finní ransformace je posunuí plus lineární ransformace má svou maici vzhledem k homogenním souřadnicím využií například v počíačové grafice [] Idea afinního prosoru BI-LIN, afinia, 3, P. Olšák [2] Lineární prosor V volných vekorů: dvě orienované úsečky reprezenují sejný volný vekor, pokud jsou rovnoběžné, sejně velké a sejně orienované. Sčíání a násobení konsanou v lineárním prosoru V provedeme pomocí vhodně zvolených reprezenanů sejně jako v U O. Kromě vekorů z V budeme v afinním prosoru pracova s množinou bodů X. Nové operace: bod + vekor = bod2. Na bod navážeme reprezenana vekoru a koncový bod ohoo vekoru je výsledek operace. bod bod2 = vekor. Výsledkem je vekor s reprezenanem, kerý má počáeční bod2 a koncový bod. a) afinia, 3, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2, d) BI-LIN, e) L, f) 29/2, g)ä. Viz p. d. 4/2 Definice afinního prosoru BI-LIN, afinia, 3, P. Olšák [3] BI-LIN, afinia, 3, P. Olšák [4] Souřadnicový sysém afinního prosoru Definice: Nech V je lineární prosor a X je libovolná množina. Dvojici množin (X, V) nazýváme afinní prosor, pokud kromě operací + a na V je definována operace + : X V X s vlasnosmi: () P + o = P P X ( o V je nulový vekor), (2) (P + u ) + v = P + ( u + v ) P X, u V, v V, (3) P X, Q X exisuje jediný u V ak, že P = Q + u Vekor u z vlasnosi (3) značíme P Q nebo QP. Množina X a lineární prosor V mohou bý jakékoli akové, aby šlo definova operaci + s uvedenými vlasnosmi. Dobrá a posačující předsava afinního prosoru je lineární prosor V volných vekorů a množina X bodů. Dimenze afinního prosoru je dimenze lineárního prosoru V. Nadále budeme předpokláda afinní prosory s konečnou dimenzí (zejména s dimenzí 3 nebo 2). Zvolme bázi (B) prosoru V a dále bod O X. Dvojici (O, B) nazýváme souřadnicovým sysémem afinního prosoru. Vekor u V má souřadnice vzhledem k (O, B) definovány jako jeho souřadnice vzhledem k bázi (B). Bod P X má souřadnice vzhledem k (O, B) definovány jako souřadnice vekoru OP. Tomuo vekoru říkáme radiusvekor bodu P.
BI-LIN, afinia, 3, P. Olšák [5] Vlasnosi souřadnic v afinním prosoru Homogenní souřadnice BI-LIN, afinia, 3, P. Olšák [6] Nech C je zobrazení souřadnic, u, v V, P, Q X, α R. Pak () C( u + v ) = C( u ) + C( v ) (2) C(α u ) = α C( u ) (3) C(Q + u ) = C(Q) + C( u ) (4) C(P Q) = C(P) C(Q) Důkaz: () a (2): jsou o obvyklé souřadnice vekoru. (3), (4): sačí souřadnice bodů vyjádři jako souřadnice jejich radiusvekorů. Nech má afinní prosor dimenzi n. Homogenní souřadnice vekoru v souřadnicovém sysému (O, B) je uspořádaná (n + )-ice; prvních n složek obsahuje souřadnice vekoru, poslední složka obsahuje nulu. Homogenní souřadnice bodu v souřadnicovému sysému (O, B) je uspořádaná (n + )-ice; prvních n složek obsahuje souřadnice bodu, poslední složka obsahuje jedničku. Pozorování: Tvrzení z předchozí srany [5] o souřadnicích plaí i v případě, že C značí homogenní souřadnice. Maice v homogenních souřadnicích BI-LIN, afinia, 3, P. Olšák [7] Zobrazení : X X, pro keré exisuje maice R n+,n+ s vlasnosí: homogenní homogenní souřadnice bodu P vzhledem = souřadnice bodu (P) vzhledem k (O, B) k (O, B) se nazývá ransformace s maicí v homogenních souřadnicích. Pozorování: Maice musí bý varu: = kde R n,n, R n,, o R,n je nulový vekor. Vlasnosi maice v homogenních souřadnicích p = p + BI-LIN, afinia, 3, P. Olšák [8] j. bod je ransformován lineární ransformací s maicí a následně posunu o. u = u j. vekor je pouze ransformován lineární ransformací s maicí.
Příklad 2D BI-LIN, afinia, 3, P. Olšák [9] Příklad 3D BI-LIN, afinia, 3, P. Olšák [] Obecná maice ransformace v homogenních souřadnicích má var: a b c d e f. Je edy určena šesi paramery. Bod se souřadnicemi (x, y) přejde při ransformaci s ouo maicí na bod se souřadnicemi (x, y ): x a b c x ax + by + c y = d e f y = dx + ey + f, akže bod se ransformuje lineárně a posune o vekor (c, f). Obecná maice ransformace v homogenních souřadnicích má var: a b c d e f g h i j k l. Je určena dvanáci paramery. Transformace bodu probíhá podle následujícího vzorce: x a b c d x ax + by + cz + d y z = e f g h i j k l y z = ex + fy + gz + h ix + jy + kz + l BI-LIN, afinia, 3, P. Olšák [] Skládání ransformací součin maic Věa: Nech a B jsou maice ransformací a B v homogenních souřadnicích B s =, B = Pak složená ransformace B má maici: B s B = = ( B B + s ). BI-LIN, afinia, 3, P. Olšák [2] Inverzní ransformace inverzní maice Věa: Má-li ransformace regulární maici v homogenních souřadnicích, pak je prosá a na a má maici v homogenních souřadnicích. Pozorování: Je-li =, pak = ( ) ( ) Inverzní maice k exisuje, právě když je regulární. Poznámka: Je (B )(x) = (B((x)). Důkaz věy se provede analogicky, jako důkaz věy o složeném lineárním zobrazení.
BI-LIN, afinia, 3, P. Olšák [3] Příklad: elemenární ransformace ve 2D Příklad BI-LIN, afinia, 3, P. Olšák [4] Změna měříka má maici v homogenních souřadnicích: a b. Roace o úhel α má maici v homogenních souřadnicích: sin α cos α, Posunuí o vekor se souřadnicemi ( x, y ) má maici v homogenních souřadnicích: x y Další ransformace vznikají skládáním ěcho ransformací. Najdeme maici (v homogenních souřadnicích) roace o úhlel α kolem bodu (2, 3). Uvedená ransformace je složením následujících ransformací: posunuí o vekor ( 2, 3), roace o úhel α, posunuí o vekor (2, 3). Maice výsledné ransformace je součinem maic: posunuí o (2, 3) roace o úhel α posunuí o ( 2, 3) = 2 2 = 3 sin α cos α 3 = Příklad, pokračování BI-LIN, afinia, 3, P. Olšák [5] finní ransformace BI-LIN, afinia, 3, P. Olšák [6] 2 cos α + 3 sin α + 2 = sin α cos α 2 sin α 3 cos α + 3. Takže bod o souřadnicích (x, y) přechází po éo ransformaci na bod o souřadnicích (x y ), pro kerý plaí: x 2 cos α + 3 sin α + 2 x y = sin α cos α 2 sin α 3 cos α + 3 y = (cos α) x (sin α) y 2 cos α + 3 sin α + 2 = (sin α) x + (cos α) y 2 sin α 3 cos α + 3 Definice: Nech (X, V) je afinní prosor. Transformace : X X se nazývá afinní, pokud exisuje lineární ransformace : V V ak, že (P + u ) = (P) + ( u ) P X, u V. Zvolme bod O X. Proože pro každý P X plaí P = O + OP, je (P) = (O) + ( OP), akže každá afinní ransformace je jednoznačně určena hodnoou (O) a lineární ransformací : V V. Proože každá lineární ransformace : V V je jednoznačně určena hodnoami na bázi (B) = ( b, b 2,..., b n ), je každá afinní ransformace jednoznačně určena hodnoami v n + bodech: O, O + b, O + b 2,..., O + b n.
Maice afinní ransformace BI-LIN, afinia, 3, P. Olšák [7] Vlasnosi afinní ransformace BI-LIN, afinia, 3, P. Olšák [8] je její maice v homogenních souřadnicích. Je řeba ukáza: Každá ransformace, kerá má maici v homogenních souřadnicích, je afinní. Každá afinní ransformace má maici v homog. souřadnicích. Puník první: Je dána maice nějaké ransformace v homogenních souřadnicích vzhledem k (O, B). Maice hledaného zobrazení je aké maice. Jsou-li p souřadnice bodu P X a u souřadnice vekoru u V, pak ( p + u ) = p + u. Puník druhý: Hledaná maice obsahuje ve sloupcích homogenní souřadnice obrazů báze následované homogenními souřadicemi obrazu bodu O. Taková maice určuje hodnoy afinní ransformace na bodech O, O+ b i, akže určuje afinní ransformaci jednoznačně. Skládání afinních ransformací je afinní ransformace finní ransformace je prosá právě když je na právě když má regulární maici v homogenních souřadnicích. Je-li afiní ransformace prosá, pak její inverze je aké afiní ransformace. Prosá afinní ransformace zobrazuje rovnoběžné přímky na rovnoběžné přímky. Příklad BI-LIN, afinia, 3, P. Olšák [9] Je dána afinní ansformace ve 2D prosoru aková, že posune počáek souřadnicového sysému do bodu (3, 2) a ransformuje první bázový vekor na vekor se souřadnicemi (, 2), druhý bázový vekor ransformuje na vekor se souřadnicemi (4, ). Najdeme maici v homogenních souřadnicích éo ransformace. Podle předchozího maice obsahuje homogenní souřadnice obrazů báze a v posledním sloupci homogenní souřadnice obrazu počáku. Tedy 4 3 = 2 2. Pronásobíme-li pixelové souřadnice každého pixelu ouo maicí, dosáváme pixelové souřadnice obazu: maicovým násobením můžeme ansformova dvourozměrný obrázek.