1 1. Lineární algebra 1.1. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Hodnost matice Aritmetické vektory Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). ā. Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru Množina V n všech aritmetických vektorů ā = (a 1, a 2,..., a n ) se nazývá aritmetický vektorový prostor. Vektor, jehož všechny složky jsou rovny nule, se nazývá nulový vektor (ō = (0, 0,..., 0)). Operace s vektory Dva n-složkové vektory jsou si rovny, rovnají-li se jejich odpovídající složky. Sčítání aritmetických vektorů: dva (či více) vektory o stejném počtu složek sečteme tak, že sečteme odpovídající slož Násobení vektoru reálným číslem: každou
2 složku vynásobíme tímto reálným číslem: k ā = k(a 1, a 2,..., a n ) = (ka 1, ka 2,..., ka n ). Vlastnosti operací s vektory Platí: ā, b, c - vektory, k, l - čísla (1) ā + b = b + ā, (2) (ā + b) + c = ā + ( b + c), (3) k(ā + b) = kā + k b, (4) (k + l)ā = kā + lā, (5) k(lā) = (kl)ā. Lineární kombinace Lineární kombinací vektorů ā 1,..., ā p je vektor k 1 ā 1 +... + k p ā p, (k 1,..., k p R). Čísla k 1,..., k p jsou koeficienty lineární kombinace. Pokud jsou všechny koeficienty lineární kombinace nulové, je výsledkem lineární kombinace libovolných vektorů nulový vektor: taková lineární kombinace se nazývá triviální, každá jiná se nazývá netriviální lin. kombinace.
3 Lineární závislost a nezávislost vektorů, báze, dimenze prostoru Skupina vektorů se nazývá lineárně závislá (vektory se nazývají lineárně závislé), jestliže aspoň jeden z nich je lineární kombinací ostatních. V opačném případě se nazývají lineárně nezávislé. Jeden vektor (skupina tvořená pouze jedním vektorem) je lineárně závislý, právě když je nulový. Platí: Obsahuje-li skupina vektorů nulový vektor, je lineárně závislá. Skupina vektorů se nazývá báze prostoru V n jestliže je lineárně nezávislá a každý vektor z V n je její lineární kombinací. Počet vektorů v bázi se nazývá dimenze (hodnost) prostoru V n. Platí: Skupina vektorů je báze V n, je-li lineárně nezávislá a obsahuje právě n vektorů. Matice Matice typu m n je schéma m n prvků (reálných čísel) uspořádaných do m řádků a
4 n sloupců. A = a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n,......... a m1 a m2... a mn stručně zapisujeme A = (a ij ) m n nebo jen A = (a ij ). Matice, jejíž všechny prvky jsou rovny nule, se nazývá nulová matice. Matice typu n n se nazývá čtvercová (řádu n). Prvky a 11, a 22, a 33... se nazývají diagonální prvky, tvoří tzv. diagonálu matice. Čtvercová matice, která má na diagonále jedničky a všude jinde nuly, se nazývá jednotková; budeme ji značit J, případně s vyznačením řádu, např. J 3 3. Matice, která má pod diagonálou všechny prvky rovny nule a nemá víc řádků než sloupců, se nazývá trojúhelníková. Zaměníme-li v matici A řádky za sloupce, dostaneme tzv. matici transponovanou k matici A
(ozn. A T ). (Matice A a A T jsou navzájem transponované.) Hodnost matice Hodnost matice je maximální počet jejích lineárně nezávislých řádků. Hodnost matice A budeme značit h(a) nebo jen h. Platí: Hodnost nulové matice je 0. Počet lineárně nezávislých řádků matice je roven počtu jejích lineárně nezávislých sloupců, neboli h(a) = h(a T ). Z toho plyne, že pro hodnost h matice typu m n platí: h min{m, n}. Výpočet hodnosti matice Řekneme, že matice je odstupňovaná, má-li v prvním řádku aspoň jeden nenulový prvek a každý další řádek má zleva aspoň o jednu nulu víc než řádek předchozí. Platí: Matice, která má na diagonále nenulová čísla, je odstupňovaná, právě když je trojúhelníková. Platí: Hodnost odstupňované matice je rovna počtu jejích nenulových řádků (nenulový řádek je řádek obsahující aspoň jeden nenulový prvek). 5
6 Platí: Hodnost trojúhelníkové matice, která má na diagonále nenulová čísla, je rovna počtu jejích řádků. Úpravy, které nemění hodnost matice: (1) záměna pořadí řádků, (2) vynásobení libovolného řádku nenulovým číslem, (3) přičtení násobku řádku k jinému řádku, (4) vynechání řádku, který je lineární kombinací ostatních. Tytéž úpravy je možno provádět na sloupcích matice. Platí: Mějme p aritmetických vektorů. Tyto vektory jsou lineárně nezávislé, právě když hodnost matice tvořené těmito vektory jakožto řádky (nebo sloupci) je h = p. Vektory jsou lineárně závislé, právě když h < p. Platí: Je-li počet vektorů větší než počet složek každého z vektorů, jsou tyto vektory lineárně závislé.