DIFERCIÁLNÍ ROVNICE Úvod Df : Občjnou difrniální rovnií dál jn DR rozumím rovnii, v ktré s vsktují driva hldané funk jdné proměnné n n Můž mít pliitní tvar f,,,,, n nbo impliitní tvar F,,,,, Řádm difrniální rovni nazývám řád njvšší driva hldané funk v uvažované rovnii Řšním DR rozumím každou funki jdné proměnné, ktrá má drivai až do řádu n a dosazná do dané DR ji přvádí na idntitu Rozznávám tři druh řšní DR : a obné řšní občjné DR n-tého řádu má tvar f,,,, n, kd i jsou konstant b partikulární řšní j řšní, ktré dostanm z obného řšní volbou konstant singulární řšní j řšní, ktré nní možné získat z obného řšní žádnou volbou konstant Difrniální rovni prvního řádu Jsou to rovni tvaru f, pliitní tvar nbo F,, impliitní tvar Njjdnodušší DR řádu j rovni tvaru : f Jjí obné řšní určím intgraí a má tvar f d+ Př : Určt obné řšní DR Řšní : Obné řšní má tvar d+ + Zvolím-li za konstantu libovolné číslo, dostanm partikulární řšní Např pro j + pro j + atd Graf partikulárního řšní DR nazývám intgrální křivkou Gomtrik td přdstavuj obné řšní DR řádu soustavu intgrálníh křivk, závislou na paramtru viz obr
Obr V praktikýh úloháh často potřbujm řšní, splňujíí určité podmínk Podmínka v tvaru s nazývá Cauhova počátční podmínka Určuj partikulární řšní, ktré prohází bodm, Př: Určt partikulární řšní DR sin splňujíí počátční podmínku Řšní : sin d+ + os + Po dosazní,, dostanm Td partikulární řšní, vhovujíí dané počátční podmín má tvar : + os + Něktré tp DR řádu a jjih řšní a Difrniální rovni s proměnnými sparovanými Df: Difrniální rovni tvaru f g, kd f a g jsou funk spojité na určitýh otvřnýh intrvalh s nazývá rovni s proměnnými sparovanými d Při jjím řšní drivai formálně nahradím podílm difrniálů a rovnii upravím na tvar d d d f d Obné řšní DR rovni pak dostanm intgraí této rovni : f d g g, přičmž intgrační konstantu napíšm jn na jdnu stranu rovni Pokud nní DR s proměnnými sparovanými v základním tvaru, musím ji upravit tak, ab s na každé straně rovni vsktovala pouz jdna z proměnnýh Při dělní rovni přdpokládám, ž výraz, ktrými dělím, jsou nnulové Položím-li j rovn nul, můžm dostat singulární řšní
Př : Řšt difrniální rovnii + 3 Řšní : Provdm sparai d / d d d d / :, kd, d d + Intgrál na lvé straně řším doplněním na čtvr a zbtk a pak základním vzorm d d d + + ln ln Obné řšní dané DR má tvar Použitím vztahu ln ln + A A ln pro úpravu pravé stran rovni j ln + ln + ln ln ln K, kd K j konstanta Epliitní tvar obného řšní dostanm postupně úpravou rovni ln ln K ln + K Na závěr vštřím případ,,, ktré jsm v přdhozím výpočtu vloučili nní řšní dané DR, ln K j řšním dané DR, protož po dosazní dostanm idntikou rovnost; j to al jdno z partikulárníh řšní, protož j dostanm z obného řšní volbou konstant K, 3 j řšním dané DR, protož po dosazní dostanm idntikou rovnost; jd o singulární řšní, protož ho nmůžm získat z obného řšní žádnou volbou konstant K K Příklad aplika difrniálníh rovni Probíhá-li růst nějaké vličin v čas t, můžm vjádřit tnto růst jako funki času, tj ht Funk ht, kd t, s nazývá růstová funk Jjí grafiké vjádřní s nazývá růstová křivka Přírůstk h t h t, růstové vličin za lmntární časový intrval t t j rhlost růstu : h t h t v lim h t t t t t
Mzi rhlostí růstu a vlikostí tohoto růstu, tj mzi funkmi h t a h t často istuj vzájmný 4 vztah Z tohoto vztahu můžm pak odvodit příslušnou růstovou funki h t řšním tzv difrniální rovni Z hldiska matmatik s jdná o řšní této základní úloh : Na intrvalu I j dána spojitá funk f Hldám funki, ktrá na intrvalu I splňuj vztah f Řšním této rovni jsou všhn funk f d F + C, kd F j primitivní funk k funki f na I a C intgrační konstanta Příslušná růstová křivka má často tvar ponniální křivk mluvím pak o ponniálním růstu nbo tvar protáhlého písmn S např u logistikého růstu ht t b Homognní difrniální rovni Df: Nhť f j spojitá funk Difrniální rovni tvaru f s nazývá homognní DR Homognní DR lz substituí u přvést na rovnii s proměnnými sparovanými Postup řšní : z substitu vjádřím funki a drivujm ji : dosadím za a u u + u do zadané rovni : u + u f u du získanou rovnii řším sparaí, přičmž drivai u nahradím podílm d du + u f u d
du + u d f u d 5 du f u u d du d f u u Př: Určt partikulární řšní homognní DR splňujíí počátční podmínku + Řšní : Rovnii přvdm vdělním výrazm na tvar f : + a po úpravě +, td jd skutčně o homognní rovnii Zavdním substitu u a driva u + u do této rovni dostanm u u + u + u Tuto rovnii řším sparaí u u + u u du u d u u u du d Po intgrai ln u ln + ln ln K u u K K u Dosazním substitu u dostanm obné řšní dané DR : K K K Dosazním počátční podmínk do obného řšní dostanm K, takž hldané partikulární řšní j
6 Linární difrniální rovni Df: Nhť a, b jsou funk spojité na intrvalu I Rovni tvaru + a b s nazývá linární difrniální rovni řádu J-li b na I, nazývá s rovni homognní, v opačném případě jd o rovnii nhomognní Řšní homognní linární DR řádu můžm určit sparaí Výsldkm tohoto postupu j vzor Odvozní : + a d d a /: / d kd d a d ln a d+ a d ln ln a d a d Řšní nhomognní linární DR řádu určujm mtodou varia konstant Postup : njprv vřším příslušnou homognní DR a řšní označím a d, obné řšní nhomognní rovni budm hldat v tvaru a d, td konstantu nahradím zatím nznámou funkí, do zadané rovni dosadím za a a vjádřím funki, intgraí získané rovni určím hldanou funki Uvdný postup lz vjádřit vzorm a d a d + b d Př : Určt řšní DR + tg Řšní : Jd o homognní linární rovnii, kd a tg Jjí obné řšní určím td pomoí vztahu a d tg d sin d os ln os os os
7 Př: Určt partikulární řšní DR + 4 + pro počátční podmínku Řšní : Jd o nhomognní linární rovnii, ktrou njprv vdělím, abhom ji přvdli na základní 3 tvar + + 3 Td a, f + + Řšní příslušné homognní rovni má tvar a d - d + d + ln + ln + + Obné řšní nhomognní rovni budm hldat v tvaru a d + Do zadané rovni dosadím za : + a za + + + + + + + + + Z této rovni postupně vjádřím funki na lvé straně rovni obvkl vzniknou tři sčítani, z ktrýh s druhý a třtí odčtou + + + Rovnii intgrujm, abhom určili hldanou funki Obné řšní nhomognní rovni má td tvar + d + + + + + Pro výpočt partikulárního řšní dosadím do obného řšní počátční podmínku + + + 3 3 Hldané partikulární řšní dané difrniální rovni j + + +
3 Difrniální rovni druhého řádu 8 Df: Linární difrniální rovni řádu dál jn LDR řádu j rovni + p + q f, kd p, q, f jsou funk spojité na intrvalu I LDR řádu tvaru + p + q s nazývá homognní, LDR řádu tvaru + p + q f s nazývá nhomognní Obné řšní LDR řádu obsahuj nzávislé konstant, Počátční podmínk pro urční partikulárního řšní mají tvar, Df: Funk a s nazývají linárně závislé na intrvalu I, istuj-li rálné číslo k tak, ž pro všhna I platí k Pokud takové číslo nistuj, říkám, ž funk a jsou na intrvalu I linárně nzávislé Věta: Jsou-li funk a linárně nzávislá řšní homognní LDR řádu na intrvalu I, j funk + obné řšní této rovni na intrvalu I Funk a z přdhozí vět nazývám fundamntální sstém řšní homognní LDR ř Věta: Jsou-li funk a linárně nzávislá řšní homognní LDR řádu na intrvalu I a p j nějaké partikulární řšní odpovídajíí nhomognní LDR řádu na intrvalu I, pak funk + + j obné řšní nhomognní LDR řádu na intrvalu I p Z přdhozí vět vplývá, ž k urční obného řšní nhomognní LDR řádu stačí najít dvě linárně nzávislá řšní příslušné homognní LDR řádu a libovolné partikulární řšní nhomognní rovni Vštřování linární závislosti a nzávislosti funkí : Mají-li funk, drivai řádu, j možné o jjih linární závislosti či nzávislosti rozhodnout pomoí dtrminantu W,, ktrý nazývám wronskián Jsou-li totiž funk, LZ na intrvalu I, pak W, pro všhna I Pokud W, alspoň v jdnom bodě intrvalu I, jsou funk, LN Př : Rozhodnět, zda jsou funk Př : Ověřt, zda funk, 3 LZ nbo LN, tvoří fundamntální sstém řšní rovni + Linárně nzávislá řšní však umím najít pouz v něktrýh případh Jdn z nih bud v násldujíím odstavi podrobněji popsán
Homognní LDR řádu s konstantními kofiint 9 Jsou-li p a q konstantní funk, nazývá s LDR řádu rovnií s konstantními kofiint J to td rovni tvaru + p + q, kd p a q jsou konstant budm ji stručně značit [ ] L Hldjm řšní této rovni v tvaru r r r r Musí td platit + p + q r r + pr r + q r r r + pr+ q Funk r j td řšním rovni [ ], L pokud r + pr+ q Tuto rovnii s nznámou r nazý- vám haraktristikou rovnií pro rovnii L [ ] tím i obné řšní této rovni na základě násldujíí vět Věta: Nhť haraktristiká rovni + pr+ q r DR [ ] Jjí kořn r určují fundamntální sstém řšní a L má kořn r, r Potom a pro rálné různé kořn r r tvoří fundamntální sstém řšní funk r r, a obné řšní rovni L [ ] má tvar r r + b pro rálný dvojnásobný kořn r, r tvoří fundamntální sstém řšní funk r, r r a obné řšní rovni L [ ] má tvar r r + a pro komplní kořn r, a± bi tvoří fundamntální sstém řšní funk osb, a a sin b a obné řšní rovni L [ ] má tvar osb+ sin b Určování obného řšní homognní LDR řádu a podobně n-tého řádu s konstantními kofiint s td přvádí na řšní algbraiké rovni stupně n-tého stupně Př : Řšt difrniální rovnii + Řšní : Jd o homognní LDR řádu Příslušná haraktristiká rovni r + r má kořn r, r, td fundamntální sstém řšní tvoří funk, a obné řšní má tvar + Jd o rovni tvaru + p + q f Nhomognní LDR řádu s konstantními kofiint, ktré budm stručně značit [ ] f L Podl přdposldní vět j pro urční obného řšní této rovni potřba znát nějaké partikulární řšní této rovni a fundamntální sstém řšní příslušné homognní rovni Pak lz obné řšní napsat v tvaru : + + P
Partikulární řšní rovni [ ] f L j možné určit mtodou varia konstant Podobně jako v případě linární DR řádu ho budm hldat v tvaru, kd konstant v obném řšní příslušné homognní rovni nahradím funkmi,, td v tvaru P + Funk, lz určit řšním soustav : + + f Použijm-li přitom Cramrov vzor, kd dtrminant W, W f, W f nazvm wronskián, platí f, f Intgraí určím hldané funk, a obné řšní pak bud mít tvar + +, kd P + P Př: Určt řšní difrniání rovni + + Řšní : Příslušná homognní rovni má tvar +, Jjí haraktristiká rovni r r+ má řšní r, td fundamntální sstém řšní homognní rovni tvoří funk, a jjí obné řšní má tvar + Hldám-li partikulární řšní zadané rovni v tvaru P +, vhovují funk, soustavě + + + + Soustavu vřším Cramrovými vzori, přičmž W, W + + + +, W + + + Potom W W + d d ln+, d Partikulární řšní zadané rovni j td tvar + W d artg W + P + P + + ln+ + ln+ + artg, a jjí obné řšní má artg