The Mthemtc Educto to the t Cetury Project Proceedg of the Itertol Coferece The Decdble d the Udecdble Mthemtc Educto Bro, Czech Republc, September 00 ARITMETICKÉ POSLOUPNOSTI -TÉHO STUPNĚ Del Btterová Abtrkt: V čláku je ukázáo využtí ěkterých vltotí rtmetckých poloupotí -tého tupě př řešeí určtého typu kombtorckých úloh, zejmé geometrckých, které lze využít př výuce tředí škole. Klíčová lov: Dferece, rtmetcká poloupotí -tého tupě, mtemtcká dukce. K obohceí výuky tředí škole je vhodé obč zřdt učvo, pomocí ěhož lze tudetům ukázt jý pohled tudovou problemtku, ukázt vhodý etrdčí způob řešeí žt e tk, by tudet zíkl d látkou určtý dhled. Jedou z možotí je zvedeí rtmetckých poloupotí -tého tupě jejch plkce př řešeí ěkterých kombtorckých úloh. Předpokládáme, že tudet jž zjí mtemtckou dukc. Nejprve zvedeme vyvětlíme pojmy dferece rtmetcká poloupot -tého tupě. Pomocí mtemtcké dukce lze dokázt jtá užtečá tvrzeí, která využjeme příkld př řešeí ěkterých kombtorckých úloh z geometre. Defce: Nechť je dá číelá poloupot { } zveme rozdíl, Ν.. Dferecí prvího řádu čleu Dferec k-tého řádu k čleu zvedeme rekuretě:, Ν. k k ( ), N \ { } k. 4 4 4 5 5 Prktcký výpočet je zázorě v tbulce. Dferec k-tého řádu vyjádřt ve tvru k k k (), kde k čleu můžeme tké, Ν, N \ {} k. Tbulk
The Mthemtc Educto to the t Cetury Project Proceedg of the Itertol Coferece The Decdble d the Udecdble Mthemtc Educto Bro, Czech Republc, September 00 Jou-l dferece prvího řádu všech čleů dé poloupot tejé eulové, jde zřejmě o rtmetckou poloupot. Pltí-l tejá vltot pro dferece vyšších řádů, můžeme tuto defc rozšířt. Defce: Nechť{ } jou eulové poloupot { } je číelá poloupot, jejíž všechy dferece -tého řádu, Ν, rtmetckou poloupotí -tého tupě. je kottí. Pk e tto poloupot zývá Z defce je ptré, že rtmetcká poloupot je zároveň rtmetckou poloupotí prvího tupě. Náledující vět vyjdřuje vzth mez -tým čleem lbovolé číelé poloupot dferecem (-)-ího řádu prvího čleu této poloupot. Tuto větu lze dokázt pomocí mtemtcké dukce. Vět : Nechť je dá lbovolá číelá poloupot { } k-tého řádu čleu,, k,,, -, Ν, výrzy k jou dferece. Pk lze její -tý čle vyjádřt ve tvru (). 0 Vzth () můžeme využít př řešeí áledujícího příkldu. Podobé příkldy jou řešey ve tředoškolkých učebcích zřzováy do bírek. Předpokládá e, že tudet je vyřeší pomocí kombcí. Příkld : V rově leží p bodů, z chž žádé tř eleží v jedé přímce. Kolk přímek lze těmto body proložt? Řešeí: Úloh má myl pro p, p Ν. Vzhledem k využtí vzthu () můžeme položt p. Čílo pk je větší ebo rovo jedé. p 0 4 6 4 0 5 4 0 5 6 5 5 Ze zdáí úlohy do vypočteme ěkolk prvích čleů poloupot, jejíž prvky tvoří počet řešeí úlohy pro jedotlvé hodoty číl. Vypočteme tké přílušé dferece. Pro přehledot etvíme tbulku (tbulk ). Vdíme, že všechy ám doud vypočteé dferece druhého řádu jou rovy jedé, tedy eulové kottí. Vytvoříme tedy hypotézu, že jde o rtmetckou poloupot druhého tupě. K výpočtu použjeme vzth () z věty. V tbulce jou zvýrzěé hodoty čleu jeho dferecí, které do vzorce dodíme.
The Mthemtc Educto to the t Cetury Project Proceedg of the Itertol Coferece The Decdble d the Udecdble Mthemtc Educto Bro, Czech Republc, September 00 Tbulk Předpokládáme, že poloupot řešeí tvoří rtmetckou poloupot druhého tupě. Pk () ( ). 0 Hypotézu ověříme mtemtckou dukcí:. Dokážeme, že vzth pltí pro (dv body, jed přímk):. Dokážeme, že pro kždé přrozeé čílo pltí mplkce: Jetlže pltí, pk pltí. Nechť pltí. Protože přdáím dlšího bodu k p bodům doteme dlších p ( ) ( )( ) přímek, tj. p, je, kde z jme dodl podle předpokldu pltý vzth (). Tedy vzth () pltí pro lbovolé přrozeé čílo. Abychom mohl dořešt celou úlohu, muíme uvědomt, že k určeí počtu přímek k ( k ) procházejícím p body muíme použít vzth () pro o jedčku meší, tj. k. ( ) Počet přímek procházející dým p body je tedy rove. Příkld : V rově leží p bodů, z chž tř leží v jedé přímce. Žádé dlší body kromě těchto tří v téže přímce eleží. Kolk přímek lze těmto body proložt? Řešeí: Úloh má myl pro p, p Ν. Položme p,. p 4 4 4 0 5 8 5 0 6 4 6 7 5 9 V tbulce jou zzmeáy vypočteé čley poloupot řešeí ěkolk dferecí. Opět předpokládáme, že poloupot řešeí je rtmetcká druhého tupě. Pomocí vzthu () vypočteme předpokládé řešeí, které dukcí dokážeme. Tedy (4). 0 Tbulk
The Mthemtc Educto to the t Cetury Project Proceedg of the Itertol Coferece The Decdble d the Udecdble Mthemtc Educto Bro, Czech Republc, September 00 Ověřeí hypotézy mtemtckou dukcí:. Dokážeme, že vzth pltí pro (tř body, jed přímk):. Dokážeme, že pro kždé přrozeé čílo pltí mplkce: Nechť pltí. Přdáím dlšího bodu k p bodům doteme dlších p 5 přímek, tj. p. Pk, eboť opět podle předpokldu pltí. Splěím obou bodů uzvřeme, že vzth () pltí pro lbovolé přrozeé čílo. ( p ) ( p ) p p 4 Pro přrozeé čílo čílo p tedy doteme p p p 4 Odpověď: Dým body lze proložt přímek. Dlší vltotí, kterou můžeme u rtmetckých poloupotí -tého tupě zkoumt, je oučet jejích prvích čleů. Vět : Nechť je dá lbovolá rtmetcká poloupot { } -tého tupě, Ν,. Nechť jou dferece -tého řádu čleu. Pk lze oučet jejích prvích čleů vyjádřt ve tvru (5). Důledek: Pro rtmetckou poloupot (prvího tupě) pecálě pltí [ ]. (6) ( ) Důkz věty lze opět provét mtemtckou dukcí. N rozdíl od věty je méě prcý tudet tředí škole jej jtě zvládou. Důkz:. Nechť : Dozeím zřejmě.. Nechť pltí ze vzthu (5). Pk
The Mthemtc Educto to the t Cetury Project Proceedg of the Itertol Coferece The Decdble d the Udecdble Mthemtc Educto Bro, Czech Republc, September 00 vyjádříme pomocí vzthu () 0 dferece pro > jou ulové, protože poloupot je -tého tupě 0 0 prvdlo pro oučet dvou komplexích číel, což odpovídá vzthu (5) pro ()-í čle. Dá mplkce tedy pltí pro kždé přrozeé čílo. Z pltot obou dvou čátí důkzu vyplývá pltot tvrzeí věty. Vyjádřeí oučtu prvích čleů rtmetcké poloupot -tého tupě pomocí jejích dferecí lze opět užít k výpočtu. Ve výše uvedeých příkldech bychom mohl vyjádřt příkld oučty všech přímek ž do jté hodoty číl. Lze jtě vytvořt plo dlších podobých úloh zřdt je do výuky tředoškolké mtemtky. Součě jejch řešeím máme vhodou příležtot e tudety zopkovt mtemtckou dukc. Ltertur [BBDDH] Buer, L. Btterová, D. Dolký, P.- Dvořáková, E. Holed, J.: Mtemtk pro dtčí tudum. Skrpt ZÚ. Plzeň 00. [CDu] Cld, E.- Dupč, V.: Mtemtk pro gymáz. Kombtork, prvděpodobot, tttk. Prometheu, Prh 99 [Br ] Bryll, G.: Ztoowe metody kolejych róžc do tw hpotez duktvych. Prce ukowe. I: Mtemtk VII. WSP, Czetochow 999. Pozámk: Publkováo v rámc výzkumého záměru MSM 4000 Dkrétí mtemtk její plkce.
The Mthemtc Educto to the t Cetury Project Proceedg of the Itertol Coferece The Decdble d the Udecdble Mthemtc Educto Bro, Czech Republc, September 00 Adre utor: RNDr. Del Btterová, CSc., Hálkov 6, 46 7 Lberec, Čeká republk. e-ml: del.btterov@vlb.cz