8 Vzoce po itmeticou poloupot Předpoldy: 80 Př : Po itmeticou poloupot pltí 5 ; d Uči čle iž by učovl Mohli bychom pomocí vzoce po -tý čle učit čle p pomocí tejého vzoce učit i Teto potup zzuje zdáí příldu je ložitější Zuíme to ji: Abych e od čleu 5 dotl e čleu muím čtyřiát ( 5 ) přičítt difeeci 5 d Čle e ová Př : V itmeticé poloupoti difeecí d vypočítej hodotu čleu, poud záš hodotu Je to tejý příld jo předchozí, oát počítáme v pímeách Ke čleu přičítt difeeci d to ( ) át ( ) d Vzoec fuguje i po výpočet předchozího čleu Dodíme hodoty z příldu : d,, počítáme čle 5 ( 5 ) d ( 5 ) V itmeticé poloupoti ( ) ( ) d difeecí d pltí po všech, N Vzoec je možé do itepetovt lově: učitý čle v poloupoti vypočtu z libovolého předchozího t, že jeho hodotě připočtu toliát difeeci, o oli je jeho idex větší (při výpočtu z áledujícího čleu odečítám) Př : (BONUS) Dož pomocí vzoce po -tý čle itmeticé poloupoti pltot d vzoce Po čley poloupoti ve vzoci pltí: d d Rovice odečteme: ( ) d ( ) d d d d
Dodte: Nám už zámý vzoec po -tý čle itmeticé poloupoti eí ic jiého ež d, dy dodíme peciálí přípd vzoce Př : V itmeticé poloupoti ( ) Dodíme do vzthu mezi d 6 7d 7d 8 d Teď učíme : d ( ) ( ) 6 d jou dáy čley 6, Uči d, 8 : ( ) d 6 Teď už do dopočítáme libovolý čle poloupoti, záme vzoec po -tý čle: ( ) d 6 ( ) 8 6 ( 8 ) Po zdou poloupot pltí: d, 6, 8 Dodte: Potože vzoec evyžduje, bychom do ěj dozovli z větší čílo ež z, d můžeme předchozí příld počítt i tto: ( ) d 6 7d 7d 8 d Pedgogicá pozám: Něteří tudeti řeší předchozí příld zpměti bez vzoců Neí třeb poti tomu bojovt, už v áledujícím příldu většiou ztootjí ošlivějších čílech Když e imi bvím, pouze e jim žím uázt, že i jejich výpočet v podttě opíuje výpočet pomocí vzoce jeho použití je jitot v epřízivých podmíách Př 5: V itmeticé poloupoti ( ) 0 Dodíme do vzthu mezi 0 7 0 7 d d d d Teď učíme : d ( ) ( ) 7 7 d jou dáy čley 7, 0 Uči d, : ( ) d
6 8 0 Teď už do dopočítáme libovolý čle poloupoti, záme vzoec po -tý čle: ( ) d 0 ( ) 6 0 0 ( 0 ) 5 6 Po zdou poloupot pltí: d, 0, 0 Pedgogicá pozám: Náledující příld řešíme tomto mítě v přípdě, že do oce hodiy zbývá lepoň 5 miut Př 6: N efeátu ciziecé policie je po ždtele o pcoví víz vymyšle euvěřitelě půhledý přívětivý ytém Jeho oučátí je i způob podáváí žádotí Ráo zčátu pcoví doby je všem uchzečům ozdáo pořdové čílo, podle teého p mohou podávt žádoti Uchzeči bez pořdového čílo emohou žádot podt Čející jou do celáře zvái přibližě ovoměě V oli hodi má ceu e vátit do čeáy pořdovým čílem 87, poud po třech hodiách přišel řdu ždtel čílem, po pěti hodiách ždtel čílem 5? Koli lidí pořdovým čílem z předešlého de tálo zčátu foty? Kde e vzlo v bici od bot obyčejého policejího úředí 7 milióů ou v hotovoti? Poud zveme čející ovoměě tvoří pořdová číl pozvých v celých hodiách čley itmeticé poloupoti Pozo: Pví čle poloupoti eí, potože zčátu mueli být upoojei čející z předešlého de po třech hodiách po pěti hodiách 6 5 Můžeme počítt všechy ottí čley poloupoti: d 6 6 d 5 d d d d Učíme pví čle: ( ) ( ) ( ) 6 d 5 Učíme po oli hodiách přijde řdu čílo 87: d ( ) ( ) 0 87 5
0,5 - Je třeb přijít po omi půl hodiě S pořdovým čílem 0 má ceu e vcet po 8 hodiách (přeěji po 8 hodiách 0 miutách), což zmeá velou pvděpodobotí čet do dlšího de Od včeejšího de zůtlo 6 čejících (muíme zpočítt i toho, teý by měl v šem počítáí pořdové čílo 0) Ji způob, jým pobíhá přidělováí víz povoleí pobytu ť už zde ebo šich mbádách v zhičí, ptří mezi velé otudy šeho tátu 7 milióů v bici od bot beze všech ozumých pochybotí pochází z úpltů Pávě ft, že tá zád tetího řízeí počívjící v tom, že vi muí být poázá de vší ozumou pochybot ( beyod ll eoble doubt ), zdegeeovl v čeé jutici zádu de vší pochybot, má velý podíl tom, že je vcelu bezpečé pácht ěteé duhy teté čioti Výmluvám, teé ouzeí v tových přípdech používjí (ález v lee, dědictví po bbičce ) totiž může věřit pouze iv ebo čeý oudce Nyí e přeueme o ěoli toletí zpáty, oec 8 toletí do Bušviu Do zdejší záldí šoly chodí té mlý Cl Fiedich Gu (mtemtiy fmiliéě zvý Guí) I pře vůj ízý vě má povět mimořádého mtemticého tletu P učitel už má de dětí plé zuby Pořád vyušují, edávjí pozo, eutále má ědo ějé dotzy A o by i při tom tm t potřebovl odštt třídici Rozhoduje e použít vůj oblíbeý ti, zdává dětem obtížou zdlouhvou páci - ečít všech číl od jedé do t To jim bude tvt miimálě hodiu Bohudí de má opvdu můlu Sotv doedl e třídici, e tolu už běží Guí řičí, že příld počítl pávý výlede je 5050 Zopělý učitel pávý výlede mozřejmě ezá t ještě zuí opoovt tím, že přece eí možé t ychle ečít toli číel Guí hed vyvětluje, že o ozhodě všech číl ečítl, pý tčí Př 7: Vyvětli, j Guí došel e pávému výledu, bez potupého ečteí všech číel tčí, dyž i číl v oučtu (v poloupoti) pojíme do dvojic: 56567800 Všechy dvojice mjí tejý oučet 0 Dvojic je celem 50 (poledí dvojici tvoří číl 50 5) čítám 50 dvojic po 0 oučet e ová 5050 Podobě můžeme ečít i pvích čleů itmeticé poloupoti ( ) Npíšeme i oučet: Npíšeme i ho ještě jedou v obáceém pořdí: Obě ovoti ečteme:
zíáme: Součty ve všech závoách jou tejé: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Závoe je v oučtu můžeme pát: ( ) Po oučet pvích čleů itmeticé poloupoti ( ) pltí: ( ), tedy po Př 8: Uči oučet: ) všech jedocifeých přiozeých číel b) všech dvoucifeých udých číel c) všech tojcifeých áobů číl 7 ) všech jedocifeých přiozeých číel dozujeme do vzoce ( ),, zřejmě zotolujeme hodotu vzocem: ( ) d ( ) učíme oučet: ( ) ( ) 5 Výlede můžeme do zotolovt i učě b) všech dvoucifeých udých číel 0, 8, d d hodotu učíme vzocem: ( ) ( ) 88 ( ) 5 5 0 8 0 učíme oučet: ( ) c) všech tojcifeých áobů číl 7 05,, d 7 d 8 0 hodotu učíme vzocem: ( ) ( ) 88 ( ) 7 7 8 8 05 706 učíme oučet: ( ) 05 7 Pedgogicá pozám: Studeti většiou hodotu odhdují Nebáím jim, le při řešeí bodu b) e objeví velé možtví chyb pávě při učováí číl Ačoliv to pví pohled jde poti hlvímu záměu učebice, dopoučuji záldě této 5
zušeoti tudetům, by i hodotu ověřovli výpočtem podle vzoce Šptý odhd je příčiou ejvětšího počtu chyb já ám ím mám obč poblémy Př : (BONUS) Dož vzoec po oučet pvích čleů itmeticé řdy mtemticou iducí Ověříme vzth po čítáme jedié čílo dodíme do vzoce: ( ) ( ) Předpoládáme pltot vzthu po dozujeme pltot po : Víme, že pltí: ( ) Chceme doázt, že pltí: ( ) je oučet čleů poloupoti: Použijeme vzoec ( ) Npíšeme vzth: ( ), vzoec po, teý potřebujeme odvodit, eobhuje čle, le čle v ehotovém vzoci muíme hdit čleem : d Difeeci i té muíme vyjádřit pomocí, : ( ) d d d d Dodíme do vzthu: ( ) ( ) Př 0: Petáová: t 68/cvičeí ) t 68/cvičeí 7 t 68/cvičeí Shutí: Poud i čley itmeticé poloupoti vhodě páujeme, můžeme je do čítt 6