Rovnice přímky Přímka p je určená dvěma různými body (A, B)(axiom) směrový vektor nenulový rovnoběžný (kolineární) s vektorem s = AB = B A pro libovolný bod X na přímce platí: X A = t s tj. Vektorová rovnice přímky X = A + t s, kde t R t je parametr Parametrické vyjádření přímky x = a 1 + ts 1 y = a 2 + ts 2 z = a 3 + ts 3 A = [a 1, a 2, a 3 ] s = (s1, s 2, s 3 ) t R Příklad: Napište parametrické rovnice přímky KL, kde K = [1, 2, 3], L = [2, 0, 7]. Napište parametrické vyjádření polopřímky KL a úsečky KL. Pro jaký parametr dostanete střed úsečky KL? 1
rovina ρ je určena Rovnice roviny 3 body (nekolineární) 2 přímky (různoběžné, rovnoběžné) přímka a bod, který na ní neleží bod a dva LN vektory Vektorová rovnice roviny X = A + α u + β v, kde α, β R A je bod roviny u, v jsou vektory zaměření roviny (rovnoběžné s rovinou) α, β jsou parametry Parametrické vyjádření roviny x = a 1 + αu 1 + βv 1 y = a 2 + αu 2 + βv 2 z = a 3 + αu 3 + βv 3 A = [a 1, a 2, a 3 ] u = (u1, u 2, u 3 ) v = (v1, v 2, v 3 ) α, β R Obecná rovnice roviny ρ : ax + by + cz + d = 0 ; (a, b, c) (0, 0, 0) n = (a, b, c) je normálový vektor kolmý k vektorům u, v n = u v 2
Nezapomeňte: v E 3 nemůžeme vyjádřit přímku jednou obecnou rovnicí (jen pomocí dvou rovnic jako průsečnici rovin) Příklad: Napište obecný tvar rovnice roviny určené třemi body A = [6, 3, 3], B = [7, 3, 0], C = [5, 2, 3]. 3
Polohové vztahy Vzájemná poloha dvou přímek: a : X = A + t u b : Y = B + s v Studujeme vektory u, v, AB: 1. u, v 0, AB jsou 1 kolineární u B A = @ v C A pokud h(a) = 1 a = b AB 2. u, v jsou kolineární (LZ), ale 0 1 u, AB jsou LN u B A = @ v C A h(a) = 2 a h(a ) = 1 a b AB u v «A = 3. u, v jsou nekolineární (LN) h(a) = 2 a h(a ) = 2 a, b jsou různoběžky 4. h(a) = 3 a, b jsou mimoběžky 4
h(a) h(a ) význam 1 1 totožné 2 1 rovnoběžné 2 2 různoběžné 3 2 mimoběžné Příklad: Určete vzájemnou polohu přímek. a) p : [1, 1, 2] + t(2, 1, 3) q : [0, 1, 1] + s(1, 1, 2) b) p : [2, 1, 3] + t( 1, 0, 2) q : [1, 2, 1] + s(1, 0, 2) x = 2 t c) p : y = 1 + t z = 2 2t q : x = y = z = 1 + 2s 1 s 2 + 2s 5
Vzájemná poloha rovin ρ : A, u, v n = u v ax + by + cz + d = 0 σ : B, u, v 0 1 n = u v a x + b y + c z + d = 0 u 0 1 v u A = u A = B v C B @ C @ u A v A v AB h(a ) h(a) význam 3 - různoběžné 2 3 rovnoběžné 2 2 totožné Jiný způsob (lepší) řešením soustavy «a b c d N = a b c d Hledáme společné body 1. soustava nemá řešení, žádný společný bod - rovnoběžné roviny (n n ) 2. nekonečně mnoho řešení a) jeden parametr - přímka - různoběžné roviny b) dva parametry - rovina - totožné roviny (n n ) 6
Příklad: Určete vzájemnou polohu rovin α, β a) 2x + 4y z + 2 = 0 4x + 8y + 3z 2 = 0 b) 4x + 2y + 3z 8 = 0 2x + y + 1.5z 6 = 0 c) 2x 2y + 3z 1 = 0 6x 6y + 9z 3 = 0 7
Vzájemná poloha přímky a roviny a : X = A + t u ρ : Y = B + α v + β w, ax + by + cz + d = 0 1. A = 0 B @ u v w AB 1 C A A = 0 @ u v w 1 A h(a) h(a ) význam 2 2 přímka leží v rovině 3 2 přímka je rovnoběžná s rovinou 3 3 přímka je různoběžná s rovinou 2. Pomocí normálového vektoru roviny a směrového vektoru přímky: a) n u = 0 p ρ nebo p ρ b) n u 0 průsečík 3. Dosadíme parametrické vyjádření přímky do rovnice roviny a řešíme rovnici pro parametr t. a) 1 řešení průsečík (dopočítáme dosazením t) b) nekonečně mnoho řešení p ρ c) žádné řešení p ρ 8
Příklad: Určete vzájemnou polohu přímky a roviny (určete průsečík). x = 3 + 5t a) y = 1 2t z = 2 2t t R 2x 3y + 2z + 17 = 0 b) x = 1 + t y = 0 + 2t z = 1 t R 2x y + z + 1 = 0 9
Metrické vztahy Vzdálenost dvou bodů A, B: (velikost vektoru určeného body A, B) v = p v1 2 + v2 2 + v2 3 p AB = (b1 a 1 ) 2 + (b 2 a 2 ) 2 + (b 3 a 3 ) 2 = = AB = v(a, B) Vzdálenost bodu M od přímky p: (2 způsoby) jako v deskriptivní geometrii: 1. rovinu α kolmou k přímce p bodem M 2. α p = P 3. velikost úsečky MP výška rovnoběžníka (využitím vektorového součinu) obr: v = AM a 1 a 10
Příklad: Zjistěte vzdálenost bodu M = [5, 3, 2] od přímky AB (A = [7, 1, 3], B = [10, 5, 5]). Vzdálenost bodu M od roviny α:(2 způsoby) jako v deskriptivní geometrii: 1. kolmici k bodem M k rovině α 2. α k = P 3. velikost úsečky MP velikost pravoúhlého průmětu do normovaného vektoru (využitím skalárního součinu) v = MB n n v = ax 0 +by 0 +cz 0 +d a 2 +b 2 +c 2 11
Příklad: Určete vzdálenost bodu M = [0, 5, 0] od roviny 3x 2y + 6z + 4 = 0. Vzdálenost mimoběžek: a : X = A + t a b : Y = B + u b t, u R výška rovnoběžnostěnu v = ( AB, a, b ) a b Vzdálenost rovnoběžných útvarů: rovnoběžné přímky rovnoběžné roviny přímka a rovina vzdálenost bodu vzdálenost bodu vzdálenost bodu od přímky od roviny od roviny 12
Odchylka přímek a, b: a : X = A + t a b : Y = B + u b t, u R je-li α odchylka směrových vektorů ϕ = min(α, 180 α) cos ϕ = a b a b Odchylka dvou rovin α, β: odchylka jejich normál cos ϕ = n 1 n 2 n 1 n 2 Příklad: Určete odchylku rovin α : 2x 2z 7 = 0 a β : y + z + 1 = 0. 13
Odchylka přímky a od roviny α: a : X = A + t a, t R α : ax + by + cz + d = 0 n je normálový vektor Doplňkový úhel k odchylce přímky p a normály n. cos ϕ = cos ( π 2 ϕ) = a n a n ϕ = 90 ϕ nebo sin ϕ = a n a n, kde ϕ < 0, 90 > 14