Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Jaroslav Horáček KAM MFF UK 2013 Co je to vektor? Šipička na tabuli? Ehm? Množina orientovaných úseček majících stejný směr. Prvek vektorového prostoru. V některých vědních oborech (třeba databáze) se za vektor považuje uspořádaná n-tice reálných čísel, tj. (x 1, x 2,..., x n ) R n. Vektor u definujeme pomocí dvou bodů A = [a 1, a 2,..., a n ], B = [b 1, b 2,..., b n ] jako Velikost vektoru u značíme u a spočítáme u = B A = (b 1 a 1,..., b n a n ). u = AB = (b 1 a 1 ) 2 + (b 2 a 2 ) 2 +... + (b n a n ) 2. Od pojmu vektor je jen kousek k pojmu přímka. Můžeme ji chápat jako nějakou pevnou instanci vektoru. Například tak, že obecnému vektoru, na který nahlížíme jako na množinu přímek mající stejný směr, zakotvíme tím, že určíme nějaký bod, kterým přímka prochází. Dostáváme parametrickou rovnici přímky. p : X = A + t u, kde A je onen bod, u je směrový vektor a t je reálné číslo jako parametr. S tím, že jak násobíme parametrem t vektor, tento vektor se prodlužuje jedním či druhým směrem a dostaneme, tak postupně všechny body na přímce p. Ukázka 1: Přímku můžeme ve R 2 definovat i pomocí její normály n, což je vektor kolmý na přímku. Zatím ponechme jako fakt, to co víme ze střední školy, že dva vektory u, v jsou navzájem kolmé, pokud je jejich skalární součin u v roven 0. Mějme zadaný bod A = [a 1, a 2 ] a normálový vektor n = (a, b). Od libovolného bodu B = [x, y], který má ležet na přímce chceme, aby vektor u = B A byl kolmý na vektor n. Pomocí skalárního součinu zapsáno (B A) n = 0. 1
Po rozepsání skalárního součinu dostaneme Po roznásobení dostaneme (x a 1 )a + (y a 2 )b = 0. ax + by + c = 0, kde c = a 1 a a 2 b. Dostáváme takzvanou obecnou rovnici přímky. Odtud už se můžeme jednoduchými úpravami přesunout k směrnicové rovnici ve tvaru y = kx + q. Zatímco z parametrické rovnice rovnou vidíme směrový vektor, v obecné rovnici je přímo vidět normála n = (a, b). Ve směrnicové rovnici je zase vidět, jak název napovídá, směrnice přímky. Platí k = tan α, kde α je úhel, který přímka svírá s osou x. Výše zmíněný způsob vlastně i ukazuje, proč obecnou rovnici přímky můžeme napsat jen pokud se pohybujeme ve R 2. Kdybychom byli ve R 3, tak na normálu n bude kolmá nejen přímka, kterou chceme popsat, ale i celá rovina tvořená přímkami kolmými na n. Ukázka 2: Tohle je poměrně šikovná konstrukce, která se může občas hodit. Určete rovnici přímky (ve R 2 ), která prochází různými body X 1 = [x 1, y 1 ], X 2 = [x 2, y 2 ]. Určete ji bez jakéhokoli počítání směrového vektoru. Idea je jednoduchá, nejprve si uvědomme, že rovnice přímky obsahuje proměnné x, y pouze v první mocnině a koeficienty u x, y současně nejsou 0. Další pokračování bude též snadno pochopitelné. Budeme vytvářet rovnici přímky tak, aby pokud za x dosadíme x 1, dostaneme výsledek y = y 1 a podobně pro x = x 2 dostaneme y = y 2. Naše rovnice by pro začátek mohla vypadat takto y = y 1... + y 2.... Nyní přidáme k y 1, y 2 další prvky tak, aby když do rovnice dosadíme x 1, člen s y 2 bude nulový a vypadne. Stejně tak pro x 2. To se udělá jednoduše y = y 1 (x x 2 ) + y 2 (x x 1 ). Nyní vidíme, že po dosazení x 1 nám sice vypadne druhý člen, ale na pravé straně ještě pořád není y 1, je tam něco navíc. To vyřešíme tak, že členy ještě vhodně podělíme jiným členem. Snadno můžeme dosazením ověřit, že takto je to už vpořádku y = y 1 (x x 2) x 1 x 2 + y 2 (x x 1) x 2 x 1. Pro úplnost ještě je nutno dodat, že x i y se vyskytují s mocninou 1 a koeficient u y je stále 1, tudíž jsou splněny podmínky, které musí pro rovnici přímky platit. 2
Příklad 1: Určete ve R 3 jakých vzájemných poloh mohou dvě přímky nabývat a popište, jak lze dané polohy zjistit, pokud jsou obě přímky definovány parametrickými rovnicemi nebo obecnými rovnicemi. Řešení: Řešení je vyjádřeno v následující tabulce. poloha přímek rovnoběžné totožné různoběžné mimoběžné parametrický tvar (obecný tvar) směrový vektor (normála) jedné je násobkem směrového vektoru druhé přímky stejné jako předchozí, navíc libovolný bod jedné přímky leží na přímce druhé nejsou rovnoběžné, ale mají právě jeden společný bod nejsou rovnoběžné a nemají žádný společný bod Příklad 2: Zjistěte zda bod [3, 1] leží na přímce p definované parametricky p : X = [2, 3] + t ( 1, 2). Řešení: Pokud si parametrickou rovnici přímky rozepíšeme po složkách dostaneme x = 2 t, y = 3 + 2t. Dosadíme bod [3, 1] do rovnice nahoře (x = 3, y = 1) a zjistíme, že pro obě rovnosti dostaneme t = 1. Tedy bod na přímce leží, neboť se do něj dostaneme tak, že z bodu [2, 3] pojedeme směrem ( 1, 2) a o ( 1)-násobek jeho délky (tzn. opačným směrem než ukazuje). Příklad 3: Bodem A = [1, 2, 3] veďte přímku q rovnoběžnou s přímkou p : X = [2, 1, 1] + t (3, 2, 1). Řešení: Z předešlého příkladu víme, že přímky jsou rovnoběžné, pokud mají stejný směrový vektor. Směrový vektor přímky p již známe a povedeme přímku bodem A. Tedy q : X = [1, 2, 3] + t (3, 2, 1). 3
Od rovnic pro přímku se dostáváme k rovnicím pro rovinu. Je jasné, že bod a směrový vektor pro určení roviny nestačí. Musíme mít směrové vektory dva. Rovinu ϱ tedy definujeme pomocí dvou různých (lineárně nezávislých) směrových vektorů u, v a jednoho bodu A a dvou reálných parametrů s, t. ϱ : X = A + t u + s v. Rovinu můžeme ale i definovat pomocí jednoho bodu a jednoho vektoru, podobně jako jsme odvozovali rovnici pro obecný tvar přímky ve R 2. Již jsme si říkali, že pokud totéž provedeme ve R 3 dostaneme vlastně rovinu. Pro normálový vektor n = (a, b, c) obecná rovnice přímky tedy bude ax + by + cz + d = 0. Opět platí, že alespoň jedno z a, b, c je nenulové. Normálový vektor můžeme vykřesat ze dvou směrových vektorů pomocí jedné ne moc intuitivní operace zvané vektorový součin. Ta nám vrací vektor kolmý na oba dva předchozí vektory. Příklad 4: Určete průsečík roviny ϱ : 2x + 4y 3z + 1 = 0 a přímky p : X = [0, 3, 1] + t (1, 1, 2), t R. Řešení: Jednoduše hledáme bod, který splňují obě rovnice. Dosadíme souřadnice bodu s parametrem t z popisu přímky do rovnice roviny a dostaneme 2 (t) + 4 (3 t) 3 ( 1 + 2t) + 1 = 0 Po vyřešení rovnice dostáváme t = 2. Průsečík P dostaneme tak, že zpětně parametr dosadíme do parametrické rovnice přímky. P = [0, 3, 1] + 2 (1, 1, 2) = [2, 1, 3]. Příklad 5: Zjistěte, zda bod D = [ 1, 1, 3] leží v rovině dané body A = [1, 2, 1], B = [3, 1, 1], C = [ 1, 1, 0]. Řešení: Nejprve si určíme nějaké směrové vektory roviny např. u = B A = (2, 1, 2), v = C A = ( 2, 1, 1). 4
Dostaneme parametrickou rovnici roviny ϱ : [x 1, x 2, x 3 ] = A + t u + s v = [1, 2 1] + t (2, 1, 2) + s ( 2, 1, 1). Dosadíme D do rovnice po složkách a dostaneme soustavu tří rovnic. 1 = 1 + 2t 2s 1 = 2 t s 3 = 1 + 2t + s První dvě rovnice vyřešíme nějakým naším oblíbeným způsobem a dostaneme řešení t = 1, s = 2. Řešení dosadíme do třetí a zjistíme, že řešení vyhovuje i třetí rovnici. Tedy, podobně jako v příkladu s přímkou, bod v rovině leží, neboť ho můžeme vyjádřit vhodnou volbou parametrů v parametrické rovnici roviny. Příklad 6: Určete vzdálenost mezi bodem A = [1, 2, 3] a rovinou ϱ : 2x + y + 2z 6 = 0. Řešení: Zjistíme jaký je nejbližší bod Q roviny ϱ k bodu A. Jak již víme z geometrie, bude ležet někde na průsečíku nějaké kolmice vycházející z roviny a procházející bodem A. Směrnici kolmice už máme, je to normála n roviny ϱ, kterou vysosneme z její obecné rovnice n = (2, 1, 2). Kolmice p procházející bodem A bude definována parametricky p : [x, y, z] = A + t n = [1, 2, 4] + t (2, 1, 2). Stejně jako v příkladu s průsečíkem přímky a roviny určíme velikost parametru t dosazením jenotlivých souřadnic přímky p do rovnice roviny ϱ. 2 (1 + 2t) + 1 (2 + t) + 2 (4 + 2t) 6 = 0. Odtud dostáváme t = 2/3. Dosazením do rovnice přímky p dostaneme bod Q = [1+2t, 2+ t, 4 + 2t]. Podle vzorce pro výpočet vzdálenosti dvou bodů (velikost vektoru) spočítáme AQ = (1 + 2t 1) 2 + (2 + t 2) 2 + (4 + 2t 4) 2 = (2t) 2 + (t) 2 + (2t) 2 = 9t 2 =3 t =2 Na příkladu je hezky vidět, že se nám vyplatí počítat s parametrem t až do konce a pak jen dosadit, ušetříme si práci s počítáním s třetinami. Příklad 7: Najděte průsečnici p rovin ϱ :x + 2y + z 1 = 0, δ :2x + 3y 2z + 2 = 0. 5
Řešení: Máme dvě soustavy rovnic o třech neznámých. Průsečnice je přímka. Stačí tedy najít dva různé body A, B, které na průsečnici leží. Pak již na základě předchozích znalostí snadno sestrojíme přímku procházející body. To uděláme tak, že si jednu souřadnici např. z určíme a zbylé dvě souřadnice x, y, kterými průsečnice prochází dopočítáme. Dejme tomu, že zvolíme za z postupně 0, 1. První soustava pro z = 0 bude x + 2y = 1, 2x + 3y = 2. Vyřešením dostaneme x = 1, y = 0 První bod je tedy A = [1, 0, 0]. Druhá soustava vzniklá dosazením z = 1 je x + 2y = 0, 2x + 3y = 0. Vyřešením dostaneme x = 0, y = 0 První bod je tedy B = [0, 0, 1]. Máme tedy již dva body a můžeme jimi vést přímku. Jiné řešení: Si prozradíme, až budeme probírat Gaussovu Eliminaci... 6