2. kapitola: Euklidovské prostory

2. kapitola: Euklidovské prostory 2.1 Definice. Euklidovským n-rozměrným prostorem rozumíme neprázdnou množinu E n spolu s vektorovým prostorem V n a přiřazením, které každému bodu a z E n a každému vektoru u z V n přiřazuje bod a + u E n tak, že jsou splněny následující dvě podmínky: (a) a + 0 = 0, (a + u) + v = a + (u + v) pro každé dva vektory u, v V n a každý bod a E n ; (b) pro každé dva body a, b E n existuje právě jeden vektor u V takový, že a + u = b. Tento jednoznačně určený vektor u budeme značit symbolem b a. 2.2 Definice. Říkáme, že podmnožina M euklidovského prostoru E n je podprostorem, jestliže existuje podprostor W V n takový, že pro každé dva body a, b M a každý vektor u W je a+u M a b a W. Dimenzí podprostoru M rozumíme dimenzi podprostoru W. 2.3 Věta. Podmnožina M euklidovského prostoru E n je podprostorem právě když je tvaru M = a+w pro nějaký (libovolný) bod a M a nějaký (vhodný) podprostor prostoru V n. 2.4 Definice. Jednorozměrný euklidovský prostor se nazývá přímka. Dvourozměrný euklidovský prostor se nazývá rovina. Podprostor dimenze n 1 v E n se nazývá nadrovina. 2.5 Příklad. Ověřte, že množina E n = V n je vzhledem k obvyklým operacím sčítání a násobení vektorů n-rozměrným euklidovským prostorem. Přesvědčte se na obrázku, že přímky p = [0, 1] + (1, 1) a q = [0, 1] + (1, 1) jsou rovnoběžné. 2.6 Definice. Řekneme, že podprostory a + W, b + W euklidovského prostoru E n jsou - rovnoběžné, jestliže buď W W nebo W W ; - různoběžné, jestliže nejsou rovnoběžné a mají alespoň jeden společný bod; - mimoběžné, jestliže nejsou ani rovnoběžné ani různoběžné, tj. jestliže nejsou rovnoběžné a nemají žádný společný bod. 2. Věta. Buďte A = a + W, B = b + W, W W, dva rovnoběžné podprostory euklidovského prostoru E n. Následující podmínky jsou ekvivalentní: (i) podprostory A a B jsou disjunktní; (ii) pro každý bod a A a každý bod b B je a b / W ; (iii) existuje bod a A a bod b B tak, že a b / W. 2.8 Věta. Buďte A = a + W, B = b + W dva nerovnoběžné podprostory euklidovského prostoru E n. Následující podmínky jsou ekvivalentní: (i) podprostory A a B jsou různoběžné; (ii) pro každý bod a A a každý bod b B je a b W + W ; (iii) existuje bod a A a bod b B tak, že a b W + W, tj. a b = u + u, kde u W a u W. 2.9 Důsledek. Dvě přímky a + u a b + v v E 3 jsou mimoběžné právě když a b, u, v = V 3, tj. právě když vektory {a b, u, v } tvoří bázi vektorového prostoru V 3. 1

2 2.10 Příklady. 1) Určeme vzájemnou polohu přímek p = [1, 1] + (1, 2) a q = [4, 4] + (2, 1) v euklidovské rovině E 2. Řešení: Vektory u = (1, 2) a v = (2, 1) jsou zřejmě lineárně nezávislé, takže u, v = V 2. Podle věty 2.8 jsou tedy přímky p a q různoběžné (neboť jistě a b u, v ). Nalezněme průsečík c přímek p a q. Zřejmě musí platit c = a + tu = b + sv pro vhodné parametry t a s. Porovnáním ve složkách dostaneme nehomogenní soustavu dvou rovnic o dvou neznámých: 1 + t = 4 + 2s, t 2s = 3, 1 + 2t = 4 + s, 2t s = 3, která má řešení t = 1, s = 1 a tedy c = [2, 3] je hledaným průsečíkem přímek p a q. 2) Určeme vzájemnou polohu přímek p = [1, 2, 3] + (2, 1, 2) a q = [4, 3, 4] + (1, 2, 1) v E 3. Řešení: Přímky p a q zřejmě nejsou rovnoběžné. Přitom a b = ( 3, 1, 1) a matice 1 2 1 2 1 2 1 2 1 0 3 0 3 1 1 0 5 2 má hodnost 3, takže přímky p a q jsou mimoběžné podle důsledku 2.9. 3) Určeme vzájemnou polohu přímky p = [4, 3, 1] + (1, 1, 1) a roviny ϱ = [9, 10, 4] + (2, 3, 4), (4, 3, 2). Řešení: Označme a = [4, 3, 1], b = [9, 10, 4], u = (1, 1, 1), v = (2, 3, 4), w = (4, 3, 2). Jelikož dim u, v, w = 3 (ověřte!), je zcela jistě a b u + v, w, takže přímka p a rovina ϱ jsou různoběžné podle věty 2.8. Pro společné body přímky p a roviny ϱ musí platit 9 + 2α + 4β = 4 + γ, 10 + 3α + 3β = 3 γ, 4 + 4α + 2β = 1 + γ. Přepišme soustavu v maticovém tvaru a proveďme elementární úpravy. 2 4 1 5 2 4 1 5 2 4 1 5 3 3 1 0 6 5 1 0 6 5 1. 4 2 1 5 0 6 1 5 0 0 4 4 Odtud již snadno spočteme, že γ = 1, β = 1, α = 1, takže přímka p protíná rovinu ϱ v jediném bodě c = [3, 4, 2]. 4) Určeme vzájemnou polohu rovin ϱ = [1, 13, 4, 12] + (2, 1, 4, 3), ( 1, 3, 2, 1) a σ = [2, 3, 5, 4] + (3, 2, 6, 2), (1, 4, 2, 4) v euklidovském prostoru E 4. Řešení: Označme a, b body určující postupně roviny ϱ a σ a W, W příslušné podprostory prostoru V 4. Jest

2 1 4 3 1 3 2 1 3 2 6 2 1 4 2 4 1 4 2 4 0 0 5 0 0 5 0 14 0 10 takže dimw = 2, dimw = 2, dim(w + W ) = 2, odkud ihned plyne, že W = W a roviny ϱ a σ jsou rovnoběžné. Dále b a = (1, 10, 1, 8), 1 3 2 1 1 3 2 1 1 3 2 1 2 1 4 3 0 0 5 0 0 5, 1 10 1 8 0 1 0 0 1 2 odkud je patrné, že vektor b a neleží ve W = W, takže roviny ϱ a σ jsou disjunktní podle věty 2.. 5) Určeme vzájemnou polohu rovin ϱ = [5, 6, 2, 6] + (1, 2, 2, 1), (2, 3, 1, 3) a σ = [4, 1, 4, 1] + (3, 1, 2, 2), ( 1, 1, 1, 1) v E 4. Řešení: Podobně jako v předchozím příkladu máme 1 2 2 1 2 3 1 3 3 1 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 0 1 5 1 0 5 4 5 0 1 3 2, 1 2 2 1 0 1 5 1, 0 0 21 10 0 0 2 3 odkud již vidíme, že dim(w + W ) = 4 a roviny ϱ a σ jsou nutně různoběžné podle věty 2.8. Pro společné body obou rovin máme soustavu rovnic Tedy 5 + α + 2β = 4 + 3γ δ, 6 + 2α + 3β = 1 + γ δ, 2 + 2α β = 4 + 2γ + δ, 6 + α + 3β = 1 2γ + δ. 1 2 3 1 2 3 1 1 2 1 2 1 1 3 2 1 1 2 3 1 0 1 5 1 0 0 21 2 0 0 10 3 1 1 2 3 1 5 2 0 1 5 1 0 5 4 3 5 0 1 5 2 1 1 2 3 1 3 19 0 1 5 1 0 0 21 2 0 0 0 43 1 3 4 4 1 3 19, 43 odkud postupně dostáváme δ = 1, γ = 1, β = 1, α = 1, takže roviny ϱ a σ se protnou v jediném bodě c = [2, 1, 1, 2]. 6) Určeme vzájemnou polohu rovin ϱ = [6, 3, 9, 4] + (2, 1, 3, 2), (3, 3, 5, 3) a σ = [8, 3,, 6] + (3, 1, 2, 3), (4, 3, 4, 4) v E 4. 3

4 Řešení: Jest 2 1 3 2 2 1 3 2 2 1 3 2 3 3 5 3 0 3 1 0 0 1 2 0 1 0 0 1 0 1 0 0, 3 1 2 3 0 1 5 0 0 0 0 0 0 1 0 4 3 4 4 0 1 2 0 0 0 0 takže dim(w +W ) = 3 a dim(w W ) = 1 podle věty o dimenzi spojení a průniku 1.15. Kromě toho a b = ( 2, 0, 2, 2), 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 2 0 2 2 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0, 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 2 0 takže a b W + W a roviny ϱ a σ jsou různoběžné podle věty 2.8. Protože dim(w W ) = 1, mají obě roviny společnou přímku. Podobně jako v předchozím příkladu řešíme nehomogenní soustavu lineárních rovnic 2 3 3 4 2 1 3 1 3 0 1 3 1 3 0 3 5 2 4 2 0 3 1 2 2 0 4 1 5 2 2 3 3 4 2 0 3 1 2 2 1 3 1 3 0 1 0 1 0 0 0 3 1 2 2 0 1 0 1 0, 0 0 14 0 0 1 1 2 která má řešení [ 1, 1, 1, 1] + ( 1, 1, 1, 1) pro koeficienty α, β, γ, δ. Pro průsečnici rovin ϱ a σ tudíž máme a + ( 1 t)u + ( 1 + t)v = b + ( 1 t)w + ( 1 + t)z = [1, 1, 1, 1] + t(1, 2, 2, 1), což je parametrická rovnice průsečnice rovin ϱ a σ. 2.11 Definice. Příčkou mimoběžek p = a + u a q = b + v v euklidovském prostoru E 3 rozumíme každou přímku r = c + w, která obě přímky protíná. V tomto případě mluvíme speciálně o příčce ve směru w nebo o příčce procházející bodem c. 2.12 Věta. Buďte p = a + u a q = b + v dvě mimoběžky v euklidovském prostoru E 3 a buď 0 w V 3 libovolný vektor. Příčka mimoběžek p a q o směru w existuje právě když vektory u, v, w jsou lineárně nezávislé, tj. právě když vektor w neleží v lineárním obalu u, v. V tomto případě je příčka mimoběžek p a q určena jednoznačně. 2.13 Postup. Příčku mimoběžek p = a + u a q = b + v ve směru w lze nalézt následujícím způsobem: 1) Ověřte, že přímky p a q jsou skutečně mimoběžné; 2) ověřte, že w / u, v ; 3) sestrojte rovinu ϱ = a + u, w proloženou přímkou p a směrem w ; 4) nalezněte průsečík c roviny ϱ s přímkou q, ϱ q = c; 5) přímka r = c + w je hledaná příčka mimoběžek p a q.

2.14 Příklad. Nalezněme příčku mimoběžek p = [1, 2, 1] + (1, 1, 1) a q = [0, 9, 2] + (1, 0, 0) o směru w = (1, 2, 0). Řešení: 1) Při označení z předcházející věty máme: a b = [1, 2, 1] [0, 9, 2] = (1,, 1), u = (1, 1, 1), v = (1, 0, 0). Protože 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 6 jsou vektory a b, u, v lineárně nezávislé a přímky p a q jsou mimoběžné. 2) Dále máme 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1, 1 2 0 0 2 0 vektory u, v, w jsou tedy lineárně nezávislé a hledaná příčka existuje a je určena jednoznačně. 3) Rovina ϱ určená přímkou p a vektorem w má tedy parametrickou rovnici ϱ = [1, 2, 1] + α(1, 1, 1) + β(1, 2, 0). 4) K nalezení průsečíku c roviny ϱ a přímky q musíme tedy řešit následující soustavu rovnic: 1 + α + β = γ α + β γ = 1 2 α + 2β = 9 α + 2β = 1 + α = 2, α = 1. Vidíme tedy, že α = 1, β = 3 a γ = 3, takže c = [3, 9, 2]. 5) Hledaná příčka tedy je r = [3, 9, 2] + (1, 2, 0). 2.15 Věta. Buďte p = a + u a q = b + v dvě mimoběžky v euklidovském prostoru E 3 a buď c E 3 libovolný bod, neležící na žádné z nich. Příčka mimoběžek p a q procházející bodem c existuje právě když ani jeden z vektorů c a, c b neleží v lineárním obalu u, v. V tomto případě je příčka mimoběžek p a q určena jednoznačně. 2.16 Postup. Příčku mimoběžek p = a+ u a q = b+ v bodem c můžeme nalézt následujícím způsobem: 1) Ověřte, že přímky p a q jsou skutečně mimoběžné; 2) ověřte, že c a, c b / u, v ; 3) sestrojte rovinu ϱ = a + c a, u proloženou přímkou p a bodem c; 4) nalezněte průsečík d roviny ϱ s přímkou q, ϱ q = d; 5) přímka r = d + c d = c + c d je hledaná příčka mimoběžek p a q. 2.1 Příklad. Nalezněme příčku mimoběžek p = [3, 3, 3]+ (2, 2, 1) a q = [0, 5, 1] + (1, 1, 1) procházející bodem c = [4, 5, 3]. Řešení: 1) Při označení z předchozí věty máme: a b = (3, 2, 4), u = (2, 2, 1), v = (1, 1, 1). Protože 1 1 1 2 2 1 1 1 1 0 0 1, 3 2 4 0 5 1, 5

6 jsou vektory a b, u, v lineárně nezávislé a přímky p a q jsou mimoběžné. 2) Dále máme u, v = (1, 1, 0), (0, 0, 1), c a = (1, 2, 0), c b = (4, 0, 4), takže zřejmě ani c a ani c b neleží v u, v a hledaná příčka je určena jednoznačně. 3) Rovina ϱ určené přímkou p a bodem c má tedy parametrickou rovnici ϱ = [3, 3, 3] + α(1, 2, 0) + β(2, 2, 1). 4) K nalezení průsečíku d roviny ϱ a přímky q musíme tedy řešit následující soustavu rovnic: 3 + α + 2β = γ α + 2β γ = 3 3 + 2α + 2β = 5 + γ 2α + 2β γ = 2 3 + β = 1 + γ, β γ = 4, odkud postupně dostaneme α = 5, β = 4 a γ = 0. Průsečík d má souřadnice d = [0, 5, 1]. 5) Hledaná příčka je r = [0, 5, 1] + (4, 0, 4) = [0, 5, 1] + (1, 0, 1). 2.18 Definice. Nechť u = (u 1,..., u n ) a v = (v 1,..., v n ) jsou dva vektory z V n. Číslo u v = n i=1 u iv i nazýváme skalárním součinem vektorů u a v. Vektory u a v se nazývají ortogonální nebo kolmé, u v, je-li jejich skalární součin roven nule. Jeli M E n libovolná podmnožina, pak M = {v V n v u pro každé u M} se nazývá ortogonální doplněk množiny M. Nezáporné reálné číslo u = u u se nazývá velikost vektoru u. 2.19 Definice. Nechť p = a+ u a q = b+ v jsou dvě mimoběžky v euklidovském prostoru E n a buď r = c + w jejich příčka taková, že r p = a, r q = b. Pak číslo a b se nazývá délka příčky r. 2.20 Věta. Přímka r = c + w je nejkratší příčkou mimoběžek p = a + u, q = b+ v, právě když w = u, v, tj. právě když vektor w je kolmý k oběma vektorům u a v. 2.21 Definice. Velikost nejkratší příčky mimoběžek p a q se nazývá vzdálenost mimoběžek p a q. 2.22 Postup. Nejkratší příčku mimoběžek p = a + u a q = b + v můžeme nalézt následujícím způsobem: 1) Ověřte, že přímky p a q jsou skutečně mimoběžné; 2) najděte ortogonální doplněk w = u, v ; 3) sestrojte rovinu ϱ = a + u, w proloženou přímkou p a směrem w ; 4) nalezněte průsečík c roviny ϱ s přímkou q, ϱ q = c; 5) přímka r = c + w je hledaná nejkratší příčka mimoběžek p a q; 6) nalezněte průsečík d přímky c + w s přímkou p, (c + w ) p = d; ) velikost c d vektoru c d je vzdálenost mimoběžek p a q. 2.23 Příklad. Nalezněme nejkratší příčku a určeme vzdálenost mimoběžek p = [6, 3, 3] + ( 3, 2, 4) a q = [ 1,, 4] + ( 3, 3, 8). Řešení: 1) Při obvyklém označení máme: a b = (, 10, ), u = ( 3, 2, 4), v = ( 3, 3, 8). Protože 3 2 4 3 3 8 10 3 2 3 0 1 4, 0 44

jsou vektory a b, u, v lineárně nezávislé a přímky p a q jsou mimoběžné. 2) Dále máme u, v = ( 3, 2, 4), (0, 1, 4), takže řešením homogenní soustavy lineárních rovnic s maticí, jejíž řádky jsou právě uvedené vektory, snadno dostaneme generátor ortogonálního doplňku w = (4, 12 3) vektorů u a v. 3) Rovina ϱ určené přímkou p a vektorem w má tedy parametrickou rovnici ϱ = [6, 3, 3] + α( 3, 2, 4) + β(4, 12, 3). 4) K nalezení průsečíku c roviny ϱ a přímky q musíme tedy řešit následující soustavu rovnic: 6 3α + 4β = 1 3γ 3 + 2α + 12β = + 3γ 3 + 4α 3β = 4 + 8γ, odkud elementárními úpravami postupně dostaneme 3 4 3 2 12 3 10 2 12 3 10 0 2 2 2 4 3 8 0 44 3 44 2 12 3 10 0 2 2 2 2 12 3 10 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1, 0 0 169 0 0 0 1 0 0 0 1 0 takže ϱ q = c = b = [ 1,, 4]. 5) Hledaná nejkratší příčka tedy je r = [ 1,, 4] + (4, 12, 3). 6) Nalezneme průsečík d přímek r a p, ([ 1,, 4]+ (4, 12, 3) ) ([6, 3, 3] + ( 3, 2, 4) ), a to řešením následující nehomogenní soustavy lineárních rovnic: 1 + 4s = 6 3t + 12s = 3 + 2t 4 3s = 3 + 4t. Elementárními úpravami dostaneme 4 3 12 2 10 4 3 0 11 11, 3 4 0 takže s = t = 1 a d = [3, 5, 1]. ) Vzdálenost mimoběžek p a q vypočteme snadno. Jest c d = [ 1,, 4] [3, 5, 1] = ( 4, 12, 3) = 16 + 144 + 9 = 169 = 13. Příklady ke kapitole 2. 1. Určete vzájemnou polohu přímek p a q v euklidovském prostoru E 2 : (a) p = [1, 3] + (2, 1), q = [5, 4] + ( 4, 2) ; (b) p = [1, 2] + (3, 2), q = [, 2] + (9, 6) ; (c) p = [3, 2] + (2, 1), q = [2, 3] + (1, 2). 2. Určete vzájemnou polohu přímek p a q v euklidovském prostoru E 3 :

8 (a) p = [4, 6, 1] + (1, 3, 2), q = [5, 3, 4] + ( 2, 6, 4) ; (b) p = [2, 3, 1] + (4, 1, 2), q = [10, 5, 3] + ( 8, 2, 4) ; (c) p = [, 0, 5] + (2, 1, 2), q = [6, 8, 4] + (1, 2, 1) ; (d) p = [ 2, 4, 3] + (1, 2, 3), q = [2, 6, 1] + (3, 2, 1). 3. Určete vzájemnou polohu dvou rovin ϱ a σ v euklidovském prostoru E 3 : (a) ϱ : [2, 3, 4] + (2, 1, 3), (1, 3, 4), σ : [4, 1, 10] + (3, 2, 1), (1, 4, ) ; (b) ϱ : [, 2, 5] + (1, 3, 2), (4, 2, 1), σ : [1, 6, 2] + (5, 1, 1), (3, 5, 3) ; (c) ϱ : [6, 4, 11] + (1, 2, 3), (3, 1, 5), σ : [10, 4, ] + (3, 2, 1), (5, 1, 3). 4. Určete vzájemnou polohu přímky p a roviny ϱ v euklidovském prostoru E 3 : (a) p : [6, 5, 4] + (3, 1, 5), ϱ : [4, 4, 2] + (2, 3, 1), (1, 2, 4) ; (b) p : [3, 1, 2] + (2, 3, 1), ϱ : [11, 1, 12] + (3, 1, 2), ( 1, 2, 3) ; (c) p : [6, 5, 3] + (2, 1, 2), ϱ : [6, 9, 1] + (3, 1, 5), (1, 5, 3). 5. Určete vzájemnou polohu rovin ϱ a σ v euklidovském prostoru E 4 : (a) ϱ : [4, 6, 6, 4] + (2, 1, 4, 3), (1, 3, 2, 4), σ : [2, 5, 4, 3] + (3, 4, 6, ), (1, 2, 2, 1) ; (b) ϱ : [4, 5,, 3] + (1, 2, 1, 2), (3, 1, 5, 5), σ : [6, 4, 4, 5] + (3, 2, 3, 1), (5, 3, 1, 4) ; (c) ϱ : [5, 11, 10, 12] + (1, 3, 2, 4), (2,, 5, 3), σ : [3, 2, 9, 2] + ( 2, 4, 1, 1), (3, 5,, 8) ; (d) ϱ : [, 5, 10, 10] + (2, 1, 3, 2), (3, 3, 4, 3), σ : [2, 9,, 13] + ( 1, 2, 1, 3), (1, 6, 3, 5) ; (e) ϱ : [6, 2, 4, 9] + (4,, 8, 11), ( 1,, 2, 6), σ : [5, 1, 2, 5] + (3, 14, 6, 1), (1, 8, 2, 9). 6. Určete vzájemnou polohu podprostorů v euklidovském prostoru E 4 : (a) p : [4, 5, 6, ] + (2, 9, 9, 15), σ : [3, 3, 2, 4] + (1, 3, 2, 4), ( 1, 1, 2, 4), (2, 5, 5, ) ; (b) p : [3, 5, 3, ] + (1, 2, 4, 3), σ : [6, 21, 1, 34] + (1, 6,, 11), (3, 8,, 11), (0, 1, 1, 2) ; (c) ϱ : [1, 2, 3, 4] + (1, 2, 1, 2), (2, 4, 3, 5), σ : [, 9, 11, 13] + (3, 1, 4, 2), (5, 5,, ), (4, 3, 5, 4) ; (d) ϱ : [5, 12,, 13] + (1, 4, 4, 5), (3, 5, 1, 4), σ : [9, 6, 1, 11] + (2, 1, 1, 3), (5, 2, 3, 3), (1, 2, 1, 1) ; (e) ϱ : [11, 2, 6, 1] + (1, 2, 1, 2), (2, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 1), σ : [3, 4, 4, 3] + (3, 1, 2, 1), (2, 3, 0, 3), (4, 1, 1, 1) ; (f) ϱ : [5, 4, 4, 4] + (1, 2, 1, 2), (3, 1, 2, 1), (2, 3, 0, 3), σ : [11, 6, 4, 4] + (4, 3, 1, 2), (6, 2, 2, 1), (5, 4, 0, 3).. V E 3 nalezněte příčku mimoběžek p a q o směru w: (a) p = [4, 5, 8] + (2, 1, 3), q = [4, 3, 2] + (1, 1, 1), w = ( 1, 2, 2); (b) p = [1, 2, 3] + (3, 5, 1), q = [3, 2, 1] + (2, 2, 3), w = (3, 1, 8); (c) p = [3, 5, 6] + (3, 2, 2), q = [4, 0, 3] + (1, 4, 0), w = (1, 3, 5); (d) p = [2, 1, 1] + (1, 2, 3), q = [4, 6, 1] + (1, 1, 1), w = (2, 1, 2). 8. V E 3 nalezněte příčku mimoběžek p a q procházející bodem c: (a) p = [6, 2, 6] + (1, 1, 2), q = [5, 1, 8] + (3, 5, 3), c = [ 3, 11, 6];

9 (b) p = [2, 0, 3] + (1, 2, 3), q = [4, 2, 3] + (2, 3, 1), c = [1, 4, 2]; (c) p = [2, 2, 0] + (3, 4, 1), q = [4, 4, 0] + (2, 3, 1), c = [ 4, 1, 5]; (d) p = [4, 2, 2] + (1, 2, 3), q = [6, 4, 2] + (4, 1, 3), c = [ 1, 2, 3]. 9. V E 3 nalezněte nejkratší příčku mimoběžek p a q a spočtěte jejich vzdálenost: (a) p = [3, 6, 6] + (4, 1, 3), q = [3, 6, ] + (2, 1, 6) ; (b) p = [8, 5, 9] + (4, 2, 3), q = [ 3, 2, 4] + (4, 3, 6). Řešení: 1. (a) Rovnoběžné různé; (b) rovnoběžné splývající; (c) různoběžné, průsečík [1, 1]. 2. (a) Rovnoběžné různé; (b) rovnoběžné splývající; (c) různoběžné, průsečík [3, 2, 1]; (d) mimoběžné. 3. (a) Rovnoběžné různé; (b) rovnoběžné splývající; (c) různoběžné, průsečnice [2, 1, 3] + (2, 1, 2). 4. (a) Přímka je rovnoběžná s rovinou a neleží v ní; (b) přímka leží v rovině; (c) přímka protíná rovinu v bodě [2, 3, 1]. 5. (a) Rovnoběžné různé; (b) mimoběžné; (c) různoběžné, průsečík [2, 1, 3, 5]; (d) různoběžné, průsečnice [2, 1, 3, 5] + (1, 2, 1, 1) ; (e) roviny splývají. 6. (a) Rovnoběžné různé; (b) různoběžné, průsečík [2, 3, 1, 4]; (c) rovina ϱ leží v nadrovině σ; (d) různoběžné, průsečnice je přímka [1, 3, 2, 4]+ (2, 1, 3, 1) ; (e) rovnoběžné různé; (f) různoběžné, průnik je rovina [1, 1, 1, 1]+ (2, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 1).. (a) [3, 2, 3] + ( 1, 2, 2) ; (b) neexistuje; (c) [5, 4, 3] + (1, 3, 5) ; (d) [2, 4, 3] + (2, 1, 2). 8. (a) Neexistuje; (b) [1, 4, 2] + (1, 3, 4) ; (c) [ 4, 1, 5] + (3, 1, 2) ; (d) [ 1, 2, 3] + (3, 1, 2). 9. (a) [, 5, 3] + (3, 6, 2), vzdálenost 14; (b) [1, 5, 2] + (3, 12, 4), vzdálenost 13.

10 3. kapitola: Podprostory euklidovských prostorů 3.1 Definice. Nechť u = (x 1, x 2, x 3 ) a v = (y 1, y 2, y 3 ) jsou dva vektory z euklidovského prostoru E 3. Vektorovým součinem těchto vektorů rozumíme vektor u v = (x 2 y 3 x 3 y 2, x 3 y 1 x 1 y 3, x 1 y 2 x 2 y 1 ). 3.2 Příklad. Vektorový součin vektorů u = ( 3, 2, 4) a v = ( 3, 3, 8) je podle předchozí definice vektor w = (4, 12, 3). 3.3 Definice. Připomeňme, že pro čtvercovou matici A = (a ij ) stupně n algebraickým doplňkem prvku a ij rozumíme číslo A ij = ( 1) i+j M ij, kde M ij je subdeterminant dílčí matice matice A stupně n 1 vzniklé z matice A vynecháním i-tého řádku a j-tého sloupce. 3.4 Poznámka. Nechť u = (x 1, x 2 x 3 ) a v = (y 1, y 2, y 3 ) jsou dva vektory z E 3. Označíme-li symbolem A matici A = x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 a 31 a 32 a 33, pak ve světle předcházejících dvou definic vidíme, že u v = (A 31, A 32, A 33 ). 3.5 Věta. Nechť u, v jsou dva vektory z euklidovského prostoru E 3. Pak platí: (i) u v = (v u) = ( v) u = v ( u); (ii) u v = 0 právě když vektory u, v jsou lineárně závislé; (iii) (u v) u; (u v) v; (iv) jestliže vektory u a v jsou lineárně nezávislé, pak u, v = u v 3.6 Věta. Množina všech řešení netriviální nehomogenní lineární rovnice (*) a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = b je nadrovina v E n. Přitom je-li tato nadrovina tvaru a+w, kde a = [z 1, z 2,..., z n ], pak (z 1, z 2,..., z n ) je řešením rovnice ( ) a W je množina všech řešení příslušné homogenní rovnice a 1 x 1 + + a n x n = 0. Jinými slovy: W = (a 1,..., a n ). 3. Věta. Nechť a+w je nadrovina v euklidovském prostoru E n. Je-li ortogonální doplněk W generován vektorem (a 1, a 2,..., a n ), pak a + W je množinou všech řešení nehomogenní lineární rovnice (*) a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = b, kde b = a 1 z 1 + + a n z n, a = [z 1,..., z n ].

11 3.8 Příklady. 1) Najděme nadrovinu danou rovnicí 2x + 3y 4z + t = 2. Řešení: Hledáme (2, 3, 4, 1), neboli řešíme příslušnou homogenní rovnici, tj. rovnici s pravou stranou 0 místo 2. Vektory ( 1, 0, 0, 2), (2, 0, 1, 0), a ( 3, 2, 0, 0) jsou zřejmě lineárně nezávislá řešení této rovnice, takže ϱ = [1, 1, 1, 1]+ ( 1, 0, 0, 2), (2, 0, 1, 0), ( 3, 2, 0, 0) vzhledem k tomu, že bod [1, 1, 1, 1] je zřejmě řešením dané rovnice. Poznamenejme, že místo bodu [1, 1, 1, 1] bychom mohli vzít bod [0, 1, 0, 1], či [1, 0, 0, 0], či kterékoliv jiné řešení dané nehomogenní rovnice. 2) Najděme rovnici nadroviny ϱ = a + W, jestliže a = [3, 2, 1, 1] a W = (1, 2, 3, 20), (2, 1, 4, 1), (3, 2, 2, 4). Řešení: Ortogonální doplněk W nalezneme jako řešení homogenní soustavy lineárních rovnic s maticí, jejíž řádkové vektory jsou právě dané generátory nadroviny W. Tedy 1 2 3 20 2 1 4 1 1 2 3 20 0 5 2 23 1 2 3 20 0 5 2 23 3 2 2 4 0 4 11 56 0 0 4 188 1 2 3 20 1 2 0 8 1 0 0 2, 0 5 0 15 0 0 1 4 0 1 0 3 0 0 1 4 0 1 0 3 0 0 1 4 takže W = (2, 3, 4, 1) a hledaná rovnice je 2x + 3y + 4z t =, kde pravou stranu dostaneme dosazením bodu a do levé strany rovnice. 3.9 Věta. Je-li a + W podprostor dimenze n k v euklidovském prostoru E n, pak existuje k nadrovin ϱ 1,..., ϱ k tak, že a + W = ϱ 1 ϱ k. Speciálně tedy lze podprostor a + W popsat nehomogenní soustavou k lineárně nezávislých lineárních rovnic. 3.10 Postup. Nehomogenní soustavu lineárních rovnic, která popisuje daný n krozměrný podprostor a + W v E n lze nalézt například touto metodou: 1) Nalezneme W = u 1,..., u k, kde u i = (a i1,..., a in ); 2) Napíšeme rovnice a i1 x 1 + + a in x n = a i, kde a i1 z 1 + + a in z n = a i, a = [z 1,..., z n ]; 3) i-tá rovnice této soustavy je rovnicí nadroviny ϱ i. 3.11 Věta. Je-li n j=1 a ijx j = a i, i = 1,... k, nehomogenní soustava lineárních rovnic hodnosti k, pak množina všech řešení této soustavy je podprostor a + W euklidovského prostoru E n dimenze n k. 3.12 Příklady. 1) Popišme rovnicemi rovinu ϱ = [2, 1, 1, 3]+ (1, 3, 2, 4), (2, 4, 1, 3) v euklidovském prostoru E 4. Řešení: Pomocí elementárních úprav na dané vektory dostaneme ( ) ( ) ( ) 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4. 2 4 1 3 0 2 3 5 0 2 3 5

12 Řešením této soustavy dostáváme W = (, 5, 0, 2), (5, 3, 2, 0), takže rovina ϱ je popsána soustavou dvou rovnic x 5y + 2t = 15 5x 3y + 2z = 9, kde pravé strany rovnic dostaneme dosazením souřadnic daného bodu a = [2, 1, 1, 3] do levých stran soustavy. 2) V euklidovském prostoru E 4 nalezněme podprostor ϱ popsaný nehomogenní soustavou lineárních rovnic: 2x + 3y + z + 2t = 4 3x + 2y + 4y + t = 3. Řešení: Pomocí elementárních úprav na matici soustavy dostaneme ( ) ( ) 2 3 1 2 4 1 1 3 1 1 3 2 4 1 3 2 3 1 2 4 ( ) 1 1 3 1 1 0 5 5 4. 6 Vidíme tedy, že bod a = [0, 2, 0, 1] je řešením nehomogenní soustavy, zatímco (1, 4, 0, 5) a ( 2, 1, 1, 0) jsou dvě lineárně nezávislá řešení příslušné homogenní soustavy a hledaný podprostor je rovina ϱ = [0, 2, 0, 1]+ (1, 4, 0, 5), ( 2, 1, 1, 0). 3.13 Definice. Nechť ϱ = a + W je nadrovina v E n. Pak W = w nazýváme směrem normály nadroviny ϱ a každý nenulový vektor z w nazýváme vektorem normály nadroviny ϱ. Je-li b bod nadroviny ϱ, pak přímku b + w nazýváme normálou nadroviny ϱ v bodě b. 3.14 Poznámka. Je-li a 1 x 1 + + a n x n = b rovnice nadroviny ϱ = a + W v E n, pak víme, že W = (a 1,..., a n ), tedy (a 1,..., a n ) = W. Jinými slovy, w = (a 1,..., a n ) je vektor normály nadroviny ϱ. 3.15 Definice. Buď a 1 x 1 + + a n x n = b rovnice nadroviny ϱ v E n a buď c = (z 1,..., z n ) bod neležící v ϱ. Pak w = (a 1,..., a n ) je normálový vektor nadroviny ϱ a přímka c + w protne nadrovinu ϱ v bodě d. Velikost c d vektoru c d se nazývá vzdálenost bodu c od nadroviny ϱ. 3.16 Poznámka. Při označení z předchozí definice přímka c + w protne nadrovinu ϱ v bodě d = c + tw, kde t dostaneme z rovnice: tedy i=1 a 1 (z 1 + ta 1 ) + + a n (z n + ta n ) = b, n n a i z i + t a 2 i = b a t = b n i=1 a iz i. i=1 n i=1 a2 i Máme tedy: n d c = tw = t w = i=1 a iz i b n n i=1 a2 a 2 i = n i=1 a iz i b. i i=1 n i=1 a2 i

13 3.1 Příklady. 1) Určeme vektor normály nadroviny ϱ v E 4 dané rovnicí: 2x y + 3z 5u = 11. Řešení: Vektor normály je w = (2, 1, 3, 5). 2) Určeme vektor normály nadroviny ϱ v euklidovském prostoru E 4 dané parametricky ϱ = [1, 8, 3, 2] + (2, 3, 1, 4), (3, 1, 4, 2), (1, 4, 3, 2). Určeme dále normálu nadroviny ϱ procházející bodem c = [11, 15, 0, 4] a nalezněme její průsečík d s nadrovinou ϱ. Řešení: Musíme nalézt ortogonální doplněk W. Jest 2 3 1 4 3 1 4 2 1 4 3 2 1 4 3 2 0 5 5 0 0 11 5 4 1 4 3 2 0 1 1 0, 0 0 6 4 odkud snadno dostaneme, že w = (4, 2, 2, 3) je hledaný vektor normály. Parametrická rovnice normály nadroviny ϱ procházející bodem c je [11, 15, 0, 4] + (4, 2, 2, 3). Kromě toho nadrovina ϱ má rovnici 4x + 2y 2z 3u = 20, takže parametr t 0 průsečíku dostaneme snadno dosazením: 4(11+4t)+2(15+2t) 2(0 2t) 3( 4 3t) = 20. Tedy 86 + 33t = 20, t 0 = 2 a d = [3, 11, 4, 2]. 3) Určeme vzdálenost bodu [2, 1, 2, 2] od nadroviny ϱ euklidovského prostoru E 4 dané rovnicí 2x 4y 8z + 4t = 12. Řešení: Dosazením do vzorce dostáváme n i=1 a iz i b 2 2 4 ( 1) 8 ( 2) + 4 2 12 n = = 20 = 2. i=1 a2 i 4 + 16 + 64 + 16 100 4) Určeme vzdálenost bodu [3, 2, 2, 2] od nadroviny ϱ dané parametricky ϱ = [4, 3, 2, 1] + (8,,, ), (4,,, ), (16,,, ) v euklidovském prostoru E 4. Řešení: Nejprve nalezneme vektor normály w a rovnici dané nadroviny. Jest 8 4 4 0 21 16 0 35 21 35 4 4 4 0 3 1 1 0 3 1 1 0 3 1 1. 0 5 3 5 0 0 4 10 0 0 2 5 Tedy w = (, 2, 10, 4), x 2y + 10z 4t = 6 je rovnice dané nadroviny a dosazením do vzorce dostaneme hledanou vzdálenost: n i=1 a iz i b 21 4 + 20 + 8 6 n = = 39 i=1 a2 i 49 + 4 + 100 + 16 13 = 3.

14 Příklady ke kapitole 3. 1. Spočtěte vektorový součin vektorů z E 3 : (a) u = (2, 3, 5) a v = (3, 2, 4); (b) u = (2, 1, 3) a v = ( 1, 3, 2); (c) u = (2, 4, 3) a v = (1, 6 5, 2 5 ). 2. Nalezněte parametrické vyjádření nadroviny v E n dané rovnicí: (a) x 2y + z = 3; (b) 2x 3y + z 2t = 5; (c) 3x y + 2z t 2u =. 3. Nalezněte rovnici nadroviny v E n dané parametricky: (a) ϱ: [2, 1, 1] + (4, 1, 3), (1, 1, 1) ; (b) ϱ: [1, 1, 3, 1] + (4, 1, 2, 2), (2, 5, 4, 3), (1, 2, 1, 2) ; (c) ϱ: [2, 1, 1, 2] + (2, 1, 1, 3), (1, 3, 5, ), (3, 2, 4, 2). 4. Podprostor euklidovského prostoru E n zadaný parametricky popište soustavou lineárních rovnic: (a) ϱ : [1, 1, 1, 1] + (5, 4, 22, 11), (5, 29, 11, 22) ; (b) ϱ : [1, 2, 3, 4, 5] + (2, 1, 3, 2, 1), ( 1, 3, 2, 4, 3), (3, 2, 1, 3, 2) ; (c) ϱ : [1, 1, 1, 0, 2] + (2, 3, 1, 2, 2), (1, 1, 2, 1, 3). 5. Podprostor euklidovského prostoru E n zadaný soustavou lineárních rovnic popište parametricky: (a) x 2y + 3z + 2t = 4, 2x y + 5z + 3t = 9; (b) 2x 3y + z 2t + u = 1, 3x + y z + 2t 3u = 2; (c) 2x + y z 2t + 3u = 3, 3x y + 2z + 3t 2u = 5, x y + 2z t + u = 2. 6. Nalezněte vektor normály nadroviny v E n dané rovnicí: (a) 2x y + 3z = 1; (b) 3x y + 2z 2t = 5; (c) 2x 3y z 3t = 4.. Nalezněte vektor normály nadroviny v E n zadané parametricky: (a) [1, 1, 2] + (1, 2, 3), (1, 1, 1) ; (b) [2, 1, 1, 3] + (3, 2, 1, 1), (2, 1, 1, 2), (1, 2,, 1) ; (c) [ 2, 1, 1, 2] + ( 2, 1, 1, 9), (1, 2, 1, 4), (3, 2, 2, 5). 8. Nalezněte směr normály nadroviny v E n dané rovnicí: (a) x + 2y + 3z = 9; (b) 2x y 3z + t = 15; (c) 3x + y 2z 4t = 19. 9. Nalezněte normálu nadroviny ϱ v E n dané rovnicí, která prochází bodem c a nalezněte její průsečík d s nadrovinou ϱ: (a) x 3y + 2z =, c = [ 2,, 6];

15 (b) 2x + 4y z 3t = 3 c = [5, 10, 1, 4]; (c) 4x + y 3z + 2t = 4, c = [13, 4, 8, ]. 10. Nalezněte normálu nadroviny ϱ v E n zadané parametricky, která prochází bodem c a nalezněte její průsečík d s nadrovinou ϱ: (a) [4, 1, 2] + (4, 2, 1), (1, 4, 5), c = [5, 5, 5]; (b) [5, 4, 3, 2] + (2, 3, 4, 5), (3, 2, 1, 1), (1, 2, 1, 2), c = [ 2,, 8, 13]; (c) [1, 1, 5, 4] + (4, 2, 8, 3), (1, 1, 3, 1), ( 2, 3, 1, 2), c = [0, 8, 2, 6]. 11. Určete vzdálenost bodu c od nadroviny ϱ dané rovnicí: (a) 4x y + 4z = 1, c = [6, 1, 5]; (b) 2x y + 4z 2u = 2, c = [ 5, 6, 15, 11]; (c) 4x 10y + z 2u = 40, c = [13, 10, 10, 20]. 12. Určete vzdálenost bodu c od nadroviny ϱ zadané parametricky: (a) [1, 1, 1] + (4, 1, 3), (2, 2, 3), c = [20, 10, 13]; (b) [1, 2, 1, 5] + (4, 5, 1, 3), ( 4, 3, 2, 10), (2, 6, 4, 5), c = [20, 11, 14, 8]; (c) [1, 2, 3, 2] + (1, 1, 0, 1), (1, 2, 2, 1), (1, 1, 2, 2), c = [1,, 5, ]. Řešení: 1. (a) u v = (22, 23, 5); (b) u v = ( 11, 1, ); (c) u v = (2, 11 5, 8 5 ). 2. (a) [3, 0, 0]+ (1, 0, 1), (2, 1, 0) ; (b) [2, 0, 1, 0] + (1, 0, 0, 1), ( 1, 0, 2, 0), (3, 2, 0, 0) ; (c) [1, 0, 2, 0, 0] + (2, 0, 0, 0, 3), (1, 0, 0, 3, 0), (2, 0, 3, 0, 0), (1, 3, 0, 0, 0). 3. (a) 2x + y 3z = 2; (b) 3x + 2y + z 4t = 4; (c) 2x y + 3z 2t = 2. 4. (a) x+5y +5t = 1, 18x+5y +5z = 28; (b) y u = 3, x+y z = 0; (c) x+5y z = 1, x + 4y u = 1, x + t = 1. 5. (a) [6, 0, 0, 1] + (, 1, 3, 0), ( 4, 1, 0, 3) ; (b) [3, 0, 0,, ] + (2, 5, 11, 0, 0), (4, 10, 0, 11, 0), (8, 9, 0, 0, 11) ; (c) [1, 1, 1, 1, 1]+ (2, 15, 9, 1, 0), (3, 29, 1, 0, 2). 6. (a) (2, 1, 3); (b) (3, 1, 2, 2); (c) (2, 3, 1, 3).. (a) (1, 2, 1); (b) (2, 3, 1, 1); (c) (3, 2, 5, 1). 8. (a) (1, 2, 3) ; (b) (2, 1, 3, 1) ; (c) (3, 1, 2, 4). 9. (a) [ 2,, 6] + (1, 3, 2), d = [1, 2, 0]; (b) [5, 10, 1, 4] + (2, 4, 1 3), d = [1, 2, 1, 2]; (c) [13, 4, 8, ] + (4, 1, 3, 2), d = [1, 1, 1, 1]. 10. (a) [5, 5, 5] + (2, 3, 2), d = [1, 1, 1]; (b) [ 2,, 8, 13] + (1, 2, 3, 4), d = [1, 1, 1, 1]; (c) [0, 8, 2, 6] + (2, 3, 1, 2), d = [4, 2, 4, 2]. 11. (a) 18; (b) 20; (c) 22. 12. (a) 21; (b) 2; (c) 20.

16 4. kapitola: Konvexní množiny 4.1 Definice. Podmnožina M euklidovského prostoru E n obsahující alespoň dva body se nazývá konvexní, jestliže pro každé dva různé body a, b M je celá úsečka ab obsažena v množině M. Mezi konvexní množiny budeme z důvodu jednodušší formulace výsledků počítat i jednoprvkové podmnožiny prostoru E n a množinu prázdnou. Nechť a, b jsou dva různé body z E n. Pak b a je nenulový vektor z V n a přímka p určená body a a b má parametrickou rovnici p = a+ b a, tj. každý bod x přímky p lze zapsat ve tvaru x = a + t(b a) pro nějakou reálnou hodnotu parametru t. Přitom bodu a odpovídá hodnota parametru t = 0 a bodu b hodnota parametru t = 1. Úsečka s krajními body a, b je tedy popsána následovně: ab = {x E n x = a + t(b a), 0 t 1}. Provedeme-li formálně naznačené úkony, dostaneme a + t(b a) = (1 t)a + tb, kde 1 t + t = 1 a 1 t, t 0. Jinak řečeno, jsou-li a, b dva různé body z E n, pak množina je právě úsečka ab. {λa + µb λ, µ 0, λ + µ = 1} 4.2 Příklady. 1) Množina bodů M = {[x, y] x 2 +y 2 9} v E 2 je zřejmě uzavřený kruh o poloměru 3 se středem v počátku. Ukažme, že M je konvexní množina. Řešení: Buďte a = [x 1, y 1 ], b = [x 2, y 2 ] libovolné body z kruhu M a buď c = [λx 1 + µx 2, λy 1 + µy 2 ] libovolný bod úsečky ab. Máme tedy x 2 1 + y1 2 9, x 2 2 + y2 2 9 a ze známe Cauchyovy nerovnosti také x 1 x 2 +y 1 y 2 x 2 1 + 1 y2 x 2 2 + y2 2 9. Pak ale (λx 1 +µx 2 ) 2 +(λy 1 +µy 2 ) 2 =λ 2 x 2 1 +2λµx 1 x 2 +µ 2 x 2 2 +λ 2 y1 2 +2λµy 1 y 2 +µ 2 y2 2 = λ 2 (x 2 1 + y1) 2 + 2λµ(x 1 x 2 + y 1 y 2 ) + µ 2 (x 2 2 + y2) 2 9λ 2 + 18λµ + 9µ 2 = 9(λ + µ) 2 = 9, bod c leží v uzavřeném kruhu M a množina M je konvexní. 2) Ukažme, že množina M popsaná soustavou nerovností y 2x 0, 2y x 0, xy 2 v euklidovské rovině E 2 není konvexní. Řešení: V množině M zřejmě leží body a = [1, 2] a b = [2, 1] (načrtněte obrázek!). Střed s úsečky ab má zřejmě souřadnice s = 1 2 a + 1 2 b = [ 3 2, 3 2 ]. Tento bod vyhovuje první nerovnosti, neboť 3 2 3 = 3 2 < 0, vyhovuje i druhé nerovnosti 3 3 2 = 3 2 > 0, avšak 3 2 3 2 = 9 4 > 2 takže třetí nerovnost není splněna. Střed úsečky ab tedy neleží v M a množina M tudíž není konvexní. 4.3 Definice. Buďte a 1,..., a k body z euklidovského prostoru E n. Každý bod x E n takový, že x = k i=1 λ ia i, k i=1 λ i = 1, λ i 0, se nazývá konvexní lineární kombinace bodů a 1,..., a k. 4.4 Věta. Průnik libovolného systému konvexních množin je konvexní množina. 4.5 Věta. Je-li M E n konvexní podmnožina a a 1,..., a k jsou libovolné prvky množiny M, pak každá konvexní lineární kombinace těchto bodů leží v množině M.

1 4.6 Definice. Buď K E n libovolná podmnožina. Průnik všech konvexních podmnožin prostoru E n obsahujících množinu K budeme nazývat konvexní obal množiny K. Konvexní obal množiny K budeme označovat symbolem K(K). 4. Věta. Je-li K libovolná podmnožina v E n, pak konvexní obal K(K) je právě množina všech konvexních lineárních kombinací konečných počtů bodů z množiny K. 4.8 Definice. Buď M E n neprázdná podmnožina. Bod a E n se nazývá hraniční bod množiny M, jestliže každé jeho ε-okolí obsahuje jak body z M, tak body z komplementu E n \ M. Připomeňme, že pro kladné reálné číslo ε, ε-okolím bodu a E n rozumíme množinu {b E n a b < ε}. Podmnožina M prostoru E n se nazývá uzavřená, jestliže obsahuje všechny své hraniční body. Nakonec říkáme, že podmnožina M v E n je ohraničená (omezená), jestliže existuje takové kladné reálné číslo ε, že množina M je obsažena v ε-okolí bodu [0,..., 0]. 4.9 Definice. Bod c konvexní podmnožiny M euklidovského prostoru E n se nazývá krajní bod (extremální bod, vrchol) množiny M, jestliže c není vnitřním bodem žádné úsečky ab, a, b M, tj. c nelze vyjádřit ve tvaru c = λa + µb, a, b M, λ > 0, µ > 0, λ + µ = 1. 4.10 Věta. Nechť M je konvexní, uzavřená a ohraničená podmnožina v E n a buď M množina všech jejích extremálních bodů. Pak K(M ) = M. 4.11 Definice. Konvexní polyedr je neprázdná, konvexní, uzavřená a ohraničená podmnožina euklidovského prostoru E n mající pouze konečný počet extremálních bodů. 4.12 Věta. Je-li M konvexní polyedr v E n s krajními body a 1,..., a k, pak každý bod a M lze vyjádřit jako konvexní lineární kombinaci jeho krajních bodů, tj. k a = λ i a i, i=1 k λ i = 1, λ i 0, i = 1,..., k. i=1 Poznamenejme, že toto vyjádření není obecně jednoznačné, jak je patrné z příkladu obdélníka o vrcholech a, b, c, d, jehož střed s lze vyjádřit jednak jako s = 1 2 a + 1 2 c, jednak jako s = 1 2 b + 1 2 d. 4.13 Věta. Každá neprázdná, ohraničená, uzavřená a konvexní množina v E n má alespoň jeden extremální bod. 4.14 Věta. Konvexní obal množiny {a 1,..., a m } v E n je konvexní polyedr o nejvýše m krajních bodech. 4.15 Definice. Nechť ϱ je nadrovina v euklidovském prostoru E n. Nadrovina ϱ dělí E n na dva poloprostory, jejichž společnou hranicí je nadrovina ϱ. Tyto poloprostory jsou buď otevřené nebo uzavřené podle toho, zda k nim hraniční nadrovina patří, či nikoliv. Tedy, je-li w normálový vektor nadroviny ϱ, pak je jeden z uzavřených poloprostorů a P 1 = {b E n b = a + tw, t 0, a ϱ} P 2 = {b E n b = a + tw, t 0, a ϱ}

18 je druhý z nich. Podobně Q 1 = {b E n b = a + tw, t > 0, a ϱ} je jeden z otevřených poloprostorů a Q 2 = {b E n b = a + tw, t < 0, a ϱ} je druhý z nich. 4.16 Věta. Buď a 1 x 1 + + a n x n = b rovnice nadroviny v E n. Pak množina P 1 = {(z 1,..., z n ) E n tvoří jeden z uzavřených poloprostorů a n a i z i b} i=1 P 2 = {(z 1,..., z n ) E n n a i z i b} tvoří druhý z nich. Nahradíme-li neostré nerovnosti ostrými, dostaneme popis příslušných otevřených poloprostorů. 4.1 Věta. Konvexní polyedr v E n je průnik konečného počtu uzavřených poloprostorů. Naopak, je-li průnik konečného počtu uzavřených poloprostorů euklidovského prostoru E n ohraničený, je tento průnik konvexní polyedr. 4.18 Poznámka. Předchozí dvě věty nám vlastně dávají možnost popsat každý konvexní polyedr pomocí (konečné) soustavy nerovností. Stačí totiž napsat rovnice jednotlivých hraničních nadrovin a poté vybrat příslušnou nerovnost, tj. příslušný poloprostor. Podrobný postup spolu s obrácenou úlohou je popsán v následujících dvou příkladech. 4.19 Příklady. 1) V euklidovské rovině popišme soustavou nerovností konvexní obal bodů: i=1 a 1 = [1, 1], a 2 = [3, 0], a 3 = [4, 2], a 4 = [2, 4]. Řešení: Označme u ij = a i a j směrový vektor přímky p ij procházející body a i a a j a n ij vektor normály této přímky. Máme tedy: u 12 = ( 2, 1), n 12 = (1, 2), u 23 = ( 1, 2), n 23 = (2, 1), u 34 = (2, 2), n 34 = (1, 1), u 41 = (1, 3), n 41 = (3, 1), takže odpovídající přímky mají rovnice p 12 : x + 2y = 3, p 23 : 2x y = 6, p 34 : x + y = 6, p 41 : 3x y = 2. Snadno se nyní nahlédne (načrtněte obrázek), že daný konvexní polyedr je popsán soustavou nerovností: p 12 : x + 2y 3, p 23 : 2x y 6,

19 p 34 : x + y 6, p 41 : 3x y 2. 2) Podmnožina euklidovského prostoru E 2 popsaná soustavou nerovností 1 x + y 1, 2x y 0, 2x y 0 je konvexní, ale není polyedrem, neboť, jak se snadno přesvědčíte z obrázku, není ohraničená. 4.20 Definice. Bod, který je průnikem n lineárně nezávislých hranic konvexní množiny K se nazývá pseudovrchol. Každý krajní bod konvexní množiny je pseudovrchol, ale nikoliv naopak. 4.21 Příklad. Ověřme, že množina bodů v euklidovské rovině popsaná následující soustavou nerovností je konvexní polyedr a nalezněme všechny jeho vrcholy a pseudovrcholy: 2x y 2; x + y ; x + 4y 10; x 2y 10; 2x + 5y 38. Řešení: Nahradíme-li nerovnosti rovnostmi, dostaneme celkem 5 přímek, které označíme p 1, p 2, p 3, p 4 a p 5. Označíme-li P ij průsečík přímek p i a p j, dostaneme celkem 10 pseudovrcholů. P 12 = [3, 4] P 24 = [8, 1] P 13 = [2, 2] P 25 = [ 1, 8] P 14 = [ 2, 6] P 34 = [10, 0] P 15 = [4, 6] P 35 = [34, 6] P 23 = [6, 1] P 45 = [14, 2] Snadno se nahlédne (načrtněte obrázek), že P 12, P 23, P 34, P 45, P 15 všechny vrcholy daného konvexního polyedru. jsou právě 4.22 Definice. Body a 0, a 1,..., a r z E n se nazývají lineárně nezávislé, jsou-li vektory a 1 a 0,..., a r a 0 z V n lineárně nezávislé. 4.23 Poznámka. Není obtížné ověřit, že v předchozí definici není nutné odečítat bod a 0 od bodů ostatních, ke stejnému výsledku dospějeme, jestliže použijeme kterýkoliv z bodů a 0,..., a r. 4.24 Definice. Nechť a 0,..., a r jsou lineárně nezávislé body z euklidovského prostoru E n. Množina r ϕ r (a 0,..., a r ) = {x = λ i a i i=0 r λ i = 1, λ i 0} i=0 se nazývá r-rozměrný simplex. Body a 0,..., a r se nazývají vrcholy simplexu a (r + 1)-tice (λ 0,..., λ r ) jednoznačně určená bodem x jsou barycentrické souřadnice bodu x. Každá s-tice vrcholů, s < r určuje s-rozměrný simplex, tzv. s-rozměrnou stěnu simplexu ϕ r (a 0,..., a r ).

20 4.25 Věta. Každý simplex je konvexní polyedr. 4.26 Poznámka. Podle definice sestává simplex ϕ r (a 0,..., a r ) právě ze všech bodů x = r i=0 λ ia i, kde λ i 0 a r i=0 λ i = 1. Speciálně tedy je λ 0 = 1 λ 1 λ r, takže x = a 0 + λ 1 (a 1 a 0 ) + + λ r (a r a 0 ). Odtud ihned vidíme, že x ϕ r (a 0,..., a r ) právě tehdy, když x a 0 = r i=1 λ i(a i a 0 ), kde λ 1,..., λ t, λ 1 + + λ t 0, 1. Naopak tedy bod x E n nenáleží simplexu ϕ r (a 0,..., a r ) právě když buď vektor x a 0 není lineární kombinací vektorů a 1 a 0,..., a r a 0, nebo takovou lineární kombinací jest, x a 0 = r i=1 λ i(a i a 0 ), avšak aspoň jedno z čísel λ 1,..., λ r, λ 1 + + λ r nenáleží intervalu 0, 1. 4.2 Příklad. Ukažme, že body a 0 = [1, 2, 3, 4], a 1 = [2, 3, 2, 3], a 2 = [2, 1, 2, 5], a 3 = [0, 1, 5, 6], a 4 = [0, 3, 4, 5] jsou vrcholy čtyřrozměrného simplexu v euklidovském prostoru E 4. (a) Zjistěme, zda bod a = [1, 2, 23, 32 ] je bodem simplexu; (b) zjistěme, zda bod b = [ 11, 16, 2, 6] je bodem simplexu; (c) určeme, kolik stěn má daný simplex; (d) napišme vektorovou rovnici stěny určené body a 1, a 3, a 4 ; (e) napišme vektorovou rovnici stěny určené body a 0, a 1, a 3, a 4 ; (f) určeme barycentrické souřadnice bodu c = [ 9, 16 9, 11 3, 44 9 ]; (g) určeme barycentrické souřadnice bodu d = [1, 1 9, 35 9, 49 9 ]; (h) jaké podmínce musí vyhovovat souřadnice x 3 bodu e = [ 9 8, 13 8, x 3, 19 4 ], aby tento bod ležel ve stěně simplexu určené body a 0, a 1, a 2, a 3 ; (i) jaké podmínce musí vyhovovat souřadnice x 2 bodu f = [ 13 8, x 2, 29 8, 45 8 ], aby tento bod byl bodem simplexu ϕ 4 (a 0, a 1, a 2, a 3, a 4 ). Řešení: Máme ověřit, že dané body jsou lineárně nezávislé, tj. že vektory a 1 a 0 = (1, 1, 1, 1), a 2 a 0 = (1, 1, 1, 1), a 3 a 0 = ( 1, 1, 2, 2), a a 4 a 0 = ( 1, 1, 1, 1) jsou lineárně nezávislé. Tedy 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 a vektory jsou skutečně lineárně nezávislé. 0 2 0 2 0 0 1 1 0 2 0 0 0 1 0 0, 0 0 1 1 0 0 0 1 (a) Ve smyslu poznámky 4.26 máme vektor a a 0 = (0, 0, 2, 4 ) vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů u i = a i a 0, i = 1, 2, 3, 4. Z rovnosti λ 1 u 1 + λ 2 u 2 + λ 3 u 3 + λ 4 u 4 = (0, 0, 2, 4 ) dostaneme nehomogenní soustavu lineárních rovnic, kterou řešíme: 0 0 1 1 1 1 0 1 1 2 1 2 0 2 0 2 0 0 0 1 0 2 1 1 2 1 4 0 2 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 2. 0 0 0 2 2 4 Tedy λ 1 = 2, λ 2 = 1, λ 3 = 2, λ 4 = 1, λ 1 + λ 2 + λ 3 + λ 4 = 6, takže bod a náleží danému simplexu.

(b) Podobně jako v v případě (a) máme 4 1 1 1 1 2 1 1 2 1 6 0 2 0 2 0 0 1 0 1 1 2 1 0 2 1 0 14 4 2 10 18 Nyní je již zřejmé, že bod bod b nenáleží danému simplexu, neboť z třetího řádku vidíme, že koeficient λ 3 = 10 neleží v intervalu < 0, 1 >. (c) Každá trojrozměrná stěna je určena čtveřicí bodů z množiny {a 0, a 1, a 2, a 3, a 4 }, takže celkem máme ( ( 5 4) = 5 trojrozměrných stěn. Podobně je 5 3) = 10 stěn dvojrozměrných, ( ( 5 2) = 10 stěn jednorozměrných a 5 1) = 5 stěn dimenze nula, tj. bodů. Celkem tedy má daný simplex 30 stěn. (d) Bodová rovnice má tvar x = αa 1 +βa 3 +γa 4, kde α, β, γ 0 a α+β+γ = 1. Tedy α = 1 β γ a vektorová rovnice má tvar x = a 1 + β(a 3 a 1 ) + γ(a 4 a 1 ), β, γ, β + γ 1, neboť β + γ = 1 α < 0, 1 >. (e) Podobně jako prve máme x = λ 0 a 0 +λ 1 a 1 +λ 3 a 3 +λ 4 a 4 = a 0 +λ 1 (a 1 a 0 )+ λ 3 (a 3 a 0 ) + λ 4 (a 4 a 0 ), λ 1, λ 3, λ 4, λ 1 + λ 3 + λ 4 < 0, 1 >. (f) Ve smyslu poznámky 4.26 máme vyjádřit vektor c a 0 = ( 2 9, 2 9, 6 9, 8 9 ), jako lineární kombinaci vektorů u 1, u 2, u 3, u 4, tj. máme řešit nehomogenní soustavu lineárních rovnic. Jest 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 9 2 9 6 9 8 9 0 2 0 2 0 0 1 0 0 2 1 0. 2 9 0 4 9 6 9 Odtud již postupně dostáváme λ 3 = 4 9, λ 2 = 1 9, λ 4 = 1 9, λ 1 = 2 9, λ 0 = 1 λ 1 λ 2 λ 3 λ 4 = 1 9, takže c = [ 1 9, 2 9, 1 9, 4 9, 1 9 ]. (g) Podobně jako v (f) máme 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 0 1 9 8 9 13 9 0 2 0 2 0 0 1 0 0 2 1 0. 0 1 9 8 9 13 9 Tedy λ 3 = 8 9, λ 2 = 5 18. Pak ale λ 1 + λ 2 + λ 3 + λ 4 λ 2 + λ 3 = 21 18 > 1, takže bod d nenáleží simplexu ϕ 4 (a 0, a 1, a 2, a 3, a 4 ). (h) Má-li bod e ležet ve stěně určené body a 0, a 1, a 2, a 3, musí být vektor e a 0 = ( 1 8, 3 8, x 3 3, 3 4 ) ležet v lineárním obalu u 1, u 2, u 3. Odtud dostáváme nehomogenní soustavu lineárních rovnic 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 8 1 1 1 3 8 x 3 3 0 2 0 0 0 1 0 2 1 3 4 1 8 4 8 x 3 23 8 8 Tedy z druhého řádku máme λ 2 = 1 4, odkud z posledního řádku λ 3 = 3 8. Třetí řádek nyní dává x 3 23 8 = 3 8, tedy x 3 = 13 4. Konečně z prvního řádku dostaneme.. 21

22 λ 1 = 1 8 1 4 + 3 8 = 1 4, λ 1 + λ 2 + λ 3 = 8, takže ve stěně určené body a 0, a 1, a 2, a 3 leží bod e = [ 9 8, 13 8, 13 4, 19 4 ]. (Kromě toho jsme zjistili, že tento bod má barycentrické souřadnice e = [ 1 8, 1 4, 1 4, 3 8, 0].) (i) Podobně jako v předchozím případě máme 5 8 1 1 1 1 x 2 2 1 1 2 1 5 0 2 0 2 8 0 0 1 0 1 1 2 1 0 2 1 0 13 8 Vidíme, že λ 3 = 5 13 4 > 1, takže bod f = [ 8, x 29 2, ϕ 4 (a 0, a 1, a 2, a 3, a 4 ) pro žádné reálné číslo x 2. 8, 45 8 5 8 x 2 21 8 5 4 9 4. ] nenáleží simplexu Příklady ke kapitole 4. 1. V euklidovské rovině popište soustavou nerovností konvexní obal bodů: (a) a 1 = [ 2, 2], a 2 = [ 1, 2], a 3 = [ 1, 2], a 4 = [1, 1], a 5 = [2, 1], a 6 = [2, 4], a = [4, 2], a 8 = [3, 1]; (b) a 1 = [ 3, 2], a 2 = [1, 4], a 3 = [1, 2], a 4 = [4, 1], a 5 = [2, 1], a 6 = [ 1, 1], a = [ 1, 3]; (c) a 1 = [ 1, 2], a 2 = [1, 2], a 3 = [ 2, 2], a 4 = [2, 1], a 5 = [1, 1], a 6 = [ 1, 3], a = [1, 4]; (d) a 1 = [ 1, 1], a 2 = [ 2, 4], a 3 = [1, 1], a 4 = [4, 3], a 5 = [ 4, 2], a 6 = [ 2, 2], a = [1, 2], a 8 = [ 1, 2]; (e) a 1 = [ 4, 3], a 2 = [3, 1], a 3 = [ 2, 2], a 4 = [2, 3], a 5 = [1, 4], a 6 = [1, 1], a = [ 2, 3]. 2. Ověřte, že množina bodů v euklidovské rovině popsaná následující soustavou nerovností je konvexní polyedr a nalezněte všechny její vrcholy a pseudovrcholy: (a) x + y 3, 2x y 3, 2x + 3y 1, x y 3, y 2; (b) x + 2y 5, 2x y 5, y 1, x 1, x 2y 3; (c) x + 3y 5, 3x y 5, x + 3y 5, 2x + y 5, x 2y 5; (d) x + y 4, 3x + y 8, x 4y, 3x + y 5, 2x 3y ; (e) 2x 3y 10, x y 4, 2x + y 5, x + 5y ; (f) x + 2y 5, x + y 3, 2x y 3, x 3y 4, 3x + 2y 10, 2x 3y 11. 3. Ukažte, že body a 0 = [2, 1, 4, 3], a 1 = [3, 2, 3, 4], a 2 = [3, 3, 5, 2], a 3 = [4, 0, 5, 5], a 4 = [1, 2, 6, 4] jsou vrcholy čtyřrozměrného simplexu v euklidovském prostoru E 4. 4. Zjistěte, zda daný bod leží v simplexu ϕ 4 (a 0, a 1, a 2, a 3, a 4 ) z příkladu 3: (a) a = [ 13 5, 8 5, 23 5, 18 5 ]; (b) b = [ 5 2, 2, 21 4, 4]; (c) c = [ 11 4, 4, 19 4, 15 4 ]. 5. Určete souřadnice daného bodu v E 4, víte-li, že jeho barycentrické souřadnice vzhledem k simplexu ϕ 4 (a 0, a 1, a 2, a 3, a 4 ) z příkladu 3 jsou: (a) a = [ 2 9, 2 9, 1 9, 2 9, 2 9 ];

23 (b) b = [ 1, 2, 1, 2, 1 ]; (c) c = [ 1 4, 1 8, 1 4, 1 8, 1 4 ] 6. Určete barycentrické souřadnice daného bodu vzhledem k simplexu ϕ 4 (a 0, a 1, a 2, a 3, a 4 ) z příkladu 3: (a) a = [ 23 8, 13 8, 9 2, 29 8 ]; (b) b = [ 16, 11, 33, 25 ]; 9 ]; (c) c = [ 26 9, 16 9, 41 9, 31. Určete neznámou souřadnici bodu a tak, aby bod ležel ve stěně simplexu ϕ 4 (a 0, a 1, a 2, a 3, a 4 ) z příkladu 3 určené danou množinou bodů: (a) a = [3, 3 2, x, 2 ], {a 0, a 1, a 2, a 3 }; (b) a = [ 13 5, x, 21 5, 4], {a 0, a 1, a 3, a 4 }; (c) a = [ 5 2, 13 6, 13 3, x], {a 0, a 1, a 2, a 4 }. Řešení: 1. (a) x 2y 6, x + y 6, 3x y 10, x 4y, 4x + y 6; (b) 5x 2y 11, x 2y, x + y 5, x y 3, x 5y ; (c) x + 2y 5, 3x + y 5, 3x y, 2x + 3y 10, 5x y 8; (d) x + 2y 3, 4x + 3y, x 6y 22, x + y 6, 4x 3y 10; (e) x 5y 19, x + y 5, 4x + y 11, 2x 5y 11, 3x + y 9; 2. (a) vrcholy: [1, 2], [2, 1], [1, 1], [ 2, 1], [ 1, 2], pseudovrcholy: [10, ], [0, 3], [6, 9], [ 5 2, 2], [ 2, 2]; (b) vrcholy: [1, 2], [3, 1], [2, 1], [ 1, 1], [ 1, 1], pseudovrcholy: [, 1], [ 1, 3], [ 1, ], [ 13 3, 11 3 ], [ 5, 1]; (c) vrcholy: [2, 1], [1, 2], [ 2, 1], [ 3, 1], [ 1, 2], pseudovrcholy: [ 4, 3], [0, 5], [3, 4], [ 5, 0]; (d) vrcholy: [2, 2], [1, 3], [3, 1], [ 1, 2], [ 2, 1], pseudovrcholy: [ 23 5, 3 5 ], [ 9 2, 1 1 2 ], [ 11, 3 11 ], [ 49 5, 21 5 ]; (e) není konvexní polyedr (není ohraničená), vrcholy: [ 2, 2], [ 3, 1], [ 2, 1], pseudovrcholy: [ 25 8, 5 1 4 ], [ 13, 4 13 ], [ 9 2, 1 2 ]; (f) vrcholy: [1, 2], [ 1, 3], [2, 1], [1, 1], [ 2, 2], [ 4, 1], pseudovrcholy: [ 11 5, 5 ], [ 23 5, 1 5 ], [ 15 2, 25 4 ], [ 13 4, 1 4 ], [ 16, 19], [ 2 5, 1 5 ], [ 4, 29 ], [5, ], [ 15, 19 3 ]. 3. Vektory u 1 = a 1 a 0 = (1, 1, 1, 1), u 2 = a 2 a 0 = (1, 2, 1, 1), u 3 = a 3 a 0 = (2, 1, 1, 2), u 4 = a 4 a 0 = ( 1, 1, 2, 1), jsou lineárně nezávislé. 4. (a) Ano (a a 0 = 1 4 5 i=1 u i); (b) ne (b a 0 = 1 4 u 1 + 1 4 u 2 + 1 4 u 3 + 1 2 u 4); (c) ano (c a 0 = 1 4 4 i=1 u i). 5. (a) a = [ 23 9, 13 9, 41 9, 34 20 9 ]; (b) b = [, 10, 31, 2 19 ]; (c) c = [ 8, 4, 19 4, 2 8 ]. 6. (a) a = [ 1 8, 1 4, 1 4, 1 4, 1 8 ]; (b) b = [ 2, 1, 1, 1, 2 ]; (c) c = [ 1 9, 2 9, 1 3, 2 9, 1 9 ].. (a) x = 1 4 ; (b) x = 19 5 ; (c) x = 6.