Uiverzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikálí fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Ja Pechaec Aalýza úrokových měr Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské práce: Doc. RNDr. Ja Hurt, CSc. Studijí program: Matematika, Fiačí matematika
Na tomto místě chci poděkovat vedoucímu mé práce, Doc. RNDr. Jau Hurtovi, CSc., za ceé rady, připomíky a hlavě za čas, který mi věoval. Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou práci apsal samostatě a výhradě s použitím citovaých prameů. Souhlasím se zapůjčováím práce a jejím zveřejňováím. V Praze de 3. 5. 006 Ja Pechaec
Obsah. ÚVOD... 5. VOLATILITA... 6.. Vztah volatility k výosu a riziku... 6.. Modelováí volatility... 6.3. Formálí defiice volatility... 6.4. Využití váhového systému k odvozeí modelů... 7 3. ARCH MODELY... 9 3.. Představeí ARCH modelů... 9 3.. Jedoduchý ARCH model... 9 3.3. Model ARCH ()... 9 3.4. Příklad modelu založeém a ARCH modelu... 4. GARCH MODELY... 4.. Představeí GARCH modelů... 4.. GARCH(,)... 4.3. Obecý model GARCH... 4.4. Model EWMA... 3 5. POUŽITÍ MODELU GARCH(,) V PRAXI... 4 5.. Metoda maximálí věrohodosti... 4 5.. Použití MMV a modelu GARCH(,)... 5 5.3. Využití GARCH(,) pro předpověď budoucí volatility... 7 6. SEZNAM LITERATURY... 9 3
Název práce: Aalýza úrokových měr Autor: Ja Pechaec Katedra: Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské práce: Doc. RNDr. Ja Hurt, CSc. E-mail vedoucího: hurt@karli.mff.cui.cz Abstrakt: V předložeé práci studujeme modelováí volatility a historických ceách amerických akcií S&P500 a NASDAQ. Používáme k tomu elieárí modely ARCH a GARCH. Nejdříve uvádíme, jak je lze jedoduše a ituitivě odvodit. U obou modelů uvádíme méě i více formálí defiici. Pojedáváme zde také o modelu EWMA, jako speciálím případu modelu GARCH(,). Dále ilustrujeme metodu maximálí věrohodosti ve spojeí s modelem GARCH(,). Nakoec využijeme model GARCH(,) k aalýze předpovídáí budoucí volatility. K modelováí je použit softwarový systém Mathematica 5.. Klíčová slova: volatilita, akcie, ARCH, GARCH modely. Title: Aalysis of Iterest Rates Author: Ja Pechaec Departmet: Departmet of Probability ad Mathematical Statistics Supervisor: Doc. RNDr. Ja Hurt, CSc. Supervisor s e-mail address: hurt@karli.mff.cui.cz Abstract: I the preset work we study modelig of volatility for historical prices of America stocks S&P500 ad NASDAQ. We use oliear ARCH ad GARCH models. At first, we explai how we simply derive them. We show less ad more formal defiitio of models. We deal with EWMA model as a special GARCH(,) model. We illustrate maximum likelihood method for GARCH(,) model. Fially, we use GARCH(,) model to aalyze future volatility forecasts. We have used computer algebraic system Mathematica 5. for modelig. Keywords: volatility, stocks, ARCH, GARCH models. 4
. Úvod K ejčastějším aplikacím fiačí matematiky již tradičě patří aalýza ceých papírů. Jedím z jejich základích prvků jsou, spolu s dluhopisy a fiačími deriváty, akcie. Akcie jsou obchodovatelé ceé papíry, které dávají akcioáři, tedy držiteli akcií, určitá práva eje a řízeí podiku, ale poskytuje také právo a část zisku společosti. Ve své klasické podobě (commo stock) jsou akcie a rozdíl od dluhopisů založey eje a kapitálovém, ale i a dividedovém zisku a i z tohoto důvodu eí zisk z akcií zaruče. Pro ivestory, kteří ve svém ivestičím portfoliu mohou mít růzé druhy akcií, jsou důležité ásledující ukazatele: - výos a riziko, které bývají u akcií vyšší ež u dluhopisů s vysokým ratigem, - volatilita, eboli rizikové kolísáí výosových měr, která ale bývá rověž vyšší, což je ale v protikladu vyššího výosu, - likvidita, která bývá u ejobchodovatelějších akcií začě vysoká. V této práci se zaměříme a druhý jmeovaý výzamý ukazatel, volatilitu, v souvislosti s výosem a rizikem akcií. Budeme zkoumat její historický vývoj u dvou idexů amerických akcií (NASDAQ a S&P500) a pokusíme se o staoveí předpovědi budoucí volatility. Pro modelováí volatility z časových řad použijeme ekoometrické modely typu ARCH a GARCH s využitím softwarového systému Mathematica, ve kterém budeme provádět všechy výpočty a modelováí. Modely ARCH a GARCH se využívají v růzých oblastech fiačí matematiky, jako je apříklad teorie oceňováí aktiv, aalýza časových řad ebo optimalizace portfolií. Tyto modely, jak dále ukážeme podle [], lze jedoduše odvodit při výpočtu hodoty v riziku VaR (Value at Risk), která již ovšem eí předmětem této práce. 5
. Volatilita.. Vztah volatility k výosu a riziku Výos akcie (stock yield) je míra zisku plyoucí z ivestice do určité akcie. Výosy akcie za jedotlivá období můžeme obecě považovat za áhodé veličiy, které abývají hodot dle svého pravděpodobostího rozděleí. Teto přístup je vhodý zejméa v situaci, kdy apříklad potřebujeme odhadovat budoucí výosy. Středí hodota těchto áhodých veliči se azývá středí výos (mea retur). Směrodatou odchylku azýváme riziko (risk) eboli volatilita (volatility). Směrodatá odchylka udává průměré vychýleí od průměru a tedy volatilita udává průměré vychýleí od průměrého výosu. Akcie s vysokou fluktuací mající velkou směrodatou odchylku jsou daleko rizikovější ež akcie s ižší fluktuací mající meší volatilitu... Modelováí volatility Moho časových řad, speciálě fiačích, jako apříklad výosy akcií ebo směé kurzy, vykazují začé změy rozptylu během času. Vývoj těchto změ je často objektem pozorováí aalytiků časových řad, kteří se pak pokouší sestrojit ějaký model zachycující pozorovaé chováí rozptylu. Existuje možství růzých způsobů, jak modelovat změy v rozptylu. Základím pravidlem je brát časové řady výosů u jako posloupost ezávislých, stejě rozděleých áhodých veliči ε, =,..., N, s jedotkovým rozptylem, ásobeou faktorem σ (směrodatou odchylkou): u = σ ε ε IID(0,). (), Jedou z možostí jak modelovat rozptyl, resp. volatilitu, je pokusit se o přímý přístup, ve kterém je volatilita modelováa stochastickým procesem, jako apříklad autoregresí. Takové modely se azývají stochastické modely rozptylu (stochastic variace models). Alterativím přístupem jsou ARCH modely, ve kterých je rozptyl modelová z miulých pozorováí. My se dále zaměříme pouze a druhý zmíěý přístup, ARCH modely, které ásledě zobecíme a GARCH modely..3. Formálí defiice volatility V dalším budeme uvažovat časový horizot =,..., N o délce de. Ozačme σ volatilitu výosu z akcie v -tý de jako odhad a koci de -. Kvadrátem volatility v -tý de σ defiujeme rozptyl eboli míru kolísáí. Dále ozačme S ceu akcie a koci -tého de. Výos u mezi kocem -tého a kocem de - defiujeme jako S u = l. () S 6
Nestraý odhad rozptylu v -tý de založeý a posledích pozorováí výosů u,..., u je potom ˆ σ ( ), (3) = u i u kde N a ū je aritmetický průměr výosů u u ui i = =. (4) Pro účely výpočtu VaR se vzorec (3) pro odhad rozptylu obvykle měí ěkolika způsoby: ) výosy u ově defiujeme jako poměrou změu cey akcie mezi kocem de - a kocem -tého de tak, že u S S =, (5) S ) dále za ū uvažujeme kostatě 0, 3) koečě - ahradíme, čímž obdržíme maximálě věrohodý odhad. Právě popsaé tři změy vedou k malým změám odhadu rozptylu, který počítáme. Vzorec (3) pro odhad rozptylu se tedy změí a kde u jsou určey (5). ˆ σ =, (6) u i.4. Využití váhového systému k odvozeí modelů Je zřejmé, že rovice (6) dává všem pozorovaým u stejou váhu. Sledujeme-li současou úroveň volatility, pak ás to přirozeě utí klást větší důraz a ovější pozorováí a dávat jim tak větší váhu. Upravme proto odhad rozptylu (6) ásledujícím způsobem: ˆ σ = α, (7) iu i kde α i jsou ezáporé váhy přiřazeé pozorováím před i dy, protože chceme dát meší váhu starším pozorováím, jiak řečeo α i < α j právě tehdy, když i > j. Součet všech vah musí být vždy rove jedé a proto αi =. (8) 7
Dalším zobecěím předešlé úvahy prezetovaé v [], kdy jsme dostali rovici (7), budeme předpokládat, že záme dlouhodobou průměrou volatilitu V, které bychom také měli přiřadit ějakou váhu. Tato úvaha ás vede k vyjádřeí V iu i ˆ σ = γ + α, (9) kde V je dlouhodobá volatilita a γ je váha V. Protože součet vah musí být opět rove jedé, pak γ + αi =. (0) Vztah (9) je zám jako ARCH() model, který budeme podroběji zkoumat v ásledující kapitole. Nahradíme-li v rovici γ V za ω, obdržíme variatu modelu, kde se ω považuje též za ezámý parametr: iu i ˆ σ = ω + α. () 8
3. ARCH modely 3.. Představeí ARCH modelů Třída modelů ARCH (Autoregressive Coditioal Heteroskedasticity) byla poprvé představea Robertem Egelem (98) pro modelováí volatility časových řad v jakémkoliv okamžiku i pro její předpověď. ARCH modely jsou začě používaé ve fiačím empirickém výzkumu i dalších statistických oblastech. Jejich výhodou je především jedoduchost formulace a jedoduchá tvorba odhadů. Než přejdeme k modelu, který jsme popsali rovicí (9), resp. (), zaměříme se ejprve a model, který byl v pořadí prvím modelem typu ARCH. 3.. Jedoduchý ARCH model Prvím modelem typu ARCH, který představil Egel v roce 98, je ARCH(), který je také ěkdy azývá model ARCH prvího řádu. Teto model vychází z teze, že záme a použijeme pouze posledí pozorováí výosu. V defiici odhadu rozptylu σ = ω + α ω > 0, α 0 (), u se požaduje, aby parametr ω byl kladý a zároveň α bylo ezáporé. V určitých případech můžeme odhadout také celkový průměrý rozptyl V z pozorovaých dat, proto můžeme použít vyjádřeí odhadu rozptylu, kde ω ahradíme γ V, kdy opět požadujeme kladou hodotu parametru γ. 3.3. Model ARCH () Výše uvedeý model, jedoduchý ARCH(), však eí zcela dostačující, protože rozptyl závisí pouze a jedom pozorováí. Rozptyl v předcházejícím časovém období by mohl jedoduše geerovat pozorováí blízké ule s výsledkem, který by k současému rozptylu mohl být relativě malý. Zpravidla by každý očekával změu rozptylu daleko více pomalejší. To vyvolává potřebu rozšířit paměť modelu pro větší možství pozorovaých dat. Tedy vyžadujeme zapojeí více itervalů do rovice (), což ám dává ový model pro odhad rozptylu σ = ω + αu + αu +... + αu, kde ω > 0, α 0 pro i =... i (3) Teto model je ozačová jako ARCH() proces. Pro odhad rozptylu využíváme posledích pozorováí, což je ozačeo v ázvu modelu. Vidíme tedy, že v předešlém odstavci zmíěý model ARCH() je typem ARCH() s =. V praxi se zdá být užitečé, klademe-li a model ARCH() ějaká omezeí a jeho parametry, která pak vedou k více spolehlivějšímu modelu. Můžeme uvést příklad lieárího poklesu, který může být urče třeba ásledově: 9
9 αi = α i, i =,...,8, (4) 36 čímž poecháme pouze dva volé parametry ( α, ω ) pro odhadováí. Z více formálího i matematického hlediska je model ARCH() defiovaý ásledově: E[ u u ] = 0, [ ] = ω + αiu i, V u u kde u jsou, v ašem případě, výosy ce akcií, kde =,..., N, N, ω = γv a γ, α i, jsou váhy pro i =,...,. Nelieárí autoregresiví specifikace výosu je pak u 0 ε ω αiu i kde časová chyba ε je áhodá veličia, pro kterou (5) = + +, (6) E[ ε u ] = 0, V[ ε u ] =. (7) Pozameejme, že porováme-li vzorec (6) se vzorcem () uvedeém v odstavci., zjistíme, že jsou avzájem ekvivaletí. Obrázek Závislost autokorelace a parametru α 0
Pro ilustraci dyamických vlastostí ARCH modelů uvažme model s = a ω = s rozdílými hodotami parametru a. Na prví pohled vidíme, že čím větší je parametr a (Obrázek ), tím větší je autokorelace volatility. Tato důležitá vlastost je dokoce zřetelější tehdy, když uvažujeme kvadráty proměých (Obrázek ). Obrázek Závislost kvadrátů autokorelace a parametru α 3.4. Příklad modelu založeém a ARCH modelu Jedím z výzamých modelů, které rozšiřují možosti ARCH modelu, je ARCH-M model. Teto model byl publiková v roce 987 skupiou Egel, Liliea a Robbis. Ve fiačí praxi se používá při studii prémie za riziko (risk premium) tím, že zavádí volatilitu do rovice se středí hodotou. Z tohoto důvodu se proces azývá ARCH-M (ARCH i mea) kvůli vlivu středí hodoty. Model lze zapsat ásledově: y = x b + cσ + u, t t t t kde u t je GARCH a σ = V[ u u ]. t t t Koeficiet c můžeme iterpretovat jako jedotkovou ceu rizika. (8)
4. GARCH modely 4.. Představeí GARCH modelů Nyí přejdeme k velmi důležitým modelům pro modelováí rozptylu, resp. volatility časových řad, které vzikly a základě ARCH modelů, k tzv. GARCH modelům (Geeralized Autoregressive Coditioal Heteroskedasticity). Modely GARCH byly avržey T. Bollerslevem v roce 986. Jak již bylo řečeo dříve, GARCH modely jsou zobecěím ARCH modelů. 4.. GARCH(,) Stejě jako u ARCH modelů začeme s ejjedodušším avšak zároveň ejpopulárějším GARCH modelem, kterým je GARCH(,). Pomocí ěj budeme v ásledující, páté kapitole modelovat volatilitu z historických dat. Ozačeí (,) zameá, že odhad rozptylu je založe a posledím pozorováí u a posledím odhadu rozptylu. Srováme-li defiici tohoto modelu a modelu ARCH (), zjistíme, že je rozšířeím o iformaci o rozptylu z předchozího období σ = γv + αu + βσ, (9) kde γ je váhou pro V, α je váhou pro předchozí výos u a β je váhou pro předchozí rozptyl σ. Protože součet vah musí být vždy rove jedé, tak γ + α + β =. (0) Změíme-li rovici (4) tak, že přepsat do podoby γv = ω, můžeme model GARCH(,) σ = ω + αu + βσ. () Tato formulace modelu je obvyklá pro odhad parametrů. Jakmile ω, α a β máme již odhaduté, můžeme počítat γ jako α β. Dlouhodobý rozptyl V pak spočítáme jako ω / γ. Pro stabilí proces GARCH(,) požadujeme, aby α + β <. Jiými slovy, váhy aplikovaé a dlouhodobý rozptyl jsou kladé. Na závěr této kapitoly ukážeme jede velmi důležitý speciálí případ modelu GARCH (,). Nejdříve se ale podíváme a obecou formulaci GARCH modelů. 4.3. Obecý model GARCH Defiice obecého GARCH(p,) modelu využívá posledích pozorovaých výosů a posledích p aměřeých rozptylů:
p = + iu i + ju j j= σ ω α β σ kdeω > 0, α, β 0 pro i =..., j =...p. i j, () Přesá matematická defiice GARCH(p,) modelu je sestavea podobě jako ARCH() model až a rozšířeí o iformaci o miulých rozptylech: E( u u ) = 0, p ( ) = ω + αi i + β j σ j. j= V u u u u (3) 4.4. Model EWMA Speciálím případem GARCH(,) je model EWMA (Expoecially Weighted Movig Average). V tomto modelu volíme parametry ásledově: γ = 0, α = -λ a β = λ. Proto teto model lze zapsat ásledujícím způsobem: σ = ( λ) u + λσ. (4) Podíváme-li se pozorě a uvedeou defiici modelu EWMA, zjistíme jeho zajímavou vlastost, kdy potřebujeme mít v paměti uložeo relativě málo dat oproti modelu GARCH(,). V jakémkoliv čase si potřebujeme pamatovat pouze okamžitý odhad miulého rozptylu a posledí pozorováí aměřeého výosu. Vždy, když získáme další pozorováí výosu akcií, spočítáme ovou hodotu u a použijeme rovici (4) k aktualizaci okamžité hodoty odhadu rozptylu. Starý odhad rozptylu a starou hodotu výosu pak můžeme zapomeout. Teto model byl avrže k tomu, aby sledoval libovolě velké změy ve volatilitě. Předpokládejme, že astae velký pohyb (ať už směrem ahoru ebo dolů) cey akcií a tedy i jejich výosů de -, proto je u velké. Z rovice (4) vidíme, že to silě ovliví odhad rozptylu a tedy i volatility. V obou případech to zvýší hodotu jejich odhadu. Váha λ u miulého rozptylu určuje, jak citlivý je odhad deího rozptylu, resp. volatility a ejovější pozorováí u. Nízká hodota λ vede k výrazému ohodoceí posledího pozorováí u a tím i k přiřazeí meší váhy posledímu rozptylu. Naopak vysoká hodota λ přiáší odhady deí volatility, které reagují relativě pomalu a ové iformace poskytuté hodotou posledího výosu u. 3
5. Použití modelu GARCH(,) v praxi 5.. Metoda maximálí věrohodosti Zásadí otázkou při aalýze volatility akcií s použitím výše uvedeých modelů je, jak v těchto modelech odhadout jejich parametry z historických ce akcií. Prezetujeme zde velmi rozšířeý postup zámý jako metoda maximálí věrohodosti MMV (maximum likelihood method), která poskytuje vhodou volbu hodot parametrů. Metodu budeme ilustrovat a modelu GARCH(,). Nejprve ukážeme velmi jedoduchý příklad převzatý z [], abychom astíili použitou metodu. Předpokládejme, že testujeme amátkově 0 růzých akcií v jistém di a zjistíme, že cea jedé z ich v teto de klesá a cey ostatích devíti akcií zůstaou stejé ebo rostou. Co je aším dobrým odhadem podílu klesající akcie se všemi akciemi? Přirozeá odpověď je 0%. Dále uvidíme, že teto výsledek ám poskytuje metoda maximálí věrohodosti. Předpokládejme, že podíl akcií s klesající ceou je p. Pravděpodobost, že 9 cea jedé akcie klesá a dalších devíti roste je p( p). Použijeme-li MMV, je 9 ejlepší odhad p, který maximalizuje p( p), pouze jede. Položeím derivace podle p tohoto výrazu rovo 0, ajdeme, že hodota p = 0. maximalizuje výraz. To ukazuje, že maximálě věrohodý odhad (MVO) p = 0% je tedy stejý jako aše očekáváí. Odhady parametrů v modelu s kostatím rozptylem Nejprve se zabývejme problémem odhadů rozptylu z pozorováí, jestliže výchozí rozděleí u je ormálí a rozptyl považujeme za kostatí. Předpokládejme, že aše pozorováí u,..., u N jsou ezávislá, stejě rozděleá a středí hodota je ulová. Ozačme rozptyl σ. Hustota pro -té pozorováí u je hustota ormálího rozděleí s ulovou středí hodotou a rozptylem σ : f u u =. (5) πσ σ ( ) exp Sdružeá hustota všech N pozorováí je pak N u i f ( u,..., un ) = exp πσ σ. (6) Použitím MMV je ejlepším odhadem rozptylu σ hodota maximalizující výraz (6). Maximalizace je ekvivaletí maximalizaci logaritmu tohoto výrazu, což ám ulehčí práci při výpočtu, protože budeme pracovat se součtem místo součiem. Vezmeme-li logaritmus výrazu (6) a zaedbáme multiplikativí faktory, vidíme, že potřebujeme maximalizovat výraz 4
eboli u N i l( σ ) σ, (7) u N i N l( σ ). (8) σ Derivací výrazu (8) podle σ a položeím výsledku rovo 0, uvidíme, že maximálě věrohodý odhad rozptylu σ, je ˆ σ =. (9) N ui N Odhady parametrů při měící se volatilitě Nyí předpokládejme, že odhady rozptylu zkoumáme v podmíkách měící se volatility. Defiujme σ jako odhad rozptylu pro -tý de. Předpokládáme, že distribučí fukce u podmíěá rozptylem má ormálí rozděleí. Aalogickým způsobem jako v předcházejícím odstavci zjistíme, že výraz který chceme maximalizovat, je N u i f ( u,..., un ) = exp. (30) πσ i σ i Dále zlogaritmováím výrazu (30) vidíme, že jeho maximalizace je ekvivaletí s maximalizací věrohodostí fukce N u i f ( u,..., un ) = l( σ i ) σ. i (3) Pozorujeme, že toto vyjádřeí je stejé jako výraz v rovici (7) až a to, že σ je ahrazeo σ. Zde ale již zřejmě elze použít jedoduchý způsob výpočtu odhadu rozptylů. Proto musíme odhady rozptylu hledat ějakou iteračí metodou tak, abychom maximalizovali (3). Pro výpočty proto použijeme k hledáí parametrů systém Mathematica 5., ve kterém využijeme ějakou zabudovaou iteračí metodu. 5.. Použití MMV a modelu GARCH(,) Pro ilustraci metody maximálí věrohodosti a modelu GARCH(,) použijeme historické cey amerických akcií S&P500 a NASDAQ v týdeích itervalech od leda roku 97 do duba roku 006 pořízeé z údajů a iteretových strákách [7]. Defiici délky mezi pozorováími proto změíme a týde. 5
cea 500 50 000 750 500 50 97 976 98 986 99 996 00 006 rok a cea 5000 4000 3000 000 000 97 976 98 986 99 996 00 006 rok b Obrázek 3 Vývoj ce amerických akcií S&P500 (a) a NASDAQ (b) Než začeme používat metodu maximálí věrohodosti a historických datech, je důležité si ejprve data připravit do podoby, ze které mohou být ějakým způsobem zpracováa. Nejjedodušším přístupem je uspořádat si je do ějaké přehledé tabulky. Ukázka, jak takové uspořádáí může vypadat a ze kterého také vycházíme, je zobrazea v ásledující tabulce (Tabulka ). V této zkráceé tabulce jsou data akcií S&P500. Datum Týde S u σ l σ u / σ 04.0.97 9,9.0.97 93,03 0,0096 8.0.97 3 94,88 0,0988606 0,0000830 4,63364 5.0.97 4 95,88 0,0053963 0,0007 8,07465 0.0.97 5 96,93 0,00959 0,000904 8,059985 08.0.97 6 98,43 0,0547509 0,0003635 7,43940 0.03.006 838 30,95-0,0038935 0,000496 8,80093 7.03.006 839 94,87-0,00603 0,000587 8,5888 03.04.006 840 95,50 0,00048654 0,00046 8,447668 57,0359 Tabulka Uspořádáí dat pro MMV V prvím sloupci tabulky je datum de, ve kterém byla cea akcií zazameáa. Ve druhém sloupci je pořadí týde, resp. de měřeí, poskytující cey akcií. Třetí sloupec ukazuje ceu akcie S v -tý týde. Čtvrtý sloupec sleduje poměrou změu cey akcií mezi týdem - a. To je u = ( S S ) / S, což je shodé s úpravou výpočtu výosu (5) v odhadu rozptylu pro výpočet VaR. Pátý sloupec ukazuje odhad rozptylu σ pro -tý týde podle modelu GARCH(,). 6
Koečě šestý sloupec ukazuje míru věrohodosti l σ u / σ. Prví čtyři sloupce získáme velmi jedoduše ze sledovaých dat. Pátý a šestý sloupce ovšem musíme ějak spočítat. Doplěí tabulky začeme tím, že pro třetí týde položíme odhad rozptylu rove u. Pro ásledující týdy se k vypočítáí odhadu rozptylu používá rovice (9). Je zřejmé, že hodoty v pátém a šestém sloupci jsou založey a zkoušeí okamžitých odhadů ω, α a β. Nás zajímá volba ω, α a β tak, abychom maximalizovali součet všech hodot v šestém sloupci. Teto přístup proto vyžaduje pro hledáí parametrů ějakou iteračí metodu. Jak jsme již v předchozím textu azačili, k hledáí parametru použijeme systém Mathematica 5.. V ěm využijeme přídavý balík fukcí Time Series. Pomocí ěj zjistíme, že hledaé optimálí hodoty parametru jsou u akcií S&P500 α = 0, 0945300, β = 0,88409700 a ω = 0,0000093 a u akcií NASDAQ α = 0,400394, β = 0,897700 a ω = 0,0000304. To zameá, že maximum věrohodostí fukce (3) spočítaé ámi zvoleou koečou iteračí metodou je 57,03, resp. 54,848. Dlouhodobý rozptyl V je pro akcie S&P500 rove 0, 0000093 V = ω 0, 000549 α β = 0, 03700 = a dlouhodobá volatilita je 0,000549 = 0,0669 =, 6% týdě. Dlouhodobý rozptyl V je pak pro akcie NASDAQ rove 0, 0000304 V = ω 0, 0007696 α β = 0, 0309796 = a dlouhodobá volatilita je 0,0007696 = 0,07680 =,76% týdě. 5.3. Využití GARCH(,) pro předpověď budoucí volatility rove eboli Substitucí γ = ( α β ) v rovici (9) je odhad rozptylu pro -tý týde σ = ( α β ) V + αu + βσ, (3) σ V = α( u V ) + β ( σ V ). (33) Pro +k-tý de v budoucosti pak máme σ V = α( u V ) + β ( σ V ). (34) + k + k + k Středí hodota u + je σ +, což ám dává k k 7
E σ V = α + β E σ V. (35) [ + k ] ( ) [ + k ] Opakovaým použitím této rovice získáme k E[ σ k V ] = ( α + + β ) ( σ V ), (36) eboli k E[ σ + k ] = V + ( α + β ) ( σ V ). (37) V případě modelu EWMA kombiace rovice (37) a omezeí α + β = ukazuje, že očekávaý budoucí rozptyl se rová současému rozptylu. V případě modelu GARCH(,) kdy α + β < pak koečý výraz v rovici postupě klesá s rostoucím časem. Obrázek 4 Očekávaý rozptyl v závislosti a čase Obrázek 4 ukazuje očekávaou cestu rozptylu v situaci, kdy současý rozptyl je odlišý od dlouhodobého průměrého rozptylu V. Na levém obrázku (a) je okamžitý rozptyl vyšší ež V, a pravém (b) je ižší. V ašem příkladě u akcií S&P500 je α + β = 0,896487 a V = 0, 000549. Předpokládejme, že současý rozptyl za týde je 0.00006. Za 50 týdů je očekávaý rozptyl rove 50 0, 000549 + 0, 9786900 (0, 00006-0, 000549) = 0, 0003589. Odhad rozptylu za 00 týdů je 00 0, 000549 + 0,9786900 (0, 00006-0, 000549) = 0, 00050549, což odpovídá ašemu očekáváí o kovergeci k dlouhodobému rozptylu V a tedy i o kovergeci k dlouhodobé volatilitě, kdy očekávaá volatilita za 00 týdů,48% je velmi blízko dlouhodobé volatilitě. 8
6. Sezam literatury [] Cipra, T.: Matematika ceých papírů, HZ Praha, Praha, 000. [] Hull, J.C.: Optios, Futures, ad other Derivative Securities, Pretice- Hall, Uper Saddle River, 000. [3] Jasiak, J., Gourieroux Ch.: Fiacial Ecoometrics, Priceto Uiverzity Press, New Baskerville, 00. [4] Fuetes, R.: ARCH-type Models, Term paper, Uiversity of Esse, 00. [5] Harvey, A.: Time Series Models, Harvester Wheatsheaf, Hertfordshire, 993. [6] Rose C., Smith M.: Mathematical Statistics with Mathematica, Spriger- Verlag, New York, 00. [7] http://fiace.yahoo.com. [8] Wolfram, S.: The Mathematica Book, 5 th ed., Woflram Media, 003. 9