které umožňují pochopeí zákoů Booleov algebr. komutativí záko.. (.9) aociativí záko ( ) ( ) ( )... ( )( ) ditributiví záko aborpčí záko eutrálot a. (.) (.).( )..( ). (.). (.) agreivot a. (.4) De Morgaov záko.. (.5) De Morgaov záko jou velmi důležité, uplatí e zejméa v budoucím převáděí Booleov algebr a NAND ebo NOR algebru. Budeme je používat ve tvaru, který z rovic (.5) dotaeme egací (obě rovice (.5) egace levé tra rová e egace pravé tra) :.. (.6) Napišme i tto rovice ještě jedou, (apř. pro tři proměé, které ozačíme a, b, c), poěvadž je budeme v budoucu velmi čato používat: a b c a. b. c a. b. c a b c (.7) V dalším e budeme zabývat miimalizací logických fukcí. Nejjedodušší je použití těchto pravidel Booleov algebr a úprava výrazů tak dlouho, dokud edotaeme ejkratší výraz. Většiou je to však příliš pracá metoda, zvlášť kdž e jedá o ložitější výraz, ai vždck edotaeme miimálí tvar, protože evíme, kd je ejkratší, kd je miimálí. Hodě zde záleží a prai a techické dovedoti. Proto e občejě miimalizace eprovádí tímto způobem, ale většiou použitím Karaughov map (bude vvětleo v dalším). Příklad.: Miimalizujte logickou fukci Řešeí: Z. a. čleu vtkeme a z 4. a 5. čleu vtkeme ( ) ( ) Výraz v závorkách jou podle zákoa vloučeého třetího (.5) rov jedé. Potom z. a. čleu vtkeme a výraz v závorce je ze tejého důvodu opět rove jedé. ( ) Použili jme aborpčí záko (.), podle kterého je a tím jme dotali koečý výledek.

( ) aociativí záko - vilé šraf ( )( ) ditributiví záko - vilé šraf - vilé šraf De Morgaův záko - šeď aborpčí záko vilé šraf šeď, - vilé šraf šeď Obr..4 rafické zdůvoděí zákoů logické algebr Příklad.: Miimalizujte logickou fukci 4 4 4 Řešeí: Podle De Morgaova zákoa (.5) převedeme egaci logických oučiů a oučet egací ( ) ( ) ( ) ; 4 4 4 Výraz v prví závorce rozáobíme, zblé dvě závork eí potřeba uvádět. ( ) ( ) 4 4 4 4 4 Podle zákoa agreivoti a (.4) jou výraz v závorkách rov jedotce. Podle zákoa opakováí (.8) je a ted 4 4 4 4 Výledý vztah jme opět dotali aplikací již vzpomíaého De Morgaova zákoa (.5). Příklad.: Miimalizujte logickou fukci Řešeí: Teto a áledující příklad je už bez bližšího kometáře. Hlavě zde používáme aborpčí záko (.) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4

Příklad.4: Miimalizujte logickou fukci Řešeí: Použití De Morgaových zákoů, v závěru použit záko logického rozporu (.6). ( )( ).. Vjádřeí Booleových fukcí Pomieme-li loví zadáí, pak ejčatěji používaé protředk pro vjádřeí Booleových fukcí jou -pravdivotí tabulka -algebraický výraz -Karaughova mapa (evetuálě jié map) -blokové chéma Základí formou popiu logické fukce je popi pravdivotí tabulkou, e kterou jme e již etkali. Do tabulk e zapíší všech možé kombiace hodot ezávile proměých, pro které je fukce defiovaá a jim odpovídající fukčí hodota (hodota závile proměé). Je zvkem pát pořadí kombiací ezávile proměých po obě v dvojkové outavě. Příkladem je pravdivotí tabulka v tab..4. Můžeme i jako příklad předtavit žárovku, která má dva tav, vítí a evítí. Nechť je zapíáa a zhaíáa třemi dvoupolohovými přepíači,,, každý z ich o dvou tavech a. Z daého zapojeí můžeme vledovat, při jaké kombiaci tavů přepíačů žárovka vítí aebo evítí. Přiřadíme-li tavu tav, kd žárovka vítí a, kd evítí, můžeme fukci zapojeí žárovk a přepíačů popat pravdivotí tabulkou tab..4. Ní i ukažme, jak přecházíme od pravdivotí tabulk k algebraickému zápiu logické fukce. Každou logickou fukci můžeme algebraick vjádřit jako logický oučet logických oučiů. V pravdivotí tabulce potupujeme po řádcích a uvažujeme pouze t, ve kterých fukčí hodota abývá hodot. Každému takovému řádku odpovídá jede oučtový čle, který má tolik čiitelů v oučiu, kolik je vtupích logických Tab..4 proměých. Vtupí proměá, která má v přílušém řádku hodotu je zatoupea přímo, která má hodotu, je zatoupea vou egací. Celá logická fukce je potom vjádřea logickým oučtem takových výrazů, pro které má závile proměá jedotkovou hodotu. Tak fukce daá tabulkou tab..4 bude vjádřea algebraickým výrazem Teto výraz jitě dovedeme upravit a zjedodušit. Ale tomuto tvaru logické fukce, který etává z logického oučtu logických oučiů základích ezávile proměých, e říká úplá ormálí dijuktiví forma (ÚNDF). Je to jedo z důležitých vjádřeí Booleových fukcí a je základem pro popi logické fukce Karaughovou mapou. Ke Karaughovým mapám e dotaeme brz, ale zatím ještě teto výraz upravíme použijeme pravidlo opakováí (.8) : ( ) ( ) ( ) 5

& K tomuto výrazu akreleme blokové chéma. V tab.. jme měli uvede chematické začk pro jedotlivé logické fukce. Předpokládáme Booleovu algebru a uvažujeme tři fukce: kojukci, dijukci a egaci. Schéma odpovídající tomuto výrazu je a obr..5. Teď už zbývá e ezámit poledím Obr..5 Blokové chéma druhem vjádřeí Booleových fukcí a to Karaughovými mapami ( M. Karaugh, *94, americký matematik). Tto louží ejeom k jejich vjádřeí, ale především k jejich miimalizaci. Ale tu zatím euvažujme a mluvme pouze o vjádřeí logických fukcí Karaughovými mapami. Mapa je tabulka, která má tolik políček, kolik je kombiací proměých všetřovaé fukce. Fukci proměými ted vjadřujeme mapou políčk. Každé políčko odpovídá jedé z možých kombiací a zapiujeme do ěj odpovídající fukčí hodotu. Podle kódu, kterým přiřazujeme políčka jedotlivým kombiacím proměých, rozlišujeme růzé map. Nejzámější je Karaughova mapa. U í e ouedí políčka od ebe liší hodo- tou jedié proměé. Na obr..6 je jako příklad uvedea Obr..6 Karaughova mapa Karaughova mapa pro logickou fukci tří proměých podle tab..4. Budeme e držet ejčatějšího způobu začeí map, podle kterého řádk ebo loupce, ve 4 5 6 5 4 4 Obr..7 Karaughov map pro logické fukce dvou až šeti proměých 6

kterých je přílušá proměá rova jedotce, ozačujeme vedle map vilou ebo vodorovou čarou, ke které připíšeme jméo přílušé logické proměé. V řádcích ebo loupcích, které ejou takto ozače, je přílušá logická proměá rova ule. Je možo i všimout, že mapa dodržuje pravidlo Karaughových map, podle kterého e ouedí políčka liší změou hodot jedié proměé. Zapáí fukce do map je jedoduché a počívá v přepáí fukčích hodot do přílušých políček. Nulu jako fukčí hodotu epíšeme. Vcházet můžeme jak z pravdivotí tabulk, tak z algebraického výrazu, který je ve tvaru úplé ormálí dijuktí form. Karaughov map logických fukcí dvou až šeti proměých jou uvede a obr..7..4 Miimalizace logických fukcí K daé logické fukci eituje ěkolik růzých tvarů. Všech jou matematick rovoceé, protože předtavují tejou fukčí závilot i kdž mohou být tvarově začě odlišé. Nejou však rovoceé z hledika techického a ekoomického. Pro techickou realizaci je uto vžd fukci upravit do ejjedoduššího tvaru miimalizovat ji. Miimalizací fukce doáheme toho, že při její realizaci budeme potřebovat ejmeší počet logických prvků (egací, kojukcí, dijukcí). Tím e logický obvod tae jedoduchým, amozřejmě také levějším z hledika ekoomického a polehlivějším. Pro miimalizaci eituje řada metod. S jedou z ich jme e již ezámili. Je to algebraická miimalizace. Logickou fukci zjedodušujeme aplikací růzých pravidel Booleov algebr až a miimálí výraz. Metoda je začě pracá, ikd i ejme toprocetě jiti, že daý výraz je už te miimálí. Naproto e ehodí pro ložitější fukce více proměých. Druhá metoda miimalizace je použití Karaughov map. Zatím jme e ezámili Karaughovými mapami jako átrojem pro vjádřeí eboli pro popi fukce. Ale jejich hlaví výzam je právě aplikace pro miimalizaci logických fukcí. To je umožěo základí vlatotí Karaughov map a to, že e dvě ouedí políčka map liší v hodotě pouze jedé proměé. Miimalizace pomocí Karaughov map bude počívat v opačém potupu ež při etavováí map, a to alezeím algebraického tvaru fukce, zadaé mapou. Budeme potupovat tak, že ouedí políčka map, která obahují jedotku jako fukčí hodotu, budeme družovat do dvojic, čtveřic, omic, šetáctic atd. Podle Karaughov map a obr..8 zjitíme, že při zakroužkováí dvou ouedích jediček je odpovídající algebraická fukce 4 ( ) 4 4 4 4 Uvažujeme-li zakroužkovaé čtři ouedí jedičk, odpovídá jim fukce 4 4 ( ) 4 ( ) 4 ( 4 4 ) 4 4 Obr..8 Miimalizace V odpovídající logické fukci chbí ta hodota, která v přílušé dvojici, čtveřici, omici, měí voji hodotu. V prvím případě to bla proměá, v druhém případě u 7

čtřech ouedích políček jou to proměé, 4. Bl to amozřejmě t proměé, které bl v závorce ve mlu proměá ebo její egace a tato závorka e rovala jedičce podle zákoa vloučeého třetího. A to blo zapříčiěo vlatotí Karaughov map, že e dvě ouedí políčka liší pouze v hodotě jedé proměé. Sloučeím dvou ouedích jedotkových políček vloučíme jedu proměou, loučeím čtř políček vloučíme dvě proměé, loučeím omi políček tři proměé atd. Teď zbývá ještě říci, co rozumíme pojmem ouedí 4 políčka v Karaughově mapě, což je poěkud ložitější, ež e jeví a prví pohled. Souedot políček v Karaughově mapě. Souedími jou apř. i políčka a protilehlých okrajích map. Sad pomůže předtava, že mapu rolujeme, že bude levý okraj ouedit pravým a oučaě dolí horím. Dvojice mohou být vilé i vodorové. Čtveřice mohou být dvě a dvě jedičk pod ebou, ale také vodorově čtři jedičk vedle ebe aebo vile pod ebou. Omice mohou být krát 8 vodorově či vile, krát čtři vodorově či vile,... Dále emíme zapomeout a rohové čtveřice, omice apod. Příklad všech těchto čtveřic jou a obr..9. 4 Obr..9 Souedot Základí pravidla pro miimalizaci logických fukcí Karaughovými mapami jak provét ekupeí jediček v mapě do izolovaých jediček, dvojic,čtveřic,... Všech jedičk v mapě muí být zakroužková, žádou emíme vechat Každá jedička e může při kroužkováí vzít ěkolikrát, může být oučaě oučátí dvojice, čtveřice,... (to umožňuje záko opakováí... ) Předot mají... omice před čtveřicemi, čtveřice před dvojicemi a dvojice před izolovaými jedičkami V rámci pravidla podle kterého žádou jedičku emíme vechat, e ažíme o co ejmeší počet mček Příklad.5: Karaughovou mapou miimalizujte logickou fukci z příkladu. Řešeí: Nakrelíme Karaughovu mapu pro tři proměé obr.. a apíšeme jedičk do přílušých políček. Zakroužkujeme jedozačě jedu čtveřici a jedu dvojici. Výledek je ve hodě řešeím příkladu.. Obr.. Příklad.6: Miimalizujte logickou fukci čtř proměých daou pravdivotí tabulkou uvedeou v tab..5. 8

Řešeí: Na obr.. je akrelea přílušá Karaughova mapa. Podle jedoho z pravidel miimalizace mají předot čtveřice před dvojicemi a dvojice před izolovaými jedičkami. Proto e jako ejlepší řešeí jeví zakrelit tři čtveřice jak je vidět z obrázku. Odpovídající logická fukce pak je 4 4 4 Pozámka: Při řešeí praktických úloh e čato tává, že logická fukce je defiováa pouze v ěkterých kombiacích vtupích proměých, zatím co a fukčích hodotách zbývajících kombiací ezáleží. Jou to tzv. eurčeé tav. Mimo tav, kd a fukčí hodotě ezáleží, jou to také kombiace vtupích proměých, které e z ějakých důvodů emohou vktout (jou fzikálě Obr.. edotupé, ebo zakázaé ). Hodota v eurčeém tavu může být dodefiováa libovolě. Odpovídající čtvereček v Karaughově mapě při miimalizaci ozačíme a můžeme pak ho ahradit ebo, co je v daém okamžiku výhodější, abchom zíkali miimálí tvar. 4 Tab..5.5 Realizace logických fukcí prvk NAND a NOR Při avrhováí logických obvodů e čato používají prvk NAND (egace logického oučiu) a NOR (egace logického oučtu), protože tto prvk jou ado dotupé v širokém ortimetu a ado e. & realizují. Výhodou oproti Booleovým prvkům je, že k realizaci používáme pouze NAND NOR jede druh prvků, a to buď NAND aebo NOR. Obr.. Prvk NAND a NOR Nejdříve i podle obr.. ujaěme fukci těchto prvků a které logické fukce realizují. To je z předcházejícího kotetu a z obrázku jaé. Ní i ještě řekěme, jak e realizuje logická fukce egace pomocí prvku NAND ebo NOR.Většiou mají prvk NAND a NOR tři ebo čtři vtup. Při realizaci můžeme volé vtup. poechat volé (což je totožé jako připojit logickou ). všech pojit (proletovat) jedím vtupem a který přivádíme. připojit a ě logickou hodotu &... &... &... Podle obr.. vidíme, že při vtvářeí Obr.. Realizace egace prvk NAND a NOR egace z prvků NAND je možé použít variat a, ted propojit všech vtup aebo připojit a ě hodotu, ale emíme je poechat 9

volé. Při vtvářeí egace z prvků NOR můžeme použít variat a, ted poechat epoužité vtup volé aebo je propojit, ale emíme a ě připojit hodotu. A í už a kokrétím příkladu ukážeme realizaci logického obvodu buď prvk NAND ebo prvk NOR. 4 Tab..6 Příklad.7: Navrhěte realizaci logické fukce, daé pravdivotí tabulkou tab..6 a) Booleovými prvk b) prvk NAND 4 c) prvk NOR Řešeí: Nejdříve daou logickou fukci pomocí Karaughov map miimalizujeme. Karaughova mapa je a obr..4. Podle pravidel miimalizace zakroužkujeme jedu čtveřici a dvě dvojice. Tím dotáváme miimalizovaou logickou fukci vjádřeou Booleovými prvk a) 4 4 4 Obr..4 Z této fukce přímo akrelíme blokové logické chéma pro realizaci Booleovými prvk je a obr..5a. Pak tuto fukci převedeme pomocí De Morgaových zákoů (.7) a fukci vhodou pro realizaci prvk NAND ebo prvk NOR. b) 4. 4. 4 c) 4 4 4 4 4 4 Prvím z těchto zákoů provedeme převod a realizaci prvk NAND a druhým z ich a realizaci prvk NOR. Ovšem prvk NOR eí možé realizovat logickou fukcí a b c, 4 a) BOOL & & & 4 & & & & b) NAND & & & & Obr..5 4 ale muíme celou rovici (pravou i levou trau) egovat a b c a pokud pak chceme a výtupu, muíme zařadit egaci. Bloková chémata a obr..5 ukazují již zmíěou realizaci Booleovými prvk a obr..5a, prvk NAND a obr..5b a prvk NOR a obr..5c. Z obr..5 i můžeme udělat také předtavu o tom, kolik prvků je a jedotlivé realizace zapotřebí.v případě Booleových prvků b blo potřebí 4 egátorů, oučtových čleů a c) NOR