CVIČNÝ TEST 42 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15
I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Na číselné ose jsou zakresleny obrazy čísel X a Y. max. 2 body 1 Najděte přesně na číselné ose obraz čísla Z, pro něhož platí Z = X + Y. Do záznamového listu uveďte celý postup řešení. VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 2 Šest poboček jisté renomované advokátní kanceláře působící v šesti českých městech vykázalo v roce 2014 a v roce 2015 počty svých exkluzivních klientů. Údaje o počtu klientů zobrazuje tabulka. V tabulce ale byla data z ostravské pobočky omylem vymazána. 2014 2015 Brno 1720 1913 Ostrava 1250 Praha 2963 3270 Plzeň 1100 330 Třebíč 67 134 Cheb 555 558 max. 2 body 2.1 Kolik měli v Ostravské pobočce klientů v roce 2015, jestliže se jednalo o stejný počet klientů, jako byl průměrný počet klientů ve všech pobočkách včetně Ostravy v roce 2015? 2.2 Určete, o kolik procent oproti roku 2014 narostl počet klientů v tom městě, kde je tento nárůst největší. 2 Maturita z matematiky 07
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 3 Je dán čtverec ABCD. Dále jsou dány bod X, který je středem strany AB, bod Y, který je středem úsečky CD, a bod Z, který dělí úsečku AD v poměru 1 : 1. max. 3 body 3.1 V jakém poměru p : 1, kde p je přirozené číslo, je obsah čtverce ABCD k obsahu čtyřúhelníku XBYZ. 3.2 O kolik cm bude obvod čtyřúhelníku XBYZ kratší než obvod čtverce ABCD, bude-li obvod čtverce ABCD měřit 16 cm? (Výsledek zaokrouhlete na desetiny centimetru.) VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 4 Z dřevěného válce o výšce 4 dm a průměru podstavy 11 dm je vyříznut ve směru jeho výšky jiný válec tak, že nejkratší vzdálenost kruhového otvoru od hrany válce je 0,5 dm a nejdelší 4,5 dm. 4 Jaký byl objem vyříznuté části? 1 bod 1 bod 5 Určete a R tak, aby přímka q: 4ax + (a 2 + 8)y + 16 a 2 = 0 byla kolmá na přímku p: 3x + 2y 2 = 0 a procházela počátkem soustavy souřadnic. 6 Určete pro x R maximální hodnotu výrazu F(x) = 30 6x 3x 2. 1 bod Maturita z matematiky 07 3
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 Pan Novotný si vložil na začátku roku na účet v jisté bance 100 000 Kč, banka mu na konci roku při 6,5% roční úrokové sazbě přičte k částce úrok snížený o zákonnou daň 15 %. Další rok, který nechá pan Novotný peníze v bance, provede banka tutéž operaci, na konci roku opět přičte k částce, která se nachází na účtu, sjednaný úrok snížený o zákonnou daň. Na začátku následujícího roku pan Novotný peníze vybral. Inflaci a jiné další procesy, které ovlivňují skutečnou hodnotu peněz na účtu, zanedbejte. max. 2 body 7 Rozhodněte o každém tvrzení (7.1 7.4), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): 7.1 Pan Novotný měl v den vybrání k dispozici částku 105 525 Kč. 7.2 Kdyby banka příjem z úroku nedanila, byl by úrok o 15 000 vyšší. 7.3 Banka zaplatila na daních z úroku méně jak 1 000 Kč. 7.4 Čistý zisk, kterého pan Novotný uložením peněz do banky dosáhl, byl alespoň 6 000 Kč. ANO NE VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 8 Součet dvou sousedních přirozených čísel je o 11 menší než součin čísel k nim opačných. 2 body 8 Která z možností A E určuje interval, v němž leží daná různá přirozená čísla? A) (2, 7) B) (6, 12) C) (4, 8) D) (9, 13) E) (16, 18) 2 body 9 Která z možností A E určuje pouze takové hodnoty parametru p, pro které má soustava rovnic s neznámými x, y R { x + py = 1 2x y = 2 vždy právě jedno řešení. A) p R B) p ( ; 2) C) p (, 0) (2, + ) D) p (, 0) (0, + ) E) p (, 1) (2, + ) 4 Maturita z matematiky 07
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 10 Je dán pro přípustné hodnoty výraz V(x): x 9 3 x. max. 4 body 10 Přiřaďte každé hodnotě h (10.1 10.4) taková x (A F), pro něž platí, že h = V(x). 10.1 h = 1 10.2 h = 5 10.3 h = 3 10.4 h = 0 A) x {0} B) x {9} C) x {6} D) x {4} E) x { 18 5 } F) x {3} KONEC TESTU Maturita z matematiky 07 5
II. AUTORSKÉ ŘEŠENÍ VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Na číselné ose jsou zakresleny obrazy čísel X a Y. max. 2 body 1 Najděte přesně na číselné ose obraz čísla Z, pro něhož platí Z = X + Y. Do záznamového listu uveďte celý postup řešení. Vztah, který pro číslo Z platí, vyjadřuje součet velikostí čísel X a Y, tedy součet jejich vzdáleností od počátku. Hledané číslo najdeme tak, že narýsujeme úsečku OZ tak, že O je počátek a pro bod Z platí, že OZ = OY + OX = a Z leží na polopřímce OY. Řešení: VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 2 Šest poboček jisté renomované advokátní kanceláře působící v šesti českých městech vykázalo v roce 2014 a v roce 2015 počty svých exkluzivních klientů. Údaje o počtu klientů zobrazuje tabulka. V tabulce ale byla data z ostravské pobočky omylem vymazána. 2014 2015 Brno 1720 1913 Ostrava 1250 Praha 2963 3270 Plzeň 1100 330 Třebíč 67 134 Cheb 555 558 max. 2 body 2.1 Kolik měli v Ostravské pobočce klientů v roce 2015, jestliže se jednalo o stejný počet klientů, jako byl průměrný počet klientů ve všech pobočkách včetně Ostravy v roce 2015? 6 Maturita z matematiky 07
Označíme-li počet klientů v Ostravě v roce 2015 neznámou x, pak platí: 1913 + x + 3270 + 330 + 134 + 558 = x 3 6205 + x = 6x 6205 = 5x 1241 = x. V Ostravě měli v roce 2015 celkem 1241 klientů. Řešení: 1241 2.2 Určete, o kolik procent oproti roku 2014 narostl počet klientů v tom městě, kde je tento nárůst největší. Na první pohled vidíme, že v Třebíči se jedná o dvojnásobný nárůst, v ostatních městech je evidentně nižší, v Plzni dokonce klientů ubylo. Řešení: 100 % VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 3 Je dán čtverec ABCD. Dále jsou dány bod X, který je středem strany AB, bod Y, který je středem úsečky CD, a bod Z, který dělí úsečku AD v poměru 1 : 1. max. 3 body 3.1 V jakém poměru p : 1, kde p je přirozené číslo, je obsah čtverce ABCD k obsahu čtyřúhelníku XBYZ. Pokud vhodně rozdělíme čtverec ABCD, zjistíme, že čtyřúhelník XBYZ tvoří dvě osminy a jednu čtvrtinu celého obsahu čtverce, dohromady tedy 2 + 1 = 2 = 1 celého obsahu čtverce ABCD. Jde 8 4 4 2 tedy o poměr 2 : 1. Řešení: 2 : 1 Maturita z matematiky 07 7
3.2 O kolik cm bude obvod čtyřúhelníku XBYZ kratší než obvod čtverce ABCD, bude-li obvod čtverce ABCD měřit 16 cm? (Výsledek zaokrouhlete na desetiny centimetru.) Je-li obvod čtverce ABCD dlouhý 16 cm, je jedna jeho strana dlouhá 4 cm. Určíme strany čtyřúhelníku XBYZ. Strana XZ je polovina délky úhlopříčky BD, strana ZY je polovina úhlopříčky AC a strana XB je polovinou úsečky AB. Zbývá tedy pomocí Pythagorovy věty spočítat délku strany BY. Určíme obvod o čtyřúhelníku. o = (2 2 + 2 2 + 2 + 4 2 + 2 2 ) cm = (4 2 + 2 + 20) cm 12,129 cm Rozdíl délek obvodů je 16 cm 12,129 cm 3,9 cm. Řešení: 3,9 cm VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 4 Z dřevěného válce o výšce 4 dm a průměru podstavy 11 dm je vyříznut ve směru jeho výšky jiný válec tak, že nejkratší vzdálenost kruhového otvoru od hrany válce je 0,5 dm a nejdelší 4,5 dm. 4 Jaký byl objem vyříznuté části? 1 bod Protože průměr podstavy původního válce je 11 dm, určíme průměr d podstavy vyříznuté části odečtením vzdáleností od okrajů. d = 11 dm (4,5 dm + 0,5 dm) = 6 dm Je-li výška v válce rovna 4 dm, objem V vysoustruženého válce spočteme dle vzorce. V = π d2 v = π 36 dm2 4 dm = 36π dm 3. 4 4 Objem vyříznuté části je 36π dm 3. Řešení: 36π dm 3 8 Maturita z matematiky 07
1 bod 5 Určete a R tak, aby přímka q: 4ax + (a 2 + 8)y + 16 a 2 = 0 byla kolmá na přímku p: 3x + 2y 2 = 0 a procházela počátkem soustavy souřadnic. Přímka q je kolmá na přímku p, takže její normálový vektor je kolmý na normálový vektor přímky p, tj. jejich skalární součin je roven 0 (rovnice I.). Dále přímka q prochází bodem O[0, 0] (rovnice II.). I. 12a + 2a 2 + 16 = 0 II. 16 a 2 = 0 Z rovnice II. přichází v úvahu jen dvě možné hodnoty a, a = 4 nebo a = 4. Dosadíme obě možnosti do rovnice I. a zjistíme, zda ji splňují. a 2 + 6a + 8 = 0 (a + 4)(a + 2) = 0 Z řešení rovnice II. odpovídá řešení rovnice I. jen a = 4. Řešení: a = 4 6 Určete pro x R maximální hodnotu výrazu F(x) = 30 6x 3x 2. Výraz F(x) lze chápat jako předpis kvadratické funkce. Určíme její vrchol a průběh a odvodíme, zda vůbec nějaké globální maximum má. 30 6x 3x 2 = 3(x 2 + 2x 10) = 3[(x + 1) 2 1 10] = 3(x + 1) 2 + 33 Funkce f: y = 3(x + 1) 2 + 33 by byla pro x R konkávní funkcí a vrchol jejího grafu, bod V[ 1, 33], by byl globálním maximem funkce, funkce by byla shora omezená, horní hranicí by byla hodnota 33. Výraz tedy může nabývat maximální hodnoty 33. Pokud bychom provedli úpravu na čtverec, F(x) = 3(x + 1) 2 + 33 je patrné, že část 3(x + 1) 2 bude pro každé x R nekladná. Celý výraz F(x) tedy nemůže mít hodnotu vyšší než 33. 1 bod Řešení: 33 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 Pan Novotný si vložil na začátku roku na účet v jisté bance 100 000 Kč, banka mu na konci roku při 6,5% roční úrokové sazbě přičte k částce úrok snížený o zákonnou daň 15 %. Další rok, který nechá pan Novotný peníze v bance, provede banka tutéž operaci, na konci roku opět přičte k částce, která se nachází na účtu, sjednaný úrok snížený o zákonnou daň. Na začátku následujícího roku pan Novotný peníze vybral. Inflaci a jiné další procesy, které ovlivňují skutečnou hodnotu peněz na účtu, zanedbejte. max. 2 body 7 Rozhodněte o každém tvrzení (7.1 7.4), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): 7.1 Pan Novotný měl v den vybrání k dispozici částku 105 525 Kč. 7.2 Kdyby banka příjem z úroku nedanila, byl by úrok o 15 000 vyšší. 7.3 Banka zaplatila na daních z úroku méně jak 1 000 Kč. 7.4 Čistý zisk, kterého pan Novotný uložením peněz do banky dosáhl, byl alespoň 6 000 Kč. ANO NE Maturita z matematiky 07 9
Situaci si rozepíšeme 1. rok 100 000 Kč + 6,5 % 100 000 Kč 100 15 % 6,5 % 100 000 Kč = 100 100 100 000 Kč + 6500 Kč 975 Kč = 105 525 Kč. 7.1 Je evidentní, že pan Novotný má již po roce na účtu částku 105 525 Kč, takže další rok, kdy si bude peníze vybírat, bude částka vyšší (o další úrok bez daně). Tvrzení je nepravdivé. 7.2 Daně se vypočítávají z úroku, nikoliv z vložené nebo cílové částky. Kdyby banka úrok nezdanila, byl by 6 500 Kč, takto je o 975 Kč nižší. Ani ve druhém roce, kdy se bude úročit vložená částka zvýšená o zdaněný úrok za 1. rok, nebude rozdíl mezi úrokem a jeho daní tak vysoký. Tvrzení je nepravdivé. 7.3 Jen v prvním roce na daních zaplatil pan Novotný 975 Kč, v druhém roce se úročí vklad zvýšený o zdanění úrok, tedy úrok i daň z něho bude ještě vyšší. Tvrzení je nepravdivé. 7.4 Čistý zisk je rozdíl mezi vloženou a cílovou částkou. Jestliže je zisk za 1. rok 5 525 Kč, bude ve 2. roce ještě vyšší, a proto čistý zisk jistě převýší hranici 6 000 Kč. Tvrzení je pravdivé. Řešení: NE, NE, NE, ANO VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 8 Součet dvou sousedních přirozených čísel je o 11 menší než součin čísel k nim opačných. 2 body 8 Která z možností A E určuje interval, v němž leží daná různá přirozená čísla? A) (2, 7) B) (6, 12) C) (4, 8) D) (9, 13) E) (16, 18) Označíme čísla a, a + 1, a N. Sestavíme rovnici, která odpovídá zadání úlohy. a + a + 1 + 11 = ( a)( a 1) Rovnici vyřešíme. 2a + 12 = a 2 + a a 2 a 12 = 0 (a + 3)(a 4) a = 4 Jedná se tedy o čísla 4 a 5. Správná je možnost A. Řešení: A 10 Maturita z matematiky 07
2 body 9 Která z možností A E určuje pouze takové hodnoty parametru p, pro které má soustava rovnic s neznámými x, y R { x + py = 1 2x y = 2 vždy právě jedno řešení. A) p R B) p ( ; 2) C) p (, 0) (2, + ) D) p (, 0) (0, + ) E) p (, 1) (2, + ) Soustava rovnic může mít právě jedno, nekonečně mnoho, nebo žádné řešení. { x + py = 1 2x y = 2 Z první rovnice vyjádříme neznámou x. x = 1 py Dosadíme ji do rovnice druhé a pokusíme se vyjádřit neznámou y. 2(1 py) y = 2 2 2py y = 2 0 = 2py + y 0 = y(2p + 1) Kdyby bylo p = 1, měla by soustava nekonečně mnoho řešení. Pro ostatní p má rovnice právě jedno 2 řešení, a to [1, 0]. Pro žádné p nenastane situace, že by rovnice neměla řešení žádné. Takové p leží v každém z intervalů A D. Správně je tedy možnost E. Řešení: E VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 10 Je dán pro přípustné hodnoty výraz V(x): x 9 3 x. max. 4 body 10 Přiřaďte každé hodnotě h (10.1 10.4) taková x (A F), pro něž platí, že h = V(x). 10.1 h = 1 10.2 h = 5 10.3 h = 3 10.4 h = 0 A) x {0} B) x {9} C) x {6} D) x {4} E) x { 18 5 } F) x {3} Maturita z matematiky 07 11
Definičním oborem výrazu jsou čísla 3; 9). Postupovat můžeme dvěma způsoby. Tak, jak uvádíme u řešení 10.1, nebo tak, jak uvádíme u zbylých řešení. 10.1 Budeme-li postupně dosazovat x z možností A F, můžeme najít jednotlivá přiřazení nejspíše rychleji. x = 6 V(6) = 6 9 3 6 = 3 3 = 1 = 1 Řešení: C 10.2 5 = x 9 3 x 5(3 x) = x 9 15 5x = x 9 24 = 6x x = 4 Řešení: D 10.3 3 = x 9 9(3 x) = x 9 27 9x = x 9 36 = 10x x = 18 3 x 5 Řešení: E 10.4 0 = x 9 3 x 0(3 x) = x 9 0 = x 9 x = 9 Řešení: B KONEC TESTU 12 Maturita z matematiky 07
III. KLÍČ 1) Maximální bodové ohodnocení je 20 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. 2) Úlohy 1 6 jsou otevřené. 3) Úlohy 7 10 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Tabulka úspěšnosti Počet bodů Výsledná známka 20 17 výborně 16 14 chvalitebně 13 11 dobře 10 7 dostatečně 6 a méně nedostatečně Úloha Správné řešení Počet bodů 1 Vztah, který pro číslo Z platí, vyjadřuje součet velikostí čísel X a Y, tedy součet jejich vzdáleností od počátku. Hledané číslo najdeme tak, že narýsujeme úsečku OZ tak, že O je počátek a pro bod Z platí, že OZ = OY + OX = a Z leží na polopřímce OY. max. 2 body Řešení: 2 2.1 1 241 1 bod 2.2 100 % 1 bod 3 3.1 2 : 1 max. 2 body 3.2 3,9 cm 1 bod 4 36π dm 3 1 bod 5 a = 4 1 bod 6 33 1 bod Maturita z matematiky 07 13
7 max. 2 body 4 podúlohy 2 b. 7.1 NE 3 podúlohy 1 b. 2 podúlohy 0 b. 7.2 NE 1 podúloha 0 b. 0 podúloh 0 b. 7.3 NE 7.4 ANO 8 A 2 body 9 E 2 body 10 max. 4 body 4 podúlohy 4 b. 10.1 C 3 podúlohy 3 b. 2 podúlohy 2 b. 10.2 D 1 podúloha 1 b. 0 podúloh 0 b. 10.3 E 10.4 B 14 Maturita z matematiky 07
IV. ZÁZNAMOVÝ LIST 1) Maximální bodové ohodnocení je 20 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. 2) Úlohy 1 6 jsou otevřené. Zapište výsledek. V úloze 1 uveďte i celý postup řešení. 3) Úlohy 7 10 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Zapište vybranou možnost. Tabulka úspěšnosti Počet bodů Výsledná známka 20 17 výborně 16 14 chvalitebně 13 11 dobře 10 7 dostatečně 6 a méně nedostatečně Úloha Správné řešení Počet bodů 1 max. 2 body 2 2.1 1 bod 2.2 1 bod 3 3.1 max. 2 body 3.2 1 bod 4 1 bod 5 1 bod 6 1 bod Maturita z matematiky 07 15
7 max. 2 body 4 podúlohy 2 b. 7.1 3 podúlohy 1 b. 2 podúlohy 0 b. 7.2 1 podúloha 0 b. 0 podúloh 0 b. 7.3 7.4 8 2 body 9 2 body 10 max. 4 body 4 podúlohy 4 b. 10.1 3 podúlohy 3 b. 2 podúlohy 2 b. 10.2 1 podúloha 1 b. 0 podúloh 0 b. 10.3 10.4 16 Maturita z matematiky 07