8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu a tabuli, v průběhu hodiy se k im ještě vracíme. Někteří studeti potřebují slyšet, že ejde o ic áročého a oba příklady jsou zcela jedoduché. Pokud ěkdo opravdu eví, avrhěte, aby si zkusil zjistit, jaká je situace po jedé hodiě (o kilometr výše). Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž 3 automobilů. Na začátku směy bylo ve skladu (po předchozí směě) 5 eodvezeých automobilů. Kolik hotových automobilů bude a skladě a koci směy (po 8 hodiách), pokud v jejím průběhu žádý hotový automobil eodvezou? Příklad řeš jako rekuretí posloupost. Budeme sledovat počet automobilů po hodiách: Začátek směy : a = 5 po hodiě: a2 = a + 3 = 5 + 3 = 8 po 2 hodiách: a3 = a2 + 3 = 8 + 3 = po 3 hodiách: a4 = a3 + 3 = + 3 = 4 po 4 hodiách: a5 = a4 + 3 = 4 + 3 = 7 po 5 hodiách: a6 = a5 + 3 = 7 + 3 = 20 po 6 hodiách: a7 = a6 + 3 = 20 + 3 = 23 po 7 hodiách: a8 = a7 + 3 = 23+ 3 = 26 po 8 hodiách: a9 = a8 + 3 = 26 + 3 = 29 Na koci směy bude ve skladu 29 automobilů. Př. 2: V zemské troposféře platí, že s rostoucí výškou klesá teplota. Vzrůst admořské výšky o km zameá pokles teploty o 6,5 C. Urči teplotu v admořské výšce 5 km, pokud je při hladiě moře 25 C. Příklad řeš jako rekuretě zadaou posloupost. Postupujeme podobě jako v předchozím příkladě, postupě počítáme teploty v jedotlivých výškách: Při hladiě moře: t = 25 ve výšce km: t2 = t 6,5 = 25 6,5 = 8,5 ve výšce 2 km: t3 = t2 6,5 = 8,5 6,5 = 2 ve výšce 3 km: t4 = t3 6,5 = 2 6,5 = 5,5 ve výšce 4 km: t5 = t4 6,5 = 5,5 6,5 = ve výšce 5 km: t6 = t5 6,5 = 6,5 = 7,5 Ve výšce 5 km je teplota 7,5 C.
Př. 3: Najdi společou speciálí vlastost obou předchozích posloupostí. U obou předchozích posloupostí platí, že rozdíl mezi dvěma sousedími čley v poslouposti je kostatí (v prvím případě jsme pořád přičítali stejé číslo, ve druhém případě jsme stále stejé číslo odečítali). Posloupost s uvedeou vlastostí se azývá aritmetická. a = Posloupost ( ) se azývá aritmetická, právě když existuje takové číslo d, že pro každé přirozeé číslo platí a+ = a + d. Číslo d se azývá diferece poslouposti. Pro difereci platí: d = a a a tím se vysvětluje i její pojmeováí. + Př. 4: Urči diferece aritmetických posloupostí z příkladů a 2. a) v příkladu platí: a = a + + 3 d = 3 b) v příkladu 2 platí: a = a + 6,5 d = 6,5 Pedagogická pozámka: Jako obvykle v těchto situacích. Příklad eí zbytečý, ěkteří teprve yí začíají vímat předchozí defiici. Př. 5: Načrti grafy aritmetických posloupostí z příkladů a 2. Jaký typ fukce je aalogií aritmetické poslouposti? a) 30 25 20 5 0 5 b) 2 3 4 5 6 7 8 9 2
30 20 0-0 2 3 4 5 6-20 V obou případech leží všechy body grafu v přímce aritmetická posloupost je speciálí případ lieárí fukce. Dodatek: Předchozí závěr je zřejmý i faktu, že diferece (tedy rozdíl mezi ásledujícími hodotami) je stále stejá. Pedagogická pozámka: Opět se objeví tací, kteří akreslí místo bodů plé čáry. Př. 6: Rozhodi, zda daá tři čísla tvoří tři po sobě jdoucí čley ějaké aritmetické poslouposti. Pokud ao, urči difereci. a) ; 7 ; b) ( x 2 ) 2 ;( x ) 2 ; x 2 3 6 2 Pokud zadaá trojice čísel tvoří tři po sobě jdoucí čley aritmetické poslouposti, musí být jejich rozdíl obou sousedích čísel shodý. a) ; 7 ; 6 2 7 7 2 5 a a = = = 2 6 2 2 7 2 7 5 a+ a = = = 2 2 2 Jde o tři po sobě jdoucí čley aritmetické poslouposti s diferecí 5 2. 2 2 2 x 2 ; x ; x 3 b) 2 2 2 2 ( 2 2 ) 2 ( 2 ) a a = x x 2 = x 2x + x 4x + 4 = 2x 3 a a = x 3 x = x + 3 x 2x + = 2x 4 Nejde o tři po sobě jdoucí čley aritmetické poslouposti, rozdíly po sobě jdoucích čísel jsou růzé. Pedagogická pozámka: Občas se objeví žák, který eřeší bod b) předchozího příkladu obecě, ale dosadí (ejčastěji x = ) a spočte rozdíly ze získaých hodot. Pokud echce pochopit, že dokázal ěco pouze pro použitou hodotu ezámé, echávám 2 ho vyřešit stejý příklad pro trojici čísel x ; 2x ; x + 2x. 3
Př. 7: Najdi důvod, proč můžeme o poslouposti ( 3 ) = tuto její vlastost. tvrdit, že je aritmetická. Dokaž Na výraz 3 se můžeme koukat jako a předpis lieárí fukce y = 3x. Podmíka, která odlišuje aritmetickou posloupost od ostatích posloupostí musíme dokázat, že platí: a = a + + d. = 3 a+ = 3( + ) = 3 + 2 a a+ a = 3 + 2 3 = 3 = d. Dosadíme: Rozdíl dvou po sobě jdoucích čleů je kostatí posloupost ( 3 ) = diferecí 3). je aritmetická (s Pedagogická pozámka: I když ejde o ic jiého ež zopakováí příkladu 6, mají studeti se 7 začé problémy. Aritmetická posloupost je speciálí případ lieárí fukce, průběh aritmetické poslouposti je pravidelý měl by existovat vzorec pro -tý čle. Př. 8: Najdi vzorec pro -tý čle posloupostí z příkladů a 2. Vzorec hledej ve tvaru, který obsahuje prví čle poslouposti a její difereci. Vyslov hypotézu o vzorci aritmetické poslouposti: a; a = a + + d; N. a) Zkusíme si upravovat čley poslouposti tak, aby byl každý vyjádře pomocí a a d: a = 5 (a začátku směy) a = a + 3 = a + 3 = 8 2 a = a + 3 = a + 3 + 3 = 5 + 2 3 = 3 2 a = a + 3 = a + 3 + 3+ 3 = 5 + 3 3 = 4 4 3 a5 = a4 + 3 = a + 3 + 3 + 3+ 3 = 5 + 4 3 = 7. a = a + 3 = 5 + ( ) 3 Zdá se, že posloupost by mohla být dáa vzorcem 5 ( ) 3 = +. b) Zkusíme si upravovat čley poslouposti tak, aby byl každý vyjádře pomocí a a d: t = 25 (a hladiě moře) t = t 6,5 = t 6,5 = 8,5 2 3 2 t = t 6,5 = t 6,5 6,5 = t + 2 6,5 = 2 t = t 6,5 = t 6,5 6,5 6,5 = t + 3 6,5 = 5,5 4 3 t = t 6,5 = t 6,5 6,5 6,5 6,5 = t + 4 6,5 = 5 4. t = t 6,5 = t + 6,5 +. Zdá se, že posloupost by mohla být dáa vzorcem 25 ( ) ( 6,5) = 4
Oba odvozeé vzorce mají stejý tvar: poslouposti je dá vzorcem + ( ) a + d zřejmě platí: -tý čle aritmetické a d. = Pedagogická pozámka: Tady je potřeba hlídat studety (spíše ty chytřejší). Často odvozují a + d a teto vzorec jim dokoce dává i správé výsledky, = protože v příkladech jako je ebo 2 idexují od 0. Například počet aut ve skladu po osmi hodiách práce pro ě eí a 9, ale a 8 (bezpochyby je to i logičtější). Je uté, aby si studeti ujasili, že u posloupostí začíme a prví čle, tedy čle, ke kterému se diferece epřičítala ještě ai jedou a proto se při cestě ke čleu a vzorec ve tvaru [ ] přičítala pouze ( ) krát (idex zkrátka esouvisí s počtem přičítáí diferece, ale umístěím čleu v řadě). O správosti aší hypotézy se musíme přesvědčit. Zkusíme důkaz matematickou idukcí: Př. 9: Dokaž větu: V aritmetické poslouposti ( a ) = a = a + ( ) d. s diferecí d platí pro každé N. Ověříme platost pro = : a = a + d = a + 0 d = a pro = vzorec platí 2. Předpokládáme, že vzorec platí pro k a dokazujeme, že platí i pro k + : a = a + k d. Víme: k Chceme dokázat: a = k a + + k + d = a + k d. Určitě platí rekuretí vztah pro aritmetickou posloupost: a = k a + + k d. a = a + k d : Dosadíme do rekuretího vyjádřeí za k a a ( k ) d d a kd d d a kd k + = + + = + + = + (to jsme chtěli). Podařilo se ám vztah dokázat. Pedagogická pozámka: Pokud estíháme, předchozí příklad vyecháváme a důkaz buď rychle udělám a tabuli ebo ho úplě přeskočíme. Teď už můžeme apsat s jistotou: V aritmetické poslouposti ( a ) = a = a + ( ) d. s diferecí d platí pro každé N Př. 0: Petáková: straa 67/cvičeí 9 a) straa 67/cvičeí 0 a) straa 67/cvičeí a) b) c) straa 67/cvičeí 5 a) b) 5
Shrutí: Posloupost jejíž po sobě ásledující čley se liší o stejé číslo se azývá aritmetická. Při výpočtu jejího -tého čleu přičítáme k prvímu čleu difereci krát. 6