Přílad časových řad a jejich použií hp://www.cru.uea.ac.u/cru/ifo/warmig/ 3 Objem obchodu (iervalová řada Kurz acie (oamžiová řada 5 Z69 Saisicé meod a zpracováí da II Aalýza časových řad vývoj ce acií objem obchodováí a burze 5 5 4 6 8 4 6 8 Obchodí de průměrý ročí odo vod z povodí vývoj poču obvaelsva určié loali maximálí deí srážové úhr a určié saici Záladí pojm Časová řada je chroologic uspořádaá posloupos hodo určiého saisicého uazaele. f (,,, L, de,,, uazael časová proměá poče čleů řad Pomocí časových řad můžeme zouma damiu jevů v čase. Mají záladí výzam pro aalýzu příči, eré a o jev působil a ovlivňoval jejich chováí v miulosi, a pro předvídáí jejich budoucího vývoje. Problém při sesavováí časových řad Problém volb časových bodů pozorováí Problém s délou časové řad Problém s aledářem Problém s esrovaelosí jedolivých měřeí 45 4 35 3 5 5 9 8 7 6 5 4 3 a 9 93 94 95 96 97 98 99 b 9 93 94 95 96 97 98 99 Uvedeé problém mohou vés arušeí homogei časové řad Maximálí deí áraz věru a poč dů s áraz věru a saici Praha, Karlov v období 9-99 Trasformace časové řad Jedá se o úpravu původí časové řad, a ab. splňovala podmí pro ásledou aalýzu (apř. sacioaria ad.. zvýrazňovala dále aalzovaou složu Běžé druh rasformací: přidáí osa liearizace řad odečeí průměru + C l( sadardizace odečeí hodo redové fuce (viz. s d sacioaria Záladí p časových řad Časové řad deermiisicé - eobsahují prve áhod (si(x a sochasicé (realizace áhodého procesu Časové řad absoluích veliči (přímo zjišťovaých oamžiové (poče obvael dau sčíáí iervalové (deí úhr sráže Časové řad odvozeé průměrých veliči (řada louzavých průměrů poměrých relaivích veliči (řada hearových výosů Časové řad evidisaí a eevidisaí
Oamžiové časové řad Jsou spojié v čase, záleží u ich a rozhodém oamžiu šeřeí. Hodoa ezávisí a délce iervalu, za erý je za zjišťová. Oamžiové uazaele za ěoli iervalů esčíáme. Je vša pro ě picé počíáí průměrů v čase. Průměr oamžiové veliči za určié období ozačujeme jao zv. chroologicý průměr. Nejprve spočeme průměr za časové oamži i- a i, pro i až. Z ěcho hodo určíme průměr pro celou řadu: + +... + + Uvedeý vzah plaí v případě, že déla všech iervalů je osaí. Poud e, je ué jedolivé dílčí průměr váži délami iervalů a vpočía vážeý chroologicý průměr. Iervalové časové řad Jedolivé hodo se vzahují časovým úseům a přímo závisí a jejich délce. Hodou iervalového uazaele zjišěou za časový ierval ( i-, i ozačme q i a přiřazujeme-ji e sředu časového iervalu. Časovou řadu hodo q i ozačujeme iervalovou řadou běžých hodo. Za delší časové období lze iervalové uazaele shrova a vváře součové (umulaiví řad. Součová řada vzie posupým sčíáím hodo za sebou jdoucích časových iervalů. Podle průběhu součové řad můžeme posoudi rovoměros vývoje hodo zau. Požadavem sesavováí iervalových časových řad je osaos dél časového iervalu. V řadě případů eo požadave eí splě (apř. poče dů v měsíci. Dalším pem součových časových řad jsou řad louzavých úhrů. Jsou vhodé e srováí úrově řad ve sledovaém období s úroví řad období předešlého. Odvozeé uazaele časové řad Při práci s časovými řadami je picé, že časo pracujeme e přímo s původí časovou řadou, ale s ějaou její rasformací. Absoluí přírůse (prví diferece Jsou-li čle v řadě absoluích přírůsů praic osaí, poom hodo řad lieárě rosou (lesají. Relaiví přírůse i δ i i i i i Iformuje ás o rchlosi (empu růsu i i Odvozeé uazaele časové řad Koeficie růsu (řeězový idex: vjadřuje, o oli proce vzrosla hodoa časové řad v oamžiu i ve srováí s hodoou řad v čase i-. i i δi + (% i Průměrý oeficie růsu: pro celou řadu se vpoče jao geomericý průměr jedolivých hodo oeficieů růsu. 3...... Uvedeý výpoče je vhodý pouze v případě sálého a přibližě sejého růsu hodo řad. Odvozeé uazaele časové řad Odvozeé uazaele časové řad Pro účel srováí růzých časových řad se jejich hodo převádějí a zv. bazicé idex (idex se sálým záladem: ' i i z (% Hodoa z je obvle prvím ebo posledím čleem časové řad (zálad. Absoluí přírůse Relaiví přírůse Řeězový idex Bazicý idex D8-D7 E8/D7* D8/D7* D8/$D$7*
Odvozeé uazaele časové řad Zálad aalýz časových řad Hlaví cíle aalýz časových řad. odhaleí záoiosí a příči dosavadího vývoje. progóza chováí časových řad Každá řada může obsahova čři záladí slož: red (T periodicá (sezóí složa (S clicá složa (C áhodá složa (ε Prví ři slož voří ssemaicou čás řad. Tredová složa časové řad Periodicá složa časové řad Tred je obecá edece vývoje zoumaého jevu za dlouhé období. Je výsledem dlouhodobých a sálých procesů (v měříu posuzovaé dél časové řad. Tred může bý lieárí či elieárí. Tred může bý rosoucí, lesající ebo může exisova řada bez redu (s ulovým redem. Časové řad bez redu se ozačují jao sacioárí. f ( f ( T i i + Periodicá složa je pravidelě se opaující odchla od redové slož s pevou délou period T. Perioda éo slož je meší ež celová velios sledovaého období. Tpicým případem jsou sezóí olísáí a ebo řad deích, měsíčích, čvrleích uazaelů. Příči sezóosi jsou růzé, věšiou vša dobře defiovaelé. Sezóos je picá pro časové řad eoomicých uazaelů. Clicá složa f ( f ( T i i + Náhodá složa časové řad,,, 9, 8, 7, 6, 96 966 97 976 98 986 Clicá složa udává olísáí oolo redu v důsledu dlouhodobého clicého vývoje. Clicá složa může vazova změ v délce a ampliudě clu. Déla clu je ed věšiou ezámá. (př. demograficý red, olísáí eplo vzduchu. Déla clu je ed delší ež ro. V ěerých případech se ozačuje jao sředědobý red. Bývá picou součásí časových řad meeorologicých prvů (př. problém globálího oeplováí či hdrologicých jevů. Náhodá (sochasicá složa se edá popsa žádou fucí času. "Zbývá" po vloučeí redu, sezóí a clicé slož. Jejím zdrojem jsou v jedolivosech eposižielé jev. Lze ji vša popsa pravděpodobosě. 3
Graficé meod aalýz časových řad Graficé meod aalýz časových řad 3 Idex severoalasé cirulace (NAOI, XII-II - - -3-4 5 55 6 65 7 75 8 85 9 95 Prvoí aalýza spočívá v graficém zázorěí průběhu řad. Graf slouží prvoímu posouzeí edece změ či hledáí opaujících se jevů ( paers. I o jedoduché meod umožňují velmi ráodobou předpověď. Graf vša velmi dobře může zázorňova ehomogei, porováva dvě či více řad mezi sebou, Slouží výběru vhodé meod aalýz. Vývoj urzu acií přílad výsu jedoduchých obrazců (paers v časové řadě Klasicý (formálí model aalýz časových řad Klasicý model je pouze popisem jedolivých slože časové řad jao forem pohbu, e pozáím příči. Jedá se o deompozicia jedolivé slož a jejich formálí popis apř. zv. adiivím modelem: Záladem je popis ssemaicé slož (redu, clicých a periodicých olísáí. Y + ε T + S + C + ε Aalýza redu A. Klasicý přísup založeý a maemaicosaisicém modelováí. Modelovaé paramer jsou KONSTANTNÍ v čase. Neadapiví meod apř. regresí model. Umožňují sadou předpověď. B. Adapiví přísup paramer se v čase VYVÍJEJÍ. Napřílad charaer lieárího redu se měí (měí se směrice redu. Za jedoduchou adapiví meodu lze považova i meodu louzavých průměrů (viz. dále. Model časové řad s adiiví sezóí složou Aalýza redu záladí meod vrováváí: aalicé (popis časové řad fucí mechaicé (louzavé průměr aalicé vrováí redu Aalicé vrováváí redu maemaicou řivou Tr + E Paří mezi eadapiví meod. Vchází z předpoladu, že se red po celou sledovaou dobu eměí a že je možé ho popsa ěerým pem maemaicé řiv. Ideifiace redu se reduuje a výběr správého pu maemaicé řiv a odhad jejích paramerů. Na problém aalýz redu lze pohlíže jao a speciálí případ regresí závislosi, d ezávisle proměou je čas. Časovou řadu vrováváme řivou, erá ejlépe vsihuje její vývojový red. Výpoče paramerů řiv se děje meodou ejmeších čverců. 4
Lieárí red b + b Lieárí red Hodo paramerů b a b zísáme meodou ejmeších čverců obdobě jao v případě jedoduché lieárí regrese, ed: b b b Paramer b předsavuje přírůse hodo připadající a jedoovou změu časové proměé. Řada se vzačuje osaími absoluími přírůs (prví diferece. Předpověď budoucí hodo (bodová předpověď má var: ˆ b + bt T Expoeciálí red b b Polomicý red b + b + b +... + b Paramer b předsavuje průměrý přírůse hodo. T se chovají jao čle geomericé poslouposi. Proože se již ejedá o fuci lieárí v paramerech, lze odhadu expoeciálího redu vuží meod ejmeších čverců pouze po její logarimicé rasformaci: log logb + logb Při volbě supě polomu je řeba posupova oparě. Všší supeň zajišťuje ěsější proložeí empiricých hodo řivou, vede ale esabiliě redu. Všší polom se věšiou vůbec ehodí exrapolacím. K odhadu paramerů lze vuží MNČ. Polomicý red Polomicý red Graf D bodové graf Rozdíl v proložeí časové řad polomem. (ahoře a 6. (dole supě Proložeí časové řad polomem 5 supě v programu Saisica 5
Logisicá řiva + b b Křiva má ři úse, prví je charaerizová pozvolým vzesupem, druhá v oolí iflexího bodu prudým růsem a řeí určiou vrcholovou sagací. (paří mezi zv. S-řiv. Verifiace modelu Je zapořebí zhodoi saisicou výzamos odhaduých paramerů modelu i modelu jao celu. MNČ podsaou je, že model vžd vsvělí pouze čás variabili (promělivosi pozorovaých da. Je ué zjisi (esova, zda model jao cele dává lepší vsvěleí, ež je možé očeáva jao důslede áhod a o a jisé hladiě výzamosi. Koeficie deermiace R záladí uazael vhodosi použiého modelu (vzorec a ierpreace viz. orelačí poče Aalýza rozplu Aalýza rozplu Ierpreace výsledů aalýz rozplu B C A ( Model vsvěluje více ež 63 % promělivosi sudovaé charaerisi v čase s A. Rozpl empiricých hodo (celový s ˆ B. Rozpl vrovaých hodo s ˆ ( ˆ (modelový C. Rozpl reziduálí s ˆ ( i ˆ ˆ + s s ( p-hodoa Ierpreace: p <,5 - exisuje saisic výzamý rozdíl mezi rozplem vsvěleým regresí přímou (ed modelem redu a zbovým (reziduálím rozplem zvoleý model redu je vhodý Kriéria pro volbu vhodého modelu redové fuce I. A. Volba vhodé redové fuce b v prvé řadě měla vcháze z věcé aalýz zoumaého jevu. Ta ám umoží zaměři se a určié p (supi fucí či ěeré jié předem vlouči jde o fuci rosoucí či lesající, má iflexí bod či je eoečě rosoucí. Pro použiou redovou fuci je důležié, zda má (logisicý red či emá (lieárí red růs řad eí ičím omeze asmpou. Je o důležié pro předpovídáí chováí časové řad. Kriéria pro volbu vhodého modelu redové fuce II. B. Aalýza grafu časové řad a aalýza reziduí. empiricé hodo ŷ eoreicé hodo vrovaé redovou fucí ŷ - - 6
Kriéria pro volbu vhodého modelu redové fuce III (objeiví Spočívají v miimalizaci předem zvoleého riéria (jao v případě regresí aalýz. Za oo riérium se ejčasěji bere souče čverců odchle empiricých hodo od hodo vrovaých ŷ (souče čvercových chb: SSE ( ˆ Z uvažovaých fucí se vbírá a s ejmeší hodoou reziduálího souču čverců. POZOR jde o formálí riérium. Např. použijeme-li polom vsoého supě, může bý reziduálí souče čverců i ulový, avša zcela epoužielý. Objeiví riéria pro volbu vhodého modelu redové fuce III Počíačové program obvle abízejí ásledující mír vhodosi zvoleé redové fuce: Sředí chba odhadu (M.E. Mea Error ( ˆ M. E. Sředí čvercová chba odhadu (M.S.E. Mea Square Error ( ˆ M. S. E. Je o ejpoužívaější riérium. Iformaiví es pro volbu vhodé redové řiv: Tred lieárí vadraicý expoeciálí logisicý Gomperzova řiva Iformaiví es Prví diferece ( + - jsou přibližě osaí Druhé diferece ( + - + + jsou přibližě osaí Podíl sousedích hodo ( + / resp. Prví diferece logarimů varu (log + - log jsou přibližě osaí Křiva prvích diferecí ( + - se podobá řivce ormálí huso, podíl (/ + - / + /(/ + - / jsou přibližě osaí Podíl (log + log + /(log + log jsou přibližě osaí Mechaicé vrováváí redu meodami louzavých průměrů Používá se v případě, že se red měí a elze ho vrova globálě jedou maemaicou řivou. Meoda je vhodá pro eperiodicé řad, eumožňuje exrapolaci hodo. Vlasí průměr se používají jao prosé či vážeé. V ěerých případech lze použí louzavých mediáů. Klouzavé průměr mohou bý ecerovaé a cerovaé Meod louzavých průměrů Jao louzavé průměr obecě ozačujeme lieárí ombiace čleů původí řad. prosé vážeé ( 5 + + + + + + ( + + + + + + 8 Volba řádu louzavých průměrů Subjeiví posouzeí charaeru da Déla louzavých průměrů b měla odpovída periodě sezóích či clicých fluuací Vzorce pro výpoče opimálí dél Paří mezi zv. adapiví přísup redové složce časové řad. Tzv. polomicé louzavé průměr umožňují vrováí hodo a počáu a oci časové řad Obsahuje-li řada sezóí složu, je vhodé voli řád louzavých průměrů a, ab zahroval celou délu period sezóí slož. 7
Cerovaé louzavé průměr Ve věšiě případů se používají louzavé průměr liché dél, u sudé dél je problém s přiřazeím hodo časovému oamžiu. V eoomicých časových řadách, eré časo obsahují sezóí složu dél 4 (řad čvrleích hodo či (řad měsíčích hodo, se eo problém řeší zv. cerováím. Výsledé louzavé průměr pro sudou délu louzavé čási vpočeme jao průměr dvou sousedích louzavých průměrů liché dél. Cerovaé louzavé průměr Přílad: Abchom vsihli ročí chod určiého uazaele, chceme pro řadu měsíčích hodo použí louzavých průměrů dél. Shlazeá hodoa vša spadá doprosřed mezi červe a červeec. Další shlazeá hodoa pa mezi červeec a srpe. To dva jedoduché louzavé průměr vezmeme a zprůměrňujeme. Výslede pa už můžeme přiřadi červecové hodoě. Ted vváříme louzavé průměr o délce 3: ˆ ( ( 6 + ( 4 6 + 5 5 + +... + 4 + 5 +... + + ( 5 + + 5 + + 6 4 +... + + 6 Cerovaé louzavé průměr Obecě míso jedoduchých louzavých průměrů dél m vváříme cerovaé louzavé průměr dél m+ podle ohoo obecého vzorce: ˆ ( m + m+ +... + + m + + m 4m m - polovia řádu louzavých průměrů (shlazovacího oa Vážeé louzavé průměr Jedolivé čle úseu řad přiřaze váh. To váh věšiou lieárě lesají směrem od sředího (vrovávaého čleu. Váh mohou mí aé apř. podobu zv. gaussova filru. Gaussův filr pro m4 Čle řad váha -4,4-3,48 -,7 -,,4 +, +,7 +3,48 +4,4 Aalýza časových řad v programu Saisica Saisi-Poročilé lieárí/ elieárí model-časové řad/predice Výpoče louzavých průměrů a EXCEL Aalýza sezóí slož časových řad (sezóí očišťováí. lasicý přísup sezóí deompozici. úvod do auoorelačí aalýz Sezóí složa S je picá pro časové řad, jejichž ierval pozorováí je raší ež jede ro (sezóa může mí délu ýde, měsíc, ročí období. Objevuje se v řadách eoomicých (ržb, produce,, ale i v řadách meeorologicých prvů (ročí chod eplo vzduchu. Řada obsahující sezóí složu se vzačuje pravidelým opaováím hodo olem redu a oo opaováí může mí délu apř. 7 dů (do ýde, měsíců či 4 ročí období (do rou. Sezóí složa může mí adiiví resp. mulipliaiví charaer Pozor a vreslováí louzavých průměrů v programu EXCEL!!! 8
Obecý model řad při sezóím očišťováí Tredovou a clicou složu považujeme za jede cele: adiiví model: Y TC + S + ε Jedolivé ro aalýz sezóí slož. Z origiálí řad obsahující sezóí složu je vpočea řada louzavých průměrů s délou louzavých průměrů rovou délce sezóí slož. Y je pozorovaá hodoa časové řad v čase. Saisi-Poročilé lieárí/ elieárí model-časové řad/predice. Vvoříme ovou řadu jao rozdíl řad původí a řad shlazeé. Jedolivé ro aalýz sezóí slož 3. Tzv. sezóí ompoe jsou vpoče jao průměr pro aždý čle v rámci sezó. Výsledé hodo předsavují průměrou sezóí složu v časové řadě. Jedolivé ro aalýz sezóí slož 5. Složa TC se věšiou aproximuje řadou shlazeou vážeým louzavým průměrem dél 5 se smericými vahami (,, 3,,. 4. Sezóě očišěá řada (ed řada obsahující vedle áhodé slož ješě složu TC se poom vjádří jao rozdíl řad origiálí a sezóí ompoe. 6. Obdobě lze izolova áhodou složu jao rozdíl řad sezóě očišěé a řad se zvýrazěou složou TC ( viz. bod 5. Auoorelace časových řad Auoorelačí aalýza - meoda, erou lze zouma vzájemé vzah mezi hodoami jedé časové řad. Může slouži jao meoda defiováí sezóí a clicé slož časových řad. Jejím záladem je výpoče auoorelačího oeficieu, resp. auoorelačí fuce. Auoorelačí oeficie Auoorelačí oeficie r je relaiví míra promělivosi čleů časové řad posuuých o určiou hodou. Defiuje vzah mezi čle časové řad a +. Posu se z agliči ozačuje jao lag. Je o ed orelačí oeficie vpočeý mezi jedolivými čle časové řad, mezi erými je - jiých pozorováí ed lag a ozačujeme ho jao auoorelačí oeficie - ého řádu. Pro je hodoa r - je o vlasě hodoa orelačího oeficieu. 9
Záladí pojm Rozpl (variace míra variabili (promělivosi saisicého zau x s x i ( x x i Záladí vzah Auoovariace absoluí míra ( ( promělivosi čleů časové řad i i+ i c posuuých o určiou hodou. Kovariace absoluí míra ( xi x( i vzájemé variabili dvou i sx saisicých zaů x; Korelace - relaiví míra vzájemé x r variabili dvou saisicých zaů x s x; x s s Auoorelace relaiví míra promělivosi čleů časové řad posuuých o určiou hodou. Auoorelačí fuce hodo r ( pro,, M, de M < N/, N déla řad c c r ( c s Auoorelačí fuce Pricip auoorelace časové řad Auoorelačí fuce (ACF je poom závislos mezi hodoami auoorelačího oeficieu a hodoami posuu. Vjadřuje se formou grafu zv. orelogramu (viz. obráze. Na ose x jsou hodo lag (, a ose hodo auoorelačího oeficieu. Hodo auoorelačí fuce se pohbují v iervalu,. ACF je vhodým ásrojem posouzeí, zda časová řada obsahuje clicou či periodicou složu a aé zda je či eí řadou áhodých čísel ed do jaé mír je možé ji exrapolova (předpovída. Ierpreace ACF I Korelogram bývá doplňová ierval spolehlivosi, erými lze hodoi saisicou výzamos auoorelačích oeficieů. Časová řada áhodých čísel (bílý šum a její auoorelačí fuce 95 % ierval spolehlivosi ACF lze z dosaečou přesosí zosruova ze vzahu: ± N N déla časové řad
Časová řada bez periodicé slož se silou auoorelací a její auoorelačí fuce Časová řada obsahující výrazou sezóí složu a její auoorelačí fuce