FREQUENCY ANAYSIS F FREE VIBRATINS F THE BEAM IN PSTCRITICA STATE P. Fratík * Summary: Postcritical ree vibratios o a sleder elastic beam are studied. Catilever beam is loaded by axial orce ad lateral delectios are observed. Eective umerical model o the beam is used ad described. Vibratio properties are ivestigated by Fourier requecy aalysis.. Úvod Ideálí štíhlý prut z pružého materiálu, zatížeý ve vzpěru dostatečě velkým zatížeím, může dosáhout kritického stavu, který e iž dlouho dobře zám. Překročí-li zatížeí velikost utou pro teto kritický stav, dochází ke ztrátě stability přímého tvaru prutu při biurkaci do edoho ze dvou symetrických stabilích stavů (v roviém případě. Tato úloha, i ve své statické podobě, e z hlediska výpočetí áročosti poměrě složitá. Navíc e zámo, že v okolí biurkačího bodu se každý umerický model prutu chová do určité míry estabilě. Hledáí řešeí takového prutu v pokritickém stavu dává zaímavé výsledky, ak e patré apříklad z publikace (Fratík 4. Zde se věume vlastostem volého kmitáí prutu v pokritickém stavu se zaměřeím a rekvečí aalýzu pomocí Fourierovy trasormace.. Model prutu Pro výpočet kmitáí štíhlého kozolového prutu byl vytvoře speciálí model (viz Fratík & Macur,, který umožňue eektiví řešeí zvoleé úlohy. Je uvažová velmi štíhlý prut kostatího průřezu z lieárě pružého materiálu, což umožňue zaedbat práci ormálových i posouvaících sil a přetvořeí prutu. Prut e ekvidistatě rozděle a tuhé dílce spoeé klouby s lieárími rotačími pružiami, viz obr.. Teto model lze dle (Herych 985 zařadit mezi iití metody mechaiky ako zvláští případ metody yzických koečých prvků. br. : Zázorěí řešeé kostrukce a eího modelu * Ig. Petr Fratík: Ústav stavebí mechaiky, Fakulta stavebí, Vysoké učeí techické v Brě; Veveří 95, 66 7 Bro; e-mail: kitar@cetrum.cz
Kozervativí pohybové rovice modelu (esou uvažováy tlumící evy, odvozeé v (Fratík & Macur, lze zapsat v maticovém tvaru: d M ω = Qω dt d ϕ = ω, dt Kϕ +, kde ϕ e vektor pootočeí dílců, ω e vektor úhlových rychlostí dílců, M e plá symetrická matice mometů setrvačosti dílců, Q e podobá atimetrická matice, K e třídiagoálí matice tuhosti, e vektor mometů zatěžuící síly (působící a koci prutu ve směru eho epřetvořeé osy a t e čas. Matice mometů setrvačosti M má tvar: ( (( + M = ml 6 symetrie (( + (( + (( + (( + (( +, M ( kde ϕ i e pootočeí i-tého dílce, vzato vzestupě od dílce u vetkutí prutu, e počet dílců, l e délka dílce a m e hmotost dílce. Dále pro matici Q platí: (( + si( ϕ ϕ Q = ml 6 (( + si( ϕ ϕ M (( + (( + M (( + (( + M si( ϕ ϕ si( ϕ ϕ. M ( Jestliže k e tuhost rotačích pruži, pro kterou platí pak pro matici tuhosti K platí: k = EI l, kde EI e ohybová tuhost prutu,
K = k. (4 Pro vektor mometů zatěžuící síly platí: cosϕ cos ϕ = Fl, M cosϕ kde F e síla působící a koci prutu ve směru eho epřetvořeé osy. (5 Řešeí pohybových rovic ( lze vzhledem k eich eliearitě provést s pomocí dierečích explicitích umerických metod pro řešeí počátečího problému obyčeých diereciálí rovic. Jistou komplikací e v tomto případě plá matice mometů setrvačosti M, protože e tímto uté v každém kroku dierečí metody řešit miimálě edou soustavu lieárích algebraických rovic. Teto edostatek e plě kompezová (co do časové áročosti modelu zaedbáím práce ormálových a posouvaících sil. Díky tomuto zaedbáí sou maximálí dosahovaé rekvece při řešeí až o dva řády ižší (v závislosti a štíhlosti prutu, což umožňue velmi rychlé simulace.. Volé kmitáí S pomocí modelu popsaého v předchozí části můžeme řešit libovolá přemístěí prutu, elikož e v ěm plě uvažováa geometrická eliearita úlohy (za předpokladu rozděleí prutu a dostatečý počet dílců při velkých rotacích dílců. Teto model užieme pro výpočet volého kmitáí prutu zatížeého ve vzpěru, ak bylo azačeo v úvodu. Počátečím stavem bude epřetvořeý prut zatížeý silou F a eho koci a každý dílec bude mít uděleu velmi malou počátečí úhlovou rychlost ω. Teto výpočet proveďme pro růzé hodoty síly F a sledume vývo amplitudového spektra Fourierovy trasormace časové řady příčé výchylky kocového bodu prutu. Výpočtem můžeme zistit, že e-li síla F ižší ež kritická hodota F cr, pro kterou platí zámý vztah odvozeý Eulerem F cr = π EI 4l c, kde l c e délka prutu, pak obdržíme e ediou domiatí rekveci (viz obrázek. Volé kmitáí v prekritickém stavu prutu při malých přemístěích lze totiž považovat za harmoické (e to dáo liearitou problému. Pro tuto domiatí rekveci precr platí přibližě vztah (srove s obr. 4: precr ( F = Fcr F, F cr (6
časová řada br. : Amplitudové spektrum volého kmitáí prutu v prekritickém stavu kde e eižší rekvece volého kmitáí ezatížeého prutu, pro kterou přibližě platí, dle (Brepta a kol. 994:.875 EI =, π l c m c (7 kde m c e hmotost prutu. Pro sílu F větší ež e kritická hodota F cr (pokritický stav e výsledek Fourierovy trasormace složitěší, elikož e úloha iž výrazě elieárí a výsledá časová řada příčé výchylky emá harmoický průběh (viz obr.. amplituda časová řada rekvece br. : Amplitudové spektrum volého kmitáí prutu v pokritickém stavu Plošé zobrazeí vývoe amplitudového spektra při změě velikosti síly F e vidět a obr. 4 včetě grau vrcholů amplitud (velikost amplitudy e v plošém zobrazeí dáa odstíem šedé čím tmavší, tím větší amplituda.
rekvece síla br. 4: Gra domiatích rekvecí (vrcholů amplitud Fourierovy trasormace vlevo a původí výsledé amplitudové spektrum Fourierovy trasormace časové řady příčé výchylky (vpravo v plošém zobrazeí. 4. Aproximace Z podroběší aalýzy průběhu amplitudového spektra pokritického kmitáí vyplývá, že vzáemý odstup sousedích domiatích rekvecí e přibližě kostatí, přičemž prví domiatí rekvece e poloviou tohoto odstupu, dále amplitudy pro tyto domiatí rekvece přibližě expoeciálě klesaí a áze ásleduící domiatí rekvece e vždy posuuta o π rad. Časovou řadu příčé výchylky tedy bude zřemě možé aproximovat řadou: y( t = a si ( t + θ, =,,..., = + (, =, a = a e, θ = ( π, kde y e příčá výchylka kocového bodu prutu, e prví domiatí rekvece, a e charakteristická amplituda a c e koeiciet strmosti poklesu amplitud. Tato řada může dát velmi dobré výsledky, ak e patré ze srováí vybraé časové řady při pokritickém kmitáí a eí aproximace a obrázku 5. c (7
výpočet aproximace (5 čleů br. 5: Srováí vypočteé a aproximovaé půlvly příčé výchylky. Pro aproximaci bylo užito 5 čleů řady 5. Závěr V příspěvku byly ukázáy zištěé vlastosti volého kmitáí vetkutého prutu, který e v pokritickém stavu. Ukázalo se, že rekvečí spektrum příčé výchylky kocového bodu prutu má ediečé vlastosti (při zvoleých počátečích podmíkách a lze sado aproximovat pomocí harmoické řady s expoeciálím poklesem amplitud. Volé kmitáí prutu v pokritickém stavu bylo řešeo s pomocí speciálího modelu, který byl v čláku detailě popsá. Teto model se ukazue být eektiví při rozsáhlých výpočtech silě elieárích úloh tohoto druhu. Poděkováí Teto příspěvek byl vytvoře v rámci výzkumého záměru CEZ: J/98: 69 a s podporou gratu GA ČR //5. iteratura Brepta R., Půst., Turek F. (994, Mechaické kmitáí, Techický průvodce 7, akladatelství Sobotáles, Praha Fratík, P. (4 Stability Study o the Elastic oop, 5th Iteratioal PhD Symphosium i Civil Egieerig, TU Delt, Netherlads Fratík, P., Macur, J. ( Diskrétí dyamický model kozoly: Speciálí řešeí, koerece DYN-WIND, TU Žilia, Tále Herych J. (985 Úplá soustava iitích metod mechaiky a možosti dalšího rozvoe, studie ČSAV 6.85, akladatelství Akademia, Praha