KMS cvičení 6. Ondřej Marek

KMS cvičení 6 Ondřej Marek

NETLUMENÝ ODDAJNÝ SYSTÉM S DOF analytické řešení k k Systém se stupni volnosti popisují pohybové rovnice: x m m x m x + k + k x k x = m x k x + k x = k x m x k x x m k x x m m x pohybové rovnice zapsané maticově Mx + Kx = m m x x + k + k k k k x x = Díky zkušeností z řešení DOF systému lze odhadnout tvar homogenního řešení jako: x h = r sin Ωt + φ x h = r sin Ωt + φ x h = Ω r sin Ωt + φ x h = Ω r sin Ωt + φ = Ω x h = Ω x h dosazení do pohybových rovnic: m Ω x h + k + k x h k x h = m Ω x h k x h + k x h = k + k m Ω x h k x h = k x h + k m Ω x h = Soustava homogenních rovnic AX = má buď nulové řešení nebo v případě singulární matice A nekonečně mnoho řešení. det A = k + k m Ω k m Ω k = m m Ω 4 Ω m k + m k + k + k k = Ω, = k + k + k k m m 4m + k k k + k + k k + k m m 4m okud dvojhmotový systém vypadá takto: m = m = m Ω, = k m Ω, = ± k m k = k, k = k Vlastní frekvence se řadí vzestupně, proto Ω < Ω

NETLUMENÝ ODDAJNÝ SYSTÉM S DOF () pokud je tedy A singulární pro dvě různé hodnoty Ω, tj Ω a Ω a platí: A a = a pro dvě různé Ω vyjdou dva vektory a, tj. a a a. 3k mω i k a i k k mω a = i i X je lineární kombinací vektorů a a a. X = q a + q a Univerzálnější postup, který lze použít i pro tlumenou soustavu Mx + Kx = odhad x = c e λt x = λ c e λt Mλ + K ce λt = Mλ + K c = když Mλ + K = A c = αa A a = det A = det m λ + k k k m λ + k = λ 4 m m + λ m k + m k + k k k k = λ, = k k ± k m m 4m + k 4m + k k k k m m aplikováno na příklad λ, = k m ± λ, = ±i k m Tohle jsou pravá vlastní čísla, pro netlumený systém vycházejí pouze komplexní části (vždy čísla jsou komplexně sdružená) 3

Ondřej Marek - KMS Vlastní vektory ro Ω = Ω lze psát ka + k mω a = a = k mω a k okud zvolíme a =, pak a = k mω k k = k k a = =.4 = Rovnovážná poloha k k m m x x. vlastní tvar m m ro Ω = Ω lze psát podobná rovnice a = k mω a k. vlastní tvar a a okud zvolíme a =, pak a = k mω k k + = k k = m m -a a a = =.4 4

Ondřej Marek - KMS říklad DOF struna () a b říklad: Dvě hmoty s hmotností m a m upevněné na předepnuté struně délky L se chovají jako poddajná soustava se dvěma stupni volnosti. Určete vlastní frekvence netlumeného systému a vlastní tvary. L=m; a=,m; b=,4m m L m m =kg; m =kg; =N Uvolnění: ohybové rovnice: m m m x + sin α sin γ = m x + sin γ + sin β = α m x x γ x m x β rovnice jsou nelineární, ale pro malé výchylky lze linearizovat sin α tg α = x a sin β tg β = x b sin γ tg γ = x x L a + b 5

Ondřej Marek - KMS říklad DOF struna () Linearizované pohybové rovnice: m x + x a x x L a + b = m x + x x L a + b + x b = po úpravě: m x + a + L a + b m x Maticový zápis: Mx + Kx = x L a + b x = L a + b x + b + L a + b x = M = m m K = M = K = a + L a+b L a+b 75 5 5 5 L a+b + b L a+b 7.4.6 6

Ondřej Marek - KMS říklad - vlastní frekvence frekvenční determinant det K Ω M = substituce λ = Ω 75 λ det 5 5 5 λ = 75 λ 5 λ 5 = λ λ + 35 = λ, = 4 6 4 35 = 5 36. 4 λ = 93.8 λ = 86. Ω = 3.9 rad/s Ω = 8.4 rad/s f =. Hz f = 4.5 Hz Modální matice: Λ = λ λ = 93.8 86. 7

Ondrej Marek - KMS Vlastní vektory, normované vlastní vektory ro Ω = Ω (λ = λ ) lze psát 75 λ a 5a = a = 75 λ 5 a =.47a okud zvolíme a =, pak a =.47 a =.47 ro Ω = Ω lze psát podobná rovnice 75 λ a 5a = a = 75 λ 5 okud zvolíme a =, pak a =.47 a =.47 a =.47a Vlastní vektory a, a nejsou normované. Normují se s vahou M kvůli podmínce ortogonality (bude vysvětleno později) okud se označí normované vektoru jako u a u (obecně u i ), lze je zapsat do matice U, která se nazývá modální matice U = u, u,, u n ožadavek normy s vahou M je: u i T Mu i = neboli maticově U T MU = I okud u i = α i a i u i T Mu i = α i a i T Mα i a i = α i = a i T Ma i u i = u = u = a i a i T Ma i a =.39a a T =.39 Ma.6739 a =.953a a T =.953 Ma.4 modální matice:.39.953 U =.6739.4 7.4.6 8

Ondřej Marek - KMS NETLUMENÝ ODDAJNÝ SYSTÉM S n DOF říklad: ředepnutá hmotná struna s hmotností m s délky L se chová jako poddajná soustava. Diskretizujte kontinuum dle obrázku na soustavu s r stupni volnosti a určete vlastní frekvence systému a vlastní tvary. L=m; r=5; m s =.kg; =N m a a ro rovnoměrné rozložení hmoty m = m = m i = m n = m s r = m a = a = a i = a n+ = L r + = a Z minulého příkladu s DOF lze vypozorovat, že tuhost pružiny mezi sousedními hmotami m i a m i+ je rovna: L m m i k i = a i m n a n+ ohybové rovnice: mx + a x a x =... mx i a x i + a x i a x i+ =... mx n a x n + a x n = 9

Ondřej Marek - KMS SYSTÉM S n DOF pohybové rovnice Maticový zápis pro 5DOF (r=5) Mx + Kx = M = K = m m m m m a a a a a a a a a a a a a M = K =.4.4.4.4.4 6 6 6 6 6 6 6 6

Ondřej Marek - KMS SYSTÉM S n DOF vlastní čísla a vlastní tvary Vlastní čísla (spektrální matice Λ), vlastní frekvence (matice Ω) det K λm = 49 5 Λ = 3 45 5598 Ω = 63.4 73 37 Vlastní tvary (modální matice U) U =.4434.5.8868.5.4434.5.5.5.5.8868.8868.8868.5.5.5.5.4434.5.8868.5.4434.9.8.7.6.5.4.3... vl tvar ( =63) -4 -.9.8.7.6.5.4.3... vl tvar ( =) -5 5.9.8.7.6.5.4.3.. 3. vl tvar ( 3 =73) -5 5.9.8.7.6.5.4.3.. 4. vl tvar ( 4 =) -5 5.9.8.7.6.5.4.3.. 5. vl tvar ( 5 =37) -5 5

NETLUMENÝ ODDAJNÝ SYSTÉM S DOF maticové řešení říklad: oddajná soustava dle obrázku je buzena harmonickou silou k k m m F cos ωt k 3 m= kg m = 4kg k=,5 N/m k= N/m k3=5 N/m F =,N ω=,4 rad/s p.p. x =,m, x =,5m, v =,5m/s, v =,m/s x k x m x x k x x m k x x m m x k 3 x 3 F cos ωt ohybové rovnice: m x + k + k x k x = m x k x + k + k 3 x = F cos ωt Maticový zápis: Mx + Kx = F M = m m K = k + k k k k + k 3 F = Re Fe iωt F = F s sin ωt + F c cos ωt F = F cos ωt = sin ωt + F cos ωt

říklad DOF- vlastní frekvence frekvenční determinant det K Ω M = det k + k Ω m k k k + k 3 Ω m = k + k λm k + k 3 λm k = Ω 4 m m + Ω m k m k 3 m k m k + k k + k k 3 + k k 3 = o dosazení 4Ω 4 Ω + 8 = Ω = 44 4 4 8 8 = 3 Ω,,3,4 = ± 3 Matematicky správné by bylo řešení se čtyřmi Ω, ale jelikož by vycházely dva vlastní vektory vždy stejné, uvažují se pouze kladné Ω a řadí se od nejmenší po největší (Ω < Ω ) Ω = rad/s Ω = rad/s Spektrální matice: Λ = Ω Ω = 7.4.6 3

říklad DOF vlastní vektory ro Ω = Ω lze psát.5 Ω a a = a =.5 a =.5a okud zvolíme a =, pak a = a = u = U = a a T Ma = a 4 = a 8 = ro Ω = Ω lze psát podobná rovnice.5 Ω a a = a =.5 a =.5a okud zvolíme a =, pak a = a = Vlastní vektory a, a nejsou normované. Normují se s vahou M. okud se označí normované vektory jako u a u, lze je zapsat do modální matice U U = u, u u = a a T Ma = a 4 = a 8 =. vlastní tvar. vlastní tvar. vlastní tvar. vlastní tvar m m m m 4

říklad DOF volné kmitání Řešení se očekává ve tvaru: x H t = C u sin Ω t + φ + C u sin Ω t + φ pro počáteční podmínky se dosazením za t= získají 4 rovnice : x = C u sin φ + C u sin φ v = C u Ω cos φ + C u Ω cos φ pro 4 neznámé C, C, φ a φ zavedením: C sin φ = Z C sin φ = Z C cos φ = Z 3 C cos φ = Z 4 se získají 4 rovnice pro 4 neznámé Z..Z 4 ve tvaru x = Z u + Z u v = Z 3 Ω u + Z 4 Ω u a po dosazení..5 = Z.5. = Z 3.5 + Z.5.5 + Z 4.5 Maticová forma rovnic pro Z..Z 4.77.77.3536.3536.77.3536.5 Z =.5657 Z =.8485 Z 3 =.495 Z 4 =.5 C C C 3 C 4 =..5.5. ozor, Z..Z 4 jsou spočteny pro stav v čase t=! Z a Z jsou vlastně modální souřadnice v čase. Dopočtení konstant C, C, φ a φ tg φ = Z Z 3 tg φ = Z Z 4 C = Z sin φ ; C = Z sin φ φ =,85 rad φ =,3958 rad C =,757 m C =,867 m 5

říklad homogenní řešení.5 x (t), x (t) x H t = C u sin Ω t + φ + C u sin Ω t + φ x x H x H t t =.757.77 sin t,85.3536 +.867.77 sin.4t +,3958.3536.5 -.5 x H x H t t =.535.658 sin t,85 +.693.347 sin.4t +,3958 x - -.5 4 6 8 4 6 8 x H t = u C sin Ω t + φ + u C sin Ω t + φ x H t = u q t + u q t q x H t = u u t q t = U q t.5 u q (t) příspěvek od. vl. tvaru q i t, q t... modální souřadnice, vektor modálních souřadnic -.5 x H = U C sin Ω t + φ C sin Ω t + φ - 4 6 8 4 6 8 u q (t) příspěvek od. vl. tvaru.5 -.5-4 6 8 4 6 8 6

říklad vynucené kmitání přímé řešení Harmonické buzení pro netlumený systém: Mx + Kx = f e iωt odhad: x = re iωt...obecně je r komplexní x = rω e iωt po dosazení: K ω M r = f matice dynamické tuhosti R = K ω M je v případě netlumeného systému reálná, tudíž amplituda r je reálné číslo pokud f je reálné č. Rr = f r = R f = Gf G je matice dynamické poddajnosti a její prvky g jl vyjadřují amplitudy vynucených výchylek v místě j od jednotkové harmonické síly v místě l R =.5 ω 6 4ω G = R adj R = det R = 4ω ω + 8 6 4ω.5 ω g g 6 4ω g = 4 ω ω =.5 ω ω ω g = g = g = 4 ω ω.5 ω 4 ω ω 5-5 -.5.5 5-5 -.5.5 7

říklad amplitudy vynucených kmitů r ( ) r = Gf r = g g g g = g F F g F F r ω = 4 ω ω =.5 ω ω r [m] r ω = F.5 ω 4 ω ω =.5.5 ω ω ω - - pro ω=.4rad/s:.5.5 [rad.s - ] G = r =.979 6.54 6.54.9948.979 6.54 6.54.9948. =.65.995 r ( ) r ω =.4 r ω =.4 =.65 m =.995 m r [m] - -.5.5 [rad.s - ] 8

říklad vynucené kmitání modální amplitudy Harmonické buzení pro netlumený systém: K ω M r = f předpoklad: r = Uc... c je modální amplituda (c i udává intenzitu, s jakou je i-tý vl. tvar zastoupen ve výsledné amplitudě vynucené výchylky) K ω M Uc = f... po přenásobení U T zleva U T KU ω U T MU c = U T f Λ ω I c = U T f c = Λ ω I U T f... jelikož je Λ ω I diagonální, inverze je jednoduchá, na diagonále jsou převrácené hodnoty c i = Ω i ω u i T f jelikož platí: r = Uc = U Λ ω I U T f r = Gf lze psát vztah pro matici dynamické poddajnosti: G = U Λ ω I U T 9

říklad vynucené kmitání modální amplitudy modální amplitudy pro ω=.4 rad/s: c = Λ ω I U T f =.4.4 po prvcích pro různé ω: c ω = Ω ω u T f =.354 ω c ω = Ω ω u T f =.354 ω.77.3536.77.3536. =.368.8839 c, c 5 c, c ( ) Jelikož r = Uc, lze také psát: c c c r = u c + u c r =.77.3536.354 ω +.77.3536.354.77 =.368 ω.3536.8839.77.3536 c -5.5.5 [rad.s - ] kontrola: r = Uc.77.77 r =.3536.3536.368.8839 =.65.995 Amplitudy r vyšly stejně jako přímým výpočtem r = Gf

říklad vynucené kmitání a partikulární řešení x p (t) netlumený systém buzený silami jedné frekvence: Mx + Kx = f e iωt odhad partikulárního řešení byl: x = re iωt v zadání příkladu je kosinové buzení Mx + Kx = F c cos ωt x t = r cos ωt x t =.65.995 cos ωt.5 -.5-4 6 8 4 6 8.4. -. x p (t) -.4 4 6 8 4 6 8 t [s] 7.4.6