TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fkult příodovědě-humití pedgogická ZÁVĚREČNÁ PRÁCE LIBEREC 0 Mg. JAROMÍR OSČÁDAL
Techická uivezit v Lieci Fkult příodovědě-humití pedgogická Egyptské zlomky Závěečá páce pogmu DVPP Lieec 0 Auto Vedoucí závěečé páce Mg. Jomí Osčádl RND. Diel Bitteová, CSc.
Techická uivezit v Lieci FAKULTA PŘÍRODOVĚDNĚ-HUMANITNÍ A PEDAGOGICKÁ Kted: Kted plikové mtemtiky Studijí pogm: Dlší vzděláváí pedgogických pcovíků Studijí oo Rozšiřující studium mtemtiky po. stupeň EGYPTSKÉ ZLOMKY EGYPTIAN FRACTIONS Diplomová páce: FP KDM ZP 070 Auto: Podpis: Mg. Jomí OSČÁDAL Vedoucí páce: RND. Diel Bitteová, CSc. Kozultt:. Počet st gfů oázků tulek pmeů příloh 7 5 0 V Lieci de: 0. 8. 0
TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI FAKULTA PŘÍRODOVĚDNĚ-HUMANITNÍ A PEDAGOGICKÁ Odděleí dlšího vzděláváí ZADÁNÍ ZÁVĚREČNÉ PRÁCE (po pogm Dlšího vzděláváí pedgogických pcovíků) Kdidát: Vzdělávcí pogm: Název ZP: Název ZP v gličtiě: Vedoucí páce: Mg. Jomí Osčádl Dlší vzděláváí pedgogických pcovíků Egyptské zlomky Egypti Fctios RND. Diel Bitteová, Csc. Temí odevzdáí: Posiec 0 Kód ZP: -FP-KDM-ZP-070 V Lieci de 0.. 0 doc. RND. Mioslv Březi CSc. děk RND. Diel Bitteová, Csc. gt kuzu Převzl (kdidát): Mg. Jomí Osčádl Dtum: Podpis:
Název ZP: Egyptské zlomky Vedoucí páce: RND. Diel Bitteová, CSc Cíl: Sezámit se s polemtikou egyptských zlomků. Postudovt poovt (i histoicky) ěkteé metody po jejich řešeí. Vytvořit výukový mteiál po SŠ dé tém. Poždvky: Zlosti zákldího kuzu mtemtiky VŠ. Schopost studovt odoé glické texty, ovládt textový edito. Litetu: Mg. STACHOVCOVÁ, Ld. Vyjádřeí cioálího čísl pomocí egyptských zlomků. Učitel mtemtiky. 00, oč. 9, č., s. BEČVÁŘ, Jidřich, Mti BEČVÁŘOVÁ H VYMAZALO- VÁ. Mtemtik ve stověku: Egypt Mezopotámie.. vyd. Ph: Pometheus, 00, 7 s. Dějiy mtemtiky (Pometheus), sv.. ISBN 80-79-655-. POLÁK, Josef. Přehled středoškolské mtemtiky. 9. vyd. Ph: Pometheus, 008, 659 s. ISBN 978-807-96-56. KOŘÍNEK, Vldimí. Zákldy lgey.. vyd. Ph: Českosloveské kdemie vĕd, 95. BLEICHER, M.N. A ew lgoithm fo the expsio of Egypti fctios. Joul of Nume Theoy. 97, vol., issue, s. - 8. DOI: 0.06/00-X(7)90069-8. Dostupé z: http://likighu.elsevie.com/etieve/pii/00x7900698 Učeice mtemtiky po zákldí školy. Síky úloh. Příučky mtemtických olympiád.
Pohlášeí Byl jsem sezáme s tím, že mou závěečou páci se plě vzthuje záko č. /000 S. o pávu utoském, zejmé 60 školí dílo. Beu vědomí, že Techická uivezit v Lieci (TUL) ezshuje do mých utoských páv užitím mé závěečé páce po vitří potřeu TUL. Užiji-li závěečou páci eo poskytu-li liceci k jejímu využití, jsem si vědom poviosti ifomovt o této skutečosti TUL; v tomto přípdě má TUL pávo ode me poždovt úhdu ákldů, kteé vyložil vytvořeí díl, ž do jejich skutečé výše. Závěečou páci jsem vypcovl smosttě s použitím uvedeé litetuy zákldě kozultcí s vedoucím závěečé páce. Dtum. 8. 0 Poděkováí Podpis Děkuji všem lízkým, že celou dou studi mě podpoovli tpělivě sášeli všechy polémy spojeé s mým studiem emocí.
Astkt Tto diplomová páce "Egyptské zlomky" je přehledem témtu egyptských zlomků ukázkou zpcových výukových mteiálů. Je zde ozepsá iáí ozkld, Fiocci Sylvesteův (hldový), Golomův Edösův lgoitmus. Dlší kpitol popisuje zákldí opece s egyptskými zlomky páci s imi. V posledí části je zzmeá tvo výukového mteiálu. Klíčová slov: Egyptské zlomky, zlomky, cioálí čísl, výuk. Astct This thesis "The Egypti Fctios" is oveview of the topic d it is lso exmple of peped techig mteils of this theme. Thee is iy decompositio, the Fiocci- Sylveste (hugy) lgoithm, the Golom lgoithm d the Edös lgoithm esolved. Aothe chpte descies the sic opetios with Egyptis fctios d usig them. The lst pt is ecoded poductio of eductiol mteils. Keywods: Egypti fctios, fctios, the tiol umes, techig.
.Osh Sezm oázků... Sezm gfů... Sezm tulek... Sezm pojmů... Úvod.... Histoický úvod...5.. Písmo zápis čísel...5.. Zákldí opece s celými čísly...9... Sčítáí odčítáí...9... Násoeí děleí...0. Zlomky...0.. Fiocci Sylvesteův (hldový) lgoitmus..... Biáí ozkld..... Golomův lgoitmus...6.. Edösův lgoitmus...8. Opece se zlomky...0.. Zákldí tv poováváí zlomků...0.. Sčítáí odčítáí zlomků..... Násoeí děleí.... Výukový mteiál...8.. Pezetce pcoví listy...8.. Moodle kuz...0.. Odzkoušeí ve třídách... Závě...5 Použitá litetu...6 Osh CD...7
Mg. Jomí Osčádl St Egyptské zlomky Sezm oázků Oázek Tulk s ejstšími egyptskými hieoglyfickými zky čísly pocházející z doy kolem oku 00 př. K...5 Oázek Nmeov plice opis eliéfu číselé údje jsou ozčeé čeveě; 00 př. K....6 Oázek Ukázk hieoglyfického písm z XII. dystie...6 Oázek Ukázk hietického písm z odoí XII. dystie...7 Oázek 5 Ukázk démotického písm z. století př. K....7 Oázek 6 Ukázk zápisu jedotlivých řádů v hietickém písmu hieoglyfickém písmu...8 Oázek 7 Ukázky zápisu čísel...8 Oázek 8 Tulk číselých údjů po jedotlivé omy stěě chámu v Kku u posvátého jeze...8 Oázek 9 Ukázky součtů se symolickým zápisem; + 08 = 7, + 68 = 8, 0 + 80 =...9 Oázek 0 Symolické zápisy ozdílu: 5 - =, - = 79, 0 - = 77...9 Oázek Vedžt (Hoovo oko)...0 Oázek Ukázk zlomků Sté říše (zlev dopv),,,,, 6 5 6...0 Oázek Náhled dymického símku se skytým textem...8 Oázek Náhled pcovích listů...9 Oázek 5 Ukázk kuzu... Mg. Jomí Osčádl St Egyptské zlomky
Mg. Jomí Osčádl St Egyptské zlomky Sezm gfů Gf Výsledky skupiy L A... Gf Výsledky skupiy L B... Sezm tulek Tulk Výsledá zámk z testu... Mg. Jomí Osčádl St Egyptské zlomky
Mg. Jomí Osčádl St Egyptské zlomky Sezm pojmů fó... titul používý po stověké povíky Egypt. Název pochází z ozčeí pe- (velký dům). foém... jede kokétí zvukový elemet řeči. foogm... zk písm předstvující foém, eo skupiu foémů. detemitiv... zk upřesňující výzm předchozí skupiy zků. dystie... ozčeí po skupiu spřízěých povíků, většiou čleů jedé dědičé odiy, eo skupiu povíků vládoucích ve stejém městě. Rozděleí stoegyptských povíků do dystií povedl ve. století př.. l. kěz Mehto. hpedopt... egyptští zeměměřiči, zámí svými dovedostmi uměím důkzů. hekt... stověká ojemová mí předstvující měřici (,805 l) Ho... ůh v sokolí podoě přestvující spvedlivou vládu d světem, cháící Egypt před vládou chosu oh Sutech. Jeho spodoěím je fo. Koptové... jsou původí Egypťé, ázev pochází z řečtiy. LMS... řídící výukový systém (Leig Mgemet System). logogm... hieoglyfický zk přestvující zozový, eo stejě zějící pojem. Moodle... sofwový líček po tvou výukových weových kuzů. Je poskytová zdm jko Ope Souce. om... dmiisttiví celek ve stověkém Egyptě. Název pochází z řeckého slov po kj. V čele tkového celku stál omch. Stověký Egypt yl ozděle omů. Ope Souce... pogm s volým otevřeým kódem, to zmeá, že pogm je možé volě používt (volá licece) pogmový kód lze volě upvovt. ostko... střep hliěé ádoy, eo vápecový odlomek, kteý se používl k zápisu méě důležitých textů. Název pochází z řečtiy. Sutech... ůh chosu předstvující cizí ožstv, čsto ztotožňový s Blem. Zozový jko složei hyey, fek, okpy osl. ppyus... pscí mteiál vyáěý z šáchou ppíodáého. Byl zám svou lehkostí skldostí. Název pochází z koptštiy zmeá ptřící fóovi. vedžt... Hoovo oko, teto symol měl moho výzmů. Bůh Hous při itvě se Sutechem přišel o zk. Jko áhdu získl vševidoucí oko. Teto symol předstvovl ojemové zlomky, eo lidské smysly. Je i zkem ožské moci. Záoveň předstvovl Sluce Měsíc. Flsh Cd... systém výukových ket v áhodém pořdí. Tto metod se používá k zpmtováí slovíček, eo ových pojmů. Mg. Jomí Osčádl St Egyptské zlomky
Mg. Jomí Osčádl St Egyptské zlomky Úvod Mezi vyhlášeými témty závěečých pcí mě zujlo tém Egyptské zlomky. Odivuji stoegyptskou civilizci, kteá přeskočil fázi městských států ovou vytvořil áodí stát spojeý s olstí životodáého Nilu. Tto řek yl je jedím z důležitých pvků této civilizce. Ay mohl vzikou tk vyspělý ogizový stát, musel existovt pomyšleá stuktu společeství, kteá uměl efektivě kotolovt spvovt své zdoje. To ez zlostí mtemtiky eylo možé. Podle histoiků yli Egypťé kozevtiví mtemtiku li je jko ástoj po řešeí polémů, kteé přiášel život. Pozdější filozofický pohled mtemtiku jko vědu plou stktích defiic, vět důkzů pý ezli. To le ezmeá, že epoužívli oecé postupy ezli oecé dokzováí. Jejich řešeí se spíše podoly eceptům, le to euílo ic spávosti použitých postupů. Je možé, že t ejvětší tjemství mtemtiky si předávli ústě v chámových školách jko i jié áody tehdejší doy. Páce se zlomky musel ýt při spvováí dí, ochodu přídělovém hospodářství utou součástí život. Zápis cioálího čísl ve tvu egyptských zlomků eyl z šeho pohledu příosý, le po egyptskou civilizci jistě ějkou výhodu měl. Teto zápis zlomků se víc ozšířil po stověkém světě yl užívá Blízkém východě po celou dou existece stoegyptského státu. Po deší dou emá teto zápis zásdí výzm, le je velmi zjímvý po zkoumáí vlstostí cioálích čísel pocvičováí páce s imi. V tomto díle jsem chtěl stíit ěkolik postupů, jk vytvořit zápis cioálího čísl ve tvu egyptských zlomků ukázt páci s tímto zápisem. Potože i středí škole studeti zápsí s cioálími čísly, ozhodl jsem se zpcovt toto tém po středoškoláky ve fomě pocvičováí páce se zlomky. Postupy tvoy zápisu egyptských zlomků jsou po žáky přijtelé. I když v postupech je použit mtemtická idukce, vlstosti posloupostí věty z teoie čísel, jsou tto řešeí studetům středí školy dostupá. Záoveň jsem si vytyčil úkol vytvořit po žáky studijí mteiál, pcoví listy kuz po LMS potál Moodle. Výhodou tkto zpcového mteiálu je, že ho lze použít jko podpou, eo doplěk výuky mtemtického semiáře. Mg. Jomí Osčádl St Egyptské zlomky
Mg. Jomí Osčádl St 5 Egyptské zlomky. Histoický úvod Z egyptských ppyů, kteé se ám dochovly, můžeme usuzovt vyspělost egyptské mtemtiky. Dochovými texty jsou převážě opisy učeích příkldů po písře, le esou ysy hluokých zlostí o geometii, steeometii lgeře. Des povžujeme z tvůce geometie řecké filozofy, příkld Thlese Milétského Pythgo. Smi řečtí učeci přizávli, že se učili od Egypťů. Vždyť ti museli změřit postvit své úžsé stvy již v odoí 500 př. K.. Kždoočí záplvy eustálé změřováí polí, podle kteých se vyměřovli dě, osivo příděly, utily egyptské zeměměřiče eustále vylepšovt své techiky. K tomu potřeovli osáhlé zlosti, kteé odivovl popsl i řecký cestovtel Héodotos v 5. století př. K.. Egyptská mtemtik je čsto povžová z pktickou ez důkzů, le mohé sloví úlohy esou ysy stktích úvh. Dokoce i Démokitos (5. století př. K.) se chluil, že soupeřil v dokzováí s egyptskými hpedopty (zeměměřiči), kteří ovládli uměí důkzů. To vše ukzuje, že písemé dokldy o skutečých zlostech egyptských mtemtiků ám chyí. Možá tedy vděčíme stověkému Egyptu z více, ež si myslíme. Dokoce i hláskové písmo, kteé moho lidí přisuzuje Féičům, vziklo úpvou z egyptského vzou... Písmo zápis čísel Nejstší dochové mtemtické texty jsou sice z odoí Středí říše (99 797 př. K.), le počátky mtemtiky zápisu čísel v Egyptě shjí ž do Předdystického odoí. V této doě vzikly pví symoly po čísl, zákldí pojmy ozčeí jedotlivých olstí (omů). Pví písemé zázmy yly spíše ve fomě heslovitých ápisů ostkoech pečetích. Spíše sloužily k ozčeí možství původu zoží, eo esly ifomci o dáci. Pávě těchto ápisech můžeme pozoovt pví symoly předstvující ůzá čísl. Velmi pěkou ukázkou jsou etikety z kálovských hoek v Aydu, eo Nmeově plici. Oázek Tulk s ejstšími egyptskými hieoglyfickými zky čísly pocházející z doy kolem oku 00 př. K. VYMAZALOVÁ, H Filip COPPENS. Moudost svitků oh Thovt: vědecké pozáí z vlády foů. Vyd.. Ph: Uivezit Klov v Pze, Filozofická fkult, 0, 5 s. ISBN 978-807-08-588. st 5 Mg. Jomí Osčádl St 5 Egyptské zlomky
Mg. Jomí Osčádl St 6 Egyptské zlomky 00000 000 0000 Oázek Nmeov plice opis eliéfu číselé údje jsou ozčeé čeveě; 00 př. K. Společě s vývojem hieoglyfického hietického písm koci. tisíciletí př. K. vytvořili Egypťé symoly po desítkové řády, kteé pk používli po celou dou existece své civilizce. Hieoglyfická podo písm i číslic je oázková předstvuje si okolo 6000 zků, přesto ejde o pimitiví oázkový systém. V ůzých doách se počet používých zků měil, ktivě se jich všk užívlo si je 000. Nejstší zky yly logogmy, kteé zázoňovly učitá celá slov, eo slov foeticky podoá. Duhou skupiou yly foogmy, kteé přestvovly hlásky, eo skupiy hlásek. Posledí skupiou jsou detemitivy, kteé upřesňují výzm slov. Hieoglyfické písmo si udželo svou podou jko chámové (ožské) písmo po výzdou hoek chámů. Oázek Ukázk hieoglyfického písm z XII. dystie Přiližě stejě stým typem písm je kěžské eoli hietické písmo, kteé ylo zjedodušeou podoou písm hieoglyfického. Sloužilo po ěžé zápisy ochodích, úředích, liteáích i áožeských textů. Původí zápis ve sloupcích (stejě jko u hieoglyfů) yl v odoí XI. dystie hze psím zpv dolev. Postupě se v kuzíví podoě písm spojovly jedotlivé zky po ychlejší zápis. BRASS, Michel. The Nme Mcehed d elted ojects. Joul of the Ameic Resech Cete i Egypt XXVII: 5-59. The Atiquity of M [olie].. vyd. 990 [cit. 0-05-5]. Dostupé z: http://www.tiquityofm.com/millet_me_mcehed.html BEČVÁŘ, Jidřich, Mti BEČVÁŘOVÁ H VYMAZALOVÁ. Mtemtik ve stověku: Egypt Mezopotámie.. vyd. Ph: Pometheus, 00, 7 s. Dějiy mtemtiky, sv.. ISBN 80-79-655-. st Mg. Jomí Osčádl St 6 Egyptské zlomky
Mg. Jomí Osčádl St 7 Egyptské zlomky Oázek Ukázk hietického písm z odoí XII. dystie Od 8. století př. K. používli Egypťé démotické eoli lidové písmo. To už postádá oázkový chkte je spíš zktkovitým zápisem, kteý vychází z hietického písm. To způsouje, že teto zápis je velmi šptě čitelý. Posledím typem písm je koptské, kteé všk používlo řecké zky vyé démotické foémy. V šich ukázkách jsem jedotlivá písm evě odlišil: hieoglyfické zky jsou psáy čeě, hietické modře démotické zeleě. Potože hieoglyfy jsou z ich ejčitelější, čsto se hietické démotické texty přepisují do hieoglyfů. Oázek 5 Ukázk démotického písm z. století př. K. 5 V číslech yl situce jedodušší, kždý desítkový řád yl přestvová jedím zkem, kteý se opkovl podle počtu v dém řádu jedou ž devětkát. Po jedotky se užívl zk měřící hole, po desítky kví pout (ěkteé pmey uvádí, že teto symol ozčuje kost, eo sepjté uce), stovky předstvovl měřící povzec délky st loktů, po tisícovku používli zk lotosového květu, potože ve velkém možství pokývly klidé zátoky Nilu, desetitisíce zozovli ukzovákem (sh podle počtu usekých pstů epřátel), řád sttisíců předstvovl symol pulce (připomíjící počet pulců v deltě Nilu v odoí záplv) koec klečící postv předstvující milio (sd postv oh vzduchu postou). Symol po milio yl převážě používá je ve Sté říši čstěji měl výzm ekoečého možství, ež miliou. Tk velké číslo Egypťé epotřeovli. Stejě v epozičím desítkovém systému epotřeovli symol po ulu. Je v účetích kihách po ulový zůsttek (ovost výdjů příjmů) používly symol tkzvé egyptské uly. BEČVÁŘ, Jidřich, Mti BEČVÁŘOVÁ H VYMAZALOVÁ. Mtemtik ve stověku: Egypt Mezopotámie.. vyd. Ph: Pometheus, 00, 7 s. Dějiy mtemtiky, sv.. ISBN 80-79-655-. st 5 BEČVÁŘ, Jidřich, Mti BEČVÁŘOVÁ H VYMAZALOVÁ. Mtemtik ve stověku: Egypt Mezopotámie.. vyd. Ph: Pometheus, 00, 7 s. Dějiy mtemtiky, sv.. ISBN 80-79-655-. st Mg. Jomí Osčádl St 7 Egyptské zlomky
Mg. Jomí Osčádl St 8 Egyptské zlomky Oázek 6 Ukázk zápisu jedotlivých řádů v hietickém písmu hieoglyfickém písmu Oázek 7 Ukázky zápisu čísel Čísl ve všech písmech se zpisovl sho dolů, eo zpv dolev, le i výjimky lezete. N ásledujícím símku je zápis o omech ze stěy chámu u posvátého jeze v Kku. Teto zápis se váže k vyozeí vlevo, poto text jde zlev dopv zky jsou oáceé. Oázek 8 Tulk číselých údjů po jedotlivé omy stěě chámu v Kku u posvátého jeze Mg. Jomí Osčádl St 8 Egyptské zlomky
Mg. Jomí Osčádl St 9 Egyptské zlomky.. Zákldí opece s celými čísly Symolický zápis, jk ho záme des, se epoužívl. Vše se popisovlo slově. Egypťé zly zákldí mtemtické opece sčítáí, odčítáí, ásoeí děleí. V plošých jedotkách můžeme dokoce mluvit o umocňováí odmocňováí. V úlohách se používly fomulce impetivu má se učiit, má se dělt (ve smyslu má se počítt ).... Sčítáí odčítáí Nepozičí desítkový systém, kteý stří Egypťé používli, eyl příliš odlišý od šeho umožňovl po celá čísl jedoduchý systém sčítáí jedotlivých řádů (ž do milioů). Bylo je důležité vímt i ezpsé řády uvědomit si opčý smě psí. V zápisu užívli po sčítáí slov ii (dělt = počítt), wh (spojit) demedž (sjedotit). N ásledujícím oázku je po přehledost sčítáí zpsáo modeí symolikou pod see. Oázek 9 Ukázky součtů se symolickým zápisem; + 08 = 7, + 68 = 8, 0 + 80 = I odčítáí v epozičím desítkovém systému se podolo šemu odčítáí. Opět je je důležité ozezt jedotlivé řády pmtovt i ty ezpsé (viz. třetí příkld ásledujícím oázku. Po sloví popis používli slov ii wedžt, ii, ve fomulcích spočítej zytek x z y, eo spočítej velikost těch x k těm y ( x y ). Výsledek yl většiou ozčová jko wedžt (zytek). Oázek 0 Symolické zápisy ozdílu: 5 - =, - = 79, 0 - = 77 Mg. Jomí Osčádl St 9 Egyptské zlomky
Mg. Jomí Osčádl St 0 Egyptské zlomky... Násoeí děleí V této části se po jedoduchost vátíme k skému zápisu číslic podle šich zvyklostí. Metody ásoeí děleí jsou postveé podoém picipu, poto z mohých zápisů ejde ozezt, zd se jedá o ásoeí, eo děleí. Je zde využit přímá úměost. Celočíselé ásoeí děleí sice eí čsto plě zzmeáo, le picip ásoeí lze odvodit z páce se zlomky smíšeými čísly. Nejpve si vytvoříme tulku dvojásoků, čtyřásoků,... čiitele (dělitele) potom sečteme tyto ásoky, dokud edosáheme poždové hodoty. Potože kždé celé číslo lze vyjádřit ve dvojkové soustvě pomocí součtu jedotlivých moci dvou, můžeme z dých ásoků sestvit liovolý ásoek čiitele. Zlost vlstostí dvojkové soustvy le u stověkých mtemtiků emůžeme předpokládt. Pokud to je výhodé, můžeme použít i desetiásoky pětiásoky (stejě jko ve stověkém Egyptě). Ve slovím vyjádřeí používli Egypťé po ásoeí fomulce sečti x y-kát se slovesem ii wh slovo sep ve výzmu kát. Příkld Vypočítejme ásoek 7. Vyeeme si větší čiitel sestvíme tulku dvojásoků. \ 7 \ 5 08 \8 6 Číslo vyjádříme jko součet 8. Vyé řádky s ásoky ozčovli Egypťé čákou zčátku řádku. Výsledek je součtem ásoků u vyých řádků 6 5 7 97. I epozičí systém umožňuje doé ásoeí deseti, poto ásoeí můžeme zpst i tkto: \ 7 \0 70 Děleí povedeme podoě. Vytvoříme si tulku ásoků dělitele, kteé jsou meší ež děleec. Z tulky vyíáme ásoky, kteé po sečteí djí děleec. Vyé řádky opět ozčíme podle zvyklostí. Výsledkem děleí je součet ásoitelů dělitele zčátku řádku. Po děleí používli Egypťé fomulci počítej s x po lezeí y ( y x ). Použitá slov yl ii (počítej) gemet (po lezeí). Mg. Jomí Osčádl St 0 Egyptské zlomky
Mg. Jomí Osčádl St Egyptské zlomky Příkld Vydělme číslo číslem. Nejpve sestvíme tulku ásoků dělitele: Neo: \ 6 5 8 0 \6 08 \ 6 \0 0 \5 65 Číslo můžeme získt součtem hodot 08, eo0 65 6. Výsledek děleí je 7 (6+, eo 0+5+). Násoky pěti vzikly půleím ásoků deseti. Metodu půleí Egypťé tké ovládli. Komě ásoeí děleí zli opece umocňováí v plošých jedotkách. V Moskevském ppyu se dokoce ojevuje výz seš ve výzmu moci. Odmocňováí vyjdřovli slovem keet. V dochových mteiálech se většiou jedlo o ezpolémové celočíselé odmocěí. Jedoduše tyto opece popisuje ve své kize i H. Vymzlová: Ohledě způsou egyptského odmocňováí se předpokládá, že podoě jko u umocňováí, yl i zde použit geometická cest spolu s empiicky zjištěými vzthy mezi čísly. 6 6 BEČVÁŘ, Jidřich, Mti BEČVÁŘOVÁ H VYMAZALOVÁ. Mtemtik ve stověku: Egypt Mezopotámie.. vyd. Ph: Pometheus, 00, 7 s. Dějiy mtemtiky (Pometheus), sv.. ISBN 80-79-655-, st 0 Mg. Jomí Osčádl St Egyptské zlomky
Mg. Jomí Osčádl St 0 Egyptské zlomky. Zlomky Počítáí se zlomky ylo po písře utostí. Rozdělovli příděly pšeice podle zásluh, eo předem dých poměů. Pojem zlomků tedy zli již ve Sté říši možá i dříve. Pvotí zlomky vzikly z pocesu půleí. Příkldem tkových zlomků je Hoovo oko odpovídjící zlomkům ojemové jedotky hekt. Teto systém se používl už v doě VI. dystie. Celý symol předstvuje 6 hekt jeho čstmi jsou zlomky,,,,, 6 8 6 6. Oázek Vedžt (Hoovo oko) Komě zlomků vedžt yly zámy ve Sté říši i kmeé zlomky,,,... jejich doplňky 5 6 5 do jedé,,,,... Symoly ěkteých zlomků jsou ásledujícím oázku. 5 6 Oázek Ukázk zlomků Sté říše (zlev dopv) 7,,,, 5, 6 6 Postupem doy zůstly pouze kmeé zlomky. Rcioálí čísl větší jk jed se vyjdřovl ve tvu smíšeých čísel části meší ež jed se zpisovly pomocí vzájemě ůz- 7 BEČVÁŘ, Jidřich, Mti BEČVÁŘOVÁ H VYMAZALOVÁ. Mtemtik ve stověku: Egypt Mezopotámie.. vyd. Ph: Pometheus, 00, 7 s. Dějiy mtemtiky, sv.. ISBN 80-79-655- st Mg. Jomí Osčádl St 0 Egyptské zlomky
Mg. Jomí Osčádl St Egyptské zlomky ých kmeých zlomků. Teto systém zápisu zýváme egyptský zlomek. Egypťé ezli desetiý zápis čísl, jejich systém yl epozičí zky po desetié řády eměli. Defiice Rcioálí číslo 0 ;, N zpsé jko součet (sezm) koečého možství vzájemě ůzých kmeých zlomků zýváme egyptský zlomek. Egypťé sice po své zápisy zlomků ještě víc používli číslo, le po še dlší úvhy použijeme tuto defiici egyptského zlomku. V hieoglyfech se kmeé zlomky zpisovly zkem d číslovkou (př. 0 ), v hietickém písmu se d číslovkou zpsl tečk (př. 0 ). V tulkách zlomků je symol zpsá zdvojeím zku, le jik se zdvojeí stejého kmeého zlomku epoužívlo. To dokzují i tyto převodí tulky. Rozložit zlomek vzájemě ůzé kmeé zlomky eí zov jedoduchá čiost. V ásledujících podkpitolách si ukážeme ěkolik postupů hledáí tkových ozkldů... Fiocci Sylvesteův (hldový) lgoitmus Teto postup zápisu cioálího čísl ve tvu egyptského zlomku je ejzámější ejpoužívější. Vždy hledáme ejvětší kmeý zlomek, kteý se vejde do dého cioálího čísl. Ukážeme si, že teto postup vede k vyjádřeí cioálího čísl koečým počtem kmeých zlomků. Popvé teto postup uveřejil v oce 0 Leodo z Pisy zámým jko Fiocci ve svém díle Lie Aci (Kih počtů). Podoěji ho popsl oku 880 J. J. Sylveste. Čsto se teto lgoitmus zývá hldovým, potože hldově vyíáme ejvětší kmeý zlomek, kteý je ve zlomku osže. Kmeé zlomky jsou čley hmoické poslouposti, kteá je klesjící. Pokud tedy vezmeme liovolé cioálí číslo meší ež jed, kteé eí kmeým zlomkem, musí existovt přiozeé číslo, po kteé pltí:. Jk tkové učíme? Vět Jestliže je cioálí číslo v zákldím tvu, meší ež jed zpsé pomocí přiozeých čísel, N;, pk existuje přiozeé číslo, po kteé pltí, při- čemž je celá část zlomku je ejvětší kmeý zlomek, kteý je meší ež. Mg. Jomí Osčádl St Egyptské zlomky
Mg. Jomí Osčádl St Egyptské zlomky Mg. Jomí Osčádl St Egyptské zlomky Důkz Pokud je meší ež jed, musí pltit,,, ; ; ; N. ; ;. Potože hmoická posloupost je klesjící, je zlomek ejvětší, kteý se vejde do zlomku. ; ;. 0 Z defiice je celá část po děleí čísl číslem. Důkz je hotov. Nyí můžeme přistoupit k důkzu, že kždé kldé cioálí číslo meší ež jed lze zpst pomocí egyptských zlomků. Použijeme mtemtické idukce. Duhý kok sice eí tdičě defiová, vycházíme z předpokldu, že výok pltí eje po k, le po všech přiozeá čísl meší ež k.. kok Dokžme, že kždý zlomek N ; lze zpst ve tvu egyptského zlomku. Teto kok žádý důkz epotřeuje, smotý zlomek je kmeým zlomkem poto sám splňuje podmíku defiice egyptského zlomku.. kok Předpokládejme, že zlomky k N 0 ;, ; lze vyjádřit ve tvu egyptského zlomku. Říkáme tím, že jmeovtel může ýt liovolý čittel je meší ež k.. kok Dokžme, že toto pltí i po zlomky ;, ; k N. Předpokládejme, že k je v zákldím tvu. Pltí:,,, ; ; k N k k k k k k. Výsledek je uď kmeý zlomek (po k ) ; k, eo zlomek s čittelem,, k k podle. koku ho lze zpst ve tvu egyptského zlomku. Stčí ukázt, že v tomto ozkldu jsou kmeé zlomky meší ež.
Mg. Jomí Osčádl St Egyptské zlomky Ukážeme si, že pltí eovost k z předpokldu k. k k k k k k 0 k, potože 0 ; k, musí tto eovost pltit. Dále tedy pltí:, v zápisu čísl k ; N;,,, k k k musí ýt meší kmeé zlomky. Důkz je hotov. k Dokázli jsme, že kždý kldý zlomek meší ež jed lze vyjádřit ve tvu egyptského zlomku. Z důkzu lze odvodit i víc. Vět Kždé cioálí číslo v zákldím tvu 0 ;, N lze vyjádřit pomocí hldového lgoitmu mximálě vzájemě ůzými kmeými zlomky. Důkz Po ; N;,,, dosteme:. Vytvořili jsme jede kmeý zlomek v ejhoším přípdě zylý zlomek zmešil čittele o jedičku. Pokud udeme tkto pokčovt v kždém koku zylý zlomek ude v zákldím tvu, udeme muset poces povést v kocích. V posledím koku vzikou dv kmeé zlomky. Tedy v ejhoší vitě to zmeá kmeých zlomků. Důkz je hotov. Ukážeme si postup kokétím příkldě. Příkld Vyjádřete zlomek 7 pomocí hldového lgoitmu. 7 7 9 7 0. 7 Mg. Jomí Osčádl St Egyptské zlomky
Mg. Jomí Osčádl St Egyptské zlomky.. Biáí ozkld Biáích lgoitmů je více. Hlví myšlekou je, že číslo v iáím zápisu můžeme zpst pomocí ul jediček. Číslo meší ež jed je tedy zpsáo v iáím zápisu pomocí kmeých zlomků ; k N. Ty, co mjí iáí zápis koečý, ovou předstvují egyptský zlomek. Polém stává u čísel s ekoečým zápisem. Tková cioálí čísl lze k z- m pst s peiodou. Tu můžeme itepetovt jko geometickou posloupost s kvocietem, kde m je velikost peiody. Pokud udeme jedotlivé řády peiody sčítt od řádu (pozice) iž- m šího ež, djí se tyto součty vyjádřit tké jko m ůzých kmeých zlomků ve tvu. m Vět Kždý zlomek 0, kde Důkz Z eovosti lze zpst pomocí ůzých kmeých zlomků. plye, že 0 ; j 0, ; j 0,,, 0 0, to předstvuje součet ůzých kmeých zlomků ve tvu ; 0. Důkz je hotov. Vět Po kždé cioálí číslo 0 c, c,, 0,, že pltí: c m můžeme zvolit tkové číslo m N čísl m m m c c cm c c cm Důkz Toto tvzeí plye z iáího zápisu liovolého cioálího čísl. Zápis c m cm eí ičím jiým ež ozpisem m cife v iáím zápisu čísl. Rovost pltí po ukoče- ý iáí zápis. Duhá eovost ám je říká, že ozdíl c c m c meší ež je vždy meší ež je m. Odpovídá totiž zytku cifeého zápisu čísl s řády ižšími ež m. Te m. Důkz je hotov. m Mg. Jomí Osčádl St Egyptské zlomky
Mg. Jomí Osčádl St 5 Egyptské zlomky Důsledkem oou vět je jedoduchý lgoitmus, kteým můžeme ozložit zlomek meší ež jed tv egyptského zlomku. Pokud podle věty zvolíme m, po kteé pltí m, zytkovou hodotu zlomku už ozložíme podle věty. Potože zytkový zlomek je meší ež m. V tkovém přípdě jsou vziklé kmeé zlomky ůzé. Podoý výsledek dosteme i v přípdě ozou iáího zápisu cioálího čísl přepisu peiody podle pvidel zmíěých zčátku (využití geometické poslouposti). Tkový postup ptří k těm jedodušším. Příkld Vyjádřete zlomek 7 pomocí iáího lgoitmu. ; 7 5 ; 7 7 7 7 8 7 Výsledek je Dlší možost. 7 7 8 7 8 8 7 8 8 7 7 ; 8 8 7 8 7 8 7 7 8 56 8 Výsledek je. 7 8 8 56 8 8 56 Postup z iáího zápisu 7 0, 0, pokud chceme vyjádřit peiodu pomocí kmeých zlomků, musíme spoň stejou délku jko má peiod vyjádřit podle věty. Zylou peiodu s kvocietem zpíšeme pomocí součtu ekoečé geometické řdy. 0, 0,0 0,0000 7 ( ) 5 6 8 0 ( ) 5 6 8 ( ) 8. 8 8 56 8 8 56 Vidíme, že máme ěkolik možostí postupu to s ůzými výsledky podle voly m. Podoé ozkldy používli stověcí Egypťé v ojemových jedotkách, kteé převážě vyjdřovli pomocí zlomků z geometické poslouposti ; N. Ty odpovídly částem Hoov ok. Mg. Jomí Osčádl St 5 Egyptské zlomky
Mg. Jomí Osčádl St 6 Egyptské zlomky.. Golomův lgoitmus Teto lgoitmus je zjímvý tím, že ám umožňuje odhd ejvětšího jmeovtele kmeých zlomků při tomto ozkldu. S. W. Golom teto postup pulikovl v oce 96. V kostukci lgoitmu je využit Bezoutov idetit. Lemm Bezoutov idetit Nechť, Z jsou čísl ůzá od uly d je společý dělitel čísel, pk existují eulová čísl x, y Z, po kteá pltí: x y d. Důkz této věty je zám. Můžeme ho zložit Euklidově lgoitmu hledáí společého dělitele. Zpětý postupem lezeme jedo řešeí x, y. 0 0 Potože Z; t t t 0. Zpíšeme možiu všech řešeí ve tvu: x x0 t; y y0 t; t Z. Přičemž lze ukázt, že čísl x y jsou esoudělá, x 0 eí ásokem y 0 eí ásokem. Lemm Nechť je dá ekmeý zlomek 0 ;, N v zákldím tvu, pk existují čísl, N tková, že s vlstostmi 0 ; 0 mi(, ). Důkz Podle lemm existují celá čísl řešeí x, y vyhovující ovici x y jedo kokétí x 0, y 0 Z. Z podmíky 0 x musí pltit 0 x0 t ; t Z, kde x 0 eí ásokem (viz. výše). Těmto podmíkám vyhovuje pávě jedo t (existuje tedy 0 x t ). Rovice upvíme tv y y. 0 y y y, pokud je ekmeý zlomek 0, je souči větší ež. y 0 y 0 y mi(, ), lezli jsme i hodotu přiozeého čísl. Důkz je hotov. Nyí po cioálí číslo 0 0 ;, N, podle lemm jdeme přiozeá čísl. s dými vlstostmi: ; 0 ; 0 mi(, ). Mg. Jomí Osčádl St 6 Egyptské zlomky
Mg. Jomí Osčádl St 7 Egyptské zlomky Pokud se, můžeme postup opkovt, jik je ozkld kmeé zlomky hotov. Při pokčováí dosteme poslouposti o pvcích. Jmeovtelé tkových kmeých zlomků tvoří klesjící posloupost., poto jsou jedotlivé kmeé zlomky ůzé. Vět 5 Kždé cioálí číslo v zákldím tvu 0 ;, N lze vyjádřit pomocí Golomov lgoitmu mximálě vzájemě ůzými kmeými zlomky. Jmeovtelé kmeých zlomků tohoto ozkldu jsou meší eo ové výzu. Důkz Důkz plye z lemm vlstostí Golomov lgoitmu uvedeých výše. Posloupost 0 je klesjící, tudíž tkových hodot může ýt je. Stejě klesjící je i posloupost j jmeovtelů. Největší Příkld 5, potože Vyjádřete zlomek 7 pomocí Golomov lgoitmu.. Hledejme 0 7, 0 vyhovující ovici 7. ; 5; 7 7 7 5 5 5 Hledejme 0 5, 0 vyhovující ovici 5. ; ; 5 5 5 5 Výsledý ozkld je:. 7 5 5 5 5 Mg. Jomí Osčádl St 7 Egyptské zlomky
Mg. Jomí Osčádl St 8 Egyptské zlomky.. Edösův lgoitmus Jede z ejhezčích postupů uveřejil oku 950 P. Edöse. Pomocí ěho dokázl, že kždé 8l cioálí číslo 0 ;, N lze zpst ejvýše ůzými kmeými zlomky l l s jmeovtelem ejvýše hodoty Vět 6 l. l l Nechť p q jsou přiozeá čísl, po kteá pltí eovost p q!, pk číslo p lze zpst jko součet mximálě q ůzých dělitelů čísl q!. Důkz Teto důkz povedeme mtemtickou idukcí.. kok výok pltí po q. Přiozeé číslo meší ež! Je pouze jedičk t sm je dělitelem!.. kok Předpokládejme pltost po q k.. kok Pokusíme se dokázt pltost po q k. Zpíšeme číslo p ve tvu p k z; N 0; z 0,,,, k i i j i k p k! ( k )!. Podle. koku je číslo d ; k ; d d j i ; kde větší ež je hotov. d jsou dělitelé k! p k d z k d z i i i i i i i j i * k z. p d ; k; d d j i ; kde k d i jsou dělitelé k! * d i jsou dělitelé k!. Důkz N této větě je postve celý lgoitmus. Po kždé cioálí číslo 0 ;, N lze jít pávě jedo N s vlstostí!!. Podoě lezeme z N splňující! eovost z z. z z. Podle věty 6 lze číslo z zpst součtem ůzých dělitelů!. Z těchto eovostí dále dosteme: z! z 0! z!. Poto i!! hodotu! z lze vyjádřit jko součet ůzých dělitelů!. z d i i ;! z s d * i i ; 0 s Mg. Jomí Osčádl St 8 Egyptské zlomky
Mg. Jomí Osčádl St 9 Egyptské zlomky Mg. Jomí Osčádl St 9 Egyptské zlomky d d z z z z s i i i i!!!!!!! *. i d i * i d jsou dělitelé!, poto d d s i i i i!! * předstvuje součet kmeých zlomků. s i i i i s i i i i u u d d * *!! Dokžme, že jsou tyto kmeé zlomky vzájemě ůzé. Potože i d jsou vzájemě ůzé * i d tké, shod kmeých zlomků y yl možá je po ějkou dvojici * v u w u d d w v!! * d d w v *, to je le ve spou s eovostí s i i w z d d * *!. Dostli jsme se ke spou, tudíž všechy kmeé zlomky získé tímto postupem jsou vzájemě ůzé. Potvdili jsme spávost lgoitmu. Příkld 6 Vyjádřete zlomek 7 pomocí Edösov lgoitmu.! 7! ; 0 7 7 7 7! 7! z z z z z ; 8 8 68 8! 7 0 7!! 0 7.
Mg. Jomí Osčádl St 0 Egyptské zlomky. Opece se zlomky Ukázli jsme si čtyři ůzé postupy lezeí zápisu cioálího čísl ve tvu egyptského zlomku. Někdy mohou vést ke stejému výsledku, jidy dosteme ůzé ozkldy. To zmeá, že ozkld eí jedozčý existuje moho vit ozkldu. N podpou tohoto tvzeí si můžeme ukázt i plikci ovostí:, 6 x x x 6x x x x. x Pokud seřdíme zlomky podle velikostí te ejmeší hdíme ozkldem podle výše uvedeých ovostí, dosteme ový ozkld, kdy ové zlomky jsou meší ež hzeý zlomek. Tkový zápis opět splňuje defiici egyptského zlomku. Příkld 7 Pomocí uvedeých ovostí lezěte dlší zápisy egyptského zlomku, 6 8 8. 5 5 5 0 5 0.. Zákldí tv poováváí zlomků. U cioálích čísel jsme zvyklí moho tvů zápisu cioálího čísl, le máme zvede jedoduchý zákldí tv, kteý lze kždý zlomek upvit. V tvu egyptského zlomku tkový zákldí tv (zápis) eexistuje. Jko ltetivu, můžeme uvézt tv získý hldovým lgoitmem. Algoitmus je jedozčý dá se zjistit, zd dý tv tímto lgoitmem vzikl. Seřdíme kmeé zlomky sestupě podle velikosti. Pokud v zápisu je zlomek, pk součet u i meších zlomků včetě ěho musí ýt meší ež u i, jik eyl vyá te ejvětší kmeý zlomek dle lgoitmu. Pokud toto pltí po všechy kmeé zlomky v zápisu, je teto tv vziklý hldovým lgoitmem můžeme ho povžovt z zákldí tv egyptského zlomku. Příkld 8 Učete zd egyptské zlomky jsou zpsáy Fiocci Sylvesteovým lgoitmem. ) 5 660 5 660 Mg. Jomí Osčádl St 0 Egyptské zlomky
Mg. Jomí Osčádl St Egyptské zlomky 659 660 5 660 5 660 7 5 660 9 V příkldě ) je zápis výsledkem hldového lgoitmu. ) 65 6 66 66 66 6 66 V příkldě ) eí zápis výsledkem hldového lgoitmu. 6 66 66 8 5 5 0 5 7 070 Vlstosti zápisu egyptského zlomku z hldového lgoitmu tké umožňují ychlé poováí velikostí zlomků. Pokud opět kmeé zlomky v tkovém zápisu seřdíme sestupě, už při pvím ozdílu kmeých zlomků můžeme říct, kteé číslo je větší. Pokud se totiž do zytku zlomku vejde ejvětší jiý kmeý zlomek, lze ozhodout, kteý součet zlomků je větší. Příkld 9 Kteé z čísel 8 7 9 8 je větší? Vytvoříme zápisy těchto zlomků hldovým lgoitmem.. 7 ; 8 8 8 7. 9 8 8 Rozdíl je v posledím zlomku Příkld 0 7 8. 8 8 9 Kteé z čísel 5 6 v zákldím tvu egyptského zlomku je větší?. 5 6 Mg. Jomí Osčádl St Egyptské zlomky
Mg. Jomí Osčádl St Egyptské zlomky Pokud eí zlomek zpsá v zákldím tvu, je vhodější o zlomky vyjádřit jko ásoky společého dělitele. Teto postup ejspíše používli i Egypťé. Příkld Kteé z čísel 6 5 5 8 je větší? O zlomky můžeme vyjádřit jko ásoky. 0 6 5 5 8 6 5 60 0 8 60 5 5 8 0 0 88 99 0 0 Tkto si dělili zlomky i egyptští písři (mohli le použít i ásoky zlomku 5, eo 0, ). 60.. Sčítáí odčítáí zlomků Postup sčítáí egyptských zlomků velmi přesě popisuje H. Vymzlová: Sčítáí zlomků se povádělo převedeím společého jmeovtele. Opoti dešímu postupu všk v egyptských výpočtech z společého jmeovtele emusel ýt zvole ejmeší společý ásoek, tkže hodoty odpovídjící čittelům mohly mít i podou zlomku. Hodot čittele se připsl čeveým ikoustem pod kždý zlomek ve výpočtu, přičemž zvoleý společý jmeovtel měl hodotu. Tto čeveá čísl jsě zchycovl vzth toho kteého zlomku k osttím hodotám ve výpočtu... 8 Po výuku ych dopoučil použít společý jmeovtel všech kmeých zlomků. Ve skutečosti to le zmeá vše převést jede zlomek te zpátky egyptský zlomek. Tuto metodu lze upltit po sčítáí i odčítáí. Nvíc je teto postup uivezálí. Egypťé ejspíš le vycházeli i ze zkušeostí pokud všechy sčíté kmeé zlomky yly ůzé, echli součet v dém tvu. Jestli se vyskytly stejé zlomky, použili tulky, příkld tu uvedeou v Rhidově ppyu, eo Kožeém svitku. I tkový postup je koečý, pokud si dé zlomky seřdíme úpvy povádíme od ejvětších ž po ty ejmeší. 8 VYMAZALOVÁ, H. Stoegyptská mtemtik: hietické mtemtické texty. Vyd.. Ph: Český egyptologický ústv, 006, 55 s. Dějiy mtemtiky (Český egyptologický ústv), sv.. ISBN 80-70-856-. st 7. Mg. Jomí Osčádl St Egyptské zlomky
Mg. Jomí Osčádl St Egyptské zlomky Kvlit písře se pokázl jeho zlostí převodích tulek schopostí zpst výsledek co ejjedodušeji. Příkld Sečtěte zlomky ) ) 8 8 ) 8 5 c) 9 ; eo v zákldím tvu 8 ) 5 9 9 5 6 9 5 c) 5 0 6 90 7 7 0 90 7 90 6 7 90 7. 7 8 8 Při odčítáí teto zjedodušeý postup elze oecě použít. Je vhodé odečíst stejé zlomky zytek převést společého dělitele. Příkld Zpište ozdíl ve tvu egyptského zlomku. ) ) ) 8 7. 68 56 6 8 9 8 6 9 7 Příkld Úloh z Rhidov ppyu 9 7 8 7 ) 7 8 8 8 7. 8. 6 9 R: 5 doplňte do. 5 0 5 5 5 5 0 Zkoušk: 5 5 5 5 Skutečý zápis ppyu vypdl tkto: Řeke se ti: co doplí 5 do? 0 celkem zytek 5 5 Mg. Jomí Osčádl St Egyptské zlomky
Mg. Jomí Osčádl St Egyptské zlomky (zde si zvolili z společého jmeovtele 5 čísly pod zlomky vyjádřili kolik ptácti zlomek vyjdřuje). Počítej s 5, ž jdeš. 5 0 \ 5 \ 5 Celkem. Tedy 5 5 Metod zkoušky: Doplí se 5 5 se k tomu přičtou. 5 k. 0 celkem 5. Jié 6 0 se přičtou. Egypťé yli zvyklí výsledek ověřit. To smo svědčí o systemtičosti zvedeých pvidlech po řešeí příkldů. Jiý výsledek eí popsá, le při převedeí šedesátiy je teto výsledek předvídtelý... Násoeí děleí Násoeí poíhlo podle pvidel v kpitole... Skupi zlomků jedoho součiitele se vyásoil jedotlivými kmeými zlomky duhého. Egyptský způso ásoeí yl po to ideálí. Výsledé zlomky se potom sečetli. Egypťům teto postup umožňovl zcházet se zlomky stejě jko s celými čísly. Po součsté studety je še ásoeí přeci jeom přehledější. Příkld 5 Úloh z Rhidov ppyu R7:Vypočítejte souči zlomků 8 8 8 7 Neo: 8 7 8 8 6 56 6 8 8 8 8 56. 56 Mg. Jomí Osčádl St Egyptské zlomky
Mg. Jomí Osčádl St 5 Egyptské zlomky Skutečý zápis ppyu vypdl tkto: Metod doplňováí 8 8 56 6 7 Celkem. 8 Egypťé zvolili z společého jmeovtele 8. V pvím řádku jsou dé ásoky v duhém lezeme kolik kmeým zlomkům s jmeovtelem 8 dý ásoek odpovídá. Všiměte si, že lze jedoduše dopočítt vyjádřeí ásoku dého zlomku v (je uvede 8 pod zlomkem). Npříkld 8 se vejde do 8 pávě. Děleí v kpitole.. ylo popsáo jko ivezí postup k ásoeí. Egypťé hledli ásoky dělitele, kteé dly dohomdy děleec. Možá mohé pde, poč v Příkld 5 zvolili společého jmeovtele 8, le pokud se příkld podíváme z pohledu učitele, kteý chce dostt hezký výsledek při vyásoeí čísl, zčeme děleím, potom se 8 8 ízí jko logický dělitel. Příkld 6 Vydělte číslo číslem. 8 Společý jmeovtel je 8. odpovídá, číslo 8 hodoty podle zvyklostí Egypťů. 8 předstvuje 8. Přepišme tyto 8 \ \ \ 8 8 56 6 7 8. Zkouškou je Příkld 5. Vidíte, že vizuálě je teto zápis po- Výsledek je doý ásoeí. Mg. Jomí Osčádl St 5 Egyptské zlomky
Mg. Jomí Osčádl St 6 Egyptské zlomky Děleí je součástí úloh o kvlitě chle piv, eo výpočtů možství měřic jede chle. Dá se využít i v dlších jedoduchých slovích úlohách, kteé se řeší v Rhidově ppyu. Příkld 7 Úloh z Rhidov ppyu R: Možství, jehož jeho dostete 0.) k ěmu přidé djí 0. (Učete číslo, ke kteému když přičtete Zde řešíme ovici x x 0 x 0 x 0 :. \ 7 \ 7 8 Čtyřásoek dvojásoek djí víc jk deset, poto vyeeme čtyřásoek jedoásoek. Do deseti chyí Jed čtvti je tedy 7 dělitele. 5, vyé ásoky předstvují 5. Jedoásoek předstvuje 7. \ 7 8 \ Výsledek je Metod zkoušky: 5. 7 \ 5 \ 7 \ 8 8 8 56 Celkem 9 zytek = 8 7 8 8 56 8 0. 8 = 7 celkem. Vidíme, že i děleí mělo svůj postup logický řád. Vol společého jmeovtele podílových zlomků eí áhodá. Dopočítáme kolik chyí zlomků společého jmeovtele pk si Mg. Jomí Osčádl St 6 Egyptské zlomky
Mg. Jomí Osčádl St 7 Egyptské zlomky učíme, kolik těchto zlomků je v děliteli. Z převáceé hodoty tohoto počtu získáme jede chyějící zlomek hledáme už je jeho potřeé ásoky. Sice jsme poodhlili, jk počítli Egypťé, le še součsé symolické metody mjí ozdíl od tohoto postupu řdu výhod. Stále je všk co odivovt dovedostech stých písřů, kteří většiu výpočtů dělli zpměti v tomto postupu se ezttili. Mg. Jomí Osčádl St 7 Egyptské zlomky
Mg. Jomí Osčádl St 8 Egyptské zlomky. Výukový mteiál Tém egyptských zlomků je zjímvé, poto se dá využít i ve výuce. Můžeme ho upltit v pojektových dech o stověkých říších, eo je v mtemtickém semiáři. Zhjeme si s imi písře z Egyptské říše, eo se steme původci odhloví tjemství úloh stých ppyech. Zásdím úkolem je motivce žáků jejich změstáí ktiví čiostí. egyptské zlomky lze použít i pocvičováí páce se zlomky. V tkovém přípdě se změříme je vytvořeí zápisu egyptských zlomků opece se zlomky v tomto tvu... Pezetce pcoví listy Pezetce pcoví listy jsou modeími postředky podpou výuky. Pezetce slouží je jko podpo výuky. Součsé děti pojekci psivě sledují ejsou zvyklé při této čiosti přemýšlet pcovt, poto jsem k pezetci vytvořil pcoví listy, kteé utí žáky k pozoosti ktiví čiosti. Pokud studeti píší, odpovídjí kldeé otázky, využívjí zlosti v příkldech, vysvětlují své poztky osttím zpojují své myšleí všemi smysly, pk si lépe dou látku pmtují vytvářejí větší myšlekovou síť spojeou s dými ifomcemi. Pcoví listy jsou tedy povázé s pezetcí. Výjimkou je pví motivčí úloh pcovím listě. části, kde můžete děti zpojit do diskuze, co vědí o stém Egyptě zytek ifomcí doplí v půěhu hodiy. Oázek Náhled dymického símku se skytým textem V pezetci je zčé možství skytého textu, kteý odhlíte klikutím symoly smjlíků. V půěhu výuky eí uté pospícht s odhlováím těchto textů výsledků. Lepší je k pojektou použít ěžou, eo i itektiví tuli po zápis studetů jejich řešeí. Potože příkldů je velké možství. Ještě před zčátkem hodiy si vyete úlohy, kteé uděláte se žáky zytek uložte z domácí úkol. Při kotole úkolu můžete zozit řešeí z pezetce. Pví sdu tvoří souoy JkPočítliVeStémEgC.ppt PcovíListyEgC.doc. Kocepce tohoto mteiálu je jedu vyučovcí hodiu. Je to jedoduchý úvod do témtu. Žáci se učí ozpozávt písm stověkého Egypt, zpisovt čísl v hieoglyfech, sčítt odčí- Mg. Jomí Osčádl St 8 Egyptské zlomky
Mg. Jomí Osčádl St 9 Egyptské zlomky tt čísl v této podoě pozkoumt egyptský lgoitmus ásoeí děleí. Potože se jedá o zákldí opece, žáci y měli pcovt ez klkulček. Oázek Náhled pcovích listů Símky Símky 5 8 Símky 9 Slouží k motivčímu úvodu do témtu, můžete se studety ozvést diskuzi tém, co zjí ze stoegyptské civilizce. Úkol pcovím listě. K tomuto úkolu y se žáci měli vcet. Ifomce po teto úkol udou sít po celou hodiu, zytek mohou dohledt z domácí úkol. Přehled užívých písem ve stověkém Egyptě. Žáci zde mohou zpst své jméo pomocí hieoglyfů; úkol. Přehled dochových stoegyptských textů. Zde je vhodé zstvit se d pojmem ostko. Smjlíky odkzují símky s ukázkmi těchto textů. Po ávt z ukázek je uté použít tlčítko ávtu:. Símky 7 Popis zápisu čísel v hieoglyfech; úkol. Símky 8 Símky 7 Sčítáí odčítáí v hieoglyfickém zápisu. Čeveé smjlíky zozují ský zápis čísel, modé zviditelí hieoglyfický zápis; úkol 5 6. Popis lgoitmu ásoeí děleí. Všechy příkldy jsou stáce fázové s celým postupem. Pokud chcete imci postupu přeskočit, použijte tlčítko dlší: ; úkol 7, 8, 9 0. Duhou sdu tvoří souoy JkPočítliVeStémEgC.ppt PcovíListyEgC.doc. Kocepce tohoto mteiálu je pět vyučovcích hodi. Potože se jedá o zákldí opece pocvičováí dovedostí při páci se zlomky, měli y žáci pcovt ez klkulček.. hodi Símky Motivčí lok. Důležitým pojmem jsou kmeé zlomky; úkol ž. Mg. Jomí Osčádl St 9 Egyptské zlomky
Mg. Jomí Osčádl St 0 Egyptské zlomky Símek Símek 6 Úloh s kmeíky, můžete studetům povědět přepisem zlomku sedmdesátiy zeptt se, zd se do zlomku vejde jed polovi; úkol 5. Tto část je ávodem hldový lgoitmus. Hledáí ejvětšího kmeého zlomku. Nepospíchejte echte děti vymýšlet postupy po pví část úkolu 6.. hodi Símky 7 0 Důkz ozkldu zlomků /. duhá část úkolu 6. Símek 6 Símek 7 5 Důkz ozkldu zlomků /. třetí část úkolu 6. Tuto část můžete vyecht, pokud máte slší skupiu. Zytek důkzu hldového lgoitmu mtemtickou idukcí. Diskuze d moh způsoy zápisu egyptského zlomku; úkol 7 8.. hodi Símky 6 8 Defiováí zákldího tvu egyptského zlomku jeho ověřeí. Poováváí zlomků; úkol 9 ž.. hodi Símky 9 56 Postupy sčítáí odčítáí; úkol 5 ž 8. Símky 57 59 Násoeí celým číslem, ásoeí; úkol 9. 5. hodi Símky 60 68 Postupy ásoeí děleí; úkol 0 ž. Símky 69 76 Úlohy děleí; úkol. Símek 77 8 Biáí ozkld, ázk zákldě geometické poslouposti; úkol 5. Příkldů je v této části velmi moho, poto epočítejte s žáky všechy. Nechte studety ěkteé úlohy dopcovt z domácí úkol. Pokud udete chtít vše počítt při hodiě, ude výuk miimálě o jedu ž dvě vyučovcí hodiu delší. Oě části jsou přiložeém CD... Moodle kuz Modeím tedem při výuce je využití LMS potálů. Jede z ejozšířeějších potálů je Moodle. Jedá se o Ope Souce pojekt, kteý je školám dostupý jeho vývoji se podílí i čeští vývojáři. Vytvořeý kuz je ve vezi.. Npojeím školí síť s přihlšovcí systém získávjí studeti potál, kde jdou veškeé učeí mteiály přístupé z liovolého weového pohlížeče. Stejé výhody poskytuje i vyučujícím, kde mohou studetům poskytout mteiály, hodotit jejich páci testovt je. Využité ástoje jsou ozděley do dvou částí. Pví tvoří studijí mteiály (odkzy souoy pezetcí, pcovích listů, histoických přehledů, modul kih, modul předášk iteetové odkzy výpočty egyptských zlomků). Duhou částí jsou ktivity po studety (předášk ve fomě Flsh Cd, slovíček Mg. Jomí Osčádl St 0 Egyptské zlomky
Mg. Jomí Osčádl St Egyptské zlomky s úkolem doplňováí pojmů k témtu, místo odevzdáí pcovích listů v elektoické podoě, test). Kuz je dostupý dese https://www.psli.cz/moodle/couse/view.php?id=8. Přihlásit se jko učitel můžete uživtelské jméo teche s heslem M+oo9dle7. Oázek 5 Ukázk kuzu Mg. Jomí Osčádl St Egyptské zlomky
Mg. Jomí Osčádl St Egyptské zlomky Předášk Egyptské čísl počítáí je itektiví vitou Pezetce Egyptská čísl (pví pezetce z kpitoly.). Je vhodá po smostudium, eo po zopkováí pvího výukového loku z kpitoly.. Modul Kih s ázvem Mtemtické ppyy je přehledem mtemtických textů stého Egypt. Všechy použité citce v tomto přehledu jsou řádě ozčey. Pezetce pcoví listy jsou popsáy v předchozí kpitole. Iteetové odkzy v části Dlší mteiály předstvují převážě glicky psé texty plikce. Texty ejsou áočé, poto studeti, kteří se učí středí škole glický jzyk, y měli umět tyto odkzy efektivě využít. České odkzy jsou je histoické pomáhjí žákům zřdit ifomce do histoických souvislostí. Blok čiostí zčíá předáškou typu Flsh Cd, t pomáhá k upevěí pojmů zlomků defiových symolem vedžt. Otevřeý slovík Doplňte slovíček o ové pojmy, vede žáky k ktivitě zpsáí témtického pojmu podle výěu. Je to tvořivá páce výsledkem je mteiál, kteý lze dále použít. Dlší odkzy jsou je místem elektoické odevzdáí pcovích listů. Pokud se le jedá o žáky vší školy, pefeujte osoí odevzdáí ukou doplěých pcovích listů. Úkoly pcovích listech pomáhjí udžovt pozoost zápis úloh upevňuje zpmtováí si ových dovedostí. N LMS potálu můžete stvit je dtum odevzdáí. Posledí čiostí je test. Test v elektoické podoě eumožňuje hodotit postupy, poto jsou jedotlivé úlohy změřeé dopočítáváí poováváí v zápisu egyptských zlomků. Test epocvičuje opece s egyptskými zlomky, le je jejich zápis. Pokud chcete otestovt postupy, vytvořte jedoduchý úkol odevzdáí příkldu v čsovém omezeí. Nevýhodou elektoického testu je, že žáci mohou využít plikce klkulčky, tulkového pocesou výpočetího softwu (pogm MATHEMATICA), kteý mjí pcovích sticích. Při testu eměli žáci zpřístupěé výukové pezetce. Výsledý kuz je přiložeém CD... Odzkoušeí ve třídách Teto modul yl odzkouše dvou skupiách třídy L v předmětu Semiář z mtemtiky. Po pví skupiě jsem pezetce pcoví listy upvil, odstil jsem evhodé příkldy, opvil evhodé úlohy v testu. Pví skupi yl ychlá celý lok zvládl v pláovém čse šesti hodi. Tito studeti smi přišli zefektivěí postupu ásoeí ásoky deseti hldový lgoitmus se učili velmi ychle používt. Duhá skupi yl pomlejší, celý lok zvládl z sedm vyučovcích hodi. Potože se jedlo o duhý očík, vyechl jsem v oou skupiách iáí lgoitmus. Zjímvé ylo sováí výsledků z testů. Oě skupiy dopdly podoě. Z pví skupiy (L A žáků) pslo test devět studetů. Čtyři dosáhli mximálího početu odů, dv získli 85 % odů tři 70 %. Z tohoto pohledu se zdá, že test yl jedoduchý. Škálu zámkováí ych vhovl v hoích šedesáti pocetech s ozděleím po 0 % stvit čsové omezeí testu 5 miut šest úloh.(0 % ž 60 % edosttečě, 60, % ž 70 % dosttečě, 70, % ž 80 % doře, 80, % ž 90 % chvliteě, zytek výoě). Z duhé skupiy (L žáků) pslo test tké devět studetů. Výsledky opět yly ozložeé v ozshu 50 % ž 00 %. I s dou škálou jsou výsledky dpůměé. Je to důsledek toho, že studeti mohou počítči využít itegovou klkulčku, eo istlov- Mg. Jomí Osčádl St Egyptské zlomky
Mg. Jomí Osčádl St Egyptské zlomky é pogmy. Dopoučil ych test vytiskout vyzkoušet v písemé podoě. Jeho součástí tk ude i páce se zlomky počítáí zpměti. Počítč zde eí vhodým ástojem. Gf Výsledky skupiy L A Gf Výsledky skupiy L B Mg. Jomí Osčádl St Egyptské zlomky
Mg. Jomí Osčádl St Egyptské zlomky Při zvoleém ozvžeí dosteme výsledky zpsé v ásledující tulce. Skupi\Zámk 5 Skupi L A 0 0 Skupi L B 5 Celkem 9 V pocetech 50,0 % 6,7 % 5,6 %, % 5,6 % Tulk Výsledá zámk z testu Výsledek eodpovídá omálímu ozložeí, le domívám se, že lepšího ozložeí dosáheme použitím písemých testů. Výsledky v oou skupiách jsou podoé. Úlohy jsou jedoduché kždý žák y je měl lehce zvládout, pokud doře ovládá páci se zlomky. Mg. Jomí Osčádl St Egyptské zlomky
Mg. Jomí Osčádl St 5 Egyptské zlomky Závě Úkolem páce ylo zmpovt postupy po zápis egyptských zlomků vytvořit studijí mteiály po výuku tohoto témtu. Po studiu Egyptských mteiálů jsme zjistili, že Egypťé měli popcový logický systém, kteý u všech zákldích opecí vedl k získáí výsledků. Možá se ěkomu zdjí dé opece s egyptskými zlomky příliš složité, le stověký svět ezl áš součsý symolický zápis musel vymyslet efektiví postup po páci se zlomky ez pozičího zápisu čísel. Tém je velmi zjímvé dá se eustále ozvíjet, stejě jko vytvořeé mteiály. Uvedeé čtyři postupy zápisu cioálího čísl ve tvu egyptských zlomků ejsou jedié, le ptří k těm zásdím. Nejlépe můžeme při výuce středí škole využít tkzvý hldový lgoitmus, le i zylé postupy jsou středoškolským studetům přístupé. N tomto témtu si mohou žáci pocvičit páci se zlomky, hledáí společého dělitele, páci s přiozeými i cioálími čísly. Výsledkem jsou i výukové pezetce kuz v postředí Moodle odzkoušeý dvou skupiách duhého očíku. Pokud si uvědomíme, že tyto postupy v jisté podoě plikovli Egypťé v odoí Sté říše, můžeme odivovt jejich dovedost předstvivost. Zmeá to, že stří Egypťé sice měli jedoduché postředky, le jejich myšleí, ogizčí schoposti postupy jim umožily vytvořit úžsá díl, kteá můžeme odivovt i my. To je důkzem, že ozdíl mezi lidmi stověkého svět ámi je je v techických vymožeostech zlostech získých z celou dou ší civilizce. Nši předci eyli hloupí, yli schopi stejých úvh předstv. Písemé zázmy víc dokzují, že yli schopi celou řdu úvh postupů povádět zpměti. U tk stktích pojmů, jko jsou cioálí čísl, je to odivuhodé. Mg. Jomí Osčádl St 5 Egyptské zlomky
Mg. Jomí Osčádl St 6 Egyptské zlomky Použitá litetu [] BEČVÁŘ, Jidřich, Mti BEČVÁŘOVÁ H VYMAZALOVÁ. Mtemtik ve stověku: Egypt Mezopotámie.. vyd. Ph: Pometheus, 00, 7 s. Dějiy mtemtiky (Pometheus), sv.. ISBN 80-79-655-. [] VYMAZALOVÁ, H. Stoegyptská mtemtik: hietické mtemtické texty. Vyd.. Ph: Český egyptologický ústv, 006, 55 s. Dějiy mtemtiky (Český egyptologický ústv), sv.. ISBN 80-70-856-. [] VYMAZALOVÁ, H Filip COPPENS. Moudost svitků oh Thovt: vědecké pozáí z vlády foů. Vyd.. Ph: Uivezit Klov v Pze, Filozofická fkult, 0, 5 s. ISBN 978-807-08-588. [] VYMAZALOVÁ, H. Počty v zemi foů: mtemtik stvitelů pymid. Ph: Český egyptologický ústv Filozofické fkulty Uivezity Klovy v Pze, 008, s. ISBN 978-80-76-5-. [5] BLEICHER, M.N. A ew lgoithm fo the expsio of Egypti fctios. Joul of Nume Theoy. 97, vol., issue, s. -8. DOI: 0.06/00-X(7)90069-8. Dostupé z: http://likighu.elsevie.com/etieve/pii/00x7900698 [6] GILLINGS, Richd J. Mthemtics i the time of the phohs. New Yok: Dove, 98c97, x, 86 p. ISBN 0-86-5-X. [7] STACHOVCOVÁ, Ld. Vyjádřeí cioálího čísl pomocí egyptských zlomků. Učitel mtemtiky. Ph: Jedot českých mtemtiků fyziků, 00, oč. 9, č., s. 8. [8] BERAN, Ldislv Mil TRCH. Egyptské zápisy zlomků II: Postupé edukce zlomků. Učitel mtemtiky. Ph: Jedot českých mtemtiků fyziků, 00, oč. 8, č., s. 8. [9] BERAN, Ldislv Mil TRCH. Egyptské zápisy zlomků IV: Otížě vyjádřitelé zlomky. Učitel mtemtiky. Ph: Jedot českých mtemtiků fyziků, 00, oč. 8, č., s. 8. [0] Egypti Fctios. LOY. Jim Loy's Egypti Hieoglyphics d Egyptology Pge [olie].. vyd. 998 [cit. 0-05-6]. Dostupé z: http://www.jimloy.com/egypt/fctio.htm. [] KNOTT, D Ro. Egypti Fctios. UNIVERSITY OF SURREY. Egypti Fctios [olie]. Mcheste, 996-008, 008-0-6 [cit. 0-05-6]. Dostupé z: http://www.mths.suey.c.uk/hosted-sites/r.kott/fctios/egypti.html [] EPPSTEIN, Dvid. Te Algoithms fo Egypti Fctios. UNIVERSITY OF CALI- FORNIA. Mthemtic i Eductio [olie]. 995. vyd. Clifoi, 995 [cit. 0-05-6]. Dostupé z: http://liy.wolfm.com/ifocete/aticles/96/egypti.?file_id=89 Mg. Jomí Osčádl St 6 Egyptské zlomky