Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet LS zkouška (komb.), zápočet + zkouška (prez.) Požadavky: zápočet samostatná práce a/nebo test (min. 50%) zkouška písemná, min. 50% úspěšnost

Literatura JIRÁSEK BENDA: Matematika pro bakalářské studium, Ekopress 2006 HORÁK: Matematika I, BIVŠ 2005 HORÁK: Matematika II, BIVŠ 2006 JIRÁSEK KRIEGELSTEIN - TICHÝ: Sbírka řešených příkladů z matematiky, SNTL 1990 FINNEY THOMAS: Thomas Calculus Alternate Edition, Addison-Wesley 2003 učebnice matematiky pro 1. ročníky VŠE, ČVUT, učebnice středoškolské matematiky, sbírky úloh

0. Úvod, základní pojmy a označení Výrazové prostředky matematický jazyk: symboly (abeceda) pravidla (gramatika) z matematické logiky Výrok: každé sdělení, o němž lze rozhodnout, zda je pravdivé nebo nepravdivé. 3 + 2 = 5 pravdivý výrok 2 2 + 3 2 > 20 nepravdivý výrok x 2 > 4 není výrok, pokud neznáme hodnotu x výroková forma Kvantifikovaný výrok: obsahuje údaj o množství objektů, pro něž je splněna daná podmínka uvedeno kvantifikátorem.

Kvantifikátory: obecný (velký) symbol pro každý prvek platí existenční (malý) symbol existuje (alespoň jeden) prvek, pro který platí Kvantifikovaný výrok zápis: x M: P(x), resp. x M: P x (pro každý prvek x množiny M platí podmínka P(x), resp. existuje alespoň jeden prvek ) Úloha rozhodněte o pravdivosti výroků (R je množina reálných čísel): x R: x 2 0, x R: x 2 > 0, x R: x 2 = 4 x R y R: y > x 2, y R x R: y > x 2 x R y R: x 2 + y 2 < 1

Operace s výroky, logické operátory (V, V 1, V 2 výroky) Operátor Zápis Vyjádření negace V není pravda, že V, neplatí V konjunkce V 1 V 2 V 1 a zároveň V 2 disjunkce V 1 V 2 V 1 nebo V 2 (nevylučovací) implikace V 1 V 2 jestliže V 1, pak V 2 ekvivalence V 1 V 2 V 1 právě tehdy, když V 2 Implikace poznámky: z (vlastnosti) V 1 plyne (vlastnost) V 2, V 1 je postačující podmínka (pro V 2 ), V 2 nutná podm. (pro V 1 ), pokud V 1 neplatí, nelze rozhodnout o platnosti V 2, tvrzení nelze mechanicky obrátit.

Ekvivalence poznámky: V 1 a V 2 jsou ekvivalentní (znamenají totéž), z (vlastnosti) V 1 plyne (vlastnost) V 2 a naopak, V 1 je nutná a postačující podmínka pro V 2 (a naopak). Většina matematických tvrzení (vět) je formulována ve tvaru implikace nebo ekvivalence: Má-li funkce f v bodě c R derivaci (vlastnost V 1 ), je v tomto bodě spojitá (vlastnost V 2 ). Úloha: Jaký tvar má negace kvantifikovaného výroku? Rozmyslete pro výše uvedené příklady výroků.

Pojem množiny, množinové operace základní pojem moderní matematiky, množina intuitivně: soubor nějakých objektů (prvků množiny), lze rozhodnout, zda konkrétní objekt do dané množiny patří (je jejím prvkem zápis x M) nebo nepatří (zápis y M). Nejčastější zadání množiny: výčtem prvků: M = 1, 2, 3, 4, 5, 6, F = Josef Bek, Rudolf Deyl, Jan Werich pomocí vlastnosti prvků množiny: zápis M = x; V(x). Některá běžná označení: N přirozená čísla, N = 1, 2, 3, ; R reálná čísla; Z celá čísla; - prázdná množina. Příklad: M = x R; x 2 < 0 =.

Množinové operace (A, B jsou množiny) Operace Zápis Význam - obsah sjednocení A B prvky x A nebo x B průnik A B prvky x A a zároveň x B rozdíl (doplněk) A B prvky x A a zároveň x B podmnožina A B jestliže x A, pak také x B Poznámka: A B = - množiny A, B nemají společné body, jsou disjunktní. Úloha: Platí rovnost A B = x; x A x B. Popište obdobným způsobem množiny A B, A B.

I. Lineární algebra I.1. Vektory, vektorové prostory Poznámka geometrický přístup: vektor založen na pojmu orientované úsečky (spojuje dva body v rovině, příp. v prostoru), pro A = a 1, a 2 (počáteční bod), B = b 1, b 2 (koncový bod) definujeme vektor u = b 1 a 1, b 2 a 2, velikost vektoru u = vzdálenost bodů A, B: u = d A, B = (b 1 a 1 ) 2 +(b 2 a 2 ) 2. Rovina s takto definovanou vzdáleností bodů představuje dvourozměrný euklidovský prostor E 2. Analogicky: n-rozměrný euklidovský prostor E n.

Aritmetické vektory Def: Aritmetickým n-rozměrným vektorem nazýváme uspořádanou n-tici reálných čísel tvaru u = u 1, u 2,, u n, u i R (i = 1, 2,, n). Čísla u 1, u 2,, u n se nazývají souřadnice vektoru u. Množinu všech n-rozměrných aritmetických vektorů označujeme V n (n N). Poznámky: uspořádané n-tice vektory u = 1, 2, 3, v = 2, 3, 1, w = (3, 2, 1) jsou navzájem různé (n = 3); příklad: vektor o = (0, 0, 0, 0) je tzv. nulový vektor (ve V 4 ).

Operace s vektory Pro libovolné vektory u, v V n (n N), u = u 1, u 2,, u n, v = (v 1, v 2,, v n ) a libovolné c R definujeme: w = u + v = (u 1 + v 1, u 2 + v 2,, u n + v n ) (součet vektorů u a v), z = c u = cu 1, cu 2,, cu n (násobek vektoru u skalárem c). Poznámka: Součet vektorů z množiny V n a číselný násobek vektoru z množiny V n jsou opět vektory patřící do V n množina V n je uzavřená vzhledem k uvedeným operacím.

Vlastnosti operací (ve V n ) Pro libovolné vektory u, v, w V n a libovolné hodnoty c, d R platí: (a) u + v V n, c u V n (uzavřenost), (b1) u + v = v + u (komutativnost), (b2) u + v + w = u + (v + w) (asociativnost), (b3) 1 u = u, (b4) c d u = cd u, (b5) c u + v = c u + c v (distributivnost), (b6) c + d u = c u + d u,

Vlastnosti operací - pokračování (c) existuje nulový vektor o = (0, 0,, 0) V n, pro který platí u + o = u (pro každé u V n ), (d) k vektoru u V n existuje právě jeden vektor u V n (tzv. opačný vektor), pro který platí u + u = o. Vlastnosti (a) až (d) axiomy vektorového prostoru. Def: Neprázdná množina V, na níž jsou definovány operace součtu a násobku reálným číslem s vlastnostmi (a) až (d), se nazývá vektorový prostor (místo V n píšeme V).

Jednoduché vlastnosti vektorových prostorů Pro vektory u = (u 1, u 2,, u n ), v = (v 1, v 2,, v n ) V n platí: u = v (u 1 = v 1, u 2 = v 2,, u n = v n ). V libovolném vektorovém prostoru V platí: (a) Existuje jediný nulový prvek o V (neutrální vzhledem ke sčítání jednoznačnost nulového prvku). (b) Pro každé u V a každé c R je 0 u = o, c o = o, 1 u = u.

Lineární kombinace V vektorový prostor; jsou dány vektory u 1, u 2,, u n V a konstanty c 1, c 2,, c n R. Výraz c 1 u 1 + c 2 u 2 + + c n u n se nazývá lineární kombinace daných vektorů (s koeficienty c 1, c 2,, c n ). Problém: Pro jaké hodnoty c 1, c 2,, c n platí rovnost (1) c 1 u 1 + c 2 u 2 + + c n u n = o? Rovnost (1) platí pro c 1 = c 2 = = c n = 0. Rovnost může platit i pro některé c i 0 (závisí na daných vektorech). Příklad pro n = 2: (a) u 1 = 1, 3, u 2 = o; (b) u 1 = 1, 3, u 2 = (3, 9).

Lineární závislost a nezávislost Def: Skupina vektorů u 1, u 2,, u n V se nazývá lineárně závislá (LZ), jestliže existují konstanty c 1, c 2,, c n R ne všechny nulové, pro něž platí (1); lineárně nezávislá (LN), jestliže není LZ. Poznámka: Skupina n vektorů je LN právě tehdy, když rovnost (1) platí pouze pro c 1 = c 2 = = c n = 0. Úloha: Rozhodněte o lineární závislosti/nezávislosti dané n-tice vektorů (n = 2, n = 3): (a) u 1 = 1, 2, u 2 = 3, 4 ; (b) u 1 = 2, 5, u 2 = 4, 10 ; (c) u 1 = 2, 1, 0, u 2 = 1, 4, 7, u 3 = 3, 3, 7 ; (d) u 1 = 1, 2, 3, u 2 = 2, 0, 5, u 3 = 4, 0, 0.

Zjišťování lineární závislosti/nezávislosti Věta: Skupina vektorů u 1, u 2,, u n V je LZ právě když některý z nich je možno vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních. Příklad předchozí úloha (c): u 3 = u 1 + u 2. Úloha: Zformulujte odpovídající tvrzení pro případ n = 2. (Porovnejte s předchozí úlohou (a), (b).) Poznámka: Je-li skupina vektorů u 1, u 2,, u n V LZ, pak každá skupina vektorů, která tyto vektory obsahuje, je rovněž LZ. Problém příklad: Jak početná může být LN skupina vektorů v prostoru V n? Uvažujme n = 2; u 1 = 1, 2, u 2 = 3, 0, u 3 = 1, 8.

Báze a dimenze vektorového prostoru Def: Nechť n N. Řekneme, že vektorový prostor V je n-rozměrný (má dimenzi n, píšeme dim V = n), jestliže platí: v prostoru V existuje LN skupina n vektorů, každá skupina více než n vektorů z prostoru V je LZ. Je-li V n-rozměrný vektorový prostor, pak každou LN skupinu n vektorů ve V nazýváme bází prostoru V. Poznámka ekvivalentní definice: báze prostoru V = maximální LN skupina vektorů prostoru V, dimenze prostoru V = počet prvků jeho báze.

Vztah báze vektorový prostor Věta: Skupina vektorů u 1, u 2,, u n V tvoří bázi prostoru V právě když každé u V lze vyjádřit jednoznačně jako jejich lineární kombinaci u = c 1 u 1 + c 2 u 2 + + c n u n. Příklad: Vektory e 1 = 1, 0, 0, e 2 = 0, 1, 0, e 3 = (0, 0, 1) tvoří bázi prostoru V 3. Úloha: Navrhněte bázi analogického tvaru pro prostory V 4, V 5, V n (n N). Prostor V n n-rozměrných aritmetických vektorů je n-rozměrný, neboli dim V n = n.

Báze vektorového prostoru - poznámky Každá báze vektorového prostoru V je LN. Ale: ne každá LN skupina vektorů ve V je báze. Příklad: V = V 3, e 1 = 1, 0, 0, e 2 = (0, 1, 0). Báze vektorového prostoru V není určena jednoznačně. Každou LN skupinu vektorů z prostoru V lze doplnit na bázi prostoru V. Typická úloha: Je dána skupina vektorů u 1,, u k V n. a) Zjistěte, zda dané vektory jsou LN, resp. tvoří bázi. b) Vyjádřete daný vektor v jako lineární kombinaci v = c 1 u 1 + c 2 u 2 + + c k u k.

Podprostor vektorového prostoru Def: Nechť V je vektorový prostor, W V. Množina W je podprostor prostoru V, je-li uzavřená vzhledem k operacím součtu a číselného násobku ve V, tj. platí u W v W c R: u + v W, c u W. Příklad: V = V 3 W 1 = c, d, 0 ; c, d R je podprostor V, W 2 = c, d, 1 ; c, d R, W 3 = c, d, 0 ; c R, d > 0 nejsou podprostory prostoru V (proč?). Věta: Je-li u 1, u 2,, u k skupina vektorů z prostoru V, pak množina W všech lineárních kombinací tvaru v = c 1 u 1 + c 2 u 2 + + c k u k je podprostorem prostoru V.

Lineární obal, jeho báze a dimenze Def: Množina (prostor) W z předchozí věty se nazývá lineární obal skupiny vektorů u 1, u 2,, u k a značí se Lin(u 1, u 2,, u k ). (Prostor W je generován skupinou vektorů u 1, u 2,, u k.) Věta: Nechť W = Lin(u 1, u 2,, u k ) je podprostor prostoru V n. Pak platí: a) Je-li skupina B = u 1, u 2,, u k LN, pak tvoří bázi prostoru W, dim W = k. b) Je-li skupina B LZ, pak dim W < k, bázi prostoru W tvoří maximální LN část skupiny B. Úloha: Jaký vztah může být mezi hodnotami k a n?

Skalární součin Def: Skalárním součinem vektorů u = (u 1, u 2,, u n ), v = (v 1, v 2,, v n ) v prostoru V n nazýváme číslo u v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + + u n v n. Velikost vektoru u V n definujeme předpisem u = u 1 2 + u 2 2 + + u n 2. Vlastnosti: Pro libovolné u, v, w V n a libovolné c R platí: (a) u v = v u ; (b) u + v w = u w + v w ; (c) c u v = c (u v) ; (d) u u 0, přičemž rovnost platí pouze pro u = o.

Součinový prostor, ortogonalita Def: Vektorový prostor V, v němž lze zavést skalární součin s vlastnostmi (a) až (d), se nazývá součinový prostor. Velikost vektoru u V definujeme předpisem u = u u. Def: Nechť V je součinový prostor. (a) Vektory u, v V nazveme ortogonální, jestliže platí u v = 0. (b) Vektory u 1, u 2,, u k tvoří ortogonální soustavu ve V, jestliže platí u i u j = 0 pro všechna i, j 1, 2,, k, i j.

V součinovém prostoru V platí: Nulový vektor je ortogonální k libovolnému vektoru u V, tedy u o = 0 pro každé u V. Ortogonální soustava nenulových vektorů je LN. Příklad ortogonální soustava ve V = V 3 : (a) e 1 = 1, 0, 0, e 2 = 0, 1, 0, e 3 = (0, 0, 1); (b) u 1 = 1, 2, 3, u 2 = 3, 0, 1, u 3 = (1, 5, 3). Úloha: Jaký je vztah mezi pojmy ortogonální soustava lineárně nezávislá soustava? Uvažujte ve V 3 skupinu vektorů v 1 = 1, 2, 3, v 2 = 1, 1, 0, v 3 = (0, 2, 0).