Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015
Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce
Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární algebra http://www.studopory.vsb.cz/studijnimaterialy/matematikai/mi.html (kap. 2,3) 2 Diferenciální počet: http://homel.vsb.cz/~s1a64/cd/pdf/print/dp.pdf 3 Integrální počet: http://homel.vsb.cz/~s1a64/cd/pdf/print/ip.pdf 4 Opakování středoškolské matematiky http://www.studopory.vsb.cz/studijnimaterialy/zaklady_matematiky/index.htm
Několik pojmů 4/ 41 Číselné množiny 1 Přirozená čísla N = {1, 2, 3,..., n,... } operace: sčítání a násobení 2 Celá čísla Z = {..., n,..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,..., n,... } operace: sčítání, odčítání, násobení { } p 3 Racionální čísla Q =, p, q Z, q 0 q (konečný nebo nekonečný periodický desetinný rozvoj) operace: sčítání, odčítání, násobení, dělení 4 Reálná čísla R: množina racionálních a iracionálních čísel (iracionální čísla: nekonečný neperiodický desetinný rozvoj 2, π) 5 Rozšířená množina reálných čísel R = R {, + }
Operace s (+ ) a ( ) 5/ 41 1 pro x R definujeme: x + (+ ) = +, x + ( ) =, x (+ ) = x x ( ) = +, + = 0, x = 0 2 (+ ) + (+ ) = +, ( ) + ( ) =, (+ ) ( ) = +, ( ) (+ ) =, (+ ) (+ ) = +, (+ ) ( ) =, ( ) ( ) = + 3 pro x R \ {0} definujeme: pro x > 0 pro x < 0 x (+ ) = + x (+ ) = x ( ) = x ( ) = + + + = + = x x = = + x x 4 nedefinované výrazy: dělení nulou, (+ ) (+ ), ( ) ( ), (+ ) + ( ) ±, 0 (± ), 1 ±, + jsou nevlastní body R
Pomocné pojmy 6/ 41 Okoĺı bodu v R Je-li x 0 R, pak okoĺım bodu x 0 nazýváme každý interval (x 0 ε, x 0 + ε), kde ε > 0; značení U ε (x 0 ) nebo U(x 0 ). prstencové okoĺı bodu x 0 R: množina U(x 0 ) \ {x 0 } okoĺı + interval (a, ), a R okoĺı interval (, a), a R levé okoĺı bodu x 0 R: interval (x 0 ε, x 0 ), ε > 0 pravé okoĺı bodu x 0 R: interval (x 0, x 0 + ε), ε > 0 Extrémy množin v R: minimum a maximum maximum množiny M R: číslo y M, takové, že x M : x y. minimum množiny M R: číslo z M, takové, že x M : x y. Ne každá množina v R musí mít extrém (tj. minimum nebo maximum množiny M může, ale nemusí existovat).
Pojmy 7/ 41 Funkce (reálná funkce jedné reálné proměnné) na množině D je předpis, který každému číslu z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo. definiční obor D(f ): maximální množina těch x R, pro která má předpis smysl obor hodnot funkce: H(f ) = {y R : x D(f ) : y = f (x)}, graf funkce:g(f ) = {[x, f (x)] R 2 ; x D(f )} rovnost funkcí: f = r [D(f ) = D(g) ( x D(f ) : f (x) = g(x))] funkce zdola, shora omezená funkce rostoucí, klesající, monotónní funkce prostá: x 1, x 2 D(f ), x 1 x 2 : f (x 1 ) f (x 2 ), funkce sudá: x D(f ) : x D(f ) f ( x) = f (x), funkce lichá: x D(f ) : x D(f ) f ( x) = f (x), periodická: T R : x D(f ) : x + T D(f ) f (x + T ) = f (x),
Operace s funkcemi 8/ 41 součet funkcí f a g je funkce h: h(x) = f (x) + g(x) pro x D(f ) g(x), analogicky rozdíl, součin funkcí; podíl funkcí f a g je funkce h: h(x) = f (x) pro x [D(f ) D(g)] \ {x D(g) : g(x) = 0}, g(x) absolutní hodnota funkce f je funkce h: h(x) = f (x) pro x D(f ); restrikce funkce (tj. zúžení funkce) Je-li f funkce a A D(f ), pak funkci, definovanou pouze na A, která každému x A přiřazuje tutéž hodnotu jako funkce f (tj. f (x) ), nazýváme restrikcí funkce f na množinu A. složená funkce Jsou-li f a g funkce pro která platí H(g) D(f ), lze definovat složenou funkci h(x) = f (g(x)) pro x D(g). inverzní funkce f 1 k prosté funkci f : x D(f ) : y = f (x) x = f 1 (y), D(f 1 ) = H(f )
Transformace grafu funkce 9/ 41 f 1 : y = f(x) f 2 : y = f( x) f 3 : y = f(x) + b f 4 : y = f(x a) f 5 : y = k f(x) f 6 : y = f(mx)
Základní elementární funkce Základní elementární funkce: funkce exponenciální a logaritmické, mocninné, goniometrické a cyklometrické, hyperbolické a hyperbolometrické. Elementární funkce: lze vytvořit ze základníıch elementárních funkcí pomocí konečného počtu operací sčítání, odčítání, násobení, dělení a skládání funkcí. logaritmická funkce exponenciální funkce
Eulerovo číslo e, exponenciální funkce e x 13/ 41 ( e= lim 1 + 1 ) n e= n n k=0 1 k!
Přirozený logaritmus: (ln x) inverzní funkce k e x 14/ 41
Mocninná funkce 15/ 41 Obecná mocninná funkce x α je definovaná : x α = e α ln x pro x > 0, α R, D(x α ) = (0, ) Pro některé exponenty α lze D(x α )rozšířit. Mocninná funkce s přirozeným exponentem a n tá odmocnina. Sudé n: inverzní: D(f ) = R, H(f ) = 0, ) D(f ) = 0, ), H(f ) = R
Mocninná funkce s přirozeným exponentem a n tá odmocnina (liché n) 16/ 41. D(f ) = R, H(f ) = R D(f ) = R, H(f ) = R
Mocninná funkce se záporným celým exponentem 17/ 41 f : y = x n, n N, x R \ {0} lichý exponent sudý exponent D(f ) = R \ {0}, H(f ) = (0, ) D(f ) = R \ {0}, H(f ) = R \ {0}
Mocninná funkce s racionálním exponentem 18/ 41 r Q \ Z, r = p, p Z, q N, q 2, p, q : nesoudělná q f : y = x p q = q x p Definiční obor: p > 0, q liché: D(f ) = R p < 0, q liché: D(f ) = R \ {0} p > 0, q sudé: D(f ) = 0, ) p < 0, q sudé: D(f ) = (0, ) Mocninná funkce s reálným exponentem: f : y = x r, x R +, r R \ Q Mocninná funkce s nulovým exponentem: f : y = x r, x R, r = 0 : x 0 = 1
Mocninná funkce 19/ 41
Goniometrické funkce a cyklometrické funkce 20/ 41 D(f ) : 1, 1, H(f ) : π 2, π 2 D(f ) : 1, 1, H(f ) : 0, π
Hyperbolické funkce 21/ 41
Hyperbolometrické funkce 22/ 41
Definiční obory funkcí : příklady 23/ 41 1 a)y = 1 x b)y = x 1 x 2 4 c)y = x 1 2 a)y = x 2 3x + 2 b)y = 4 x + 1 x 1 c)y = 1 x + 1 + 6 x + 3 3 a)y = 3 x + 1 x 2 3x + 2 b)y = 5 x 1 c)y = 1 x + 1 + 3 x + 3 4 a)y = ln(cos x) b)y = ln 5x x 2 4
Limita funkce 24/ 41 Vlastní limita funkce ve vlastním bodě lim f (x) = A x x 0 ε R + δ R + x (x 0 δ, x 0 +δ)\{x 0 } : f (x) (A ε, A+ε) Nevlastní limita funkce ve vlastním bodě lim f (x) = + x x 0 M R δ R + x (x 0 δ, x 0 + δ) \ {x 0 } : f (x) > M Vlastní limita funkce ve nevlastním bodě lim f (x) = A x ε R + K R x R : f (x) (A ε, A + ε) Nevlastní limita funkce ve nevlastním bodě lim f (x) = x M R K R xr, x > K : f (x) > M
Vlastnosti limit 25/ 41 1 Věta: Necht x 0 R, A R. Limita v bodě x 0 existuje právě tehdy, když v tomto bodě existují obě jednostranné limity a jsou stejné. 2 Věta: Funkce má v bodě x 0 R nejvýše jednu limitu. 3 Věta (Henrich Eduard Heine): Necht x 0 R, A R a funkce f je definovaná na nějakém prstencovém okoĺı bodu x 0. Potom lim x x 0 f (x) = A právě když pro každou posloupnost {x n } takovou, že pro každé n N je x n v tomto prstencovém okoĺı, platí lim x n = x 0 lim f (x n) = A n n 4 Věta: Necht x 0 R a necht existují lim x x0 f (x), lim x x0 g(x). Platí: 1 lim [f (x) ± g(x)] = lim f (x) ± lim x x0 x x0 2 lim f (x)g(x) = lim f (x) lim x x0 x x0 f (x) 3 lim x x0 g(x) = lim x x 0 f (x) lim x x0 g(x) 4 lim x x0 f (x) = lim x x0 f (x) g(x) x x0 g(x) x x0
Spojitost funkce 26/ 41 Funkce je spojitá v bodě x 0 R, jestliže platí: lim x x0 f (x) = f (x 0 ) Je-li funkce f spojitá v bodě x 0, potom existuje vlastní limita funkce f v bodě x 0 funkce f je definovaná v bodě x 0 (f (x 0 )) hodnota funkce a její limity se rovnají Vlastnost spojitých funkcí 1 Věta: Necht funkce f a g jsou spojité v bodě x 0 R. Pak i funkce f ± g a f g jsou spojité v bodě x 0. Je-li navíc g(x 0 ) 0, je i funkce f /g spojitá v bodě x 0. 2 Věta: Necht funkce f je spojitá v bodě x 0 R a necht funkce g je spojitá v bodě f (x 0 ). Potom funkce g(f (x)) je spojitá v bodě x 0. 3 Věta: Necht f je základní elementární funkce a necht x 0 je vnitřním bodem definičního oboru D(f ). Potom funkce f je spojitá v bodě x 0.
Výpočet limit 27/ 41 Limity funkcí spojitých v bodě: dosazení. Věta o limitě součtu, rozdílu, součinu a podílu. (počítání s ± ) Limita funkcí shodujících se v prstencovém okoĺı bodu (úprava zkrácení rozšíření zlomku vytýkání ) Věta o sevření Věta o součinu nulové a omezené funkce Věta o limitě složené funkce Věta ( o limitě) typu 1/0 ( ) 1 1 0 + = + 0 =
Derivace 28/ 41 Definice: Nectt x 0 D(f ). Existuje-li limita f (x) f (x 0 ) lim, x x 0 x x 0 značíme ji f (x 0 ) a nazýváme derivací funkce f v bodě x 0. Je-li f (x 0 ) R, pak funkce f má v bodě x 0 vlastní derivaci. Je-li f (x 0 ) = ±, pak funkce f má v bodě x 0 nevlastní derivaci. Věta: Má li funkce f v bodě x 0 vlastní derivaci, je v tomto bodě spojitá. Definice: Necht existuje vlastní derivace f (x) funkce f pro všechna x M D(f ). Pak funkci f : y = f (x), x M nazýváme derivací funkce f na M.
Pravidla pro derivování 29/ 41 1 (f ± g) (x 0 ) = f (x 0 ) ± g (x 0 ) 2 (fg) (x 0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) + f (x 0 )g (x 0 ) ( ) f 3 (x 0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) f (x 0 )g (x 0 ) g g 2 (x 0 ) 4 (cf ) (x 0 ) = cf (x 0 ) 5 složená funkce F = f (g(x)), existuje derivace g v bodě x 0 a derivace f v bodě u 0 = g(x 0 ). Potom složená funkce F má derivaci v bodě x 0 a platí F (x 0 ) = f (u 0 ) g (x 0 ) = f (g(x 0 )) g (x 0 ) 6 derivace funkce tvaru f (x) g(x) f (x) g(x) g(x) ln f (x) = e
Derivace základních funkcí 30/ 41
Tečna a normála 31/ 41 Tečna ke grafu funkce f v bodě dotyku T = [x 0, f (x 0 )]: y f (x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ) Normála: y f (x 0 ) = 1 f (x 0 ) (x x 0)
Základní věty diferenciálního počtu 32/ 41 Věta o střední hodnotě (Lagrange) Necht funkce f je spojitá v uzavřeném intervalu a, b a necht má derivaci v otevřenén intervalu (a, b). Pak existuje bod ξ (a, b): f (ξ) = f (b) f (a) b a l Hospitalovo pravidlo Necht x 0 R a je splněna jedna z podmínek: lim f (x) = lim g(x) = 0 nebo lim f (x) = lim g(x) = x x0 x x0 x x0 x x0 f (x) Potom existuje-li lim x x0 g (x), existuje i limita lim x x 0 f (x) g(x) a platí lim x x 0 f (x) g(x) = lim x x 0 f (x) g (x)
Monotonie, extrémy 33/ 41 Věta. Necht funkce f je spojitá v intervalu I. Pak platí implikace: f > 0 f je v intervalu I rostoucí f 0 f je v intervalu I neklesající f < 0 f je v intervalu I klesající f 0 f je v intervalu I nerostoucí f = 0 f je v intervalu I konstantní Lokální extrémy Funkce má v bodě x 0 lokální minimum (lokální maximum), existuje-li okoĺı P(x 0 ) bodu x 0, že pro všechna x P(x 0 ) platí: f (x) f (x 0 ) (resp. f (x) f (x 0 ). Věta Má-li funkce f v bodě x 0 lokální extrém a existuje-li f (x 0 ), je f (x 0 ) = 0. To znamená, že funkce může nabývat svých lokálních extrémů na intervalu I v těch vnitřních bodech intervalu I, ve kterých: nemá derivaci derivace je rovna nule
Konvexní a konkávní funkce 34/ 41 Věta. Necht funkce f je spojitá v intervalu I. Pak platí implikace: f > 0 f je v intervalu I ryze konvexní f 0 f je v intervalu I konvexní f < 0 f je v intervalu I ryze konkávní f 0 f je v intervalu I konkávní f = 0 f je v intervalu I lineární Inflexní bod Bod [x 0, f (x 0 )] je inflexním bodem funkce f, jestliže existuje f (x 0 ) R a funkce f je v nějakém levém okoĺı bodu x 0 ryze konvexní a nějakém pravém okoĺı bodu x 0 ryze konkávní (resp. naopak). (Tj. konvexnost se mění na konkávnost (resp. naopak).)
Asymptoty 35/ 41 Rovnice asymptot. svislá: x = x 0, pokud aspoň jedna jednostranná limita pro x x 0 je ± šikmá: y = kx + q, kde k = lim f (x) x, q = lim f (x) kx
Průběh funkce 1 Pro funkci určíme: 1 definiční obor D(f ), 2 zda je (není) sudá, lichá, periodická 3 průsečíky s osami souřadnic (pokud existují) 4 jednostranné limity v krajních bodech D(f ) 2 Vypočteme a vyšetříme derivaci f (x) : > 0 f (x) je rostoucí f (x) < 0 f (x) je klesající = 0 stacionární body 3 Vypočteme a vyšetříme druhou derivaci f (x) : > 0 f (x) je ryze konvexní f (x) < 0 f (x) je ryze konkávní = 0 možné inflexní body 4 Najdeme rovnice asymptot. svislá: x = x 0, pokud aspoň jedna jednostranná limita pro x x 0 je ± šikmá: y = kx + q, kde k = lim f (x) x, q = lim f (x) kx 5 Graf.
Půběh funkce y = x 2 +1 x 2 1 1. Pro funkci určíme: 1 definiční obor D(f ) = (, 1) ( 1, 1) (1, ), 2 zda je sudá: f ( x) = ( x)2 + 1 ( x) 2 1 = x 2 + 1 x 2 = f (x) je sudá. 1 Proto vyšetříme průběh pouze na množině 0, 1) (1, + ) 3 průsečíky s osami souřadnic (pokud existují): x = 0 y = 1 Y = [0, 1]; y 0 x D(f ) 4 jednostranné limity v krajních bodech D(f ): x 2 + 1 lim x x 2 1 = 1 x 2 + 1 lim x 1 + x 2 1 = x 2 + 1 (x 1)(x 1) = 2 0 + = + lim x 1 x 2 + 1 x 2 1 = x 2 + 1 (x 1)(x 1) = 2 0 =
Průběh y = x 2 +1 x 2 1 2. Určíme derivaci: : 1. a 2. derivace y = 2x(x 2 1) (x 2 + 1) 2x (x 2 1) 2 = 4x (x 2 1) 2 4x (x 2 1) 2 > 0 x (, 1) f (x) je rostoucí x ( 1, 0) f (x) je rostoucí < 0 x (0, 1) f (x) je klesající x (1, ) f (x) je klesající = 0 x = 0 M = [0, 1] lokální maximum 3. Určíme druhou derivaci: y = 4(x 2 1) 2 + 4x 2(x 2 1) 2x (x 2 1) 4 = 12x 2 + 4 (x 2 1) 3 12x 2 + 4 (x 2 1) 3 > 0 x 2 1 > 0 x (, 1) f (x) je konvexní x (1, ) f (x) je konvexní < 0 x 2 1 < 0 x ( 1, 1) f (x) je konkávní 0 nemá inflexní body
Průběh y = x 2 +1 x 2 1 : Asymptoty svislá: x = x 0, pokud aspoň jedna jednostranná limita pro x x 0 je ± x 2 + 1 lim x 1 + x 2 1 = lim x 2 + 1 x +1 x 2 1 = Tedy přímky x = 1 a x = 1 jsou svislými asymptotami. šikmá: y = kx + q, kde k = lim f (x) x, q = lim f (x) kx f (x) x 2 + 1 lim = lim x x x + (x 2 1)x = 0 x 2 + 1 lim f (x) 0 x = lim x x x 2 1 = 1 Přímka y = 1 je šikmá asymptota.
Globální (absolutní) extrémy Definice: Necht M D(f ) a x 0 M. Funkce f nabývá na množině M globálního maxima (resp. globálního minima) v bodě x 0, jestliže pro všechna x M platí f (x) f (x 0 ) (resp. f (x) f (x 0 )). Spojitá funkce na uzavřeném intervalu a, b nabývá absolutních extrémů. Extrémy mohou být: v bodě lokálního extrému na (a, b) nebo v krajních bodech a, b. Příklad: y = 1 5 (x 2 + 2x) 4 = 1 (x 2 + 2x) 4 5, na intervalu 1, 2. Stacionární body: y 4 = 0 : 5 (x 2 + 2x) 1 5 (2x + 2) = 0 x = 1 Derivace neexistuje (ale funkce je definovaná) ( jmenovatel = 0) x = 0 1, 2, x = 2 1, 2 Hodnoty funkce : a = 1 x = 0 b = 2 f ( 1) = 0 f (0) = 1 f (2) = 1 5 8 4 max min