..7 Omezenost funkcí, maimum a minimum Předpoklady: 03, 0 Př. : Nakresli vedle sebe grafy funkcí: y =, y =, y3 =. Urči jejich obory hodnot. f - - - - - - - - - - - - H ( f ) = R H ( f ) = ; ) H ( f ) = ( 0; ) Funkce může nabýt všech hodnot. Funkce není omezená (může jít do libovolně malých i libovolně velkých hodnot). Jakých hodnot nabývá funkce? Funkce nabývá pouze hodnot větších než nebo rovných. (ale i hodnot větších než 3 nebo 00). Funkce nabývá pouze hodnot větších než 0. (ale i hodnot větších než 3 nebo 00). Funkce je zdola omezená (nemůže jít do libovolně malých hodnot, zezdola ji něco omezuje v rozletu). Jak definice? Funkce je zdola omezená právě když eistuje takové číslo d R, že pro všechna D( f ) Urči číslo d z předchozí definice. d = ; 3; π; 60;... d = 0; ; ; π ; 006;... nekonečně mnoho takových čísel d ( ; platí ( ) Co znamená rozdíl v typech oboru hodnot (zleva uzavřený zleva otevřený interval). f d. nekonečně mnoho takových čísel d ( ; 0
Funkce má pro = nejmenší hodnotu y =. Funkce má minimum pro = s hodnotou y =. Jak napsat definici, aby se lišila od definice omezené funkce? To číslo, které je menší než hodnoty funkce musí být hodnota funkce pro nějaké. Definice? má minimum právě, když eistuje Funkce f ( ) D( f ) takové, že pro každé D( f ) 0 platí f ( ) f ( 0 ) Funkce nemá nejmenší hodnotu, platí f ( 0 ) = ; f ( 00) = atd. Hodnoty se pro 0 00 zvětšující se zmenšují, ale pořád jsou větší než 0 a žádná z nich není nejmenší (jak se tam vejdou? to jsou ty nekonečna) Co je vzácnější eistence minima nebo omezenost zdola? Eistence minima. Už z tabulky je vidět, že eistuje zdola omezená funkce bez minima. Pokud má ale funkce minimum musí být omezená (při nejhorším hodnotou minima). Platí: eistuje minimum omezenost zdola Pedagogická poznámka: Studenti v tomto okamžiku neví, jak vypadá graf funkce y =. Proto jim na tabuli nakreslím graf funkce vyřešit sami (stejným způsobem jako dosud řešili grafy funkcí s absolutní hodnotou). y = s tím, že zbytek musí Př. : Nakresli grafy tří funkcí tak, aby: a) jedna nebyla omezená b) jedna byla shora omezená, ale neměla maimum c) jedna měla maimum. Vytvoř obdobnou tabulku jakou jsme měli u funkcí omezených zdola. Doplň do ní všechny definice. y = y = y3 =
- - - - - - - - - - - - H ( f ) = R H ( f ) = ( ; H ( f ) = ( ;0) Funkce může nabýt všech hodnot. Funkce není omezená (může jít do libovolně malých i libovolně velkých hodnot). Jakých hodnot nabývá funkce? Funkce nabývá pouze hodnot menších než nebo rovných. (ale i hodnot menších než nebo 989). Funkce nabývá pouze hodnot menších než 0. (ale i hodnot menších než 3 nebo 00). Funkce je shora omezená (nemůže jít do libovolně velkých hodnot, seshora ji něco omezuje v rozletu). Jak definice? Funkce je shora omezená právě když eistuje takové číslo D R, že pro všechna D( f ) platí f ( ) D. Urči číslo D z předchozí definice. d = ;3; π;78;... d = 0;;; π;88;... nekonečně mnoho takových čísel D ; ) nekonečně mnoho takových čísel D 0; ) Co znamená rozdíl v typech oboru hodnot (zprava uzavřený zprava otevřený interval). Funkce nemá nejmenší hodnotu, platí f Funkce má největší hodnotu pro = 0, dosahuje ( 0 ) = ; f ( 00) = atd. Hodnoty se pro 0 00 největší hodnotu y =. zvětšující se zvětšují, ale pořád jsou menší než 0 a žádná z nich není největší (jak se tam vejdou? to jsou ty nekonečna) Funkce má maimum pro = 0 s hodnotou y =. 3
Jak napsat definici, aby se lišila od definice omezené funkce? To číslo, které je větší než hodnoty funkce musí být hodnota funkce pro nějaké. Definice? Funkce f ( ) D( f ) takové, že pro každé D( f ) 0 má maimum právě, když eistuje platí f ( ) f ( 0 ) Pedagogická poznámka: Všechny definice by studenti měli napsat samostatně. Pokud nás tlačí čas, část vyplňování přeskakujeme. Funkce, která je omezená zdola i shora se nazývá omezená. Př. 3: Najdi lineární funkci, která je omezená. Každá konstantní funkce je omezená. Př. : Nakresli grafy funkcí y = + 3 a y = + π a urči obor hodnot, zda jsou omezené, zdola, shora omezené, zda mají maimum či minimum a kdy jsou rostoucí a kdy klesající. - - - - H ( f ) = 3; ) omezená zdola není omezená má minimum pro = s hodnotou y = 3 (tedy minimum v bodě ; 3 ) rostoucí v intervalu ; ) klesající v intervalu ( ; - - - - H ( f ) = ( ; π omezená shora není omezená má maimum pro = s hodnotou y = π (tedy maimum v bodě ;π ) rostoucí v intervalu ( ; klesající v intervalu ; )
Pedagogická poznámka: Je dobré studenty upozornit na to, že při určování minima je potřeba uvádět obě souřadnice. Příkladně nakreslit na tabuli dva jednoduché příklady. Př. 5: Nakresli graf libovolné funkce, která splňuje najednou následující podmínky: D f = R a) ( ) b) funkce je omezená, má maimum 5 v bodě = 3, nemá minimum c) funkce je sudá d) funkce je rostoucí v intervalu 0; - - - - Řešení je mnoho, je nutné zkontrolovat, co nakreslí studenti. Shrnutí: Funkce je omezená, je-li omezený její obor hodnot. 5