Soustav rovnic Metod řešení soustav rovnic o více neznámých jsou založen na postupné eliminaci neznámých Pro dvě lineární rovnice o dvou neznámých používáme metodu sčítací (aditivní), kd vhodně vnásobíme rovnice tak, ab po jejich sečtení zůstala jen jedna z neznámých Nebo metodu dosazovací (substituční), která spočívá v tom, že z jedné z rovnic vjádříme jednu neznámou, dosadíme do druhé rovnice a dopočítáme Obvkle metod kombinujeme Začneme sčítací metodou výpočet jedné neznámé a potom dosazením dopočítáme druhou Řešením soustav je uspořádaná dvojice! Příklad: Řešte soustavu x 4 x Řešení: Metodou sčítací: Vnásobíme první rovnici a přičteme ke druhé x 4 / x 6x x 7x 0 4, odtud x Pro výpočet druhé neznámé vnásobíme druhou rovnici ( ) a sečteme s první: x 4 / Řešením soustav je,0 x 7 0 0 Metodou dosazovací: Vjádříme například z první rovnice x 4 a dosadíme do druhé rovnice Potom x x 4 x 6x 7x 4 x A nní dosadíme do vztahu pro : x 4 4 4 0,0 Sčítací metodou vpočteme x : x 4 / x 7x 0 4, odtud x Získanou hodnotu dosadíme do kterékoliv rovnice a vpočítáme Například z první rovnice x 4 je 4 4 0 Poznámka: Dosazovací metoda je velmi vhodná při řešení soustav rovnic, z nichž alespoň jedna není lineární
Řešené příklad: Řešte soustavu x, x x Řešení: Pokud bchom použili metodu sčítací, začali bchom úpravou rovnice Ale vřešíme tuto soustavu dosazovací metodou Kdž z první rovnice vjádříme x,, můžeme do druhé rovnice dosadit přímo a teprve potom provést potřebné úprav Do rovnice x x dosadíme x x, x, x upravíme x, x, 9 x x 7, x 0, 0x 8 To neplatí pro žádné x, soustava ted nemá řešení Řešte soustavu x, x x Řešení: Použijeme metodou sčítací Nejprve upravíme druhou rovnici x, x x x, x 9 x x, x 6 9 / 6 Po vnásobení první rovnice ( 6) a přičtení ke druhé dostaneme 0 0 Soustava má ted nekonečně mnoho řešení Jsou to všechn uspořádané dvojice čísel x ; x,, kde x R Řešte soustavu x 4 x x Řešení: x 4 / 6 x x x 4 4 x 6x x 0 / x 0 x 6
Dosadíme například do rovnice x 0 Potom 8 0 9 Řešením soustav je dvojice 6,9 4 Řešte v R R soustavu rovnic 6, x 7, x, 4, 4,, Řešení: Nejdříve vřešíme dosazovací metodou Z druhé rovnice je x, 4,, po dosazení do první rovnice dostaneme 6, 7, Tuto rovnici bchom mohli násobit, abchom odstranili zlomek, nebo zlomek rozložit na dva a roznásobit 4,, 6, 7, 9,8 6,89 7, 8,89 4,,877 4,, Dopočítáme x 4, Kdbchom raději chtěli použít metodou sčítací, blo b vhodné upravit koeficient v rovnicích na celá čísla Vnásobením obou rovnic 0 dostaneme 6x 0 7 0x 4 Navíc první rovnici můžeme dělit x 4 / 0x 4 / 4 689x 96 00x 880 889x 784 x 4, Potom dosazením do některé z rovnic b se dopočítala neznámá, 877 Poznámka: Na tomto příkladu už je vidět, že pokud budete řešit soustavu, která nevznikla jako rze školní úloha, bude postup značně individuální Řešte v R R soustavu x x 7 x Řešení: První rovnice je kvadratická, bude vhodné použít dosazovací metodu Vjádříme ze druhé rovnice x a dosadíme do první
x x 7 x 7 6 0 x 7 0 48 7, 4 Zbývá dopočítat x x 4, x 4 Soustava má ted dvě řešení Jsou to dvojice, 4 a, 4 6 Řešte v R R soustavu x 0 4 x 0 Řešení: Použijeme dosazovací metodu Mohli bchom vjádřit z první rovnice neznámou a dosadit ji do druhé rovnice nebo ze druhé rovnice vjádřit x a dosadit do první Vjdeme-li ze druhé rovnice, vhneme se počítání se zlomk x 0 4 x 0 4 0 x 4 6 4 0 rovnice všších stupňů, které nemají absolutní člen, upravujeme vtýkáním na součin: 8 0 Součin je roven nule, kdž je alespoň jeden z činitelů roven nule Ted buď 0 nebo 8 0 Potom 0 x 0 nebo 8 x 4 8 Řešením soustav jsou dvojice 0,0 a, 7 Řešte v R R soustavu 6x 0x 0 x 0 Řešení: Druhou rovnici upravíme vtýkáním na součin a dál budeme počítat dosazovací metodou Vjádříme ze druhé rovnice a dosadíme do první 6x 0x 0 x 0 x 0
Postupně dosadíme do první rovnice 0 6x 0x 0 x 0 x x 0, x Máme dvě řešení0,0 a x 6 0 0, 0 6 4 Vpočítali jsme další dvě řešení,4 a, 4 x 8 Řešte soustavu rovnic e 0x x 0 e x x 4 0 Řešení: Protože e x 0 (vžd!), zjednodušíme rovnice tak, že obě x e vdělíme Potom 0x x 0 x 4 0 První rovnice není lineární, použijeme ted dosazovací metodu Ze druhé rovnice vjádříme x 4 a dosadíme do první rovnice: 0x x x 4 0 0x 8x 0 x 0 x 0 4 Řešením dané soustav rovnic je uspořádaná dvojice 0, 4 Příklad na procvičení: Vřešte soustav rovnic a) x 6, x b) x, x 4 x x 8 c) 6, 4 d), x 6 x e) x 4 x 4 4 6 f) 8x 6, x 9 g) 0, x 0, 0,, 0, x 0, 0, 8, x 4 0
x h) i) x, x, x 6 x Řešte soustav rovnic a) x x 9 0, x 0 b) x x 0, x x 0 c) 6 0 x x, e 4 x 0 d) 4 0, x 9x 0 x e) 0, 0 Výsledk: a),4, b) 6, x ;, kde R a),6,,, c), 8 48, d) x, g),,, e),, h) nemá řešení, i),,0,,,, c) 0,0,,,, 4,6, b) 0,,,0,,,,, e) 8, f) nekonečně mnoho řešení d), 0,,,