nalýa a pracování signálů 5. Z-transformace
Z-tranformace je mocný nástroj použitelný pro analýu lineárních discretetime systémů Oboustranná Z-transformace X j F j x, je omplexní číslo r e r e Oboustranná transformace onečné řady je výonová Laurentova řada proměnné. Hodnoty se reslí v tv. rgandově diagramu -rovina Společně s hodnotou X se uvádí i oblast, pro terou X onverguje tv. oblast onvergence ROC region of convergence. Pro dvě odlišné řady může existovat stejná Z-transformace, ale s odlišnou oblastí onvergence, proto je nutné oblast onvergence uvádět. Poud se ROC neuvádí uvažuje se obvyle pravostranný signál.
Pro ROC platí následující pravidla : signál onečné dély ROC X je celá rovina, romě =0 popř. = pravostranný x[n] ROC X je vně ružnice s poloměrem větším, než je veliost v absolutní hodnotě největšího pólu levostranný signál ROC X je vnitře ružnice s poloměrem menším, než v absolutní hodnotě veliost nejmenšího pólu oboustranný signál ROC X je uvnitř meiruží ohraničeného největším a nejmenším pólem v absolutní hodnotě
Vlastnosti oboustranné Z-transformace
Převod signálu do Z oblasti: pro signály onečné dély polynomem proměnné pro ostatní signály - převodní tabula.
Z-rovina, nuly, póly Z- transformace le u většiny signálů vyjádřit jao racionální lomenou funci, terá má tvar: 0 0 B B B B D X M M M M Onačme: ořeny jao i nuly O ořeny D jao p póly X M p p p D K X
Diagram nul a pólů H 3 4 4 5
Přílad : Jaá -transformace odpovídá následujícímu diagramu nul a pólů?
Přenosová funce systému Odeva systému y[n] s impulní odevou h[n] je dána onvolucí ] [ ] [ ] [ n h n x n y v Z oblasti ] [ ] [ ] [ ] [ X Y H H X Y
LTI systém může být popsán: přenosovou funcí impulní odevou diferenční rovnicí diagramem nul a pólů H[] je přenosová funce systému a je definována poue pro ustálený LTI systém jao poměr Z-transformace výstupu Z-transformaci vstupu. H je Z-transformace impulní odevy h[n] M M B B B X Y H 0 0
Kaualita a stabilita LTI systému V časové oblasti - auální systém má impulní odevu h[n]=0, pro n<0. Pro impulní odevu tohoto systému pa platí, že počet nul nesmí přesáhnout počet pólů stupeň čitatele musí být menší než stupeň jmenovatele. Stabilita Bounded Input Bounded Output na omeený vstup reaguje systém omeeným výstupem. ROC oblast onvergence stabilního LTI systému vždy ahrnuje jednotovou ružnici a platí: stabilní a auální systém: - všechny póly leží uvnitř jednotové ružnice stabilní a antiauální systém všechny póly leží vně jednotové ružnice
Spojování systémů Kasádní spojení: X[] Y [] H [] H [] Y[] Y[]=H []Y []=H []H []X[] =H [] H []X[] H[]=H [] H [] Obecně pro n asádně spojených systémů : H[]=H [] H [] H n [] Paralelní spojení: X[] H [] Y Y[] H [] Y Y[]=H []X[]+ H []X[] = H []+H []X[] H[]=H []+H [] Obecně pro n paralelně spojených systémů : H[]=H [] + H [] + +H n []
Realiace přenosové funce
Pro obecnou diferenční rovnici:
Duální strutura filtru Transposed realiation Vycháí přímé formy II a provede se přelopením áměna vstupů a výstupů, otočení tou signálu a áměna sumátorů a spoje.
Sériová asádní realiace filtrů Přenosová funce systému může být buˇvýsledem součinu dílčích přenosových funcí v asádním apojení Systém -tého řádu může být realiován jao asádní spojení systémů. rádu a. řádu poud je liché
Paralelní realiace filtrů Přenosová funce systému může být buˇvýsledem součtu dílčích přenosových funcí v paralelním apojení Přenosovou funci systému -tého řádu můžeme roložit na parciální lomy a realiovat systém jao paralelní spojení subsystémů. popř.. řádu.
Přílad:. aleněte asádní realiaci filtru popsaného přenosovou funcí 6 6 6 H. aleněte asádní realiaci filtru popsaného přenosovou funcí 0.5 H
Obecně: Inverní Z-transformace x n X[ ] n d V praxi se obecný vorec téměř nepoužívá a inverní transformace se určuje ombinací následujících působů :. přímý převod. dělení polynomů 3. rolad na parciální lomy. Přímý převod: - pro jednoduché případy, dy je Z- transformace vyjádřena onečnou řadou. X[]= 3 - +5-3 + -4 x[n]=3[n-] + 5 [n-3] + [n-4] x[n]={0, 3, 0, 5, } ebo X[]= -5 + 5 - - - x[n]=[n+] - 5 [n+] + 5 [n-] - [n-] x[n]={, -5, 0, 3, 5, - }
Dělení polynomů: Většinou se používá poud chceme vyjádřit poue prvních pár členů odevy systému - je to obvyle rychlejší než rolad na parciální lomy. Předpoládejme, že : X D pro pravostranný signál: uspořádáme a D podle sestupných mocnin a určíme výslede dělení polynomů dostaneme mocninou řadu proměnné - pro levostranný signál: uspořádáme a D podle vestupných mocnin dostaneme mocninnou řadu proměnné H[ ] 4-4 : -+ = - -3 - -4-3 + h[n]= [n-] - 3[n-] - 4[n-3] h[n]={0,,-3,-4, }
Rolad na parciální lomy : - princip metody roladu spočívá v tom, že výra pro Z-transformaci se roloží na součet lomů, jejichž inverní transformaci le najít v tabulách. - rolad se provádí v ávislosti na pólech tj. ořenech jmenovatele. Rolišujeme případy:. Rodílné póly- reálné p m m m Y p de p p p p p p P X Y Rodílné póly - omplexní r r r r p p X Y
. Opaující se póly - Y obsahuje +r pól r n n n r r Y r d d n Y r d d Y r de r r r X Y!, 0 0
Zpětná Z-transformace tabula
Zpětná Z-transformace rolad na parciální lomy
Jednostranná Z-transformace používá se při analýe auálních systémů a je definována následujícím vtahem 0, x X Vlastnosti jednostranné Z-transformace jsou podobné jao u oboustranné, jsou poue upravené pro práci s auálními signály. ] [ ] [ [0] ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ y y y Y n y y y Y n y y Y n y Posun doprava:
Posun doleva: y[ n ] Y y[0] y[ n ] Y y[0] y[] y[ n ] Y y[0] y[] y[ ] Periodicý signál: x p X [ n] u[ n] X de x [n] je první perioda signálu x p [n] Věta o počáteční hodnotě: Věta o oncové hodnotě: x[ 0] lim X lim x[ n] n lim X
Využití Z-transformace analýe systémů Systémy popsané diferenční rovnicí:. převod diferenční rovnice do Z oblasti s ohledem na vlastnosti posuvu u jednostranné Z transformace a počáteční podmíny. výpočet ZIR, ZSR a celové odevy 3. pětná transformace Přílad. Řešte diferenční rovnici a určete ZIR, ZSR y[n]-0.5y[n-] = 0.5nu[n] pro y[-]= -
Systémy popsané přenosovou funcí:. určení ZSR: Z přenosové funce určit Y=XH a provést pětnou tranformaci. určení ZIR: určit diferenční rovnici, převést a postupovat jao u systémů popsaných diferenční rovnicí. Přílad : Pro adanou přenosovou funci H, vstup x[n]=4u[n] a počáteční podmíny y[-]=0 a y[-]=, určete ZIR, ZSR, homogenní a partiulární řešení. H 6 6