6 TEORIE NELINEÁRNÍHO ŘÍZENÍ

6 TEORIE NELINEÁRNÍHO ŘÍZENÍ 6. Nelieárí sstém Lieárí sstém řízeí jso popsá lieárími difereciálími rovicemi. Tto sstém dovedeme poměrě jedodše řešit, ale ve sktečosti jso je rčito aproimací, eboť každý fzikálí sstém je v podstatě elieárí. Mohé elieárí sstém je však možo v rčité oblasti a za rčitých podmíek všetřovat jako lieárí s dostatečo přesostí. Ale eí to možé všech sstémů. Proto se msíme také sezámit alespoň se základ teorie pro všetřováí elieárích sstémů. S lieárostí a elieárostí prvků sstémů i sstémů samých jsme se již sezámili v kapitole.: Statické a damické vlastosti reglačích čleů. Připomeňme: Je-li statická charakteristika reglačího čle ebo obecě prvk sstém přímka, jedá se o lieárí čle či prvek sstém. Neí-li přímka, jedá se o elieárí čle. Lieárí sstém má všech prvk lieárí; jede elieárí prvek zameá elieárost celého sstém. Nelieárí sstém je sobor jedotlivých prvků, z ichž alespoň jede je elieárí. Nelieárí reglačí obvod je takový, kd alespoň jede z jeho prvků je elieárí. Většia reglačích čleů má elieárí staticko charakteristik. Ovšem ěkteré z ich je možo važovat jako podstatě elieárí a jié slabě elieárí. Při matematickém rozbor se slabě elieárí charakteristik ahrazjí přímkami a čle se řeší jako lieárí čle. Praktick evkazjí čle při takovéto áhradě odchlek od lieárích čleů. Za podstatě elieárí charakteristik pokládáme takovo, ktero elze matematick popsat v celém rozsah změ vstpí veliči jedo rovicí přímk. Taková charakteristika může poze sestávat ze dvo aebo více přímkových úseků. Eistje ještě jeda zvláštost ěkterých elieárích charakteristik ejedozačá závislost výstpí veliči a vstpí. asceí pásmo ecitlivosti hstereze relé Obr. 6. Statické charakteristik elieárích reglačích čleů moho být bď křivk s obecým průběhem aebo se vsktjí ve tvar tzv. tpických eliearit (velmi častý případ). Tpické eliearit jso zázorě a obr. 6. to jso základí tpické eliearit a a obr. 6. to jso kombiace těchto základích tpických eliearit. asceí + + pásmo ecitlivosti Obr. 6. relé + + pásmo ecitlivosti relé +pásmo ecitlivosti+ hsteréze 6

V elieárích obvodech eplatí pricip sperposice. Z toho důvod emůže být alezea odezva a libovolý vstpí sigál jako sma reakcí a poslopost skoků ebo implsů. Odezva elieárího obvod a skokovo změ jej echarakterizje, eboť eí ezávislá a velikosti skok. Následkem eplatosti pricip sperpozice je také epožitelost etrapolace. Zámé chováí elieárího obvod při daém jedotkovém skok edovolje dělat závěr o charakter reakce a skok větší či meší velikosti. Dokoce ěkterých elieárích obvodů může změa velikosti vstpího skok změit stabilí přechodový děj v estabilí ebo aopak. Frekvečí metod, které bl vvit pro lieárí sstém jso pro elieárí sstém epožitelé. Je-li totiž a vstp sisová či obecě harmoická fkce, eí sisová fkce a výstp. Tím eí možo požít frekvečího přeos, který pro lieárí sstém předpokládá sisové vstpí i výstpí kmit. A frekvečí přeos je východiskem všech frekvečích metod, počíaje frekvečími charakteristikami. U elieárích sstémů elze požít Laplaceov trasformace, elze zavést pojem přeos, a tím se výpočet elieárích obvodů stává daleko složitější, ež bl výpočet lieárích obvodů. Pro řešeí elieárích obvodů eeistje ai iversálí metoda, ai zcela přesá metoda. Pro jejich řešeí eistje více metod, z ichž každá je vhodá pro jiý tp obvod, pro jio eliearit a pro růzé cíle výpočt. Všech metod jso přibližé, jejich přesost závisí a velikosti krok výpočt, délce voleých itervalů, Obecě můžeme rozdělit metod řešeí elieárích obvodů a merické, simlačí a grafické či graficko-aaltické. Nmerické metod jso v podstatě merické metod řešeí difereciálích rovic. V matematice eistje celá řada merických metod pro řešeí difereciálích rovic, které se zhrba dají rozdělit a jedokrokové a vícekrokové (jedokrokové počítají fkčí hodot v daém bodě z jedé předcházející, vícekrokové z ěkolika předcházejících fkčích hodot). U těchto metod je zcela lhostejé, jestliže se jedá o lieárí či elieárí difereciálí rovice. Des eistje celá řada softwarových prodktů, které možňjí řešeí difereciálích rovic. Uživatel emsí vůbec ovládat merické metod pro řešeí difereciálích rovic, pokd je tímto software vbave. Co však mět msí, jso základ řešeí elieárích reglačích sstémů, ab pochopil zvláštosti, které se elieárích sstémů vsktjí a které emají žádo aalogii sstémů lieárích. Nevýhodo merických metod je sktečost, že dávají řešeí poze pro jed parametr a jed počátečí podmík a emožňjí celkový přehled o tom, pro které parametr je obvod stabilí a pro které estabilí a proč se ěkd chová tak a jid právě opačě. Simlačí metod mají svůj základ také v merickém řešeí difereciálích rovic, ale pracjí tpick simlačím způsobem a počítači. Na počítači se sestavje simlačí model reglačího obvod z bloků příslšého simlačího jazka, a jeho vstp se přivádí vstpí fkce a sledje odezva. Nejzámějším simlačím jazkem pro modelováí reglačích sstémů je prodkt MATLAB a jeho simlačí doplěk SIMULINK pls tzv. toolbo pro řízeí, idetifikaci atd., které jso požívá v celém světě. Tto program jso samozřejmě jak pro elieárí, tak i pro lieárí sstém a také pro fzz řízeí a pro moho dalších aplikací. O ich bde ještě mlveo v dalším. Základem grafických metod je metoda stavové rovi. Má sice edostatek v tom, že je požitelá poze pro obvod drhého řád (přejdeme-li do prostor, přejde v metod stavového prostor, možňjící řešit obvod třetího řád). Ale výsledk řešeí dávají celkový obraz 6

chováí sstém a můžeme je obdržet pro celo řad počátečích podmíek, pro růzé vstpí fkce, pro růzé eliearit či parametr eliearit. Základem metod je grafické řešeí elieárí rovice prvího řád. Všetřje vlastosti obvod v tzv. stavové roviě, jejímiž sořadicemi jso všetřovaá veličia (ejčastěji reglovaá) a její derivace. Výsledk se dají rozšířit i a obvod všších řádů ež je drhý. Mezi grafické či graficko-aaltické metod můžeme zařadit i frekvečí metod řešeí elieárích sstémů, především metod ekvivaletího přeos. Tato metoda rozšiřje požití frekvečích charakteristik i a elieárí sstém. Ekvivaletí přeos předpokládá liearizaci ve frekvečí oblasti. Dostaeme ho za předpoklad, že vstpí veličia elieárího čle je sisová a výstpí může být ahrazea prví harmoicko rozklad ve Forierov řad. Při požití metod ekvivaletího přeos se vžívá lieárích frekvečích metod, ale v jejich požití jso ěkteré zvláštosti. Nezastpitelé místo má metoda ekvivaletího přeos při všetřováí atooscilací v elieárích obvodech. 6. Metoda stavové rovi 6.. Základí vztah metod Kdbchom měli lieárí sstém o přeos řízeí podle (.) a rovici řízeí (.) a G w () s Y W m ( s) bms +... + bs + b () s a s +... + as + a ( m) () t +... + a ( t) + a ( t) b w ( t) +... + b w ( t) + b w( t) ( ) m bla b to rovice bzeého sstém, kde vstp je samozřejmě řídicí veličia w. Kdbchom ji položili rov le, dostaeme rovici atoomího lieárího sstém a ( t) +... + a ( t) + a ( t) ( ) (6.) Zde jso koeficiet a, a, a kostatími koeficiet. Bdo-li ale místo těchto koeficietů fkce, apř. t + t t + t t + t () ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) dostaeme rovici atoomího elieárího sstém atoomího elieárího reglačího obvod. Nelieárí obvod važjeme vesměs atoomí s lovo bdící fkcí a bzeí pak ahrazjeme ěktero elovo počátečí podmíko. V matematice se převádí elieárí difereciálí rovice (6.) sbstitcí a sostav difereciálích rovic prvého řád ( ) ( ) ( ) (6.) 6

... a a a a a... a Tto sbstitci lze také chápat jako zavedeí stavových veliči. Prví stavová veličia je výstpí veličia sstém, další stavové veliči,,, jso derivace výstpí veliči,,. Tímto jsme převedli elieárí difereciálí rovici atoomího obvod (6.) -tého řád, kde a, a, a jso fkce, a difereciálích rovic prvého řád. Této sostavě lze přiřadit jedodcho geometricko iterpretaci. Proměé,, M [,, ] zastpjící bod bdeme považovat za sořadice tzv. zastpjícího bod M v rozměrém prostor. Každém bod tohoto prostor odpovídá rčitý stav sstém. Proto se teto prostor azývá M[,, ] stavový prostor. Proměé,, mají v každém časovém okamžik rčité hodot a rčjí ted poloh zastpjícího bod M v každém časovém okamžik obr. stavová 6.. Podle toho, jak se proměé s časem měí, měí s i trajektorie poloha zastpjícího bod. Křivka, ktero přitom bod opisje, se azývá stavová trajektorie. Obr. 6. Stavový prostor Stavovo trajektorií rozmíme křivk ve stavovém prostor, která spojje všech bod [,, ], jimiž sstém postpě při svém pohb prochází. Čas sstém se v této iterpretaci stává ezávisle proměo parametrického vjádřeí stavové trajektorie. Přejdeme-li z rozměrého stavového prostor do -rozměrého prostor, přejdeme do stavové rovi. Rovice (6.) přejde do jedodché rovice která se ejčastěji vsktje ve tvar ( t) + a ( t) + a ( ) (6.) a t (6.4) ( ) + f ( ) + g (6.5) kde f(), g( ) jso elieárí fkce proměých a. Toto rovicí jde popsat velmi moho elieárích sstémů, a proto ji bdeme považovat za výchozí rovici pro demostraci metod stavové rovi. Zdůrazěme, že v této rovici eí eplicitě vjádře čas. Sbstitci zavedeme podle (6.) a toto sbstitcí převedeme rovici (6.6) a sostav rovic prvího řád d d g( ) f ( ) a poděleím drhé rovice prví dostaeme ( ) f ( ) d g + d (6.6) (6.7) (6.8) 64

Obr. 6.4 M Stavová trajektorie Toto je rovice stavové trajektorie v difereciálím tvar. Kdbchom ji dovedli vřešit, získali bchom sktečo rovici křivk ve stavové roviě a toto křivko b bla stavová trajektorie. Rovice (6.8) eí sice obecě aaltick řešitelá, lze ale požitím ěkterých grafických kostrkcí její řešeí získat a tímto řešeím je právě stavová trajektorie. Podle obr. 6.4 je stavová trajektorie křivka ve stavové roviě. Jak sovisí stavová trajektorie s řešeím původí rovice (6.5)? Celý postp řešeí rovice (6.5) je a obr. 6.5. elieárí sstém.řád rovice: ( ) + f ( ) + g časový průběh reglovaé veliči (t): přímé řešeí eí možé t převod do časové domé: sbstitce: stavová trajektorie: sostava rovic.řád: d d g f grafické kostrkce ( ) ( ) difereciálí tvar rovice stavové trajektorie: ( ) f ( ) d g + d možost posozeí stabilit Obr. 6.5 Postp při řešeí elieárího sstém metodo stavové rovi Protože eí možé přímé aaltické ai grafické řešeí výchozí elieárí difereciálí rovice drhého řád (6.5), převedeme tto rovicí sbstitcí (6.6) a sostav difereciálích rovic prvího řád (6.7). T bývají základem merického řešeí sstém. Při řešeí metodo stavové rovi převedeme tto sostav a jed difereciálí rovici prvého řád (6.8). Tto rovici dovedeme řešit grafick a to tak, že grafickými kostrkcemi akreslíme její řešeí a to je právě stavová trajektorie. Ta je ovšem v sořadicích, čili ve stavové roviě. Stavová trajektorie ám sice moží rčit stabilit daého elieárího sstém, ale to je většio málo. Obvkle chceme řešeí ve tvar časového průběh reglovaé veliči (t), které je možé ze stavové trajektorie získat. Tímto problémem se zabývají metod vjádřeí čas ve stavové roviě. 6.. Kostrkce stavové trajektorie a) Metoda izoklí Metodo izoklí můžeme obecě řešit elieárí difereciálí rovice prvího řád ( ) f, (6.9) Toto rovicí je rčeo, že libovolém bod [,] je přiřazea směrice, tj. směrice teč k řešeí rovice (6.9), kdb toto řešeí daým bodem [,] procházelo. 65

Podle metod izoklí volíme postpě za kostat κ, κ, κ a v roviě akreslíme křivk κ f (6.) ( ) i, podle obr. 6.6. Tto křivk azýváme izoklíami, eboť jso to geometrická místa bodů o stejé směrici (k řešeí daé difereciálí rovice). Každé řešeí rovice (6.9) ted partiklárí řešeí které prochází ěkterým bodem izoklí, msí mít v tomto bodě směrici, která odpovídá daé izoklíě a je a í vzačea krátkými úsek. Proto a každo izoklí akreslíme krátké úsek o daé směrici A d α d κ κ κ κ 4 d κ i d (6.) (je-li apř. κ i, je směrice vedea pod úhlem α, d kde tg α, a ted α arctg 6, 5. d D Máme-li sestrojit řešeí rovice (6.9), B procházející bodem A rčeým počátečí podmíko, C postpjeme ásledově: bodem A vedeme rovoběžk s ejbližší směricí (a ejbližší Obr. 6.6 izoklíě) a to až do bod B, který leží prostřed mezi dvěma izoklíami. Z tohoto bod vedeme rovoběžk se směricí odpovídající další izoklíě atd. Jso-li izoklí dostatečě hsté, je lomeá čára ahraditelá pllo křivko a ta je partiklárím řešeím difereciálí rovice (6.9). Aplikjme í tto matematicko metod izoklí a řešeí rovice (6.8) ( ) f ( ) d g + d Je zřejmé, že řešeí provádíme v sořadicích, tj. ve stavové roviě. Za derivaci pokládáme postpě kostat κ, κ,, κ a kreslíme izoklí o rovici g ( ) + f ( ) d d κ i (6.) Počátečím bodem sestrojjeme popsaým způsobem řešeí rovice (6.8) a to je stavová trajektorie. Příklad 6.: Řešte elieárí reglačí obvod podle obr. 6.7, kde dvopolohovým reglátorem tp ideálí relé regljeme itegračí reglovao sostav. Sestrojte odezv reglovaé veliči a jedotkový skok řídicí veliči a vstp obvod. Řešeí: Z přeos reglovaé sostav získáme její rovici, 5 +, 5 G S () s s,5 (,5s + ) - Obr. 6.7 Ze vztah e w vplývá w e, což dosadíme do rovice sostav, abchom získali rovici reglačího obvod (rovici dělíme hodoto,5) e w 66

( w e) +, 8( w e) Protože je w(t), je w w a ted e +,8e Zavedeím sbstitce e, e dostaeme rovice,8 a jejich poděleím dostaeme rovici stavové trajektorie v difereciálím tvar d, 8 + d Akčí veličia je pro e > (čili > ) a - pro e < (čili < ). Tím pádem se rovice stavové trajektorie rozpade a dvě rovice > : < :,8 d + d d d,8 κ κ d d d d κ +,8 κ +,8 Řešíme samostatě v pravé a levé poloviě stavové rovi. Izoklí jso polopřímk rovoběžé s oso a celá kostrkce stavové trajektorie je a obr. 6.8 pro počátečí bod [;] (podle zadáí řešíme odezv a jedotkový skok řídicí veliči w a proto msí být reglačí odchlka e() () a e () () je to vidět z obr. 6.8). Zjistíme, že křivka, kde reglátor přepíá je osa (přepíací křivka). Na í dochází vžd k ostrém zlom stavové trajektorie. κ κ κ5 κ κ- -,6 -,4 -, κ- κ-5 κ- κ, κ-,4 κ-,,8,6,4,,,4,6,8 -, -,4 -,6 -,8 - -, -,4 přepíací křivka κ- κ-5 κ- κ,6 κ,8 κ κ, κ κ κ5 κ Obr. 6.8 e -e,8,6,4, -, -,4 -,6 e t [s] 4 67

Časový průběh reglačí odchlk e(t) lze zkostrovat metodami, které bdo vede v další kapitole, ale a obr. 6.8 již teto průběh je. Záme-li průběh e(t) je sadé získat průběh reglovaé veliči (t) podle vztah w e e protože jsme sestrojo vali odezv a jedotkový skok řídicí veliči w(t). Průběh (t) je rověž sestroje a obr. 6.8. b) Metoda pomocých křivek Rovici izoklí elze vžd tak jedodše vjádřit jako v předchozím příklad. Zejméa jestliže jso fkce g( ) a f() složité aebo jso dá eperimetálě získaými charakteristikami. Pak je pro kostrkci stavové trajektorie výhodý ásledjící grafický způsob. Jeho výhoda spočívá také v tom, že emsíme kre slit celé pole izoklí jako metod izoklí, ale v podstatě kreslíme jeom t izoklí, kd stavová trajektorie prochází. Metoda izoklí ám kázala, že elieárím sstém popsaém rovicí (6.8) můžeme ve stavové roviě sestrojit pole izoklí. V každém bodě stavové rovi ted eistje směrice k stavové trajektorii, kdb td stavová trajektorie (při vhodé počátečí podmíce) procházela. Metoda pomocých křivek je právě me toda, která ám tto směrici v libovolé bodě stavové rovi možňje sestrojit. Ve stavové roviě sestrojíme dvě pomocé křivk o rovicích g ( ) ( ) f (6.) kde fkce g( ) a f( ) vezmeme z čitatele pravé stra rovice (6.8). Směrici stavové trajektorie v libovolém bodě [ ; ] stavové rovi pak sestrojíme takto obr. 6.9: -g( ) [, ] α A a α B C a Obr. 6.9 f( ) Daým bodem vedeme rovoběžk se sořadými osami,. Pořadici a f( ) aeseme od os a rovoběžk s oso a dostaeme bod A. Z průsečík této rovoběžk s pomoco křivko g( ), ozačíme ho jako bod B, spstíme kolmici a os ozačíme jako bod C. Kolmice ke spojici AC pak dává směrici stavové trajektorie v daém bodě [ ; ]. Správost kostrkce vple ze vztah tgα f ( ) [ g( )] f ( ) + g( ) kde tgα je směrice stavové trajektorie a ta odpovídá rovici (6.8). Zaméko směrice je klad é proto, že pro případ a obrázk 6.9 je f( )<, g( ) <. Lieard kázal výhod této metod pro případ, kd v rovici (6.5) je f() lieárí fkcí, což bývá poměrě často. Tto rovici pak zámo sbstitcí převedeme a tvar 68

-g( ) a -g( ) ( ) d g + d (6.4) Řešme úloh sestrojit stavovo trajektorii obvod popsaého rovicí (6.5) a vhovjící počátečí podmíce, zobrazeé bodem A ve stavové roviě. Sestrojíme pomocé Obr. 6. křivk o rovicích (6.). V případě, že f() je lieárí fkce, drho křivk ekreslíme. V bodě A sestrojíme směrici stavové trajektorie (obeco metodo ebo Lieardovo kostrkcí). V blízkém bodě a této směrici (ozačme ho B) zov sestrojme směrici stavové trajektorie. Na i zvolme blízký -g( ) bod (ozačme ho C) a v ěm Jestliže bod A, B, C, B volíme dostatečě b lízko sebe, je obálka směric v těchto B C C bodech stavová trajektorie obr. 6.. A A Někd je výhodé, zvláště je-li f() lieárí fkce, ahrazovat směrice krhovými oblok, jak je to azačeo a obr.6.. Stavová trajektorie se skládá B C A z krátkých krhových obločků, opisovaých z bodů A, B, jako středů, přímo v bodech A, B, Bod A, B, Obr. 6. však ejso střed křivosti, metoda je je přibližá a její přesost opět závisí a hstotě bodů. Příklad 6.: Reglačí obvod podle obr. 6. se skládá z elieárího reglátor daého staticko charakteristiko tp asceí a z lieárí reglovaé sostav daé přeosem G S (s). Nakreslete stavovo trajektorii tohoto obvod pro počátečí podmík (),8 a (). Rovice reglátor je dáa elieárí fkcí, rčeo staticko charakteristiko Bdeme-li aplikovat vedeo metod sestrojeí směrice stavové trajektorie a teto případ zjistíme, že a pomocá křivka f ( ) je zde přímko jdocí počátkem pod Obr. 6. úhlem 45. Kostrkce směrice se zde redkje a sestrojeí pravoúhlého trojúhelík a přímk eí vůbec zapotřebí sestrojovat. Uvedeá kostrkce pro lieárí fkce f() se azývá Lieardovo kostrkcí. Ní dovedeme sestrojit v libovolém bodě stavové -g( ) f ( ) rovi směrici k stavové trajektorii (bď obeco metodo B D ebo Lieardovo kostrkcí). Jak í sestrojit stavovo C trajektorii? A Řešeí: přeos a proto je Rovici reglovaé sostav získáme z jejího +, f ( e) ( ) +, f e G S () s, s( s +), Obr. 6. e e w 69

-g( ) -,4,4, -, -, -,4 Obr. 6.4,f( ),,4,6,8 Jelikož je statická charakteristika licho fkcí, je f(e) -f(-e) a rovice má tvar ( ) + +, f e Protože teto obvod eí bze (w ) je e w - a dosazeím tohoto vztah obvod vlastě zavíráme. Rovice zavřeého reglačího obvod je ted ( ) + +, f Zavedeím sbstitce, převedeme tto rovici a tvar jejíž hodot spočítáme jako fkčí hodot daé fkce D(, ) v bodě P. Rovice (6.5) pak má tvar + +δ (6.7) ( ) d +, f d K obvod, daém toto rovicí, bdeme sestrojovat stavovo trajektorii metodo pomocých křivek. Nelze požít Lieardov kostrkce, poěvadž,.f() eí lieárí fkcí. Stavová trajektorie pro počátečí podmík (),8 a () je zkostrováa a obr. 6.4. c) Metoda δ Metoda předpokládá, že lze rovici (6.5) + g( ) + f ( ) převést a tvar + + D(, ) (6.5) Fkce D(, ) je obecá elieárí fkce proměých,. Pro blízké okolí zvoleého bod P ji ahradíme kostato δ D (, ) δ (6.6) Zavedeím sbstitce, převedeme tto rovici a tvar d + δ d To, jak ž blo řečeo, je difereciálí tvar rovice stavové trajektorie a přímo dává její směrici. Předchozí metodo pomocých křivek jsme dovedli tto P [, ] směrici v libovolém bodě stavové trajektorie sestrojit. A toto je také cíl metod δ. Kostrkce celé stavové α 9 +α trajektorie pak ž bde stejá jako metod pomocých křivek. Na obr. 6.5 je způsob sestrojeí směrice Q α R v obecém bodě P stavové rovi. Tato směrice je δ vjádřea pomocí výraz δ, který je spočítá ve výpočtovém bodě P [, ]. Na ose je realizová Obr. 6.5 (6.8) 7

výraz + δ tak, že za předpoklad δ > je a opačo stra jak aese úsek δ. Dostáváme tak bod Q, a jehož spojici QP je právě kolmá hledaá směrice. Správost kostrkce dokážeme výpočtem směrice přímk, ktero vdáváme za směrici stavové trajektorie: +δ tg( 9 + α ) (6.9) tgα + δ a to je podle rovice (6.8) sktečě směrice stavové trajektorie. a itegrovat Předpokládáme-li pro ejbližší okolí bod P kostatí δ, lze rovici (6.8) pravit pro poč átečí podmík ( ), ( ) ( + δ ) d d ( + ) r + δ (6.) To je rovice kržice o poloměr r QP a střed Q [-δ, ]. Stavovo trajektorii sestrojíme z krátkých krhových obloků tak, že začeme z daého počátečího bod. Určíme hodot δ a ze střed [-δ, ] opíšeme krátký obloček. Na ěm zvolíme další blízký bod a k ěm rčíme zov δ, opíšeme další obloček a tak postpjeme dále a postpě sestrojjeme stavovo trajektorii. Výhodo této metod je to, že oblok o střed [-δ, ] jso sktečě osklačí kržice. Příklad 6.: Sestrojte stavovo trajektorii elieárího reglačího obvod popsaého difereciálí rovicí ( +,58 ) +, +. Řešeí: Rovici pravíme a tvar (6.5) + +, +,58 ( ) Fkci D,, +,58 pokládáme vžd pro každý výpočtový bod za kostat δ. Ta je po zavedeí proměých, δ, -,5 +, 58 Kostrkce stavové trajektorie je a obr. 6.6 a to pro počátečí podmík ( ), ( ). Výpočet pro prvích šest výpočtových bodů je v tablce tab.6..,5,5 - -,5,5,5 - Obr. 6.6 4 5 6 č. δ,,,66,4,8,6,6,5,8 Tab. 6. č. δ 4,,8, 5,,94, 6,,68,5 Výpočet δ 7

6.. Vjádřeí čas ve stavové roviě Parametr sstém se měí v čase, počíaje časem t. Uvažjeme-li jako sstém reglačí obvod, měí se v čase jeho jedotlivé veliči, ás obvkle ejvíce zajímá, jak se měí s časem reglovaá veličia. U elieárího sstém, který řešíme metodo stavové rovi a sestrojjeme stavovo trajektorii ám chbí údaj o čase, ve kterém se sstém popisovaý poloho zastpjícího bod a stavové trajektorii achází obr. 6.7. Poze je jasý počátečí bod, děj začíá v čase t.jak vjádříme čas t, ve kterém přejde obvod z bod A do bod B a stavové trajektorii? Vjděme ze sbstitce (6.6) t ; odkd můžeme vjádřit d (6.) a jestliže chceme vjád řit čas, dosta eme ejdříve d (6.) a poto m itegrací B tb t A d (6.) Podle tohoto vztah bchom mohli spočítat čas, ve kterém přejde sstém z bod A do bod B. Grafick b to zamealo sestrojit křivk převraté hodot v závislosti a a plaimetrick rčit ploch pod toto křivko z A do B. To je spíše teoretická variata ež praktická. Někd se ve vztah (6.) přejde od hodot ekoečě malých k hodotám koečě malým t (6.4) - - t 6 5 4 t t Obr. 6.8 t 4 4 5 6 t [s] Obr. 6.9 t Tato rovice dává přírůstek čas t v daém iterval, kde je středí hodota a tomto iterval, jak je azačeo a obr. 6.8. S toto metodo se dá poměrě jedodše stavová trajektorie okótovat časem. Pokd se ám podaří okótovat stavovo trajektorii časem, eí ž problém ji převést a časový průběh reglovaé veliči. Stačí si vědomit, že sořadice stavové rovi jso vlastě, reglovaá veličia a její derivace. To ám říká sbstitce (6.6). A s tímto pozáím ž eí žádý problém převést stavovo trajektorii, kde je vzače čas, do časového průběh (t) obr. 6.9. A je dobré si jasit průběh čas ve stavové roviě. Připomeňme, že geometrická iterpretace stavové trajektorie je pohb zastpjícího bod v této roviě. Zastpjící bod zde zastpje sstém respektive jeho stav. A A t t A? B Obr. 6.7 t B? t C? C 7

Je ale možé a v prai velmi požívaé převést a časový průběh reglovaé veliči stavovo trajektorii, která eí okótovaá časem (úloha a obr. 6.9 bla přerčea hodot jsme vůbec epožívali). Požijeme k tom metod, která b se také dala azvat metodo izoklí, protože tam opět bdo vstpovat geometrická místa bodů o kostatí směrici. V tomto případě to ale bde směrice časového průběh (t) a ikoli směrice stavové trajektorie. Ab se to epletlo s předcházející metodo izoklí, tak zde raději teto ázev epožívejme. Vjdeme ze sktečosti, že každý bod stavové trajektorie je dá hodotami a eboli a. Při převáděí ze stavové rovi do sořadic t ebdeme sice zát hodot t a jako a obr. 6.9 (s výjimko t ), ale bdeme zát hodot a. Pro voleé hodot si a vodorovo přímk (to je izoklía!) krátkými úsek vzačíme směrici, odpovídající ( d/d / ). Pak začíáme v bodě t a prokládáme křivk (t) tak, ab stále bl její směr shodý se směricemi. Postp bde lépe patrý z příklad 6.4. Příklad 6.4: Sestrojte stavovo trajektorii elieárího sstém, kterým je elieárí reglačí obvod o rovici ( +,5 ) +,5 + t -, Řešeí: Sbstitcí (6.5) převedeme rovici obvod a rovici stavové trajektorie,5 + (, d + d - - - - 4 5 t [s] pro počátečí podmík dao bodem [-; ]. Tto Obr. 6. trajektorii sestrojte metodo grafické kostrkce s pomocými křivkami. Potom převeďte sestrojeo stavovo trajektorii a časový průběh reglovaé veliči. Pomocé křivk bdo mít rovice,5 Msíme požít obeco metod, elze požít Lieardov kostrkce. Výsledá stavová trajektorie pro daé počátečí podmík je a obr. 6.. A a tomto obrázk je také vedea plá kostrkce časového průběh reglovaé veliči podle vedeé metod. K čas ve stavové roviě si ještě řekeme, že směr stavové trajektorie je možý poze ve směr rčiček hodiových a ikd aopak. Je to proto, že v horí poloviě stavové rovi je podle rovice (6.) ( +, ) d > a proto má stavová trajektorie směr zleva doprava, eboť s rostocím časem se msí zvětšovat. Naopak v dolí poloviě je ) 7

a stavová trajektorie má směr zprava doleva. d < Podobě je možo kostatovat, že v okamžik, kd stavová trajektorie prochází oso, msí ji procházet kolmo, směrice msí být kolmá a os, protože a ose je a tdíž d d g ( ) + f ( ) g( ) + f ( ) 6.. Siglárí bod Vjděme z rovice elieárího obvod drhého řád (6.5) + g( ) + f ( ) z íž dostaeme rovici stavové trajektorie (6.8) v difereciálím tvar d g( ) + f ( ) d Připomeňme si grafické řešeí této rovice metodo izoklí. Derivaci a levé straě rovice jsme položili rov kostatě κ i a r ovice bla rovicí izoklí. Pro růzá κ i jsme dostali celo řad izoklí a a ich bla vžd vzačea směrice, která platila a celé izoklíě. Takže jsme mohli kostatovat, že každém bod stavové rovi je přiřazea jeda rčitá směrice. Samozřejmě mslíme směrice ke stavové trajektorii, kdb ta daým bodem procházela za daých počátečích podmíek. Neí tom tak přesě. Eistjí bod, ve kterých eeistje žádá směrice a bod, ve kterých je směric ekoečě moho. Jso to takové bod, kd je čitatel i jmeovatel v rovici (6.8) sočasě rove le g( ) + f ( ) (6.5) Takovýchto bodů může mít sstém koečý i ekoečý počet, může mít jede takový bod aebo i žádý. V těchto bodech eí jedozačě defiováa hodota směrice d /d k stavové trajektorii, a tím pádem může tímto bodem procházet ekoečě moho trajektorií aebo žádá trajektorie. Tto bod se azývají siglárí bod sstém. V okolí siglárích bodů jso možé ejrůzější případ, pokd se týče eistece a jedozačosti řešeí a tvar stavových trajektorií. Z hlediska pozdějšího všetřováí stabilit sstém a chováí sstém mají tto bod velmi důležitý výzam. Siglárí bod, odpovídající sstém popsaém rovicí (6.5) a tím pádem i (6.8) msí samozřejmě ležet a reálé ose, poěvadž pro ě platí. Ovšem pro obecý elieárí sstém drhého řád tom tak eí a siglárí bod moho ležet obecě i mimo reálo os. Rovici (6.8) jsme získali poděleím obo rovic v sostavě rovic (6.7) d d g( ) f ( ) a to zameá, že v siglárích bodech bde sočasě také 74

d ; d (6.6) To zameá, že jso v ěm rchlosti změ v jedotlivých osách lové sstém je v rovovážém stav. V siglárích bodech jso splě podmík rovováh sstém. Bde ovšem záležet a tom, zdali stavová trajektorie má směr do siglárího bod v tom případě bde teto rovovážý stav stabilí a sstém se bde chovat v okolí tohoto rovovážého stav jako stabilí sstém. Aebo bde mít stavová trajektorie směr od siglárího bod a v tom případě se bde jedat o estabilí rovovážý stav a estabilí sstém v okolí tohoto siglárího bod. Na toto avážeme v kapitole o stabilitě elieárích sstémů. Siglárí bod jso ted takové, kde eí rčea směrice stavové trajektorie. zel (stabilí) zel (estabilí) zel (stabilí) zel (estabilí) sedlo střed ohisko ohisko (vžd (stabilí) (estabilí) estabilí) Obr. 6. Neprochází jím jeda, ale většio ekoečé možství stavových trajektorií. Podle průběh stavových trajektorií siglárím bodem se azývají siglárí bod zel, sedlo, střed a ohisko. Ohisko můžeme defiovat jako siglárí bod, ke kterém směřjí spirálí trajektorie (ebo se od ěho vzdaljí), zel jako bod, ke kterém směřjí asmptotické čár, sedlo, kolem ěhož jso hperbolické trajektorie, které jím eprocházejí a střed, kolem ěhož jso trajektorie kržice ebo elips. Zázorěí je a obr. 6.. Příklad 6.5: Určete siglárí bod sstém, popsaého rovicí, + + Řešeí: Zavedeím sbstitce, přejde rovice v sostav dvo rovic, Pro siglárí bod msí sočasě platit,, ted ;, Této sostavě rovic vhovjí dva bod, které jso řešeím sostav, a to [. ] a [-, ]. To jso siglárí bod sstém. 75

6. Stabilita elieárích sstémů 6.. Obecě o stabilitě Stabilita je ejdůležitější vlastostí reglačích obvodů, ať ž lieárích ebo elieárích. Stabilita elieárích obvodů je široký pojem, který se odlišje od stabilit sstémů lieárích. Stabilita lieárích sstémů je vlastost těchto sstémů a ezávisí a jejich okamžitém stav ai a vstpích sigálech či počátečích podmíkách. Většio se stabilita lieárího sstém defije jako jeho schopost vrátit se do rovovážého stav, jestliže skočilo působeí sigál, který jej z tohoto stav vvedl. Pro elieárí sstém je tato defiice již epostačjící a to z moha důvodů, které bdo v dalším vede (apř. rovovážých stavů je elieárích sstémů více odpovídají jim siglárí bod). Nejdříve o rozsah platosti stabilit elieárích sstémů. Lieárí sstém je stabilí ebo estabilí pro jakékoliv počátečí podmík. Toto může za jistých okolostí platit i pro elieárí sstém. V tomto případě pak mlvíme o globálí stabilitě (ěkd též o stabilitě ve velkém). Sstém je globálě stabilí, je-li stabilí pro všech počátečí podmík. U elieárích sstémů se však častěji setkáváme se stabilito při malých výchlkách, při malých počátečích podmíkách, poze v jistém okolí rovovážého stav. V tomto případě pak mlvíme o lokálí stabilitě (ěkd o stabilitě v malém). Sstém je stabilí lokálě, je-li stabilí pro počátečí podmík vitř libovolě malé oblasti kolem rovovážého stav. Jeli sstém stabilí globálě, je atomatick stabilí i lokálě. Naopak to eplatí. Požadavek a lokálí stabilit je slabší. Teď si všiměme stáleých stavů elieárích sstémů, to je stavů sstém pro čas jdocí k ekoeč (t ). Na rozdíl od lieárích sstémů, které mají poze jediý stáleý stav (aebo se vůbec estaljí a jso estabilí), moho elieárích sstémů vzikot dva tp stáleých stavů: rovovážé stáleé stav (také zvaé klidové stav) periodické stáleé stav (periodická řešeí reprezetovaá mezími ckl) Rovovážý stáleý stav se vzačje lovými rchlostmi v jedotlivých osách je to stav klid, jedotlivé veliči se eměí. Periodický stáleý stav se vzačje kmit o kostatí amplitdě a frekveci (ezaměňjme teto stav se stavem a hraici stabilit lieárích sstémů to eí stáleý stav, jakokoliv malo změo parametrů se obvod dostae do stabilího ebo estabilího stav). Jestliže všetřjeme stabilit elieárího sstém, pak většio emlvíme o stabilitě sstém, ale o stabilitě jeho rovovážých stavů, které moho být bď stabilí aebo estabilí. Často se stabilita sstém v rovovážém stav vsvětlje a příklad kvadla. Kvadlo podle obr. 6. má dvě klidové poloh jed, je-li těžiště kvadla v klid kolmo pod bodem pevěí a drho, je-li těžiště kvadla kolmo ad bodem pevěí. Prví poloha je stabilí, drhá estabilí, eboť při malém vchýleí astává pohb kvadla dolů z této Obr. 6. poloh. Mlvit o stabilitě jié poloh kvadla emá smsl, eboť v í kvadlo emůže zůstat. Je 76

ted zřejmé, že má smsl mlvit poze o stabilitě klidových stavů, ve kterých sstém bez působeí vějších podětů může zůstat. Toto jso tzv. rovovážé stav sstém. U rovovážých stavů jso derivace stavových veliči lové. To jsme kostatovali v kapitole o siglárích bodech rovice (6.6) a toto tvrzeí pochopitelě můžeme zobecit a sstém i všších řádů d d d ; ; ;... (6.7) a těmto stavům odpovídají siglárí bod sstém. Nelieárí sstém má tolik rovovážých stavů, kolik eistje řešeí sostav rovic (6.7). U lieárích sstémů je sostava (6.7) lieárí sostavo, má jedo řešeí a proto lieárích sstémů eistje poze jede rovovážý stav. U elieárích sstémů jich může být la čili žádý, jede, dva i více a také ekoečé možství. Ted apř. sstém drhého řád je v rovováze je v stáleém stav v jedotlivých osách lové, tj. platí-li rovice (6.6) d d ; jso-li rchlosti Těmto stáleým stavům odpovídají bod stavové rovi, ve kterých ejso defiová směrice stavové trajektorie. Těmito bod může procházet až ekoečě moho trajektorií a jso to ted siglárí bod. Mají-li stavové trajektorie v okolí siglárího bod směr dovitř, spěje sstém ke stav klid a teto rovovážý stav teto siglárí bod je stabilí. Naopak, jestliže stavové trajektorie opoští siglárí bod, dostávají se ze stav klid a teto rovovážý stav - teto siglárí bod je estabilí. Samozřejmě toto můžeme kostatovat též o sstém ebo reglačím obvod, ale bde zel zel to jeom lokálí stabilita sstém či (stabilí) (estabilí) obvod, protože teto může mít ještě jié siglárí bod jié rovovážé stav. Jako příklad si z obr. 6. vberme dva siglárí bod dva rovovážé stav a to dva tp zlů stabilí a estabilí. Máme je zov vede a obr. 6.. Jestliže se při Obr. 6. řešeí sstém vskte siglárí bod stabilí zel, jdo všech stavové trajektorie do tohoto bod, rovovážý stav je stabilí, sstém je lokálě stabilí pro okolí tohoto siglárího bod. Pokd se vskte siglárí bod tp estabilí zel, vcházejí všech trajektorie z tohoto siglárího bod, rovovážý stav je estabilí a sstém je lokálě estabilí pro okolí tohoto siglárího bod. Drhým tpem stáleých stavů elieárích sstém ů jso periodické stáleé stav (periodická řešeí). Jso to stáleé vlastí kmit eboli atooscilace. Ve stavové roviě jso reprezetová zavřeými trajektoriemi, které s azývají mezí ckl. Mezí ckl moho být stabilí, estabilí ebo též polostabilí a poloestabilí obr. 6.4. U stabilího mezího ckl směřjí trajektorie z blízkého okolí k tomto ckl, estabilího se z obo stra od ěho vzdaljí. U polostabilího mezího ckl se trajektorie z vější stra přibližjí a z vitří vzdaljí k počátk a přesě aopak je to poloestabilího mezího ckl.. Všetřeí mezích cklů v sstém je velmi důležité pro prai. V reglačí 77

tp mezích cklů stabilí estabilí polostabilí poloestabilí Obr. 6.4 techice eí zpravidla žádý mezí ckls žádocí (výjimko jso zde příklad dvopolohové reglace žehlička), i kdž lze ěkd připstit kmit s malo amplitdo, které ejso a zá vad čiosti sstém. U ěkterých mechaických sstémů zlepšjí tto malé kmit celkové chováí, apř. sižjí vliv schého třeí. Naproti tom se těchto kmitů vžívá v oscilátorech, kde požadjeme mezí ckls s dostatečo (a proměo) amplitdo. Oba tp stáleých stavů (rovovážé stav a ji odpovídající siglárí bod i periodické stáleé stav) ted moho být stabilí ebo estabilí. U elieárího sstém je proto třeba rozlišovat stabilit rovovážého stav a stabilit periodického řešeí. Obeco mšlek stabilit rovovážých stavů estabilí O formloval rský matematik Ljapov. Podle Ljapova je rovovážý stav stabilí, stabilí kdž stavová trajektorie začíající v ějaké oblasti O O stavové rovi zůstae vitř ějaké oblasti O (libovolě velké) obr. 6.5. asmptotick Dále je podle Ljapova rovovážý stav stabilí asmptotick stabilí, kdž je stabilí podle předcházející defiice a avíc se stavová trajektorie stálí v rovovážém stav (daém ěkterým Obr. 6.5 siglárím bodem). Je-li oblast O počátečích stavů ohraičeá, pak hovoříme o stabilitě lokálí (v malém), je-li eohraičeá o stabilitě globálí (ve velkém). Totéž platí o stabilitě asmptotické. U lieárího reglačího obvod, pokd je stabilí, jde vžd o globálí asmptoticko stabilit jediého rovovážého stav. Př íklad 6.6: Metodo stavové rovi s průběhem stavové trajektorie všetřete stabilit elieárího reglačího obvod podle obr. 6.6 pro skokovo změ řídicí veliči w. Řešeí: Rovice reglovaé sostav je + G S () s Protože w e a protože e s(s + je ( w e) + (w e ) e e e Pro jedotkový skok w při t je w w a rovice reglačího obvod je e + e + e Obr. 6.6 Zavedeme-li e; e ) e w w t 78

jso rovice sstém,5,5 a rovice stavové trajektorie a z í získaá rovice obecé izoklí d + d κ Průběh izoklí je a obr. 6.7. Počátečí stav jsme rčili z úvah, že pro t je ; w e a z průběh (t) je ( ) ( ) ( ) ( ) e Z průběh stavové trajektorie pro počátečí stav [; ] ple, že se dostává do rovovážého stav, kterým je počátek sořadic, tj. bod [; ]. Je ted teto rovovážý stav asmptotick stabilí. Rovovážý stav odpovídající siglárím bod [; ] je jediým rovovážým stavem sstém, jak ple z řešeí rovic,5,5 d d κ κ κ- κ + κ-,5 κ5 které kazje, že sstém emá další - κ-,5 siglárí bod mimo [; ]. Protože κ Obr. 6.7 pro libovolé počátečí stav se stavové trajektorie vžd dostao do rovovážého stav daého siglárím bodem [; ], je teto globálě asmptotick stabilí. κ5 O stabilitě daého elieárího obvod ted děláme teto závěr: Obvod má jediý rovovážý stav daý siglárím bodem [ ; ] a teto rovovážý stav je globálě asmptotick stabilí. 6.. Všetřováí stabilit κ-5 Všetřovat stabilit elieárích sstémů sestrojováím stavové trajektorie b blo stejě obtížým úkolem, jako počítat koře charakteristické rovice lieárích sstémů. M potřebjeme rchlejší a méě pracé metod pro rčeí stabilit elieárích sstémů. a) Metoda liearizace V předcházející kapitole blo kázáo, že rovovážé stav elieárích sstémů moho být stabilí ebo estabilí podle toho, bdo-li se stavové trajektorie ve stavové roviě s časem t blížit k příslšém siglárím bod ebo se od ěj vzdalovat. κ - - - κ-5 κ- κ κ 79

Stabilit rovovážých stavů ve smsl Ljapova můžeme pro daý elieárí sstém všetřit tak, že jeho rovice liearizjeme v okolí každého rovovážého stav a zjišťjeme stabilit áhradího lieárího sstém. Bdeme opětě važovat poze jedodchý elieárí reglačí obvod, který jsme važovali při řešeí metodo stavové rovi o rovici (6.5) a který sbstitcí (6.6) převedeme a rovici (6.8) ( ) + f ( ) + g ( ) f ( ) d g + d Bez odvozeí viz apř.[] vedeme, že teto obvod můžeme v každém jeho siglárím bodě [, ] liearizovat. Při této liearizaci ahradíme jeho rovici lieárí rovicí [ g( ) + f ( )] [ g( ) + f ( )] + + (6.8) [ ] [ ],, Chováí sstém a tp siglárích bodů (průběh stavových trajektorií) jso stejé. Všetřeí stabilit zliearizovaého obvod platí i pro elieárí obvod. Ovšem poze v okolí siglárího bod, je to ted lokálí stabilita. Je to všetřeí stabilit daého rovovážého stav. Stabilit zliearizovaého obvod bdeme rčovat jako lieárího sstém. To zameá, že koře charakteristické rovice msí mít záporo reálo část a to rčjeme kritérii stabilit platými pro lieárí obvod. Ze stabilit zliearizovaého obvod szjeme a stabilit příslšého rovovážého stav sstém a také a chováí elieárího sstém a a průběh stavových trajektorií v blízkém okolí příslšého siglárího bod, ve kterém bla liearizace provedea. Zdůrazěme: Rovovážý stav elieárího sstém bde stabilí je tehd, bdo-li koře charakteristické rovice ležet v levé kompleí poloroviě. Má-li charakteristická rovice koře s kladými reálými částmi, je rovovážý stav sstém (siglárí bod) estabilí. Má-li ěkterý koře lovo reálo část, eí možé podle lieárího přiblížeí staovit, zda původí elieárí sstém má važovaý rovovážý stav stabilí aebo estabilí. Příklad 6.7: Všetřete stabilit rovovážých stavů elieárího obvod podle obr. 6.8. Řešeí: Z rovice sostav G S () s s, + dostaeme dosazeím pro w,5e +,5e e a z toho ple rovice obvod, ( s + ) e,5e+,5e, + +,5 +,5 Obr. 6.8 e w 8

Zavedeme sbstitci ; a pak je 5, 5 a rovice stavové trajektorie d + 5 +, 5 d Pro siglárí bod, respektive rovovážé stav (RS) platí 5,5 +,5 ( + ) Z těchto rovic rčíme siglárí bod. ; Spočítáme parciálí derivace a dosadíme do ich sořadice siglárího bod [, ] Tto derivace dosadíme do rovice (6.8) [ ] ± j ;.. Siglárí bod.-. eodpovídají reálým rovovážým stavům. V tomto případě má proto všetřovaý elieárí obvod poze jediý rovovážý stav [, ]. Jeho stabilit rčíme liearizací elieárí difereciálí rovice v tomto bodě. [ ( ) ( )] g + f [ ;] [ + 5 +,5 ] a dostali jsme zliearizovao rovici daého elieárího obvod v siglárím bodě [, ] rovovážém stav tohoto sstém. Máme za úkol všetřit stabilit tohoto rovovážého stav. Rovice je lieárí, a proto sestavíme charakteristicko rovici s + s + 5 [ ;] [ ] ; [ g( ) f ( )] [ + 5 +,5 ] + a rčíme její koře 9,47 s, 5 ± 5,5 Koře jso reálé záporé. Rovovážý stav je stabilí. Bližším rozborem bchom mohli zjistit, že se jedá o rovovážý stav tp zel. Protože je to jediý siglárí bod sstém, jedá se o globálě asmptotick stabilí rovovážý stav. (Samozřejmě jsme koře emseli ai počítat, protože bla splěa tá a pro rovici drhého stpě postačjící podmíka kladosti koeficietů.) [ ;] 5 + 7,5 [ ] 5 ; ; [ ] + + 5 Příklad 6.8: Všetřete stabilit elieárího obvod z příklad 6.5, jehož rovice je, + + Řešeí: V příklad 6.5 bla sestavea sostava rovic prvího řád 8

a z í bl rče siglárí bod elieárího sstém a to [, ] a [-, ]. Spočítejme ještě rovici stavové trajektorie, + + d d, - -,5 a můžeme provádět liearizaci. Začěme siglárím bodem [, ]. Příslšé derivace jso Obr. 6.9 [ ( ) ( )], + + g + f, [ ; ], [ ;] Zliearizovaá rovice eli -,5,5 Obr.6.9 Charakteristická rovice má záporý koeficiet, a proto ejso všech koře v levé kompleí poloroviě. A proto je příslšý siglárí bod rovovážý stav estabilí. [ g( ) + f ( )] [ ;] sedlo [ ;],5 estabilí ohisko, + + + [ ] ; [ ;] eárího sstém v siglárím bodě [, ] dosazeím do (6.8) je, + [ ch ar. rov.: s, s + ] Ttéž derivace jak v předchozím spočítáme pro siglárí bod [-, ] [ g( ) + f ( )] [ ; ], + + [ ; ], [ ],, [ ( ) ( )] + + g + f + [ ] ; [ ;] [ ; ] Zliearizovaá rovice elieárího sstém v siglárím bodě [-, ] dosazeím do (6.8) je, [ char. rov.: s,s ] Charakteristická rovice má záporé koeficiet, a proto ejso všech koře v levé kompleí poloroviě. A proto je příslšý siglárí bod rovovážý stav estabilí. Podrobějším rozborem bchom zjistili, že siglárí bod [, ] odpovídá estabilím ohisk a siglárí bod [-, ] odpovídá sedl (to je estabilí vžd). A při ještě podrobějším rozbor bchom mohli všetřit průběh stavových trajektorií v celé stavové roviě, kde oba ; 8

siglárí bod mají domiatí postaveí. Na obr. 6.9 je stavový obraz sktečého elieárího sstém, abchom s ím mohli aše výsledk kofrotovat. b) Ljapovova metoda Tato metoda možňje poszovat stabilit i asmptoticko stabilit v malém i ve velkém (lokálí ebo globálí) obecého elieárího sstém a často se začíá požívat i pro všetřováí stabilit lieárích sstémů. Pricip metod je ve vhledáí Ljapov fkce k daém sstém. Jestliže ji pro daý sstém alezeme, je teto stabilí aebo estabilí. Pokd ji ale ealezem e, ezameá to, že je sstém estabilí poze jsme espěli s všetřováím stabilit. Vhledáí Ljapov fkce je komplikovaá záležitost a zde ji obejdeme požíváím ztabelovaých fkcí. Nejdříve si vedeme základí potřebé po jm o defiitosti fkcí. Říkáme, že fkce f() je pozitivě defiití v iterval a f() a, kdž v tomto iterval platí f() >. Obdobě je v tomto iterval egativě defiití, kdž v ěm platí f() <. Přitom v počátk může fkce abývat i lové hodot. Jestliže jso fkčí hodot f() v tomto iterval ěkd kladé a jid záporé, je fkce f() idefiití (edefiití) v daém iterval. pozitivě defiití f() egativě defiití f() pozitivě semidefiití f() egativě semidefiití f() f() > (mimo počátek) f() < (mimo počátek) f() f() idefiití f() Obr. 6. Pokd b pro fkci f() platilo v daém iterval f() aebo f(), bde daá fkce pozitivě semidefiití aebo egativě semidefiití. Schématick je to zázorěo a obr. 6. pro iterval (-, + ). Rozšiřme tto pojm a fkce více proměých. Fkci f(,,, ) azýváme pozitivě defiití, jestliže má lovo hodot poze v počátk a mimo počátek abývá poze kladých hodot. Fkci f(,,, ) azýváme egativě defiití, jestliže má lovo hodot poze v počátk a mimo počátek abývá poze záporých hodot. Fkci f(,,, ) azýváme pozitivě (egativě) semidefiití, jestliže abývá poze kladých (záporých) hodot aebo lovo hodot. Defiitost fkce f(,,, ) může být bď v rčité oblasti kolem počátk aebo může platit v celém prostor. Pokd vedeme poze, že fkce f(,,, ) je tak ebo oak defiití, předpokládáme defiitost v celém prostor (globálí). Příklad 6.9: Určete defiitost těchto fkcí 8

a) b) f 4 (, ) + d) f (, ) ( + ) f (, ) ( + ) e) f (, ) (, ) f) ( 4 c) f f, ) + Řešeí: a) pozitivě defiití b) pozitivě semidefiití, eboť kdž je - je f(, ), ted i mimo počátek c) idefiití d) egativě semidefiití, eboť kdž je je f(, ) pro jakékoliv e) pozitivě semidefiití, eboť kdž je je f(, ) pro jakékoliv f) a prví pohled elze rozhodot; sad řešeím erovostí. Ní k vlastí Ljapovově metodě. Metoda je aprosto obecá, pro sstém jakéhokoliv řád. Bdeme ted předpokládat obecý elieárí sstém tého řád popsaý sostavo rovic prvího řád f,,..., ( ) f(,,..., )... f (,,..., ) Pokd b bl popsá jedo elieárí rovicí vššího řád, je té jej sbstitcí (6.) Ljapovova metoda předpokládá alezeí vhodé spojité fkce (tzv. Ljapovov fkce) ( ) převést a tto sostav rovic prvího řád (6.9). (6.9) Dále předpokládejme, že teto elieárí sstém má siglárí bod (rovovážý stav) v počát k sořadicového sstém, tz. že pro je řešeím bod [,, ]. Kdb obvod eměl siglárí bod v počátk (to je obecě poze vlastostí lieárích obvodů), je možé požít vhodé trasformace a do počátk ho posot. V dalším bdeme zkomat stabilit tohoto rovovážého stav. V(,,..., ) (6.) proměých,,,, které jso zároveň proměými daého sstém (6.9). Tato fkce msí být pozitivě defiití a mít spojité prví parciálí derivace. Podle defiitosti fkce V a její derivace dv/ podle čas lze pak poszovat stabilit rovovážého stav sstém (rovovážý stav odpovídá podle předpoklad siglárím bod v počátk). Derivaci fkce V (,,..., ) podle čas získáme jako derivaci složeé fkce přičemž za derivace di V dv V d V d V d + +... + (6.) i dosadíme pravé stra z rovic sstém (6.9). 84

dv V V V V f + f +... + f (6.) VĚTY: Asmptotická stabilita: Eistje-li Ljapovova fkce V taková, že její derivace podle čas V je egativě defiití, je rovovážý stav asmptotick stabilí. Stabilita: Eistje-li Ljapovova fkce V taková, že její derivace podle čas V je egativě semidefiití, je rovovážý stav asmptotick stabilí. Nestabilita: Eistje-li Ljapovova fkce V taková, že její derivace podle čas V je pozitivě defiití ebo semidefiití, je rovovážý stav asmptotick stabilí. Smbolick zapsáo: V > : V < V V > estabilí Ljapovov vět o stabilitě dávají poze postačjící podmík, ikoliv té a postačjící. Jestliže pro ějako fkci V je její derivace V idefiití fkce, pak to ezameá, že obvod je estabilí. Lze je kostatovat, že poks o rčeí stabilit se ezdařil a že je té volit jio fkci V. RS RS RS asmptotick stabilí stabilí Uvedeé vět o stabilitě jso bď splě v rčité oblasti kolem počátk a pak je rovovážý stav lokálě stabilí, asmptotick stabilí či estabilí v daé oblasti. Nebo platí podmík předcházejících vět v celém prostor a rovovážý stav je globálě stabilí, asmptotick stabilí či estabilí. Daé vět dávají postačjící podmík stabilit, ale ekazjí cest k alezeí fkce V. Neeistje pro elieárí sstém obecý způsob, jak fkci V alézt. Jde o to, abchom rčili V tak, ab oa sama i její derivace dv/ bl defiití fkce. č. rovice sstém omezeí fkce V a +b +c - a +b r ( ) q +c r sdé q liché a +b r ( ) q +c t r sdé q,t liché 4 a +b(m r + s )( ) q +c t r,s sdé q,t liché 5 a +b(m r + s )[e( ) q +f( ) k ]+c t r,s sdé k,q,t liché V c V + a c t+ + a t + Tab. 6. Tablka Ljapovových fkcí pro obvod. řád Obecě pro elieárí sstém eistje více matematických metod, které možňjí geerováí Ljapovov fkce vžd pro rčito skpi sstémů. Všech jso však složité a teoretické áročé. Proto zde vádíme v tab. 6. ztabelovaé Ljapov fkce V pro ejobecější skpi reglačích obvodů. řád. V podstatě b stačilo vést rovici č.5, eboť sstém č.-4 jso zjedodšeím tohoto sstém. Uvedeím všech pěti fkci je práce s tablko přehledější. 85

Příklad 6.: Pro daý kokrétí elieárí sstém. řád zvolíme pozitivě defiití Ljapov fkci ve tvar V, + V (, ) V ( ) a její časové derivace ám po dosazeí pravých stra rovice sstém vjdo ve tvar a) V (, ) ( + ) c) V (, ) ( + ) b) (, ) d) V, ) + Rozhoděte o stabilitě rovovážého stav, kterým je počátek sořadic. Řešeí: Zámo sbstitcí (6.) převedeme rovici a sostav rovic prvího řád ( ( + ) Řešeí: a) asmptotick stabilí (V je egativě defiití) b) podle zvoleé Ljapov fkce V elze rozhodot o stabilitě (V je idefiití) c) stabilí (V je egativě semidefiití) d) estabilí (V je pozitivě semidefiití). Tto vlastosti rovovážých stavů jso globálí. Příklad 6.: Rozhoděte o stabilitě elieárího reglačího obvod popsaého rovicí ( + ) + + ( + ) Sostava má evidetě jede siglárí bod jede rovovážý stav, a tím je počátek sořadic [, ]. Podle tab. 6. zvolíme Ljapov fkci č. 4 (abcmqt; r; s) Příklad 6.: Určete stabilit elie árího obvod podle obr. 6.. + m ( ) V +, a spočítáme její derivaci podle čas s dosazeím pravých stra sstém [ ( ) ] ( ) V V V (, ) f + f + + + d d Požívao sbstitcí převedeme rovici a sostav Fkce V je egativě semidefiití (protože pro je pro libovolé rova le) a rovovážý stav je globálě stabilí (ikoliv asmptotick stabilí). Řešeí: Rovice lieárí části obvod je Dosadíme m e ; e - (w ) a získáme rovici obvod + + G S () s s + m me s e Obr. 6. Rovovážý stav je evidetě počátek sořadic. Podle tab. 6. zvolíme Ljapov fkci č. (abcq; r; t) e w 86

4 V + (, ) a spočítáme její derivaci podle čas s dosazeím pravých stra sstém V V V + ( ) + ( ), f f d d V roce 959 veřejil rmský vědec A. M. Popov ové kritérim stabilit elieárích sstémů, které je velmi výhodé pro prai, protože k všetřeí stabilit se požívá běžých frekvečích charakteristik G() s lieárí části obvod. Kritérim je des rozpracováo pro sstém se spojitými i diskrétími sstém, pro sstém s větším počtem eliearit a pro další sstém. M se k sezámíme s ejjedodšší verzí tohoto kritéria pro obvod e e w s jedo eliearito a s lieárí částí, kde lze do jedoho přeos zahrot všech lieárí čle. Na teto tp lze převést velko část elieárích sstémů. Obr. 6. Fkce V je egativě semidefiití (protože pro je pro libovolé rova le) a rovovážý stav je globálě stabilí (ikoliv asmptotick stabilí). c) Popo vovo kritérim Podle obr. 6. važjme atoomí sstém s lieárí částí dao přeosem G(s) a elieárí částí, popsao staticko charakteristiko, která leží v. a. kvadrat a prochází po čátkem. přímka: rovice ke Podle obr. 6. ajdeme přímk procházející směrice: k počátkem o rovici k.e, kde k je směrice této e přímk tak, ab celá statická charakteristika ležela pod toto přímko. Jiak statická charakteristika může být statická zcela obecá křivka, která leží ve všrafovaém sektor. charakteristika To je velká výhoda Popovova kritéria statická charakteristika může být obecá křivka. V dalším bdeme předpokládat, že statická charakteristika elieárího Obr. 6. prvk je daá hodoto k, což je směrice vedeé přímk a toto hodoto je zadá elieárí čle. Popovovo kritérim: Nelieárí sstém s lieárí částí dao přeosem G(s) a jedozačo eliearito, ležící pod přímko o směrici k je globálě asmptotick stabilí, eistje-li libovolé reálé číslo q pro ěž je pro všecha ω splěa erovost ( ) ( )] Re[ + jωq G jω + > k Toto je aaltická verze Popovova kritéria. Většio se však převádí do grafické verze a stabilita řeší grafick. Odvozeí převod je možo alézt v []. (6.) Popovovo kritérim grafická verze: Nelieárí sstém, respektive elieárí reglačí obvod je globálě asmptotick stabilí, můžeme-li vést bodem [-/k, ] libovolo přímk, ab celá modifikovaá frekvečí charakteristika G*(jω) lieárí části ležela vpravo od této přímk viz obr. 6.4. 87

k Im asmptotick stabilí Re G*(jω) Obr. 6.4 k Im estabilí Re G*(jω) Modifikovaá frekvečí charakteristika G*(jω) lieárí části se sestrojje stejě jako ormálí frekvečí charakteristika v kompleí roviě, jeom imagiárí část je pro každý bod vásobea příslšo odpovídající hodoto ω. Příklad 6.: Určete, zda obvod podle obr. 6. s přeosem lieárí části G () s s ( s + )( s + ) (,5s + ) je stabilí, kdž statická charakteristika elieárího čle leží v. a. kvadrat všde pod přímko o směrici k,5. Ř ešeí: V kompleí roviě sestrojíme modifikovao frekvečí charakteristik lieárí části podle daého přeos G(s) obr. 6.5. Im Charakteristik G*(jω) sestrojjeme tak, G*(jω) že všech imagiárí části ásobíme, příslšo hodoto ω. V tablce,5,6, k hodotám ω počítáme hodot Re a - Re ω.im. Jak je z obrázk vidět, bodem,4 -, můžeme vést přímk, k,5 Obr. 6.5 ab G*(jω) ležela pro všecha ω vpravo od této přímk. Obvod je proto globálě asmptotick stabilí. Příklad 6.4: Staovte, pro jaký sklo k přímk ohraičjící elieárí reléovo charakteristik podle obr. 6. je reglačí obvod stabilí. Přeos lieárí části je G () s,5s +,s +,s + ( )( )( ) Řešeí: Normálí frekvečí přeos G(jω) rozdělíme a reálo a imagiárí složk. Modifikovaý frekvečí přeos G*(jω) pak má imagiárí složk ω - krát větší G * ( jω ),7ω,8,ω jω +, 4ω +,ω +,5ω +,4ω +,ω ( +,5ω )( )( ) ( )( )( ) Jestliže je imagiárí část G*(jω) rova le, protíá frekvečí charakteristika reálo os, a to je při,8,ω ω 8 (ω 8,95). Dosadíme-li tto frekveci do reálé části G*(jω), dostaeme úsek a reálé ose, ve kterém frekvečí charakteristika protíá reálo os a teto úsek je,8. Ab podle obr. 6.6 bl obvod asmptotick stabilí, msí platit <,8 k k <,5 ω8,95 G*(jω) Re-,8 Obr. 6.6 Im Re 88