M - Příprv n. ápočtový test pro třídu D Autor: Mgr. Jromír JUŘEK Kopírování jkékoliv dlší využití výukového mteriálu je povoleno poue s uvedením odku n www.jrjurek.c. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestven vytištěn v progrmu dosystem - EduBse. Více informcí o progrmu nlenete n www.dosli.c.
M - Příprv n. ápočtový test pro třídu D 1 ± Logritmy Logritmy jejich vlstnosti Definice ritmu dného čísl: Logritmus dného kldného čísl při ákldu > 0 ároveň ¹ 1 je tkové číslo y, kterým musíme umocnit ákld, bychom dostli ritmovné číslo. Zpisujeme: y Û y [Čteme ritmus čísl při ákldu ] Určování ritmů dných kldných čísel se nývá ritmování. Obrácená operce se nývá odritmování. Vlstnosti ritmů: Logritmus jedné při libovolném ákldu > 0, ¹ 1 je roven nule. Logritmus čísl stejného, jkým je i ákld, je roven jedné. Logritmus čísl většího než jedn je kldný, ritmus čísl menšího než jedn je áporný. Logritmus při ákldu 10 se nývá ritmus dekdický. Logritmus při ákldu e se nývá ritmus přiroený. Příkld 1: Vypočtěte 5 5 Řešení: Podle definice převedeme n výpočet 5 5 y Odtud sndno jistíme, že y Příkld : 1..010 17:0:16 Vytištěno v progrmu dosystem - EduBse (www.dosli.c) 1 1
M - Příprv n. ápočtový test pro třídu D 1 Vypočtěte ákld ritmu, jestliže pltí 16 Řešení Podle definice převedeme n výpočet 16 Protože pltí 16 6, pk 6 odtud 6 Příkld : Určete, jké číslo musíme ritmovt, bychom při ákldu ritmu 0,1 dostli číslo -1 Řešení: Podle definice převedeme výpočet 0,1-1 n tvr 0,1-1. Odtud sndno vypočteme, že 10. ± Logritmy - procvičovcí příkldy 1. 08 1. 077. Stnovte číslo, pltí-li 10-1 08 0,1. 067 0,75 5. 06 0,5 6. 079 6 7. 068 0,5 1..010 17:0:16 Vytištěno v progrmu dosystem - EduBse (www.dosli.c) 1
M - Příprv n. ápočtový test pro třídu D 1 8. 07 16 9. 076 10. 071 11. 070 6 1. 06 0,15 1. 080 1. 08 / 15. Stnovte číslo, pltí-li 1/10-1 086 10 16. 075 1/ 1..010 17:0:16 Vytištěno v progrmu dosystem - EduBse (www.dosli.c) 1
M - Příprv n. ápočtový test pro třídu D 1 17. 069 18. 066 0,5 19. 085 0. 078 1. 06 0,5. Určete ( ) 0 07. 07 6. 065 0,5 5. 081 0, ± Věty o ritmech Věty o ritmech Podle definice ritmů pltí: y (1) Logritmus dného kldného čísl je tkové číslo ( ), kterým musíme umocnit ákld - vi prvá strn výru (1), bychom dostli ritmovné číslo - tj.. y y 1..010 17:0:16 Vytištěno v progrmu dosystem - EduBse (www.dosli.c) 1
M - Příprv n. ápočtový test pro třídu D 1 y y 1. Nele ritmovt součet ( + b) ¹ + b. Logritmus součinu je roven součtu ritmů jednotlivých činitelů Důk: b b b b vše pro > 0, b > 0, > 0, ¹ 1 b b. b + b Protože mocniny jsou si rovny mjí shodné ákldy, musí se rovnt i příslušné eponenty. Proto: b + b Npř.:. Logritmus podílu je roven rodílu ritmů dělence dělitele Důk: b b b b vše pro > 0, b > 0, > 0, ¹ 1 b b b - b - b Npř.: b 1..010 17:0:16 Vytištěno v progrmu dosystem - EduBse (www.dosli.c) 5 1
M - Příprv n. ápočtový test pro třídu D 1. Logritmus mocniny je roven součinu eponentu ritmu ákldu dné mocniny Důk: n n n n. ( ) n n. Npř.: ± Věty o ritmech - procvičovcí příkldy 1. Určete, je-li 095. Určete, je-li - 1. b 09 1..010 17:0:16 Vytištěno v progrmu dosystem - EduBse (www.dosli.c) 6 1
M - Příprv n. ápočtový test pro třídu D 1. 110. 10 5. 109 6. Určete, je-li.. 7 09 7. 098 bc 8. 089 9. 100.b. 10. 108 1..010 17:0:16 Vytištěno v progrmu dosystem - EduBse (www.dosli.c) 7 1
M - Příprv n. ápočtový test pro třídu D 1 11. 10 1. Určete, je-li -. b - 088 1. Určete, je-li. tg b. c 087 1. 096 15. 10 c b. 6 5 16. 090 17. 099 b/c 18. 106 + 1..010 17:0:16 Vytištěno v progrmu dosystem - EduBse (www.dosli.c) 8 1
M - Příprv n. ápočtový test pro třídu D 1 19. 101 b (n+) / 0. 09 1. Určete, je-li 1/ b / 091. 097. 107 ( - b).. b. 111 5. 105 6 b. b 5 1..010 17:0:16 Vytištěno v progrmu dosystem - EduBse (www.dosli.c) 9 1
M - Příprv n. ápočtový test pro třídu D 1 ± Eponenciální rovnice Eponenciální rovnice Eponenciální rovnice je tková rovnice, která má nenámou v eponentu. Eponenciální rovnici můžeme řešit prvidl třemi postupy (využíváme v uvedeném pořdí): 1. Převodem obou strn rovnice n mocniny o stejném ákldu - v tomto přípdě využijeme vlstnost, že pokud má pltit rovnost mocniny n obou strnách mjí stejné ákldy, musí se sobě rovnt i eponenty. Získáme tk většinou lineární nebo kvdrtickou rovnici, kterou už umíme sndno vyřešit. Příkld 1: Řešte rovnici: æ ö ç è ø 81 56 Řešení: æ ö ç è ø æ ö ç è ø æ ö ç è ø Závěr: Příkld : Řešte rovnici: 0,5-7 - Řešení: - - 7 - - 7 - - 7 1-1 - 9 11 1 Závěr: 1/11 Příkld : Řešte rovnici: 1..010 17:0:16 Vytištěno v progrmu dosystem - EduBse (www.dosli.c) 10 1
M - Příprv n. ápočtový test pro třídu D 1-1 - + + -1 -.( + + - - 8 ) 8 æ 1 1 1 ö. ç + + 8 è 8 ø 7 6. 7. 8 6 8. 9 Závěr: 9. Substitucí Substituce nám usndní řešení, většinou dostneme kvdrtickou rovnici, výjimečně i lineární. Příkld : Řešte rovnici v oboru reálných čísel: 9 +. - 0 Řešení: ( ) +. - 0 Zvedeme substituci y Dostneme rovnici: y + y - 0 (y - 1). (y + ) 0 y 1 1 y - Vrátíme se pět k vedené substituci: ) 1 0 1 0 b) - V tomto přípdě není řešení, protože je vždy větší než 0. Závěr: Rovnice má jediné řešení, to 0.. Logritmováním Tento postup používáme tehdy, pokud ni jedním předchoích dvou postupů nele řešení dosáhnout. Výsledek většinou pk obshuje ritmus. Příkld 5: Řešte rovnici: 5 5 Řešení: Vhledem k tomu, že nejsme schopni převést obě strny rovnice n stejný ákld, použijeme postup, kdy celou 1..010 17:0:16 Vytištěno v progrmu dosystem - EduBse (www.dosli.c) 11 1
M - Příprv n. ápočtový test pro třídu D 1 rovnici ritmujeme: 5 5 5.. 5. (5-5) 0 Součin je roven nule tehdy, když spoň jeden činitelů je roven nule, proto 0 (ávork být rovn nule nemůže). Ponámk: V některých přípdech se použije i kombince substitučního postupu s postupem ritmování. ± Eponenciální rovnice - procvičovcí příkldy 1. Řešte rovnici: - 56 0,5 + 167. 168. 168. 169 5. 16 1 6. 1658 7. Řešte rovnici: 166. + m -m 7 Nemá řešení 1..010 17:0:16 Vytištěno v progrmu dosystem - EduBse (www.dosli.c) 1 1
M - Příprv n. ápočtový test pro třídu D 1 8. 1661 9. Řešte rovnici: + 1 + 5+ 1.. 1 + 16 10. 160 11. V oboru reálných čísel řešte rovnici: 6..8 9 + + - 7- -1-1 1657 1. 16-1. Řešte rovnici: æ ö ç è 5 ø æ 5 ö ç è ø - 160 1. 169,5 15. 1660 16. 166 17. V oboru reálných čísel řešte rovnici: 5-6 - 7 165 1..010 17:0:16 Vytištěno v progrmu dosystem - EduBse (www.dosli.c) 1 1
M - Příprv n. ápočtový test pro třídu D 1 18. Řešte rovnici: + + + - + 167 19. Řešte rovnici: æ ç è 5 ö ø + -1 æ15 ö. ç è 8 ø 1 5 1651 0. 161 6 1. Řešte v oboru reálných čísel rovnici: æ 5 ö ç1 - è 9 ø - -0,5 æ 9 ö ç è ø -5 1665. 1655 1. Řešte rovnici v oboru reálných čísel:. 1-165. 16 1 5. Řešte rovnici: 1. - 8 + 6. V oboru reálných čísel řešte rovnici: + + + - + 165 165 1..010 17:0:16 Vytištěno v progrmu dosystem - EduBse (www.dosli.c) 1 1
M - Příprv n. ápočtový test pro třídu D 1 7. Řešte rovnici v oboru reálných čísel:. + - 10 1656 8. 166 9. 166 1 0. 165 1. 16. 169. 161. 1650 1 / 5 5. 1659 6. Řešte rovnici: 5-7- 10 16 1..010 17:0:16 Vytištěno v progrmu dosystem - EduBse (www.dosli.c) 15 1
M - Příprv n. ápočtový test pro třídu D 1 7. 166 ± Logritmické rovnice Logritmické rovnice Logritmická rovnice je tková rovnice, v níž se vyskytují ritmy výrů s nenámou, přičemž ptří do množiny reálných čísel. Zákldní ritmickou rovnicí je rovnice typu > 0, ¹ 1 Tto rovnice má pro libovolné b jediné řešení tvru Logritmické rovnice složitějších typů se nejprve uprví n tvr kde > 0, ¹ 1, přičemž f() g() nbývjí kldných hodnot. K úprvám využijeme věty o ritmování. Z těchto předpokldů pk pltí: dále řešíme rovnici be ritmů (protože jsme provedli odritmování rovnice). Příkld 1: 1..010 17:0:16 Vytištěno v progrmu dosystem - EduBse (www.dosli.c) 16 1
M - Příprv n. ápočtový test pro třídu D 1 Řešte ritmickou rovnici - + 5 8 Řešení: - + 5 8 - + 5 8 8 100 Příkld : Řešení: 1 + + 7 1 + + 7 + 6 0 + 6 0 + 0,5.. + 7.. + 6 0 + + 8 + 6 0-6 - 0,01 Příkld : + - Řešení: + - 5 5 + - (1/) 5 (0/) 5 0,75 1000 ± Logritmické rovnice - procvičovcí příkldy 1. 1668 10. 10 1..010 17:0:16 Vytištěno v progrmu dosystem - EduBse (www.dosli.c) 17 1
M - Příprv n. ápočtový test pro třídu D 1. 1669 99/101. 1678 -. 1675 101 5. 1680 6. 1686 7. 51 1 168 8. 1+ 10 1 0,01 10. 100 1681 1..010 17:0:16 Vytištěno v progrmu dosystem - EduBse (www.dosli.c) 18 1
M - Příprv n. ápočtový test pro třídu D 1 9. 1689 6 10. 167 Nemá řešení 11. 168 10 1. 1676,5 1. 168 100 1. 1671 7 15. 1685 1..010 17:0:16 Vytištěno v progrmu dosystem - EduBse (www.dosli.c) 19 1
M - Příprv n. ápočtový test pro třídu D 1 16. 1688 17. 1690 100 18. Řešte rovnici: 1667 0,01 19. 167 0,5 0. 167 6 1. Řešte rovnici: 5 1-11 5 10 10. 110 10 11 1666. 1679 5. 1670 1. 1677 5 1..010 17:0:16 Vytištěno v progrmu dosystem - EduBse (www.dosli.c) 0 1
M - Příprv n. ápočtový test pro třídu D 1 5. 1687 1..010 17:0:16 Vytištěno v progrmu dosystem - EduBse (www.dosli.c) 1 1
M - Příprv n. ápočtový test pro třídu D 1 Obsh Logritmy 1 Logritmy - procvičovcí příkldy Věty o ritmech Věty o ritmech - procvičovcí příkldy 6 Eponenciální rovnice 10 Eponenciální rovnice - procvičovcí příkldy 1 Logritmické rovnice 16 Logritmické rovnice - procvičovcí příkldy 17 1..010 17:0:16 Vytištěno v progrmu dosystem - EduBse (www.dosli.c)