Lekce Náhodé jevy a pravděpodobost Výklad pravděpodobosti musí začít evyhutelě od základích pojmů Pravděpodobost, velmi zjedodušeě řečeo, pojedává o áhodých jevech (slově vyjádřeých výsledcích áhodých pokusů) a o áhodých veličiách (výsledcích áhodých pokusů vyjádřeých číselě) Tato prví lekce zůstává a úrovi áhodých jevů Vedle áhodých jevů operujeme rověž s jevy jistými a emožými a také s jevy, které se svými vlastostmi těmto jevům maximálě blíží (jev prakticky jistý, jev prakticky emožý) Náhodé jevy se evyskytují jedotlivě, ale miimálě ve dvojicích ebo i větších skupiách Objevuje se tedy problém vztahů mezi jevy, který přiáší možství pojmů, jako apř sjedoceí jevů, průik jevů, eslučitelost, opačé jevy a jié Klíčovým pojmem prví lekce bude pojem pravděpodobosti, jako matematické veličiy, která kvatifikuje áhodu Sezámíme se s ěkolika speciálími případy pravděpodobosti a jejími vlastostmi Uiverzálě ovšem pojem pravděpodobost zavádět ebudeme Pozáme, že vedle obyčejé pravděpodobosti, která se vztahuje k jedomu áhodému jevu, existují i komplikovaější případy podmíěé a úplé pravděpodobosti, stejě jako pravděpodobosti apriorí a aposteriorí Pozáme jede z klíčových vztahů ve dvojici ebo větší skupiě áhodých jevů ezávislost jevů Vzhledem k tomu, že áhodé pokusy ejsou uikátí, eopakovatelé (sériová výroba, hromadá obsluha), budeme hovořit také o sériích za stejých podmíek vykoávaých pokusů opakovaých pokusech V této souvislosti se zmííme také o výběru s opakováím a výběru bez opakováí, které mají řadu praktických aplikací aposteriorí pravděpodobost; apriorí pravděpodobost; Bayesova pravděpodobost; Beroulliův vzorec; čtyřpolí tabulka; důsledek; elemetárí jev; jistý jev; klasická pravděpodobost; áhodý jev; áhodý pokus; emožý jev; eslučitelost; ezávislé pokusy; ezávislost; opačé jevy; opakovaé pokusy; podmíěá pravděpodobost; prakticky jistý jev; prakticky emožý jev; průik; sjedoceí; statistická pravděpodobost; úplá pravděpodobost; úplá skupia; Veův diagram; závislé pokusy Náhodé jevy Každý děj, jehož výsledek elze bezezbytku předpovědět (vyrobe může být dobrý ebo vadý výrobek, techické měřeí může ale emusí být zatížeo hrubou chybou, v určitém časovém itervalu může ale emusí dojít k poruše zařízeí atd), azýváme áhodý pokus Slově vyjádřeé výsledky áhodých pokusů azýváme áhodé jevy a pro jejich začeí využíváme velká písmea ze začátku abecedy, tj, A, B, C, Vedle áhodých jevů je vhodé zavést pojmy jistý jev (začíme I) a emožý jev (začíme V) Výzam těchto jevů je zřejmý z jejich ázvů Najděte příklady áhodých pokusů, áhodých, jistých a emožých jevů z vašeho dosavadího studia či praxe Je-li výsledkem áhodého pokusu astoupeí jevu A, jde o případ přízivý jevu A Každému áhodém pokusu přísluší možia možých případů elemetárích jevů Možé případy mají tyto vlastosti 6
jsou eslučitelé (disjuktí) astae-li jede, emůže současě astat jiý, tvoří úplou skupiu emůže astat žádý jiý případ, jsou erozložitelé každý z ich může astat právě jedím způsobem Každý áhodý jev je buď elemetárím jevem ebo jevem složeým z elemetárích jevů Ukažte elemetárí jevy a případu hodu hrací kostkou! Pojmeujte jevy padutí sudého čísla, padutí ejméě trojky apod Příklad házeí kostkou volíme proto, že jde o ázorý a všeobecé zámý případ áhodého pokusu Pro dvojici jevů A, B můžeme formulovat tyto vztahy Platí-li, že astae-li jev A, astae vždy současě i jev B, říkáme, že jev A je částí jevu B (ebo že jev B je důsledkem jevu a píšeme A B Pokud současě platí A B, B A, jsou jevy A, B totožé Existuje jev, spočívající v tom, že astae alespoň jede z jevů A, B Teto jev je sjedoceím jevů A, B Píšeme A B Platí A B = B A, A A = A, A I = I, A V = A Existuje-li jev, spočívající ve společém astoupeí jevů A, B, je teto jev průikem jevů A, B Píšeme A B Jsou-li jevy A, B eslučitelé, je jejich průik jevem emožým, a tedy A B = V Platí A B = B A, A A = A, A I = A, A V = V Jev, spočívající v eastoupeí jevu A, se azývá jevem opačým k jevu A Opačý jev k jevu A ozačíme A Platí A A = I, A A = V Ukažte výše uvedeé vztahy mezi jevy a případu házeí hrací kostkou! Operace sjedoceí a průiku lze zobecit pro -tici jevů Příklad Pomocí výše uvedeých vztahů zapíšeme, že jevy jevů To, že jevy tvoří úplou skupiu U i j i= A,,, A2 A : U, I i= i= A,, A i A i, A2 A tvoří úplou skupiu eslučitelých A i = I, to, že jevy jsou po dvou eslučitelé A A V pro i j = Příklad 2 Vyjádříme astoupeí jevu A při eastoupeí jevu B (jde o rozdíl jevů A : A B = A B Jak vyjádříme, že astal právě jede (libovolý) z jevů A, B? ( ) Pro grafickou prezetaci vztahů mezi jevy se využívají všeobecě zámé možiové Veovy diagramy Pomáhejte si jimi vždy, když si evetuálě s úlohou evíte rady, apř pro úkol ( ) hledáme vybarveou část diagramu 7
2 Klasická pravděpodobost Předpokládáme áhodý pokus s koečým počtem stejě možých případů Počet případů přízivých jevu A ozačíme m Klasická pravděpodobost jevu A je dáa jako P ( = = p Vzhle- m dem k vlastostem m, je 0 p Počet možých a přízivých případů je často začý Proto k jejich vyčísleí využíváme kombiatorických výpočtů Příklad 3 V krabici je 20 žárovek, z ichž tři jsou vadé Z krabice je odebráo pět žárovek Jaká je pravděpodobost, že dvě z ich jsou vadé? 20 20! Počet způsobů, kterými lze vybrat pět žárovek z 20: = = 5504 5 (20 5)!5! Počet způsobů, kterými lze ze 7 dobrých žárovek odebrat tři a současě ze zbývajících tří vadých 7 3 7! 3! vybrat dvě: = = 680 3 = 2040 3 2 (7 3)!3! (3 2)!2! 2040 Pravděpodobost jevu je tedy P ( = = 0, 36 5504 Jakou pravděpodobost mají v příkladu 3 jevy, že (a) výběr bude obsahovat všechy tři vadé žárovky, (b) žádá žárovka ve výběru ebude vadá ( 2) Klasická pravděpodobost je založea a logickém rozboru možých výsledků pokusu (který eí třeba vykoávat) a vyžaduje koečý počet stejě možých případů 3 Statistická pravděpodobost Za stejých podmíek vykoáváme určitý áhodý pokus a zazameáváme jeho výsledky Vždy po vykoáí určitého počtu pokusů vyčíslíme relativí četost přízivých případů (apř hodíme-li 20krát micí, přičemž padlo 2 líců a 8 rubů a přízivým případem je padutí líce, je relativí četost padutí líce 2 = 0, 6 ) Pozorujeme-li, že relativí četost se po vykoáí určitého počtu pokusů stabilizovala a další vykoaé pokusy její hodotu prakticky eměí, vyhlásíme tuto stabilizovaou rela- 20 tiví četost za statistickou pravděpodobost Z vlastostí relativí četosti opět plye 0 p Příklad 4 Při kotrole jakosti byla po vyšetřeí 0 výrobků zjištěa ulová relativí četost vadých výrobků Po vyšetřeí 50 výrobků byla zjištěa relativí četost vadých výrobků 0,04 Po vyšetřeí 00 výrobků byla zjištěa relativí četost vadých výrobků 0,03 Po vyšetřeí 200 a 300 výrobků byla shodě určea relativí četost vadých výrobků 0,02 Pokus ukočíme s tím, že relativí četost považujeme za stabilizovaou a hodotě pravděpodobosti P ( = 0, 02 Zázorěte průběh pokusu graficky Na vodorovou osu vyeste počet pokusů a a svislou osu relativí četost Statistická pravděpodobost je založea a vykoáí atolik početé série áhodých pokusů, která umoží stabilizovaou relativí četost přízivých případů prohlásit za pravděpodobost jevu 8
Vlastosti pravděpodobosti formulujeme zobecěím vlastostí klasické a statistické pravděpodobosti Pravděpodobost je ezáporá a abývá maximálí hodoty jeda, 0 P ( Pravděpodobost jistého jevu je rova jedé, P ( I ) = Pravděpodobost emožého jevu je rova ule, P ( V ) = 0 Pravděpodobost astoupeí alespoň jedoho z tice eslučitelých jevů je rova součtu jejich pravděpodobostí (aditivita): P (U A ) A ) i= i = i= Jestliže jev B je důsledkem jevu A, platí Pravděpodobost opačého jevu je doplňkem pravděpodobosti původího jevu do jedé, = Vedle uvedeé klasické a statistické pravděpodobosti existují další kocepty pravděpodobosti pravděpodobost geometrická pravděpodobost je prezetováa jako míra (délka, plocha, objem) geometrického útvaru (hodí se apř při grafické prezetaci jevů pomocí Veových diagramů) ebo pravděpodobost subjektiví (odborě ebo laicky odhadovaá, apř pravděpodobost vziku poruchy v závislosti a opotřebeí zařízeí) Nejdůležitějším případem pravděpodobosti bude pro ás rozděleí pravděpodobosti áhodé veličiy v dalších lekcích Všechy tyto kocepty jsou zvláštími případy tzv axiomatické defiice pravděpodobosti, která je společě zastřešuje 4 Počítáí s pravděpodobostmi Jsou dáy obecé (slučitelé) jevy A, B se zámými pravděpodobostmi P (, Pak pravděpodobost jejich sjedoceí je rova A = +, přičemž pravděpodobost jejich průiku elze z pouhé zalosti pravděpodobostí P (, dovodit Pravděpodobost průiku vyplye z rekapitulace pravděpodobostí všech možých kombiací astoupeí jevů A, A, B, B ve čtyřpolí tabulce Jev B B Součet A P ( A P ( Součet P ( P ( P (I ) Všiměme si v této chvíli, že apř platí = + a podobě i pro P (, P (, Tyto vztahy za chvíli využijeme Příklad 5 Při přejímací kotrole bylo alezeo 5 % výrobků s fukčí vadou (jev a 8 % výrobků se vzhledovou vadou (jev Obě vady současě mělo 2 % výrobků Považujme tyto podíly za stabilizovaé a sestavme čtyřpolí tabulku pravděpodobostí Jev B B Součet A 0,02 0,03 0,05 A 0,06 0,89 0,95 Součet 0,08 0,92,00 i 9
Vyjádřete slově jev, který má v tabulce pravděpodobost 0,89 Najděte pravděpodobost alezeí výrobku, který má je vzhledovou vadu Příklad 6 Najdeme yí pravděpodobosti alezeí výrobku se vzhledovou vadou mezi výrobky, které mají/emají fukčí vadu (víme, že tato pravděpodobost mezi všemi výrobky je rova 0,08) Hledaé pravděpodobosti ozačíme P ( B, B a staovíme jako 0,02 P ( B = = = 0,40 (hodoty bereme z prvího řádku tabulky), 0,05 0,06 P ( B = = = 0,0632 (hodoty bereme z druhého řádku tabulky) 0,95 Z výsledků vyplývá, že je mohem pravděpodobější (0,40) ajít výrobek se vzhledovou vadou mezi výrobky, které mají fukčí vadu, ež mezi výrobky, které fukčí vadu emají (0,0632) Jaký vztah je mezi všemi třemi pravděpodobostmi? = + = B + B = = 0,02 + 0,06 = 0,40 0,05 + 0,0632 0,95 = 0,08 Podmíěá, úplá a aposteriorí pravděpodobost, ezávislost A H ) Jsou dáy jevy A, H ( H V ) Pravděpodobost A H ) = se azývá podmíěá pravděpodobost jevu A za podmíky H H ) Pravděpodobost P ( = A H ) H ) + A H ) H ) se azývá úplá pravděpodobost jevu A Pravděpodobost průiku jevů A, H staovíme jako P ( A H ) = A H ) H ) Podmíěá pravděpodobost A H ) se rová úplé pravděpodobosti P (, pokud P ( A H ) = H ) Vztah mezi jevy A, H v tomto posledím případě se azývá ezávislost A H ) Pravděpodobost H = se azývá aposteriorí (Bayesovskou) pravděpodobostí jevu H Všechy uvedeé pravděpodobosti využijeme v ásledujícím příkladu Příklad 7 Odběratel odebírá součástky od dvou výrobců Prví výrobce dodává 2 % vadých součástek a druhý 8 % Od prvího dodavatele pochází 60 % dodaých součástek Ozačíme jev H, H ) = 0, 6, že součástka pochází od prvího a H, H ) = 0, 4, že součástka pochází od druhého výrobce Podmíěá pravděpodobost alezeí vadé součástky mezi součástkami od prvího výrobce je P ( A H ) = 0, 02, mezi součástkami druhého výrobce P ( A H ) = 0, 08 Vidíme, že zadáy jsou podmíěé pravděpodobosti Vypočteme úplou pravděpodobost alezeí vadé součástky bez ohledu a to, od kterého výrobce pochází P ( = 0,02 0,6 + 0,08 0,4 = 0, 044 0
Vypočteme pravděpodobost, že alezeá vadá součástka (mezi všemi) pochází od prvího výrobce P ( A H ) = 0,02 0,6 = 0,02 Vypočteme, jaká by byla tato pravděpodobost, pokud by pravděpodobost alezeí vadé součástky ezávisela a výrobci P ( A H ) = 0,044 0,6 = 0, 0264 Koečě vypočteme pravděpodobost, že součástka pochází od prvího výrobce, pokud je vadá 0,02 P ( H = = 0,273 Vidíme, že po zjištěí, že součástka je vadá, se původí pravděpodobost, že pochází od prvího výrobce (0,60) sížila a 0,273 0,044 Jaká by v příkladu 5 byla pravděpodobost, že výrobek emá žádou vadu/má současě obě vady, pokud by výskyt vzhledové a fukčí vady byly ezávislé jevy? ( 3) Z výše uvedeých vztahů upozoríme a to, že jsme ašli metodu staoveí pravděpodobosti průiku dvojice jevů ve zcela obecém případě a kromě toho jsme zavedli pojem ezávislé jevy K ezávislosti dvojice jevů stačí, aby pravděpodobost jejich průiku byla rova součiu jejich pravděpodobostí Aposteriorí pravděpodobost předpokládá, že původí (apriorí) pravděpodobost jevu lze korigovat a základě zámého výsledku áhodého pokusu Nezávislost můžeme zobecit a tici jevů A A,, A 2 Pokud jsou tyto jevy vzájemě ezávislé, musí (ovšem kromě jiého!) splňovat i I Ai ) = Ai ) Při tom 5 Opakovaé pokusy i= i= je symbol součiu Nezávislé opakovaé pokusy Jsou-li výsledky opakovaých pokusů ezávislé jevy, využijeme pozatky o ezávislosti z předešlého odstavce Jev, jehož pravděpodobost v jediém pokusu je p, má pravděpodobost, že 2 3 astae ve dvou ezávislých pokusech p p = p, ve třech p atd Pricipem je staovit pravděpodobost, že bude dosažeo určitého počtu (x) úspěchů (tj astoupeí jevu v sérii ( x) pokusů, je-li záma pravděpodobost astoupeí jevu A v jediém pokusu P ( = p Pravděpodobost, že jev astae právě x krát, je rova x p, pravděpodobost, že ve zbývajících x pokusech eastae, je rova x x x ( p) Mají-li oba jevy astoupit společě, musí být p ( p) Nejde však o úspěch v určitých x pokusech, ýbrž v libovolých pokusech, bez ohledu a pořadí Je tedy třeba ještě zjistit, kolika možými způsoby se úspěchy a eúspěchy mohou v daém případě prostřídat Teto počet je dá kombiačím číslem x Pravděpodobost, že mezi ezávislými opakovaými pokusy se vyskyte právě x úspěchů, je x x ; p; x) = p ( p) Teto vzorec je zámý pod ozačeím Beroulliův vzorec x Příklad 8 Kotrola vrací k opravě ebo doplěí 5 techických výkresů ze sta Určíme pravděpodobost, že z pěti výkresů (a) ebude vráce žádý, (b) budou vrácey dva, (c) budou vrácey všechy 5 Vráceí výkresu je jev A s pravděpodobostí P ( = = 0,5; = 5; x = 0;2; 5 00
5 0 5 5 2 3 a) P ( 5; 0, 5; 0) = 0, 5 0, 85 = 0, 444, b) P (5;0,5;2) = 0,5 0,85 = 0, 38, 0 2 5 5 0 5 c) P ( 5; 0, 5; 5) = 0, 5 0, 85 = 8 0 5 Vypočtěte Zvláští pozorost věujme yí výsledku c) pravděpodobosti pro všechy zbývající v úvahu přicházející hodoty počtu vráceých z pěti výkresů Tyto pravděpodobosti budete později potřebovat Jevy, které sice ejsou (absolutě) emožé/jisté, ale jejich pravděpodobost je extrémě blízká ule/jedé, ozačujeme jako jevy prakticky emožé/prakticky jisté Kalkulujeme s tím, že v jedom pokuse jev prakticky jistý astae, zatímco jev prakticky emožý eastae Pravděpodobost, že očekávaý výsledek eastae, je ízká a azývá se riziko Výzam právě takových jevů s očekávatelým chováím už v jediém pokusu, je v moha úvahách zcela zásadí Závislé opakovaé pokusy Formulujme tuto situaci: Z koečého souboru N jedotek, z ichž M (M < N) má ějakou vlastost, je současě (jedím tahem) odebráo ( < N) jedotek, z ichž u předem ezámého počtu x ( max{ 0; M N + } x mi{ ; M }) se rověž objeví daá vlastost Úkolem je určit pravděpodobost x pro zadaá N, M,, kterou ozačíme jako N;M;;x) Při tom M N M x x P ( N; M ; ; x) = N Pokud jde o příklad, odkazujeme zcela a příklad 3 v odstavci 2 Vzhledem k tomu, že v techických aplikacích opakovaé pokusy často souvisí s vybíráím, je třeba uvést, že zatímco výsledky výběru s opakováím (vraceím) představují ezávislé opakovaé pokusy, jde u výběru bez opakováí (vraceí) o závislé opakovaé pokusy Rozdíl mezi oběma výběry se stírá tím více, čím meší je podíl vybíraých jedotek z jejich celkového počtu Při výběru s opakováím se každá prošetřeá jedotka před dalším tahem vrací mezi ostatí Odpovězte a otázky kolikrát se určitá jedotka může objevit ve výběru, jak se změí možia ze které vybíráme po provedeí apř k tahů, jaký je maximálí počet tahů, který lze provést a jak rozsáhlý výběr (alespoň teoreticky) lze tudíž pořídit ( 4) Na stejé otázky odpovězte, pokud vybraou jedotku evracíme 2
Σ ( ) Moho dějů růzého charakteru, které můžeme kolem sebe pozorovat, má charakter áhodých pokusů Jejich slově vyjádřeé výsledky se azývají áhodé jevy 2 Každý áhodý pokus má svoji možiu možých případů elemetárích jevů 3 Pro dvojici (ěkdy i pro větší skupiu) jevů můžeme formulovat vztahy jako důsledek, sjedoceí, průik, rozdíl 4 Dva jevy, které tvoří úplou skupiu eslučitelých jevů, se azývají jevy opačé 5 Koečý počet stejě možých případů vede ke klasické pravděpodobosti 6 Stabilizace relativích četostí s rostoucím počtem pokusů vede ke statistické pravděpodobosti 7 Pravděpodobost jako matematická veličia má řadu vlastostí 8 Saha o staoveí pravděpodobosti sjedoceí a průiku jevů ás dovede k podmíěé a úplé pravděpodobosti 9 Speciálí vlastostí pro dvojici ebo větší skupiu jevů je jejich (vzájemá) ezávislost 0 Aposteriorí pravděpodobost předpokládá, že apriorí pravděpodobost jevu lze korigovat a základě zámého výsledku vykoaého pokusu Beroulliův vzorec popisuje pravděpodobost, že v řadě ezávislých pokusů zazameáme právě určitý počet úspěchů 2 Tuto pravděpodobost lze rověž staovit pro řadu závislých pokusů 3 Modelovým případem ezávislých pokusů je výběr s opakováím Modelovým případem závislých pokusů je výběr bez opakováí 4 Ve výkladu jsme arazili a pojmy prakticky jistý a prakticky emožý jev Tyto jevy společě s pojmem riziko mají v řadě aplikací klíčový výzam Jde o sjedoceí ( A ( B = A B A B ( 2) Pro x = 0 to bude 6 5 0, pro = 5 x to bude 0, 399 ( 3) P ( = = 0, 874; = 0, 004 ( 4) Libovolěkrát, možia je idetická, eí omezeý, ekoečě rozsáhlý Nakreslete Veovy diagramy pro A B; A B; A B; A B; A, A 2 Odběratel provádí při přejímce suroviy kotrolu, která ozačí produkt jako kvalití, pokud skutečě takový je, s pravděpodobostí 0,995 Naopak za ekvalití ozačí produkt (pokud skutečě ekvalití je) s pravděpodobostí 0,98 (žádá kotrolí metoda eí 00% spolehlivá!) Dodavatel je schope dodávat produkt, který splňuje pod- 3
míky kvality, s pravděpodobostí 0,97 (žádý produkt eí 00% kvalití!) Uvozovkami rozlišujeme skutečý stav produktu (kvalití, ekvalití) a výsledek kotroly ( kvalití, ekvalití ), což jsou dvě růzé kategorie Ozačíme-li jako jev H to, že produkt je kvalití, je P ( H ) = 0,97( H ) = 0,03), ozačíme-li jev A, že produkt prošel kotrolou jako kvalití, za podmíky, že takový skutečě byl, je P ( A H ) = 0, 995 a že ekvalití produkt byl ozače jako ekvalití P ( A H ) = 0, 98 Naproti tomu pravděpodobost, že výrobek projde kotrolou jako kvalití (ať už kvalití je ebo eí) je úplá pravděpodobost P ( a aopak, že výrobek bez ohledu a kvalitu eprojde kotrolou, je P ( Je zřejmé, že výsledek kotroly eí stoprocetě v souladu se skutečostí a existují dva druhy chybých výsledků kotroly: Nekvalití produkt je ozače jako kvalití Tímto výsledkem je poškoze odběratel Pravděpodobost, že tato situace astae, se azývá riziko odběratele Kvalití výrobek je ozače jako ekvalití a je odběratelem odmítut Tímto výsledkem je poškoze dodavatel Pravděpodobost této situace se azývá riziko dodavatele Staovíme obě rizika a současě pravděpodobosti správých rozhodutí a sestavíme je do čtyřpolí tabulky Skutečost kvalití ekvalití Součet (jev H) (jev H ) kvalití Výsledek (jev kotroly ekvalití (jev A ) Součet 0,97000 0,03000,00000 3 Ve stejé tabulce jako v předchozím příkladě vyplňte pravděpodobosti za předpokladu, že výsledek kotroly by byl ezávislý a skutečé kvalitě produktu 4 Pro příklad 7 vypočtete pravděpodobost, že součástka pochází od prvího výrobce, pokud eí vadá 5 Kolik ezávislých pokusů je třeba vykoat, aby jev, jehož pravděpodobost v jedom pokusu je rova p, astal s pravděpodobostí π alespoň jedou Nápověda: Hledáme P ( X > 0 ) = X = 0) = ( p) = π 6 Vypočtěte úlohu 5 pro π = 0,99; p = 0, 5 7 Pro závislé opakovaé pokusy je N = 20, = 2, M = 4( M = 7) Určete iterval možých hodot x pro obě variaty čísla M 4