Semestrální práce z předmětu Teorie systémů

Semestrální práce z předmětu Teorie systémů Autor: Tomáš Škařupa Skupina :3I3X Vedoucí hodiny: Ing. Libor Pekař Datum 3..

Obsah Analýza a syntéza jednorozměrného spojitého lineárního systému... 3. Přenosovou funkce systému... 3. Nuly a póly systému... 3.3 Impulsní funkce... 4.4 Přechodovou funkce... 6. Frekvenční přenos... 8.6 Nyquistovu křivka... 9. Bodeho křivka....8 Stavový popis systému.....8. Přímá metoda (kanonický tvar vzhledem ke vstupu, Frobeniův tvar)....8. Metoda postupné integrace... 3.9 Vnější popis... 4. Ověřte řiditelnost a pozorovatelnost systému.... Standardní fundamentální matici systému.... 6. Stavová rovnici pro nulové počáteční podmínky a u(t) =... 8.3 Regulátor dof....4 kritériem stability... 3 ANALÝZA A SYNTÉZA MNOHOROZMĚRNÉHO SPOJITÉH LINEÁRNÍHO SYSTÉMU... 33. Určete levý a pravý maticový zlomek (přenosovou matici).... 33.6 Výpočtem pólů systému rozhodněte o jeho stabilitě... 3. Dvourozměrný regulátor... 36 3 Závěr :... 4

Analýza a syntéza jednorozměrného spojitého lineárního systému Jednorozměrný lineární spojitý dynamický systém je popsán diferenciální rovnicí: y ( t) 4y ( t) y( t) u ( t) 3u( t). Přenosovou funkce systému Zadání: Napište přenosovou funkci tohoto systému, uvažujte přitom nulové počáteční podmínky Použijeme větu o derivaci originálu: Y s s y s y + 4Y s s 4y + Y s = U s s u + 3U(s) Y s s + 4s + = U s s + 3 Dostáváme přenosovou funkci systému G s = Y(s) U(s) = s + 3 s + 4s +. Nuly a póly systému Zadání: Určete nuly a póly systému a rozhodněte o periodicitě (kmitavosti) a fázovosti (minimálně, neminimálně fázový systém). A) nuly s + 3 = s = 3 Stabilní nula (záporná) Tento dynamický systém má dále ještě jednu nuly v nekonečnu. B) poly s + 4s + = s + 4 s + = D = 4 4 j s = = j 4 + j s = = + j Póly s, s jsou komplexně sdružené, nachází se v levé polovině komplexní rovině, komplexní kořeny způsobují stabilní a kmitavý charakter Systém je dále fázově minimální, protože neobsahuje ani jednu kladnou nulu.

.3 Impulsní funkce Analyticky vypočítejte impulsní funkci a vykreslete ji jako impulsní charakteristiku. (Využijte přenos a zpětnou Laplaceovu transformaci, nebo počítejte jako řešení diferenciální rovnice.). Impulsní charakteristiku získejte také pomocí příkazu impulse MATLABu a výsledky porovnejte společně v jednom grafu. i t = L I s = L G s = L s + 3 { s + 4s + } i t = L s + 3 ( (s + + j 4 )(s + ) j 4 ) Postup řešení pomocí residuí: i t = res lim s j 4 s + + j 4 s + + j 4 s + 3 s + j 4 e st + res lim s +j 4 s + j 4 ( s + + j 4 s + 3 s + j 4 ) e st i t = ( j ) + 3 j + j e ( j )t + ( + j ) + 3 + j + + j e ( +j )t i t = j + 3 j + j e( i t = j + 3 j + j e( j j )t + + j + 3 + j + + j e( )t + + j + 3 + j + + j e( +j )t +j )t i t = j + + j3 e ( j j )t + + j3 e ( +j )t i t = j + e ( j j )t + e ( +j )t

i(t) i t = (j 4 + 4 )e( j )t + ( j 4 + 4 ) e( +j )t i t = i t = j 4 + 4 + j 4 + 4 cos t + cos t j t cos t + j t e t t e t,8 Impulsní funkce,6,4, -, -,4 cas (t) Impulsní fce- Matlab Impulsní funkce - Vypočítaná Pro systém jsme vypočítali impulzní charakteristiku, která je odezvu na vstupní signál u(t)= δ(t) (impulsní). Poté jsme provedli L-obraz výstupní funkce y(t). Výpočty byly ověřeny v programovém prostředí Matlab, kdy jsme se mohli ověřit, že oba výsledky jsou shodné.

.4 Přechodovou funkce Zadání: Analyticky vypočítejte přechodovou funkci a vykreslete ji jako přechodovou charakteristiku. (Využijte přenos a zpětnou Laplaceovu transformaci, nebo počítejte jako řešení diferenciální rovnice.) Přechodovou charakteristiku získejte také pomocí příkazu step MATLABu a výsledky společně v jednom grafu porovnejte. t = L H s == L s + 3 { s + 4s + s } t = L s + + j 4 s + 3 s + j 4 s t = res + res lim lim s j 4 s +j 4 + res lim s s ( s + s + + j 4 s + j 4 + j 4 s + 3 ( s + s + + j 4 s + j 4 s + 3 + j 4 s ) s + j 4 s + 3 s + s j 4 e st s ) e st t = ( j ) + 3 j + j + + ( j ) e ( + j ) + 3 + j + + j 3 + j j ( j )t ( + j ) e ( +j )t t = j (4j 6)/ e( j )t + + j ( 4j 6)/ e( +j )t + 3

h(t) t = j 6 4j + 3 + 6 4j 6 4j e ( j )t + + j 6 4j ( 6 4j + 6 4j + e ( +j )t t = 3 66 + j 6 e ( j )t + 3 66 j 6 e ( +j )t + 3 t = (,3 + j,343 ) e j t + (,3 j,343 ) e ( +j )t + 3 t = (,3 + j,343 ) cos t j t t =,6 cos +,3 j,343 cos t +,686 t + j t e t + 3 t e t + 3, Přechodová funkce,8,6 Přechod. fce-matlab,4, cas (s) Přechodová funkce vypočítaná Pro systém jsme vypočítali přechodovou charakteristiku, která je odezvou na vstupní signál u(t)= (přechodová ch.). Poté jsme provedli L-obraz výstupní funkce y(t). Výpočty byly ověřeny v programovém prostředí Matlab, kdy jsme se mohli ověřit, že oba výsledky jsou shodné.

. Frekvenční přenos Určete frekvenční přenos daného dynamického systému a upravte jej na složkový i exponenciální tvar komplexního čísla. G s = Y(s) U(s) = s + 3 s + 4s + G jω = Y jω U jω = jω + 3 ω + 4jω + = jω + 3 ω + 4jω + = jω + 3 ω + + 4jω ω + 4jω ω + 4jω = j3ω3 + jω + ω ω + jω ω + + 6ω = j3ω3 ω + 3jω + ω + + 6ω Dostáváme složkový tvar komplexního čísla frekvenčního přenosu Y jω G jω = U jω = ω + 3ω 3 + 3ω ( ω + ) + j + 6ω ( ω + ) + 6ω Převedeme frekvenční přenos na exponenciální tvar. A = P(ω) + Q(ω) = ω + ω + + 6ω + 3ω 3 + 3ω ω + + 6ω = ω 4 3ω + + ω 6 9ω 4 + 69ω ( ω + + 6ω ) = ω6 99ω 4 + 39ω + ω + + 6ω Q ω φ ω = arctan P ω = arctan ( 3ω 3 + 3ω ω + + 6ω 3ω 3 + 3ω ω ) = arctan ( + ω + ) ω + + 6ω Exponenciální tvar: G jω = Ae jφ(ω) = ω6 99ω 4 + 39ω + ω + + 6ω e jarctan ( 3ω 3 +3ω ω + ) Dosazením jω za S jsme získali frekvenční přenos ve složkovém tvaru, který jsme dále převedli na exponenciální tvar.

Im.6 Nyquistovu křivka Zadání: S využitím jednoho z výše uvedených tvarů komplexního čísla vykreslete amplitudově-fázovou frekvenční charakteristiku v komplexní rovině (Nyquistovu křivku). Stejnou charakteristiku vykreslete také s využitím příkazu nyquist MATLABu a výsledky porovnejte společně v jednom grafu.,4, Nyguist -, -,,, -,4 -,6 -,8 - -, Re matlab Excel Dosazením reálných hodnot do složkového tvaru získáváme nyquistovu charakteristiku. Vypočítaná nyquistova char. se shoduje s charakteristikou získanou z matlabu.

. Bodeho křivka Zadání: Na základě analytického výpočtu vykreslete frekvenční charakteristiky v logaritmických souřadnicích (Bodeho křivky). Stejné charakteristiky vykreslete také s využitím příkazu bode MATLABu a výsledky porovnejte společně v jednom grafu. Příkazy: >> cit=[ 3] >> jm=[ 4 ] >> bode(cit,jm) Obrázek bode diagram z matlabu

A(ω) [db] ϕ(ω) [db] Frekvenční chrakteristika v log. souř.,,3,3, -, 8, -4-6 matlab excel -8 - ω [rad*s - ] Obrázek fr. char. log. souř. Frekvenční chrakteristika v log. souř.,8,6,4,,8,6,4,,, ω [rad*s - ] Matlab Excel Obrázek 3fr. char. log. souř. Bodeho křivka získaná dosazením hodnot do exponenciálního tvaru se dle grafů shoduje s Bodeho křivkou z Matlabu. U legendy Matlab (hodnoty jsou získány z matlabu), Excel (dosazení hodnot omega do fáze a amplitudy u frekvenčního přenosu.)

.8 Stavový popis systému. Zadání: Určete dvěma různými způsoby stavový popis zadaného systému Určete dvěma různými způsoby stavový popis zadaného systému..8. Přímá metoda (kanonický tvar vzhledem ke vstupu, Frobeniův tvar) y ( t) 4y ( t) y( t) u ( t) 3u( t) Provedeme dekompozici na původní diferenciální rovnice na dvě rovnice vždy s nulovou derivací na jedné straně a zavedeme pomocnou proměnnou z(t). Diferenciální rovnice z t + 4z t + z t = u(t) y t = z (t)+3z(t) Volba stavových proměnných x t = z(t) x t = z t = x t Dif. rovnice prvního řádu x t = x t x t = z t = u t 4 z t z t = u t 4 x t x t Odtud lze určit matice α,β jako: α = 4, β = Matice C a D získáme z předchozích rovnic (po dekompozici) y t = x (t)+3x (t) C = 3, D = Stavový popis získaný pomocí přímé metody. x t x t = 4 x t x t + u(t) y t = 3 x t x t + u(t)

.8. Metoda postupné integrace Dif. rovnice: y ( t) 4y ( t) y( t) u ( t) 3u( t) volba první derivace stavové proměnné x (t) x t = y t 3u t => x = (y t 3u t )dt po dosazení a integraci dostaneme y t + 4y t + x t = u t / y t + 4y t + x t = u(t) volba první derivace stavové proměnné x (t) x t = 4y t + x t u t => x = (4y t + x t u t )dt po dosazení a integraci dostaneme y t + x t = / y t + x t = => y t = x t / soustava diferenciálních rovnic. Řádu x t = y t 3u t = x t 3u t x t = 4y t + x t u t = 4 x t + x t u t výstupní rovnice y t = x t Stavový popis získaný pomocí integrační metody. x t x = t 4 y t = x t x t x t x t + u(t) + 3 u(t) Pro zjištění stavového popisu byly vybrány dvě metody evropská-přímá metoda a metoda postupné integrace.

.9 Vnější popis Zadání: Pro jeden (libovolný) stavový popis z bodu 8 proveďte zpětný převod z vnitřního popisu na vnější popis, tedy ověřte získané parametry stavového popisu. stavový model (vnitřní popis) x t x = t 4 y t = x t x t x t x t + u(t) + 3 u(t) G s = C si A B + D = G s = G s = s + 4 s + s s Cadj si A B + D det ( si A ) 4 s s + 4 3 3 G s = s + 4 s + s + 4 s 3 G s = s + 4 s + s 3 = 3 + s s + 4s + Byla ověřena správnost výpočtů z bodu.8. Diferenciální rovnice získaná ze stavového popisu se shoduje se zadáním, můžeme tedy říct, že výpočet jsme provedli správně. Správnost výpočtu je důležitá pro další výpočty.

. Ověřte řiditelnost a pozorovatelnost systému Systém je řiditelný (dosažitelný), jestliže P C má plnou hodnost, tedy u SISO systémů det P c. matice řiditelnosti: P c = (B, AB A n B) A = 4, B = 3 P C = 3 det = 8/ Determinant matice řiditelnosti se nerovná nule, systém je tedy řiditelný. Systém je pozorovatelný (rekonstruovatelný), jestliže P O má plnou hodnost, tedy u SISO systémů det P O. C matice pozorovatelnosti P O = CA C n A A = 4,C = P O = 4 det = / Determinant matice pozorovatelnosti se nerovná nule, systém je tedy pozorovatelný. Po sestavení matice pozorovatelnosti a řiditelnosti můžeme říct, že systém je pozorovatelný a řiditelný.

. Standardní fundamentální matici systému. Zadání: Vypočtěte standardní fundamentální matici systému Fundamentální matici systému φ(t) lze určit dvojím způsobem zpětnou Laplaceovou transformací výrazu (si A) - rozvinutím výrazu e At v řadu Vlastnostmi fundamentální matice jsou φ t = I φ t = e At = φ (t) φ t + t = φ t φ t Aφ t = φ(t)a Pro výpočet standardní fundamentální matice použiji řešení pomocí Laplacovy transformace. φ s = si A = s s + 4 = s + 4 s + s + 4 s φ s = j 4 + j 4 φ s = s + + s + 4 s φ s = s + 4 s + s + + + s + s s + + + Nyní provedeme úpravu a tj. rozklad na parciální zlomky

s + s + 4 + = s + + = s + s + s + + + s + = s + + + + s + + s + + s + s + s + s + = + = + s + s + = s + = s + s + s + + + + + s + = s + + s + + s + + Zpětná L.-T. φ t = L φ s = L s + s + + + s + s + + + s + s + + s + + s + + Standardní fundamentální matice systému je tedy : φ t = cos t e t + t e t t e t cos t e t t e t Tato fundamentální matice byla dále využita pro zjištění výstupu ze systému jako reakce na jednotkový skok. Tento výpočet byl poté opětovně ověřen simulací v matlabu. Řešená stavová rovnice odpovídá ověřenému řešení z bodu.4. t e t

. Stavová rovnici pro nulové počáteční podmínky a u(t) = Zadání: Vyřešte stavovou rovnici pro nulové počáteční podmínky a u(t) =. Odtud určete výstup ze systému. Výsledek srovnejte s výsledkem z bodu 4. Stavová rovnice autonomního systému Vstupní signál u(t)= t Řešení stavové rovnice neautonomního systému x t = φ t x + φ t τ Bu τ dτ Určení partikulárního řešení Ψ t = t φ t τ Bu τ dτ t = φ t τ t 3 dτ = φ t τ 3 dτ Ψ t = t cos (t τ) e (t τ) + t e (t τ) (t τ) e (t τ) cos (t τ) e (t τ) t e (t τ) (t τ) e (t τ) 3 dτ = t 3cos (t τ) e (t τ) 6 (t τ) e t cos (t τ) e (t τ) + (t τ) e (t τ) + (t τ) e (t τ) dτ (t τ) e (t τ) = t 3cos cos (t τ) e (t τ) + 9 (t τ) e (t τ) (t τ) e (t τ) dτ (t τ) e (t τ) Ψ t = t 3cos (t τ) e (t τ) + 9 (t τ) e (t τ) dτ t Ψ t = 3cos (t τ) e (t τ) + 9 (t τ) e (t τ) dτ= s= t τ ds=-dτ dτ = -ds

Horní mez : s = t - t s = Dolní mez : s = t - s = t Ψ t = t 3cos s e s ds 9 t s e s ds t Ψ t = 3 e s 4 + cos ( s) + s + 9 e s 4 + s cos s t t Ψ t = 3 e s 4 + cos ( s) + s + 9 e s 4 + s cos s t Ψ t = 3 e t cos t + t + + 9 e t ( t) + cos t + Ψ t = 6 cos s e t 3 + 33 cos t e t + 9 s e s + 6 + 38 t e t Ψ t = 39 cos t e t 66 3 t e t +

t Ψ t = cos Ψ t = t Ψ t = Ψ t = cos e s 4 + e t (t τ) e (t τ) s e s s e s cos ( e s 4 + cos (t τ) e (t τ) dτ s= t τ ds s) + s s cos s t + t + t ds=-dτ dτ = -ds t e t t cos t + Ψ t = cos s e t + cos t e t s e t + t e t Ψ t = + cos s e t 33 s e t Ψ t = 39 cos t e cos t 66 3 s e t 33 t e t + s e t

Výstup: Přechod: y t = t = Po zaokrouhleni: h t =, 6cos s e Ψ t = cos 3 t +, 68 Výsledná přechodová funkce z úlohy.4 h t =,6 cos t +, 686 s e t + 33 3 s e t + 3 t e t + 3 s e t + 3 Přechodové funkce jsou po zaokrouhlení téměř totožné (liší se u jedné cifry v tisícině, tenhle rozdíl vznikl zaokrouhlováním). Z výsledku lze odvodit, že jsme počítali správně.

.3 Regulátor dof Zadání: Je uvažováno, že jedinou vstupní veličinou regulačního obvodu je pouze žádaná hodnota ve tvaru skoku o hodnotě. Navrhněte regulátor pomocí polynomiální syntézy pro DOF strukturu řízení pro tři různé hodnoty násobného pólu -m v charakteristickém polynomu uzavřeného regulačního obvodu a simulačně ověřte funkčnost regulátoru. Vykreslete regulační pochody pro u(t) a y(t) (do jednoho grafu srovnejte výsledky tří regulačních pochodů) a výsledky slovně porovnejte. y ( t) 4y ( t) y( t) u ( t) 3u( t) G s = Y(s) U(s) = s + 3 s + 4s + = b s + b a s + a s + a a s = s + 4s + b s = s + 3 Vstupní hodnota: w t = w s = s f w s = s Porucha: d t = d s = f s d s = s Určení stupně polynomu f s = NSN f w s, f d s = s deg f = Eliminace poruch působící v systému a jmenovatelů obrazů referenčního signálu p = fp Zápis diofantické rovnice ap + bq = c ve tvaru afp + bg = c Určení stupně polynomu q s, p s, c(s) deg q = deg a + deg f = + = q s = q s + q s + q deg p deg a = = p s = p s + p deg c = deg a + deg f = 4 + = c s = c s + c 4 s 4 + c 3 s 3 + c s + c s + c Dosadíme do diofantické rovnice afp + bg = c a dostaneme: (a s + a s + a )s p s + p + b s + b q s + q s + q Po úpravě dostaneme: = c s + c 4 s 4 + c 3 s 3 + c s + c s + c

a p s 4 + a p s 3 + a p s + a p s 3 + a p s + a p s + b q s 3 + b q s +b q s + b q s + b q s + b q = c 4 s 4 + c 3 s 3 + c s + c s + c s 4 : a p = c 4 s 3 : a p + a p + b q = c 3 s : a p + a p + b q + b q = c s : a p + + b q + b q = c s : b q = c Řešením výše uvedené soustavy rovnic, se získají koeficienty regulátoru, který je ve tvaru: Q s = q(s) p(s) = q(s) f(s)p(s) = q s + q s + q s(p s + p ) Koeficienty polynomu c(s) jsou voleny tak, aby byla zajištěna stabilita systému řízení, například c s = (s + m) deg c = (s + m) 4 = s 4 + 4s 3 m + 6s m + 4sm 3 + m 4 kde m je volený kladný koeficient, přičemž pro každý volený koeficient m, respektive polynom c(s) je nutno ověřit stabilitu výsledného regulátoru. Volba m= c s = s 4 + 4s 3 + 6s + 4s + = c 4 s 4 + c 3 s 3 + c s + c s + c a p = c 4 p = p = a p + a p + b q = c 3 4 p + p + q = 4 4 + p + q = 4 a p + a p + b q + b q = c p + 4p + 3q + q = 6 + 4p + 3q + q = 6

a p + b q + b q = c p + 3q + q = 4 p + 3q + 3 = 4 b q = c 3q = q = 3 p = 4 + p + q = 4 q = 4 3 p + 4 = p + 4 3 p + 3q + 3 = 4 q = 3 p 9 + 4 3 = 3 p + 9 + 4p + 3q + q = 6 + 4p + 3 p + 4 3 + 3 p + 9 = 6 + 4p p + 3 3 p + 3 9 = 6 +6 63 4 + p + + 63 3 = 6 8 p + 63 + 3 = 6 8 p + 648 89 + = 8 p = 4 p = 4 8 = 344 q = p + 4 3 = 344 + 4 3 = 9 + 4 3 =,9 q = 3 p + 9 = 3 344 + 9 = 9 3 + 9 = 6 + + 448 = = 9 9 6 6 = 3 9 q = 3 Regulátor pak pro násobný kořen m= bude Q s = q s + q s + q s(p s + p ) =,9s + 3 9 s + 3 s( s 344 ) V simulinku jsem vytvořil zapojení odpovídající vypočteným hodnotám.

Obrázek 4 Schéma zapojení pro m= Obrázek požadovaná veličina, akční veličina, regulovaná veličina

Volba m=, a s = s + 4s + b s = s + 3 (a s + a s + a )s p s + p + b s + b q s + q s + q = s 4 + 4s 3 m + 6s m + 4sm 3 + m 4 Po úpravě dostaneme: a p s 4 + a p s 3 + a p s + a p s 3 + a p s + a p s + b q s 3 + b q s +b q s + b q s + b q s + b q = s 4 + 4s 3 m + 6s m + 4sm 3 + m 4 p s 4 + 4p + p + q s 3 + p + 4p + 3q + q s + (p + 3 q + q )s + 3q = s 4 + s 3 +,s +,s +,6 s 4 : p = s 3 : 4p + p + q = s : p + 4p + 3q + q =, s : p + + 3 q + q =, s : 3q =,6 Po vyřešení soustav rovnic získáváme: p =, p =,46, q =,8886, q =,866, q =,6 3 Q s = q s + q s + q s(p s + p ) =,8886s,866s +,6 3 s( s +,46)

Obrázek 6 Schéma zapojení pro m=, Obrázek požadovaná veličina, akční veličina, regulovaná veličina Volba m= a p s 4 + a p s 3 + a p s + a p s 3 + a p s + a p s + b q s 3 + b q s +b q s + b q s + b q s + b q = s 4 + 4s 3 m + 6s m + 4sm 3 + m 4 Dosazení:

p s 4 + 4p + p + q s 3 + p + 4p + 3q + q s + (p + 3 q + q )s + 3q = s 4 + s 3 + s + s + 6 s 4 : p = s 3 : 4p + p + q = s : p + 4p + 3q + q = s : p + + 3 q + q = s : 3q = 6 Po vyřešení soustav rovnic získáváme: p =, p = 89,4, q = 9,86, q = 3,948, q = 6 3 Q s = q s + q s + q s(p s + p ) = 9,86 s + 3,948s + 6 3 s( s 89,4) Obrázek 8 schéma zapojení pro m=

Obrázek 9 požadovaná veličina, akční veličina, regulovaná veličina Z regulačních pochodů pro volbu m=, ; m= ; m= jde krásně vidět, že čím vyšší m zvolíme, tím je agresivnější zásah regulátoru. Volba koeficientu m=,, byla velmi nešťastná, lze vidět, že regulátor nedokáže nastavit regulovanou veličinu na žádané hodnotě. Volba koeficientu m= je taky velice nešťastná, vznikají zde veliké překmity při změnách žádané hodnoty. Dá se říct, že volba koeficientů v rozmezí - je pro návrh daného regulátoru asi nejlepší volbou.

.4 kritériem stability Zadání: Libovolným kritériem stability (algebraickým či geometrickým) ověřte asymptotickou stabilitu regulačního obvodu (nikoliv pouze řízené soustavy! Přenos regulátoru: m= G Q s = q s + q s + q s(p s + p ) Přenos regulované soustavy G s = Y(s) U(s) = s + 3 s + 4s + =,9s + 3 9 s + 3 s( s 344 ) Při zjišťování stability použijeme Routh shurovo kritérium stability. Charakteristická rovnice soustavy je tedy c(s)=ap+bg s + 4s + s 344 + s + 3,9s + 3 9 3 4,s + = s 4 + 4,s 3 +,9s + Routh-shurovo kritérium: 4,,9 4, / 4 4 6,6 4, / 4 6,6 6,6 3,4 Zbylé tři hodnoty jsou kladné můžeme tedy říct že systém je stabilní, což jsme si mohli ověřit v matlabu příkazem: nyquist(conv([ 3],[.9 3/9.333]),conv([ 4 ],[/ -/344 ])) Obrázek nyquist m=

Přenos regulátoru: m= Příkaz: nyquist(conv([ 3],[9.86 3.848 6/3]),conv([ 4 ],[/ -89.4 ])) s + 4s + s 89,4s + s + 3 9,86 s + 3,948s + 6 3 = +, + + 666 + 6 666 6 /* 6, 666 6 /* 6, 6, 8 Poslední 3 koeficienty jsou kladné, regulátor je stabilní. Obrázek nyquist m= m=, nyquist(conv([ 3],[.8886 -.866.6/3]),conv([ 4 ],[/.46 ]))

Obrázek nyquist m=, Dle geometrického kriteria lze usoudit, že všechny tři zvolené regulátory jsou stabilní.

ANALÝZA A SYNTÉZA MNOHOROZMĚRNÉHO SPOJITÉH LINEÁRNÍHO SYSTÉMU Popis mnohorozměrného lineárního spojitého dynamického systému ze zadání je popsán diferenciální rovnicí: Podle individuálního zadání: a a y ( t) a y ( t) a y ( t) a y ( t) a y ( t) b y ( t) b u ( t) b u ( t) b u ( t) y (t) + y (t) + y (t) = u (t) + 8u (t) y (t) + 3y (t) + 6y (t) = u (t) + u (t) u ( t) - Jedna vstupní veličina ovlivňuje obecně více výstupních veličin. - V případě, že jedna vstupní veličina ovlivňuje vždy jen jednu výstupní a zároveň naopak (tj. pokud určitá výstupní veličina je ovlivňována vždy jen jedním vstupem), hovoříme o autonomním systému.. Určete levý a pravý maticový zlomek (přenosovou matici). Aplikujeme L-transformace na zadanou soustavu ze které pak rovnic dostaneme: Sestavíme matici: s + Y s + Y s = U s + 8U s 3Y s + s + 6 Y s = U s + U s AY=BU s + 3 s + 6 Y s Y s = 8 U (s) U (s) Výpočet levého maticového zlomku: G = A B = s + 3 s + 6 = s + 8s 9 8 = s + 8s 9 s 3 8s + 34 s + 8 s s + 6 3 s + 8

Pro řešení pravého maticového zlomku se řeší diofantické rovnice, pro které platí: Obrázek 3 matice rotací s + 3 s + 6 8 s + 3 s + 6 4 6 6 6 3 s + 4s 6 s 6 s + 6 4 6 6 6 s 4s 3 6 s 6 s 39 4 6 6 6 s 4s 3 6 s 6 s 39 s + 4s + 6 s + 8 6 s + 3 Výsledek pravého maticového zlomku upravíme na přenos G = A B = s + 6 s + 8 4s + 6 s + 3 = 6 6s 8s + 34 s + 3 s 8 4s 6 s + 6 = s + 8s 9 s + 3 s 8 8s 34 s + = s + 8s 9 s 3 8s + 34 s + 8 s Levý maticový zlomek: G = s +8s 9 s 3 8s + 34 s + 8 s Pravý maticový zlomek: G p = s +8s 9 s 3 8s + 34 s + 8 s Přenosy jsou si rovny a platí: G = G p

.6 Výpočtem pólů systému rozhodněte o jeho stabilitě Poly získáme ze jmenovatele levého maticového zlomku s + 8s 9 = s =-, s =-8 Jedná se o polynom druhého stupně, oba poly jsou reálné a záporné, systém je stabilní.

. Dvourozměrný regulátor Zadání: Je uvažováno, že jedinými vstupními veličinami regulačního obvodu jsou žádané hodnoty ve tvaru skoku o hodnotě. Zvolte vhodné póly uzavřeného regulačního obvodu. Navrhněte spojitý dvourozměrný regulátor (splňující požadavek asymptotického sledování žádaných hodnot) a simulujte regulační pochod v prostředí Matlab-Simulink (pro u(t) a y(t)). Umístění pólu pro asymptotické sledování žádané veličiny lze vyjádřit maticovou Diofantickou rovnicí: A L FP P + B L Q P = D Přenos řízení MIMO reg. obvodu je : G WY = B P (PA P + QB P ) Q = P P (AP P + BQ P ) BP Q Spojitý stabilní dvourozměrný regulátor budeme hledat ve tvaru: G Q s = Q P s P P (s) Levý maticový zlomek z bodu. je G = A B = s + 3 s + 6 8 Požadavky pro návrh regulátoru budou splněny řešením maticové diofantické rovnice:

Z vektoru obrazů žádaných hodnot w(s) po zjištění nejmenšího společného násobku všech jmenovatelů získáváme kompenzátor: Stabilní matici C(s) zvolíme tak, že determinant této matice tvoří char. polynom všech přenosů v uzavřeném reg. obvodu. Póly systému zvolíme stabilní například m =-, m =-. Matice C bude tedy ve tvaru: c s = (s + ) (s + ) = s + s + s + 4s + 4 Matici tvaru: převedeme na tvar : s + s s 3s s + 6s 8 s + s s 3s s + 6s s + s + s 3s s + 4s + 4 s 8s + 6 6 s + 6 s 4 6 4 6 4 6 6 6 6 6 s + s + s + 4s + 4 s s + 6 6 s + 6 4s 8 4 6 6 6 Regulátor je tedy : G Q s = Q p s ( F(s)P p (s) ) = s 6 s + s + 6 6 4s 8 ( s s ) ( ) G Q s = s s 6 s + s + 6 6 4s 8

Zákon řízení PFU=QE: s s U U = s 6 s + s + 6 6 4s 8 E E Přenos regulované soustavy z bodu. : G = s + 8s 9 s 3 8s + 34 s + 8 s Simulace v Matlabu : Obrázek 4 regulační obvod pro MIMO systém

Obrázek Průbě výstupní veličiny ze scope Obrázek 6 Průběh výstupní veličiny se scope

Obrázek Akční veličiny, fialová systém, žlutá systém Z přechodové charakteristiky systému můžeme říct, že se jedná o systém z neminimální fází a systém je stabilní ( ustálí se na požadované hodnotě v konečném čas). Pravděpodobně při volbě menších kořenů m, m by se velikost neminimální fáze zmenšila, ale požadovaná veličina by se dosáhla v pozdějším čase.

3 Závěr: Vzhledem k imaginárním kořenům bylo řešení místy velmi zdlouhavé a náchylné na chyby vzniklé z nepozornosti při počítání. Zdlouhavé bylo často i vypisování matematických postupů ve wordu. Velká většina matematických výpočtů jsem prováděl přímo ve wordu (sem tam při psaní v editoru rovnic, MS Word přestal fungovat a havaroval, což bylo velmi nemile a donutila mě, abych co min pravidelně ukládal práci). Pod jednotlivými částmi (-) se nachází odpověď, kde konstatuji, k jakému závěru jsem u daného příkladu došel.

SEZNAM POUŽITÉ LITERATURY *+ NAVRÁTIL, Pavel. Automatizace : vybrané statě.. vyd. ve Zlíně: Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně,, 89 s. ISBN 98-8-8-93-8. *+ Pekař Libor, Ing. Sylabus ke cvičením

Seznam Obrázků: Obrázek bode diagram z matlabu... Obrázek fr. char. log. souř.... Obrázek 3fr. char. log. souř.... Obrázek 4 Schéma zapojení pro m=... Obrázek požadovaná veličina, akční veličina, regulovaná veličina... Obrázek 6 Schéma zapojení pro m=,... Obrázek požadovaná veličina, akční veličina, regulovaná veličina... Obrázek 8 schéma zapojení pro m=... 8 Obrázek 9 požadovaná veličina, akční veličina, regulovaná veličina... 9 Obrázek nyquist m=... 3 Obrázek nyquist m=... Obrázek nyquist m=,... 3 Obrázek 3 matice rotací... 34 Obrázek 4 regulační obvod pro MIMO systém... 38 Obrázek Průbě výstupní veličiny ze scope... 39 Obrázek 6 Průběh výstupní veličiny se scope... 39 Obrázek Akční veličiny, fialová systém, žlutá systém... 4