OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA MATEMATICKÁ ANALÝZA 1. Doc. RNDr. Jaroslav Hančl, CSc. Jan Šustek

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA MATEMATICKÁ ANALÝZA Doc. RNDr. Jaroslav Hačl, CSc. Ja Šustek OSTRAVA 00

0. ÚVOD 0.. INFORMACE O POUŽITÝCH SYMBOLECH Průvodce studiem vstup autora do tetu, specifický způsob kterým se studetem komuikuje, povzbuzuje jej, doplňuje tet o další iformace. Příklad objasěí ebo kokretizováí problematiky a příkladu ze života, z prae, ze společeské reality apod. Pojmy k zapamatováí Shrutí shrutí předcházející látky, shrutí kapitoly. Literatura použitá ve studijím materiálu, pro doplěí a rozšířeí pozatků. Kotrolí otázky a úkoly prověřují, do jaké míry studující tet a problematiku pochopil, zapamatoval si podstaté a důležité iformace a zdaje dokáže aplikovat při řešeí problémů. Úkoly k tetu - je potřeba je split eprodleě, ebot' pomáhají dobrému zvládutí ásledující látky. Korespodečí úkoly - při jejich plěí postupuje studující podle pokyů s otou dávkou vlastí iiciativy. Úkoly se průběžě evidují a hodotí v průběhu celého kurzu. Úkoly k zamyšleí Část pro zájemce přiáší látku a úkoly rozšiřující úroveň základího kurzu. Pasáže i úkoly jsou dobrovolé. Testy a otázky ke kterým řešeí, odpovědi a výsledky studující ajdou v rámci studijí opory. Řešeí a odpovědi vážou se a kokrétí úkoly, zadáí a testy. INFORMACE O POUŽITÝCH SYMBOLECH

0.. INFORMACE O PŘEDMĚTU Základím cílem předmětu je vyrováí estejých zalostí matematické aalýzy získaých a středí škole. Po prostudováí tetu budete umět určit, zda je fukce spojitá; vypočítat vlastí i evlastí ity fukcí; určit derivaci fukce; s pomocí základích vlastostí fukce přibližě akreslit její graf; aproimovat fukci polyomem; vypočítat ity posloupostí; ajít hromadé body a hromadé hodoty posloupostí. Čas potřebý k prostudováí tetu: 5 hodi příklady 5 hodi Použitá a doporučeá literatura [] Has-Joche Bartsch. Matematické vzorce. Mladá frota, Praha, 000. [] Boris Pavlovič Děmidovič. Sborik zadač i upražeij po matematičeskomu aalizu. Nauka, Moskva, 977. [] Jaroslav Hačl. Matematická aalýza. Ostravská uiverzita, 998. [4] Dag Hrubý, Josef Kubát. Difereciálí a itegrálí počet. Prometheus, Praha, 997 [5] Vojtěch Jarík. Difereciálí počet I. Academia, Praha, 984. [6] Vojtěch Jarík. Difereciálí počet II. Academia, Praha, 976. [7] Lev Dmitrievič Kudrjavcev a kol. Sborik zadač po matematičeskomu aalizu, Predel, Nepreryvosť, Differeciruemosť. Nauka, Moskva, 984. [8] Oldřich Odvárko. Fukce. Prometheus, Praha, 994. [9] Oldřich Odvárko. Poslouposti a řady. Prometheus, Praha, 996. [0] O. Botlík, D. Souček. Kalibro test. 000. MATEMATICKÁ ANALÝZA

0.. OBSAH 0. ÚVOD 0.. INFORMACE O POUŽITÝCH SYMBOLECH 0.. INFORMACE O PŘEDMĚTU 0.. OBSAH. FUNKCE 5.. TEORETICKÉ ZÁKLADY 5... Pojem fukce 6... Základí vlastosti fukcí 8... Základí operace s fukcemi.. ALGEBRAICKÉ FUNKCE 0... Trasformace grafu... Lieárí fukce 4... Kvadratické fukce 6..4. Lieárí lomeá fukce 7..5. Další fukce 9. DIFERENCIÁLNÍ POČET 4.. SPOJITOST 4... Okolí bodu 5... Spojitost v bodě 5... Spojitost a itervalu 7..4. Věty o spojitosti 8.. LIMITA 45... Pojem ity 46... Věty o itách 48... Nevlastí ity 54..4. Počítáí it 56.. TRANSCENDENTNÍ FUNKCE 6... Goiometrické fukce 6... Cyklometrické fukce 66... Epoeciálí fukce 67..4. Logaritmická fukce 68.4. DERIVACE 70.4.. Pojem derivace 7 OBSAH

.4.. Věty o počítáí derivací 7.4.. Derivace elemetárích fukcí 75.4.4. Difereciál fukce 77.4.5. Derivace vyšších řádů 78.5. ZÁKLADNÍ VĚTY MATEMATICKÉ ANALÝZY 8.5.. Věty o spojitých fukcích 8.5.. Věty o průběhu fukce 84.5.. l Hospitalovo pravidlo 87.6. EXTRÉMY, INFLEXNÍ BODY, ASYMPTOTY 9.6.. Lokálí etrémy 9.6.. Ifleí body 94.6.. Asymptoty se směricí 95.6.4. Asymptoty bez směrice 96.7. PRŮBĚH FUNKCE, TAYLOROVA VĚTA 0.7.. Průběh fukce 0.7.. Taylorova věta 05. POSLOUPNOSTI.. ÚVOD... Pojem poslouposti 4... Vlastosti posloupostí 5... Limita poslouposti 6..4. Hromadý bod, hromadá hodota 7.. VĚTY O POSLOUPNOSTECH... Supremum a ifimum možiy 4... Věty o posloupostech 5... Stejoměrá spojitost 0 4 MATEMATICKÁ ANALÝZA

. FUNKCE.. TEORETICKÉ ZÁKLADY Po prostudováí budete schopi pozat, co fukcí je a co fukcí eí; ajít defiičí obor fukce; provádět základí operace s fukcemi; skládat fukce; určit základí vlastosti fukcí. Klíčová slova: fukce, defiičí obor, obor hodot, graf, fukce rostoucí, klesající, erostoucí, eklesající, mootóí, ryze mootóí, prostá, kladá, záporá, ekladá, ezáporá, sudá, lichá, periodická, iverzí, složeá, součet, rozdíl, souči, podíl fukcí. Čas potřebý k prostudováí této kapitoly: 50 miut příklady 75 miut Obsah kapitoly... Pojem fukce... Základí vlastosti fukcí... Základí operace s fukcemi TEORETICKÉ ZÁKLADY 5

... Pojem fukce Defiice. Nechť A je možia reálých čísel. FUNKCE f je zobrazeí z možiy A do možiy R; píšeme f : A R. Možia A se azývá DEFINIČNÍ OBOR fukce f a začí se D(f ). Fukce f je tedy určitý předpis, který každému číslu z jejího defiičího oboru přiřadí jedozačě jedo reálé číslo y f (). Teto předpis je většiou dá ějakým vzorcem, apříklad f ( ). Někdy se ovšem stává, že takový vzorec eeistuje. V tomto případě se fukce zadává apříklad slovím předpisem. Příkladem takové fukce je třeba fukce, která každému přirozeému číslu přiřazuje počet jeho dělitelů. Příklad. Mějme předpis, který každému reálému číslu přiřadí y takové, že y. Teto předpis eí fukce, protože každému číslu epřiřazuje jedozačě jedo číslo y. Například číslu by odpovídaly hodoty y a y. Za defiičí obor se obvykle bere možia všech reálých čísel, pro které má výraz f () smysl. V ěkterých případech však může být defiičí obor zadá. Mějme apříklad fukci f () s defiičím oborem D(f ) R. Pak apříklad v bodě má výraz smysl, ale f () eí defiováo, protože epatří do defiičího oboru D(f ). Příklad. Vraťme se k fukci ( ) f a určeme její defiičí obor. Máme tedy určit možiu všech reálých čísel, pro která je výraz defiová. Odmocia je defiováa pouze pro ezáporá čísla. Číslo proto musí být ezáporé, eboli musí být 0. To platí pro. Defiičí obor je tudíž možia ; ). Defiice. GRAF FUNKCE f je možia všech bodů v roviě o souřadicích [, f ()], kde patří do defiičího oboru D(f ). Když kreslíme graf fukce, bereme jedo po druhém čísla D(f ) a kreslíme body o souřadicích [, f ()]. Jestliže je defiičí obor ekoečá možia, kreslíme pouze část grafu, apříklad pro z itervalu 0, 0. Jestliže je fukce defiováa a itervalu, akreslíme dostatečě moho bodů z tohoto itervalu a sousedí body spojíme. Na obr. je graf (přesěji řečeo pouze jeho část) fukce f ( ), a obr. je graf fukce g() y, kde y je počet dělitelů přirozeého čísla. obr. obr. 6 MATEMATICKÁ ANALÝZA

Řekěte, kdy může být možia bodů v roviě grafem fukce. Může být třeba kružice grafem fukce? Graf fukce je podle defiice možia G všech bodů v roviě ve tvaru [, f()]. Představme si (viz obr. ), že eistují (alespoň) dva růzé body [, y] a [, z] áležející možiě G. Pak by ovšem muselo platit f () y a f () z. Z toho však plye, že hodota f () eí jedozačě defiováa. Taková možia bodů tedy emůže být grafem fukce. Cvičeí. obr. Určete defiičí obory a ačrtěte grafy fukcí a) y, b) y, c) y. Defiice. OBOR HODNOT fukce f : A R je možia všech reálých čísel y, ke kterým eistuje číslo A tak, že platí y f (). Začí se R(f ), ěkdy také f (A). Jestliže záme graf fukce f, můžeme obor hodot určit sado. Obor hodot je podle defiice možia těch čísel y takových, že bod [, y] áleží grafu fukce pro ějaké. Chceme-li získat obor hodot, musíme sestrojit kolmé průměty všech bodů grafu fukce do osy y. Situaci zachycuje obr. 4. obr. 4 Předchozí odstavec si přečtěte zovu a uvědomte si, proč tomu tak je. Příklad. Určeme defiičí obor fukce ( ) f a zjistěme, zda číslo y patří do jejího oboru hodot. Defiičím oborem je možia všech reálých čísel, pro která má uvedeý zlomek smysl, tj. pro která platí 0. Teto trojčle lze rozložit a souči ( )( ). Přitom platí ( )( ) 0 právě tehdy, když a. Z toho plye, že defiičí obor je možia D(f ) R\{, }. TEORETICKÉ ZÁKLADY 7

Nyí zjistěme, zda číslo y patří do oboru hodot. Je třeba zjistit, zda eistuje takové, že platí f () y. Zkusme tuto rovici vyřešit. 0 ( ) 0 Odtud je vidět, že pro 0 a platí f () y. Tedy takové eistuje a číslo y patří do oboru hodot R(f ). V dalších předáškách si postupě ukážeme, jak se určují obory hodot u kokrétích fukcí. Zkuste vlastími slovy říct, co to je fukce, defiičí obor, obor hodot a graf fukce. Vysvětlete, jak se určuje, zda ějaké číslo patří do defiičího oboru ebo oboru hodot.... Základí vlastosti fukcí Defiice 4. Fukce f a g se ROVNAJÍ právě tehdy, když mají stejé defiičí obory, tedy D(f ) D(g), a pro všecha D(f ) platí f () g(). Příklad 4. Mějme fukci f ( ) a fukci g(). Pro všecha čísla z defiičího oboru D(f ) platí f () g(). Přesto se však fukce f a g erovají. Fukce totiž mají růzé defiičí obory. Defiičí obor fukce f je D(f ) R\{}, kdežto D(g) R. Defiice 5. Nechť je fukce f defiováa a itervalu J. Jestliže pro všecha, y J taková, že < y, platí f () < f (y), azývá se fukce f ROSTOUCÍ a J; f () f (y), azývá se fukce f NEKLESAJÍCÍ a J; f () > f (y), azývá se fukce f KLESAJÍCÍ a J; f () f (y), azývá se fukce f NEROSTOUCÍ a J. Je-li fukce f rostoucí, eklesající, klesající, ebo erostoucí a J, azývá se MONOTÓNNÍ a J. Je-li fukce f rostoucí, ebo klesající a J, azývá se RYZE MONOTÓNNÍ a J. Je-li iterval J přímo defiičím oborem fukce f, pak se přívlastek a J vyechává. Z této defiice je ihed vidět, že každá rostoucí fukce je zároveň eklesající a každá klesající fukce je erostoucí. Naopak to platit emusí. V příkladu 5 bude ukázáa fukce, která je eklesající, ale eí rostoucí. Pozor! Z toho, že fukce eí rostoucí eplye, že je erostoucí. Podobě, fukce, která eí klesající, emusí být eklesající. V příkladu bude adefiováa fukce, která emá žádou z vlastostí uvedeých v defiici 5. Zda má fukce ěkterou z uvedeých vlastostí, lze sado určit z jejího grafu. Graf rostoucí fukce zleva doprava stoupá; graf klesající fukce zleva doprava klesá. Grafy eklesajících a erostoucích fukcí mohou být ěkde rovoběžé 8 MATEMATICKÁ ANALÝZA

s osou. Na obr. 5 jsou uvedey grafy čtyř fukcí. Určete u všech zobrazeých fukcí, jaké vlastosti z defiice 5 mají. obr. 5 Předpokládám, že příklad vyřešili správě: Fukce f je rostoucí a tudíž i eklesající. Fukce f je eklesající. Fukce f je klesající a tedy i erostoucí. Fukce f 4 je erostoucí. Všechy fukce jsou mootóí, ale ryze mootóí jsou pouze fukce f a f. Příklad 5. Celá část [] reálého čísla je defiováa jako ejvětší celé číslo meší ebo rové číslu. Kupříkladu je [ ], [,85] ebo [,4] 4. Graf fukce celá část je a obr. 6. Tato fukce je eklesající, ale eí rostoucí. To se dokáže sado. Zvolme si růzá čísla, y tak, aby < y. Protože je [], je [] celé číslo meší ež y. Protože [y] je ejvětší celé číslo meší ež y, je [] [y]. Celá část je tedy eklesající. Pro čísla a y,5 platí < y, ale eplatí [] < [y]. Proto celá část eí rostoucí. Pokuste se ajít fukci, která je erostoucí, ale eí klesající. obr. 6 Defiice 6. Nechť f : A R je fukce. Jestliže pro každá dvě čísla, y A taková, že y, platí f () f (y), pak se fukce f azývá PROSTÁ. Ekvivaletí Defiice 6. Fukce f je PROSTÁ, jestliže z toho, že f () f (y), plye y. Chceme-li zjistit, zda je fukce f prostá, postupujeme ásledově: Napíšeme rovost f () f (y). Jestliže se ám ekvivaletími ebo důsledkovými úpravami podaří dojít k rovosti y, pak je fukce prostá. Jestliže se ám však podaří ajít čísla, y, kde y, taková, že f () f (y), pak fukce f eí prostá. Příklad 6. Fukce f () eí prostá, protože platí a f ( ) f (). Naproti tomu fukce g() prostá je, protože z rovosti g() g(y) ekvivaletími úpravami dostaeme y: TEORETICKÉ ZÁKLADY 9

y y y Věta. Fukce f je prostá právě tehdy, když pro každé y R(f ) eistuje jedié D(f ) takové, že y f (). Důkaz. Zleva doprava provedu důkaz epřímo. Předpokládejme, že eistují růzá čísla, t taková, že f () f (t) y. Potom platí t, ale f () f (t) a podle defiice 6 fukce f eí prostá. Zprava doleva budu větu dokazovat také epřímo. Z defiice 6 plye, že fukce f eí prostá, jestliže eistují růzá čísla, t taková, že f () f (t) y. Takže eistuje číslo y a alespoň dvě čísla taková, že y f (). To je ale egace výroku pro každé y eistuje jedié tak, že y f (), c.b.d. Jestliže tedy eistuje číslo y R(f ) takové, že eistují (alespoň dvě) růzá čísla, t D(f ), pro která platí f () f (t) y, pak fukce f eí prostá. Toto je přímý důsledek předchozí věty. Situace je zachycea a obr. 7. Věta. obr. 7 Každá ryze mootóí fukce je prostá. Důkaz. Větu dokážu pro rostoucí fukci. Zvolme růzá čísla, y. Je-li < y, je f () < f (y) a tedy f () f (y). Je-li > y, je f () > f (y) a tedy f () f (y). Pro y tudíž platí f () f (y) a rostoucí fukce je prostá. Pro klesající fukci je důkaz aalogický. (Proveďte.) C.b.d. Příklad 7. Pro < y je < y. Proto je fukce f () rostoucí. Podle věty je fukce f prostá. Defiice 7. Nechť f : A R je fukce. Jestliže pro všecha A platí f () > 0, azývá se fukce f KLADNÁ; f () 0, azývá se fukce f NEZÁPORNÁ; f () < 0, azývá se fukce f ZÁPORNÁ; f () 0, azývá se fukce f NEKLADNÁ. Fukce f se tedy azývá kladá, jsou-li všechy její hodoty f () kladé. Obdobě pro ostatí vlastosti. Z defiice ihed plye, že každá kladá fukce je zároveň ezáporá a každá záporá fukce je ekladá. Příklad 8. Fukce f () je kladá, protože číslo je pro všecha kladé. Fukce g() je ezáporá, protože číslo je pro všecha ezáporé. Přesto g eí fukce kladá, jelikož pro 0 eí číslo 0 kladé. 0 MATEMATICKÁ ANALÝZA

Cvičeí. Najděte fukci, která je ekladá a zároveň ezáporá. Defiice 8. Nechť f : A R je fukce. Jestliže eistuje kostata m R taková, že pro všecha A platí azývá se fukce f ZDOLA O m f (), ZENÁ; M R taková, že pro všecha A platí azývá se fukce f SHORA O f () M, ZENÁ. Je-li fukce f omezeá zdola i shora, azývá se OMEZENÁ. Graf fukce zdola omezeé kostatou m leží celý v poloroviě ad přímkou y m. Graf fukce shora omezeé kostatou M leží celý v poloroviě pod přímkou y M. Graf fukce omezeé kostatami m a M leží celý v roviém pásu ohraičeém přímkami y m a y M. Nechť je fukce f zdola omezeá kostatou m a echť < m. Ihed z defiice plye, že fukce f je zdola omezeá i kostatou. Obdobě, je-li fukce f shora omezeá kostatou M a N > M, je fukce f shora omezeá i kostatou N. Věta. Fukce f je omezeá právě tehdy, když eistuje kladá kostata K taková, že pro všecha D(f ) platí f () K. Důkaz. Nerovost f () K je ekvivaletí s erovostí K f () K. Při důkazu zprava doleva se má dokázat eistece kostat m, M takových, že m f () M. Stačí tedy dosadit m K a M K. Při důkazu zleva doprava je třeba ajít kostatu K, aby K f () K. V případě, že bude K > m, se může stát, že bude eistovat takové, že f () < K. Proto musí být K m, eboli K m. Obdobě musí být K M. Za kostatu K stačí zvolit větší z čísel m a M, c.b.d. Příklad 9. Mějme dáu fukci f (). Protože pro všecha je 0, je pro všecha hodota f (). Tato fukce je tedy zdola omezeá kostatou m. Neí však shora omezeá, protože pro velká roste hodota f () ade všechy meze. Cvičeí. Určete, zdali jsou ásledující fukce shora ebo zdola omezeé a v kladém případě určete jakými kostatami: a) ( ) f, b) f (), c) f (). Defiice 9. Nechť f : A R je fukce. Jestliže pro všecha A platí A a zároveň platí f ( ) f (), azývá se fukce f SUDÁ; f ( ) f (), azývá se fukce f LICHÁ. Graf sudé fukce je souměrý podle osy y. Graf liché fukce je souměrý podle počátku. Příklad 0. Určeme, zda je fukce f (), kde N, sudá ebo lichá. Pro sudá platí f ( ) ( ) f () a fukce f je sudá. Pro lichá platí f ( ) ( ) f () a fukce f je lichá. ME- ME- TEORETICKÉ ZÁKLADY

Věta 4. Nechť f je sudá fukce a a, b R jsou libovolé kostaty. Pak fukce g() af () b je také sudá. Důkaz. Je třeba ejdříve určit hodotu g( ). Platí g( ) af ( ) b. Podle předpokladu je f ( ) f () a proto g( ) af () b g(). Fukce g je tedy sudá, c.b.d. Věta 5. Nechť f je lichá fukce a a R je libovolá kostata. Pak fukce g() af () je také lichá. Důkaz. Je třeba ejdříve určit hodotu g( ). Platí g( ) af ( ). Podle předpokladu je f ( ) f () a proto g( ) af () g(). Fukce g je tedy lichá, c.b.d. Cvičeí 4. Dokažte, že žádá sudá fukce emůže být prostá. Defiice 0. Nechť f : R R je fukce. Jestliže eistuje kladá kostata t > 0 taková, že pro všecha R platí f ( t) f (), azývá se fukce f PERIODICKÁ s periodou t. Idukcí lze sado dokázat, že pro libovolé k N je číslo kt také periodou fukce. (Proveďte) Graf fukce s periodou t se vyzačuje tím, že se v ěm opakují části o šířce t. Na obr. 8 je graf fukce f() [], která má periodu t. obr. 8 Příklad. Nadefiujme zde tzv. Dirichletovu fukci D. Pro čísla Q je defiováo D(), pro čísla Q je D() 0. Tato fukce je periodická. Její periodou je libovolé číslo t Q. Je třeba dokázat, že D( t) D(). Je-li Q, je D() a t Q a tedy je D( t) D(). Je-li Q, je D() 0 a t Q a tedy je D( t) 0 D(). Číslo t je proto periodou Dirichletovy fukce. Řekěte zpaměti defiici prosté, sudé, liché a periodické fukce.... Základí operace s fukcemi Defiice. Nechť f : A R a g : B R jsou fukce. SOUČTEM, ROZDÍLEM, SOUČINEM a PODÍLEM fukcí f a g azýváme postupě fukce f g, f g, fg a, defiovaé vztahy f g MATEMATICKÁ ANALÝZA

( f g)( ) f ( ) g( ) ( f g)( ) f ( ) g( ) ( fg)( ) f ( ) g( ) f f ( ) ( ) g g( ) Chceme-li vypočítat hodotu součtu fukcí v bodě, vypočteme hodoty fukcí v bodě a tyto hodoty jedoduše sečteme. Toto platí obdobě pro ostatí tři operace. Defiičí obor součtu f g je možia všech bodů, ve kterých je součet f () g() defiová. V těchto bodech proto musí být defiováy hodoty f () a g(). Z toho plye, že takové body musí patřit jak do D(f ), tak do D(g), eboli musí být D(f ) D(g). Defiičí obor součtu fukcí je tedy rove průiku defiičích oborů jedotlivých fukcí, D(f g) D(f ) D(g). Toto platí obdobě pro rozdíl a souči fukcí. f U podílu je situace trošku složitější. K tomu, aby číslo patřilo do D ( ) g, je avíc uté, aby g() 0. (Proč?) Defiičí obor podílu fukcí je tudíž možia bodů patřících do průiku defiičích oborů jedotlivých fukcí, ve kterých eí jmeovatel rove ule. Jiými slovy platí f D D f D g R ; g 0 D f D g ; g 0. ( ) ( ) ( ) ( ) g { } ( ) { ( ) ( ) } Defiičí obor se však často zjedodušeě určuje jako možia všech čísel, pro která mají všechy prováděé operace smysl. Příklad. Určeme součet, rozdíl, souči a podíl fukcí f() g() a určeme defiičí obory těchto ových fukcí. f g f g ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( f g)( ) f ( ) g( ) ( ) ( ) ( fg)( ) f ( ) g( ) ( )( ) f f ( ) ( ) g g( ) 4 pro 0 Výrazy (f g)(), (f g)() a (fg)() mají smysl pro všecha R a proto jsou defiičí obory fukcí f g, f g a fg rovy D(f g) D(f g) D(fg) R f má smysl (přesěji řečeo operace prováděé při jeho výpočtu lze Výraz ( ) g provést) pouze pro 0. Proto je defiičí obor fukce g f Cvičeí 5. fukce. f ( ) R \ { 0} D. g rove Dokažte, že součet a souči dvou kladých fukcí jsou kladé a Defiice. Nechť A B jsou možiy reálých čísel a f : A R a g : B R jsou fukce. Dále echť pro všecha čísla A platí f () g(). Potom fuk- TEORETICKÉ ZÁKLADY

ce g se azývá ROZŠÍŘENÍ fukce f a možiu B. Fukce f se azývá ZÚŽE- NÍ (restrikce) fukce g a možiu A. Příklad. Mějme dáu fukci f : R R daou předpisem f (). Tato fukce eí prostá. (Proč?) Proveďme yí zúžeí fukce f a možiu 0; ). Jiými slovy vytvořme fukci g : 0; ) R daou předpisem g(). Fukce g je rostoucí a tedy je prostá. Zkuste sami ajít jiou možiu M tak, aby zúžeí fukce f a možiu M byla prostá fukce. Defiice. Nechť a a f : A B je prostá fukce. Defiujme ovou fukci f : B A tak, že každému číslu y R(f ) je přiřazeo právě to D(f ), pro které je f () y. Fukce f se azývá fukce INVERZNÍ k fukci f. a Výraz f : A B v předchozí defiici zameá, že A je defiičí obor D(f ) a B je obor hodot R(f ). Z defiice ihed plye: Jestliže f je iverzí fukce k fukci f, pak f (y) právě tehdy, když f () y. Dále platí f (f (y)) y pro všecha y R(f ) a f (f ()) pro všecha D(f ). Výpočet iverzí fukce provádíme ve dvou krocích. Rovici y f () vyřešíme vzhledem k proměé. Poté zaměíme všechy výskyty proměé za proměou y a aopak. Dostaeme iverzí fukci y f (). Ukážeme si to a příkladu. Příklad 4. Mějme fukci ( ) f a určeme k í fukci iverzí. Abychom mohli vůbec hovořit o iverzí fukci, musíme ejdříve dokázat, že f je prostá fukce. Podle věty stačí dokázat, že pro každé y eistuje jedié takové, že y f (). To dokážeme tak, že vyřešíme rovici y f () vzhledem k proměé a ukážeme, že má jedié řešeí. y y y ( y ) y y y Rovice y f () má tedy jedié řešeí. Z toho plye, že fukce f je prostá. Můžeme tedy přikročit k určeí iverzí fukce. Prví krok jsme však již udělali. Nyí stačí zaměit proměé a y. Dostaeme y. Iverzí fukce k fukci f je tedy fukce f ( ). Cvičeí 6. Určete iverzí fukce k fukcím a) y, b) y, c) y. 4 MATEMATICKÁ ANALÝZA

Zkuste vysvětlit, proč je v defiici iverzí fukce utý předpoklad, že fukce f je prostá. Předpokládejme, že fukce f eí prostá. Pak eistují růzá čísla, t taková, že f () f (t). Ozačme si y f (). Pak by ovšem muselo být f (y) a zároveň f (y) t a tedy hodota f (y) by ebyla určea jedozačě. Defiice 4. Nechť A, B jsou možiy reálých čísel a f : B R a g : A R jsou fukce. Defiujme fukci f g předpisem (f g)() f (g()). Tato fukce f g se azývá fukce SLOŽENÁ z fukcí f a g (v tomto pořadí). Nyí se pokusme odvodit, kdy patří číslo do defiičího oboru D(f g). V prvé řadě musí být defiováo číslo g(). Číslo proto musí patřit do možiy D(g) A. Dále musí číslo g() patřit do D(f ) B. Možia čísel, pro které platí g() B, se ozačuje g (B). Z tohoto plye, že platí D(f g) A g (B). Defiičí obor se však častěji určuje jako možia všech čísel, pro která mají operace prováděé při výpočtu f (g()) smysl. Příklad 5. Určeme fukce f g a g f složeé z fukcí ( ) g(). Dále určeme jejich defiičí obory. ( f o g)( ) f g( ) D ( ) f ( ) ( f o g) R \ { ;} ( g o f )( ) g( f ( ) ) D ( g o f ) R \ { } g f a Z předchozího příkladu je vidět, že skládáí fukcí eí komutativí, tj. obecě eplatí, že f g g f. Věta 6. Skládáí fukcí je asociativí, eboli platí f (g h) (f g) h. Z této věty plye, že při skládáí více fukcí emusíme psát závorky. Důkaz. Ozačme si L f (g h) a P (f g) h). Dokážeme, že pro každé platí L() P(). L() (f (g h))() f((g h)()) f(g(h())) P() ((f g) h)() (f g)(h()) f(g(h())) Z předchozích dvou řádků plye, že L P, c.b.d. Cvičeí 7. Určete fukce f f, f g, g f a g g složeé z fukcí a) f ( ), g() ; b) ( ) f, g(). Cvičeí 8. Zkuste a základě předešlého příkladu ajít fukci e tak, aby pro všechy fukce f platilo e f f e. Příklad 6. Jsou-li fukce f a g rostoucí, pak jsou rostoucí i fukce f g a g f. To se ahléde sado. Podle defiice pro < y platí g() < g(y). Ozačme si t g() a u g(y). Platí t < u a proto podle defiice je f (t) < f (u). Z toho TEORETICKÉ ZÁKLADY 5

ovšem plye, že pro < y je f (g()) < f (g(y)) a fukce f g je rostoucí. Obdobě pro fukci g f. Zkuste si pohrát s pojmy z defiice 5 a dokažte třeba, že složeí dvou klesajících fukcí je fukce rostoucí, složeí rostoucí a klesající fukce je fukce klesající,, složeí (ryze) mootóích fukcí je fukce (ryze) mootóí, složeí prostých fukcí je fukce prostá (důsledek předchozího), Máte-li zájem, můžete se pokusit určit, zda složeí fukcí, z ichž je m klesajících (erostoucích), je fukce rostoucí ebo klesající (eklesající ebo erostoucí). Důsledek. Nechť a, b, c, d R jsou libovolé kostaty, přičemž a, c 0 a f je prostá fukce. Pak fukce g() af (c d) b je také prostá. Důkaz. Fukce p() a b a q() c d jsou prosté. Fukce f je podle předpokladu také prostá. Platí g p f q. (Ověřte!) Fukce g je tedy složeá ze tří prostých fukcí a podle předchozího příkladu je prostá, c.b.d. Řekěte zpaměti defiici složeé a iverzí fukce. Shrutí: Fukce je ějaký předpis přiřazující každému číslu z defiičího oboru jedo číslo z oboru hodot. Graf fukce je možia bodů [, y] v roviě takových, že y f (). Fukce je rostoucí, jestliže s rostoucí hodotou proměé roste hodota f (). Podobě se defiuje fukce klesající, erostoucí a eklesající. Fukce, která je rostoucí ebo klesající, se azývá ryze mootóí. Fukce f se azývá prostá, jestliže ke každému y eistuje jedié takové, že y f (). Jestliže jsou všechy hodoty f () kladé, azývá se fukce kladá. Obdobě se defiuje fukce záporá, ekladá a ezáporá. Je-li graf fukce souměrý podle osy y, azývá se fukce sudá. Je-li graf souměrý podle počátku, azývá se fukce lichá. Jestliže se hodoty f () pravidelě opakují, azývá se fukce periodická. Hodota součtu fukcí je součet hodot fukcí. Podobě se defiuje rozdíl, souči a podíl fukcí. Iverzí fukce f k prosté fukci f se defiuje tak, aby platilo f (f ()). Složeí fukcí je defiováo (f g)() f (g()). 6 MATEMATICKÁ ANALÝZA

Cvičeí Cvičeí 9. Určete defiičí obory a obory hodot fukcí a) f () []; b) f ( ) ; c) ( ) D( ) Cvičeí 0. Určete fukce iverzí k fukcím f. a) f () a b; b) f () D(); c) f () 4. Cvičeí. Je dáa fukce ( ) f 6. a) Určete fukce f f, f f f, f f f f, b) Najděte další fukce, jež mají stejou vlastost jako fukce f v části a). Cvičeí. Nechť platí f f. Dokažte, že pro všecha D(f ) platí f (f (f (f ()))). TEORETICKÉ ZÁKLADY 7

Výsledky cvičeí Cvičeí. a) D() R; b) ( ) 0; ) obr. 9. D ; c) D( ) R \ {} 0 ; grafy jsou a obr. 9 Cvičeí. Pro všecha D(f ) musí platit f () 0 a zároveň f () 0. Z toho plye, že musí být f () 0 pro všecha D(f ). Cvičeí. a) 0 a proto f () je zdola omezeá; b) ( ) 0 a proto f () ( ) je shora omezeá; c) f () eí zdola ai shora omezeá. Cvičeí 4. Podle defiice sudé fukce je f () f ( ). Pak ovšem eistují dvě čísla, taková, že f () f ( ). To ale zameá, že fukce f eí prostá, c.b.d. Cvičeí 5. Pro všecha platí f () > 0 a g() > 0. Z toho plye, že (f g)() f () g() > 0 a fukce f g je kladá. Obdobě pro fukci fg. Cvičeí 6. a) y. Cvičeí 7. a) y ; b) platí f () f () 0, proto fukce eí prostá; c) 7 4 9 7 6 ( f o f )( ) b) ( f o f )( ) ( f o g)( ) ( f o g)( ) ( g o f )( ) ( g o f )( ) 4 ( g o g)( ) 6 ( g o g)( ) Cvičeí 8. Takovou fukcí je e(). Potom platí (f e)() f (e()) f () a (e f )() e(f ()) f (). Příklad 6. Postupuje se podobě jako v ukázce, je ěkteré erovosti mohou být opačé. Cvičeí 9. a) D(f ) R, R(f ) 0; ); b) D(f ) R(f ) Q; c) D(f ) ;, R(f ) 0;. Cvičeí 0. a) f ( ) b pro a 0; b), c) fukce f ejsou prosté. a 8 MATEMATICKÁ ANALÝZA

Cvičeí. a) f (f ()) f (f (f (f ()))), f () f (f (f ())) ; b) tuto vlastost mají apříklad všechy fukce ( ) f a. Cvičeí. f (f (f (f ()))) f (f (f (f ()))) f (f ()). Tato kapitola byla dle mého ázoru dosti jedoduchá. Jestliže Vám však čiila potíže, asi jste a středí škole eměl(a) matematiku. V tom případě Vám doporučuji pročíst si ještě jedou tuto kapitolu ebo kihu [8]. Budete se muset v tomto předmětu více sažit, ale věřím, že brzy ostatí dožeete. TEORETICKÉ ZÁKLADY 9

.. ALGEBRAICKÉ FUNKCE Po prostudováí budete schopi akreslit graf fukce, jestliže záte graf podobé fukce; akreslit graf fukce, jestliže záte graf iverzí fukce. Budete zát základí vlastosti lieárích, kvadratických a lieárích lomeých fukcí; defiice Dirichletovy a Riemaovy fukce. Klíčová slova: Fukce lieárí, kvadratická, lieárí lomeá, Dirichletova, Riemaova. Čas potřebý k prostudováí této kapitoly: 75 miut příklady 75 miut Obsah kapitoly... Trasformace grafu... Lieárí fukce... Kvadratické fukce..4. Lieárí lomeá fukce..5. Další fukce 0 MATEMATICKÁ ANALÝZA

... Trasformace grafu V případě, že Vám předchozí kapitola ečiila problémy, věujte v částech....4 pozorost pouze příkladům a cvičeím. V této části se dozvíte, jak se změí graf fukce, jestliže se částečě změí fukce. Aby byl výklad jasější, budu stále obměňovat fukci ϕ, jejíž graf je a obr. 0. Její graf bude vždy zeleý, zatímco ové grafy budou modré. Trasformace budou avíc zdůrazěy červeými šipkami. obr. 0 Přičteí čísla k hodotě fukce. Nechť b je reálé číslo a f je fukce. Vytvořme fukci g, která vzike přičteím čísla b k fukci f. Platí tedy g() f () b. Nechť bod A [, f ()] patří grafu fukce f. Posuutím bodu A o b jedotek ahoru dostaeme bod B [, f () b] [, g()]. Bod B tedy patří grafu fukce g. Graf fukce g proto vzike posuutím grafu fukce f o b jedotek ahoru. (V případě b < 0 se graf samozřejmě posouvá o b jedotek dolů.) Na obr. je graf fukce ψ() ϕ(), a obr. graf fukce ω() ϕ(). obr. obr. Vyásobeí hodoty fukce číslem. Nechť a je reálé číslo a f je fukce. Vytvořme fukci g, která vzike vyásobeím fukce f číslem a. Platí tedy g() af (). Nechť bod A [, f ()] patří grafu fukce f. Vyásobeím y-ové souřadice bodu A číslem a dostaeme bod B [, af ()] [, g()]. Bod B tedy patří grafu fukce g. Graf fukce g je tudíž možia všech bodů [, ay] ta- ALGEBRAICKÉ FUNKCE

kových, že bod [, y] patří grafu fukce f. Na obr. je graf fukce ϕ ϕ. ( ) ( ), a obr. 4 graf fukce ( ) ( ) ψ ω 5 obr. obr. 4 Přičteí čísla k argumetu fukce. Nechť d je reálé číslo a f je fukce. Vytvořme fukci g() f ( d). Nechť bod A [, f ()] patří grafu fukce f. Posuutím bodu A o d jedotek doleva dostaeme bod B [ d, f ()] [ d, g( d)]. Bod B tedy patří grafu fukce g. Graf fukce g proto vzike posuutím grafu fukce f o d jedotek doleva. (V případě d < 0 se graf samozřejmě posouvá o d jedotek doprava.) Na obr. 5 je graf fukce ψ() ϕ( ), a obr. 6 graf fukce ω() ϕ( ). obr. 5 obr. 6 Vyásobeí argumetu fukce číslem. Nechť c je reálé číslo a f je fukce. Vytvořme fukci g() f (c). Nechť bod A [, f ()] patří grafu fukce f. Poděleím -ové souřadice bodu A číslem c dostaeme bod B, f, g ]. Bod B tedy patří grafu fukce g. Graf fukce g je tudíž [ ( )] [ () c c c c y] ψ ( ) ϕ( ), a obr. 8 graf fukce ( ) ϕ( 4 ) možia všech bodů [, takových, že bod [, y] patří grafu fukce f. Na obr. 7 je graf fukce ω. 5 MATEMATICKÁ ANALÝZA

obr. 7 obr. 8 Je dá graf fukce f (). Popište, jak se kostruují grafy fukcí f () b, af (), f ( d), f (c). Pokuste se vysvětlit, jak by se zkostruoval graf fukce af (c d) b. Graf iverzí fukce. Aby mohla eistovat iverzí fukce f k fukci f, musí být fukce f prostá. To však aše (zeleá) fukce ϕ z obr. 0 eí. (Proč?) Proto zde budu pracovat s jiou fukcí χ, jejíž graf je a obr. 9. obr. 9 Nechť bod A [, f ()] patří grafu fukce f. Záměou prví a druhé souřadice bodu A, tedy překlopeím podle přímky y, dostaeme bod B [f (), ] [f (), f (f ())]. Bod B tedy patří grafu fukce f. Graf fukce f proto vzike překlopeím grafu fukce f podle přímky y. Na obr. 0 je graf fukce χ. ALGEBRAICKÉ FUNKCE

obr. 0... Lieárí fukce Defiice 5. Fukce f () a b, kde a, b R, se azývá LINEÁRNÍ FUNK- CE. Speciálě (při a 0) se fukce f () b azývá KONSTANTNÍ FUNKCE. Protože operace prováděé při výpočtu a b lze provést pro všecha R, je defiičí obor rove D(f ) R. Kostatí fukce f () b. Graf fukce f je možia všech bodů [, b]. Tato možia ovšem eí ic jiého ež přímka rovoběžá s osou a procházející bodem [0, b]. Graf fukce f je a obr.. obr. Fukce f abývá pouze jedié hodoty b a proto je R(f ) {b}. Fukce f eí rostoucí ai klesající, ale je erostoucí a eklesající. (To eí totéž!) Protože je f () f ( ) b, je fukce f sudá. Pro všecha čísla R a t > 0 platí f () f ( t) b, proto je fukce f periodická a její periodou je libovolé číslo t > 0. Kostatí fukce jsou jedié fukce s touto vlastostí. Fukce f eí prostá, protože je periodická. Fukce f (). Graf fukce f je možia všech bodů [, f ()] [, ], tedy je to přímka procházející počátkem a svírající s osami a y úhel 45. Graf fukce f je a obr.. 4 MATEMATICKÁ ANALÝZA

obr. Ke každému číslu y R eistuje číslo R takové, že y f (). Proto je R(f ) R. Fukce f je rostoucí a proto prostá. Z toho také plye, že f eí periodická. Protože f ( ) f (), je fukce f lichá. Fukce f () a b pro a 0. Grafem fukce f je opět přímka. Tato přímka prochází a ose y bodem [0, f (0)] [0, b]. Zjistěme, kterým bodem a ose tato přímka prochází. Ozačme teto bod [, 0]. Pro číslo musí platit f () 0. Vyřešeím této rovice dostaeme b a. Graf fukce f pro a > 0, resp. a < 0 je a obr., resp. obr. 4. obr. obr. 4 Protože ke každému čísly y R eistuje číslo R takové, že y f (), je R(f ) R. Pro a > 0 platí < y a < ay a b < ay b a proto je pro a > 0 fukce f rostoucí. Obdobě pro a < 0 je f klesající. Fukce f je tedy ryze mootóí a proto prostá a eperiodická. Příklad 7. Určeme číslo b tak, aby fukce f () a b byla lichá. Musí platit f () f ( ). Úpravou tohoto vztahu postupě dostaeme. a b a b b b b 0 b 0 Z toho plye, že fukce f () a b je lichá právě tehdy, když je b 0. ALGEBRAICKÉ FUNKCE 5

Jak se určí průsečíky grafu fukce s osami a y?... Kvadratické fukce Defiice 6. Fukce f () a b c, kde a 0 a b, c R, se azývá KVADRATICKÁ FUNKCE. Fukce f (). Grafem fukce f je možia všech bodů [, ]. Je to křivka, která se azývá PARABOLA. Graf fukce f je uvede a obr. 5. obr. 5 Jestliže je y 0, pak eistuje číslo R takové, že f () y. Je-li však y < 0, pak žádé takové eeistuje. Proto je R(f ) 0; ). Fukce f je klesající a itervalu ( ; 0 a rostoucí a 0; ). Protože platí f ( ) ( ) f (), je fukce f sudá. Z toho plye, že f eí prostá. Fukce f eí periodická. Fukce f () a pro a 0. Grafem fukce f je parabola procházející body [0; 0] a [ ± ; a]. Pro a > 0 má fukce f stejé vlastosti jako fukce. Pro a < 0 je f rostoucí a ( ; 0, klesající a 0; ) a R(f ) ( ; 0. Graf fukce f pro a < 0 je uvede a obr. 6. obr. 6 Fukce f () a b c. Grafem fukce f je opět parabola. Abychom zjistili, jak tato parabola vypadá, musíme ejdříve fukci f upravit: b c b b c b b 4ac a b c a a a ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a a a a f a a 4a 4 jedotek do- Graf fukce f tedy vzike posuutím grafu fukce a o b 4ac leva a jedotek dolů. Situaci ilustruje obr. 7. 4a b a 6 MATEMATICKÁ ANALÝZA

obr. 7 b b 4ac Vrchol paraboly je tedy v bodě [ ; ]. Pro a > 0 je parabola ote- a 4a b vřeá ahoru a proto R( f ) c ; ) 4a. Pro a < 0 je parabola otevřeá b dolů a proto R ( f ) ( ; c 4a. Fukce f eí prostá ai periodická. Pro b a > 0 (a < 0) je fukce f klesající (rostoucí) a itervalu ( ; a a rostoucí (klesající) a itervalu ; ) b. a Příklad 8. Určeme číslo b tak, aby fukce f () a b c byla sudá. Pro všecha musí platit f () f ( ). Úpravami této rovosti postupě dostaeme a( ) b( ) c a b c a b c a b c b b b 0 b 0 Protože rovost má platit pro všecha, musí být b 0. Cvičeí. Určete průsečíky grafu fukce f () a b c s osami a y...4. Lieárí lomeá fukce a b Defiice 7. Fukce f ( ), kde c 0 a ad bc, se azývá LINEÁRNÍ c d LOMENÁ FUNKCE. Protože f () je zlomek, esmí být jmeovatel rove ule. Nesmí tedy platit d D f R \.. Z toho plye, že ( ) { } c Fukce f ( ) c d. Grafem této fukce je křivka a obr. 8, která se azývá (ROVNOOSÁ) HYPERBOLA. Tato křivka se eustále přibližuje k osám a y, ale ikdy je eprote. ALGEBRAICKÉ FUNKCE 7

obr. 8 Určeme obor hodot. R(f ) je možia těch čísel y, pro která má rovice f () y řešeí. Jedoduchou úpravou této rovice dostaeme. Z toho plye, že při y 0 emá rovice f () y řešeí, eboli R(f ) R\{0}. Pro 0 < < y platí y <, eboli f (y) < f (). Z toho plye, že fukce f je klesající a itervalu (0; ). Obdobě je f klesající a ( ; 0). Přesto však f eí klesající a celém svém defiičím oboru, protože apříklad f () > f ( ). Protože ke každému číslu y R(f ) eistuje jedié číslo takové, že f () y, je fukce f prostá. Z toho také plye, že f eí f f, je f lichá fukce. periodická. Protože platí ( ) ( ) Fukce ( ) Fukce f ( ) a f pro a 0. Odvoďte sami vlastosti této fukce. a b. K určeí vlastostí této fukce je opět uto ji ejdříve upravit. c d a ad ad bc bcad a b c ( ) ( c d ) c b a c c a f d d c d c d c c ( ) c bcad c d Graf fukce f vzike posuutím grafu fukce o c jedotek doleva a a jedotek ahoru. Situace je zachycea a obr. 9. c c c y 8 MATEMATICKÁ ANALÝZA

obr. 9 Graf fukce f se stále přibližuje k přímkám eprote. Z toho plye, že R( f ) R \ { } Odvoďte sami další vlastosti.. c a a y c a d c, ale ikdy je..5. Další fukce Dirichletova fukce D() je fukce, defiovaá a D(D) R, pro kterou platí: pro Q je D(), pro Q je D() 0. Ihed z defiice plye, že R(D) {0; }. Fukce D eí ai rostoucí ai klesající. Již dříve bylo ukázáo, že D je periodická a její periodou je libovolé a Q. Z toho plye, že D eí prostá. Cvičeí 4. Dokažte, že D je sudá fukce. Riemaova fukce R() je fukce defiovaá a D(R) R ásledově: p R(0) ; pro Q je R() 0; pro číslo, kde p a q jsou esoudělá R čísla, je ( ) q. Ihed z defiice plye, že ( R) { 0 } { ; q N} q q R. Fukce R eí ai rostoucí ai klesající. R je periodická a její periodou je libovolé kladé celé číslo. Z toho plye, že R eí prostá. Graf Riemaovy fukce je a obr. 0. obr. 0 ALGEBRAICKÉ FUNKCE 9

Cvičeí 5. Dokažte, že R je sudá fukce. Shrutí: Graf fukce f () b vzike posuutím grafu fukce f () o b jedotek ahoru. Graf fukce af () vzike atáhutím grafu fukce f () do výšky a a- ásobek. Graf fukce f ( d) vzike posuutím grafu fukce f () o d jedotek doleva. Graf fukce f (c) vzike stáhutím grafu fukce f () do šířky a jedu c-tiu. Graf fukce f () vzike překlopeím grafu fukce f () kolem přímky y. 0 MATEMATICKÁ ANALÝZA

Cvičeí Cvičeí 6. Červeá křivka a obr. je graf fukce f, která je sudá a má periodu t 4. Modrá křivka vzikla posuutím červeé křivky o dvě jedotky ahoru a jedu jedotku doprava. Určete všechy fukce, jejichž grafem je modrá křivka. a) f () ; f ) 5 f (); b) f ( ); g) f ( 7) ; c) f ( ) ; h) f ( ) ; d) f ( i) f ( 6) ; ) ; e) f (5 j) f ( ) 6. ); obr. Cvičeí 7. Na obr. jsou grafy fukcí f, g, h. Určete všecha tvrzeí o těchto fukcích, která jsou pravdivá. a) Žádá z těchto fukcí eí rova fukci 4. b) V itervalu ; eistuje bod 0 takový, že g( 0 )h( 0 ) 0. c) Rovice f () h() 0 emá v itervalu ; žádé řešeí. d) Pro každé ; platí f () f ( ). e) Eistuje eprázdý iterval a; b ; takový, že pro každé a, b platí h() g() f (). f ) Rovice g() h() 0 má a itervalu ; alespoň jedo řešeí. obr. Cvičeí 8. Určete základí vlastosti (defiičí obor, obor hodot, mootóost, průsečíky s osami, zda je fukce sudá/lichá) ásledujících fukcí a ačrtěte jejich grafy. a) f ( ) 4 e) f ( ) b) f ( ) 6 9 c) 4 0 4 f) f ( ) 4 d) f ( ) ( ) ( ) g) f R D ( ) ( )( ( )) ALGEBRAICKÉ FUNKCE

Výsledky cvičeí b± b 4ac Cvičeí. Průsečík s osou y je [0; c]. Průsečíky s osou jsou [ ;0] a pokud je b 4ac; Jiak průsečíky s osou ejsou. Cvičeí 4. Pro Q je Q a platí D( ) D(). Pro Q je Q a platí D( ) 0 D(), c.b.d. Cvičeí 5. Pro Q je Q a R( ) 0 R(). Pro jsou esoudělá čísla, je Z toho plye, že R( ) R( ) q p q, c.b.d. Cvičeí 6. Modrá křivka je grafem fukcí d), e) a g). Cvičeí 7. Pravdivá jsou tvrzeí a), b), e) a f ). p q,, kde p a q, přičemž čísla p a q jsou esoudělá. Cvičeí 8. a) D(f ) R(f ) R, fukce je rostoucí a R, eí sudá ai lichá, 4 průsečík s osou je [ ; 0], s osou y je [0; 4], graf je a obr.. b) D(f ) R(f ) R, fukce je klesající a R, eí sudá ai lichá, průsečík s osou je [; 0], s osou y je [0; 6], graf je a obr.. c) f ( ) 4( )( ) 4( 5 ), D(f ) R, R(f ) ; ), fukce je 5 klesající a ( ;, rostoucí a ; ) 5, eí sudá ai lichá, průsečíky s osou jsou [; 0] a [; 0], s osou y je [0; 4], graf je a obr.. d) f (), D(f ) R, R(f ) ( ;, fukce je rostoucí a ( ; 0, klesající a 0; ), je sudá, průsečíky s osou jsou [ ; 0] a [; 0], s osou y [0; ], graf je a obr.. 5 e) f ( ), D(f ) R\{}, R(f ) R\{}, fukce je klesající a ( ; ) a (; ), eí sudá ai lichá, průsečík s osou je [ ;0], s osou y je [0; ], graf je a obr. 4. f ) f ( ), D(f ) R\{}, R( ) R \ { } f, fukce je rostoucí a ( ; ) a (; ), eí sudá ai lichá, průsečík s osou je [; 0], s osou y je 9 0 ; ], graf je a obr. 4. [ 4 g) f () 0, D(f ) R, R(f ) {0}, fukce je kostatí (a tedy erostoucí a eklesající) a R, je sudá i lichá, průsečíky s osou jsou [t; 0] pro všecha t R, s osou y je [0; 0], graf je a obr.. MATEMATICKÁ ANALÝZA

obr. obr. 4 Tato kapitola byla sadá. Sloužila především ke shrutí učiva ze středí školy pro studety, jimž matematika čiila potíže. Uvedeé vlastosti eí třeba umět zpaměti, prtože si je lze sado odvodit. Důležité je umět z grafu fukce vyčíst základí vlastosti, obdobě jako ve cvičeí 7. ALGEBRAICKÉ FUNKCE

. DIFERENCIÁLNÍ POČET.. SPOJITOST Po prostudováí budete vědět, co je to okolí bodu; jak se určuje, zda je fukce spojitá v bodě ebo a itervalu; jaké vlastosti mají spojité fukce; určit itervaly, a ichž je fukce kladá, ebo záporá; co je to Darbouova vlastost. Klíčová slova: Okolí bodu, spojitost v bodě, spojitost a itervalu, Darbouova vlastost, Weierstrassova věta. Čas potřebý k prostudováí této kapitoly: 0 miut příklady 0 miut Obsah kapitoly... Okolí bodu... Spojitost v bodě... Spojitost a itervalu..4. Věty o spojitosti 4 MATEMATICKÁ ANALÝZA

... Okolí bodu Defiice 8. Nechť a je reálé číslo a δ > 0. Potom iterval (a δ; a δ) se azývá δ-okolí BODU a a ozačuje se U δ (a); U a ; (a δ; a se azývá LEVÉ δ-okolí BODU a a ozačuje se δ ( ) a; a δ) se azývá PRAVÉ δ-okolí BODU a a ozačuje se ( a) U. Vyjmutím bodu a z (levého, pravého) δ-okolí bodu a dostaeme tzv. REDUKO- P a,p a ). VANÉ (LEVÉ, PRAVÉ) δ-okolí BODU a, které se ozačuje P δ (a) ( ( ) Redukovaé okolí se také ěkdy azývá PRSTENCOVÉ OKOLÍ. Jedostraá re- a a δ; a P a a; a δ. dukovaá okolí lze rověž zapsat ve tvaru P ( ) ( ), ( ) ( ) Příklad 9. Zapišme pomocí erovostí, že číslo patří do prstecového - okolí bodu. Platí P () (; ) (; ). Vztah P () lze zapsat ve tvaru 0 < <. Zapište pomocí erovostí, že číslo patří do (redukovaého) (levého/pravého) δ-okolí bodu a. Správé řešeí je U δ ( a) U U P P P δ ( a) a δ < a δ ( a) a < a δ δ( a) 0 < a < δ δ ( a) a δ < < a ( a) a < < a δ δ a δ < < a δ a < δ Cvičeí 9. Vyjádřete ásledující itervaly jako okolí bodu a) (; 5); b) 6; 7); c) 0;.... Spojitost v bodě δ Defiice 9. Fukce f je SPOJITÁ V BODĚ a, jestliže pro každé ε > 0 eistuje δ > 0 takové, že pro všecha U δ (a) platí f () U ε (f (a)), eboli stručěji ε > 0 δ > 0 U δ (a) : f () U ε (f (a)). Fukce f je spojitá v bodě a, jestliže ke každému ε > 0 eistuje δ > 0 takové, že se každý bod z δ-okolí bodu a zobrazí do ε-okolí bodu f (a). Situace je zachycea a obr. 5. δ δ δ δ ( ) obr. 5 SPOJITOST 5

Geometricky lze (epřesě) říci, že fukce f je spojitá v bodě a, jestliže její graf můžeme a okolí bodu a akreslit jedím tahem. Při zjišťováí, zda je fukce f spojitá v bodě a, hledáme ke kladému číslu ε kladé číslo δ tak, aby pro všecha U δ (a) platilo f () U ε (f (a)). Přitom stačí dokázat, že f () U Kε (f (a)), kde K je ějaká kladá kostata. Ukážeme si to a příkladu. Příklad 0. Fukce y je spojitá v každém bodě a R. Nechť ε > 0 je libovolé pevě zvoleé číslo. Máme ajít číslo δ > 0 tak, aby pro všecha U δ (a) platilo U ε (a ). Jiými slovy musí platit a < ε. Pro všecha U δ (a) platí a < δ. Dále platí a ( a) a a a < δ a. Z toho plye, že a a a < δ(δ a ). Je třeba alézt číslo δ > 0 tak, aby δ(δ a ) ε, protože potom bude a < ε pro všecha U δ (a). Nerovost δ(δ a ) ε je ekvivaletí s erovostí δ a δ ε 0. Tato erovost platí pro δ a a ε; a a ε. Protože je ε > 0, je a ε > a a proto a a ε > 0. Protože musí být δ > 0, lze vzít δ a a ε, tedy takové číslo δ > 0 eistuje, c.b.d. Z tohoto příkladu je vidět, že i v případě tak jedoduché fukce, jako je, je zjišťováí spojitosti podle defiice dosti složité. Proto se při zjišťováí spojitosti většiou využívají věty uvedeé v části..4. V defiici spojitosti se vyskytuje číslo f (a). Aby fukce f mohla být v bodě a spojitá, musí číslo f (a) eistovat. Jiými slovy musí být a D(f ). Taktéž musí eistovat f () pro z ějakého δ-okolí bodu a. Tedy musí být U δ (a) D(f ) Kotrapozicí této věty ihed dostáváme Věta 7. Jestliže číslo a s ějakým svým okolím epatří do defiičího oboru D(f ), eí fukce f v bodě a spojitá. Příklad. Fukce f ( ) v bodě 0. eí defiováa pro 0 a proto eí spojitá Příklad. Dirichletova fukce eí spojitá v žádém bodě a R. Nechť a Q. Potom je D(a). Zvolme ε <. V každém U δ (a) eistuje alespoň jedo číslo Q. Pro toto platí U δ (a), ale D() 0 U ε (D(a)). Pro a Q je důkaz obdobý. Fukce f ( ) je spojitá v každém bodě a > 0. V bodě 0 spojitá eí, protože při jakémkoliv δ epatří levé δ-okolí bodu 0 do defiičího oboru. Cítíme však, že apravo od bodu 0 je odmocia v jistém smyslu spojitá. Proto se defiují jedostraé spojitosti. Defiice 0. Fukce f je SPOJITÁ V BODĚ a ZPRAVA (ZLEVA), jestliže pro každé ε > 0 eistuje δ > 0 takové, že pro všecha U δ ( a) ( U δ ( a) ) platí f () U ε (f (a)), eboli stručěji 6 MATEMATICKÁ ANALÝZA

ε ε ( a) : f ( ) Uε( f ( a) ) ( a) : f ( ) U ( f ( a) ) > 0 δ > 0 Uδ pro spojitost zprava a > 0 δ > 0 U pro spojitost zleva. δ Fukce f je spojitá v bodě a zprava (zleva), jestliže ke každému ε > 0 eistuje δ > 0 takové, že se každý bod z pravého (levého) δ-okolí bodu a zobrazí do ε- okolí bodu f (a). Situace je pro spojitost zprava zachycea a obr. 6. Pro spojitost zleva je situace podobá. (Nakreslete!) ε obr. 6 Příklad. Fukce f ( ) je zprava spojitá v bodě a 0. To se dokáže sado. Je třeba k číslu ε > 0 ajít číslo δ > 0 takové, aby pro každé číslo takové, že 0 < δ, platilo ε < < ε. Umocěím posledí erovosti a druhou dostaeme 0 < ε. Stačí tedy vzít δ ε, c.b.d. Věta 8. Fukce f je spojitá v bodě a právě tehdy, když je v bodě a spojitá zleva i zprava. Důkaz je sadý, ale budu ho provádět podrobě. Nejdříve provedu důkaz zleva doprava. Zvolme si libovolě číslo ε > 0. Fukce f je spojitá v bodě a a proto eistuje δ > 0 tak, že pro všecha U δ (a) platí a U a U a platí f () U ε (f (a)). Protože je U ( ) ( ), také pro všecha ( ) δ δ f() U ε (f (a)). To ale zameá, že fukce f je zleva spojitá v bodě a. Obdobě platí U δ a U a a proto fukce f je spojitá zprava v bodě a. ( ) ( ) δ Nyí provedu důkaz zprava doleva. Zvolme si libovolě číslo ε > 0. Fukce f je spojitá zleva v bodě a a proto eistuje číslo δ takové, že pro všecha U ( a) platí f () Uε(f (a)). Fukce f je zároveň spojitá zprava a proto δ U platí f () U ε (f (a)). Ji- eistuje číslo δ takové, že i pro všecha δ ( a) ými slovy platí f () U ε (f (a)) pro všecha U δ ( a) Uδ ( a) δ mi{δ ; δ }. Platí U δ ( a) Uδ ( a) a δ ( a) Uδ ( a) U δ ( a) Uδ ( a) U δ ( a) Uδ ( a). Dále platí U ( a) U ( a) U ( a) ovšem plye, že f () U ε (f (a)) pro všecha U δ (a), c.b.d. δ δ. Položme U, eboli δ δ. Z toho... Spojitost a itervalu Defiice. Fukce f je SPOJITÁ NA INTERVALU (a; b), jestliže je spojitá v každém bodě c (a; b). Fukce f je SPOJITÁ NA INTERVALU a; b, jestliže je spojitá a itervalu (a; b) a avíc je spojitá zprava v bodě a a spojitá zleva v bodě b. SPOJITOST 7

Jestliže je defiičí obor D(f ) itervalem a fukce f je spojitá a celém D(f ), pak se stručě říká, že fukce f je SPOJITÁ. Z defiice ihed plye toto: Je-li fukce f spojitá a itervalu I a J je jeho poditerval, pak je fukce f spojitá i a itervalu J. Příklad 4. Fukce f () je spojitá a R. Zvolme si libovolě a R a ε > 0. Je třeba ajít číslo δ, aby pro všecha U δ (a) platilo f () U ε (f (a)). Protože je f () a f (a) a, je třeba, aby pro všecha U δ (a) platilo U ε (a). Stačí tedy vzít δ ε, c.b.d. Příklad 5. Kostatí fukce f () c, kde c R je libovolá kostata, je spojitá a R. Zvolme si libovolě a R a ε > 0. Je třeba ajít číslo δ, aby pro všecha U δ (a) platilo f () U ε (f (a)). Protože je f () f (a) c a c U ε (c), platí f () U ε (f (a)) dokoce pro všecha R. Číslo δ > 0 tedy může být libovolé, c.b.d. Cvičeí 0. Dokažte, že fukce f () je spojitá a R...4. Věty o spojitosti Věta 9. Nechť fukce f a g jsou spojité v bodě a. Pak jsou i fukce f g, f f g a fg jsou spojité v bodě a. Je-li avíc g(a) 0, je i fukce g spojitá v bodě a. Důkaz bude uvede později. Důsledek. Jsou-li fukce f,,f spojité, jsou spojité i fukce f f a f f. Důkaz se provede matematickou idukcí. Důsledek. Je-li fukce f spojitá v bodě a a c R libovolá kostata, pak je fukce g() cf () spojitá v bodě a. Důkaz. Kostatí fukce c je spojitá a R a tedy je spojitá i v bodě a. Souči dvou fukcí spojitých v bodě a je fukce podle věty 9 spojitá v bodě a, c.b.d. Důsledek. Libovolá racioálí lomeá fukce je spojitá ve všech bodech, ve kterých eí jmeovatel rove ule. Speciálě je každý mohočle a 0 a a spojitý a R. Důkaz. Fukce je spojitá. Předpokládejme, že je spojitá fukce k pro ějaké k N. Pak podle věty 9 je spojitá i fukce k k. Fukce je proto spojitá pro každé N. Je-li a R libovolá kostata, je podle předchozího důsledku fukce a spojitá. Podle prvího důsledku je spojitá i fukce (mohočle) a 0 a a. Podle věty 9 je podíl dvou mohočleů, tedy racioálí lomeá fukce, spojitý ve všech bodech, ve kterých eí jmeovatel rove ule, c.b.d. Příklad 6. I když jsou fukce f a g espojité v bodě a, může přesto fukce f g být spojitá v bodě a. Příkladem jsou fukce f () D() a g() D(). Ai jeda z ich eí spojitá v žádém bodě. Ale fukce (f g)() je fukce kostatí a tedy spojitá. Cvičeí. Nechť je fukce f spojitá v bodě a a fukce g espojitá v bodě a. Co lze o fukcích f g a f g? 8 MATEMATICKÁ ANALÝZA

Věta 0. Je-li fukce f spojitá v bodě a a fukce g spojitá v bodě b f (a), je fukce g f spojitá v bodě a. Důkaz je uvede apříklad v kize [5] a straě 6. Důsledek. Nechť fukce f je spojitá. Protože absolutí hodota je spojitá fukce, je i fukce f () f () spojitá. Cvičeí. Eistuje fukce f, která eí spojitá v žádém bodě a D(f ), pro kterou je fukce f spojitá v každém bodě a D(f )? Věta. Jestliže je fukce f spojitá v bodě a a platí f (a) > 0 (f (a) < 0), pak eistuje číslo δ > 0 takové, že pro všecha U δ (a) platí f () > 0 (f () < 0). Tato věta říká, že když je spojitá fukce v ějakém bodě růzá od uly, je a ějakém svém okolí růzá od uly. Situace je pro f (a) > 0 zachycea a obr. 7. obr. 7 Důkaz. Větu dokážu pro f (a) > 0. Pro f (a) < 0 je situace podobá (proveďte). Z defiice spojitosti pro každé ε > 0 eistuje δ > 0 tak, že pro všecha U δ (a) je f () f (a) < ε. Zvolme ε f (a). Potom eistuje δ > 0 tak, že pro všecha U δ (a) platí f () f (a) < f (a). Tato erovost je ale pro f (a) > 0 ekvivaletí s erovostí f () > 0, c.b.d. Kotrapozicí věty dostáváme Jestliže fukce f měí a okolí bodu a zaméko, pak platí f (a) 0, ebo f eí spojitá v bodě a. Z toho plye, že fukce může (ale emusí) měit zaméko pouze v bodech, v ichž je rova ule, ebo eí spojitá. 8 Příklad 7. Určeme itervaly, a ichž je fukce f ( ) kladá, 4 ebo záporá. Na číselou osu aesme všechy body, v ichž je fukce rova ule ebo eí spojitá. Fukce může změit zaméko pouze v těchto bodech. Z toho plye, že pouze tyto body mohou být krajími body itervalů, a ichž je fukce kladá, ebo záporá. K určeí zaméka fukce a ěkterém itervalu stačí určit zaméko fukce v ěkterém vitřím bodě tohoto itervalu. Je vhodé zvolit bod, ve kterém se hodota f () spočítá sado. Fukce f () je rova ule v těch bodech, ve kterých je čitatel rove ule. Řešeím rovice 8 0 jsou čísla a 6. Fukce f () eí spojitá v těch bodech, v ichž je jmeovatel rove ule. Řešeím rovice 4 0 jsou čísla 0 a 4. Naesme proto a osu body 0,, 4 a 6 (viz obr. 8). SPOJITOST 9

obr. 8 Nyí určeme hodoty fukce f ve vitřích bodech vyzačeých itervalů. f ( ) 5 5 < 0 a tedy f je záporá a itervalu ( ; 0); 5 5 f () < 0 a tedy f je záporá a itervalu (0; ); f () 9 > 0 a tedy f je kladá a itervalu (; 4); f < a tedy f je záporá a itervalu (4; 6); () 5 5 5 0 5 f ( ) > 0 7 47 a tedy f je kladá a itervalu (6; ). Symbolicky je toto zakresleo a obr. 9. obr. 9 Věta. Jestliže je fukce f spojitá v bodě a, pak eistuje číslo δ > 0 takové, že fukce f je omezeá a U δ (a). Důkaz. Zvolme libovolě číslo ε > 0. Protože je fukce f spojitá v bodě a, eistuje číslo δ > 0 takové, že pro všecha U δ (a) platí f () U ε (f (a)). Jiými slovy pro všecha U δ (a) platí f (a) ε < f () < f (a) ε. Na U δ (a) je tedy fukce f zdola omezea kostatou f (a) ε a shora omezea kostatou f (a) ε, c.b.d. Přečtěte si zovu věty v části..4 a uveďte a pokuste se dokázat podobé věty pro jedostraou spojitost. Defiice. Fukce f má DARBOUXOVU VLASTNOST a itervalu I, jestliže pro všecha čísla a, b I taková, že a < b a f (a) f (b), a všecha čísla d ležící mezi f (a) a f (b) eistuje číslo c (a, b) takové, že f (c) d. Je-li iterval I přímo defiičím oborem fukce f, pak se přívlastek a I vyechává. Jiými slovy jestliže fukce mající Darbouovu vlastost abývá hodot f (a) a f (b), pak abývá všech hodot mezi čísly f (a) a f (b). Situaci ilustruje obr. 40. obr. 40 Věta. Fukce spojitá a itervalu má a tomto itervalu Darbouovu vlastost. Důkaz bez využití posloupostí je složitý a je uvede apříklad v kize [5] a straách 7 8. S využitím posloupostí je bude důkaz uvede v části... 40 MATEMATICKÁ ANALÝZA