Cvičení k přednášce Kvantová mechanika II

Cvičení k přednášce Kvantová mechanika II Pavel Stránský 3. května 8

Spinové systémy, matice hustoty. Volné mionium Mioniumjevázanýstavanti-)mionu µ + selektronem,podobnýnapř.atomuvodíku. Vzniknepřiozařovánívzorkusvazkem µ +.Mionyseinterakcíslátkouzpomalujíapři dostatečně malé rychlosti zachytí elektron. S ním vytvoří vázaný stav, který se velmi rychleřádověza 9 s,prosrovnánístřednídobaživota µ + je τ µ +.µs)dostane do základního stavu. Důležité je, že jsme schopni připravit miony s konkrétní orientací spinu a že se během deexcitace orientace spinu nemění. Při ozařování slabé fólie kovu je mionium po záchytu elektronu elektricky neutrální avolnéadíkytomumůžedifundovatvenzevzorku. Nachází-li se mionium v základním stavu, lze interakci spinu mionu a spinu elektronu popsat Hamiltoniánem ĤE + A 4 ˆσ µ ˆσ e, kde E m r c α /m r jeredukovanáhmotnostelektronuamionu), Ajevazebná konstantajejí hodnotu lze určit teoreticky) a ˆσ µ ˆσ e ˆσ µ σˆ e +ˆσ µ σˆ e +ˆσ µ3 σˆ e3, přičemžˆσ µ jeoperátorspinupříslušejícímionu,ˆσ e elektronu. Nalezněte,čemujerovno σ µ σ e,kde σ σ,σ,σ 3 )jsoupaulihomatice. Spočítejte vlastní stavy S a vlastní vektory výsledné matice. Tyto vlastní stavy označte S,S z,kde S z jeprojekcespinusloženéhosystémudosměruosy z. VyjádřetematiciHamiltoniánuvbázi s µ,s e, s µ,e {+, }avbázi S,S z. Nalezněte její vlastní hodnotypomocí výsledku předchozího kroku). Uvažujte,žespinmionu,kterýmozařujemevzorek,máorientaci+vesměruosy z, tj. ψ µ + µ,spinelektronumálibovolněorientovanýspin ψ e α + e +β e, α + β.napištevlnovoufunkci ψsloženéhosystému,atovoboubázíchz předchozího bodu. Nalezněte ψt),tj.stavsystémuvčase t. Určetepravděpodobnost p + t),ževčase tzměříteprojekcispinumionuvesměru osy z. Využijte k tomu projektor Hamiltoniánsetakédázapsatekvivalentněvetvaru ˆP µ+ + µ + µ...) ĤE + A 4 ˆσ µ ˆσ e, kdeˆσ µ,e mánynítrochujinývýznam,jedefinovánovztahy ˆσ µ ˆσ ˆ µ ˆσ e ˆ e ˆσ.

Zopakujte celý výpočet pro případ, že stav elektronu na počátku je smíšený stav popsaný operátorem hustoty ˆρ e + e + e + e e nalezněte matici hustoty složeného systému mion-elektron v čase t, následně v čase t, udělejte parciální stopu přes elektronové stavy, které neměříte, a poté užijte projektoru..)).. Domácí úkol.. Mionium v křemíku Zopakujte postup ze cvičení pro Hamiltonián Ĥ E + A 4 ˆσ µ ˆσ e + Dˆσ µ3 ˆσ e3 popisující interakci spinů mionu a elektronu v mioniu, které se po vzniku v krystalové mříži křemíku naváže do mříže, vytvořivši s okolními atomy šesterečnou mříž. Poslední člen v Hamiltoniánu popisuje narušení sférické symetrie interakce. Rotační symetrie okolo osy z však zůstane zachována. Konstanty A >, D <seurčujíexperimentálně. Napište matici Hamiltoniánu a spočítejte její vlastní hodnoty a vlastní stavy S,S z. Nechťdopadajícímionyjsoupolarizoványdokladnéhosměruosy x,tj. ψ µ +x µ.vyjádřete ψ µ3,cožjepočátečnístavmionuvyjádřenývbázispinuorientovanéhovesměruosy z. Nechť elektrony jsou před vznikem polarizovány v kladném, resp. záporném směru osy z,tj.uvažujemedvapřípady ψ e+ + e, ψ e e.naleznětestav složenéhosystémuelektron-mionvčase t,včase tapravděpodobnost,že včase tnaměřítespinmionuorientovanývesměruosy xproobědvěpočáteční orientace spinu elektronu. Spočítejte totéž jako v předchozím bodu pro případ, že jsou elektrony na počátku ve smíšeném stavu ˆρ e + e + e + e e...).. Harmonický oscilátor při konečné teplotě Harmonický oscilátor v tepelné rovnováze s rezervoárem o teplotě T je od rezervoáru odpojen a následně zainteraguje s dvoustavovým systémem takovým způsobem, že stavy se svážou s lichými stavy oscilátoru, stavy + se sudými stavy oscilátoru. Vyjádřete redukovanou matici hustoty, pokud se zajímáme pouze o dvoustavový systém. 3

WKBJ) kvaziklasické přiblížení. Harmonický oscilátor Použitím WKB metody odvoďte spektrum a vlnové funkce jednorozměrného harmonického oscilátoru popsanéhojiž známým) Hamiltoniánem Ĥ Mˆp + kˆx. Nakreslete graf vlnové funkce pro dvacátou energetickou hladinun ) a porovnejte s přesnou vlnovou funkcí, která je řešením Schrödingerovy rovnice a která je určena Hermitovými polynomy φ n x) 4 MΩ π H nξ)e ξ, ξ n! n MΩ x. Na základě tohoto srovnání diskutujte přesnost WKB metody.. αrozpad α rozpad lze modelovat velmi jednoduchým modelem, který nám i přes svoji jednoduchost dovolí získat kvalitativní souhlas s experimentem. Budeme si představovat, že α částice vázaná v jádře tuneluje Coulombickou bariérou. Celý problém popíšeme jednorozměrným potenciálem { V pro x < a Vx) Z αze pro x > a, x přičemž Z jeprotonovéčíslojádra, Z α protonovéčíslo αčástice, V jekladný parametr, eα cqa αjekonstantajemnéstruktury. Ve WKB přiblížení odvoďte tzv. Gammovův koeficient průniku Texp b a px) dx kde px) je absolutní hodnota hybnosti částice v klasicky nedostupné oblasti vymezené body a, b, které ohraničují bariéru. Nalezněte jeho vyjádření pro uvažovaný model α rozpadu. Střednídobuživotalzeaproximovatvztahem τ P αrt,kde P αjepravděpodobnost, že se v jádře vydělí α částicebudeme předpokládat, že tato pravděpodobnostbudeprouvažovanájádra )arjepočet nárazů αčásticenabariéru zasekundu.odhadněte Raspočítejte τapoločasrozpadu T /. Propoloměratomupoužijtepřibližnývztah a a 3 A, Ajeatomovéčísloa a..5fm. Porovnejte číselně s hodnotami tří izotopů 4

izotop EMeV) T / 44 6Nd.8 5 let 4 88Ra 5.7 3.6 dne 84Po 8.8.3 µs UrčetedeBroglieovyvlnovédélky αčásticvjádrechztabulkyaporovnejtejes rozměry jádra. Je WKB aproximace oprávněná?.3 Domácí úkol- Coulombické pole WKB metodu lze aplikovat také na problémy se sféricky symetrickým polem. Schrödingerova rovnice pro radiální část vlnové funkce Rr) obecného sféricky symetrického problému má tvar kde r d dr r d dr Rr)+m E V efr))rr), V ef r) Vr)+ ll+) mr je efektivní potenciál, zahrnující v sobě centrifugální člen. Zavedením substituce Rr) ur)/r dostaneme rovnici d dr ur)+k r)ur), kde k r)m/ E V ef ). Ukazuje se, že WKB metoda dává dobré výsledky jedině v případě, aplikujeme-li tzv. Langerovu korekci, která spočívá v nahrazení ll+) l+ ) dá se odvodit z asymptotiky vlnových funkcí, původní práci Rudolpha E. Langera lze naléztvphys.rev.5,669937)). Vázané stavy lze pak nalézt z rovnice ekvivalentní Bohr-Sommerfeldově kvantovací podmínce r r k r)drn r + )π, přičemž k r)zahrnujelangerovukorekci, n r,,... jeradiálníkvantovéčíslo, r, jsoubodyobratuklasickétrajektorieshybností p r) k r). Uvažujte konkrétní případ pohybu částice v Coulombickém poli Vr) e r. Naleznětebodyobratu r, trajektoriesenergií EpočítejtesLangerovoukorekcí). Pomocí WKB přiblížení nalezněte spektrum, tj. stavy s energií E <. Porovnejte toto spektrum se spektrem získaným přesným řešením Schrödingerovy rovnice. 5

3 Skládání momentu hybnosti, tenzorové operátory MějmedvanezávisléoperátoryimpulsmomentůˆL ),ˆL ),[ˆL ),ˆL ) ],kterépůsobí nahilbertovýchprostorech H ), H ),ajejichsoučet ˆLˆL ) +ˆL ) působícínahilbertověprostoru HH ) H ). Mezi impulsmomenty, resp. jejich složkami platí komutační relace [ˆL j,ˆl k ]iǫ jklˆll [ˆL j,ˆl ] [ˆL,ˆL ) ) ][ˆL,ˆL ) ) ] [ˆL j,ˆl ) ) ][ˆL j,ˆl ) ) ] Toznamená,ženaprostoru HmůžemevolitzaÚMPtytomnožinyoperátorůse svými bázemi: ˆL ) ),ˆL ) 3,ˆL ) ),ˆL ) 3 { l ) m ) l ) m ) } ˆL ) ),ˆL ) ),ˆL,ˆL 3 { l ) l ) l m } běžněseužíváznačení l ) m ) l ) m ) l ) m ) l ) m ) ).Platítedy: Mezi oběma bázemi platí vztah ˆL ) ) l ) l ) l m l ) l ) +) l ) l ) l m ˆL ) ) l ) l ) l m l ) l ) +) l ) l ) l m l ) l ) l m ˆL l ) l ) l m ll+) l ) l ) l m ˆL 3 l ) l ) l m m l ) l ) l m m ) m ) l ) m ) l ) m ) l m) l ) m ) l ) m ) kdel ) m ) l ) m ) l m)jsouclebsch-gordanovykoeficienty. 3. Explicitní výpočet C-G koeficientů ExplicitnímvýpočtempomocíposunovacíchoperátorůˆL ± koeficientyproskládáníimpulsmomentů l ) l ). ˆL ±iˆl naleznětec-g Řešení: Budeme užívat zkrácený zápis l ) l ) l m l m l m l,) m,) m,) m ) 6

.Začínásesvektorysnejvyššíváhou: Condon-Shortleyova fázová konvence), neboli. Platí: ). ˆL ± l m α ±) l,m) l m ± α ±) l,m) ll+) mm ±) apodobněprojednotlivéimpulsmomentyˆl,),přičemžˆl ± ˆL ) ± +ˆL ) ±. Aplikujme tuto relaci na vektor : ˆL ˆL ˆL ) +ˆL ) + ). Srovnáním dostaneme atedy + ), ) ). 3.Jelikožmusíplatit mm ) + m ),dostáváme ) ) ) ) ) 4. Další aplikací posunovacího operátoru ˆL 6 ˆL + ) + + + ) + +, neboli 6 + + ), takže ) ) 6 ) 6. VšechnyostatníC-Gkoeficientysl, mjsounulové. 7

5.Dalšímiaplikacemi L bychomdostali atedy + ), ) ) ). 6.Hledejmenynívektor.Tentovektormusíbýtkolmýna.Označíme-li musí být c +c, c + c. Volme c, c reálné, c + c akoeficientu kladnýcondon-shortley). Pak ) a C-G koeficienty jsou ) ). 7.AplikacíˆL dostaneme takže ) ), ) ) ) ). 8

8. Zbývá poslední stav d +d +d 3. Zpodmínek dostáváme soustavu rovnic z které vyplývají vztahy Volme atedy d 6 + d 6 + d 3 6 d d 3, d d 3 d. 3 + ), ) ) 3 ) 3. Shrnutí: Obecný postup výpočtu Clebsch-Gordanových koeficientů je tedy takovýto:. Vezmeme vektor s nejvyšší váhou l ) l ) ll ) + l ) ml ) + l ) l ) l ) l ) m ).AplikujemeposunovacíoperátorˆL.Tímnaleznemevšechnyvektory l ) l ) l l ) + l ) m. 3.Vektor l ) l ) ll ) +l ) ml ) +l ) musíbýtortogonálník l ) l ) l l ) +l ) ml ) +l ) amusíbýtsplněnacondon-shortleyovafázovákonvence. 4.PostupněopakujemeaplikováníposunovacíhooperátoruˆL aortogonalitydoté doby,nežzískámevšechnymožnévektory l ) l ) l m. VšechnyClebsch-Gordanovykoeficientyproimpulsmomenty l ) l ) jsou uvedeny v tabulce 3.. 9

J M + + + - - - m ) m ) + + + + + - 6 3 6 3 - + 6 3 - - - - Tabulka:Clebsch-Gordanovykoeficientyproimpulsmomenty l ) l ).Pokudvtabulce není uvedeno žádné číslo, je příslušný C-G koeficient nulový. 3. Vektorový operátor jako ireducibilní tenzor k) Prosložky ˆT q libovolnéhoireducibilního tenzorového operátoru ˆT k), k,,..., q k,...,k ireducibilního proto, že se transformuje podle příslušné ireducibilní reprezentace grupy SO3), narozdíl např. od tenzoru vzniklého vzniklého dyadickým součinem dvou vektorů, viz úlohu 6.8) platí [Ĵ3,ˆT k) q ]kˆt k) q [Ĵ±,ˆT k) q ]α ±) k,q)ˆt k) q±, 3..) kdeĵjeoperátorimpulsmomentu,ĵ±ĵ ±iĵa α ±) k,q) kk+) qq ±). Ukažte,želibovolnémuvektorovémoperátoruˆVsesložkamiˆV x,ˆv y,ˆv z )sedápřiřadit ireducibilní tenzorový operátor. řádu pomocí předpisu ˆT ) ˆV x iˆv y ) ˆT ) ˆV z ˆT ) ˆV x +iˆv y ). 3..) Řešení: Důkaz se provede přímým dosazením do vztahů3..).

4 Hustota kvantových hladin Hustota kvantových hladin ρe) na energii E souvisí s objemem fázového prostoru ΩE) δe Hx,p))d n xd n p 4..) Hx, p) je Hamiltonova funkce systému) vztahem ρe) ΩE) h n ΩE) π ) n 4..) V jednorozměrném případě lze vztah přepsat na tvar, kde již neintegrujeme δ funkci. Využijeme toho, že pro δ funkci platí δfx)) x j f x j ) δx x j) fx j ) x j jsouvšechnyjednoduchékořeny). 4..3) Rozepíšeme Hamiltonovy funkci pomocí potenciálu, který závisí jen na souřadnici Hx,p) m p + Vx). Pak ΩE) δe m p Vx))dxdp δe m p Vx)) m [δp Px))+δp+Px))] Px) Px) me Vx)) m dx me Vx)) m E Vx) dx, 4..4) kde se integruje přes veškerá dostupná xnapříklad v případě systému se dvěma body obratujsouintegračnímeze x max x min řešenímrovnice Vx min,max )E). 4. Hustota hladin jednorozměrného harmonického oscilátoru Spočítejte hustotu hladin jednorozměrného harmonického oscilátoru. Řešení: Klasická Hamiltonova funkce harmonického oscilátoru je Hx,p) m p + kx.

Hustota kvantových hladin podle4..) je ΩE) δe m p kx )dxdp π p dp mdπ m k ξ x dx dξ k 4m δe π ξ )dξdπ k Polární souřadnice r π + ξ dξdπ rdrdϕ π π ω E dϕ δe r )rdr ω δe r ) E δr E)+δr+ E) δr E)+δr+ E)) ) rdr π ω. 4..) k Využilijsmevlastností δfunkce4..3)azavedli ω. m Hustota kvantových hladin tedy je konstantní, nezávisí na energii: ρe) π hω ω To je v souladu se skutečností a s dříve získaným výsledkem, že jednorozměrný harmonický oscilátor má ekvidistantní spektrum. Jiný způsob řešení: Využijeme relace4..4). Body obratu jsou takže x min E k ΩE) E k m a 4m k E k k x E ω [arcsina] x max E k, E kx dx da a da k dx E Tojeveshoděsřešením4..). π ω.

Jiný způsob řešení: Využijeme vlastnosti δe Hx,p)) θe Hx,p)) E která po dosazení do vztahu4..) dá ΩE) θe Hx,p))dxdp E E Hx,p))dxdp E Hx,p)<E V našem případě D harmonického oscilátoru dává integrál povrch elipsy S πab s poloosami E a b me, k takže po dosazení ΩE) ) 4m π E k E π ω, cožjeopětveshoděs4..). Jiný způsob řešení: Vyjdeme z Fourierovy transformace δ-funkce: δx) π e iκx dκ Po dosazení do vztahu4..) a pro náš jednorozměrný harmonický oscilátor dostáváme ΩE) e iκe m p kx ) dκdxdp π π p iκ e m dp πm π iκ e iκe ω iκ dκ π ω. kx iκ e m ) π iκk dx ) e iκe dk e iκe dκ 4. Obrácený oscilátor v jámě Uvažujte jednorozměrný potenciál daný předpisem { Vx) kx a x a x > a 4..) obrácený harmonický oscilátor v nekonečně hluboké pravoúhlé jámě). Spočítejte hustotu kvantových hladin. 3

Řešení: K řešení vyjdeme ze vztahu4..4).. E < Vtomtopřípadědostávámepotenciáljesudý,počítámejenvoblasti x >a výsledek zdvojnásobíme): kde ka E. ΩE) m m E b a E k a E k k x E k E a E + kx dx k E x dx dx E db k 4 ω b db bcosh z dbsinhzdz arccosh k E a ) 4 ω ) 4 ω arccosh k E a, sinh z cosh z dz Hustota hladin je tedy ) ρe) π ω arccosh k E a.. E > Podobným postupem jako v případě záporné energie dostaneme ) ρe) π ω arcsinh k E a. Výslednáhustotahladinjeznázorněnanaobrázku4..Jevidět,žepro Ehustota diverguje.tosouvisístím,ževklasickémpřípadějebodobratupřitétoenergiivbodě xpatologický, V x),apatologickájeijedinámožnátrajektoriepřitéto energii.částicedostihnebod xažvnekonečnémčase. 4

Ρ E 5 4 3.4....4 E Obrázek:Hustotakvantovýchhladinpropotenciál4..)přivolbě a mk. 5

4.3 Domácí úkol Spočítejte hustotu hladin izotropního n-rozměrného harmonického oscilátoru. 6

5 Kulové funkce Vlnové funkce částice ve sféricky symetrickém potenciálu lze hledat ve tvaru kvadraticky integrovatelných funkcí ψ Elm r,θ,φ)r El r)y lm θ,φ) 5..) s normalizací r dr π π sin θdθ dφψelmr,θ,φ)ψ E l m r,θ,φ)δ EE δ ll δ mm. 5..) ZaÚMPjsmezvolilioperátoryĤ, ˆL z,ˆl. Zabývejmesenadálejenúhlovoučástívlnovéfunkce Y lm θ,φ).operátorimpulsmomentumávx-reprezentacivyjádřenídiferenciálníoperátor) L j iǫ jkl x k x k,cožse při vyjádření ve sférických souřadnicích rovná ˆL x i sin φ θ +cotθcosφ ) φ ˆL y i cos φ θ +cotθsin φ ) φ ˆL z i φ aztěchtovztahůplynetaké ˆL sin θ θ sin θ θ + sin θ ) φ ˆL ± ˆL x ±iˆl y e ±iφ ± θ +icot θ φ Funkce Y lm θ,φ)jevlastnífunkcíoperátorů ˆL z,ˆl,tj. ) ˆL z Y lm my lm ˆL Y lm ll+)y lm, 5..3) kde l,,..., m l,...,ljsouceláčísla.nazákladěalgabraickýchvlastností operátoru impulsmomentu také platí přičemž α ±) l,m) ll+) mm ±). 5. Konstrukce kulových funkcí ˆL ± Y lm α ±) l,m)y l m±, 5..4) Pomocí rovnic výše uvedených vztahů nalezněte explicitní vyjádření pro vlnové funkce Y lm θ,φ). 7

Řešení: Rovnice5..3) jsou vlastně soustavou dvou parciálních diferenciálních rovnic pro funkce Y lm θ,φ).vyřešitjemůžemeseparací Z první z rovnic5..3) dostaneme Y lm θ,φ)f lm θ)φ m φ). i φ Φ m mφ m Φ m N Φ e imφ. Normalizačníkoeficient N Φ dostanemeznormalizačnípodmínky5..): Φ m π e imφ. Knalezenífunkce f lm θ)bychommohlizkusitdruhouzrovnic5..3): sin θ θ sin θ θ + ) sin θ m f lm ll+)f lm sesubstitucí zcos θ z ) m sin θ + z sin f lm ll+)f lm θ ) ] z f lm [ll+) z z + m f z lm Tuto rovnici však není tak jednoduché vyřešit. Mnohem instruktivnější je řešení, které vychází z algebraických vztahů pro operátor impulsmomentu. Víme totiž, že ˆL Y l l apodosazeníz5..4) e iφ θ +icotθ ) f l l e ilφ φ θ ) + lcot θ f l l cotθ sin θ ) cos θ θ + l f l l a vhodné substituci z sin θ dořešíme vzniklou obyčejnou diferenciální rovnici. řádu z z + l) f l l separacíproměnných l z z f l l f l l lln z Nln f l l f l l N f z l N f sin l θ. 8

DonormalizacesepustímestejnějakoučástiΦ m.vyjedemeznormalizačníhovztahu 5..),podlekterého π π sin θdθ fl l Nf sin l+ θdθ. Označmesamotnýintegrál I l apočítejmejejmetodouperpartes I l π sin θsin l θdθ [ cos θsin l θ ] π +l π l π li l + I l ), čímž získáváme rekurzivní vztah Jeho násobnou aplikací obdržíme ajelikož a dostáváme konečně I l sin θ ) sin l θdθ I l l l+ I l. l l! l+)l ) I l+)!!l+)l )!! cos θsin l θdθ l l! l+)!! I l)l )l )l 3)l 4) l+) l)l )l 4) l+) l)! l l! I π sin θdθ, l l! ) I l l+)l)! N f l+)l!) l l! f l l l+)l!) sin l θ l l! acelávlnováfunkce Y l l θ,φ)zní Y l l θ,φ) l+)l!) sin l θe ilφ l l! 4π Zbývající kulové funkce dostaneme prostým aplikováním diferenciálního operátoru ˆL + podlevztahu5..4),tj. Y lm ˆL + ) l+m α +) l, l)α +) l, l+) α +) l,m) Y l l 9

Poznámka: Kulové funkce se obyčejně vyjadřují pomocí přidružených Legendreových polynomů, definovaných vztahem Pl m x) x ) m/ d l+m ) l. l l! dx l+mx Pak Y lm θ,φ) )m l l! l l! l+l m)! 4π l+m)! eimφ Pl m cosθ) l+l m)! 4π l+m)! eimφ sin m θ d l+m dcos θ) l+m cos θ) Poznámka: Kulové funkce splňují kromě relace ortogonality5..4) ještě Poznámka: l l m l Y lm θ,φ)y lmθ,φ )δcosθ cos θ )δφ φ ) Kvadrát absolutní hodnoty kulových funkcí nejnižších řádů je znázorněn na obrázku 5.. Pokud se zajímáme o orbitaly např. u atomu vodíku, musíme ještě uvážit radiální část vlnové funkce podle vztahu5..). Hodnota dp ψ Elm r,θ,φ) r sin θdrdθdφ pak udává hustotu pravděpodobnosti nalezení částice elektronu) na souřadnicích r,θ,φ). To, co se většinou pro ilustraci znázorňuje jako orbitaly např. v chemii), jsou plochy s konstantní hustotou pravděpodobnosti, tj. plochy, pro které ρr, θ, φ) ψ Elm r,θ,φ) ρ.

m m ± m ± m ±3 Obrázek : Hustota pravděpodobnosti ρθ, φ) Ylm θ, φ) pro kulové funkce řádu l,,, 3. Pravděpodobnost nalezení částice ve směru θ, φ) je dána výrazem dpy ρy θ, φ) sin θ dθ dφ. Hustota pravděpodobnosti je axiálně symetrická podle osy z.

6 Wigner-Eckartův teorém Wigner-Eckartův teorém zní a,j M ˆT k) q b,j m ) J+k jk q j m J M) a,j ˆT k) b,j) J+ ) J k j ) J M a,j ˆT k) b,j) M q m 6..) apředevšímdávávýběrovápravidlaprohodnoty J,M,k,q,j,m: m+q M j k J j+ k trojůhelníkovánerovnost) 6..) Dále a,j ˆT k) b,j)jeredukovanýmaticovýelement. a,bjsoudalšívlastníčíslamůžejichbýtivíce)operátoruoperátorů)â,které spolusimpulsmomentemĵtvoříúmp: [Â,Ĵ]. k) ˆT q jsoukomponentyireducibilníhotenzorovéhooperátoruˆt k) k-téhořádu. Mezi 3j symbolem a Clebsch-Gordanovými koeficienty platí relace ) j j j 3 m m m 3 ) j j 3 m j m j 3 m 3 j m ) j + ) j 3 j m j 3 m 3 j m j m ) j + 6..3) ) j j m 3 j m j m j 3 m 3 ), j3 + přičemž uvedené tři rovnosti plynou ze symetrie 3j symbolů: ) ) ) j +j +j 3 j j j 3 jσ j σ j σ3 m m m ) 3 m σ m σ m σ3 j j j 3 m m m 3 signσ signσ Další symetrie: j j j 3 m m m 3 ) ) ) j +j +j 3 j j j 3 m m m 3

Tenzorový součin dvou ireducibilních tenzorových operátorů je dán vztahem pro komponenty Ŵ k) [Ûk ) ˆV k ) ]k) Ŵ k) q q,q k q k q k q)ûk ) q ˆVk ) q Pro tenzor nultého řádu pak vyplývá Ŵ ) q,q k q k q )Ûk ) q ˆVk ) q ) k ) q Û k) q ˆVk ) k + q q a na základě této rovnosti se definuje skalární součin ireducibilních tenzorových operátorů Û k) ˆV k) ) k k+ŵ) ) q Û k) q ˆV q. k) q Tato definice dává pro skalární součin vektorového operátoru stejný výsledek, ať počítáme se sférickými nebo kartézskými komponentami: 3 Û ) ˆV ) Û ˆV Û jˆvj. 6. Využití symetrií 3j symbolů Pomocí symetrií 3j symbolů a znalosti Clebsch-Gordanova koeficientu j j m J M)δ Jj δ Mm plynezvolby j j j j m,cožjevlastněcondon-shortleyovafázovákonvence) spočítejte Clebsch-Gordanovy koeficienty Řešení: j m J M) a j m j m ). Pomocí vztahu mezi Clebsch-Gordanovými koeficienty a 3j symboly6..3) nalezneme ) J j )j+m δ Mm δ Jj M m J+ a srovnáním a přeznačením dostaneme ) J m+j+j J M j m) j+ ) J+j J M j m ) j m J M)δ Jj δ Mm j m j m ) )j m j + δj j δ m m. 3

6. Redukovaný maticový element skalárního operátoru Určeteredukovanýmaticovýelementoperátoru Ŝ). Řešení: Pomocí Wigner-Eckartova teorému nalezneme a,j Ŝ) b,j)δ ab δ Jj J+ 6.3 Redukovaný maticový element skalárního součinu Nalezněteredukovanýmaticovýelementskalárníhosoučinua,J Ûk) ˆV k) b,j). Řešení: Podle výsledku předchozí úlohy je Na druhou stranu a,j M Ŵ) b,j m J+ δ ab δ Jj a,j Ŵ) b,j). a,j M q ) q k Û k) ˆV k) q b,j M k+ q )q k a,j k+ M Ûk) q c,j m c,j m ˆV q k) b,j M qcj m ) )q k J k j ) J M qcj m k+ M q m a,j Ûk) c,j ) ) ) j m j k j m c,j ˆV k) B,J) q m ) )q k J k j ) J M qcj m k+ M q m a,j Ûk) c,j ) ) ) j m ) j +k+j j k J m c,j ˆV k) b,j) q M ) )q k J k j ) J M qcj m k+ M q m a,j Ûk) c,j ) ) ) j m J k j M q m c,j ˆV k) b,j) )J k ) ) j ) q m M J k j k+ M q m a,j Ûk) c,j ) qcj m ) J k j M q m c,j ˆV k) b,j) ) k ) J ) j k+ J+ a,j Ûk) c,j )c,j ˆV k) b,j), cj 4

kde jsme užili pro 3j symboly relací symetrie a relaci ortogonality ) ) j j j 3 j j j 3 m m m 3 m m m 3 j 3 + δ j 3 j 3 δ m 3 m δj 3,j,j 3 ). m m Srovnáním dostaneme a,j Ûk) ˆV k) b,j) δ Jj ) J ) j J+ a,j Ûk) c,j )c,j ˆV k) b,j) cj 6.3.) 6.4 Redukovaný maticový element impulsmomentu NalezněteredukovanýmaticovýelementoperátoruimpulsmomentuĴ. Řešení: Redukovaný maticový element stačí počítat pro jednu sférickou komponentu tenzoru ) Ĵ.VýhodnéjezvolitsiĴ) Ĵz.Pak a,j M Ĵ3 b,j m m δ ab δ Jj δ Mm. Nadruhoustranuuvažujemejiž J j) a,j M Ĵ3 b,j m δ Mm ) J+ J J M J M) J+ a,j Ĵ) b,j) δ Mm JJ+)J+) a,j Ĵ) b,j), neboť J M J M) m/ JJ+). Srovnáním dostáváme a,j Ĵ) b,j)δ ab δ Jj JJ+)J+) 6.5 Projekce vektoru na impulsmoment Nalezněte redukovaný maticový element skalárního součinu libovolného vektorového operátoruˆvsimpulsmomentemĵ. Řešení: Využijeme vztahu pro skalární součin tenzorových operátorů6.3.). Podle něj a,j Ĵ ˆV b,j)a,j Ĵ) ˆV ) b,j) )J δ Jj J+ a,j Ĵ) c,j )c,j ˆV ) b,j) cj ) j )J δ Jj ) J JJ+)J+)a,J ˆV ) b,j) J+ ) J δ Jj JJ+)a,J ˆV) b,j) 5

6.6 Projekční teorém Dokažte,žepromaticovéelementydiagonálnívJaprolibovolnývektorovýoperátorˆV platí rovnost Řešení: a,j M ˆV b,j m a,j M Ĵ ˆV Ĵ Ĵ b,j m 6.6.) Na obou stranách jsou tenzorové operátory, můžeme tedy využít Wigner-Eckartův teorém a dokázat jen pro jednu komponentu. Levá strana: Pravá strana: a,j M ˆV 3 b,j m δ Mm ) J+ J J M J M) a,j ˆV ) b,j) J+ δ Mm M JJ+)J+) a,j ˆV ) b,j) a,j M Ĵ ˆV Ĵ Ĵ 3 b,j m δ Mm M JJ+) a,j M Ĵ ˆV b,j M M J M J M) δ Mm )J+ J a,j ˆV ) JJ+) J+ Ĵ) b,j) M δ Mm JJ+) J+ )J JJ+)a,J ˆV ) b,j) δ Mm M JJ+)J+) a,j ˆV ) b,j) Obě strany se rovnají. 6.7 Magnetický moment MějmedvanezávisléimpulsmomentyˆL,Ŝ,[ˆL,Ŝ],kterésložímenacelkovýimpulsmoment ĴˆL+Ŝ. Nechť ls)jm jsouvlastnívektoryoperátorůˆl,ŝ,ĵ,ĵ3: ˆL ls)jm ll+) ls)jm Ŝ ls)jm ss+) ls)jm Ĵ ls)jm jj+) ls)jm Ĵ 3 ls)jm m ls)jm Definujme operátormagnetický moment) ˆµg LˆL+gS Ŝ, 6.7.) 6

přičenž g L, g S jsoureálnéparametry. Spočítejte diagonální maticový element Řešení: ls)jm ˆµ ls)jm. Předně z výběrových pravidel pro projekci impulsmomentu W-E teorému vyplývá, že ls)jm ˆµ x ls)jm ls)jm ˆµ y ls)jm, neboťmu ˆ x,y jsouzapsanévesférickýchkomponentáchpomocílineárníkombinaceˆµ ) m ± m. Kvýpočtumaticovéhoelementuˆµ z užijemeprojekčníteorém6.6.): Dále ls)jm ˆµ z ls)jm ls)jm Ĵ ˆµ Ĵ Ĵ z ls)jm m ls)jm Ĵ ˆµ ls)jm jj+) Ĵ ˆµˆL+Ŝ) g LˆL+g S Ŝ) g LˆL + gs Ŝ +g L + g S )ˆL Ŝ akvyjádřeníˆl Ŝvyužijemestandardnítrikspin-orbitálnívazba) Ĵ ˆL+Ŝ) ˆL+Ŝ)ˆL +Ŝ +ˆL Ŝ, ±a takže ˆL Ŝ Ĵ ˆL Ŝ ). Po dosazení a využití relací6.7.) dostaneme výsledek ls)jm ˆµ z ls)jm mg L+ g S )+ g L g S [ll+) ss+)] jj+) 6.8 Domácí úkol UvažujtedvalibovolnévektorovéoperátoryˆR,ŜskartézskýmikomponentamiˆR j,ŝk. KartézskésložkytenzoruvznikléhojejichdyadickýmsoučinemoznačmeˆT jk ˆR j Ŝ k. Pomocí vztahu pro tenzorový součin tenzorových operátorů ˆT k) q q,q k q k q k q)ˆr k ) q Ŝ k ) q naleznětesférickékomponentytenzorůˆt ),ˆT ),ˆT ) avyjádřetejepomocíˆt jk. 7

Ukažte,žerozepíšeme-likartézskékomponentytenzoruˆT jk cožjelibovolnýtenzor. řádu) jako ˆT jk Ĵjk+Âjk+ˆB jk, kde Ĵ jk 3 ˆT +ˆT +ˆT 33 )δ jk  jk ˆT jk ˆT kj ) ˆB jk ˆT jk +ˆT kj ) Ĵjk Ĵjenásobekjednotkovéhotenzoru,ÂjeantisymetrickýtenzoraˆBjesymetrický tenzorsnulovoustopou),pakĵ,â,resp. ˆBtvoříprávěkartézskékomponenty tenzorovéhooperátorunultéhořáduˆt ),prvníhořáduˆt ),resp.druhéhořádu ˆT ). 8

7 Přibližné metody Poruchová metoda MějmeHamiltoniánĤ,kterýlzerozložitnasoučet ĤĤ+ λĥi tak,žespektrumĥjeznáméanedegenerované, Ĥ φ m E m ) φ m φ m φ n δ mn φ m φ m ˆ, m aĥijemaláporuchainterakce)řízenáparametrem λλvneporušenémpřípadě, řešení pro λ hledáme; mocnina λ ve výsledku koresponduje s řádem opravy). Předpokládáme,ževlastnívektorHamiltoniánuĤapříslušnévlastníenergielze vyjádřit ve tvaru součtu χ m λ) E m λ) n n λ n χ n) m λ n E n) m Ĥ χ m λ) E m λ) χ m λ) přičemžplatí χ ) m φ m ), nudávářádopravy.upustilijsmeodnormalizacevektorů χ n) m, avšak požadujeme, aby φ m χ m λ). V tomto označení platí pro první opravu a pro druhou opravu E ) m φ m ĤI φ m χ ) m φ n ĤI φ m φ n m E m ) E n ) n E ) m n m φ n ĤI φ m E m ) E n ) 7..) 7..) Druhá oprava k základnímu stavu je vždy záporná. Výsledné stavy vyjádřené do daného řádu N lze následně nanormovat. Pokudjespektrum H degenerované,pakuvedenoumetodunelzepoužíttolze triviálně nahlédnout například z toho, že v prvním z výrazů v7..) by byla nejednoznačnostvevolběvlastníhovektoru φ m,atakéževejmenovatelíchvýrazů7..)a 7..) bychom dostávali nuly). Předpokládejme, že platí Ĥ φ mj E m φ mj φ mj φ mk δ jk. 9

VšechnyvlastnívektoryvcharakteristickémpodprostoruoperátoruĤpříslušejícímk vlastníhodnotě E m jsouindexoványdruhýmindexem.prvníopravu E ) mj apříslušné vlastní vektory na tomto podprostoru získáme diagonalizací φ m ĤI φ m E m ) φ m ĤI φ m... det φ m ĤI φ m φ m ĤI φ m E m )... 7..3)..... Porucha může degeneraci sejmout buď úplně, nebo jen částečně. Variačnímetoda Nechť E jepřesnáenergiezákladníhostavusystémupopsanéhohamiltoniánemĥ.pak pro libovolnýnormalizovatelný) vektor ψ z Hilbertova prostoru H tohoto systému platí E ψ Ĥ ψ ψ ψ Pokudmámenějakoumnožinutestovacíchfunkcí θ M H,paknámzákladnístav nejlépe aproximuje minumum funkcionálu θ Ĥ θ E min min E[ θ ] θ M θ θ. V praxi se užívá takové množiny vektorů θλ), která je zcela parametrizována sadou čísel λ.pak E min mineλ) θλ) Ĥ θλ) λ θλ) θλ). 7..4) 7. Dvouhladinový systém Nalezněte energie a vlastní vektory dvouhladinového systému ) E ) Ĥ E ) sporuchou Ĥ I ) V V Proveďte přesný i poruchový výpočet a pro případ degenerovaného i nedegenerovaného neporušeného spektra. Řešení: Přesné řešení: Přesný výpočet diagonalizacíviz. cvičení zimního semestru) dává spektrum E E ) + E V) E E ) + E V), 7..) BěžněseoznačujejakoRitzovavariačnímetoda. 3

kde E V) E V) E) + E ) E ) E ) V E ) 7..) a normalizované vlastní vektory ψ N E V) ψ N N+ V E V) V E V), V ) ). 7..3) Poruchová metoda- nedegenerovaný případ: Vyjdeme ze vztahů7..) a7..). Jelikož ) φ φ ), dostáváme E ) ) ) ) V V E ) ) ) ) V V ) ) ) V V χ ) χ ) aprodruhouopravukenergii E ) E ) E ) E ) ) ) ) V V E ) E ) ) V E ) ) V E ) ) ) ) V V E ) E ) ) ) ) V V E ) E ) V E ) V E ). ) ) 3

Závěrem tedy můžeme shrnout, že poruchová teorie nám dala aproximacipo normalizaci vlastních vektorů χ ψ ) E E ) E E ) ψ N V E ) V + E ) ψ N N + E ) V E ) V E ), V ) ) 7..4) výsledek byl cíleně převeden do tvaru, který se podobá přesnému řešení 7..) a 7..)). Poznámka: Pokudpředpokládáme,žeporuchajemalá,tj. V E ),můžeme7..)rozvinout do řady užitím x +x + x 8 + x3 6 +. Tím dostaneme aproximaci E E ) V V 4 E )+ E ) ) 3+ E E ) V V 4 + E ) E ) ) 3+ kterásevřádudo V shodujesřešenímzískanýmporuchovouteorií7..4).podobnou shodu bychom dostali i u vlastních vektorů. Poruchová metoda- degenerovaný případ: Diagnonalizujeme-li v podprostoru příslušejícím jediné dvakrát degenerované neporušenéenergetickéhladině E ) E ) E ) pomocívztahu7..3),vidíme,žezískáme přesný výsledek7..). To lze zobecnit: pokud porucha nemíchá stavy mezi jednotlivými podprostory, které odpovídají různým hodnotám energie, pak použití vztahu pro degenerovanou poruchovou teorii dá exaktní výsledekdiagonalizace). 7. Van der Waalsova interakce Uvažujte dva atomy vodíku, přičemž vektor vzájemné polohy jejich jader R míří od prvního atomu k druhému, polohy elektronů vůči příslušným atomům jsou udány vektory r, r. Pro dostatečně velkou vzájemnou vzdálenost atomů vůči vzdálenostem jejich elektronůapřihrubéaproximaci E ) n toznačí,ževšechnyenergiejednotlivýchatomů 3

vodíku kromě základních stavů berte jako nulové) nalezněte opravu k energii základního stavu systému a rozhodněte, zda uvažovaná interakce bude přitažlivá či odpudivá. Výpočet provádějte v adiabatické aproximaci, tj. předpokládejte, že atomy se vůči sobě nepohybují. Řešení: Jako neporušený Hamiltonián budeme uvažovat Hamiltonián dvou neinteragujících atomů vodíku. Jeho spektrum známe. Opravaporucha) pak bude dána interakcemi konstituentů jednoho atomu s konstituenty atomu druhého. ĤĤ+ĤI Ĥ ˆp m + ˆp m e e ˆr ˆr Ĥ I e ˆR + e ˆr e ˆR+ˆr e ˆR ˆr V interakčním Hamiltoniánu souvisí jednotlivé členy postupně s interakcí kladně nabitých jader, interakcí elektronůˆr ˆR+ˆr ˆr ),interakcíprvníhojádraselektronem druhého atomu a interakcí druhého jádra s elektronem prvního atomu. Za předpokladu, že rozměry atomů jsou mnohem menší než jejich vzájemná vzdálenost, můžeme vzít jen nejnižší členy multipólového rozvoje R r R r i R i R + r ir j R i R j R R + R ir i R + 3 R ) ir j δ 3 R 3 R ij r i r j + R + R r + ) R r) 3 r + R 3 R 3 R R 3r ).Užitímrozvojepro H I dosta- Dalšíčlenmultipólovéhorozvojeje R r neme pro jednotlivé řády: H ) I 5 R r) R 5 ] H ) I [ˆR e ˆr ˆr )+ˆR ˆr ˆR ˆr ˆR 3 ˆR ˆr ˆr )) H ) I e 3 ˆR 3 e ˆR 3 3 ˆR ˆr ) ˆr ˆr 3 ˆR ˆR +ˆr 3 ˆr ˆr ) ˆR ˆr ) ) ) ˆR ˆr ˆR ˆr ˆR +ˆr ˆR 33

tojevlastněinterakčníenergiedvoudipólovýchmomentů ˆM, eˆr, ).Budeme nadáleuvažovatĥi Ĥ) I. Zvolme souřadnou soustavu speciálně tak, aby osa z směřovala ve směru spojnice jaderatomůodprvníhojádrakedruhému.označmesložkyˆr ˆx,ŷ,ẑ ),stejněpro vektorˆr.pak [ ] Ĥ I e ˆx ˆx +ŷ ŷ +ẑ ẑ 3 ˆRẑ )ˆRẑ ) ˆR 3 ˆR e ˆR 3[ˆx ˆx +ŷ ŷ ẑ ẑ ]. Hledáme opravu k základnímu stavu dvou volných atomů vodíku φ nlm nlm zavedlijsmezjednodušenéoznačení, n l m, ).Atomyjsou nerozlišitelné, vlnový vektor tudíž musí být symetrický vůči záměně částic. To je splněno.. oprava k energii je dle poruchové teorie E ) φ ĤI φ e ˆR 3 [ ˆx ˆx + ŷ ŷ ẑ ẑ K určení maticových elementů využijeme výběrová pravidla Wigner-Eckartova teorému 6..).Komponentyvektorovýchoperátorůˆr, lzevyjádřitpomocíkomponenttenzorových operátorů. řádu, viz3..), takže k, komponenty označme q. Výběrová pravidlapakdávají J j ±am m+q,kdevnašempřípadě J l, j l, M m.tonenísplněnoprožádnouzesložekoperátorůˆr,,takževšechnymaticovéelementynapravéstraněvýrazupro.opravujsounulové..opravakenergiije tedy nulová.. oprava k energii základního stavu dává E ) n n l m l m E ) E ) E ) ĤI n l m n l m E ) E n ) E n ) Ĥ I n l m n l m n l m n l m ĤI ĤI ˆ ) Ĥ I Ĥ I, ]. 7..) kdejsmevyužiliaproximace E ) n,relacíúplnostianulovostimaticovýchelementů ĤI.Správněbychommělipočítatsesymetrickýmivlnovýmivektory,neboť máme nerozlišitelné částice, avšak výsledek by byl stejnýdíky užití relací úplnosti). Platí Ĥ I e4 ˆR 6 [ˆx ˆx +ŷ ŷ +4ẑ ẑ +ˆx ˆx ŷ ŷ 4ˆx ˆx ẑ ẑ 4ŷ ŷ ẑ ẑ ]. 34

Maticový element dá pro smíšené členyposlední tři v závorce) symetrii základního stavu. Ze symetrie také vyplývá ˆx ŷ ẑ 3 ˆr, takže druhou opravu k energii lze nakonec vyjádřit jako E ) e 4 E ) [ ˆx ˆx + ŷ ŷ +4 ẑ ẑ ] R 6 e 4 6 R 6 9 ˆr ˆr E ) Přejděme do x-reprezentace. Energetické hladiny atomu vodíku jsou E ) n e a n aradiálníčástvlnovéfunkcezákladníhostavuzní 3 R r) r a 3/ e r a, 7..) kde a /mcα)jebohrůvpoloměr, α konstantajemnéstruktury.počítáme 37 maticový element ˆr 4 a 3 4 a 3 4 4 a a 3 4 4! a 3 4 4 a 3 3a e r a r e r a r dr r 4 e r a dr a a ) 5 r 3 e r a dr ) 5 [e r a ] a když ho dosadíme do vztahu pro. opravu energie, získáme konečný výsledek E ) e 4 6 E ) R 6 9 9a4 3e a 5 7..3) R 6 Opravajezáporná,lzeznítedyusuzovatnapřitažlivostsilmeziatomyanajejí rychlý pokles s narůstající vzdáleností. Kdybychomnepoužiliaproximaci E ) n,paknazákladěvztahuprodruhou opravu k energii7..) můžeme kvalitativně diskutovat velikost sil působících mezi atomy. Atomy nemusí být nutně vodíkové, můžeme uvažovat zcela libovolné, pouze 3 Celávlnováfunkcezákladníhostavuje r,θ,φ R r)y θ,φ),kde Y θ,φ)/ 4π. Úhlovou a radiální část lze od sebe odseparovatviz též5..)) a my budeme počítat maticový element operátoru, který na úhlovou část nepůsobí, proto nám stačí uvažovat pouze radiální část. 35

musí dostatečně přesně platit, že lze na atom nahlížet jako na soustavu kladně nabitého centrajádro + elektrony z vnitřních slupek) a okolo obíhající valenční elektron. Pak vidíme,ževanderwaalsovasílajetímvětší,čímjsouvětšírozměryatomůatímvětší, čímjsouhladinyblížeusebe. Zatímco základní stav neporušeného systému dvou atomů není degenerovaný, excitované stavy degenerované být mohou. Pak musíme použít degenerovanou poruchovou teorii, která nenulově přispěje k opravě již v. řádu. To znamená, že excitované stavy se budou ovlivňovat silněji pro velké vzdálenosti, velikost opravy bude klesat jen jako /R 3. 7.3 Aproximace základního stavu nekonečně hluboké potenciálové jámy Pomocí variačního principu nalezněte nejlepší aproximaci základního stavu nekonečně hluboké potenciálové jámy pološířky a { x < a Vx) x > a s testovací funkcí a srovnejte s přesným řešením Řešení: θ λ x) x θλ) a λ x λ π E m4a φ x) cos πx a a K řešení užijeme vztahu7..4), přičemž minimalizaci budeme provádět přes jediný parametr λ. Výpočet spočívá ve dvou krocích: 36

.VýpočetstředníhodnotyHamiltoniánuprovlnovoufunkci θ λ x): a a θ λ Hλ) θλ) Ĥ θλ) d x) θ m dx λ x)dx θλ) θλ) a θ a λx) dx včitateliijmenovateliintegrujemesudéfunkce stačípočítatnaintervalu;a) a a λ x λ) d dx a λ x λ) dx m a aλ x λ ) dx a λ x λ) x λ dx m m λλ ) a a aλ x λ a λ + x λ )dx [ λ λλ ) aλ x λ [ a λ x λ+ aλ x λ+ + ma λλ ) λ λ + λ+ λ+ λ λ+ ma λλ ) λ+)λ+) 4ma λ ) xλ ] λ λ λ )λ ) λ+)λ+) λ+)+λ+ λ+)λ+) λ+ xλ+].výpočetminimafunkce Hλ): Hλ) λ λ++λ+)λ ) λ+)λ+) Minimum je dáno kladným kořenem a po dosazení dostáváme λ min + 6 4λ 4λ 5.73 E min Hλ min ) 6+5 8ma 6+5 E π.98e Vidíme, že i s velice jednoduchou testovací funkcí, závislou jen na jednom parametru, jsme dostali velice přesný odhad energie základního stavu. 7.4 Domácíúkol-Hopík Částice o hmotnosti m hopká v homogennímnapř. gravitačním) poli, přičemž od podložky se odráží bez ztráty energie. Uvažovaný potenciál je { mgz z > Vz) z < 37

. Řešení pomocí WKB metody: Nalezněte body obratu, má-li částice energii E. Pomocí WKB přiblížení vypočítejte všechny energetické hladiny. Nalezněte WKB vlnové funkce v klasicky dostupné i nedostupné oblasti. Vlnové funkce nemusíte normovat.. Hledání základního stavu variační metodou: Podle asymptotického chování potenciálu navrhněte vhodnou testovací funkci s jedním parametremdruhý bude fixovat normalizaci). Nalezněte optimální hodnotu parametru a jemu odpovídající přibližnou energii základního stavu. 3. Srovnáním energií základního stavu získaných oběma metodami určete, která metoda dává základní stav přesněji. 38

8 Nestacionární poruchová teorie Schödingerův, Heisenbergův, Diracův obraz MějmesystémpopsanýHamiltoniánemĤ,kterýlzerozložitnačástĤnezávisejícína časeanačasovězávislouporuchuĥi: Ĥt)Ĥ+ĤIt). Dálemějmevčase t vektor ψt ) popisujícístavsystému,libovolnýčasověnezávislýoperátorâačasovězávislýoperátorˆbt).fyzikálnízávěrysenezmění,pokud provedemeunitárnítransformacidanouunitárnímoperátoremû: ψ Û ψ Â ÛÂÛ Tuto transformaci můžeme učinit v každém čase t obecně různou. V praxi se užívají tři takovéto tranformacefyzikálně ekvivalentní obrazy).. Schrödingerův obraz ψt) Ût,t ) ψt ) Â,ˆBt) operátor A zůstává v čase konstantní, operátor Bt) se mění podle svého funkčního předpisu). Diferenciálnírovnicespoluspočátečnípodmínkou)proevolučníoperátorÛt,t ): i Ût,t ) t Ĥt)Ût,t ) Ût,t )ˆ, která má v případě, že Hamiltonián nezávisí na čase, řešení Ût,t )e i Ĥt t ) Z evoluční rovnice pro evoluční operátor plyne rovnice pro stavový vektorčasová Schrödingerova rovnice) i ψt) t Ĥt) ψt).. Heisenbergův obraz ψ H t;t ) Û t,t ) ψt) ψt ) konst. Â H t;t )Û t,t )ÂÛt,t ) ˆB H t;t )Û t,t )ˆBt)Ût,t ) t jevnějšíparametr).stavovývektorsesčasemnemění. Diferenciální rovnice pro stavový vektor a pro operátory: ψ H t;t ) t ψ H t ;t ) ψt ) ÂH t;t ) t i [ÂH t;t ),ĤH t)] Â H t ;t )Â ˆB H t;t ) t i [ÂH t;t ),ĤH t)]+ H t ˆBt) t ˆB H t ;t )ˆBt ), 39

kde jsme definovali H t ˆBt) t Û t,t ) ˆBt) t Ût,t ). Pokudmámesystémvčasověneproměnnémvnějšímpoli,tj.[Ĥ,Ût;t )],pak 3. Diracůvinterakční) obraz Zde Ĥ H t;t )Û t,t )ĤÛt,t)Ĥ. ψ D t;t ) Û t;t ) ψt) Â D t;t )Û t,t )ÂÛt,t ) ˆB D t;t )Û t,t )ˆBt)Ût,t ) Û t,t )e i H t t ) jeevolučníoperátorhamiltoniánuĥ,tj.řešenídiferenciálnírovnice i Ût,t ) ĤÛt,t ) Û t,t )ˆ, t Bezújmynaobecnostivolímečas t stejnýjakovpřípaděobrazuheisenbergova. Diferenciální rovnice pro stavový vektor a pro operátory: i ψd t;t ) t It;t ) ψ D t;t ) ψ D t ;t ) ψt ) ÂD t;t ) t i [ÂD t;t ),ĤD It;t )] Â D t ;t )Â ˆB D t;t ) t i [ˆB D t;t ),ĤD It;t )]+ D t ˆBt) t ˆB D t ;t )ˆBt ), kdepodobně jako u obrazu Heisenbergova) D t ˆBt) t Û t,t ) ˆBt) t Û t,t ). Řešení první rovnice lze psát ve tvaru ψ D t;t ) Ŝt,t ;t ) ψ D t ;t ), kde evoluční operátor v Diracově obraze Ŝt,t ;t )Û t,t )Ût,t )Ût,t ) je řešením diferenciální rovnice i Ŝt,t ;t ) t ĤD It;t )Ŝt,t ;t ) Ŝt,t ;t )ˆ 8..) 4

VHeisenbergověiDiracověobrazuseobjevujevnějšíparametr t,kterývlastně udává čas, ve kterém se operátory i stavové vektory všech tří uvedených obrazů rovnají. Můžemevolit t apaknebudemetentoparametrvevzorcíchexplicitněvypisovat. Pokud H představujevolnýhamiltonián,paksezavádějíještěmøllerovyoperátory a operátor S-matice Ω ±) lim Ŝ,t ) t Ŝ lim Ŝt,t ). t + t Řešení rovnice8..) lze hledat ve tvaru integrální rovnice, kterou lze vyjádřit ve formě řady kde t Ŝt,t )ˆ i Ĥ D It )Ŝt,t )dt t ˆ i t { Ĥ D It ) ˆ i t } Ĥ D t It )Ŝt,t )dt dt t Ŝ n) t,t ), Ŝ ) ˆ Ŝ ) i. Ŝ n) t n t Ĥ D It )dt i ) n t t tn Ĥ D It ) Ĥ D It ) Ĥ D It n )dt n dt dt t t t 8..) 8..3) Rozvoj8..) lze formálně sečíst. Jelikož však Diracovy obrazy Hamiltoniánu v různýchčasechmezisebounavzájemnekomutují,[ĥd I tj),ĥd I t k)] pro t j t k, musímeužítt-součin,definovanýnásledujícímzpůsobem:nechťoperátoryâjt)ve stejnémčasekomutují,tj.nechť[a j t),a k t)].pak ) TÂN t N ) Ât ) Âi N t in ) Âi t i ) t in t in t i Užitím T-součinu můžeme psát Poznámka: Ŝt,t )Texp i t ) Ĥ D It )dt t Diferenciálnírovnici8..)můžemetakézkoušetvbázi φ m řešitpřímo.označíme-li pak dostaneme i S fit,t ) t m S fi t,t ) φ f Ŝt,t ) φ i, Ĥ Ifm t)e iω fmt S mi t,t ) S fi t,t )δ fi což je soustava vázaných obyčejných diferenciálních rovnic. řádu. Soustavu lze explicitně vyřešit například pro dvouhladinový systém. 4

Nestacionární poruchová teorie Stejně jako u stacionární poruchové teorie budeme i zde předpokládat, že spektrum HamiltoniánuĤznáme: Ĥ φ m E m ) φ m φ m φ n δ mn φ m φ m ˆ. m Maticové elementy rozvoje evolučního operátoru v Diracově obraze8..) v této bázi označíme jako S n) fi t,t ) φ f Ŝn) t,t ) φ i a pro jednotlivé členy8..3) dostaneme S ) fi t,t )δ fi S ) fi t,t ) i S ) fi t,t ) t i Ĥ Ifi t )e iω fit dt t ) t t m t t Ĥ Ifm t )e iω fmt Ĥ Imi t )e iω mit dt dt kdejsmezavedli 4 H Ifi t) φ f ĤIt) φ i ω fi ) E ) f E ) i Pravděpodobnostpřechoduzpočátečníhostavu φ i připravenéhovčase t dokoncového stavu φ f včase tje a v poruchové teorii dostáváme P i f t t) φ f t) φ i t ) φ D ft) φ D it ) φ f Ŝt,t ) φ i P i f t t) S ) fi t,t )+S ) fi t,t )+S ) fi t,t )+ Pročasově neproměnnou poruchuzapnutouvčase t dostanemedo.řádu poruchové teorie P i f t t) π H Ifi δ t ω fi ) t 8..4) kde tt t a δ t ω fi ) π sin ω fi t ω fi t t δω kj ) 4 Někdybudemeprojednoduchostpsát H Ifi t) f ĤIt) i. 4

jefunkce,kterámávokolínulyostrémaximumpološířky π tavýšky t/π.za dobu t tedy dojde k přechodům prakticky pouze v oblasti tohoto maxima, tj. ω fi π t aoznačíme-li E ) E ) f E ) i, dostaneme E ) t π Tento vztah se nazývá relace neurčitosti mezi časem a energií. Pokudlzenaokolí E ) i pohlížet jako na kontinuum hladinjedná se o přechod do spojité části spektra, nebo je v tomto okolí velké množství diskrétních hladin), pak se 8..4) píše ve tvaru Fermiho zlatého pravidla w i F t t) P i Ft t) t π H Ifi ρ f E) E E ) i 8..5) cožjerychostpřechoduzpočátečníhostavu idoceléhojehookolí f F,nakterémje H Ifi přibližněkonstantí.hustotuhladin ρ f E)lzespočítatnapříkladpomocípostupu uvedeném v sekci 4. Pro harmonickou poruchu o frekvenci ω Ĥ I ĥ+) e iωt +ĥ ) e iωt 8..6) dostaneme užitím podobného postupu jako v případě konstantní poruchy vztah ω fi ±ω, tj. E ) f E ) i ± ω 8..7) platící za předpokladu, že porucha je zapnuta po dostatečně dlouhý čas. Fermiho zlaté pravidlo v tomto případě zní w i F t t) π h +) fi ρ f E) ) E E i ω π h ) fi ρ f E) + ω E E ) i 8..8) Pokud máme periodickou poruchu, která není harmonická, můžeme ji pomocí Fourierovy tranformace na periodickou rozložit a počítat pravděpodobnost přechodu pro každou složku zvlášť. 8. Fotoelektrický jev Nechť atom vodíku, který je popsán Hamiltoniánem Ĥ mˆp e ˆr, je vystaven elektromagnetickému vlnění s vektorovým potenciálem Aˆr,t)A ǫcosκ ˆr ωt) 8..) vektor ǫ určuje polarizaci vln, κ nω/c je vlnový vektor určující směr postupu vlny) a skalárním potenciálem Φˆr,t). 43

. Nalezněte interakční Hamiltonián.. Nalezněte hustotu pravděpodobnosti vztaženou na jednotku časurychlost přechodu) jevu, kdy kdy atom vodíku nacházející se v základním stavu emituje elektron do oblasti prostorového úhluω, Ω + dω)fotoelektrický jev). 3. Určete diferenciální účinný průřez výše uvedeného jevu. Řešení:. Interakční Hamiltonián Hamiltonián atomu vodíku, popisující interakci jeho elektronu s elektromagnetickým polem, zní Ĥ H EM) ˆp e ) + m c Aˆr,t) e eφˆr) ˆr Počítáme ve speciálnícoulombické) kalibraci Hamiltonián v ní lze přepsat do tvaru A Φ. Ĥ H EM) t)ĥ e e Aˆr,t) ˆp+ Aˆr,t) Aˆr,t) mc mc Ĥ e Aˆr,t) ˆp, mc kdejsmezanedbaličlenúměrný Aˆr).OznačímeĤIt) e Aˆr,t) ˆpadosadíme za vektorový potenciál monochromatickou mc vlnu8..): Ĥ I t) ea mc Nás bude zajímat excitace, stačí tedy brát pouze část. Rychlost přechodu e iκ ˆr ωt) +e iκ ˆr ωt)) ǫ ˆp 8..) Ĥ I t)ĥe iωt ĥ ea mc eiκ r ǫ ˆp. Vlnováfunkcezákladníhostavuatomuvodíkujerovna 5 ψ i r)r r)y θ,φ) πa 3 e r a. Vlnová funkce konečného stavu volného elektronu je ovlivněna Coulombickým polemjádra.totopolejevšakrychleodstíněnolátkou,kterásevokolíjádravyskytuje, a proto budeme brát elektron jako volný, jehož vlnovou funkci vyjádříme jako ψ f r) eik r π ) 3 5 Jednáseoradiálníiúhlovoučástvlnovéfunkce,srovnejs7..)asnísouvisejícípoznámkou. 44

kde kjevlnovývektorelektronusenergií E e, E e k m. Výpočet přechodu mezi spojitou a diskrétní částí spektra zjednodušíme tím, že budeme považovat elektron nikoliv za zcela volný, ale za uzavřený v krabicinekonečně hluboké potenciálové jámě) o objemu V. Budeme předpokládat, že krabice je tak velká, že neovlivní příliš spektrum atomu vodíkustačí, aby neovlivnila základní stav, se kterým počítáme). Nakonec provedeme limitu V. Vlnová funkce elektronu v krabici zní ψ fr) V e ik r. V tomto případě je k důsledkem konečných rozměrů kvantovaná veličina. Pokud jevšakobjem V dostatečněvelký,lzesnínadálepočítatjakosespojitou. Při výpočtu hustoty hladin volného elektronu vyjdeme ze vztahů4..) a4..). Objem fázového prostoru klasicky se pohybujícího volného elektronu v krabici je podle4..) Ω PS E) V V d 3 x dω Ω δ E ) m p d 3 p δ E ) m p p dp. Budeme se ptát po hustotě hladin s vlnovým vektorem mířícím do elementu prostorového úhlu dω, tj. čivzávislostinaveličině k dρe) dω dω PS E) π ) 3 dω V π ) 3 δ E m p V π ) 3 m me δ p me V π ) 3 m me me V π ) 3 m me dρk) dω V π ) 3 km ) p dp ) p dp K výpočtu pravděpodobnosti, resp. rychlosti přechodu použijeme Fermiho zlaté 45

pravidlo8..8). Maticový element, který se v něm objevuje, zní h fi f ĥ i ea mc ψ i ea mc πa 3 V ǫ i ea mca πa 3 V ǫ i ea mca πa 3 V ǫ Iq) f r)e iκ r ǫ p ψ i r)d 3 r e iκ k) r e r a d 3 r 8..3) e iq r r r e r a d 3 r kde jsme označili q κ k. Integrál Iq) vypočítáme následující úvahou. Jediný vektor, na kterém integrand integrálu závisí, je q. To znamená, že integrál musí být možné vyjádřit jako I qi Budeme tedy počítat výraz q I e iq r q r e r a d 3 r r Sférickésouřadnicer,θ,φ) osa zparalelnísvektorem q Platí re r a dr π e iqrcos θ qrcos θsin θdθ ucos θ du sin θdθ πq πq πqi πi re r a dr re r a dr r π q { [ { re r a dr qr { e r a +iq πij π q J π dφ e iqru udu Perpartes ] iqr eiqru u } e iqru du iqr ) e iqr +e iqr) + i e iqr e iqr) } qr) )} dr +e r a iq { ) e r +iq a e r )} iq a dr e αr dr α re αr dr α e αr dr α 46

pro α >),takže J a +iq ) + a iq ) a iqa ) ++iqa ) +q a ) q a a +q a ) J a +iq a iq a iqa iqa +q a iqa +q a a po dosazení dostaneme [ ] a q I 4πia q +q a ) +q a 4πia a q a q +q a ) 8iπa4 q +q a ) neboli Maticový element zní I 8iπa 4 +q a ) q. h fi i ea mca πa 3 V i ea mca πa 3 V 8iπa 4 +q a ǫ κ k) ) 8iπa 4 +q a ) ǫ k, neboť ǫ κ,cožplynezvlastnostícoulombickékalibrace. Nyní již máme v rukou vše, co potřebujeme k použití Fermiho zlatého pravidla 8..8). Dosadíme a dostaneme dw i f dω π h fi dρ dω π i ea mca πa 3 V 8iπa 4 +q a ) ǫ k V π ) 3 km 6 ea ) ǫ k) ka 3 π mc +q a ) 4 8..4) 3. Účinný přůřez Účinnýprůřezprocesujedefinovánjakopočetprocesů i f zajednotkučasu dělenou celkovým tokem částic. V našem případě je to absorbovaná energie za jednotku času dělená tokem energie dopadajícího elektromagnetického záření. 47

Absorbovaná energie za jednotku času je dána součinem rychlosti přechodu8..4) aenergie,kteráseabsorbujeakterájerovna ω: U i f ω dw i f dω Tok energie je součin rychlosti přenosu energie a hustoty energie: Φc ) E max 8π + B max 8π E A B A c t ω E max B max A a po dosazení c ω π c A ω π c A dω π c dw i f ω A dω dσ i f 3e ǫ k) ka 3 mcω+q a ) 4 Zaveďme ještě souřadnou soustavu tak, aby vektor polarizace ǫ mířil do směru osy x, vlnový vektor dopadající vlny κ do směru osy z. Ve sférických souřadnicích dostaneme ǫ kksin θcos φ q k k κ+κ k k ω c cosθ+ ω c Při výpočtu jsme uvažovali, že Coulombické pole neovlivní pohyb vyraženého elektronuatensepohybujejakovolný.toplatípouzevpřípadě,že k > gg E,kde E je energie základního stavu atomu. Tuto aproximaci lze rozvést ještě dál. Energie, kterou získá vylétávající elektron, je díky tomuto přiblížení rovna energii dopadajících fotonů: mee mωc k. Jelikož κ ω/c, dostáváme a můžeme aproximovat Diferenciální účinný průřez bude κ k k κ k k mc p mc v c +q a +k a v ) c cos θ k a v ) c cos θ. dσ i f dω 3e sin θcos φ mcωka ) 5 v cosθ) 4. c 48 c )

Tennabývámaximapro φapro θdanérovnicí sin θcos θ v ) 4 c cosθ v 4 c sin θsin θ d dθ sin θ vcos θ) c v c cos θ ) 3 cos θ v c cos θ v c sin θ atedy cos θ ± +8 v c v c ) c [ ] v ±±4 v c) c v v c. První řešení nevyhovuje, pravá strana je větší než. Maximální pravděpodobnost emise jetedydosměru θ π v c φ Poznámka: Integrál8..3) lze vypočítat též jiným způsobem. V p-reprezentaci budeme posunovat operátor vlevo.posunutískrzčlene iκ r lzeprovéstpřímodíkycoulombickékalibraci směršířeníelektromagnetickévlnyjekolmýnapolarizaci).posunutískrzčlene ik r provedeme pomocí integrace Per partes. Povrchový příspěvek je a gradient po zapůsobení na tento člen dá pouze faktor ik, který je možné vytknout před integrál. Integrujeme tedy nakonec ea h fi mca πa 3 V ǫ k e iq r e r a d 3 r, což je vlastně Fourierova transformace vlnové funkce základního stavu atomu vodíku. 8. Domácí úkol- Dvouhladinový systém s periodickou poruchou Uvažujte dvouhladinový systém s periodickou poruchou Ĥt)Ĥ+ĤIt) ) E ) Ĥ E ) E ) φ φ +E ) φ φ ) γe iωt Ĥ I t) γe iωt γe iωt φ φ +γe iωt φ φ kde γ je reálný parametr, který určuje sílu poruchy. Předpokládejte,ženapočátkuvčase tjesystémpřipravenvestavu φ.poté je zapnuta porucha. Spočítejtepřesněpravděpodobnostpřechodudostavů φ, φ včase třešením soustavydiferenciálníchrovnicpropříslušnématicovéelementyoperátoruŝt)). Vzorce, které dostanete, se nazývají Rabiho formule. 49

Řešte totéž do druhého řádu nestacionární poruchové teorie a srovnejte s přesným řešením za předpokladu, že parametr γ je velmi malý. Určete, pro jakou frekvenci ω je pravděpodobnost přechodu největšípodmínka rezonance). 5

9 Systémy nerozlišitelných částic 9. Bosonový systém Mějme dva nerozlišitelné bosony v poli jednorozměrného harmonického oscilátoru jejichž interakce je popsána Hamiltoniánem Ĥ ˆp m +ˆp ) ˆx ) + mω +ˆx, Ĥ I ve αˆx ˆx ) V, α > jsou reálné parametry interakce). Uvažujte interakci za malou poruchu a spočítejte do prvního řádu poruchové teorie opravu k energii základního stavu. Řešení: Budeme počítat v x-reprezentaci. Jednočásticová vlnová funkce základního stavu je mω φ x) 4 mω π e x V případě dvou bosonů musí být vlnová funkce symetrická vůči záměně dvou částic. To splňuje přímo součin mω ψx B mω,x )φ x )φ x ) π e x +x ) 9..) Neporušená energie základního stavu soustavy dvou bosonů je E B) ω + ) ω 5

Opravukenergiizákladníhostavuspočítámejakoskalárnísoučin 6 E B) ψ B x,x )ĤIψx B,x )dx dx v mω e mω x +x ) e αx x ) dx dx π v mω [ e mω x +x ) +x x ) ] e αx x ) dx dx π Xx +x Jakobián xx x transformaceje v mω π v mω π v e mω X dx π mω mω mω+ α 9. Fermionový systém π mω + α mω e +α)x dx Zadání je stejné jako v předchozím příkladu 9., jen uvažujte fermiony se spinem /. Spočítejte v prvním řádu poruchové teorie opravu k energii základního stavu pro singletní i tripletní spinový stav. Řešení: Vlnová funkce dvou stejných fermionů je obecně rovna ψ F x,x )φ F x,x )Σ Sξ kde φ F x,x )jeprostorováčást, σ Sξ částspinová.dvaspinyovelikosti/sesloží buďnacelkovýspin S tripletnístav,kterýjesymetrickývůčizáměněčástic,nebonaspin S singletnístav,kterýjevůčizáměněantisymetrický. Vlnová funkce systému složeného z fermionů musí být antisymetrická. Z toho vyplývá, že její prostorová část musí být symetrická pro singletní stav antisymetrická pro tripletní stav. Prostorová část vlnové funkce pro singletní stav tudíž vypadá stejně jako v případě bosonů9..) mω φ F mω,sx,x )φ x )φ x ) π e x +x ) 6 Transformacekproměnným X, xjespeciálnímpřípadempřechodukjacobihosouřadnicímtěžišťový a relativní pohyb). Pro tři částice tato transformace zní y x x y x + x x 3 y 3 x + x + x 3 3 5

atímpádemtakéopravakenergiivyjdestejně: E F),S v mω mω+ α U prostorové části vlnové funkce stavu tripletního si již nevystačíme s jednočásticovouvlnovoufunkcí ψ.antisymetrizovatsedáažsoučin φ F,Sx,x ) φ x )φ x ) φ x )φ x )), přičemž φ x)můžemeurčitnapříkadaplikovánímposunovacíhooperátoruâ nafunkci φ x): mω â ˆx+ i ) mωˆp mω φ x) x ) 4 mω mω x π e mω φ x) x+ ) mω mω x mω xφ x) Neporušená hodnota energie je v tomto stavu E F),S ω + ) + ω mω x + ) ω a příspěvek. řádu poruchové teorie zní E F),S ψ,sx F,x )ĤIψ,Sx F,x )dx dx v mω mω π v mω ) π v mω ) π v mω ) π π mω v ) 3/ mω. mω+ α x x ) e mω x +x ) e αx x ) dx dx x x e mω x +x ) e αx x ) dx dx e mω X dx π mω + α x mω e +α)x dx π mω + α 53

Bosonové systémy Pro složené soustavy nerozlišitelných částic je výhodný popis pomocí kreačních a anihilačníchoperátorůâ k,â k,kterépůsobínafockověprostoru F H ) H ) H ) H n) označujehilbertůvprostorsoustavy nčástic, H ) obsahujepouzejedenstav, kterýseběžněnazývávakuum).normovanébázovévektoryprostoru H n) budemeznačit N,N,...;N, kde N k N k jecelkovýpočetčásticn jepočetčásticvjednočásticovémstavuorbitalu) φ k ),a dají se vytvořit pomocí kreačních operátorů N,N,...;N Schematicky můžeme tedy psát ) â N â N N!N! ) F â j â jâ k Kreační operátory přidávají částici, anihilační ubírají: â k N,...,N k,...;n N k + N,...,N k +,...;N+ â k N,...,N k,...;n N k N,...,N k,...;n odmocninové koeficienty plynou z normalizace vektorů). Působení anihilačního operátorunavakuumdá: ˆb k Vlnové funkce soustavy částic musí být symetrické vůči záměně libovolných dvou nerozlišitených bosonůčástic s celočíselným spinem) a antisymetrické vůči záměně dvou nerozlišitelných fermionůčástic s poločíselným spinem). Toho lze docílit tím, že kreační operátory splňují komutačníbosony) nebo antikomutačnífermiony) relace. Nadáleuvažujmejenbosonyskreačnímiaanihilačnímioperátoryˆb k,ˆb k.komutační relace mezi nimi zní [ˆb j,ˆb k ]δ jk [ˆb j,ˆb k ][ˆb j,ˆb k ]..) Operátorpočtučásticvestavu φ k aoperátorcelkovéhopočtučásticjsou ˆN k â kâk ˆN k â kâk. 54