Úvod do zpracováí měřeí Teore chb Opakujeme-l měřeí téže fzkálí velč za stejých podmíek ěkolkrát za sebou, dostáváme zpravdla růzé hodot. Měřeé velčě přísluší však jedá správá hodota. Každou odchlku aměřeé hodot od správé hodot azýváme obecě chbou. Chbou měřeí X budeme rozumět rozdíl mez hodotou správou X a hodotou získaou měřeím, ted X X. () Chba může být jak kladá, tak záporá. Je-l chba kladá, musíme j k aměřeé hodotě přčíst, abchom dostal hodotu správou, a aopak j odečítáme, jde-l o chbu záporou. Udáváme-l chbu rozdílem správé hodot a aměřeé hodot daé velč, tj. absolutě, mluvíme o absolutí chbě měřeé velč. Rovce () je pak rovcí pro absolutí chbu. Jestlže vjádříme chbu relatvě vůč měřeé hodotě, docházíme k pojmu relatví chb měřeé velč. Relatví chbou δ měřeé velč rozumíme poměr absolutí chb X této velč a správé hodot velč X. Pro relatví chbu ted platí X δ. () X Relatví chbu lze také vjádřt poměrem aměřeé a správé hodot daé velč: δ. (3) X Relatví chba se velm často udává v procetech. Z obou uvedeých výrazů ( 3) je patré, že také relatví chba může abývat kladých záporých hodot. Podle jejch původu dělíme chb do tří skup: Chb hrubé vzkají př měřeí prováděém edbale ebo epozorě, s edokoalým č vadým přístroj, př užtí evhodé metod. Naměřeá hodota se př opakovaém měřeí začě lší od ostatích, a proto je uté j ahradt ovým měřeím ebo j př koečém zpracováí výsledků euvažovat. Chb sstematcké (soustavé) jsou způsobe stále stejým a pravdelým vlv, ted výsledek měřeí je soustavě větší ebo meší ež správá hodota. Podle toho můžeme sstematcké chbě přsoudt určté zaméko. Původ sstematckých chb je obvkle buď v měřící metodě (založeé a určtých zjedodušujících předpokladech), v měřících přístrojích (apř. posuutí počátku (ul) a stupc, závslost výchlk a měřeé velčě eodpovídá děleí stupce apod.), ebo ve způsobu čost pozorovatele (apř. odhad a zaokrouhlováí zlomků dílků a stupc, pozorováí stupce a ukazatele z evhodého směru chba úkosu, paralaa). V řadě případů je možo sstematcké chb vloučt vhodým korekcem. stematcké chb elze vloučt statstckým metodam. Chb áhodé vzkají zcela áhodě vzájemým působeím pozorovatele, přístroje a prostředí. Jejch původ emůžeme odhalt. Každou áhodou chbu můžeme považovat za složeou z velkého počtu velm malých áhodě vzklých a ojeděle epozorovatelých elemetárích chb. O těchto elemetárích chbách můžeme předpokládat, že jejch zaméka velkost jsou epravdelě rozděle a ab vzkla pozorovatelá chba, musí se jch složt větší počet. Elemetárí chb jsou kladé záporé a jejch složeím dojde pravděpodobě stejě často k chbám kladým záporým. Nejčastěj se sejde přblžě stejý počet elemetárích chb kladých záporých, čímž vzkou malé áhodé chb. Méě často se vsktuje případ, že převažují elemetárích chb stejého zaméka, a pak 5
vzke áhodá chba větší. Takové případ jsou málo pravděpodobé, takže počet áhodých chb bude s velkostí chb zatelě klesat. Chb sstematcké ás svým způsobem formují o správost měřeí, chb áhodé o přesost měřeí. Normálí rozděleí Obecě lze říc, že toto rozděleí je použtelé všude tam, kde a kolísáí áhodé velč působí velký počet epatrých a vzájemě ezávslých jevů. Pro ahodlé rozděleí měřeých hodot př počtu měřeí, které se blíží ekoeču, platí vztah, odvozeý Gaussem tzv. ormálí statstcké rozděleí, jemuž odpovídá aalogcké vjádřeí pro rozděleí četost áhodých chb. Ze statstckého rozboru tohoto problému ple ěkolk důležtých závěrů, které umožňují určt ejpravděpodobější hodotu měřeé velč a terval, v ěmž se dá očekávat skutečá hodota s předem zvoleou pravděpodobostí: Kdbchom mohl vkoat ekoečý počet měřeí, pak b z přesé platost zákoa četost plulo, že počet kladých chb je rový počtu záporých chb a že se ted součet všech chb rová ule. Artmetcký průměr všech měřeí b pak udával správou hodotu měřeé velč. Př skutečých měřeích můžeme ajít pouze ejpravděpodobější hodotu měřeé velč. Předpokládejme pro velču měřeím získaé hodot,,..,. Předpokládejme dále, že chb v jedom směru (kladé odchlk) jsou právě tak pravděpodobé jako chb ve směru druhém (záporé odchlk), takže součet všech chb je rove ule. Ozačíme-l pravděpodobou hodotu měřeé velč, pak platí ( ) + ( ) +... + ( ) (4) a odtud ple pro pravděpodobou hodotu měřeé velč výraz. (5) Pravděpodobou hodotou je artmetcký průměr aměřeých hodot. To ovšem ezameá, že artmetcký průměr je přesě rový správé hodotě. Jeho smsl je te, že kdbchom měl velký počet řad o koečém počtu měřeí, vedl b artmetcký průměr častěj ke správé hodotě, ež kdbchom hodotu měřeé velč počítal jakýmkol jým způsobem. Každá hodota k k udává odchlku měřeí od artmetckého průměru. Abchom určl středí chbu jedotlvého měřeí, emůžeme odchlk sečíst a dělt počtem měřeí, protože součet odchlek od artmetckého průměru je rový ule. Proto odchlk umocíme a sečteme; součet ozačíme. Dělíme-l teto součet počtem měřeí, dostaeme průměr ze čtverců chb, který se ve statstce azývá rozptl ebo také varace a začí se. (6) Odmoca z tohoto průměru je směrodatá odchlka. (7) Tuto hodotu bchom mohl považovat za středí chbu jedoho měřeí, kdb artmetcký průměr bl správou hodotou. Musíme však uvážt, že pro určeí směrodaté odchlk máme k dspozc je výběr ze souboru všech možých měřeí. Jedo měřeí potřebujeme k aměřeí hodot, zbývajících - měřeí ke kotrole výpočtu chb. Proto 6
pro výpočet středí chb jedoho měřeí bereme - místo. Výběrová směrodatá odchlka - azývaá též středí kvadratcká chba jedoho měřeí je. (8) Nás však bude především zajímat, jakou chbou je zatíže výsledek měřeí - artmetcký průměr. Teto průměr je staove z většího počtu aměřeých hodot, máme ted větší jstotu, že se skutečé hodotě blíží artmetcký průměr, ež pouze jedá hodota měřeí. Projeví se to v chbách: artmetckému průměru přísluší meší chb, ež jedotlvým měřeím. Teore chb vede k výsledku, že chba artmetckého průměru je krát meší ež chba jedoho měřeí, přčemž je počet měřeí. měrodatá odchlka artmetckého průměru (středí kvadratcká chba) je dáa vztahem ( ). (9) Vztah (9) eí přílš vhodý pro praktcký výpočet, protože pro výpočet odchlek od průměru je třeba mít průměr předem vpočítaý. Můžeme vjádřt: ( ) ( + ) ( ), () vužl jsme př tom skutečost, že ( ) Do (.9) dosadíme (.) a (.) a dostaeme a ( ) ( ). () ( ). () ( ) Na obrázku je akreslea fukce hustot pravděpodobost pro ormálí rozděleí. Obr. : Fukce hustot pravděpodobost pro ormálí rozděleí. 7
Plocha pod křvkou (tegrál fukce) je úměrá pravděpodobost, se kterou správá hodota může abývat hodot veseých a ose. V tervalu (-, ) (a obr. vbarveo tmavě) je tato pravděpodobost,683, to zameá. že v tomto tervalu b mělo být 68% hodot. V tervalu (-, ) (a obr. vbarveo světle tmavě) je pravděpodobost,955. V tervalu (-3, 3) pak je to,997. Kromě středí chb uvádíme ěkd také pravděpodobou chbu, která je rova /3 středí chb. Její výzam je teto: je stejě pravděpodobé, že chba jedoho měřeí (lbovolě vbraého) je meší ež pravděpodobá chba, jako že tato chba je větší ež pravděpodobá chba. Př velkém počtu měřeí je ted polova skutečých chb meší, druhá polova větší ež pravděpodobá chba. Pravděpodobá chba jedoho měřeí je ϑ. (3) 3 V ěkterých případech používáme ještě krají chbu χ, která je rova trojásobku středí chb: χ 3. U krají chb máme pravděpodobost 99,73 %, že se ám v měřeí evskte hodota s chbou větší ež je krají chba. Jedu chbu větší ež χ můžeme ted očekávat průměrě v 37 měřeích. Vzájemé vztah mez uvedeým chbam jsou ásledující: ϑ : : χ,67 :: 3. (4) tejé vztah jako mez chbam jedoho měřeí jsou mez odpovídajícím chbam artmetckého průměru. Na Gaussově křvce (obr. ) odpovídá pravděpodobé chbě hodota, jejíž pořadce dělí plochu Gaussov křvk a část, z chž prostředí zaujímá polovu celkové ploch, obě krají také polovu. Geometrcký výzam středí kvadratcké chb je te, že v místě má Gaussova křvka fleí bod. Ab blo zřejmé, do jaké mír je zaruče výsledek měřeí, přpsujeme k ěmu jeho středí kvadratckou chbu. Píšeme ted výsledek ve tvaru: ±. (5) Číselě uvádíme chbu zpravdla pouze a jedo platé místo a počet číslc ve výsledku omezíme tak, ab chba zasahovala pouze do posledího místa. Například: m(7,3 ±,4) g. V případě, že je matsa chb, uvádíme chbu zpravdla a dvě místa (apř. m(7,3 ±,) g). Pokud z ějakých důvodů uvádíme jou chbu ež středí kvadratckou, je třeba a teto fakt v tetu výslově upozort! Obr. : Závslost chb průměru a počtu měřeí. Chba průměru je vášea jako ásobek výběrové chb jedoho měřeí. 8
Je zřejmé, že čím větší počet měřeí vkoáme, tím máme větší jstotu př staoveí výsledé hodot a tím meší bude chba výsledku. Závslost středí chb artmetckého průměru a počtu měřeí je grafck zázorěa a obr.. Vdíme, že se vzrůstajícím počtem měřeí klesá chba artmetckého průměru zpočátku prudce, pak mírě. Z této křvk můžeme odhadout, kolk musíme vkoat měřeí,abchom dosáhl požadovaé přesost. Obvkle stačí měřt desetkrát; př dalším zvšováí počtu měřeí vzrůstá přesost výsledku je velm zvola. Výpočet artmetckého průměru a chb (příklad) Ručí zpracováí Posuvým měřítkem bla staovea desetkrát tloušťka, přčemž bl odhadová ještě deset dílků stupce. Výsledk jsou uvede v tabulce: (cm) (cm ),56,655,58,666 3,55,65 4,55,65 5,54,645 6,56,655 7,57,66 8,55,65 9,59,67,54,645 Σ,559,654873,559,559 cm Artmetcký průměr tloušťk je,559 cm. ( ),654873,559 /,654873,654848, 53 cm. ( ) 9 9 měrodatá odchlka artmetckého průměru je,53 cm. Zaokrouhlíme a jedu platou číslc: ±, 5 cm. Výsledek měřeí apíšeme tak, že k artmetckému průměru přpíšeme středí kvadratckou chbu zaokrouhleou a jedo platé místo: (,559±,5) cm. Pravděpodobá chba artmetckého průměru je rova dvěma třetám směrodaté odchlk: ϑ ±.,53 ±,35 cm. 3 3 Zpracováí v Ecelu Výpočet průměru s směrodaté odchlk průměru je v Ecelu velm jedoduchý. Pro výpočet artmetckého průměru obsahuje fukc PRŮMĚR(). Pro směrodatou odchlku průměru eí k dspozc přímá fukce a je třeba použít fukce MODCH(), která vrací směrodatou odchlku jedoho měřeí vpočítaou podle vztahu (.7). Abchom získal směrodatou odchlku průměru, je třeba tuto hodotu vdělt, v souladu se vztahem (.9), odmocou z počtu měřeí zmešeého o jedu. 9
Obr. : Výřez lstu Ecelu s výpočtem průměru a jeho směrodaté odchlk. Výpočet chb hodot fukce z chb ezávsle proměých Než přejdeme k určeí chb artmetckého průměru, předpokládejme, že máme z výsledků měřeí ěkolka vzájemě ezávslých velč,, z,, určt hodotu velč V f (,,z, ) (6) (Velča V je ted výsledkem epřímých měřeí). Jsou-l chb jedotlvých měřeých velč ( ), ( ), ( z),, (emusí to ovšem být právě směrodaté odchlk, mohou to být chb odpovídající jé pravděpodobost výsktu, avšak pro všech velč,, z,., stejého druhu), pak př počítáí chb velč V s m pracujeme podobě jako s dferecál ezávsle proměých. Z teore pravděpodobost pro chbu velč V dostáváme ( V ) f f [ ( ) ] + [ ( ) ] +.... (7) Je-l V f () (fukce jedé ezávsle promě), pak df ( V ) ( ) d f ( ) ( ). (8) Např. je-l V a, je ( V ) a ( ). Zavedeme-l relatví chbu ( ) ( ) k δ pak pro V je k δ ( V ) k ( ) (9) a odtud ( ) ( V ) δ V k. δ ( ). V () f f Pro V ± je, ± a ( V ) ( ) ( ) +. () Geometrck to zameá, že chbu součtu ebo rozdílu dvou velč určíme jako délku přepo v pravoúhlém trojúhelíku, o odvěsách rových velkostem chb jedotlvých sčítaců. Toto pravdlo sado rozšíříme a větší počet sčítaců. Pro souč V. dostaeme ( V ). ( ). ( ) + () ebo relatví chbu souču
( V ) δ ( ) δ ( ) δ +. (3) Vdíme, že relatví chba souču je vjádřea podobým vztahem, jako absolutí chba součtu. ado se odvodí podobé vztah pro chbu souču V.. z a podílu V. (Odvoďte sam, obojí pro relatví chb). Příklad : Vpočteme objem V válečku a jeho středí kvadratckou chbu ( V ) užtím vzorce V π. r. h, kde r je poloměr válečku a h jeho výška. Mkrometrem bl změře průměr d válečku: d (,44 ±,4) cm, posuvým měřítkem výška h válečku: h (4,56 ±,) cm. Vpočteme ejdříve poloměr válečku. d Poloměr r, cm. tředí chba poloměru je rova polově středí chb průměru: ( ) ( d ) r, cm. Poloměr válečku je ted r (,±,) cm. Dosadíme do vzorce V π. r. h : V3,4.(,). 4,56,5. Protože průměr je měře a čtř místa, výška a tř, počítáme objem zkráceě a čtř místa. Objem V,5 cm 3. tředí chbu tohoto výsledku vpočteme dosazeím do vzorce ( V ) ( V ) ( ) + ( V ) ± ( r ) h. r h V V Protože parcálí dervace a jsou r h V V πrh, πr, r h je ( V ) ± [ π r h ( r )] + [ π r δ ( h )] a po úpravě ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) r h V ± πr h + πr h. r h Absolutí středí chba výsledku je dáa vzorcem a relatví chba ( V ) ± V r ( r ) ( h ) + h ( V ) ( r ) ( h ) δ ( V ) ± +. V r h Numerck počítáme absolutí středí chbu objemu a jedo místo, tj pod odmocou a dvě místa růzá od ul:,4, ( V ) ±,5. + ±,5.,33 +,, 4,56
±,5.,+,5,5.,6 ±,5.,4 &,8. tředí kvadratcká chba objemu válečku je,8 cm 3. Výsledek píšeme ve tvaru: Objem V (,5±,8) cm 3. Pozámka : Př výpočtu jsme vděl, že relatví chba poloměru, který je ve vzorc pro výpočet objemu ve druhé mocě, se uplatla dvojásobě, blo b proto vhodé měřt poloměr s větší přesostí! Vpočteme ještě relatví chbu objemu: ( V ),8,38. V,5 Relatví chba objemu je,38, tj. přblžě,4%. Pozámka : U fukcí tpu u k m z vchází pro relatví chbu vztah u ( u ) k. ( ) m. ( ). ( z) ± Příklad : Určete objem koule z aměřeého průměru d: 3 Protože platí vztah V π 6 d, π určíme ( V ) d ( d ), ( V ) ( d ) takže 3. V d am zvažte, co ple z provedeého rozboru chb. + + z. Regresí aalýza V pra se často setkáme s úkolem, kd ějaká proměá je fukcí ezávsle proměé, ted f (). Z hodot {, } pak máme odhadout parametr fukčí závslost. Zpravdla předpokládáme, že hodot jsou dá pevě a hodot bl získá měřeím. Kdb měřeí hodot eblo zatížeo chbam, platlo b f ( ). Ve skutečost však platí f ( )+, kde je chba -tého měřeí. Bod [, ] jsou pak vlvem chb rozptýle kolem křvk f (). Obecě fukce f () obsahuje p ezámých kostat - parametrů, které ozačíme b,...b p-. Máme-l soustavou bodů [, ] proložt křvku f(;b,..., b p- ), musíme určt (statstck odhadout) ezámé parametr b,..., b p-, které se vsktují v rovc křvk. Př tom vžadujeme, ab se křvka co ejvíc přblížla blížla bodům [, ]. tatstcký odhad parametru b ozačme. Způsob odhadu závsí a tom, jak defujeme "přblížeí". Mohl bchom apříklad požadovat, ab součet absolutích hodot odchlek bodů od křvk bl mmálí. V pra se však ejčastěj za krtétum přblížeí považuje suma čtverců hodot f( ;,..., p- ) a odhadem parametrů,..., p- jsou pak hodot, které teto součet čtverců mmalzují. Ozačíme-l
3 ( ) ( ) p f,..., ;, (4) budou odhad urče z podmík m. (5) Touto podmíkou je vjádře prcp metod ejmeších čtverců. O křvce f(;,..., p- ) říkáme, že bla bod [, ] proložea metodou ejmeších čtverců. Nejčastěj se setkáme s případem, kd je očekávaá závslost leárí b +b. (6) Chceme ted alézt parametr a tak, ab co ejlépe odpovídal zadaým bodům. Podle (4 a 5) můžeme odhad a určt z podmík ( ). m (7) Hodot parametrů a, které mmalzují sumu čtverců odchlek, a (8) dostaeme soustavu dvou rovc + (9) a + (3) Jejím řešeím získáme odhad a, parametrů b a b : (3) (3) Podobě lze alézt odhad parametrů pro jé (složtější) regresí fukce. Bez odvozeí apíšeme odhad směrodatých odchlek a parametrů a. Ozačme:, (33) s, (34) směrodaté odchlk parametrů a pak vpočítáme ze vztahů: s (35)
s (36) Výpočet leárí regrese pomocí Ecelu K výpočtu leárí regrese metodou ejmeších čtverců slouží v Ecelu fukce LINREGREE(), která vrací matc parametrů regresí fukce. Protože fukce vrací matc, je třeba s í pracovat jako s matcovým vzorcem: ) ozačíme v lstu Ecelu prázdou oblast o pět řádcích a dvou sloupcích, do které se umístí výsledk leárí regrese. ) zadáme vzorec LINREGREE(;;b;stat), kde je pole závsle proměých (sloupec hodot ), je pole ezávsle proměých (sloupec hodot ), b je logcká hodota udávající, zda má být kostata rova (je-l b PRAVDA ebo, hodota se počítá, je-l b NEPRAVDA ebo, je pevě dáo ). 3) po apsáí vzorce zmáčkeme současě kláves Ctrl+hft+Eter (tím říkáme, že se má vzorec rozepsat do všech prvků matce); ebude-l vám výpočet regresí přímk fugovat, s vsokou pravděpodobostí jste místo Ctrl+hft+Eter odklepl je Eter Výsledá matce pak obsahuje hodot: r F ss reg počet stupňů volost ss resd kde a jsou odhad parametrů parametrů b a b z rovce (6), a jsou jejch směrodaté odchlk, r je koefcet determace, směrodatá odchlka odhadu, F je F-statstka (používá se př statstckém testováí), počet stupňů volost (v případě regresí rovce (6) je to počet hodot zmešeá o ), ss reg je regresí součet čtverců a ss resd rezduálí součet čtverců. Korelačí koefcet Mějme dvě řad proměých a. V předchozích kaptolách jsme se pokoušel alézt parametr optmálě charakterzující vztah mez těmto proměým. Míru závslost mez proměým je možé částečě odhadout ze směrodatých odchlek parametrů charakterzujících teto vztah, kd můžeme předpokládat, že čím větší jsou relatví chb těchto parametrů, tím slabší bude závslost. M však potřebujeme kvattatví velču, která ám popíše, jak se změí velča př ějaké změě velč. Př tom velč a mohou být zcela esouměřtelé. Abchom mohl velč a srovat, musíme je stadardzovat a to tak, že od každé velč odečteme průměr a rozdíl vdělíme směrodatou odchlkou. tadardzovaé velč + a + jsou defová vztah: + ( - )/, (37) + ( - )/. (38) Tím jsme zajstl, že + + mají ulovou středí hodotu a jedotkovou směrodatou odchlku. V tomto okamžku už můžeme dskutovat o tom, jak se změí + př ějaké změě +. Velčou, která popsuje teto vztah, je korelačí koefcet r. Korelačí koefcet je možé vpočítat ze vztahu: 4
r Zaměřme se a otázku, jakých hodot může korelačí koefcet abývat. Estuje-l mez velčam a poztví leárí závslost, pak vzroste-l o jedu směrodatou odchlku, vzroste o jedu směrodatou odchlku a r. Estuje-l mez velčam a egatví leárí závslost, pak vzroste-l o jedu směrodatou odchlku, klese o jedu směrodatou odchlku a r -. Neí-l mez proměým žádá závslost, edojde př jakékolv změě proměé k žádé změě proměé a korelačí koefcet r. Už rozumíme, jaký výzam mají etrémí hodot korelačího koefcetu. Pokusme se teď terpretovat, jaký výzam má korelačí koefcet,43 ebo,6. Hodota,43 dkuje, že s rostoucím roste, hodota -,6 pak zameá, že s rostoucím klesá. Pomocí korelačího koefcetu můžeme testovat ulovou hpotézu r, (mez proměým a eí závslost). Testovací velčou je r t. (4) r Je-l testovací velča t větší ež hodota tudetova rozděleí a daé hladě výzamost a s příslušým počtem stupňů volost, můžeme zamítout ulovou hpotézu r,. Druhá moca korelačího koefcetu se azývá koefcet determace a určuje, jak velká část rozptlu velč je vsvětltelá velčou. (39) Výpočet regresí přímk (příklad) Ručí výpočet Mějme deset epermetálě zjštěých dvojc a. zadaých prvím třem sloupc ásledující tabulk. Dopočítejme hodot, a, a doplňme je do dalších tří sloupců. počítejme v každém sloupc součet hodot a zapšme ho do posledího řádku tabulk: 338 438 338 343 4 739 685 3 3 348 9 66 447 4 4 354 6 5646 479 5 5 36 5 333 85 6 6 368 36 3538 77 7 7 37 49 386 66 8 8 379 64 43365 39 9 9 385 8 479 3463 39 57 395 Σ 55 3638 385 3648 4967 V posledím řádku tabulk máme všech velč potřebé pro včísleí vztahů (3-36). Dosazeím do vztahu (3) vpočítáme:.4967 55.3638 4877,59.385 55 85 5
a dosazeím do vztahu (3): ( 3638,59.55) 33, 3. Tím jsme vpočítal odhad parametrů a. Ní odhademe jejch směrodaté odchlk. Ze vztahu (33) vpočteme 3,5 a pak ze vztahu (34) s,665. Velču s dosadíme do vztahů (35) a (36) a dostaeme, 45 a, 73. Vpočítal jsme ted odhad parametrů regresí rovce ( 33,3,5) a,59, 7. ± Výpočet v Ecelu Vstupí hodot jsou ulože v lstu Ecelu: ± Vbereme v lstu Ecelu oblast o dvou sloupcích a pět řádcích a do příkazového řádku vepíšeme vzorec LINREGREE(C:C;B:B;;): Vložíme vzorec matcově do vbraých buěk současým stskem kláves Ctrl+hft+Eter: Ze zvoleé oblast ás ejvíc zajímají prví dva řádk. V prvím řádku jsou odhad regresích parametrů, ve druhém pak jejch směrodaté odchlk. 6