Přednáška MATEMATIKA č. 3 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 21. 10. 2010
Uvažujme neprázdnou množinu přirozených čísel M = {1, 2,..., n}. Z kombinatoriky víme, že každá uspořádaná n-tice (k 1, k 2,..., k n ) sestávající ze všech čísel množiny M se nazývá permutace množiny M a že počet všech permutací množiny M je roven číslu n!. V dalším textu budeme libovolnou z n! permutací množiny M značit K = (k 1, k 2,..., k n ). Nechť M = {1, 2,..., n} je neprázdná množina přirozených čísel, K = (k 1, k 2,..., k n ) určitá permutace množiny M. Uspořádaná dvojice (k i, k j ) se nazývá inverze v permutaci K = (k 1, k 2,..., k n ), jestliže platí i < j a zároveň k i > k j. Permutace, která má sudý počet inverzí, se nazývá sudá, permutace, která má lichý počet inverzí se nazývá lichá.
Uvažujme neprázdnou množinu přirozených čísel M = {1, 2,..., n}. Z kombinatoriky víme, že každá uspořádaná n-tice (k 1, k 2,..., k n ) sestávající ze všech čísel množiny M se nazývá permutace množiny M a že počet všech permutací množiny M je roven číslu n!. V dalším textu budeme libovolnou z n! permutací množiny M značit K = (k 1, k 2,..., k n ). Nechť M = {1, 2,..., n} je neprázdná množina přirozených čísel, K = (k 1, k 2,..., k n ) určitá permutace množiny M. Uspořádaná dvojice (k i, k j ) se nazývá inverze v permutaci K = (k 1, k 2,..., k n ), jestliže platí i < j a zároveň k i > k j. Permutace, která má sudý počet inverzí, se nazývá sudá, permutace, která má lichý počet inverzí se nazývá lichá.
Jestliže v permutaci K = (k 1, k 2,..., k n ) zaměníme vzájemně dva prvky, změní se lichá permutace na sudou nebo sudá permutace na lichou. Nechť A = (a ij ) je čtvercová matice řádu n. Reálné číslo det A = k ( 1) α a 1k1 a 2k2 a nkn, kde k značí součet pře všechny možné permutace K = (k 1, k 2,..., k n ) čísel 1, 2,..., n a α je počet inverzí v permutaci K, se nazývá determinant matice A.
Jestliže v permutaci K = (k 1, k 2,..., k n ) zaměníme vzájemně dva prvky, změní se lichá permutace na sudou nebo sudá permutace na lichou. Nechť A = (a ij ) je čtvercová matice řádu n. Reálné číslo det A = k ( 1) α a 1k1 a 2k2 a nkn, kde k značí součet pře všechny možné permutace K = (k 1, k 2,..., k n ) čísel 1, 2,..., n a α je počet inverzí v permutaci K, se nazývá determinant matice A.
Determinant čtvercové matice A řádu n zapisujeme ve tvaru a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det A =.... a m1 a m2 a mn
a 11 = a 11 a 11 a 12 a 21 a 22 = ( 1)0 a 11 a 22 + ( 1) 1 a 12 a 21 = a 11 a 22 a 12 a 21 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = ( 1)0 a 11 a 22 a 33 + ( 1) 1 a 11 a 23 a 32 + ( 1) 1 a 12 a 21 a 33 + +( 1) 2 a 12 a 23 a 31 + ( 1) 2 a 13 a 21 a 32 + ( 1) 3 a 13 a 22 a 31 = = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 (a 11 a 23 a 32 + a 12 a 21 a 33 + a 13 a 22 a 31 )
a 11 = a 11 a 11 a 12 a 21 a 22 = ( 1)0 a 11 a 22 + ( 1) 1 a 12 a 21 = a 11 a 22 a 12 a 21 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = ( 1)0 a 11 a 22 a 33 + ( 1) 1 a 11 a 23 a 32 + ( 1) 1 a 12 a 21 a 33 + +( 1) 2 a 12 a 23 a 31 + ( 1) 2 a 13 a 21 a 32 + ( 1) 3 a 13 a 22 a 31 = = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 (a 11 a 23 a 32 + a 12 a 21 a 33 + a 13 a 22 a 31 )
a 11 = a 11 a 11 a 12 a 21 a 22 = ( 1)0 a 11 a 22 + ( 1) 1 a 12 a 21 = a 11 a 22 a 12 a 21 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = ( 1)0 a 11 a 22 a 33 + ( 1) 1 a 11 a 23 a 32 + ( 1) 1 a 12 a 21 a 33 + +( 1) 2 a 12 a 23 a 31 + ( 1) 2 a 13 a 21 a 32 + ( 1) 3 a 13 a 22 a 31 = = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 (a 11 a 23 a 32 + a 12 a 21 a 33 + a 13 a 22 a 31 )
Nechť A je čtvercová matice řádu n. Pak pro i = 1,..., n platí det A = n ( 1) i+k a ik A ik, k=1 kde A ik je subdeterminant (doplněk prvku a ik ), který vznikne z determinantu matice A vynecháním i-tého a k-tého sloupce Determinant lze také rozvinout podle libovolného sloupce, tedy pro j = 1,..., n platí n det A = ( 1) k+j a kj A kj, k=1 kde A kj je determinant řádu n 1, který vzniká z determinantu matice A vynecháním k-tého řádku a j-tého sloupce.
Nechť A je čtvercová matice řádu n. Pak pro i = 1,..., n platí det A = n ( 1) i+k a ik A ik, k=1 kde A ik je subdeterminant (doplněk prvku a ik ), který vznikne z determinantu matice A vynecháním i-tého a k-tého sloupce Determinant lze také rozvinout podle libovolného sloupce, tedy pro j = 1,..., n platí n det A = ( 1) k+j a kj A kj, k=1 kde A kj je determinant řádu n 1, který vzniká z determinantu matice A vynecháním k-tého řádku a j-tého sloupce.
Nechť A a A T jsou navzájem transponované čtvercové matice, platí det A = det A T. Vynásobíme-li všechny prvky některého řádku (sloupce) matice A týmž číslem c, obdržíme matici A pro jejíž determinant platí det A = c det A. Vyměníme-li v matici A mezi sebou dva řádky (dva sloupce), dostaneme matici A, pro jejíž determinant platí det A = det A. Přičteme-li k jednomu řádku A matice libovolnou lineární kombinaci ostatních řádků, hodnota determinantu matice A se nezmění.
Nechť A a A T jsou navzájem transponované čtvercové matice, platí det A = det A T. Vynásobíme-li všechny prvky některého řádku (sloupce) matice A týmž číslem c, obdržíme matici A pro jejíž determinant platí det A = c det A. Vyměníme-li v matici A mezi sebou dva řádky (dva sloupce), dostaneme matici A, pro jejíž determinant platí det A = det A. Přičteme-li k jednomu řádku A matice libovolnou lineární kombinaci ostatních řádků, hodnota determinantu matice A se nezmění.
Nechť A a A T jsou navzájem transponované čtvercové matice, platí det A = det A T. Vynásobíme-li všechny prvky některého řádku (sloupce) matice A týmž číslem c, obdržíme matici A pro jejíž determinant platí det A = c det A. Vyměníme-li v matici A mezi sebou dva řádky (dva sloupce), dostaneme matici A, pro jejíž determinant platí det A = det A. Přičteme-li k jednomu řádku A matice libovolnou lineární kombinaci ostatních řádků, hodnota determinantu matice A se nezmění.
Nechť A a A T jsou navzájem transponované čtvercové matice, platí det A = det A T. Vynásobíme-li všechny prvky některého řádku (sloupce) matice A týmž číslem c, obdržíme matici A pro jejíž determinant platí det A = c det A. Vyměníme-li v matici A mezi sebou dva řádky (dva sloupce), dostaneme matici A, pro jejíž determinant platí det A = det A. Přičteme-li k jednomu řádku A matice libovolnou lineární kombinaci ostatních řádků, hodnota determinantu matice A se nezmění.
Determinant matice A, který má v některém řádku (sloupci) vesměs nuly, je roven nule. Má-li matice A dva řádky (sloupce) stejné, pak det A = 0. Determinant matice A, jejíž řádky (sloupce) jsou lineárně závislé, je roven nule.
Determinant matice A, který má v některém řádku (sloupci) vesměs nuly, je roven nule. Má-li matice A dva řádky (sloupce) stejné, pak det A = 0. Determinant matice A, jejíž řádky (sloupce) jsou lineárně závislé, je roven nule.
Determinant matice A, který má v některém řádku (sloupci) vesměs nuly, je roven nule. Má-li matice A dva řádky (sloupce) stejné, pak det A = 0. Determinant matice A, jejíž řádky (sloupce) jsou lineárně závislé, je roven nule.
Nechť A = (a ij ) je čtvercová matice řádu n v trojúhelníkovém tvaru. Determinant matice A je roven součinu prvků na hlavní diagonále, tj.. det A = a 11 a 22 a nn Nechť A je čtvercová matice. Matice A je regulární právě tehdy, když její determinant je různý od nuly.
Nechť A = (a ij ) je čtvercová matice řádu n v trojúhelníkovém tvaru. Determinant matice A je roven součinu prvků na hlavní diagonále, tj.. det A = a 11 a 22 a nn Nechť A je čtvercová matice. Matice A je regulární právě tehdy, když její determinant je různý od nuly.
Nechť A je čtvercová matice a B její submatice vzniklá z matice A vynecháním některých jejích řádků a sloupců. Je-li B opět čtvercová matice, nazýváme det B subdeterminantem matice A nebo minorem matice A.
Nechť v matici A řádu n 3 je prvek a 11 0. Pak pro hodnotu determinantu matice A platí vztah det A = a 2 n 11 det A, kde det A je determinant matice A řádu n 1, jejímiž prvky a ij, i, j = 1,..., n 1 jsou minory druhého řádu matice A tvaru a ij = a 11 a 1,j+1 a i+1,1 a i+1,j+1.
a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n.... a m1 a m2 a mn = a 2 n 11 a 11 a 1,2 a 2,1 a 2,2 a 11 a 1,3 a 2,1 a 2,3 a 11 a 1,n a 2,1 a 2,n a 11 a 1,2 a 3,1 a 3,2 a 11 a 1,3 a 3,1 a 3,3 a 11 a 1,n a 3,1 a 3,n.... a 11 a 1,2 a n,1 a n,2 a 11 a 1,3 a n,1 a n,3 a 11 a 1,n a n,1 a n,n