8..4 Užití ritmetických posloupostí Předpokldy: 80,80 Př. : S hloubkou roste teplot Země přibližě rovoměrě o 0 C 000 m. Jká bude teplot dě dolu hlubokého 900 m, je-li v hloubce 5 m teplot 9 C? Jká by byl teplot dě jedoho z ejhlubších dolů světě TuTo v JAR v hloubce 585 m. Porovej vypočítou teplotu s teplotou uváděou v litertuře vysvětli rozdíl. Ze zdáí záme teplotu ve dvou hloubkách: v hloubce 5 m 5 = 9 v hloubce 05 m 05 = 9 (hloubk o 000 větší teplot o 0 C vyšší) Pomocí vzthu mezi s r můžeme určit difereci poslouposti: = + ( ) = + ( ) s r s r d 05 5 05 5 d 9 = 9 + 000d d = 00 Teď sdo určíme pomocí stejého vzorce teplotu v libovolé jié hloubce: 900 = 5 + ( 900 5) d = 9 + 875 = 5, 5 C 00 585 = 5 + ( 585 5) d = 9 + 560 = 5,8 C 00 Z předpokldu, že teplot zemské kůry roste s hloubkou způsobem udým v zdáí by v hloubce 900 metrů byl teplot 5, 5 C, v hloubce 585 metrů pk 5,8 C. Druhý výsledek je zjevě ereálý. Při tkové teplotě by bylo pro horíky si emožé prcovt. V litertuře se uvádí,že v ejižších ptrech zmiňového dolu TuTo je teplot horiy kolem 60 C, teplot vzduchu pk doshuje si 55 C, klimtizcí je sižová přijtelých 5 C. Důvody zjištěého rozdílu jsou zřejmě dv:. Uvedeý vzrůst teploty s hloubkou se týká pouze vrchí vrstvy zemské kůry, později roste teplot podsttě pomleji (větši tepl do zemské kůry eproiká z pláště, le vziká v kůře rozpdem rdioktivích prvků, jejichž obsh je ejvyšší ve vyšších vrstvách).. Tepelá vodivost většiy hori je velmi mlá tk je možé pomocí klimtizce ochldit povrch horiy ižší teplotu (právě velmi mlá tepelá vodivost hori zemské kůry bráí sdému využití geotermálí eergie). Pedgogická pozámk: Všechy ásledující příkldy pocházejí z klsické učebice od Doc. Odvárk. Z celý večer se mi epodřilo vymyslet jiý reálý příkld, který by ebyl pouhou kopií se změěými čísly. Pokud by utor učebice protestovl mohu příkldy smozřejmě stáhout hrdit logiemi, le sám vímám teto fkt jko oceěí jeho práce, protože oprvdu eechl příliš věcí, které bych mohl změit. Pedgogická pozámk: Všechy dále uvedeé příkldy eí v silách většiy studetů stihout. Příkldy tvoří podobé dvojice (příkldy příkldy 4 5). Řeším to
tk, že studeti vždy řeší celý příkld 4. Příkldy 5 pouze číáme (uděláme soupis toho, jký výzm mjí jedotlivá čísl v zdáí z hledisk posloupostí). Příkld 7 větši studetů eí schopá vyřešit sm, le i přípdě, že jej estiheme ve škole, ic stršého se eděje, protože je možé příkld dostudovt dom. Př. : V obchodě ství propgčí pyrmidu z plechovek. Kolik plechovek bude pyrmidu potřeb, pokud ejižší řd obshuje 5 plechovek kždá dlší řd má o jedu plechovku méě? Npíšeme si, jký výzm mjí jedotlivé zdé hodoty z hledisk posloupostí. Zbytek příkldu je pk pouhým doszováím do vzorců. = 5 - počet plechovek v ejižší řdě = - v posledí řdě je jediá plechovk d = - v kždé dlší řdě je o jedu plechovku méě s =? - chceme určit počet plechovek ve všech řdách Určíme pomocí vzorce pro -tý čle: = + ( ) = 5 + ( )( ) 4 = ( ) = 5 Teď můžeme dosdit do vzorce pro s : 5 s = ( + ) = ( 5 + ) = 5 N stvbu pyrmidy bude třeb 5 plechovek. d Z předchozích příkldů je dobře vidět, jkým způsobem se používjí poslouposti při řešeí slovích úloh. Pokud je sloví úloh převoditelá ritmetickou posloupost stčí, když provedeme přiřzeí zdých hodot k jedotlivým čleům posloupostí (přípdě součtu prvích čleů, difereci ). Př. : Část střechy domu má tvr lichoběžíku je třeb pokrýt tškmi. Víme, že do řdy u hřebeu se vejde 85 tšek, do spodí řdy při okpu 05 tšek. Při tom jsou tšky srováy do řd tk, by v kždé ásledující řdě bylo o jedu tšku více ež v řdě předchozí. Kolik je třeb tšek pokrytí části střechy? Npíšeme si, jký výzm mjí jedotlivé zdé hodoty z hledisk posloupostí. Zbytek příkldu je pk pouhým doszováím do vzorců. = 85 - počet tšek v ejvyšší řdě = 05 - počet tšek v ejižší řdě d = - v kždé dlší řdě je o jedu tšku více s =? - chceme určit počet tšek ve všech řdách = + d. Určíme pomocí vzorce pro -tý čle: 05 = 85 + ( ) 0 = ( ) =
Teď můžeme dosdit do vzorce pro s : s = ( + ) = ( 85 + 05 ) = 995. N pokrytí střechy budeme potřebovt 995 tšek. Př. 4: Ocelové roury se skládjí do vrstev tk, že roury kždé horí vrstvy zpdjí do mezer dolí vrstvy. Do kolik vrstev se složí 95 rour, je-li v ejvyšší vrstvě 5 rour? Kolik rour je v ejižší vrstvě? Npíšeme si, jký výzm mjí jedotlivé zdé hodoty z hledisk posloupostí. Zbytek příkldu je pk pouhým doszováím do vzorců. = - počet rour v ejižší vrstvě? = 5 - počet rour v ejvyšší vrstvě d = - v kždé dlší vrstvě je o jedu rouru méě s = 95 - počet rour, které potřebujeme složit Vyjdeme ze vzthu pro s : s = ( + ) dvě ezámé potřebujeme dlší rovici vyjádříme si ze vzthu pro -tý čle: = + ( ) d = ( ) d Dosdíme: s = ( + ) = ( ) d + = ( ) d. Výsledá rovice bude určitě kvdrtická dosdíme kokrétí čísl: 95 = 5 ( )( ) / 90 = 0 + ( ) 90 = 9 + + 9 90 = 0 b ± b c 9 ± 9 4 90 ± 4 9 9, = = = 9 + 9 9 9 = = 0 = = 9 - edává smysl Dopočítáme: = ( ) d = 5 ( 0 )( ) = 4. Roury musíme složit do 0 vrstev, v ejižší vrstvě bude 4 rour. Př. 5: Hlediště letího ki je určeo pro přibližě 00 diváků. Do prví řdy je pláováo 40 seddel, do kždé ásledující o čtyři seddl více. Kolik řd seddel bude mít hlediště? Npíšeme si, jký výzm mjí jedotlivé zdé hodoty z hledisk posloupostí. Zbytek příkldu je pk pouhým doszováím do vzorců. = 40 - počet seddel v prví řdě =? - počet seddel v posledí řdě
d = 4 - v kždé dlší řdě je o 4 seddl více s = 00 - přibližý počet seddel ve všech řdách Vyjdeme ze vzthu pro s : s = ( + ) dvě ezámé potřebujeme dlší rovici = + d tou je vzth pro -tý čle: Dosdíme: s = ( + ) = + + ( ) d = + ( ) d Výsledá rovice bude určitě kvdrtická dosdíme kokrétí čísl: 00 = 40 + ( ) 4 00 = ( 80 + 4 4) 00 = 8 + / : 600 = + 9 + 9 600 = 0 b ± b c 9 ± 9 4 600 ± 4 9 5, 5, = = 9 + 5,5 9 5,5 = = 6,8 = =... - edává smysl Řd musí být celé číslo kio musí mít 7 řd seddel. Př. 6: Dělík obsluhuje 6 poloutomtických tklcovských stvů. Výko kždého stroje je x metrů látky z jedu hodiu. Prví stv uvede dělík do chodu zčátku směy, kždý dlší uvádí do čiosti vždy po dvou miutách. Kolik metrů látky vyrobí dělík kždém stvu v prví hodiě směy? Kolik metrů látky vyrobí celkem? Podobý příkld jko předchozí, le ve výsledcích se bude vyskytovt písmeko x. Možství látky vyrobeé stvem získáme, když vyásobíme dobu, po kterou byl stv zputý budeme počítt pouze čsy pk je vyásobíme x dob čiosti prvího stvu v hodiách dob čiosti druhého stvu v hodiách = (zputý po miutách) 60 0 dob čiosti třetího stvu v hodiách 4 = (zputý po 4 miutách) 60 0 = d = 0 = 6 5 = + ( ) d = + ( 6 ) = = 0, 5 0 0 dob, kterou prcovly všechy stroj dohromdy s 6 s = ( + ) = + = 8 = 4
5 Jedotlivé stvy vyrobily: x, x,..., x metrů látky 0 0 Všechy stroje dohromdy vyrobily x metrů látky. Př. 7: N bube o průměru d je víjeo lo s průměrem d. V kždé vrstvě je lo viuto vedle sebe m krát. Urči, jká je přibližá délk l viutého bube v vrstvách. Přípd řeš obecě i kokrétě pro hodoty d =,m, d = 0,04 m, m = 0, = 6. Nkreslíme obrázek: d d +d d + d d Délk jedoho závitu v prví vrstvě: o π d π ( d d ) = = + (jko poloměr kružice bereme vzdáleost středů příčých průřezů l, vyzčeou modře levo). mπ d + d (m závitů). Délk všech závitů v prví vrstvě: Průměr závitu druhé vrstvy je vlevo vyzče zeleě (jde opět o vzdáleost středů příčých průřezů l ve druhé vrstvě) d = d + d. Délk jedoho závitu v druhé vrstvě: o π d π ( d d ) Délk všech závitů v druhé vrstvě: m ( d d ) = = +. π + (m závitů). Délk druhé vrstvy je větší, protože je motá prví. Stejě tk délk třetí vrstvy bude delší ež délk druhé stejou vzdáleost délky jedotlivých vrstev tvoří ritmetickou posloupost s diferecí mπ d. Délk -té vrstvy: = + d = mπ d + d + m π d = mπ d + d + d d = [ ] ( ) = mπ d + d Celková délk l je rov součtu délek l v jedotlivých vrstvách sečteme prvích čleů řdy, kterou jsme právě zkoumli: 5
mπ s = ( + ) = ( ) ( ) ( ) mπ d + d + mπ d + d = d d d d + + + mπ s = [ d + d ] = mπ ( d + d ) s = mπ d + d = 6 0 π, + 6 0,04 m = 84m. Kokrétě: Celková délk l v vrstvách je mπ ( d + d ). Př. 8: Rozhodi, pro která čísl k pltí, že součet k po sobě jdoucích čísel je dělitelý číslem k. Součet libovolých k po sobě jdoucích čísel: prví číslo:, posledí číslo: + k. Součet: + ( + ) + ( + ) +... + + k = + + +... + + 0 + + +... + k Součet ritmetické poslouposti: = k (počet čleů), = 0, = k k krát ( ) k k k Dosdíme: s = ( + ) = + ( 0 + k ) =. k ( k ) k Celkově: + ( + ) + ( + ) +... + + k = k + = k +. Pokud má být součet dělitelý číslem k, musí být uvitř závorky přirozeé číslo zlomek k musí být celé číslo čittel k musí být sudý k = l k = l + (k je liché číslo). Součet k po sobě jdoucích čísel je určitě dělitelý číslem k, pokud je číslo k liché. Shrutí: Některé sloví úlohy je možé mtemtizovt pomocí posloupostí. Stčí přiřdit čísl ze zdáí jejím ekvivletům v posloupostech. 6