Funkce dvou a více proměnných. Motivace V praxi nevstačíme s funkcemi jedné proměnné, většina veličin závisí více než na jedné okolnosti, např.: obsah obdélníka: S( ) kinetická energie: Ek = = x mv ekonomika: plat = F( v, p, f, p, ) Analogick zavádíme funkce u = f (, z), např. pro fzikální veličin v prostoru a w = f (, z, t) pro veličin na prostoročasech v teorii relativit.. Definice Nechť D je neprázdná množina bodů v rovině o souřadnicích [ ] a H je neprázdná množina reálných čísel. Funkcí dvou reálných proměnných x a nazýváme každé zobrazení f množin D na množinu H. Zápis funkce: z = f ( ), případně pouze (, ) [, z] f. f x nebo :[, ] f x z nebo Grafem funkce dvou proměnných rozumíme plochu v prostoru o souřadnicích [, z], přičemž [ ] nabývají všech hodnot z definičního oboru funkce.
Stejně jako u funkcí jedné proměnné může být definiční obor omezen v důsledku následujících podmínek:. jmenovatel zlomku nesmí být roven nule. sudou odmocninu lze udělat jen z nezáporného čísla 3. logaritmovat lze jen kladná čísla 4. argument funkcí arcsin a arccos musí ležet v intervalu I =, Příklad 6.: Určete hodnotu funkce z = x v bodech A[, ], B[0, ], C[-, ] a D[, -]. Řešení: Daná funkce je definována v celé rovině E. Funkční hodnot v daných bodech získáme dosazením prvních souřadnic bodů za proměnnou x a jejich druhých souřadnic bodů za proměnnou : z ( A) = f (, ) = = 0, z ( B) = f (0, ) = 0 =, z ( C) = f (, ) = ( ) = 3, z ( D) = f (, ) = ( ) = 6. Příklad 6.: Určete definiční obor funkcí: x + + x ln( 4x + 8) a) f ( ) =, b) f ( ) = arcsin, c) f ( ) = ln( x ) 4 x Příklad 6.3: Načrtněte graf funkce: a) z = 6 x, b) z 4 x 6 z =. 3 x 6 3. Parciální derivace Parciální derivaci funkce z = f ( ) podle proměnné x určíme tak, že funkci derivujeme pouze podle proměnné x (jako funkci z( x ) jedné proměnné) a druhou proměnnou považujeme za konstantu. Značíme ji smbol:
( ) = = = Parciální derivaci funkce z = f ( ) podle proměnné určíme tak, že funkci derivujeme pouze podle proměnné (jako funkci z( ) jedné proměnné) a druhou proměnnou x považujeme za konstantu. Značíme ji smbol: ( ) = = f x = f Geometrický význam parciálních derivací Pro bod T [ x0, 0, f ( x0, 0) ] [, ] = na ploše z = f ( ) uvažujme jeho průmět T = x0 0 do D. Pak tečna k řezu ploch z = f ( ) rovinou = 0 v bodě T má směrnici ( T0 ) kx = () x Podobně, tečna k řezu ploch z = f ( ) rovinou x = x0 v bodě T má směrnici k ( T ) 0 = ()
Příklad 6.5: Určete parciální derivace funkce z ( ) = 3x + ln + 5x v bodech A[, ] a B[0, ]. Řešení: Daná funkce je definována pro > 0, ted v celé horní polorovině. = 0 6x + 0 + 5.. = 6x + 5 po dosazení souřadnic = 6.+ 5. = = 0 + 0 + + 5x. = + 0x ( A) ( A) po dosazení souřadnic = + 0.. = Parciální derivace všších řádů, ( B) = 6.0 + 5. = 5 ( B), = + 0.0. = V předchozí kapitole jsme zadanou funkci z = f ( ) derivovali vžd pouze jednou. Vpočítali jsme proto parciální derivace prvního řádu. Vpočítané parciální derivace však jsou opět funkcemi proměnných. Můžeme je ted stejně jako v případě funkce jedné proměnné znovu derivovat a získáme celkem čtři parciální derivace druhého řádu: Zápis = = f xx znamená, že první parciální derivaci znovu derivujeme podle proměnné x a čteme druhá parciální derivace funkce z podle proměnné x. Podobně zápis = = f znamená, že derivujeme podle proměnné a čteme druhá parciální derivace funkce z podle proměnné. Derivace a se nazývají druhé čisté parciální derivace funkce z( ), protože při jejich výpočtu se nemění proměnná, podle které derivujeme. Zápis = = f x znamená, že první parciální derivaci znovu derivujeme podle proměnné a čteme druhá parciální derivace funkce z podle proměnných x a. Podobně = = f x znamená, že znovu derivujeme podle proměnné x a čteme druhá parciální derivace funkce z podle proměnných a x. Derivace z a z se nazývají druhé smíšené parciální derivace funkce z( ), protože při jejich výpočtu derivujeme jednou podle proměnné x a podruhé podle proměnné..,
Příklad 6.7: Určete parciální derivace druhého a třetího řádu funkce z x x = 3 + ln + 5. 4. Tečná rovina a normála Tečná rovina τ k ploše z f ( ) = je určena bodem dotku T [ x,, z ] = a 0 0 0 tečnami k řezům ploch z = f ( ) rovinami x = x0 a = 0. Ted, pro X =, z rovin τ platí libovolný bod [ ] x x z z 0 0 0 0 z ( T ) = 0, (3) 0 z ( T ) τ : = ( )( ) + ( )( ). ted, z z0 zx T0 x x0 z T0 0 Normála je přímka, která je kolmá k tečné rovině a prochází bodem dotku T. Její směrový vektor z ted n = ( z ( T0 ), z ( T0 ), ). x x 0 0 5. Extrém funkce více proměnných Extrém funkce více proměnných jsou definován analogick jako extrém funkce jedné proměnné. Stejně jako u funkce jedné proměnné je rozdělujeme na lokální nebo také relativní (v okolí daného bodu) a globální nebo také absolutní (v celém definičním oboru). Pro funkci z = f ( ) musí být tečná rovina k ploše z = f ( ) v bodě, v němž nastane lokální extrém rovnoběžná s rovinou určenou osou x a osou. To ale znamená, že všechn tečn v tomto bodě musí ležet v rovině rovnoběžné s osou x a osou, protože leží v tečné rovině k ploše. Nutnou podmínkou existence lokálního extrému funkce z = f ( ) v bodě S, v jehož okolí má tato funkce spojité parciální derivace, je ted platnost soustav rovnic ( ) = = ( ) = 0, = = = 0 Tento bod S se nazývá stacionární bod funkce z = f ( ) (4)
Postačující podmínka pro existenci lokálního extrému ve stacionárním bodě S: Nechť bod S je stacionárním bodem funkce z = f ( ), která má v tomto bodě spojité parciální derivace druhého řádu. Jestliže platí f ( S) f ( S) J ( S) = f ( S) f ( S) J ( S ) > 0 a f ( S) > 0, potom v bodě S nastává lokální minimum. xx J ( S ) > 0 a f ( S) < 0, potom v bodě S nastává lokální maximum. J ( S ) < 0 xx, potom v bodě S nenastává lokální extrém. J ( S ) = 0, potom o extrému v bodě S musíme rozhodnout na základě chování funkce v okolí bodu S. Při určování lokálních extrémů funkce dvou proměnných je vhodné dodržovat následující postup:. Určíme první parciální derivace funkce.. Vpočítáme stacionární bod S, S, funkce podle (4) vřešením soustav: 3. Vpočítáme druhé parciální derivace funkce. (5) = 0, = 0. (6) 4. Vpočítáme determinant J ( S ) z rovnice (5) pro stacionární bod S. 5. Na základě postačující podmínk rozhodneme o existenci a druhu extrému. 6. Bod 4 a 5 opakujeme pro zbývající stacionární bod. 3 Příklad 6.: Určete lokální extrém funkce z = f ( ) = + x + x + 5.
Vázané extrém