TESTOVÁNÍ HYPOTÉZ a ke tudu kaptoly: 8 mut Cíl Po protudováí tohoto odtavce budete: zát základí pojmy a prcpy tetováí hypotéz zát kocepc klackého tetu umt rozhodovat pomocí tého tetu výzamot umt pooudt chybu p rozhodováí umt zkotruovat operatví charaktertku umt používat základí jedovýbrové a dvouvýbrové parametrcké tety pro ormálí rozdleí (z-tet, t-tet, tet relatví etotí, tet rozptylu + totéž pro dva výbry) umt rozhodovat podle párového tetu umt používat vybraé eparamercké tety (jedovýbrové a dvouvýbrové tety o medáu (zamékový, Wlcoov), tety o hod ( -tet dobré hody, jedovýbrový a dvouvýbrový Kolmogorovv a Smrovv tet), tet závlot v kombaí tabulce) - 6 -
Výklad:. Úvod Jž víme, že pomocí tattcké dukce mžeme ut závry o populac a základ výbrového ouboru z této populace. V pedcházející kaptole jme e zabýval problémem, jak odhadout protedctvím bodového, pop. tervalového odhadu ezámý parametr populace. V této kaptole budeme kotruovat tety, jejchž pomocí potvrdíme ebo vyvrátíme jakou hypotézu o populac. Stattcké hypotézy (hypotézy o základím ouboru (populac)) mžeme rozdlt do dvou kup a to a hypotézy parametrcké a hypotézy eparametrcké. Parametrcké hypotézy jou hypotézy o parametrech rozdleí (populace). Mžeme e etkat e tem typy tchto hypotéz: a) Hypotézy o parametru jedé populace (o tedí hodot, medáu, rozptylu, relatví etot ) b) Hypotézy o parametrech dvou populací (rovávací tety) c) Hypotézy o parametrech více ež dvou populací (ANOVA ) Parametrcké hypotézy mžeme zapat jako rovot (rep. erovot) mez tetovaým parametrem a jeho pedpokládaou hodotou (ap. µ, π, 8 ) ebo jako rovot (rep. erovot) mez tetovaým parametry (ap. µ µ µ 3, π > π ). Stattckým hypotézám o jých vlatotech populace (tvar rozdleí, závlot promých ) e íká eparametrcké hypotézy. POZOR!!! Parametrcké tety e íká tetm, k jejchž odvozeí je uté pro daý výbr pecfkovat typ rozdleí (v kterých pípadech které parametry tohoto rozdleí). (Nejde tedy obec o lbovolé tety parametrckých hypotéz.) Neparametrcké tety e íká tetm, k jejchž odvozeí eí uté pro daý výbr pecfkovat typ rozdleí.. Nulová a alteratví hypotéza Tetováím tattckých hypotéz e tattc zaal zabývat krátce ped vypukutím druhé vtové války. Jeho kocepc vytvol Jerzy Neyma a E. S. Pearo a dále j pak rozvul Abraham Wald. Tetováí hypotéz pojal jako rozhodovací proce, v mž prot ob tojí dv tvrzeí (hypotézy). Prví z ch ulová hypotéza H pedtavuje urtý rovovážý tav a bývá vyjádea rovot (ap. µ, µ µ µ 3 ). Jde o takové tvrzeí o populac, které je bráo jak pedpoklad p tetováí. Oprot í tavíme tzv. alteratví hypotézu H A. - 6 -
Alteratví hypotéza petavuje porušeí rovovážého tavu a zapujeme j tedy jedím ze tí možých záp erovot (, <, >). Zvolíme-l alteratví hypotézu ve tvaru < ebo >, mluvíme o jedotraé alteratví hypotéze (ap. µ <, µ > ), zvolíme-l alteratví hypotézu ve tvaru, mluvíme o oboutraé alteratví hypotéze... Výbr vhodé alteratví hypotézy P tetováí hypotéz muíme vždy taovt jak ulovou, tak alteratví hypotézu. Nulová hypotéza bývá taovea jedoza (pomocí rovot, ap. µ ). Pro taoveí alteratví hypotézy máme t možot. (ap. µ <, µ >, µ ). Obahuje-l zadáí problému vedoucího a tetováí hypotéz vztah jedotraé erovot, volí e jako alteratví hypotéza pílušá jedotraá hypotéza. V otatích pípadech volíme oboutraou alteratví hypotézu. Alteratví hypotéza by mla být v ouladu výbrovým ouborem. Pokud tomu tak eí, pzpobujeme alteratví hypotézu závrm zíkaým z výbrového ouboru. Prvodce tudem: Náledující píklady tattckých hypotéz by Vám mly pomoc ujat probraou termolog používaou p tetováí hypotéz:. Prmrý plat v R je.,- K. Hypotéza: parametrcká, o tedí hodot Populace (základí oubor): všch pracující obaé R jejch platy H : µ. H A : µ. (zadáí problému eobahuje jedotraou erovot) Výbrový oubor: Na prmrý plat zjštý z výbrového ouboru emáme zvláští požadavky. Podpora ODS je vyšší ež podpora SSD (ltopad 6) Hypotéza: parametrcká, rováí relatvích etotí dvou populací Populace : všch vol v R relatví etot vol ODS Populace : všch vol v R relatví etot vol SSD H : π ODS π ( π SSD π ) H A : π ODS > π ( π SSD > π ) (zadáí problému obahuje erovot v tomto tvaru) Výbrový oubor: Procetuálí zatoupeí vol ODS ve výbru by mlo být vtší ež procetuálí zatoupeí vol SSD ve výbru. Pokud tomu tak eí, ml bychom použít oboutraou alteratví hypotézu. 3. Mzdy ve trojíretví jou žší ež mzdy v bakovctví Hypotéza: parametrcká, rováí tedích hodot dvou populací Populace : všch zamtac ve trojíretví jejch platy Populace : všch zamtac v bakovctví jejch platy H : µ trojíre tví µ bakovctví ( µ µ ) - 6 -
H A : µ trojíre tví < µ bakovctví ( µ < µ ) (zadáí problému obahuje erovot v tomto tvaru) Výbrový oubor: Prmrý plat zjštý z výbru zamtac ve trojíretví by ml být meší ež prmrý plat zjštý z výbru zamtac v bakovctví. Pokud tomu tak eí, ml bychom použít oboutraou alteratví hypotézu. 4. a) Použtí bezpeotích pá ovlvuje úmrtot p dopravích ehodách b) Použtí bezpeotích pá žuje úmrtot p dopravích ehodách Hypotéza: parametrcká, rováí relatvích etotí dvou populací Populace : úatíc dopravích ehod edící a mítech, a chž je možo používat bezpeotí páy t, kteí byl ppoutá úmrtot (v procetech) Populace : úatíc dopravích ehod edící a mítech, a chž je možo používat bezpeotí páy t, kteí ebyl ppoutá úmrtot (v procetech) H : π π ada) H A : π π (zadáí problému eobahuje erovot) adb) H A : π < π (zadáí problému obahuje erovot v tomto tvaru) Výbrový oubor: Úmrtot tch co používají bezpeotí páy by mla být meší ež úmrtot tch, co bezpeotí páy epoužívají (ve výbru z úatíku dopravích ehod). Pokud tomu tak eí, ml bychom použít oboutraou alteratví hypotézu. 5. Doažeé vzdláí záví a doažeém vzdláí otce Hypotéza: eparametrcká, tetováí závlot promých Kategorálí promá : všch žjící ldé ukoeým vzdláím jejch doažeé vzdláí Kategorálí promá : všch žjící ldé ukoeým vzdláím doažeé vzdláí jejch otc H : Doažeé vzdláí ezáví a doažeém vzdláí otce ( závlot je ulová ) H A : Doažeé vzdláí záví a doažeém vzdláí otce Výklad:.3 Chyba I. a II. druhu Jelkož p rozhodováí o ulové hypotéze vycházíme z výbrového ouboru, který emuí dotate pe odpovídat vlatotem základího ouboru, mžeme e p rozhodováí doputt chyby. P rozhodováí mohou atat tuace, které popuje áledující tabulka: Výledek tetu Skuteot Platí H Platí H A Nezamítáme H Zamítáme H Správé rozhodutí Chyba I. druhu Pravdpodobot rozhodutí: α Pravdpodobot rozhodutí: α (polehlvot) (hlada výzamot) Chyba II. druhu Správé rozhodutí Pravdpodobot rozhodutí: β Pravdpodobot rozhodutí: β (íla tetu) - 63 -
Jetlže ulová hypotéza je ve kuteot platá a my j peto zamíteme, dopouštíme e chyby I. druhu. Pravdpodobot, že k takovému pochybeí dojde azýváme hlada výzamot a ozaujeme j. Platí-l ulová hypotéza a my jme j ezamítl, rozhodl jme práv. Pravdpodobot tohoto rozhodutí ozaujeme (-) a azýváme j polehlvot. Správým rozhodutím je rovž zamítutí ulové hypotézy v pípad, že je platá hypotéza alteratví. Tohoto rozhodutí e dopouštíme pravdpodobotí (- ), což bývá ozaováo jako íla tetu. Chybou II. druhu je ezamítutí ulové hypotézy v pípad, že je platá hypotéza alteratví. Pravdpodobot této chyby je. P tetováí hypotéz e amozejm ažíme mmalzovat ob chyby, tj. doáhout vyoké íly tetu (ízkého ) p co ejžší hlad výzamot. To však eí možé, ebo ížeím e zvýší hlada výzamot a aopak. (Mžeme ob chyby pedtavt jako a houpace.) Proto je teba ajít komprom mez požadavky a a. Ve tattce e volí jako rozhodující vtupí parametr tetu pravdpodobot chyby I. druhu hlada výzamot. V techckých oblatech volíme obvykle 5%-í ebo %-í hladu výzamot, pouze ve pecálích pípadech (lékaké úely) požadavek a pravdpodobot chyby I. druhu ješt zvyšujeme (volíme ješt žší ). Chybu II. druhu žujeme volbou vhodého tetu (pokud máme možot výbru) popípad zvtšeím rozahu výbrového ouboru (což je jedý zpob jak ížt, až bychom tím zvýšl )..4 Operatví charaktertka Pravdpodobot chyby II. druhu (, tj. pravdpodobot, že ezamíteme ulovou hypotézu, petože je alteratví hypotéza pravdvá) záví a peé hodot alteratví hypotézy. Dokážeme tedy urt pro pípad, že alteratví hypotéza je pe pecfkovaá. (ap. tetujeme-l hypotézu, že prmrý plat v R je.,- K, umíme urt pro pípad, že alteratva je defováa ve form: prmrý plat v R je.35,- K, apod.) V žeýrkých aplkacích e mohdy etkáváme tzv. operatví charaktertkou, což je závlot pravdpodobot chyby II. druhu a peé pecfkac alteratví hypotézy. Schématcké zázorí operatví charaktertky páší áledující obrázek: Z obrázku je zejmé, že vzdaluje-l e alteratva od ulové hypotézy, pravdpodobot chyby II. druhu ( ) kleá. Míto operatví charaktertky e mohdy zázoruje kvka íly tetu, tj. závlot íly tetu (- ) a peé pecfkac alteratví hypotézy (zkráce e mohdy ozauje pouze jako íla tetu (power curve). - 64 -
Prvodce tudem: V tomto prvodc e pokuíme o odpovd a ato pokládaé otázky. Pro epoužíváme pojem pjímáme ulovou hypotézu Tetováí hypotéz e mže provádt rzým zpoby. P každém z ch mže být tetováa hypotéza zamítuta. Nezamíteme-l j, zameá to, že provádým tetem jme j emohl zamítout, kolv to, že je prává. Je možé, že jakým tetem e j zamítout podaí. Pokud používáme tále pejší tety a tále docházíme ke tejému závru o ezamítutí ulové hypotézy, mžeme jedat tak, jako by ulová hypotéza byla prává. Nkdy to však evíme jt. Je ouvlot mez tetováím parametrckých hypotéz a tervalovým odhady? Ao, pokume e tuto ouvlot objat: Spolehlvot tetu (-), tj. pravdpodobot, že ezamíteme ulovou hypotézu v pípad, že je kute platá ozauje rovž pravdpodobot, že parametr populace leží v pílušém tervalu polehlvot. Je tedy zejmé, že pokud tetovaá hodota parametru leží uvt (-) tervalu polehlvot, mžeme pílušou ulovou hypotézu ezamítout a hlad výzamot. Iterval polehlvot lze považovat za možu všech možých (ezamítutelých) hypotéz. Píklad: Vzpomíáte a ešeý píklad o kvalt dket Sok a 5M? Zjtl jme v m, že rozdíl mez procetem vadých dket Sok a 5M leží v tervalu (-,%;,4%) 95%-í polehlvot. Chtl-l bychom tetovat, zda dkety Sok jou kvaltjší ež dkety 5M, mohl bychom ( využtím tervalového odhadu) potupovat takto:. Staovíme ulovou a alteratví hypotézu: H : π Sok π 5 M ( π Sok π 5M ) H A : π π ( π π ) Sok < 5 M Sok 5M <. Uríme 95%-í terval polehlvot pro ( π π ) P (, % < ( π π 5 ) <,4 %), 95 Sok M Sok 5M 3. Uríme, zda tetovaá hodota parametru (v ašem pípad tetovaá hodota rozdílu parametr ) leží v pílušém tervalu polehlvot. (, %;,4 %) 4. Závr: S 95%-í polehlvot mžeme tvrdt, že kvalta dket Sok a 5M je tejá (ezamítáme ulovou hypotézu). - 65 -
Pro je chyba I. druhu výzamjší ež chyba II. druhu? V áledujícím tetu budeme provávat tetováí hypotéz k prcpu preumpce evy. V USA je v oudí pra p proceech vrahy pravdlem, že porota rozhoduje o v obžalovaého. Jde v podtat o rozhodutí mez ulovou hypotézou (eve) a alteratví hypotézou (ve). Chybou I. druhu by bylo uzáí obžalovaého vým, petože by byl eve došlo by k jutímu omylu, byl by odouze evý lovk. Chybou II. druhu by pak bylo ovobozeí kuteého vraha. Porota e p vém verdktu muí ídt prcpem preumpce evy va muí být prokázáa ade vší pochybot, tz. mmalzuje chybu I. druhu. Stej ptupuje k tetováí hypotéz tattka. Výklad:.5 Prcp tetováí hypotéz Prcp tetováí hypotéz e dá provat k prcpu preumpce evy v oudctví [Fredrch: Stattka, ZU, Plze]. Pokud výbrový oubor (X) eukáže a (tattcky výzamý) rozpor ulovou hypotézou, pak emíme ulovou hypotézu zamítout podob jako prcp preumpce evy požaduje, abychom a obžalovaého pohlížel jako a evého do té doby, dokud epedložíme pevdvé dkazy o jeho v. Stattcky tet pak mžeme provat k oudc. Stattcký tet rozhode, zda data z výbrového ouboru (X) odpovídají ulové hypotéze. Pevedeo do jazyku oudctví: Soudce rozhode, zda vdc podal výpov ve propch obhajoby. Základí oubor (populace) Hypotéza o populac Výbrový oubor Jou data koztetí hypotézou o populac P tetováí hypotéz e bž mžeme etkat e dvma pítupy klackým tetem a tým tetem výzamot. My e ezámíme obec obma potupy a v dalším tetu e pak zamíme a tý tet výzamot..5. Klacký tet Klacký tet e kládá z kolka krok:. Formulace ulové a alteratví hypotézy. Volba tetové tattky (tetového krtéra) T(X) jde o fukc výbru, která vyjaduje ílu platot ulové hypotézy ve rováí hypotézou alteratví. Pro další krok tetu - 66 -
muíme zát rovž rozdleí tetové tattky p platot H (ulové rozdleí) F () - F ) P( T ( X ) < ) ( H 3. Setrojeí krtckého oboru a oboru pjetí jde o rozdleí protoru všech možých hodot tetové tattky (S) a dva podprotory: obor pjetí (A) obahující hodoty tetové tattky vdící pro pjetí ulové hypotézy a krtcký obor (C) obahující hodoty vdící pro zamítutí ulové hypotézy. Je zejmé, že A C S; A C Ø. Hrace mez krtckým oborem a oborem pjetí e azývá krtcká hodota tetu. Kotrukce krtckého oboru: Krtcký obor bude tak velký, aby pravdpodobot, že tetová tattka leží v krtckém oboru za pedpokladu platot ulové hypotézy, byla rova hlad výzamot. P ( T ( X ) C H ) α Jým lovy: Pravdpodobot, že hodota tetové tattky bude ležet v oblat vdící pro zamítutí ulové hypotézy, petože je ulová hypotéza platá, má být rova pedem zvoleé hodot. Jazykem oudctví: Svdc (výbr) podají falešé vdectví v epropch obhajoby (ulové hypotézy) pravdpodobotí (tady e projevuje rozpor mez prcpem tetováí hypotéz a prcpem preumpce evy oudce emže taovt a a jej pro kokrétí pípad ezá). Záme-l ulové rozdleí tetové tattky T(X), eí obtížé pro daé taovt krtcký obor: a) Je-l alteratví hypotéza ve tvaru < (ve propch alteratvy vdí ízké hodoty tetové tattky), pak je krtcký obor vymeze jako: C T b) Je-l alteratví hypotéza ve tvaru > (ve propch alteratvy vdí vyoké hodoty tetové tattky), pak je krtcký obor vymeze jako: C T - c) Je-l alteratví hypotéza ve tvaru (ve propch alteratvy vdí etrém ízké ebo etrém vyoké hodoty tetové tattky), pak je krtcký obor vymeze jako: C Tα C T α 4. Výpoet pozorovaé hodoty tetové tattky T(X) - Pedcházející kroky jme mohl podkout v rámc pípravy tetu, yí jž muíme mít k dpozc výbrový oubor a pomocí j urt kokrétí hodotu tetové tattky T(X) ( ). P tomto výpotu pedpokládáme platot ulové hypotézy. 5. Formulace závru tetu každý tet vede ke dvma možým výledkm: - 67 -
a) Leží-l tetová tattka v krtckém oboru ( C ), pak zamítáme ulovou hypotézu ve propch alteratví hypotézy b) Leží-l tetová tattka v oboru pjetí (tz. eleží v krtckém oboru - C ), pak ulovou hypotézu ezamítáme..5. tý tet výzamot tý tet výzamot zodpovídá otázku, zda zíkaý áhodý výbr X je eí etrémí ohledem a jakou tetovaou hypotézu o populac (zda zjšté údaje podporují ulovou hypotézu). Oprot klackému tetu epotebuje tý tet výzamot zát hladu výzamot jako vtupí údaj. Jeho výledek ám umožuje rozhodout a jakých hladách výzamot mžeme ulovou hypotézu zamítout (rep. ezamítout). tý tet výzamot e kládá z áledujících krok (prví dva kroky e hodují klackým tetem):. Formulace ulové a alteratví hypotézy. Volba tetové tattky (tetového krtéra) T(X) jde o fukc výbru, která vyjaduje ílu platot ulové hypotézy ve rováí hypotézou alteratví. Pro další krok tetu muíme zát rovž rozdleí tetové tattky p platot H (ulové rozdleí) F () - F ) P( T ( X ) < ) ( H 3. Výpoet pozorovaé hodoty tetové tattky a výpoet tattky p-value (p-hodota) Výpoet pozorovaé hodoty tetové tattky t je tejý jako v pípad klackého tetu. Je zejmé, že ím žší hladu výzamot (ím vyšší polehlvot) zvolíme, tím šrší obor pjetí dotaeme a opa - ím vyšší hladu výzamot (ím žší polehlvot) zvolíme, tím užší obor pjetí dotaeme. P urté hlad výzamot tedy krtcká hodota (hrace mez oborem pjetí a krtckým oborem) plye hodotou tetového tattky. Tato hodota hlady výzamot e azývá p-value. P-value je tedy ejžší hlada výzamot a íž mžeme ulovou hypotézu zamítout a zárove ejvyšší hlady výzamot a íž e jž ulová hypotéza ezamítá. Pozorovaou hodotu tattky p-value vypoteme podle jedé ze tí možých defc v závlot a tvaru alteratví hypotézy (je uté aby alteratví hypotéza korepodovala výbrovým ouborem).. H A ve tvaru < : p value F ( ) Tuto defc použjeme v pípadech, kdy pozorovaá data vdí o tom, že tetová tattka by mohla abývat meších hodot ežl jou hodoty odpovídající ulovému rozdleí. P-value je pak pravdpodobot, že tetovaý parametr populace bude aejvýš tak velký jako kute zjštý pílušý parametr výbru, bude-l H pravdvá.. H A ve tvaru > : p value F ( ) - 68 -
Tuto defc použjeme v pípadech, kdy pozorovaá data vdí o tom, že tetová tattka by mohla abývat vyšších hodot ežl jou hodoty odpovídající ulovému rozdleí. P-value je pak pravdpodobot, že tetovaý parametr populace bude alepo tak velký jako kute zjštý pílušý parametr výbru, bude-l H pravdvá. 3. H A ve tvaru : p value m{ F ( );- F ( )} Tuto defc použjeme v pípadech, kdy pozorovaá data vdí o tom, že tetová tattka by mohla abývat bu vtších ebo meších hodot ežl jou hodoty odpovídající ulovému rozdleí. Tuto defc však mžeme používat pouze v pípadech, kdy ulové rozdleí je ymetrcké (tz. elze použít ap. p tetováí rozptylu). P-value je pak dvojáobá vzhledem k jedotraým tetm. Náledující obrázek zázoruje p-value pro tuto defc pomocí plochy pod kvkou hutoty ulového rozdleí. Na základ zámé geometrcké terpretace dtrbuí fukce je zejmé, že pro prví defc by e dalo p-value lutrovat jako levá vyšrafovaá plocha v tomto obrázku a pro druhou defc lze p-value chematcky zázort jako pravou vyšrafovaou plochu. f () p-value 4. Rozhodutí a základ p-value Θˆ P-value ám íká jaká je mmálí hlada výzamot a íž bychom p daém výbrovém ouboru mohl ulovou hypotézu zamítout. (ap. Je-l p-value,6 pak to zameá, že ulovou hypotézu mžeme zamítout a hladách výzamot,6 a vyšších, jak eeo: ulovou hypotézu mžeme zamítout e polehlvotí ejvýše,994. Zvolíme-l polehlvot tetu vyšší ež,994, p-value evdí pro zamítutí ulové hypotézy.) Je zejmé, že ím meší je p-value, tím ljší je výpov áhodého výbru prot ulové hypotéze. Ale jak malé muí být p-value, aby emprcká výpov byla dotate lá k zamítutí ulové hypotézy? Výledek tetu obec záví a zvoleé hlad výzamot : Rozhodutí: α > p value Zamítáme H ve propch H A α < p value Nezamítáme H - 69 -
Obec rozhodujeme o zamítutí ulové hypotézy a základ áledujícího chématu, které je založeo a ejbžj používaých hladách výzamot (, a,5). p value <, Zamítáme H, < p value <,5 Nedokážeme rozhodout a vtšou doporuujeme opakovat tet vtším rozahem výbru (to vede ke zpeí) p value >,5 Nezamítáme H Nerozhodá Zamítáme H oblat Nezamítáme H,,5 p-value V áledujících tetech budeme používat výhrad tý tet výzamot..6 Tet hypotézy o tedí hodot Teto typ tetu mžeme použít v pípad, že populace má ormálí rozdleí. ad.) Volba ulové a alteratví hypotézy H : µ µ H A : µ < µ ) ) µ > µ 3) µ µ Volba ulové hypotézy je zejmá, u alteratvy máme t možot. Volba vhodé alteratvy je p tém tetu výzamot dáa hodotou pílušé výbrové tattky, tj. prmru. Je-l prmr jedoza žší ež tetováa hodota, volíme alteratvu ve tvaru ). Je-l prmr jedoza vyšší ež tetováa hodota, volíme alteratvu ve tvaru ). Pohybujel e prmr v blízkot, volíme alteratvu ve tvaru 3). ad.) Volba tetové tattky Volba vhodé tetové tattky záví a tom, zda záme ezáme mrodatou odchylku. (Srovejte potupem p urováí tervalového odhadu pro tedí hodotu.) Zárove uríme pílušé ulové rozdleí. X µ σ Záme : T ( X ) Z N( ; ) X µ Nezáme : T ( X ) T t - 7 -
Dále pak pokraujeme podle obecého chématu tého tetu výzamot. ešeý píklad: Byly amey áledující hodoty IQ (výledky tetu telgece) pro vybraých úatík telgeího tetu (úatíky byl tudet poledího roíku základí školy): 65 98 3 77 93 3 8 94 Pedpokládejme, že áhodý výbr pochází z ormálího rozdleí e mrodatou odchylkou 5. Ovte tým tetem výzamot hypotézu, že tedí hodota IQ tudet závreého roíku ZŠ je rova. ešeí: Chceme tetovat tedí hodotu pemž záme mrodatou odchylku. Pedpoklad ormalty základího ouboru byl pl, mžeme tedy ptoupt k tetu: Vtupí data: σ 5 65 + 98 + + 94 Výbr: X 9, 7 Staoveí ulové a alteratví hypotézy: H : µ H A : µ < (protože výbr ukazuje a to, že tedí hodota by mohla být žší ež (9,7 < )) Volba tetového krtéra a taoveí jeho ulového rozdleí: T X µ σ ( X ) Z N( ; ) Výpoet hodoty tetové tattky : X µ 9,7 Z H σ 5,54 Výpoet p-value: H A : µ < p value F ( ) p value Φ (,54) Φ(,54 ),938, 6 (tz. ulovou hypotézu mžeme zamítou a hlad výzamot,6 a žších) - 7 -
Rozhodutí: p value >,5 Nezamítáme ulovou hypotézu, tj. zamítáme alteratvu, tj. elze tvrdt, že IQ tudet závreého roíku ZŠ je žší ež. ešeý píklad: Výrobce garatuje, že jím vyrobeé žárovky mají žvotot v prmru. hod. Aby útvar kotroly zjtl, zda tomuto kotatováí odpovídá v daém období vyrobeá a epedovaá át produkce, vybral z ppraveé dodávky áhod 5 žárovek a došel k závru, že prmrá doba žvotot je 5 hod a mrodatá odchylka doby žvotot pak hod. Ovte tým tetem výzamot, zda edošlo ke zlepšeí kvalty žárovek. ešeí: Mítkem kvalty žárovek je jejch tedí žvotot. Chceme tedy tetovat tedí hodotu pemž mrodatou odchylku ezáme. Pedpokládejme, že žvotot žárovek podléhá ormálímu rozdleí. Vtupí data: Výbr: X 5 hod hod 5 Staoveí ulové a alteratví hypotézy: H : µ (rovovážý tav, tedí žvotot e ezmla) H A : µ > (výbr ukazuje a to, že tedí žvotot by mohla být vyšší ež (5 > )) Volba tetového krtéra a taoveí jeho ulového rozdleí: T X µ ( X ) T t Výpoet hodoty tetové tattky : X µ 5 T H 5 3,54 Výpoet p-value: H A : µ > p value F ( ) p value F (3,54) F (3,54) >,9995 vz. Tabulka (Studetovo rozdleí, 49 tup volot) p value <,5-7 -
Rozhodutí: p value <, Zamítáme ulovou hypotézu ve propch alteratví, tj. lze tvrdt, že kvalta žárovek e zlepšla. Prvodce tudem: Pro zájemce o rováí klackého tetu a tého tetu výzamot uvádíme ešeí jedoho z výše uvedeých píklad pomocí klackého tetu: Byly amey áledující hodoty IQ (výledky tetu telgece) pro vybraých úatík telgeího tetu (úatíky byl tudet poledího roíku základí školy): 65 98 3 77 93 3 8 94 Pedpokládejme, že áhodý výbr pochází z ormálího rozdleí e mrodatou odchylkou 5. Ovte tým tetem výzamot hypotézu, že tedí hodota IQ tudet závreého roíku ZŠ je rova. ešeí: Chceme tetovat tedí hodotu pemž záme mrodatou odchylku. Pedpoklad ormalty základího ouboru byl pl, mžeme tedy ptoupt k tetu: Vtupí data: σ 5 65 + 98 + + 94 Výbr: X 9, 7 Staoveí ulové a alteratví hypotézy: H : µ H A : µ < (protože výbr ukazuje a to, že tedí hodota by mohla být žší ež (9,7 < )) Volba tetového krtéra a taoveí jeho ulového rozdleí: T X µ σ ( X ) Z N( ; ) Výpoet hodoty tetové tattky : X µ 9,7 ZH σ 5,54-73 -
Až do této chvíle e potupy obou typ tetu elší. V klackém tetu však míto p-value urujeme krtcký obor. Staoveí krtckého oboru C: H A : µ < C T Tz. v tuto chvíl e muíme rozhodou a jaké hlad výzamot ( jakou polehlvot) budeme tet provádt. Pro hladu výzamot 5%: Rozhodutí: (,54 > -,645) C T,5 C z,5 C z,5 C -z,95 C -,645 (vz. Tabulka ) C eleží v krtckém oboru, tz. že leží v oboru pjetí ( A ) Nezamítáme ulovou hypotézu, tj. zamítáme alteratvu, tj. elze tvrdt, že IQ tudet závreého roíku ZŠ je žší ež. ešeý píklad: Urtý druh lle dortá prmré výšky 85 cm e mrodatou odchylkou cm. Skupa tchto llí byla ptováa za ových, pízvjších podmíek, aby e zjtlo, zda e výška zvýší. a) Urete mezí hodotu prmré výšky tohoto vzorku, za íž bude možo ulovou hypotézu zamítout a 5%-í hlad výzamot. b) Bude-l kuteá prmrá výška tchto rotl 88cm, jak rozhodeme o ulové hypotéze? c) Nartte operatví charaktertku. ešeí: Ze zadáí úlohy uuzujeme, že máme rozhodovat o tedí hodot výšky rotly, pemž záme mrodatou odchylku populace. ada) V této át úlohy máme zadáu krtckou hodotu chyby I. druhu, tj. p-value a máme urt pílušý krtcký prmr. Abychom vdl, jakým zpobem urujeme p-value (máme a výbr ze tí možotí), muíme ejdíve taovt ulovou a alteratví hypotézu. H : µ 85 H A : µ > 85-74 -
p - value - F() Volba tetové tattky a ulového rozdleí: T X µ σ ( X ) Z N( ; ) Výpoet: X krt 85 Z H value - F( ) X krt p -,5,95,645 X krt Φ Φ X ( X krt 85) ( X krt 85) krt 86,645 85 85 Tz. pekroí-l prmrá výška rotl 86,6 cm, mžeme ulovou hypotézu a 5%- í (a vyšší) hlad výzamot zamítout. adb) O této otázce mžeme rozhodout bu a základ výledku z bodu a) 88 cm je více ež 86,6 cm a proto pro teto prmr mžeme ulovou hypotézu a 5%-í (a vyšší) hlad výzamot zamítout ebo mžeme klackým zpobem provét tý tet výzamot: Volba ulové a alteratví hypotézy: H : µ 85 H A : µ > 85 Volba tetové tattky a ulového rozdleí: T X µ σ ( X ) Z N( ; ) Výpoet pozorovaé hodoty: Z H 88 85 3, Výpoet p-value: H A : µ > 85 p - value - Φ(3,) <,3 Rozhodutí: p - value <, - 75 -
Zamítáme ulovou hypotézu ve propch alteratvy, tj. mžeme tvrdt, že lepší podmíky p ptováí tohoto druhu llí vedly k vyšší výšce rotl. adc) Operatví charaktertka je závlot a kokrétích hodotách alteratvy (p pev zvoleé hodot ). Staovíme proto hodoty pravdpodobot chyby II. druhu ( ) a kolka rzých hodotách alteratvy (ap. 85,5; 86; 87; 88 cm). Zvolíme-l rovo 5%, pak k ezamítutí ulové hypotézy dojde tehdy, epekroí-l prmr hodotu 86,6 cm (vz. úloha a) pokud bychom teto výledek eml k dpozc, muel bychom krtckou hodotu prmru urt). β ( X < 86, ) P 645 H : µ 85 : ) µ H A ) 3) 4) H A 85,5 µ 86, µ 87, µ 88, Volba tetové tattky: Z X µ σ N( ; ) 86,645-85,5 A 86,6-86, β P X < 86,6 H A P Z < P Z <,6 Φ,6, 86,6-87, β P X < 86,6 H A P Z < P Z <,4 Φ,4, 86,6-88, β P X < 86,6 H A P Z < P Z <,4 Φ,4, ad.) β P( X < 86,6 H ) P Z < P( Z <,5 ) Φ(,5), 875 ad.) ( ) ( ) ( ) 76 ad3.) ( ) ( ) ( ) 345 ad4.) ( ) ( ) ( ) 8 Operatví charaktertka,9,8,7,6,5,4,3,, 84,5 85 85,5 86 86,5 87 87,5 88 88,5-76 -
Výklad:.7 Tet hypotézy o rozptylu Také teto typ tetu mžeme použít pouze v pípad, že populace má ormálí rozdleí. ad.) Volba ulové a alteratví hypotézy H : H A : σ σ σ < σ ) σ > σ ) Volba ulové hypotézy je zejmá, u alteratvy máme dv možot. Oboutraou alteratvu emžeme p tém tetu výzamot volt, ebo rozdleí používaé tetové tattky (chí-kvadrát) eí ymetrcké, což zemožuje výpoet pílušého p-value. Volba vhodé alteratvy záví tetokrát a hodot výbrového rozptylu ( ) Je-l výbrový rozptyl žší ež tetováa hodota (σ ), volíme alteratvu ve tvaru ). Je-l výbrový rozptyl vyšší ež tetováa hodota (σ ), volíme alteratvu ve tvaru ). ad.) Volba tetové tattky T ( X ) ( ) χ χ Dále pak pokraujeme podle obecého chématu tého tetu výzamot..8 Tet hypotézy o mrodaté odchylce Chceme-l tetovat mrodatou odchylku, pevedeme daý problém a tet rozptylu. σ ešeý píklad: P aalýze dferecace mezd ve velkém podku bylo zjšto, že prmrá míí mzda la 9.386,-K a mrodatá odchylka mezd.56,- K. Po rozáhlých orgazaích zmách bylo uté rychle pooudt, zda došlo ke zmám v dferecac mezd. Náhod bylo vybráo 3 pracovík a byla zjšta mrodatá odchylka mezd.78,-k. Je možé tvrdt, že orgazaí zmy prohloubly dferecac mezd? ešeí: Mítkem dferecace (rozložeí) mezd je jejch mrodatá odchylka (rep. rozptyl). Chceme tedy tetovat mrodatou odchylku. - 77 -
Vtupí data: Výbr: 78 K 3 Staoveí ulové a alteratví hypotézy: H : σ 56 (rovovážý tav, v ašem pípad poáteí tav) H A : σ > 56 (výbr ukazuje a to, že mrodatá odchylka by mohla být vyšší ež 56 (78 > 56)) Pevedeí problému a tet rozptylu: H : H A : σ 56 σ > 56 Volba tetového krtéra a taoveí jeho ulového rozdleí: T ( X ) χ ( ) χ σ Výpoet hodoty tetové tattky : χ ( ) 9 78 56 H σ 34,7 Výpoet p-value: H A : σ > 56 p value F ( ) p value F (34,7),75 < F (34,7) <,9 vz. Tabulka 3, < p value <,5 Rozhodutí: p value >,5 Nezamítáme ulovou hypotézu, tj. lze tvrdt, že dferecace mezd e ezvýšla. Výklad:.9 Tet hypotézy o relatví etot Také teto typ tetu mžeme použít pouze v pípad, že populace má ormálí rozdleí. - 78 -
ad.) Volba ulové a alteratví hypotézy H : π π ) H A : π < π ) π > π 3) π π Volba ulové hypotézy je zejmá, u alteratvy máme opt t možot. Volba vhodé alteratvy je v tomto pípad dáa hodotou výbrové relatví etot p. Je-l p jedoza žší ež tetováa hodota, volíme alteratvu ve tvaru ). Je-l p jedoza vyšší ež tetováa hodota, volíme alteratvu ve tvaru ). Pohybuje-l e p v blízkot, volíme alteratvu ve tvaru 3). ad.) Volba tetové tattky T p π ( X ) P ( ; ) N π ( π ) Dále pak pokraujeme podle obecého chématu tého tetu výzamot. ešeý píklad: P volbách do polaecké movy v ervu 6 doáhla SSD podpory 3%. Agetura STAT udává, že p przkumu v proc 6 (6 repodet) zjtl pouze 5% podporu této tray. Lze z tchto výledk uuzovat a kleající podporu SSD? Ovte tým tetem výzamot. ešeí: Chceme tetovat relatví etot. Pedpokládejme, že relatví etot podléhá ormálímu rozdleí. Vtupí data: Výbr: p 5 %,5 6 Staoveí ulové a alteratví hypotézy: H : π, 3 (rovovážý tav, podpora SSD e ezmla) H A : π <,3 (výbr ukazuje a to, že podpora SSD by mohla být žší ež 3% (,3 <,5)) Volba tetového krtéra a taoveí jeho ulového rozdleí: T p π π ( π ) ( X ) P ( ; ) N - 79 -
Výpoet hodoty tetové tattky : p π,5,3 P 6 4,4 H π ( π ),3 (,3) Výpoet p-value: H A : π <,3 p value F ( ) Rozhodutí: p value <, p value Φ p value ( 4,4) Φ( 4,4) Zamítáme ulovou hypotézu, tz. lze tvrdt, že pokle podpory SSD je tattcky výzamý. Výklad:. Tet hypotézy o medáu V rámc tohoto kurzu e ezámíte dvm eparametrckým tety o medáu (u tchto tet eí uté dlat žádé pedpoklady o rozdleí základího ouboru)... Zamékový tet pro medá Zamékový tet používáme zejméa v pípadech, kdy populace, z íž byl výbr provede má výraz zeškmeé rozdleí. Jelkož teto tet má malou ílu (pravdpodobot chyby II. druhu je velká ve rováí jým tety), je vhodé mít k dpozc výbr o vtším rozahu. ad.) Volba ulové a alteratví hypotézy H :,5,5 H A :,5 <,5 > ) ),5,5 3),5,5 Volba ulové hypotézy je zejmá, u alteratvy máme opt t možot. Volba vhodé alteratvy je v tomto pípad dáa hodotou výbrového medáu ~. Je-l ~ jedoza žší ež tetováa hodota,5, volíme alteratvu ve tvaru ). Je-l ~ jedoza vyšší ež tetováa hodota,5, volíme alteratvu ve tvaru ). Pohybuje-l e ~ v blízkot,5, volíme alteratvu ve tvaru 3). - 8 -
ad.) Volba tetové tattky Pokud medá je,5, potom pravdpodobot že jaká pozorovaá hodota pekroí je rova,5. Proto také poet pozorováí v áhodém výbru o rozahu, které pekroí hypotetcký medá, bude mít rozdleí bomcké parametry a,5. Za tetovou tattku volíme tedy v tomto pípad: T ( X ) Y B( ;,5), Y poet pozorováí v áhodém výbru o rozahu, které pekroí Dále pak pokraujeme podle obecého chématu tého tetu výzamot.,5,5.. Wlcov tet pro medá ad.) Volba ulové a alteratví hypotézy Volba ulové a alteratví hypotézy podléhá tejým pravdlm jako u zamékového tetu. ad.) Volba tetové tattky Wlcov tet pro tetováí hypotézy o medáu je založe a Wlcooov tattce, která eí závlá a odlehlých pozorováích: kde y,,5 ( ) T r ( X ) W N( ; ) r r rak y (poadí (y ), ejžší hodot y je pazea hodota, ejvyšší hodot y je pazea hodota, pokud oubor obahuje kolk tejých hodot, je tmto hodotám pazeo tzv. prmré poadí), r r g(,5 ) (r je doplo zamékem + ebo podle toho, zda pvodí pozorováí je vtší ebo meší ežl hypotetcký medá ), r r, r ( r r),5, Dále jž opt potupujeme zámým zpobem. - 8 -
ešeý píklad: Byly amey áledující hodoty IQ (výledky tetu telgece) pro vybraých úatík telgeího tetu (úatíky byl tudet poledího roíku základí školy): 65 98 3 77 93 3 8 94 Ovte tým tetem výzamot hypotézu, že medá IQ tudet závreého roíku ZŠ je rove. ešeí: Ukážeme ešeí pomocí obou výše zmíých tet hypotéz o medáu. Prví krok, tj. taoveí ulové a alteratví hypotézy, je v obou pípadech tejý. Vtupí data: Výbr: ~ 94 + 98 96 Staoveí ulové a alteratví hypotézy: H :,5,5 < H A : (výbr ukazuje a to, že medá IQ by mohl být žší ež ) Zamékový tet Volba tetového krtéra a taoveí jeho ulového rozdleí: T ( X ) Y B( ;,5), Y poet pozorováí v áhodém výbru o rozahu, které pekroí,5 Výpoet hodoty tetové tattky : 65 98 3 77 93 3 8 94 Y H 4 (ve výbru jou 4 hodoty vyšší ež ) Výpoet p-value: H A : p value F ( ),5 < Y B(;,5) - 8 -
Rozhodutí: p value F p value 3 ( 4) P( Y < 4) 5 k k,7 k k (,5) (, ) p value >,5 Nezamítáme ulovou hypotézu, tj. lze tvrdt, že IQ tudet má medá. Wlcov tet Volba tetového krtéra a taoveí jeho ulového rozdleí: Výpoet hodoty tetové tattky : T r ( X ) W N( ; ) Vtupí data potup traformujeme a promou r * a z í vypoteme hodotu tetové : tattky ( ),5 r, IQ Seazeé hodoty IQ y,5 r rak( ) r r g(,5 ) y 93 65 35-94 77 3 9-9 77 8 8-8 8 93 7 6-6 3 94 6 5-5 3 98-98 65 3 3 4 4 3 3 7 7 Nejžší hodota y je. e vykytuje a.,. a 3. poadí, proto bude všem tmto + + 3 hodotám y pazeo poadí ( ). 3 Nap.: g( 65 ) g ( ) r r,5, r ( r r) 9 6, - 83 -
W H r,5,3 6, r H Výpoet p-value: H A : p value F ( ),5 < Rozhodutí: p value >,5 p value Φ(,3) Φ(,3),97,93 Nezamítáme ulovou hypotézu, tj. lze tvrdt, že IQ tudet má medá. Výklad: Náledující kupa tet patí mez tety o hod úrov ve dvou ouborech. Výbr tet bude závet eje a rovávaém parametru, ale také a tom, zda výbry z jedotlvých oubor jou závlé ezávlé. Jako ezávlé považujeme takové výbry, kdy pílušé dvojce ejou fyzcky pjaty, tj. etýkají e tejých prvk (tlak krve u muž a u že ). Jako závlé ozaujeme aopak ty výbry, kdy pílušé dvojce jou fyzcky pjaty, tj. týkají e tejých prvk pozorovaých za rzých podmíek (tlak krve u kupy oob ped zátží a po zátží ). Tety o hod úrov ve dvou ouborech pro závlé výbry e azývají párové tety. (Tetováí vlvu jakého epermetálího faktoru ebo rováváí vlvu dvou rzých faktor a jedom meém emprckém objektu).. Tet hypotézy o hod dvou tedích hodot Jde o jede z ejpoužívajších tet, který a základ porováí dvou ezávlých výbr umožuje porovat dv populace. Nezávlot výbr bývá v pra zaruea tím, že každý výbr obahuje jé prvky. Také teto tet patí mez parametrcké, tj. je založe a pedpokladu, že máme výbry z ormálího rozdleí. ad.) Volba ulové a alteratví hypotézy H : µ µ ( µ µ ) H A : µ < µ ( µ µ < ) µ > µ ( µ µ > ) µ µ ( µ µ ) ) ) 3) - 84 -
Volba ulové hypotézy je zejmá, u alteratvy máme opt t možot. Volba vhodé alteratvy je v tomto pípad dáa vztahem mez prmry jedotlvých výbr. Je-l jedoza žší ež, volíme alteratvu ve tvaru ). Je-l jedoza vyšší ež, volíme alteratvu ve tvaru ). Pohybuje-l e v blízkot, volíme alteratvu ve tvaru 3). ad.) Volba tetové tattky Volba vhodé tetové tattky záví a tom, zda záme ezáme mrodaté odchylky a. (Srovejte potupem p urováí tervalového odhadu pro rozdíl tedích hodot.) Zárove uríme pílušé ulové rozdleí. Záme, : ( ) ( X X ) ( µ µ ) T X Z N σ σ Nezáme, : ( ) ( X X ) ( µ µ ) T X + ( ; ) T t + p +, kde p ( ) + ( ) + Dále pak pokraujeme podle obecého chématu tého tetu výzamot. ešeý píklad: Tabáková frma TAB prohlašuje, že jejch cgarety mají žší obah kotu ež cgarety NIK. Pro oveí tohoto prohlášeí bylo áhod vybráo z produkce TAB krabek cgaret (po -t kuech) a v ch bylo zjšto (4,6 ± 3,7) mg kotu (v jedé cgaret). Ve 5-t krabkách cgaret NIK (po -t kuech) bylo zjšto (48,9 ± 4,3) mg kotu a cgaretu. Ovte tvrzeí frmy TAB tým tetem výzamot. ešeí: Chceme porovávat tedí obah kotu v cgaretách TAB a NIK, mrodatou odchylku obahu kotu v cgaretách ezáme. Volíme tedy tet pro porováí tedích hodot dvou populací (p ezámých ) za pedpokladu, že obah kotu v cgaretách podléhá ormálímu rozdleí. Vtupí data: Výbr frma TAB: X 4, 6 mg 3, 7 mg. 4-85 -
Výbr frma NIK: X 48, 9 mg 4, 3 mg 5. 5 Staoveí ulové a alteratví hypotézy: H : µ ( µ µ ) H A : µ < µ ( µ µ ) µ (rovovážý tav) < (výbry ukazují a to, že obah kotu v cgaretách TAB je žší ež obah kotu v cgaretách NIK) Volba tetového krtéra a taoveí jeho ulového rozdleí: T ( ) ( X X ) ( µ µ ) X T t + p +, kde p ( ) + ( ) + Výpoet hodoty tetové tattky : Pokud je ulová hypotéza platá, platí, že: µ ( µ µ ) µ, proto: p ( ) + ( ) 399 ( 3,7) + 499 ( 4,3) + 4 + 5 4, T H ( X X ) ( µ µ ) H ( 4,6 48,9) ( ) p + 4, 4 + 5 3, Výpoet p-value: H A : < µ ( µ µ ) Rozhodutí: µ p value F ( ) < p value <, ( p value F 3,) p value <,5 vz. Tabulka (Studetovo rozdleí 898 (4+5-) tup volot) Zamítáme ulovou hypotézu, tj. tvrzeí frmy TAB lze považovat za pravdvé. - 86 -
Výklad:. Tet hypotézy o hod dvou rozptyl Opt pedpokládejme, že máme dva ezávlé výbry z ormálího rozdleí. ad.) Volba ulové a alteratví hypotézy H : H A : σ σ σ σ σ < ) σ > ) Volba ulové hypotézy je zejmá, u alteratvy máme tetokrát pouze dv možot. Oboutraou alteratvu emžeme v tomto pípad použít, protože výpoet p-value pro oboutraou alteratvu je podmí tím, že ulové rozdleí tetové tattky je ymetrcké. Protože tetová tattka používaá pro tet hody dvou rozptyl má Fcher- Sedecorovo rozdleí, eí tato podmíka pla. Volba vhodé alteratvy je dáa vztahem mez výbrovým rozptyly jedotlvých výbr. Je-l jedoza žší ež, volíme alteratvu ve tvaru ). Je-l jedoza vyšší ež, volíme alteratvu ve tvaru ). ad.) Volba tetové tattky T ( X ) F F( m, ), kde F má Fcher-Sedecorovo rozdleí m tup volot pro tatele a tup volot pro jmeovatele. Dále pokraujeme podle obecého chématu tého tetu výzamot..3 Tet hypotézy o hod dvou relatvích etotí Také teto tet bývá ato využívá. Opt je zde uté mít k dpozc dva ezávlé výbry z ormálího rozdleí. ad.) Volba ulové a alteratví hypotézy H : π π ( π π ) H A : π < π ( π π < ) π > π ( π π > ) π π ( π π ) ) ) 3) Volba ulové hypotézy je zejmá, u alteratvy máme opt t možot. Volba vhodé alteratvy je v tomto pípad dáa vztahem mez výbrovým relatvím etotm - 87 -
jedotlvých výbr. Je-l p jedoza žší ež p, volíme alteratvu ve tvaru ). Je-l p jedoza vyšší ež p, volíme alteratvu ve tvaru ). Pohybuje-l e p v blízkot p, volíme alteratvu ve tvaru 3). ad.) Volba tetové tattky T ( X ) P ( p p ) ( π π ) N p ( p) + ( ; ), kde p + + Dále pak pokraujeme podle obecého chématu tého tetu výzamot. ešeý píklad: Byly tetováy magetofoy od dvou výrobc SONIE a PHILL. SONIE prohlašuje, že jejch magetofoy mají žší proceto reklamací. Pro oveí tohoto prohlášeí bylo dotazováo kolk prodejc magetofo a bylo zjšto, že ze 5 prodaých magetofo frmy SONIE bylo v prbhu záruí doby reklamováo 5 výrobk a ze prodaých magetofo PHILL bylo v záruí dob reklamováo 9 výrobk. Otetujte pravdvot prohlášeí frmy SONIE tým tetem výzamot. ešeí: Chceme porovávat proceto (relatví etot) reklamovaých výrobk u obou frem. Volíme tedy tet hypotézy a rozdílu mez podíly (relatvím etotm). Vtupí data: Výbr frma SONIE: 5 5 p 5 5 Výbr frma PHILL: 9 9 p Staoveí ulové a alteratví hypotézy: H : π ( π π ) H A : π < π ( π π ) π (rovovážý tav) <,33,4 (výbry ukazují a to, že proceto reklamovaých výrobk frmy SONIE je žší ež proceto reklamovaých výrobk frmy PHILL) - 88 -
Volba tetového krtéra a taoveí jeho ulového rozdleí: T ( X ) P ( p p ) ( π π ) N p ( p) + ( ; ), kde p + + Výpoet hodoty tetové tattky : Pokud je ulová hypotéza platá, platí, že: π π ( π π ) p + + 5 + 9 4 5 + 37,38, proto: P H ( p p ) ( π π ) p ( p) H +,38 (,33,4) ( ) (,38) 5 +,4 Výpoet p-value: H A : < π ( π π ) π p value F ( ) < (,4) p value Φ(,4) Φ p value,345 vz. Tabulka Rozhodutí: p value >,5 Nezamítáme ulovou hypotézu, tj. tvrzeí frmy SONIE eí oprávé. Výklad:.4 Tet hypotézy o hod dvou medá Mav Whtev tet Jde o další tet, který a základ porováí dvou ezávlých výbr umožuje porovat dv populace. Teto tet patí k eparametrckým emuíme tedy zát rozdleí populací. ad.) Volba ulové a alteratví hypotézy H :,5 ( ),5,5, 5 H A :,5 < (,5,5, 5 <,5 > ( ),5,5, 5 > ( ),5,5,5, 5 ) ) 3) - 89 -
Volba ulové hypotézy je zejmá, u alteratvy máme opt t možot. Volba vhodé alteratvy je v tomto pípad dáa vztahem mez medáy jedotlvých výbr. Je-l ~ jedoza žší ež ~, volíme alteratvu ve tvaru ). Je-l ~ jedoza vyšší ež ~, volíme alteratvu ve tvaru ). Pohybuje-l e ~ v blízkot ~, volíme alteratvu ve tvaru 3). ad.) Volba tetové tattky Volba vhodé tetové tattky záví a tom, zda záme ezáme mrodaté odchylky a. (Srovejte potupem p urováí tervalového odhadu pro rozdíl tedích hodot.) Zárove uríme pílušé ulové rozdleí. kde r k rak( ) T r r ( X ) W N( ;) r + ( ) + ( ) r r r, + (poadí ( ), ejžší hodot (z obou výbrových oubor) je pazea hodota, ejvyšší hodot je pazea hodota, pokud oubor obahuje kolk tejých hodot, je tmto hodotám pazeo tzv. prmré poadí), r k k, r k ( r r) k r (k,) k k Dále pak pokraujeme podle obecého chématu tého tetu výzamot. ešeý píklad: Máme dv kupy tudet. Prví (kotrolí), v íž jou tudet vyuová tradím metodam, a druhá, v íž jou tudet vyuová epermetálím metodam. V áledujících tabulkách je uvedeo bodové hodoceí vybraých tudet u zkoušky. Na základ rováí medáu rozhodte, zda tudet vyuová epermetálím metodam doahují lepších výledk ež tudet klackým vyuováím. Výbr z prví kupy (klacká výuka) 6 49 5 68 68 45 57 5 3 4 33 3 8 3 48-9 -
Výbr z druhé kupy (epermetálí výuka) ešeí: 38 8 68 84 7 48 36 9 6 54 Volba ulové a alteratví hypotézy H :,5 ( ),5,5, 5 H A : ( ) ( ~ 48; ~ 5),5,5,5, 5 Volba tetového krtéra a taoveí jeho ulového rozdleí: T r r ( X ) W N( ;) r + Výpoet hodoty tetové tattky : 6 49 5 68 68 45 57 5 3 4 33 3 8 3 48 r 9 4 5,5 8 5,5 7 5,5 4 5,5,5 38 8 68 84 7 48 36 9 6 54 r 9 3 4 3,5 8 5 7 r r r r, ; 4,4 ; ( r r) r 6,3 ; ( r r) r 8,9 r ( ) r + ( ) r 4 ( 6,3) + 9 ( 8,9) + 5 + 7,4 W H r r r +,-4,4 7,4 5 + (,76) Výpoet p-value: H A : ( ),5,5,5, 5-9 -
p F value.m{ F ( ); F ( )} ( ) Φ( -,76) Φ(,76),776, 4 F ( ) Φ( -,76) Φ(,76), 776 p value.,4,448 Rozhodutí: p value >,5 Nezamítáme ulovou hypotézu, tz. ebyl potvrze vlv typu výuky a výledky tudet zkoušky. Výklad:.5 Párové výbrové tety Zopakujme, že k párovým tetm ptupujeme v pípadech, kdy chceme rovat úrove dvou závlých oubor, tj. pokud tetujeme vlv jakého epermetálího faktoru ebo rováváme vlvy dvou rzých faktor a jedom meém emprckém objektu. Pedpokládejme meých jedotek ( objekt), a chž jou provedea dv pozorováí, daá rzým epermetálím podmíkam (ap. pobí epobí jaký faktor, jehož úky jou pedmtem šeteí). Píkladem mže být tepová frekvece rdce ped a po jakém cveí. Nech X je poáteí pozorovaá hodota -tého meého objektu (tepová frekvece ped cveím) a X áledující pozorovaá hodota (tepová frekvece po cveí) pro tejý meý objekt. Nyí mžeme aalyzovat tato data a tetovat hypotézu, zda etuje rozdíl mez obm pozorováím a báz výše uvedeých dvouvýbrových tet. Avšak teto potup by elmoval možot pooudt rozdíly pozorovaých hodot a týchž meých objektech. Mohem efektvjším potupem ze tattckého hledka je využít párového charakteru takto zíkaých dat a vytvot jedu datovou hodotu pro každý meý objekt. V ejjedodušším datovém modelu bude touto hodotou rozdíl zíkaých dvou pozorováí pro daý -tý meý objekt. Tímto ovým pozorováím je: d X X Rozdíly d pak mohou být použty pro jedovýbrové tety o tom, zda ledovaý parametr (tedí hodota, medá) d je ula, což je ekvvaletí tím, že eetují žádé rozdíly mez epermetálím podmíkam (ebo že zkoumaý faktor je eúý). - 9 -
ešeý píklad: Máme k dpozc údaje o tepové frekvec pacet v kldu a po mutách cveí. Rozhodte a základ porováí tedích hodot a medá tepových frekvecí, zda e mutové cveí projeví a tepové frekvec pacet. Kldová frekvece X 4 73 3 5 69 94 93 67 4 76 Frekvece po cveí 5 75 47 83 3 9 69 3 8 57 89 X ešeí: Zcela zejm e jedá o závlé výbry, proto použjeme párové tety. Kldová frekvece 4 73 3 5 69 94 93 67 4 76 Frekvece po cveí 5 75 47 83 3 9 69 3 8 57 89 d 34-3 54 8-5 3-3 - -4 3 Párový tet tedí hodoty: Vtupí data: Výbr: d 5, d 6,9 Staoveí ulové a alteratví hypotézy: H : µ (rovovážý tav, cveí tepovou frekvec eovlvlo) H A : µ > (výbr ukazuje a to, že cveí tepovou frekvec zvýšlo (5 > )) Volba tetového krtéra a taoveí jeho ulového rozdleí: T X µ ( X ) T t Výpoet hodoty tetové tattky : d µ 5, T,64 H 6,9 d Výpoet p-value: H A : µ > p value F ( ) p value F (,64) F (3,54) <,75 vz. Tabulka - 93 -
p value >,5 (Studetovo rozdleí, tup volot) Rozhodutí: p value >,5 Nezamítáme ulovou hypotézu, tj. z hledka tedí hodoty mžeme vlv mutového cveí považovat za evýzamý. Párový tet medáu: Vtupí data: Výbr: ~ 6, Staoveí ulové a alteratví hypotézy: H : (rovovážý tav, cveí tepovou frekvec eovlvlo),5,5 > H A : (výbr ukazuje a to, že cveí tepovou frekvec zvýšlo Zamékový tet: (6 > )) Volba tetového krtéra a taoveí jeho ulového rozdleí: T ( X ) Y B( ;,5), Y poet pozorováí v áhodém výbru o rozahu, které pekroí,5 () Výpoet hodoty tetové tattky : d 34-3 54 8-5 3-3 - -4 3 Y H 7 (ve výbru je 7 hodot vyšších ež ) Výpoet p-value: H A :,5 > p value F ( ) Y B(;,5) p value F p value,387 (7) P( Y < 7) P( Y 7) 5 k 7 k k k (,5) (, ) - 94 -
Wlcoov tet Volba tetového krtéra a taoveí jeho ulového rozdleí: Výpoet hodoty tetové tattky : T r ( X ) W N( ; ) Vtupí data potup traformujeme a promou r * a z í vypoteme hodotu tetové tattky: y ( ),,5 ( ) r rak, r y ( ) r g,5 d 34,5 Seazeé hodoty d -3-3 -5 r y d rak( ), r y r r g(,5 ) 3-3 8,5-8,5 5 7-7 -3-3,5-3,5 54-4 4-8 -5 3,5 3,5 3 3 3 5 5-3 8 8 6 6-3 3 8,5 8,5-4 34 34,5,5 3 54 34,5,5 r r,3, r ( r r) 7,6 W H r,3,59 7,6 r H - 95 -
Výpoet p-value: H A : p value F ( ),5 > Rozhodutí: Jak pro zamékový tet, tak pro Wlcoov tet je p value >,5 p value Φ(,59) Φ(,3),7,78 Nezamítáme ulovou hypotézu, tj. z hledka medáu mžeme vlv mutového cveí považovat za evýzamý. Blízkot p-value pro t tet a pro tety medáu ukazuje a epítomot odlehlých pozorováí. Výklad: V áledujícím tetu e zamíme a které z tzv. tet dobré hody. V kterých pípadech e mžeme domívat, že tudovaá data (výbr) pocházejí z urtého teoretckého rozdleí. Tato domka bývá podložea bu formacem o ledovaém jevu ebo odhadem teoretckého rozdleí a základ grafckého zobrazeí výbrového rozdleí. Náš odhad však emuí být právý, a proto jej v pra ovujeme tetem dobré hody (tj. hody mez výbrovým a teoretckým rozdleím ( tet dobré hody, Kolmogorovv Smrovv tet pro jede výbr, ). Obdob mžeme ovt, zda dva ezávlé výbry pocházejí z rozdleí e tejým dtrbuím fukcem (Kolmogorovv Smrovv tet pro dva výbry). Z formulace problém vyplývá, že eí teba rozlšovat jedotraé a oboutraé alteratví hypotézy. Alteratva prot popírá platot ulové hypotézy, tj. tvrdí, že rozdleí je jé ež udává ulová hypotéza. Proto je uté pro jedotlvé tety urt zpob výpotu p-value..6 tet dobré hody ad.) Volba ulové hypotézy Tet dobré hody e používá ejatj pro ovováí tchto hypotéz: a) H : Výbr pochází z populace, v íž jou relatví etot jedotlvých varat rovy ílm π,; π,; ; π, k (populace muí být roztídtelá podle jakého zaku do k kup) b) H : Výbr pochází z rozdleí urtého typu (ap. ormálí), jehož parametry jou dáy (úpl pecfkovaý model) c) H : Výbrový oubor pochází z rozdleí urtého typu (ap. ormálí) (eúpl pecfkovaý model eovujeme formace o parametrech rozdleí, parametry modelu odhadujeme) - 96 -
ad.) Volba tetové tattky Jako tetovou tattku volíme tattku G, která má pro dotateý rozah výbru aymptotcky χ rozdleí: k h T ( X ) G k ( π, ) π, χ k h, kde je rozah výbru, k je poet varat, h je poet odhadovaých parametr modelu, jou kuteé etot jedotlvých varat a, jou oekávaé relatví etot (tj. relatví etot, jchž by mly abýt jedotlvé varaty v pípad, že je pla ulová hypotéza).., jou tedy oekávaé etot jedotlvých varat (tj. etot, jchž by mly abýt jedotlvé varaty v pípad, že je pla ulová hypotéza) a ( -., ) pak jou odchylky oekávaých etotí od etotí kuteých. Za výbr dotateého rozahu považujeme výbr, pro jž platí, že všechy oekávaé etot jou vyšší ež 5 ( π 5 (,,, k)), > Dále potupujeme opt podle obecého potupu p tém tetu výzamot. ad4) Výpoet p-value P tomto tetu urujeme p-value jako: p value F ( ) ešeý píklad: Hodlo e 6 krát hrací kotkou a zazamealy e poty padlých ok... (ílo které padlo) 3 4 5 6 (etot jeho výkytu) 979 5 98 4 984 Je možé a základ pílušého tetu a hlad výzamot 5% polehlv tvrdt, že kotka je "falešá", tj. že pravdpodobot všech íel a kotce ejou tejé? ešeí: Muíme tetovat, zda rozdleí potu ok padlých a kotce je takové, že pravdpodobot všech možých hodot jou /6. Pro teto tet dobré hody doporuujeme použít tet dobré hody (H je ve tvaru a) ): Volba ulové a alteratví hypotézy H : Pravdpodobot potu ok a kotce je dáa áledující tabulkou: (ílo které mže padout) 3 4 5 6, (ulová pravdpodobot jeho výkytu) /6 /6 /6 /6 /6 /6-97 -
H A : H, tj. pravdpodobot potu ok a kotce je já ež je uvedeo ve výše uvedeé tabulce Volba tetové tattky Rozah výbru: 6 Poet varat: k 6 Poet odhadovaých parametr: h π π, π,6 6 π, π,, 6 > 5 Rozah výbru je dotateý proto, abychom mohl použít tetovou tattku G, π T ( X ) G k ( π, ) π, χ k h Výpoet pozorovaé hodoty : ( π ) k, T ( X ) H G H π, 979 6 6 6 6 6 6 + 6 6 984 6 6 + + 6 6,93 Výpoet p-value: p value F ( ) F,93 ( ) ( ) (,93), 5 < F (,93), 75 F,5 < F < (vz. Tabulka 3, poet tup volot je 5 (6-)),5 <,5 < p value <,75 Rozhodutí: p value >,5 Nezamítáme ulovou hypotézu, tj. elze tvrdt, že kotka je falešá. ešeý píklad: Výrobí frma odhaduje poet poruch urtého zaízeí bhem hod pomocí Pooova rozdleí parametrem,. Zamtac zazameal pro kotrolu kuteé poty poruch celkem ve 5-t hodových tervalech (výledky jou uvedey v tabulce). Ovte tým tetem výzamot, zda má poet poruch daého zaízeí bhem hod kute Pooovo rozdleí parametrem,. - 98 -
poet poruch bhem hod provozu 3 4 - poet pozorováí 5 48 36 4 ešeí: Muíme tetovat, zda poet poruch daého zaízeí bhem hod má kute Pooovo rozdleí parametrem,. Pro teto tet dobré hody doporuujeme použít tet dobré hody (H je ve tvaru b) tj. jde o úpl pecfkovaý model (víme jaký má být parametr rozdleí)): Defujme áhodou velu X jako poet poruch daého zaízeí bhem hod provozu. Volba ulové a alteratví hypotézy H : Poet poruch daého zaízeí bhem hod (áhodá vela X) má Pooovo rozdleí parametrem, H A : H, tj. poet poruch daého zaízeí bhem hod (áhodá vela X) emá Pooovo rozdleí parametrem, Volba tetové tattky Rozah výbru: 5 Poet varat: k 5 Poet odhadovaých parametr: h Pokud platí H, pak X (poet poruch bhem hod) má Poooovo rozdleí e tedí hodotou, ( t). Na základ této formace mžeme urt ulové pravdpodobot,. ( X ) ( λt) λt (,), π, P e e!! Zárove uríme oekávaé etot. poet poruch bhem hod provozu 3 4 poet pozorováí 5 48 36 4,,3,36,7,87,34., - oekávaé etot 45, 54, 3,6 3, 5, Všechy oekávaé etot jou vtší ež 5, tudíž rozah výbru je dotateý proto, abychom mohl použít tetovou tattku G T ( X ) G k ( π, ) π, χ k h - 99 -
Výpoet pozorovaé hodoty : ( π ) k, T ( X ) H G H π, Výpoet p-value: ( 54 45,) ( 48 54,) ( 4 5,) 45, + 54, + + 5, 3,3 H A : p value F ( ) ( ) ( 3,3 ) ( 3,3 ), 5 < F (,93), 75 F Rozhodutí: F,5 < F < (vz. Tabulka 3, poet tup volot 5-- 4),5 <,5 < p value <,75 p value >,5 Nezamítáme ulovou hypotézu, tz. emáme ámtek prot použtí Pooova rozdleí parametrem, pro odhad potu poruch daého zaízeí bhem hod provozu (toto rozdleí je vhodým modelem pro poet poruch). ešeý píklad: Na dálc byly v prbhu kolka mut mey aové odtupy [] mez prjezdy jedotlvých vozdel. Zjšté hodoty tchto odtup jou v další tabulce:,5 6,8 5, 9,8 4,,3 4,,9 8,7 7,7 5,9 5,3 8,4 3,6 9, 4,3,6 3, 5,4 8,6 4,,9,5,8,6 5,9 8,3 5, 6,9 5,,3 6,4 6,5 5,7 3,6 4,8 4, 7,3 4,9,6 5, 5,3 4, 3,3 6, 4,6,6,9,5, 4,3 5,5,,9 3, 3,8,,5 8,6 4,4 6,8 5, 3, 8, 4, 4,7 7,3,3,9,9 4,6 6,4 5,3 3,9,4, 6, 4,3,6,7,,8 3,7 6,9,8 4,3 4,9 4, 4,5 4,4,9 9, 5,6 4,8,8, 4,3,,6,5,,3,8,6 3,8 3,,6 4,9,8 3,9 3,4,6 4,5 5,8 6,9,8,6 6,8,5,9 3,,8,6, 4,9,,6, 3,8,,8,4 Otetujte tým tetem výzamot, zda lze aové odtupy mez vozdly považovat za áhodou velu ormálím rozdleím. ešeí: Nech: áhodá vela X je defováa jako aový odtup mez prjezdy jedotlvých vozdel. - 3 -
Volba ulové a alteratví hypotézy: H : H A : aové odtupy mez prjezdy jedotlvých vozdel mají ormálí rozdleí. aové odtupy mez prjezdy jedotlvých vozdel emají ormálí rozdleí. Volba tetové tattky: Pokud e ám podaí plt pedpoklady pro tet dobré hody ( π, > 5), mžeme ešt daý problém pomocí tohoto tetu (H bude vyjádeá ve verz c) eúpl pecfkovaý model). Nejdíve odhademe parametry rozdleí ( odhademe prmrem, odhademe výbrovou mrodatou odchylkou (ejlepší etraé bodové odhady)): Rozah výbru: 3 ˆ µ 3 3 4,6 ˆ σ ( ) 3,3 V dalším kroku muíme rozdlt data do rozumého potu terval a ajít oekávaé etot pro pílušé tervaly. Na jejch základ rozhodeme, zda mžeme pro ešeí daého problému použít tet dobré hody. Itervaly e volí vtšou pouze a základ vlatí úvahy. Sažíme e však dodržovat kolk pravdel: Pokud je to možé, dodržujeme kotatí šíku tervalu (tídy) Poet terval v rozumých mezích. Obvykle e považuje za vhodé volt 5 až 5 terval. Poet terval emá být a pílš malý (vede k hrubému, zjedodušeému pohledu a rozdleí pravdpodobot), a pílš velký (který dlá rozdleí pravdpodobot epehledým). Itervaly emuí mít tejou šíku, avšak proto, abychom mohl použít tet dobré hody, muí být oekávaé etot pro pílušé tervaly vtší ež 5. Pokuíme e tedy rozdlt data do rozumého potu terval, ajdeme oekávaé etot pro pílušé tervaly a pak data perozdlíme tak, aby byla pla podmíka pro použtí tetu dobré hody. Jak poítat oekávaé etot? Oekávaé etot: Oekávaé relatví etot: π,, π uríme jako pravdpodobot výkytu áhodé vely X a pílušém tervalu (pedpokládáme-l - 3 -