Středí průmyslová škola, Uherské Hradště, Kollárova 67 MECHANIKA I M.H. 00 MECHANIKA I STATIKA, PRUŽNOST A PEVNOST Studjí obor (kód a ázev): -4-M/00 Strojíreství - -
Středí průmyslová škola, Uherské Hradště, Kollárova 67 MECHANIKA I M.H. 00 Úvodem Cílem tohoto učebího textu je sloužt jako pomůcka (ahrazuje učebc a částečě pracoví sešt) př výuce předmětu MECHANIKA v. ročíku oboru STROJÍRENSTVÍ. Jedotlvé kaptoly jsou rozvržey do vyučovacích hod, celková hodová dotace za školí rok čí 68 hod. Obsah Úvodem Obsah. Úvod do mechaky.. Obsah a výzam, rozděleí mechaky, pohybové zákoy.. Opakováí fyzkálích velč, základí jedotky SI. Statka.. Úvod, úkoly statky, základí pojmy.. Soustava sl a společé ostelce 4.. Rová soustava sl se společým působštěm 4.4. Rová soustava sl eprocházející jedím bodem 7.5. Prostorová soustava sl 7.6. Prutové soustavy 8.7. Těžště a stablta 6.8. Statka jedoduchých mechasmů s pasvím odpory 6.9. Opakováí statky 49. Pružost a pevost (PaP) 49.. Defce PaP, základí druhy amáháí 49.. Tah, tlak 5.. Prostý smyk 60.4. Průřezové moduly pro amáháí krutem a ohybem 6.5. Opakováí 67 - -
Středí průmyslová škola, Uherské Hradště, Kollárova 67 MECHANIKA I M.H. 00 vyučovací hoda:.. ÚVOD DO MECHANIKY.. OBSAH A VÝZNAM, ROZDĚLENÍ MECHANIKY, POHYBOVÉ ZÁKONY Studem přírodích jevů a zem ve vesmíru se zabývá ěkolk vědích oborů, které společě ozačujeme přírodí vědy. Patří sem zejméa fyzka, cheme, bologe a astroome. Součástí fyzky je mechaka, jež se zabývá studem mechackého pohybu to je mechackého přemísťováí hmoty v prostoru a čase. Rozděleí mechaky: - mechaka tuhých a poddajých těles (pružost, pevost) - mechaka tekut (kapal, par a plyů) - termomechaka (působeí tepla a látky) Další děleí: - statka (pojedává o rovováze tuhých těles, kapal a plyů) - kematka (vyšetřuje pohyby bez zřetele a příčy) - dyamka (pojedává o pohybu a jeho příčách) vyučovací hoda:... OPAKOVÁNÍ YZIKÁLNÍCH VELIČIN, ZÁKLADNÍ JEDNOTKY SI Pohyb hmoty se děje v prostoru a čase, proto hmotost, délka a čas jsou základím velčam mechaky. Namísto hmotost lze zavést sílu jako příču pohybu. Rozděleí fyzkálích velč: - skaláry jsou určey pouze velkostí (hmotost, čas, eerge) - vektory jsou určey velkostí, směrem a smyslem (síla, rychlost, zrychleí) K číselému vyjádřeí hodot velč používáme jedotky. Jedotky rozdělujeme a základí a druhoté (odvozeé). Uzákoěé základí jedotky jsou jedotky Mezárodí měrové soustavy SI (Systém Iteratoál d Utés).. metr [m] základí jedotka délky. klogram [kg] základí jedotka hmotost. ampér [A] základí jedotka elektrckého proudu 4. sekuda [s] základí jedotka času 5. stupeň [deg; K; C] základí jedotka teplotího rozdílu 6. kadela [cd] základí jedotka svítvost Násobky jedotek vyjadřujeme pomocí předpo a začek. Předpoa: tera gga mega klo ml mkro ao pko Začka: T G M k m µ p Výzam: 0 0 9 0 6 0 0-0 -6 0-9 0 - Příklad: Mpa 0 6 Pa; km 0 m vyučovací hoda:. a 4.. STATIKA.. ÚVOD, ÚKOLY STATIKY, ZÁKLADNÍ POJMY Část mechaky STATIKA pojedává o skládáí, rozkládáí a rovováze sl za kldu ebo př rovoměrém přímočarém pohybu. Složt síly zameá ahradt tyto síly slou jedou tak, aby měla a těleso tetýž úček. Skládaé síly se azývají složky, síla která je ahrazuje je výsledce. - -
Středí průmyslová škola, Uherské Hradště, Kollárova 67 MECHANIKA I M.H. 00 Rozložt sílu do složek zameá ahradt tuto sílu dvěma ebo více slam tak, aby měly s rozkládaou slou stejý úček. Síly jsou v rovováze, ruší-l se vzájemě ve svých účcích, takže eí výsledce. Těleso je v kldu ebo se pohybuje rovoměrě přímočaře. V techcké prax se je vyjímečě vyskytují osamělá tělesa. Převážě jsou spolu spojea v soustavu těles. Jedotlvé čley soustavy a sebe vzájemě působí. Toto vzájemé působeí azýváme síla. Síla je vektor je určea působštěm, směrem, smyslem a velkostí. Základí jedotkou síly je ewto [N]. Defce: síla N udělí tělesu o hmotost kg zrychleí m.s -. Záps síly: [ x; y; a ; velkost v N ] [ 0; -0; 50 ; 00 N ] x,y... souřadce působště měřítko síly: m : mm? N a. směrový úhel vyučovací hoda: 5. a 6... SOUSTAVA SIL NA SPOLEČNÉ NOSITELCE Působště síly (sílu) můžeme po ostelce lbovolě posouvat až se změí její úček. Výsledce sl V působí v téže vektorové přímce a rová se algebrackému součtu všech sl. + + Síly jsou v rovováze, je-l algebracký součet všech sl rove ule! v Příklad: Staovte grafcky početě výsledc sl podle zadáí (vz učebce, pracoví sešt). vyučovací hoda: 7. a 8... ROVINNÁ SOUSTAVA SIL SE SPOLEČNÝM PŮSOBIŠTĚM... Grafcké zjštěí výsledce a uvedeí slové soustavy do rovováhy Platí, že výsledce musí mít společé působště s daou soustavou sl. Dvě síly o společém působšt skládáme pomocí rovoběžíku sl (slového obrazce). - 4 -
Středí průmyslová škola, Uherské Hradště, Kollárova 67 MECHANIKA I M.H. 00 Dáo: x,y... souřadce působště a. směrové úhly sl s osou x [N] velkost sl rovoběžík sl slový obrazec Příklad: Staovte grafcky výsledc soustavy dvou sl podle zadáí (vz učebce, pracoví sešt). Výsledc ěkolka sl v rově o společém působšt řešíme metodou postupého skládáí dvou sl., ahradíme částečou výsledcí,, tu složíme se slou a koečou výsledc V. zadáí rovoběžík sl slový obrazec rovoběžík sl slový obrazec slový mohoúhelík Příklad: Staovte grafcky výsledc soustavy sl podle zadáí (vz učebce, pracoví sešt). Uvedeí slové soustavy do rovováhy Jak jsme jž uvedl, síly jsou v rovováze, ruší-l se vzájemě ve svých účcích, takže eí výsledce. Slovou soustavu,, uvedeme do rovováhy přdáím síly R, která je stejě velká jako V ale opačého smyslu. Slová soustava je v rovováze, jestlže je slový mohoúhelík uzavře špkam v jedom sledu. - 5 -
Středí průmyslová škola, Uherské Hradště, Kollárova 67 MECHANIKA I M.H. 00 vyučovací hoda: 9.... Řešeí výsledce dvou avzájem kolmých sl početě rovoběžík sl slový obrazec Dle Pythagorovy věty platí: V V ( ) + + Příklad: Staovte početě výsledc soustavy dvou kolých sl podle zadáí.... Početí řešeí výsledce soustavy obecých sl o společém působšt Řešeí provádíme tak, že každou sílu rozložíme do dvou kolmých složek (do osy x a y). Příslušé složky algebracky sečteme do složek výsledce. Celkovou výsledc vypočteme z pravoúhlého trojúhelíka. Směr a smysl rověž staovíme z výsledého trojúhelíka. tg α Příklad: Staovte početě velkost, směr a smysl výsledce soustavy sl podle zadáí (vz učebce, pracoví sešt). y x vyučovací hoda: 0. a...4. Dvě složky síly, rozklad sl, rovováha sl Rozklad síly do dvou růzoběžých složek je opakem skládáí. Proto zde př grafckém řešeí používáme rovoběžík sl ebo slový obrazec (trojúhelík). Početí řešeí je opět obdobé. Příklad: Rozložte sílu do dvou složek podle zadáí. Proveďte grafcky početě (vz učebce, pracoví sešt). - 6 -
Středí průmyslová škola, Uherské Hradště, Kollárova 67 MECHANIKA I M.H. 00 vyučovací hoda:..4. ROVINNÁ SOUSTAVA SIL NEPROCHÁZEJÍCÍ JEDNÍM BODEM.4.. Momet síly k bodu a k ose Momet M síly k bodu A vyjadřuje velkost a smysl točvého účku síly vzhledem k bodu A. M r [N.m] r rameo síly (kolmá vzdáleost) Momet považujeme za kladý, jestlže dojde účkem síly k otáčeí prot smyslu pohybu hodových ručček. Jedotkou mometu síly je ewtometr N.m. Mometová věta: Momet výsledce k lbovolému bodu se rová algebrackému součtu mometů jedotlvých složek k témuž bodu. M M Příklad: Určete výsledc sl 0 N a 5 N, které jsou od sebe vzdáley r m. * r * r + * r ; r r + r ; r 0 r 0 dopočítejte s vyučovací hoda:..4.. Momet slové dvojce Slovou dvojc tvoří dvě stejě velké síly stejého směru, opačého smyslu, které jsou od sebe vzdáley o r (rameo dvojce). Účkem takové slové dvojce je rotace. Slová dvojce bude rotovat v rově proložeé oběma slam. Smysl rotace je urče vzájemou polohou obou sl. Momet považujeme za záporý, jestlže dojde k otáčeí prot smyslu pohybu hodových ručček. - 7 -
Středí průmyslová škola, Uherské Hradště, Kollárova 67 MECHANIKA I M.H. 00 Úček slové dvojce se azývá momet slové dvojce M r [N.m] r rameo síly (kolmá vzdáleost) Slovou dvojc můžeme v rově rotace přeložt a její úček se ezměí. Slovou dvojc můžeme v rově rotace atočt a její úček se ezměí. Slovou dvojc můžeme v rově rotace ahradt jou slovou dvojcí v tom případě, má-l stejý úček (M M). M r r M r r Máme-l ěkolk slových dvojc v jedé rově, potom se jejch účky sčítají. - 8 -
Středí průmyslová škola, Uherské Hradště, Kollárova 67 MECHANIKA I M.H. 00 M M + M M y M x M y x Slová dvojce může být v rovováze je s jou slovou dvojcí, která má stejě velký momet a je opačě oretovaá. r r Příklad: Řešte slové rovce dle zadáí vyučovací hoda: 4..4.. Momet slové soustavy Působí-l soutava ěkolka sl, je jejch výsledý úček rove účku výsledce. Z toho vyplývá, že součet mometů jedotlvých sl soustavy se rová mometu výsledce. M M mometová věta Úloha: Aplkace mometové věty - Nahrazeí účku dvou rovoběžých sl účkem síly jedé (výsledce). M r + r M k počátku O r ; r 0 + r r r + Příklad: Proveďte ahrazeí účku dvou rovoběžých sl účkem výsledce. Dáo [0;0;0 ;0N], [0;-0;0 ;40N] vyučovací hoda: 5. - 9 -
Středí průmyslová škola, Uherské Hradště, Kollárova 67 MECHANIKA I M.H. 00.4.4. Nahrazeí síly slou a rovoběžé ostelce Daou sílu a ostelce p přeeseme a rovoběžou ostelku q. Přeeseím a ovou ostelku q musíme přdat momet M.r. Opačý postup sečteme-l přeeseou sílu a momet M, dostaeme původí sílu a ostelce p. Příklad: Nahraďte sílu [40;0;90 ;50N] a momet (slovou dvojc) M,5N.m jedou slou. Proveďte početí kotrolu obou soustav, účky porovejte. M,5 r 0,0m 0mm 50 Kotrola:. Původí soustava x 0 ; y 50N ; M M 0,04,5. Nová soustava se slou 0,5 Nm x 0 ; y 50N ; M 0,0 0,5 Nm Závěr: Účky soustav jsou stejé. vyučovací hoda: 6..4.5. Výsledce soustavy rovoběžých sl - GRAICKY Postup: Zvolíme dvě pomocé síly S 0, S 0, které se vzájemě ruší a zadaou soustavu eovlví. Jejch ostelku vedeme tak, aby protímala ostelku síly v bodě A 0. Síly a S 0 sečteme pomocí slového trojúhelíka mmo hlaví obrázek. Výsledce S bude procházet A 0. Musí vždy platt, že tř úsečky - 0 -
Středí průmyslová škola, Uherské Hradště, Kollárova 67 MECHANIKA I M.H. 00 které tvoří v pólovém obrazc trojúhelík (S 0,, S ) se musí v základím obrazc protíat v jedom bodě (A 0)! Začíám tedy: - složím S 0 a a dostau výsledc S. Musí se protíat v bodě A 0 pokračuj dále: - složím S a a dostau výsledc S. Musí se protíat v bodě A - složím S a a dostau výsledc S. Musí se protíat v bodě A a akoec - složím S a S 0 a dostau výsledc V. Musí se protíat v bodě A Tím dostau velkost polohu výsledce. Příklad: Zjstěte grafcky velkost a polohu výsledce tří rovoběžých sl. [0;0;90 ;0N]; [5;0;70 ;50N]; [50;0;70 ;0N] Př praktckém řešeí evyzačujeme částečé výsledce (S,S,S ), ale pouze přímky a úsečky jm odpovídající. Čára A 0 A A A A 0 je výsledcová čára, čára V (v pólovém obrazc) je složková čára, úsečky 0,,, jsou pólové paprsky (vláka) a bod P je pól. Říkáme, že jsme provedl řešeí pomocí pólového (vlákového) obrazce. Postup:. zvolíme měřítko sl. akreslíme obrazec umístěí. akreslíme vlákový obrazec > zjstíme velkost výsledce 4. vedeme rovoběžky s vláky v obrazc umístěí 5. zjstíme polohu výsledce průsečík [0,, ] > A 0 průsečík [,, ] > A průsečík [,, ] > A průsečík [,0, V ] > A - -
Středí průmyslová škola, Uherské Hradště, Kollárova 67 MECHANIKA I M.H. 00 Rovováha: Podmíkou rovováhy je ulová výsledce ulová výsledá dvojce. 0 ; r 0 Grafcky uzavřeá složková čára se špkam v jedom směru a také uzavřeá výsledcová čára. vyučovací hoda: 7..4.6. Výsledce soustavy rovoběžých sl - POČETNĚ Souřadý systém zvolíme tak, aby apř. osa y byla rovoběžá s ostelkam sl. Pak tedy výsledce bude rovoběžá s osou y. K určeí velkost V použjeme složkové rovce do směru osy y. K určeí polohy lze využít mometovou větu. V V x V x Může se stát, že V 0. Soustava emá výsledc, ale její účky lze ahradt výsledou dvojcí M V o mometu M V x Pokud M V 0, jde o rovováhu. Příklad: Vypočítejte velkost a polohu výsledce soustavy sl V a x V. [0;0;90 ;0N]; [5;0;70 ;50N]; [50;0;70 ;0N]. + ( ) + ( ) 0 50 0 50N směr dolů V M x V V x V x x x MV 0 0 50 5 0 50 4mm porovejte s grafckým řešeím 50 V V x - -
Středí průmyslová škola, Uherské Hradště, Kollárova 67 MECHANIKA I M.H. 00 Kotrola:. Původí soustava y 0 50 0 50N ; M 0 0 50 5 0 50 050Nmm. Nová soustava y V 50N ; M V 50 4 050Nm Závěr: Účky soustav jsou stejé. vyučovací hoda: 8. a 9..4.7. Řešeí vazbových sl a páce grafcky početě Vazbové síly síly druhoté, reakce. Tělesa působí a podpory slam prvotím akčím. Podpory kladou odpor slam druhotým reakčím. Podle třetího pohybového zákoa platí, že akce reakce. Proto reakce (vazbové síly) určujeme z podmíek statcké rovováhy. Kloubové spojeí Může přeášet sílu všem směry. Síla prochází středem kloubu. Obecá podpora Může přeášet sílu působící je kolmo a podporu! PÁKA jede pevý podporový bod kloubové spojeí. Úloha: Je dáa síla a směr síly. Staovte velkost síly a směr a smysl reakce R a úhlové páce. Proveďte grafcké početí řešeí. GRAICKÉ ŘEŠENÍ Př grafckém řešeí musí být splěy dvě základí podmíky rovováhy: - Abychom mohl určt směr reakce v kloubové podpoře, musíme alézt společé působště. - Síly musí tvořt uzavřeý slový trojúhelík - -
Středí průmyslová škola, Uherské Hradště, Kollárova 67 MECHANIKA I M.H. 00 POČETNÍ ŘEŠENÍ Početí řešeí provedeme pomocí podmíek statcké rovováhy.. M 0 b a b 0 a vylučuje otáčeí x Rx 0 Rx. 0. 0 vylučuje pohyb v ose x y Ry 0 Ry vylučuje pohyb v ose y + [N] R Příklad: Staovte velkost síly a směr a smysl reakce R a úhlové páce. Proveďte grafcké početí řešeí. Dáo: 50N; a50mm; b0mm. Jedorameá páka Úloha: Je dáa síla a směr síly. Staovte velkost síly a směr a smysl reakce R v kloubu. Proveďte grafcké početí řešeí. Aby byla rovováha, výsledcová čára musí být uzavřea. Dostau tak směr vláka a přeesu ho do pólového obrazce. Zde získám velkost a směr a smysl reakce R. průsečík [0,, ] > A průsečík [,, ] > A průsečík [,0, R ] > A - 4 -
Středí průmyslová škola, Uherské Hradště, Kollárova 67 MECHANIKA I M.H. 00 Početě: M 0 0 0 a b a 0 b 0 podmíka vyloučí otáčeí y R R podmíka vyloučí posuv x 0 v ose x síly epůsobí! podmíka vyloučí posuv Příklad: Staovte velkost síly a směr a smysl reakce R v kloubu. Proveďte grafcké početí řešeí. Dáo: 50N; a50mm; b0mm. vyučovací hoda: 0. a..4.8. Řešeí vazbových sl osíku a dvou podporách Úloha: Nosík a dvou podporách je zatíže slam, a. Staovte výsledc a reakce v podporách A a B. GRAICKÉ ŘEŠENÍ průsečík [,, ] > průsečík [,, ] > průsečík [,4, ] > průsečík [,4, ] > 4 průsečík [,5, A ] > 5 průsečík [4,5, B ] > 6 POČETNÍ ŘEŠENÍ M A 0 podmíka vyloučí otáčeí y 0 podmíka vyloučí posuv x 0 podmíka vyloučí posuv - 5 -
Středí průmyslová škola, Uherské Hradště, Kollárova 67 MECHANIKA I M.H. 00 0 M A a (a + b) + (a + b + c ) B l 0 B 0 l [ a ( a+ b) + ( a+ b c) ] B + y + A B 0 A A + x 0 v ose x síly epůsobí Velkost výsledce y A + B [ N] Vzdáleost x výsledce od bodu A 0 M A x B l x x B l [ mm ] B Příklad: Nosík a dvou podporách je zatíže slam, a. Staovte výsledc a reakce v podporách A a B. Proveďte grafcké početí řešeí, výsledky porovejte. Uspořádáí dle obrázku. GRAICKÉ ŘEŠENÍ Určíme měřítka: m : mm 0 N ; m l: mm 0 mm průsečík [,, ] > průsečík [,, ] > průsečík [,,] > průsečík [,4, A ] > 4 průsečík [,4, B ] > 5-6 -
Středí průmyslová škola, Uherské Hradště, Kollárova 67 MECHANIKA I M.H. 00 POČETNÍ ŘEŠENÍ M A 0 podmíka vyloučí otáčeí y 0 podmíka vyloučí posuv 0 x podmíka vyloučí posuv (v ose žádé síly epůsobí!) 0 M A 00 + 600 B 800 0 B 0 B 800 B 87,5N 800 ( 00 + 600) ( 00 00 + 00 600) y A + B 0 A Velkost výsledce A + A,5N B 00 + 00 87,5 y A + B 00 + 00 00N Vzdáleost x výsledce od bodu A 0 M A x B 800 x x 800 87,5 800 00 B 500mm vyučovací hoda:. Praktcké aplkace vyučovací hoda:. a 4..5. PROSTOROVÁ SOUSTAVA SIL Prostorovou soustavu sl tvoří síly mmoběžé, ebo síly růzoběžé, jejchž vektorové přímky (ostelky) eleží v téže rově. Výsledce soustavy sl o společém působšt v prostoru Každou sílu prostorové soustavy sl ejdříve rozložíme do os x, y, z. K výpočtu složek použjeme pravoúhlý trojúhelík x cosα cos β cos γ y Rozložíme-l takto celou soustavu, dostaeme tř soustavy avzájem a sebe kolmých sl. Velkost těchto částečých výsledc vypočteme stejě jako u sl v rově x x y y z z z - 7 -
Středí průmyslová škola, Uherské Hradště, Kollárova 67 MECHANIKA I M.H. 00 Tyto částečé výsledce složíme v celkovou výsledc V rově xy leží částečé výsledce x a y a ty složíme v další částečou výsledc xy. + xy x y Celková výsledce bude + + + xy z x y z cos α x cos β y cos γ z Rovováha: 0 x 0; y 0; z 0 vyučovací hoda: 5..6. PRUTOVÉ SOUSTAVY Nosou kostrukc mostů, jeřábů, sloupů, letadel, atd. tvoří často soustava prutů, tzv. příhradový osík. - 8 -
Středí průmyslová škola, Uherské Hradště, Kollárova 67 MECHANIKA I M.H. 00 Tato prutová soustava se skládá z jedotlvých prutů, které jsou spolu spojey styčíkovým plechy, a kterých jsou pruty přýtováy, přvařey, přšroubováy, apod.. Toto spojeí prutů a styčících zjedodušujeme a ahrazujeme spojeím kloubovým. Př řešeí prutové soustavy (PS) musí být splěy všechy podmíky rovováhy a dodržováa ásledující pravdla:. PS musí být dokoale tuhá, pruty musí tvořt statcky určté obrazce, kterým jsou trojúhelíky. Podmíka statcké určtost: z + ( ) z.. počet prutů počet styčíků. Na uvolěých prutech musí být rovováha sl. Musí být rovováha sl působících v jedotlvých styčících Je-l soustava dokoale tuhá (vz obr.), můžeme sado určt síly vzájemého působeí v podporách A(kloub) a B(obecá podpora). 4. PS kdy ezatěžujeme mez klouby! Potom všechy pruty přeášejí sílu pouze ve své ose (osovou). táhe ze styčíku + tlačí do styčíku.6.. Řešeí prutové soustavy Cremoova metoda - grafcká Prcp a použtí bude vysvětleo v ásledující kaptole..6.. Řešeí prutové soustavy Styčíková metoda grafcká, početí Styčíková metoda vychází z požadavku rovováhy sl působících v jedotlvých styčících, což je rovováha sl o společém působšt. Obvykle emí uté kreslt slový obrazec pro každý styčík zvlášť. Provádíme tedy řešeí v jedom obrazc Cremoův dagram. - 9 -
Středí průmyslová škola, Uherské Hradště, Kollárova 67 MECHANIKA I M.H. 00 Zásady postupu řešeí:. Nejdříve staovt reakce.. Staovt smysl obcházeí jedotlvých styčíků.. Začít styčíkem, kde působí je dvě osové síly. 4. Pokračovat tím styčíkem, kde jsou ezámé opět je dvě osové síly. vyučovací hoda: 6. Úloha: Staovte síly v prutech prutové soustavy podle obrázku. Pro ázorost a pochopeí provedeme určté kombace řešeí: o Styčíkovou metodu - pouze grafckou část včetě grafckého staoveí reakcí. Pro každý styčík provedeme slový obrazec zvlášť. o Cremoův dagram reakce staovíme početě. o Styčíkovou metodu je početě, reakce převezmeme z předchozího řešeí. STYČNÍKOVÁ METODA - GRAICKÉ ŘEŠENÍ Určíme s měřítka: m : mm kn ; m l: mm 0,05 mm - 0 -
Středí průmyslová škola, Uherské Hradště, Kollárova 67 MECHANIKA I M.H. 00 Smysl obcházeí styčíků staovíme ve smyslu pohybu hod. ručček.,,, 4, 5.. ozačeí prutů I, II, III, IV.. ozačeí styčíků Změřeím a vyásobeím měřítkem byly staovey reakce a síly v prutech: A B 5 kn S -5,5 kn S 5 kn S 50 kn S 4-5,5 kn S 5 5 kn Pozámka: Pro ázorost používáme ozačeí vtřích sl v prutech S. CREMONŮV DIAGRAM. Nejdříve staovíme reakce - -
Středí průmyslová škola, Uherské Hradště, Kollárova 67 MECHANIKA I M.H. 00 50 M A 0 B 4 0 B 5kN y 0 A + B 0 A B 50 5 5kN. Smysl obcházeí styčíků staovíme ve smyslu pohybu hod. ručček. Pořadí: I A,, II, 4,,, 5, III IV 5, 4, B Změřeím a vyásobeím měřítkem byly obdobě staovey reakce a síly v prutech: A B 5 kn S -5,5 kn S 5 kn S 50 kn S 4-5,5 kn S 5 5 kn vyučovací hoda: 7. STYČNÍKOVÁ METODA POČETNÍ ŘEŠENÍ. Staoveí reakcí (převezmeme z předchozího řešeí). 50 M A 0 B 4 0 B B 5000N y 0 A + B 0 A B 50 5 A 5000N. Styčík I x 0 S musíme rozložt do složek v osách x, y y 0 S složku v ose y emá - -
Středí průmyslová škola, Uherské Hradště, Kollárova 67 MECHANIKA I M.H. 00 y 0 S y A 0 ; S 555N S y S s 45 S A 5000 s 45 s 45 x 0 S S x 0 ; S x S cos 45 S S cos 45 S 555 cos 45 S 5000N. Styčík II x 0 S x S4 x 0 S4 x Sx S cos 45 S4 x Sx S cos 45 S cos 45 cos 45 cos 45 S 4 555N 4 S y 0 S y S + S4 y 0 S Sy + S4 y S s 45 + S4 s45 S 50000N 4. Styčík III 0 x S S5 0 S5 S S 5 5000N y 0 S 0 S. Platí 5. Styčík IV Jelkož jž všechy síly v prutech záme, je možé řešt styčík IV pro kotrolu. - -
Středí průmyslová škola, Uherské Hradště, Kollárova 67 MECHANIKA I M.H. 00 Příklad: Staovte síly v prutech prutové soustavy podle obrázku. Proveďte řešeí: a) styčíkovou metodou grafcky(včetě reakcí) b) Cremoovým dagramem reakce početě c) styčíkovou metodou početě Získaé výsledky porovejte a proveďte rozbor. vyučovací hoda: 8..6.. Řešeí prutové soustavy Průsečá metoda početí Tato metoda spočívává v tom, že prutovou soustavu přerušíme myšleým řezem ejvýše ve třech prutech, z chž pouze dva pruty s ezámým slam mohou vycházet z téhož styčíku. Použjeme tř podmíky statcké rovováhy a z ch vypočteme tř ezámé osové síly v přerušeých prutech. Úloha: Staovte síly v prutech 6,7,8, prutové soustavy podle obrázku. - 4 -
Středí průmyslová škola, Uherské Hradště, Kollárova 67 MECHANIKA I M.H. 00 Postup:. Staoveí reakcí y 0 ; A B 0 A + B 00kN 50kN + vdíme, že A B A B. Staoveí sl v prutech. Ke zbylé levé část soustavy musíme přpojt síly, kterým odebraá pravá část a zbylou působla aby ebyla porušea rovováha. U sl předpokládáme tah a díváme se a ě jako a síly vější. Síly v prutech řešíme pomocí tří podmíek statcké rovováhy. Pro styčík IV M 0 ; A S6 0 S6 A 50 S 6 75kN 0 y ; A S7 sα 0 A S7 sα S7 S 7 0 protože 0 a S 7 sα 0 a sα 0 x 0 ; S6 S7 cos + S8 0 S + S 0 S A + α ( S 7 0) 6 8 8 S6 S 8 75kN Záporé zaméko zameá, že voleý smysl S 8 ebyl správý, síla působí v opačém smyslu. Předostí průsečé metody je, že můžeme osík přerušt v kterémkolv pol myšleým řezem a vypočítat tř ezámé síly. Př praktckém početím řešeí používáme obvykle kombace metody styčíkové a průsečé. Příklad: Staovte síly v prutech,,4, prutové soustavy podle obrázku. - 5 -
Středí průmyslová škola, Uherské Hradště, Kollárova 67 MECHANIKA I M.H. 00. Staoveí reakcí y 0 ;.. Staoveí sl v prutech Pro styčík II M ;.. 0 0 0 x ;.. y ;.. vyučovací hoda: 9..7. TĚŽIŠTĚ A STABILITA.7.. Těžště složeých čar Každé těleso se skládá z ekoečého počtu částc, tzv. hmotých bodů. Každá tato částce má určtou hmotost, která se projevuje tíhovou slou. Těžštěm tělesa T azýváme bod, kterým stále prochází výsledce tíhových sl všech hmotých bodů, ať těleso atočíme jakkolv. Těžště úsečky V důsledku souměrost je těžště uprostřed její délky. Souměrá lomeá čára Těžště leží a ose souměrost a a spojc těžšť obou úseků (rame), z chž se čára skládá. - 6 -
Středí průmyslová škola, Uherské Hradště, Kollárova 67 MECHANIKA I M.H. 00 Nesouměrá lomeá čára Do těžšť obou rame zavedeme síly, úměré délkám čar ( 0, 0). Řešeí provedeme pomocí mometové věty pro osy x a y. Početě: V a + b 50 Pro staoveí x M 0 ; x a + 9mm 0 V a x x ( a+ b) Pro staoveí y M 0 ; 0+ y 4mm b V y y b ( a+ b) vyučovací hoda: 0. Těžště křvky Vycházíme z představy, že každou křvku lze přblžě ahradt lomeou čarou, složeou z úseček. Čím budou úsečky kratší, tím bude výsledek přesější. Těžště úseček už řešt umíme. V techcké prax se vyskytují ejčastěj čáry složeé z úseček a kruhových oblouků. - 7 -
Středí průmyslová škola, Uherské Hradště, Kollárova 67 MECHANIKA I M.H. 00 Kruhový oblouk Těžště T kruhového oblouku je a ose souměrost oblouku ve vzdáleost y od středu oblouku. Půlkružce r y r [ mm ] π Kruhový oblouk π arc α α 80 sα y r [ mm ] arcα Délka oblouku jedotkové kružce (r), který přísluší středovému úhlu α se azývá arcus úhlu a. Př řešeí těžště složeých čar ejdříve složeou čáru rozdělíme a dílčí čáry, u kterých polohu těžště umíme určt. Nyí těžště těchto dílčích čar určíme a zavedeme do ch síly úměré délkám čar. Vlastí řešeí provedeme pomocí mometové věty. Součet mometů dílčích čar (v osách x y) k lbovolému bodu se rová mometu výsledce k příslušé ose. Zjštěé souřadce x a y jsou potom hlavím těžštím osam a jejch průsečík určuje polohu těžště T. Početě:.. velkost výsledce (délka složeé čáry) V Pro staoveí x v v x v x Pro staoveí y v - 8 -
Středí průmyslová škola, Uherské Hradště, Kollárova 67 MECHANIKA I M.H. 00 y y [ N mm ] v v vyučovací hoda:. Příklad: Staovte početě souřadce těžště složeé čáry podle obrázku. l l 8, 74 00 V 78, 74 l 00 staoveí x v v xv x 90 + 80 + 0 x V ( 90 + 80 + 0) xv V x V x V 78, 74 04,98 05 [ mm ] ( 8, 74 90 + 00 80 + 00 0) staoveí y v v y v y 60 + 00 + 0 y V - 9 -
Středí průmyslová škola, Uherské Hradště, Kollárova 67 MECHANIKA I M.H. 00 ( 60 + 00) yv V y V 78, 74 y V 9,5 [ mm ] ( 8, 74 60 + 00 00) vyučovací hoda:..7.. Těžště složeých ploch Př určováí těžště ploch vycházíme z pozatku, že těžště obdélíka je v průsečíku jeho úhlopříček. Pak jakoukolv plochu rozdělíme a proužky o stejé tloušťce, které budeme považovat za obdélíky. V ch ajdeme těžště, do kterých zavedeme síly, úměré plochám těchto obdélíků. Výsledce takto vzklých soustav rovoběžých sl (v osách x a y) prochází těžštěm plochy T. Početě: x y Pro staoveí x T y x T x x T Pro staoveí y T x y T y y T - 0 -
Středí průmyslová škola, Uherské Hradště, Kollárova 67 MECHANIKA I M.H. 00 Těžště plochy čtverce, kosočtverce, obdélíka, kosodélíka, kruhu, elpsy Je v průsečíku jejch os souměrost (úhlopříček). Těžště plochy trojúhelíka Je v průsečíku spojc bodů, půlících stray trojúhelíka a protlehlých vrcholů. Těžště plochy lchoběžíka vyučovací hoda:. Těžště plochy půlkruhu - -
Středí průmyslová škola, Uherské Hradště, Kollárova 67 MECHANIKA I M.H. 00 - - r π r π r y y 9 4 4 [ mm ] Těžště plochy výseče kruhu α α arc s r y y [ mm ] Př řešeí těžště složeých ploch ejdříve složeou plochu rozdělíme a dílčí plochy, u kterých polohu těžště umíme určt. Nyí těžště těchto dílčích ploch určíme a zavedeme do ch síly úměré plochám. Vlastí řešeí provedeme pomocí mometové věty. Součet mometů dílčích ploch (v osách x y) k lbovolému bodu se rová mometu výsledce k příslušé ose. Zjštěé souřadce x a y jsou potom hlavím těžštím osam a jejch průsečík určuje polohu těžště T. Početě: V.. velkost výsledce (obsah složeé plochy) Pro staoveí x v v v x x Pro staoveí y v v v y y
Středí průmyslová škola, Uherské Hradště, Kollárova 67 MECHANIKA I M.H. 00 vyučovací hoda: 4. Příklad: Staovte početě souřadce těžště složeé plochy podle obrázku. Rozděleí a plochy v tomto případě provedeme tak, že od obdélíka (600x500) odečteme obdélík (00x00), kruh (φ50) a trojúhelík. 600 500 00000 00 00 40000 velký obdélík malý obdélík - vybráí 50 π 767,5 kruhový otvor 4 50 50 4 50 trojúhelík zkoseí hray Výsledá plocha(síla) V 4 V 078,5 [ N ] 00000 40000 767,5 50 Staoveí x v v xv x 00 00 00 4 550 x V ( 00 00 00 550) xv 4 V x V 078,5 x V 0,4 [ mm ] ( 00000 00 40000 00 767,5 00 50 550) - -
Středí průmyslová škola, Uherské Hradště, Kollárova 67 MECHANIKA I M.H. 00 Staoveí y v v y v y 50 400 00 4 50 y V ( 50 400 00 50) yv 4 V y V 078,5 y V 45, [ mm ] ( 00000 50 40000 400 767,5 00 50 50) Těžště těles pro formac Koule a krychle těžště je v jejch geometrckém středu Válec a hraol ( kosý) těžště je v polově spojce těžšť obou podstav Kužel a jehla těžště je v jedé čtvrtě spojce těžště podstavy s vrcholem U složtějších těles určíme těžště rozložeím tělesa a tělesa jedoduchá a v jejch těžštích echáme působt síly úměré objemům těles. Další postup je stejý jako u čar a ploch. Guldovy věty Slouží k vypočítáí povrchu a objemu rotačích těles. Povrch rotačího tělesa vypočítáme, vyásobíme-l délku tvořící čáry l drahou těžště čáry T př otáčeí kolem osy. P π x l [ mm ] T Objem rotačího tělesa vypočítáme, vyásobíme-l obsah tvořící plochy S drahou těžště plochy T př otáčeí kolem osy. - 4 -
Středí průmyslová škola, Uherské Hradště, Kollárova 67 MECHANIKA I M.H. 00 V Sπ x T vyučovací hoda: 5..7.. Stablta součástí Působí-l a těleso kromě tíhy ještě síla, která jej vychýlí z rovováhy, poté přestae působt: a) a těleso se vrací do své původí polohy má rovováhu stálou ebol stablí b) a těleso se pohybuje dál je jeho rovováha vratká ebol lablí c) a těleso zůstae v ové poloze má rovováhu volou ebol dferetí Př pohybu je důležtá poloha těžště: a) stoupá b) klesá c) zůstává ve stejé výš - 5 -
Středí průmyslová škola, Uherské Hradště, Kollárova 67 MECHANIKA I M.H. 00 vyučovací hoda: 6. Klopý momet Momet stablty Pro rovováhu platí: M KL M S b [N.m] Ga [N.m] b Ga 0 V prax se požaduje, aby M S byl vždy větší: M M M M S S KL > KL. míra bezpečost prot překlopeí (,až,5) Z uvedeého plye, že stablí jsou dostatečě těžká tělesa s velkou podstavou. vyučovací hoda: 7..8. STATIKA JEDNODUCHÝCH MECHANISMŮ S PASIVNÍMI ODPORY.8.. Výzam třeí a jeho druhy K uvedeí tělesa z kldu do pohybu a k udržeí tělesa v pohybu po podložce je třeba určté vější síly. Pohybující se těleso se zastaví, přestae-l tato vější síla působt. Příčou je odpor prot pohybu ve stykových plochách těles. Teto odpor se azývá třeí. Příčou je to, že těleso a podložka ejsou dokoale hladké. - 6 -
Středí průmyslová škola, Uherské Hradště, Kollárova 67 MECHANIKA I M.H. 00 Třeí užtečé - brzdy, třecí spojka, řemeové a laové převody, vozovka-peumatka, klíy, šrouby, třecí převody, Nežádoucí třeí - čepy v ložskách, třeí ve vedeích, Navíc př třeí vzká teplo, které je uto bez užtku odvádět do okolí! Je proto uté dobré mazáí. Druhy třeí Smykové Valvé Čepové Vlákové - vzká př pohybu tělesa smykem (kluzem, vlečeím). Působí vždy ve stykové ploše a vždy prot směru pohybu. - vzká př pohybu valvém mez válcem a podložkou, protože ejsou dokoale tuhé. - vzká v čepu uložeém v ložskách a působí prot smyslu rotačího pohybu. - vzká př smýkáí la a pásů po ehybé válcové ploše. vyučovací hoda: 8..8.. Třeí smykové vodorová podložka, akloěá rova Jedoduchým pokusem se zjšťovala velkost síly, která je zapotřebí k tomu, aby se břemeo pohybovalo rovoměrým pohybem. Pro břemeo G to byla síla, pro G síla a pro G síla. Zjstlo se, že platí: G G G... kost. f G. součtel smykového třeí f závsí a drsost stykových ploch, a materálech stykových ploch a a tom, jsou-l plochy suché, ebo potřey tekou vrstvou mazva. Odpor smykového třeí t je přímo úměrý kolmému (ormálovému) tlaku. t t Hodoty f lze ajít v tabulkách. Kov a kov - eopracovaé 0, 0, - hladce opracovaé, suché 0,5 0,0 - hladce opracovaé, mírě mazaé 0, 0,5 - hladce opracovaé, vydatě mazaé 0,0 0,08 Kov a dřevo - suché 0,8 0,56 - mazaé 0,0 0,5 Kov a ledě - 0,0 erodo, fbr a kov - 0,40 0,7-7 -
Středí průmyslová škola, Uherské Hradště, Kollárova 67 MECHANIKA I M.H. 00 Pohyb a vodorové podložce Určete sílu, která utáhe rovoměrým pohybem břemeo tíhy G. t 0 t Gf G Bude-l síla odkloěa o úhel α pak x y cosα sα t ( G ) f ( G s ) f α y x t podmíka rovoměrého pohybu cosα f G f sα cosα + f sα f ( ) G f G [N] cosα + f sα vyučovací hoda: 9. Pohyb po akloěé rově t f G ; t f ; tgϕ f Má-l zůstat těleso v kldu, pak t Velkost t je fukcí třecího úhlu ϕ Velkost je fukcí úhlu α Má-l zůstat těleso v kldu, pak α ϕ - 8 -
Středí průmyslová škola, Uherské Hradště, Kollárova 67 MECHANIKA I M.H. 00 Př pohybu musí platt aopak Podle obrázku lze také dokázat, že platí t tedy α ϕ. sϕ f tgϕ cosϕ. Nyí staovme sílu, která utáhe břemeo G po akloěé rově směrem ahoru, působí-l síla rovoběžě s akloěou rovou. Reakce podložky Třeí t Podmíka pohybu G cosα f G cosα t + G sα t + G sα f G cosα + G sα G sα + f cosα [N] ( ) Nakloěá rova je samosvorá, udrží-l se a í těleso bez zvláští zdržující síly α ϕ. Kdyby eexstovalo třeí, byla by deálí síla pro tažeí břemea G sα Účost akloěé rovy α η G s G sα + f G cosα sα η < [--] sα + f cosα u samosvoré akloěé rovy je η < 0, 5. vyučovací hoda: 40..8.. Vzepřeí tyče ve vedeí Tyč vedeou ve dvou vedeích elze posuout, jsou-l tato vedeí přílš blízko u sebe a epůsobí-l síla přesě v ose. Tyč se ve vedeí vzpříčí, je samosvorá. - 9 -
Středí průmyslová škola, Uherské Hradště, Kollárova 67 MECHANIKA I M.H. 00-40 - vyučovací hoda: 4. a 4..8.4. Třeí a oblé ploše Jedošpalíková brzda Začíáme vždy u rotujícího čleu. PÁKA působí a BUBEN ormálovou slou, která vyvolá třeí t, působící prot smyslu pohybu. BUBEN působí a PÁKU stejým slam, ale opačého smyslu. Tyto síly zachytíme RÁMEM. Podmíka rovováhy pro BUBEN 0 r M t Podmíka rovováhy pro PÁKU 0 b c a t Třecí podmíka f t Řešíme tř rovce o třech ezámých r f M 0 r f M 0 b c f a r f b M r r M b r f M c f r f M a + + a r f b M a r c M + + c f b a r M [N] Úloha: Odvoďte vztah pro staoveí brzdé síly pro jedošpalíkovou brzdu dle obrázku.
Středí průmyslová škola, Uherské Hradště, Kollárova 67 MECHANIKA I M.H. 00 vyučovací hoda: 4..8.5. Třeí čepové Otočé spojeí čleů mechasmu provádíme čepem uložeým v ložsku. Ve stykové ploše mez čepem a ložskem vzká třeí, které působí prot pohybu. Čep radálí - síla působí kolmo k ose otáčeí Čep axálí - síla působí v ose otáčeí Čepy radálí Pro zjedodušeí budeme uvažovat uložeí čepu ve volé páv. Zde dochází ke styku v přímce. Př otáčeí se čep posue ze středu otáčeí a tím se posue vzájemé působeí. Př rotac výsledce vzájemého působeí A tvoří se zatížeím G slovou dvojc. Tuto slovou dvojc, které říkáme momet čepového třeí M, musíme př otáčeí čepu překoávat. ρ M Č G ρ sϕ ρ r sϕ r G r sϕ s f M Č M Č G r [N.m] Č f Č Č ϕ součtel čepového třeí - 4 -
Středí průmyslová škola, Uherské Hradště, Kollárova 67 MECHANIKA I M.H. 00 Čepy axálí U ezaběhaého čepu předpokládáme, že se kolmý tlak rozloží rovoměrě po styčé ploše. G Na velm malé výseč působí elemetárí reakce pak vzdáleost těžště od středu je elemetárí třeí t f Mč t r f r. Výsledý momet čepového třeí je M Mč f r r f v jejím těžšt. Tuto výseč pokládáme za a r. Elemetárí reakce př otáčeí čepu způsobuje. Pak elemetárí momet čepového třeí je č M č r f G [N.m] U zaběhaého čepu je čep více opotřebová a obvodu (delší dráha) a proto je kolmý tlak rozlože erovoměrě. Uvažujeme, že těžště elemetárí reakce působí ve vzdáleost r. Momet čepového třeí potom je M č r f G [N.m] Př velkém zatížeí může vlvem velkého tlaku poblíž osy otáčeí dojít k poruše materálu. Tomu se předchází vybráím středu čepu. Působště elemetárího tlaku potom uvažujeme a středové kružc vzklého mezkruží. - 4 -
Středí průmyslová škola, Uherské Hradště, Kollárova 67 MECHANIKA I M.H. 00 M č r f G [N.m] ; S r S r + r [mm] vyučovací hoda: 44..8.6. Odpor př valeí Kdyby byly válec vodorová podložka dokoale tuhé, edeformovala by se a podložka a válec. Styk by byl pouze čárový, v povrchové úsečce válce. Tíha válce G je v rovováze s reakcí podložky. Stačla by sebemeší vodorová síla, aby uvedla válec do valvého pohybu. U skutečých těles dochází k deformac podložky a tím vzkají slové poměry dle pravého obrázku. Tím se posue těžště vzájemého působeí a vzklou slovou dvojc musíme překoávat jou slovou dvojcí. Podmíka rovováhy a G ς 0 ; ζ [mm]... rameo valvého odporu (dzéta) Rameo valvého odporu ζ závsí a materálu podložky a válce. Lze jej alézt v tabulkách. Souč G ς azýváme mometem valvého odporu. - 4 -
Středí průmyslová škola, Uherské Hradště, Kollárova 67 MECHANIKA I M.H. 00 Síla potřebá k překoáí valvého odporu Síla bude ejmeší, jestlže a max d ; m ς G [N] a ς G [N] d Naopak čím meší bude a, tím bude síla větší. Má to však určtou hrac. Stalo by se, že místo valeí se válec bude smýkat. Teto případ astae, když síla pro smýkáí bude meší ež síla pro valeí. ς Pro valeí max G am Pro smýkáí G f Aby edošlo ke smýkáí musí platt max. ς G a m G f a m ς [-] f Trakčí odpory V prax je většou spojeo valeí s uložeím v čepech. Sílu, působící v ose válce lze pak staovt ze vzorce r G ς M č 0 G ς M r č [N] vyučovací hoda: 45..8.7. Třeí vlákové, pásové brzdy Př smýkáí la a pásů po ehybé válcové ploše vzká vlákové třeí. Síla a jedé straě je vždy větší. Velkost zvětšeí této síly je závslé a úhlu opásáí, a použtém osém prvku a a drsost válcové plochy. Pro zvedáí platí > G fα G e [N], síly vlákového třeí G tíha břemea - 44 -
Středí průmyslová škola, Uherské Hradště, Kollárova 67 MECHANIKA I M.H. 00 Pro spouštěí platí Výraz < G fα e pro růzé f a α lze také ajít v tabulkách. G fα e [N] e základ přrozeých logartmů f součtel smykového třeí α úhel opásáí v obloukové míře vyučovací hoda: 46. Pásová brzda Úkolem je určt brzdící sílu pro ubržděí mometu M. uvolěí čleů zachyceí účků sl do rámu brzdy > s s s s e fα Podmíka rovováhy čleu (začíáme rotujícím čleem) M + s r s r 0 Podmíka rovováhy čleu s a b 0 Podmíka vlákového třeí s a b s s e fα Získal jsme soustavu tří rovc o třech ezámých. - 45 -
Středí průmyslová škola, Uherské Hradště, Kollárova 67 MECHANIKA I M.H. 00 fα M + s r s e r 0 fα M r e ( ) 0 fα ( e ) 0 s a M r b a M r b fα ( e ) M b [N] fα r a e Př změě smyslu otáčeí bubu dojde ke změě brzdícího účku a tím síly. Rovováha čleu a b 0 s Změou smyslu otáčeí se změla síla s a s. Pásová brzda součtová Aby byla rovováha a páce pro oba smysly otáčeí stejá, provedeme ásledující úpravu kostrukce. Rovce rovováhy pro oba smysly M s s + s r s r 0 a b b 0 a b+ b s s e fα s s Síla je větší. Je vdět, že musí překoávat obě síly. Proto se jí říká součtová. (Účky tahů v páse s a s a páce se sčítají). Je to cea za to, že se brzda hodí pro oba smysly otáčeí. - 46 -
Středí průmyslová škola, Uherské Hradště, Kollárova 67 MECHANIKA I M.H. 00 vyučovací hoda: 47. Pásová brzda rozdílová Potřebujeme-l aby byla ovládací síla malá. M s s + s r s r 0 a+ b c 0 a c b s s e fα s s Z rovováhy a páce vdíme, že síla s páce se odčítají. Řemeový převod Vlvem smyslu otáčeí pomáhá brzdící síle. Účky tahů v páse s a s a > s s fα s s e M + s r s r s e 0 s fα Naším úkolem je určt maxmálí sílu v řemeu, tedy s. s M + r s r 0 f e α fα s e M s r r fα s r fα s r f e e e α fα M e s s [N] fα s [N] fα r e e - 47 -
Středí průmyslová škola, Uherské Hradště, Kollárova 67 MECHANIKA I M.H. 00 vyučovací hoda: 48. Praktcké aplkace vyučovací hoda: 49. a 50..9. OPAKOVÁNÍ STATIKY vyučovací hoda: 5.. PRUŽNOST A PEVNOST (PaP).. DEINICE PAP, ZÁKLADNÍ DRUHY NAMÁHÁNÍ... Defce PaP, základí pojmy Př řešeí úloh PaP se předpokládá, že těleso je v kldu ebo v rovoměrém pohybu. Úkolem auky o PaP je určt k předepsaému vějšímu zatížeí rozměry a deformac tělesa tak, aby se epřekročla eje mez pevost, ale a mez pružost, za kterou se tělesa trvale deformují. Mez pevost - př jejím překročeí součást praske Mez pružost - př jejím překročeí se začíá součást trvale deformovat Druhy amáháí: ) tahem ) tlakem ) smykem (střhem) 4) krutem 5) ohybem 6) vzpěrem Charakterstcké zatížeí Zatěžující síly dělíme: a) podle místa působeí VNĚJŠÍ (akčí) VNITŘNÍ (reakčí) b) podle výsledého účku OSAMĚLÉ SÍLY posu MOMENTY SIL M otáčeí c) podle polohy rovy zatížeí a rovy průřezu KOLMÉ NA PRŮŘEZ ROVNOBĚŽNÉ S PRŮŘEZEM Charakterstcký průřez plocha průřezu S (tah, tlak, smyk) modul průřezu W (krut, ohyb) - 48 -
Středí průmyslová škola, Uherské Hradště, Kollárova 67 MECHANIKA I M.H. 00 Napětí Podíl, určující průměrou (středí) hodotu vtřích sl, které působí a daou plochu. Druhy apětí: a) σ - ormálová apětí (kolmá a průřez) b) τ - tečá apětí (rovoběžá s průřezem) Charakterstcká deformace a) tah - prodloužeí b) tlak - zkráceí c) smyk - posuutí d) krut - zkrouceí e) ohyb - prúhyb Výpočet charakterstcké deformace Souč charakterstckého průřezu a modulu pružost bývá často azývá TUHOST.... Zásady dmezováí součástí Př ávrhu součást musí být splěa podmíka, že součást musí vyhovovat jak po stráce pevost, tak deformace. Pevostí rovce Tato rovce slouží k výpočtu: a) Návrhovému ávrh optmálích rozměrů průřezu b) Úosost pro avržeé rozměry počítáme maxmálí možé zatížeí c) Kotrolímu zjšťujeme, zda skutečé apětí epřekročí dovoleé Deformačí rovce Tato rovce opět slouží k výpočtu: a) Návrhovému ávrh optmálích rozměrů průřezu b) Úosost pro avržeé rozměry počítáme maxmálí možé zatížeí c) Kotrolímu zjšťujeme, zda skutečé apětí epřekročí dovoleé d) Maxmálí deformace - 49 -
Středí průmyslová škola, Uherské Hradště, Kollárova 67 MECHANIKA I M.H. 00 vyučovací hoda: 5.... Základí druhy amáháí o Namáháí tahem Defce: Deformace: Součást je amáhaá tahem, působí-l a dvě síly stejě velké, opačě oretovaé a směřují ve z průřezu. Jsou kolmé a průřez a leží a společé ostelce. prodloužeí a zúžeí průřezu Pevostí rovce: o Namáháí tlakem Defce: Deformace: Součást je amáhaá tlakem, působí-l a dvě síly stejě velké, opačě oretovaé a směřují do průřezu. Jsou kolmé a průřez a leží a společé ostelce. zkráceí a rozšířeí průřezu Pevostí rovce: - 50 -
Středí průmyslová škola, Uherské Hradště, Kollárova 67 MECHANIKA I M.H. 00 o Namáháí smykem Defce: Deformace: Součást je amáhaá smykem, působí-l a dvě síly stejě velké, opačě oretovaé a rovoběžé s průřezem. posuutí část I prot část II Pevostí rovce: o Namáháí krutem Defce: Deformace: Součást je amáhaá krutem, působí-l a dvojce sl rovoběžá s průřezem. zkrouceí Pevostí rovce: - 5 -
Středí průmyslová škola, Uherské Hradště, Kollárova 67 MECHANIKA I M.H. 00 o Namáháí ohybem Defce: Deformace: Součást je amáhaá ohybem, působí-l a dvojce sl, jejíž rova je kolmá k rově průřezu. průhyb Pevostí rovce: vyučovací hoda: 5... TAH, TLAK... Tahový dagram Ke zjštěí mechackých vlastostí v tahu se provádí tahová zkouška: Zkušebí tyčku ormalzovaého tvaru upevíme do trhacího stroje, a ějž je apojeo kreslící zařízeí. To zazameá průběh zkoušky do tzv.pracovího dagramu. Pracoví dagram měkké uhlíkové ocel - 5 -
Středí průmyslová škola, Uherské Hradště, Kollárova 67 MECHANIKA I M.H. 00 Protože hodoty z pracovího dagramu elze obecě využít (platí je pro zkušebí tyčku), zavádíme tzv. smluví dagram. Smluví dagram měkké uhlíkové ocel ε poměré prodloužeí R, R e m... meze zjšťovaé z dagramu, σ meze zjšťovaé výpočtem σ K, t P, t Defce mezí U - mez úměrost (platí Hookův záko) obtížě zjsttelá E - mez pružost (elastcty) zůstává trvalá deformace 0,005% původí délky K - mez kluzu součást se prodlužuje přes pokles apětí P - mez pevost objevují se prví trhly S - bod přetržeí Velčy charakterzující mechacké vlastost materálu. Tažost l l δ 0 00 [%] l 0-5 -
Středí průmyslová škola, Uherské Hradště, Kollárova 67 MECHANIKA I M.H. 00. Kotrakce (poměré zúžeí) S0 S 00 S ψ [%] 0 Obě tyto velčy charakterzují HOUŽEVNATOST MATERIÁLU. Podle tvaru tahového dagramu se posuzuje zejméa pružost (čím > σ E, tím je materál pružější) a pevost (čím > σ P, tím je materál pevější) a dále houževatost materálu. Napětí a mez kluzu je výchozí hodotou pevostích výpočtů houževatých materálů. U vysokouhlíkových ocelí však eí tato mez v dagramu výrazá, proto se za mez kluzu pokládá apětí, př kterém po odlehčeí tyčky zůstává poměré prodloužeí o hodotě ε 0, 00, tedy 0,% původí délky.tato hodota se ozačuje σ R smluví mez kluzu. K, t 0, P 0, vyučovací hoda: 54.... Hookův záko v tahu, deformačí rovce Až do meze úměrost má křvka tahového dagramu tvar přímky > do této meze platí přímá úměra mez σ a ε. Defce Slově : Až do meze úměrost je apětí přímo úměré poměrému prodloužeí. Matematcky: (rovce přímky) y k x dosazeím σ a ε E modul pružost v tahu (závsí a druhu materálu, vz ST [MPa]) - 54 -
Středí průmyslová škola, Uherské Hradště, Kollárova 67 MECHANIKA I M.H. 00 Z Hookova zákoa lze odvodt vztah pro výpočet skutečé deformace (prodloužeí) deformačí rovc. σ E ε σ ; S S l ε l E l 0 l 0 l 0 l S E l, tj. Obecá deformačí rovce Odvozeá deformačí rovce pro l vyučovací hoda: 55.... Pevostí rovce v tahu a tlaku, dovoleé apětí Obecě platá pevostí rovce Na základě této rovce můžeme apsat pevostí rovce pro amáháí: a) Tahem b) Tlakem Dovoleé apětí Je maxmálí přípusté apětí, př kterém dochází pouze k pružým deformacím > v tahovém dagramu se bude tedy acházet pod mezí pružost (elastcty). - 55 -
Středí průmyslová škola, Uherské Hradště, Kollárova 67 MECHANIKA I M.H. 00 Protože zjštěí této meze je velm zdlouhavé, dovoleé apětí se počítá, ebo zjšťuje z tabulek. Houževaté materály σ D, t σ K k, t 0,6 σ c k P, t c Poz.: míra bezpečost k závsí a druhu materálu, pro ocel obvykle bereme,5 k. Křehké materály σ D, t σ k P, t c Poz.: míra bezpečost k závsí opět a druhu materálu. Bereme obvykle k 4 6. Mez kluzu se volí: Uhlíkové ocel σ P, t 700MPa. σ K, t 0, 6 σ P, t σ, 0, 8 σ, Sltové ocel.. K t P t vyučovací hoda: 56...4. Druhy zatížeí, ebezpečý průřez Druhy zatížeí I. Statcké II. Míjvé - 56 -
Středí průmyslová škola, Uherské Hradště, Kollárova 67 MECHANIKA I M.H. 00 III. Střídavé Úloha: Ve ST ajděte tabulku součtelů zatížeí. vyučovací hoda: 57. Nebezpečý průřez Je to ejvíce amáhaý příčý průřez součást, tj. te, ve kterém je ejvětší apětí > zpravdla ejmeší průřez součást. Příklad: Nebezpečý průřez táhla, zeslabeého příčým otvorem. S h ( b d ) Příklady:. Ocelové táhlo s průřezem b h 0 60mm má být zatížeo kldou slou 69kN. Zjstěte, zda rozměry a zatížeí vyhovují je-l materál 4, k 7.. Plochá ocelová tyč je zatížea tahem osovou slou 40kN. Jaké jsou optmálí průřezové rozměry b; h je-l h b, střídavé zatížeí, materál 500 a 4 k.. Jak velkou míjvou slou můžeme zatížt táhlo z ocel 500, emá-l apětí překročt σ D, t. Táhlo je průřezu 40 8mm a je v ěm příčá díra 5 mm. k. - 57 -
Středí průmyslová škola, Uherské Hradště, Kollárova 67 MECHANIKA I M.H. 00 vyučovací hoda: 58...5. Měrý tlak V prax se často setkáváme s tím, že dvě součást fukčě spolu spojeé (hřídel-ložsko, pero-áboj) a sebe vzájemě působí tlačí. V těchto případech je uté zjstt, zda tlak ve styčých plochách, tzv. měrý tlak, epřesahuje dovoleou hodotu. Obecý výpočet Dovoleý tlak 0,7 0,9 pro součást ve vzájemém kldu. Bere se hodota té p, D ( ) σ D d p D ( 0) MPa součást, která je meší!. pro součást ve vzájemém pohybu. Začě kolísá, závsí a druhu materálu, tvrdost, drsost povrchů, obvodové rychlost, mazáí, rázech atd. Příklady: a) rová styčá plocha ROVNÁ p S b l p D [ MPa] - 58 -
Středí průmyslová škola, Uherské Hradště, Kollárova 67 MECHANIKA I M.H. 00 KLÍNOVÁ DRÁŽKA sα [ N] p S bsαl p D [ MPa] b) zakřveá styčá plocha TLAK MEZI HŘÍDELEM A LOŽISKEM p S dl p D [ MPa] Pozámka: Další příklady aplkací měrého tlaku budou probíráy ve. ročíku v předmětu Stavba a provoz strojů. - 59 -
Středí průmyslová škola, Uherské Hradště, Kollárova 67 MECHANIKA I M.H. 00 vyučovací hoda: 59... PROSTÝ SMYK... Defce, pevostí rovce Namáháí prostým smykem vzká tehdy, když dvě stejě velké síly opačého smyslu působí a společé ostelce, procházející těžštěm průřezu. Materál se bráí saze vějších sl posuout po sobě obě část vtří slou, která se projeví tečým apětím. Teto deálí případ se vyskytuje je u velm přesého stříháí materálu. V obecém případě síly eleží a společé ostelce a kromě posuvu proflu dojde vždy ještě k ohybu. V prax teto přídavý ohyb většou zaedbáváme, takže pevostí rovce má stejý tvar jako rovce v tahu a tlaku. Pevostí rovce.. počet střžých ploch Z dagramu pro zkoušku smykem vyplývá: τ k, s & 0, 6 σ k, t > τ D, s & 0, 6 σd, t pro ocel & 0,8 σ.. pro ltu ( ) D t τ D, s, - 60 -
Středí průmyslová škola, Uherské Hradště, Kollárova 67 MECHANIKA I M.H. 00 vyučovací hoda: 60.... Deformačí rovce Mysleme s, že osík se skládá z jedotlvých vrstvček, které by se účkem síly po sobě posuuly. Původě vodorové rovy osíku se skloí o malý úhel γ. pro velm malé úhly platí tg γ zkos l tg γ & γ l Až po mez úměrost mez zkosem a apětím platí τ k γ k kostata Dosadíme-l k G, dostaeme Hookův záko pro smyk G modul pružost ve smyku (závsí a druhu materálu, vz ST [MPa]) G E ( + μ) μ. Possoova kostata G E 8 &. pro ocel Z Hookova zákoa lze dosazeím získat deformačí rovc. S G tuhost ve smyku γ l ; τ l S l l S G - 6 -
Středí průmyslová škola, Uherské Hradště, Kollárova 67 MECHANIKA I M.H. 00... Stříháí materálu Př stříháí materálu musíme materál porušt a proto platí upraveá pevostí rovce O [ mm] obvod střhu [ mm] t. tloušťka stříhaého materálu vyučovací hoda: 6...4. Praktcké aplkace vyučovací hoda: 6..4. PRŮŘEZOVÉ MODULY PRO NAMÁHÁNÍ KRUTEM A OHYBEM Úvod Př amáháí v tahu, tlaku a smyku jsme pozal, že charakterstckým velčam byla velkost síly a plochy průřezu. To tedy zameá, že u těchto druhů amáháí ezáleží a poloze, tvaru ebo rozložeí průřezu podle průřezové osy. Jak tomu bude u amáháí krutem a ohybem, o čemž se můžeme přesvědčt pokusem. Pokus: Vezměme rové plastové pravítko obdélíkového průřezu a ohýbejme jej. Zjstíme, že pravítko se daleko lehčej ohe aležato ež astojato. Vdíme tedy, že u ohybu ( krutu a vzpěru) eí úosost a deformace závslá je a velkost průřezu, ale závsí a poloze, tvaru a rozložeí podél průřezové osy. Charakterstckou velčou je KVADRATICKÝ MOMENT PRŮŘEZU..4.. Kvadratcký momet průřezu je charakterstckou průřezovou velčou pro krut, ohyb a vzpěr. Ozačeí: J, J, J x y, z x y z, osy, ke kterým momet počítáme Výpočet: S y J x J y S x 4 [ mm ] Tyto vztahy potřebujeme př odvozováí rovce pro ohyb, kde jsou vztažey a eutrálí osu ( osu bez apětí a deformace). Součet součů S x a S y se vztahuje a celou plochu průřezu. Jelkož kvadratcký momet roste s druhou mocou vzdáleost od osy, proto se pravítko astojato daleko méě deformuje ež aležato. - 6 -
Středí průmyslová škola, Uherské Hradště, Kollárova 67 MECHANIKA I M.H. 00 POZOR!!! y S y S T.4.. Vztah mez kvadratckým a polárím mometem průřezu Kromě kvadratckého mometu průřezu rozezáváme ještě tzv. POLÁRNÍ MOMENT PRŮŘEZU je vztaže k ose, která je k rově kolmá. Bod 0, ve kterém osa protíá rovu obrazce azýváme PÓLEM. J P, který Jelkož platí, že J ρ + x y, můžeme pak psát vztah S ρ S ( x + y ) S x + S y J y + P J x J J + J P x y Polárí momet průřezu je rove součtu kvadratckých mometů průřezu ke dvěma vzájemě kolmým osám, které se protíají v pólu. vyučovací hoda: 6..4.. Kvadratcké a polárí momety základích rových obrazců, průřezové moduly v krutu a v ohybu Kvadratcké a polárí momety Hodoty pro základí geometrcké tvary (kruh, čtverec, obdélík, mezkruží, ) lze ajít ve Strojckých tabulkách. Úloha: Vyhledej s ve Strojckých tabulkách hodoty kvadratckého a polárího mometu pro základí geometrcké obrazce. Nalezeé výrazy zapš do tabulky. Průřezové moduly v krutu a v ohybu V úvodí kaptole byly uvedey vztahy pro určeí apětí v ohybu a v krutu Velčy Wo a W k jsou odvozey z hodot J a J P a platí pro ě: - 6 -
Středí průmyslová škola, Uherské Hradště, Kollárova 67 MECHANIKA I M.H. 00 Modul průřezu v ohybu Teto vztah platí vždy! W W Jx e J ox y [ mm ] oy e Modul průřezu v krutu U krutu platí pouze pro kruhové průřezy! W k JP e [ mm ] Úloha: Odvoď (vyhledej) W aw pro základí geometrcké obrazce a zapš je do tabulky. o k vyučovací hoda: 64..4.4. Steerova věta Osa, která prochází těžštěm se azývá cetrálí osa a příslušý kvadratcký momet průřezu cetrálí kvadratcký momet průřezu. K ose x platí Sy J x x platí S y y + a pak platí J x J x y S( y + a) Sy + ay S+ S a Druhý čle y S a y S 0 a leárí momet průřezu k ose procházející těžštěm (je rove ule) - 64 -
Středí průmyslová škola, Uherské Hradště, Kollárova 67 MECHANIKA I M.H. 00 Po úpravě lze psát Steerovu větu J 4 [ ] x J x+ a S mm Zěí: Kvadratcký momet průřezu k lbovolé ose rovoběžé s cetrálí osou se rová kvadratckému mometu průřezu k cetrálí ose, zvetšeému o souč velkost průřezu a druhé mocy vzdáleost obou os. Cetrálí osy: - osy k sobě kolmé, procházející těžštěm Pozáky: Má-l průřez osu souměrost, je tato vždy hlaví cetrálí osou Druhá osa jdoucí těžštěm je k hlaví ose kolmá Má-l průřez osu souměrost, pak kvadratcké momety obou stra (částí) jsou stejé Posueme-l plochu rovoběžě s osou, ke které kvadratcký momet hledáme, pak se teto kvadratcký ezměí vyučovací hoda: 65..4.5. Kvadratcké momety a průřezové moduly složeých průřezů Př výpočtu platí zásada: Kvadratcké momety průřezu lze slučovat tehdy a je tehdy, jsou-l vztažey ke společé ose! U složeých obrazců rozlšujeme dva základí případy: a) Dílčí plochy mají společou osu souměrost Pak platí vztah J J počet ploch Řešeí s ukážeme a kokrétí úloze. Úloha: Staovte J x složeé plochy podle obrázku. Pro úlohu platí J x J x čtverce J x kruhu + J x obdélíka 4 4 a π d b h J x + 64-65 -