Určitý intgrál Dfinic vlstnosti Má-li spojitá funkc f() n otvřném intrvlu I primitivní funkci F(), pk pro čísl, I j dfinován určitý intgrál funkc f() od do vzthm [,, 7: [ F( ) = F( ) F( ) f ( ) d = (6) Funkc f() s nzývá intgrovtlná v <, >, intrvl <, > j intgrční intrvl, rálná čísl, jsou intgrční mz, j dolní mz, horní mz určitého intgrálu Určitý intgrál j rálné číslo, ktré j jdnoznčně určno funkcí f() mzmi, Uvědomt si zásdní rozdíl mzi nurčitým intgrálm (množin primitivních funkcí) určitým intgrálm (rálné číslo) Poznámk: Při výpočtu primitivní funkc F() k funkci f() j ztčné uvádět intgrční konstntu c Dosďm do vzthu (6) primitivní funkci F() doplněnou o konstntu c: [ F( ) + c = [ F( ) + c [ F( ) + c = F( ) + c F( ) c = F( ) F( ) f ( ) d = Vidím, ž intgrční konstnt c s v výsldku nvsktuj = = f() Or 9: ) Gomtrický význm intgrálu A ) Gomtrický význm určitého intgrálu Příkld 7: Vpočítjt určitý intgrál A = d Řšní: Intgrovná funkc f() =, dolní mz =, horní mz = (or 9) Podl vzthu (6) musím njprv určit primitivní funkci pk do ní dosdit horní dolní mz: A = d = Gomtrický význm určitého intgrálu = =
Vpočítjm osh P trojúhlník ohrničného funkcí =, osou přímkou = (or 9) Protož tnto trojúhlník j prvoúhlý, sndno určím P = = Výsldk j totožný s výsldkm určitého intgrálu v příkldu 7 Tuto okolnost můžm zocnit: Dá s dokázt, ž určitý intgrál f ( ) d j číslně rovn oshu rovinného orzc, ktrý j ohrničn funkcí f() >, osou přímkmi =, = (or 9) N zákldě gomtrického názoru vlstností nurčitého intgrálu nní sndno pochopím zákldní vlstnosti určitého intgrálu: Nchť f() g() jsou funkc intgrovtlné v <, >, c <, > k j rálné číslo Pk pltí: f ( ) d =, f ( ) d = - f ( ) d, změním-li v intgrálu horní dolní mz, změní s znménko intgrálu n opčné, ( ) + g( ) ) d = f ( ) d + f ( g( ) d, určitý intgrál součtu j rovn součtu určitých intgrálů, kf ( ) d = k f ( ) d, konstntu vtýkám přd určitý intgrál, f ) d c ( = f ) d ( + c f ( ) d Příkld 8: Vpočítjt určité intgrál: + d ) B = ( ) Řšní: Intgrnd njprv uprvím pk použijm vzth (6): B = ( + + ) d = + + = ( + + ) ( + + ) B =
) C = ( cos sin ) Řšní: Podl (6) pltí: d + = + C = [ sin cos sin cos ( sin + cos ) = c) pro, 6 D = f ( ) d, f()= pro <,>, pro Řšní: V tomto přípdě musím určitý intgrál rozdělit n součt tří intgrálů: 6 6 6 D = d + d + d = [ + + = ( ( ) ) + ( ) + ( ) D = 67 6 6 Mtod pr prts v určitém intgrálu Jsou-li funkc u(), v() jjich drivc u (), v () spojité v uzvřném intrvlu <, >, pk pltí [,, 7: [ u( ) v( ) u ( ) v( ) d = u( ) v ( ) d (7) Poznámk: Stručněji lz uvdný vzth zpst v tvru [ u v u v d u vd =, ktrý si vzhldm k větší přhldnosti snáz zpmtujm Příkld 9: Vřšt intgrál: ) E = ( )sin d Řšní: Zvolím v = -, u = sin, vpočítám v =, u =sin d = -cos dosdím do vzthu (7): [ d = ( ) E = ( )( cos ) ( cos ) 6 [ cos + sin = = ( ) cos + sin ( )cos sin = =
) F= ln( + ) d Řšní: Zvolím v = ln(+), u =, vpočítám v = dosdím do vzthu (7): +, u = d = + ln( ) d = ln( ) d ln( ) ( d + = + + + + + [ ln( + ) + ln( + ) = ln + ln ln = ln = (ln ) c) G = d Řšní: Zvolím v =, u =, vpočítám v =, u = d = dosdím do vzthu (7): ) G = [ d = [ = ( = Sustituční mtod v určitém intgrálu J-li funkc f() intgrovtlná v uzvřném intrvlu <, >, funkc = ϕ(t) má v uzvřném intrvlu <α, β> spojitou drivci ϕ& (t), přičmž ϕ(α) = ϕ(β) =, pk pltí [, 7: β f ( ) d = f ( ϕ ( t)) & ϕ( t) dt α Poznámk: Při výpočtu určitého intgrálu musím provést nhrzní stré proměnné z novou proměnnou clkm třikrát: v intgrndu, v difrnciálu v intgrčních mzích! Příkld : Vpočítjt vhodnou sustitucí intgrál: ln + ) H = d ln + =, zvolím sustituci ln + = t, potom d = dt Přpočítám mz: α = ln + =, β = ln + = + = dosdím do intgrálu: Řšní: Protož pltí ( ) t 9 H = t dt = = =
) I = cos sin d Řšní: Zvolím sustituci cos = t, pk -sin d = dt, sin d = -dt Přpočítám mz: α = cos =, β = t t = t dt = = = I = ( dt) c) J = + d Řšní: Sustitucí + = přvdm intgrál n tvr: cos = dosdím: t, d = dt, d = dt, α = + =, β = + =, t J = dt = t dt = = = ( ) t Gomtrické plikc určitého intgrálu Osh rovinné olsti Z gomtrického význmu určitého intgrálu vím, ž pro osh P rovinné olsti, ktrá j ohrničn osou, přímkmi =, = funkcí = f () > pltí (or 9): P = f ( ) d (8) Podl zdání rovinného orzc rozlišujm tto možnosti: = f() = - Or :, ) Výpočt oshu orzc pro f() < V přípdě, ž funkc f () j v intrvlu <, > záporná, j intgrál n prvé strně vzthu (8) rovněž záporný Vzhldm k tomu, ž osh kždého orzc j vžd nzáporné číslo, použijm pro liovolnou funkci = f () (or ) v vzthu (8) jjí solutní hodnotu: P = f ( ) d (9) Příkld : Vpočítjt osh orzc, ktrý j ohrničn osou funkcí =
Řšní: Grfm funkc j prol, pro jjíž průsčík s osou pltí: =, po úprvě ( )= td =, = Intgrujm v intrvlu <, > protož j funkc = v tomto intrvlu záporná (or ), použijm vzth (9): P = d = ( ) d = 6 = 6 = Pokud j rovinná olst ohrničn dvěm funkcmi o rovnicích = f () = g (), přičmž pltí f () g (), přímkmi =, = (or ), j jjí osh určn vzthm ( d () P = ( f ) g( ) ) Příkld : Vpočítjt osh orzc, ktrý j ohrničn funkcmi =, = + v intrvlu <, > Řšní: Podl vzthu () or pltí: = = P = ( + ) ) d = d = [ 6 = f() = + = = g() Or :, ) Výpočt oshu orzc ohrničného dvěm funkcmi přímkmi =, = V přípdě, ž j rovinná olst ohrničn pouz dvěm funkcmi o rovnicích = f () = g (), přičmž pltí f () g () (or ), j jjí osh určn vzthm () Intgrční mz určují ové souřdnic průsčíků oou křivk, proto musím njprv vřšit rovnici f () = g () = g() = + f() - Or :, ) Výpočt oshu orzc ohrničného dvěm funkcmi Příkld : Vpočítjt osh orzc, ktrý j ohrničn funkcmi = = + Řšní: Intgrční mz určím vřšním rovnic = +,
- - =, ( )( + ) =, =, = - =-, = Pro osh dné olsti (or ) pltí : + = P = ( + ) d = + = ( 9 + 9 9) Délk rovinné křivk J-li rovinná křivk vjádřn plicitně funkcí = f(), pk jjí délku pro <, > vpočítám podl vzorc s = + ( f ( ) ) d = + ( ) d () Příkld : Vpočítjt délku křivk = pro <, > Řšní: Dolní mz =, horní mz =, = () =, proto podl () pltí: s = d [ ( ) + d = = = = O správnosti výsldku s sndno přsvědčím přímým výpočtm (použitím Pthgorov vět) or = Or : Výpočt délk křivk vjádřné plicitně Pro výpočt délk křivk j ovkl mnohm výhodnější prmtrické zdání křivk: = ϕ (t), = ψ(t), t <α, β> (viz kpitol 7) V tomto přípdě pro délku rovinné křivk pltí vzth β &( ( & ) + ( & ) dt () s = ( ϕ t) ) + ( ψ& ( t) ) dt = α β α Příkld : Ověřt vzth pro výpočt délk kružnic o poloměru r Řšní: Umístím-li střd kružnic do počátku soustv souřdnic, mjí jjí prmtrické rovnic tvr: = rcos t, = rsin t, t <, > Dosdím do vzthu () drivc & = r sin t, & = r cost :
= s = ( r sin t) + ( r cost) dt = r dt r, což j známý vzth pro urční ovodu kruhu o poloměru r Ojm rotčního těls Přdstvm si v rovině olst, ktrá j ohrničn osou, přímkmi =, = funkcí = f () > = = - Or : Výpočt ojmu povrchu pláště rotčního těls Rotcí této olsti kolm os vznikn rotční tělso pro jhož ojm pltí V = ( f ( ) ) d = d () Příkld 6: Vpočítjt ojm těls, ktré vznikn rotcí orzc ohrničného osou, křivkou = přímkou = kolm os Řšní: Z or j zřjmé, ž =, = Doszním do vzthu () získám d = d = = V = ( ) Povrch pláště rotčního těls Pomocí určitého intgrálu sndno vpočítám rovněž povrch pláště rotčního těls, jhož vznik j popsán v přdchozím odstvci (or ) Sndno s dá odvodit vzth d = + ( S = f ( ) + ( f ( ) ) ) d () Příkld 7: Vpočítjt osh pláště rotčního komolého kužl, ktrý vznikn rotcí přímk = v intrvlu <, > kolm os Řšní: Stjně jko v příkldu j dolní mz =, horní mz =, = () =, proto podl () pltí: S = + d = d = [ = ( ) =
Cviční Vpočítjt určité intgrál: ) ( + ) d [ ) ( ) d [ 688 c) d) 9 + d d [ 6 [ 9 ln ) sin d [- sin f) cos d [ g) + ln d [ ( ) h) sin ( cos ) d [ Vpočítjt osh orzc, ktrý j ohrničn dnou funkcí osou v dném intrvlu: ) =, <, > [ ) c) =, <, > [ ) ( = +, <, > [ 7 d) = sin, <, > [ Vpočítjt osh orzc ohrničného funkcmi: ) =, = ) =, = [ 6 [ c) =, = [ d) =, =, = [ ) = cos, = sin, = v I kvdrntu [ f) = +, = 6 [ 6 Vpočítjt ojm těls, ktré vznikn otáčním zdného orzc kolm os : ) =, =, = [
) =, = [ c) =, = [ d) = tg, =, = [ ( ) ) =, = [ f) =, =, =, = [ Vpočítjt délku křivk zdné prmtrick: = t, = t t, t <, > [