Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1 Funkce pro UO 1 Co je to matematická funkce? Mějme dvě množiny čísel. Množinu A a množinu B, které jsou neprázdné. Jestliže přiřadíme každému číslu x z množiny A právě jedno číslo y z množiny B, dostaneme množinu uspořádaných dvojic čísel (x; y), kterou nazýváme reálná funkce reálné proměnné x. Množinu A čísel x nazýváme definiční obor nezávisle proměnné a množinu B čísel y obor hodnot funkce. Můžeme tedy také říct, že matematická funkce je zápis závislosti závisle proměnné y na nezávisle proměnné x. Jak lze vyjádřit matematickou funkci, sdělit ji někomu? Pro zápis matematické funkce můžeme použít tři způsoby vyjádření: 1. Rovnicí (např. to, že číslo y je třikrát větší než číslo x zapíšeme y = 3x) 2. Výpisem přiřazených dvojic - nelépe TABULKOU Např. předchozí úlohu lze zapsat: x -2-1 0 1 2 5 y -6-3 0 3 6 15 3. Grafem Např. předchozí úlohu lze vyjádřit: Druhy funkcí Nekonečnou pestrost života lze vyjádřit nekonečnou řadou matematických funkcí. Pro nejběžnější životní situace vystačíme s následujícími druhy: 1. Lineární funkce přímé úměrnosti 2. Funkce nepřímé úměrnosti 3. Kvadratická funkce 4. Goniometrické funkce úhlů (ve 3. ročníku): 5. sinus úhlu 6. kosinus úhlu 7. tangens úhlu 8. kotangens úhlu 1 Podle Polák, Josef: Přehled středoškolské matematiky, Prometheus, s.s r.o., Praha1, 2002, ISBN 80-7196-196-5, s.112
Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 2 Vlastnosti matematických funkcí Rostoucí funkce - je taková matematická funkce, pro kterou platí, že každé vyšší hodnotě nezávisle proměnné je přiřazena vyšší hodnota závisle proměnné (s rostoucím x roste i y); např. f: y = 3x + 1/2. Klesající funkce - je taková matematická funkce, pro kterou platí, že každé vyšší hodnotě nezávisle proměnné je přiřazena nižší hodnota závisle proměnné (s rostoucím x klesá y); např. f: y = -3x + 1/2. Některé funkce mohou být v jedné části svého definičního oboru rostoucí a v jiné části klesající; např. f: y = 3x 2. Konstantní funkce - je taková matematická funkce, pro kterou platí, že kterékoliv hodnotě nezávisle proměnné je přiřazena pro celou funkci neměnná hodnota - konstanta. Např. f: y = 0,356. Spojitá funkce - je taková matematická funkce, pro kterou platí, že je definována v celém číselném oboru; např. f: y = 3x + 1/2, f: y = 3x 2, y = sin x. Nespojitá funkce - je taková matematická funkce, pro kterou platí, že není definována v celém číselném oboru např. f: y = 2/x (x 0), f: y = tg x. Sudá funkce - je taková matematická funkce, pro kterou platí, že hodnotě x a -x je přiřazena stejná hodnota y; např. f: y = 0,1x 2, neboť x 2 = (-x) 2 Lichá funkce - je taková matematická funkce, pro kterou platí, že každé jiné hodnotě x je přiřazena jiná hodnota y; např. f: y = -3x + 1/2. Lineární funkce Lineární funkce vyjadřuje vztah přímé úměrnosti mezi závisle a nezávisle proměnnou. ("S rostoucí jednou veličinou roste i druhá veličina.") Příklady užití lineární funkce: Jak se mění délka ujeté dráhy Felicie jedoucí rychlostí 80 km/h v závislosti na čase? Jaká je závislost objemu hrnce na jeho výšce? Jak se bude měnit koncentrace kyseliny sírové v 5 litrech elektrolytu při přilévání 60% kyseliny sírové? Jak se bude zvětšovat plocha zdi 3m vysoké zdi při jejím prodlužování? Jak se bude měnit mzda dělníka pracujícího v hodinové mzdě při zkracování jeho pracovní doby? Vyjádření lineární funkce: 1. Rovnicí f: y = ax + b a, b jsou koeficienty lineární funkce (čísla); a 0, je-li a = 0 pak se jedná o konstantní funkci y = b (všem hodnotám x náleží stejná hodnota, tedy b) 2. Tabulkou 3. Grafem Grafem lineární funkce je přímka (podle definičního oboru nebo oboru hodnot funkce to mohou být polopřímka, úsečka nebo množina nespojitých bodů ležících v přímce).
Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 3 Vlastnosti lineární funkce - jsou odvislé od koeficientů lineární funkce a od definičního, případně hodnotového oboru funkce. D(f) = R, H(f) = {b} a = 0 a > 0 D(f) = R, H(f) = R Je omezená zdola i shora. Je nerostoucí a neklesající, není prostá. V každém x R má maximum a minimum a < 0 D(f) = R, H(f) = R Není shora ani zdola omezená. Je rostoucí a tedy prostá. Hodnota koef. a určuje úhel, který svírá graf funkce s osou x Není shora ani zdola omezená. Je klesající a tedy prostá.
Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 4 Funkce nepřímé úměrnosti Funkce vyjadřuje vztah nepřímé úměrnosti, tj. závislosti, při které s rostoucí nezávisle proměnnou klesá hodnota závisle proměnné ( s rostoucím x, klesá y). Příklady užití funkce nepřímé úměrnosti: Jak závisí doba potřebná na vyčerpání jímky na počtu čerpadel? Jak závisí počet zedníků na době nutné k postavení garáže? Jaká je závislost velikosti elektrického odporu na intenzitě elektrického proudu v uzavřeném el. obvodu? Jak závisí množství aplikovaného fungicidu na pojezdové rychlosti postřikovače? Vyjádření funkce nepřímé úměrnosti: 1. Rovnicí f: y = k/x k 0, x 0 2. Tabulkou 3. Grafem Grafem funkce je hyperbola (podle definičního oboru to může být i množina nespojitých bodů ležících v hyperbole).
Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 5 Vlastnosti funkce nepřímé úměrnosti: - jsou odvislé od koeficientu funkce nepřímé úměrnosti. k > 0 k < 0 D(f) = R - {0}, H(f) = R - {0} D(f) = R - {0}, H(f) = R - {0} Je lichá. Není ani shora omezená, ani zdola omezená. Je klesající v (-,0) a v (0,+ ). Je lichá. Není ani shora omezená, ani zdola omezená. Je rostoucí v (-,0) a v (0,+ ). Kvadratická funkce Funkce vyjadřuje vztah závisle proměnné na druhé mocnině nezávisle proměnné. Příklady užití funkce nepřímé úměrnosti: Jak závisí obsah čtverce na délce jeho strany (kružnice na jejím průměru)? Jak závisí příkon el. spotřebiče se známým el. odporem na intenzitě procházejícího el. proudu? Vyjádření funkce nepřímé úměrnosti: 1. Rovnicí f: y = ax 2 a 0 2. Tabulkou 3. Grafem Grafem funkce je parabola.
Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 6 Vlastnosti kvadratické funkce: - jsou odvislé od koeficientu funkce nepřímé úměrnosti. a > 0 a < 0 D(f) = R, H(f) = R + D(f) = R - {0}, H(f) = R - Je sudá. Není ani shora omezená, je zdola omezená. Je sudá. Je shora omezená, a zdola neomezená. Je klesající v (-,0) a v (0,+ ). Má ostré minimum v bodě 0, nemá maximum Je rostoucí v (-,0) a v (0,+ ). Má ostré maximum v bodě 0, nemá minimum.