Kapitola 5 Číselné řady 5. Základní pojmy Definice 5...Symbol a + a 2 + +a n +,kde n N, a n R,se nazývá číselná řada. Jiná označení: n= a n, a n (vynecháme-lipodmínku pro n,uvažujemečlenyodnejmenšího n N,proněžmávýraz a n smysl). Číselnou řadu lze tak považovat za zobecnění součtu konečného počtu reálných čísel. Základními otázkami jsou: jak a kdy přiřadit řadě číslo, které by bylo vhodné nazvat součtem řady, a které z vlastností konečných součtů se přenášejí inařady,ježlzepakpovažovatzasoučtynekonečné. Definice5..2. Číslo a n senazývá n-týčlenřady; číslo s n = a + a 2 + +a n senazývá n-týčástečnýsoučet; posloupnost {s n }senazýváposloupnostčástečnýchsoučtů; řada a n senazývákonvergentní,právěkdyžexistujevlastnílimita s= lim n + s n; tatolimita ssenazývásoučetřady a n apíšeme n= a n = s; řada a n senazývádivergentní,právěkdyžneexistujevlastní lim n + s n, tj.kdyžtatolimitajenevlastní(pakjitéžnazývámesoučetřady)nebo neexistuje(pak řada nemá součet); řada a n+ +a n+2 + atéžjejísoučet r n (pokudexistuje)senazývázbytek řady a n (po n-témčlenu).
Zřejměprokonvergentnířaduje s=s n + r n,tedy r n 0. U každé řady vyvstávají dva problémy: zda řada konverguje, a když konverguje, tak stanovit její součet. V některých případech lze k odpovědi na oba problémy využít definice konvergence a součtu řady. Úloha 5..3. Stanovte součet řady n= n(n+). Řešení. Rozkladem na parciální zlomky dostaneme pro n-tý člen: a n = n(n+) =+n n n(n+) = +n n(n+) n n(n+) = n (n+). n-tý částečný součet se tedy dá vyjádřit: ( s n = ) ( ) + 2 2 + + 3 takže s n,atedysoučetdanéřadyje s=. Geometrická řada n= aq n ( n ) = n+ n+, Dalším příkladem řady, u níž lze snadno rozhodnout o konvergenci a určit její součet, je geometrická řada a+aq+ aq 2 + +aq n +. Zopakujmesi,žejejí n-týčástečnýsoučetazbytekpo n-témčlenujsou:je: Geometrická řada tedy s n = a qn q, r n= aqn q. pro q <konvergujeajejísoučetje s=a q ; pro q >diverguje, s=+ sgna; pro q neexistujelim s n,řadadiverguje,součetneexistuje; pro q=mámedivergentnířadu a+a+ +a+ =+ sgn a. 2
Základní harmonická řada n= n je další důležitý příklad číselné řady. Platí přičemž takže 3 + 4 s n =+ 2 + 3 + 4 + 5 + + n, >2 4 = 2, 5 + 6 + 7 + 8 >4 8 = 2, atd. s =, s 2 =+ 2, s 4 >+2 2, s 8 >+3 2,... s 2 n >+n 2. Ježtovybranáposloupnost {s 2 n}jedivergentní(málimitu+ ),jetaképosloupnostčástečnýchsoučtů {s n }divergentní.tedy: Základní harmonická řada je divergentní, s = +. Tento fakt bychom sotva odhalili součtem několika prvních členů řady, neboť například: s tisíc =7,48..., s milion =4,39.... Ukažme si ještě jeden instruktivní příklad, jak lze dokázat divergenci nějaké řady přímo využitím definice. Úloha 5..4. Dokažte divergenci řady n= n. Řešení. s n =+ + + + > n = n +, 2 3 n n tedy daná řada je divergentní. 5.2 Některé vlastnosti číselných řad Věta 5.2. (nutná podmínka konvergence). Konverguje-li řada a n, pak lim a n =0. Důkaz.Tvrzeníplynezevztahu s n = s n + a n aztoho,želims n =lim s n = s. 3
Uvedená podmínka konvergence není postačující, neboť například základní harmonická řada tuto podmínku splňuje, i když je divergentní. Některé formulace vlastností řad se zjednoduší, jestliže zavedeme pojem chování řady. Definice 5.2.2. Říkáme, že dvě řady mají stejné chování, právě když jsou obě konvergentní, nebo obě mají nevlastní součet nebo obě nemají součet. Věta 5.2.3(o vynechání prvních k členů). Chování řady se nezmění, vynechámeli jejích prvních k členů. Princip důkazu. V původní řadě je v upravené řadě je částečný součet s n = a + a 2 + +a n, σ m = a k+ + a k+2 + +a k+m. Pro n > kpoložme n=k+ m;pak s n = s k + σ m,částečnésoučty s n, σ m se navzájemlišíjenokonstantu s k aodsudplynetvrzeníprovšechnytřidruhy chování. Definice 5.2.4(lineární operace). Součtemřad a n, b n nazývámeřadu (a n + b n ), rozdílemřadu (a n b n ). Násobkemřady a n číslem c Rnazývámeřadu ca n. Věta 5.2.5 (olineárníchoperacíchsřadami).nechť a n = s, b n = σ, c R, c 0.Pakplatí (an + b n )=s+σ, can = cs vevšechpřípadech,kdymásmyslpravástranatěchtorovností.navícpro c=0 jevždy ca n =0. Důkaz.Plynezvětyolineárníchoperacíchsposloupnostmi,neboť s=lim s n, σ=lim σ n. Tatovětaneplatínaopak:Zkonvergenceřady (a n +b n )neplynekonvergence řad a n, b n ;uvažtepříklad ( ). 4
Věta 5.2.6(asociativní zákon pro řady). Nechť an = s a {k n } jelibovolnárostoucíposloupnostpřirozenýchčísel. Je-li c = a + a 2 + +a k, c 2 = a k ++ a k +2+ +a k2,. c n = a kn ++ a kn +2+ +a kn,. Pak cn = s. Důkaz.Je-li {s n }posloupnostčástečnýchsoučtůřady a n a {σ n }posloupnost částečnýchsoučtůřady c n,pak σ=s,neboť {σ n }jeposloupnostvybranáz posloupnosti {s n }amáprototutéžlimitu. Věta neplatí naopak: například konverguje-li řada skupin členů, nemusí být řadapoodstraněnízávorekkonvergentní;uvažteopětřadu ( ). 5.3 Řady s nezápornými členy Řady a n snezápornýmičleny, a n 0,majíněkterévýznačnévlastnosti pokud jde o konvergenci a její zjišťování. Jsou založeny zejména na tom, že posloupnost {s n }jejichčástečnýchsoučtůjeneklesající,takžemávždylimitu.tedy: Je-liposloupnost {s n }shoraomezená,jeřada a n konvergentní, není-li {s n }shoraomezená,mářada a n součet+. V tomto paragrafu pojednáme zejména o kriteriích konvergence nebo divergence (každé kriterium vyjadřuje postačující podmínku a je přizpůsobeno pro praktické využití). Provšechnyřadyvkapitole5.3nechťtedyplatí a n 0apokud budetřeba,aby a n >0,budememluvitokladnýchřadách. První skupina tří kriterií je známa pod společným názvem srovnávací kriteria. Jejich společným znakem je to, že zkoumanou řadu určitým způsobem srovnáme s vhodnou známou řadou a na základě tohoto srovnání vyslovíme závěr o konvergenci nebo divergenci. 5
Věta5.3.(.srovnávacíkriterium).Mějmeřady a n, b n anechťproskoro všechna nplatí a n b n. Pak zkonvergencemajorantnířady b n plynekonvergenceřady a n azdivergenceminorantnířady a n plynedivergenceřady b n. Důkaz.Předpokládejme,ženerovnost a n b n platíjižod n=(jinakmůžeme vynechat členy, kde tato nerovnost neplatí, aniž se změní chování řad). Pak pro částečnésoučty s n, σ n těchtořadplatítážnerovnost s n σ n.zkonvergence σ n σaznerovnosti σ n σplyne s n σ,takžetaké {s n }jekonvergentní. Úloha5.3.2.Rozhodněteochovánířady e n n. Řešení.Řada e n jegeometrickářadaskvocientem q = e < ajetedy konvergentní.ježtoe n <3provšechna n,jee n n =e n e n <3 e n,cožječlen konvergentní geometrické řady. Proto také daná řada je konvergentní. Věta5.3.3(2.srovnávacíkriterium).Mějmedvěkladnéřady a n, b n a nechť existuje a n lim = K. n + b n Pakpro K (0,+ )majíoběřadystejnéchování. Principdůkazu. ϕ >0platíproskorovšechna n: (0 <)K ε < a n b n < K+ ε (K ε)b n < a n <(K+ ε)b n a tvrzení plyne z. srovnávacího kriteria. Kriteriumlzedoplnitpřípadem K =0(pakplatístejnétvrzeníjakou. srovnávacího kriteria) a případem K = + (pak platí analogické tvrzení, ale se záměnou obou řad). Úloha5.3.4.Rozhodněteokonvergenciřady,kde a >0, an+b >0. an+b Řešení. Danou řadu srovnáme se základní harmonickou řadou. Ježto lim n an+b n n = lim n an+b = a >0, mají obě řady stejné chování, tedy daná řada je divergentní. 6
Věta5.3.5(3.srovnávacíkriterium).Mějmekladnéřady a n, b n.nechť pro skoro všechna n platí a n+ b n+. a n b n Pak zkonvergenceřady b n plynekonvergenceřady a n azdivergenceřady a n plynedivergenceřady b n. Principdůkazu.Nechťuvedenánerovnostplatíužod n=.pro k=,2,...,n uvažujme n nerovností a k+ b k+.jestližejevšechnymezisebouvynásobíme(proveďte!),dostanemepoúpravě a n a a k b k b b n atvrzenívětyplynez. srovnávacího kriteria. Věta5.3.6(podílové,d Alembertovokriterium).Nechť a n jekladnářada. )Existuje-ličíslo q (0,)tak,žeproskorovšechna nje(d n =) a n+ a n q, pakřada a n konverguje. 2)Jestližeproskorovšechna nje D n,pakřada a n diverguje. Princip důkazu.. tvrzení dostaneme, když ve 3. srovnávacím kriteriu použijeme jako b n konvergentnígeometrickouřadu q n. Druhé tvrzení vlastně znamená, že řada nesplňuje nutnou podmínku konvergence. Úloha5.3.7.Rozhodněteokonvergenciřady+ 3 5 +2 2 +3 + 22 22 5 5 2 52+3 + 5 3 2 3 53+. Řešení.Vidíme,ževřadějsoučlenydvoudruhů: a 2k = 3 2k 5 k, a 2k = 2k 5 k. Musíme tedy vyšetřit dva podíly dvou po sobě jdoucích členů: a 2k a 2k = 3 2k 5 k : 2k 5 k =3 5, a 2k+ a 2k Voboupřípadech D n 2 3 <,takžeřadakonverguje. = 2k 2k 5k:3 = 2 5 k 3. Toto kriterium se častěji používá ve své limitní podobě. 7
Věta5.3.8(limitnípodílovékriterium).Nechť a n jekladnářadaaexistuje Pak pro A <danářadakonverguje apro A >řadadiverguje. a n+ lim = A. n a n Principdůkazu.Nechť A <, ε= A 2.Pakproskorovšechna nje D n < A+ε, takže podle podílového kriteria řada konverguje. Pro A >dokážemepodobnědivergencivolbou ε=a. Uvědomímesi,žepro A=nedávátotokriteriumodpověď. Úloha5.3.9.Rozhodněteokonvergenciřady n 2 n. Řešení. D n = n+ 2 : n n+ n+ 2 n= 2 n 2 <,řadatedykonverguje. Věta5.3.0(odmocninové,Cauchyovokriterium).Nechť a n jeřadasnezápornými členy. )Existuje-ličíslo q (0,)tak,žeproskorovšechna nje pakřada a n konverguje. (C n =) n a n q, 2)Jestližepronekonečněmnoho nje C n,pakřada a n diverguje. Důkaz.Znerovnosti C n qplyne a n q n,takžekonvergenceplynez.srovnávacího kriteria(majorantou je konvergentní geometrická řada). Nerovnost C n znamená,že a n,takžeřadanesplňujenutnoupodmínku konvergence. Úloha5.3..Rozhodněteokonvergenciřady 5 + 7 2+ 5 3+ 74+. Řešení. Vyzkoušíme podílové kriterium. Pro nlichéje D n = 7 n+: 5 n= 7 alepro nsudéje D n = 5 n+: 7 n= 5 ( ) n 5 < 5 7 7 <, ( ) n 7 +. 5 Podílové kriterium tedy nedává odpověď, ani jeho limitní verze. 8
Použijeme odmocninové kriterium. Pro nlichéje C n = 5, pro nsudéje C n = 7, tedy n Nplatí C n 5 <ařadakonverguje. Jak naznačuje tento příklad, bylo by možno dokázat, že odmocninové kriterium je silnější než kriterium podílové. Věta5.3.2(limitníodmocninovékriterium).Nechť a n jeřadasnezápornýmičlenyaexistujelim n a n = A.Pakpro A <danářadakonvergujeapro A >řadadiverguje. Důkaz. Provádí se stejně jako u limitního podílového kriteria. Úloha 5.3.3. Určete, zda řada (lnn) njekonvergentní. Řešení. C n = ln n 0<,tedydanářadakonverguje. Všimněme si, že na řadu z úlohy 5.3. nelze použít limitní odmocninové kriterium,neboťposloupnost {C n }nemálimitu.každékriteriumjezpravidla vhodnéprourčitétypyřad,bezohledunajeho sílu.taktobudemechápati náš výběr kriterií. Existuje však celá posloupnost kriterií konvergence, v nichž každédalšíje silnější nežpředchozí.ovšem silnější kriteriumjezpravidla složitější na formulaci a používání. Jako ukázku uveďme ještě: Věta5.3.4(Raabeovokriterium).Nechť a n jekladnářada. )Existuje-ličíslo r >tak,žeproskorovšechna nje ( ) an (R n =) n r, a n+ pakřada a n konverguje. 2)Jestližeproskorovšechna nje R n <,pakřadadiverguje. I toto kriterium má svou limitní verzi(viz následující úlohu). Úloha 5.3.5. Rozhodněte o konvergenci řady n= (2n )!! (2n)!! 2n+. 9
Řešení.(Definicedvojnýchfaktoriálů:6!!=6 4 2,9!!=9 7 5 3.) PřipoužitíRaabeovakriteriajevhodnéstanovit(aupravit)nejprve D n.po (2n+) 2 zkráceníjetedy D n = (2n+2)(2n+3),takžepodílovékriteriumnedává odpověď. Ale ( ) R n = n = = 6n2 +5n D n 4n 2 +4n+ 3 2, řada konverguje podle limitního Raabeova kriteria. Uvědomíme si, že podle žádného z uvedených kriterií nelze rozhodnout o divergenci základní harmonické řady. Tuto schopnost má však integrální kriterium. Věta 5.3.6 (Integrálníkriterium).Nechťčlenyřady a n jsouhodnotami kladné nerostoucí funkce f, která je integrace schopná na každém intervalu, K, K R;tedy a n = f(n).pakřada a n anevlastníintegrál f(x)dxsoučasně konvergují nebo divergují. Důkaz. plyne z porovnání n + f(x) dx s vhodnými částečnými součty řady. Úloha 5.3.7. Rozhodněte o konvergenci řad n= ns,kde s R. Řešení. Řady n= n ssenazývajíharmonické. Pro s 0 jsou zřejmě divergentní, protože nesplňují nutnou podmínku konvergence. Nechťtedydále s >0. Pro s=dostávámezákladníharmonickouřadu,kterájedle5.divergentní. Je-li s <,je n s < n n s > n,takžedle.srovnávacíhokriteria jsou harmonické řady pro s < rovněž divergentní. Pro další studium harmonických řad použijeme integrální kriterium: Funkcedanápředpisem f(x)= jepro s >0nerostoucíakladná,integraceschopná(protožejespojitá)nakaždémintervalu,K, K Ra x s n Nje(a n =) = f(n). n s 0
Pro s jenevlastníintegrál I= + [ ] dx x s+ K ( K s x = lim = lim s K + s+ K + x= s ). s Vidíme,žepro s <je K s +,nevlastníintegrálatedyiharmonické řady jsou divergentní. Pro s >je K s 0,nevlastníintegrálatedyiharmonickéřadyjsou konvergentní. Pro s=je I = lim ln K =+,tedyzákladníharmonickářadaje K + divergentní. Závěr: Harmonické řady jsou konvergentní pro s > a divergentní pro s <. 5.4 Řady s libovolnými členy, absolutní konvergence Včíselnéřadě a n mohoubýtněkteréčlenykladnéaněkterézáporné(nulové nejsou zajímavé, protože pro zjišťování konvergence řady nebo součtu řady je lze vynechat). Je-li záporných členů jen konečný počet, zacházíme při zjišťování konvergence s řadou, jako by měla jen kladné členy(podle věty o vynechání prvních k členů). Jsou-li všechny členy řady záporné, lze konvergenci zjišťovat pro kladnouřadu a n ataktolzevyříditipřípadkonečnéhopočtukladnýchčlenů. Protozbývájedinýpodstatnýpřípad,tj.žeřada a n mánekonečněmnoho kladných členů a nekonečně mnoho členů záporných. Z praktických důvodů však nebudeme vylučovat ani existenci nulových členů, neboť důležité číselné řady vznikají často z funkčních(mocninných) řad po dosazení za nezávisle proměnnou a některé členy mohou být tedy nulové. Proveďme nejprve několik induktivních úvah. Zaveďme označení Pak zřejmě platí: Křadě a n taklzevytvořitřady a + n, a + =max {a,0}, a =max { a,0}. a=a + a, a =a + + a. a n, an ;
všechno to jsou řady s nezápornými členy. Označme s = a + n, s = a n, přičemž 0 < s,s +. Z lineárních vlastností řad plyne: Konvergují-liřady a + n, a n,pakkonvergujíiřady a n, a n aplatí an = s s, an =s + s. Prvníztěchtovztahůplatíivevšechdalšíchpřípadech,kdymásmyslrozdíl s s (tj.mimopřípadu ),druhýplatívždy. Víme, že lineární operace neplatí obráceně, tedy zkonvergence sumanneplynekonvergenceřad a + n, a n. Ovšemzkonvergence a n plyne,žečástečnésoučtyřady (a + n+ a n)jsou omezené,takžejsouomezenéičástečnésoučtyobouřad a + n, a n,obětyto řadyjsoutedykonvergentníatakéřada a n jekonvergentní. Tak jsme dostali: Věta 5.4.(o konvergenci řady absolutních hodnot). )Řady a + n, a n konvergují,právěkdyžkonvergujeřada a n. 2)Zkonvergenceřady a n plynekonvergenceřady a n. Tato věta je základem pro definici významného pojmu absolutní konvergence. Definice5.4.2.Řada a n senazývá absolutněkonvergentní,právěkdyžkonvergujeřada a n anazýváse neabsolutně konvergentní, právě když je konvergentní a přitom řada an jedivergentní. Vyšetřováníabsolutníkonvergencetedyznamenázabývatseřadou a n s nezápornými členy, k čemuž lze použít kriteria konvergence uvedená v předchozích paragrafech. Zbývá tedy zejména případ neabsolutně konvergentních řad s libovolnými členy. 2
5.5 Alternující řady Jde o důležitý a často se vyskytující zvláštní případ řad s libovolnými členy: c c 2 + c 3 c 4 + +( ) n c n +, kde {c n }jeposloupnostkladnýchčísel.základníkriteriumkonvergencealternujících řad je překvapivě jednoduché. Věta5.5.(Leibnizovokriteriumkonvergence).Nechť {c n }jemonotónnínulováposloupnostkladnýchčísel.pakřada ( ) n c n konverguje.přitompro zbytek r n řadyplatí: c n+ c n+2 r n < c n+ a sgnr n =( ) n. Důkaz.Nejprveukážeme,žeposloupnost {s 2k }sudýchčástečnýchsoučtůvybranázposloupnosti {s n }částečnýchsoučtůjeneklesající: s 2k+2 = s 2k + c 2k+ c 2k+2 > s 2k. Dálevidíme,žeposloupnost {s 2k }jeshoraomezená: s 2k = c (c 2 c 3 ) (c 4 c 5 ) (c 2k 2 c 2k ) c 2k < c. Z toho plynou dva závěry:. s=lim s 2k, 2. c c 2 < s < c. Dále ukážeme, že s je také limitou posloupnosti lichých částečných součtů: s 2k = s 2k c 2k ; pravástranakonvergujekrozdílu s 0,tedyks,proto s 2k s,takže s n s, tedyřadajekonvergentníamásoučet s. Zbytekpo n-témčlenujeopětalternujícířada;tvrzeníojejímsoučtu r n plyne z výše uvedeného 2. závěru. Úloha5.5.2.Rozhodněteokonvergenciřady 2 + 3 4 + +( )n +. n Řešení.Danářadajealternujícíaposloupnost {c n }= { n} jemonotónnínulová, takže podle Leibnizova kriteria je daná řada konvergentní. Alternující řada z příkladu 5.5.2 je příkladem neabsolutně konvergentní řady, neboť řada absolutních hodnot je divergentní základní harmonická řada. Řadám, které splňují předpoklady Leibnizova kriteria, se též říká řady leibnizovské. Leibnizovské řady se často a s výhodou používají při numerických výpočtech(při přibližném výpočtu konstant, které jsou součtem číselné řady), neboť umožňují velmi jednoduchý odhad chyby metody. 3
5.6 Přerovnávání číselných řad Sčítání konečného počtu čísel je asociativní a komutativní. Je tedy otázka, v jaké formě tyto dvě vlastnosti přecházejí nebo nepřecházejí na řady jakožto zobecněný součet. V článku 5. je ukázáno, že asociativnost se v jisté podobě zachovává:členyřadylze závorkovat,aleobecněvřaděnelzezávorkyodstraňovat. Vyšetřování komutativnosti je složitější a snad i zajímavější. Samozřejmě, zaměníme-li pořadí třeba u prvních dvou členů řady(nebo u prvních n například milionu členůřady),nestanesenic,pokudjdeochovánířadyresp.ojejísoučet, protožejdevlastněouplatněníkomutativnostivkonečnémsoučtu s n.budeme seprotozajímatopřípady,kdy změnapořadí členůřadyzasahujenekonečně mnoho členů řady. Definice5.6..Říkáme,žeřada b n vzniklapřerovnánímřady a n,právě kdyžexistujebijekce β: N Ntaková,že n N: b n = a β(n). Definice tedy říká, že n-tý člen přerovnané řady je β(n)-tým členem řady původní.obráceně n-týčlenpůvodnířadyje β (n)-týmčlenemvřaděpřerovnané, kde β jebijekceinverzníkβ. Napříkladalternujícířadu 2 + 3 4 + lzepřerovnattak,ževezmeme střídavě vždy tři členy kladné a jeden záporný: + 3 + 5 2 + 7 + 9 + 4 + Zde β(n)={(,),(2,3),(3,5),(4,2),(5,7),(6,9),...}. jekonver- Věta 5.6.2(o přerovnání řad s nezápornými členy). Nechť gentní řada s nezápornými členy. Potomkaždářada,kterávzniknepřerovnánímřady a n, je konvergentní a její součet je roven součtu řady původní. Důkaz. Prořadu a n je n-týčástečnýsoučet s n s. an Označme b n řadu,kterávzniknepřerovnánímřady a n,aσ n její n-tý částečný součet; zřejmě {s n }, {σ n }jsouneklesajícíposloupnosti. Uvažujme σ n a m=max {β(),β(2),...,β(n)}. Pak σ n s m s,takžeřada b n jekonvergentníamásoučet σ s. 4
Přerovnáním se tedy součet řady nezvětší. Jestliženynířadu b n přerovnámezpětna a n,pakpodle.částidůkazu sesoučetopětnezvětší,takže s σ. Proto σ= s,součetpřerovnanéřadyjetýž. jeab- Věta 5.6.3(o přerovnání absolutně konvergentních řad). Nechť solutně konvergentní řada. Potomkaždářada,kterávzniknepřerovnánímřady a n, je konvergentní a její součet je roven součtu řady původní. an Důkaz. Označme b n řadu,kterávzniknepřerovnánímřady a n ; pak b n vzniknepřerovnánímkonvergentnířady a n,takže podlepředchozívětyje b n konvergentní, tedy b n jeabsolutněkonvergentní; jejísoučetoznačme σ. Je-li s= a n,pak s=s s,kde s = a + n a s = a n jsousoučty řad s nezápornými členy. Podobně σ= σ σ,kde σ = b + n, σ = b n. Přerovnánířady a n nařadu b n indukujepřerovnánířady a + n na řadu b + napřerovnánířady a nnařadu b n. Jetedy σ = s, σ = s,takže σ= s. Předchozí věta potvrzuje rozšíření platnosti komutativního zákona pro sčítání konečného počtu čísel na řady absolutně konvergentní. U řad neabsolutně konvergentních nastává nový jev. Nejprve však připomeňme, že u těchto řad je s =+ atéž s =+ ikdyžizdeje a n 0. Věta 5.6.4(Riemannova o přerovnávání řad neabsolutně konvergentních). Je-liřada a n neabsolutněkonvergentní,pakprokaždé B R lzeřadupřerovnattak,žepřerovnanářada b n másoučet B. Důkaz.Zřady a n vytvořímedvěřady: pn a q n atotak,že 5
do.řadydámebezzměnypořadívšechnanezáporná a n a dodruhéřadydámeabsolutníhodnotyzápornýchčlenů a n. Jdevlastněořady a + n a a n povynechánínadbytečnýchnulovýchčlenů. Pakkaždýčlenřady a n padneprávědojednézřad p n a q n v původním uspořádání. Zneabsolutníkonvergence a n máme pn =+ a qn =+. Dále se důkaz vede konstruktivně, tedy k libovolně zadanému B zkonstruujeme přerovnání tak, že součet přerovnané řady bude B. a) Nechť B je reálné číslo(například kladné). () Nejprve vezmeme právě tolik kladných členů, aby p + p 2 + +p r > B (tj.bez p r jesoučet B). Tolzevzhledemktomu,že p n =+. (2) Dále vezmeme právě tolik záporných členů, aby p + p 2 + +p r (q + +q s ) B (tj.bez q s jesoučet > B). Tolzevzhledemktomu,že q n =+. (3) Pak vezmeme právě tolik kladných členů, aby pro částečný součet platilo σ r2 +s > B, atd. Vidíme,žetaktose čerpají jakkladnéčleny,takzáporné,takžekaždý člen a n původnířadysedostanedopřerovnanéřady b n.ježto a n 0, je p n 0iq n 0,tedy b n 0.Zuvedenékonstrukcepřerovnáníplyne σ n B b n 0, tedy σ n B. b) Nechť B = +. Předchozí konstrukci nelze přímo použít, protože nelze vzíttolikkladnýchčlenů,abyčástečnýsoučetbylvětšínež+.ajetřeba téžzajistit čerpání zápornýchčlenů.postupujemetedytakto: Nejprve vezmeme právě tolik kladných členů, aby p + p 2 + +p r >, pakjedenzáporný,paktolikkladnýchčlenů,abyčástečnýsoučet σ r2 + >2, pak opět jeden záporný, atd. Ježto q n 0,lzejižjednoduchouúvahou(proveďteji!)dospětkzávěru,že σ n +. 6
Z důkazu Riemannovy věty plyne, že i z některých divergentních řad lze přerovnáním vytvořit řady(neabsolutně) konvergentní s libovolně předem zadaným součtem.jdeořady,kterésplňujínutnoupodmínkukonvergenceakde s =+ a s =+. Úloha5.6.5.Přerovnejteneabsolutněkonvergentnířadu a n tak,abypřerovnaná řada neměla žádný součet, ani nevlastní. 5.7 Mocninné řady Geometrická řada a+ax+ax 2 + +ax n + jepříklademmocninnéřady.tatořadajekonvergentníprovšechna x (,); toto je tzv. obor konvergence geometrické řady. Definice5.7..Nechť a 0,a,a 2,...,a n,...ječíselnáposloupnost.pakřada a 0 + a x+a 2 x 2 + +a n x n + = se nazývá mocninná řada. n=0 a n x n ( stručně a n x n ) Věta5.7.2(okonvergencimocninnýchřad).Jestližemocninnářada a n x n konvergujepro x=x ( 0),pakkonvergujeabsolutněprovšechna xzintervalu ( x, x ).Jestližemocninnářada a n x n divergujepro x=x 2,pakdiverguje provšechna xvněintervalu x 2, x 2. Důkaz.Zkonvergenceřady a n x n plyne,že a n x n 0,tedy Mtak,že nje a n x n M.Pakpro x < x platí n n a n x n = x M x. x První tvrzení plyne z. srovnávacího kriteria, neboť na pravé straně je člen konvergentní geometrické posloupnosti. Druhé tvrzení plyne z nepřímého důkazu užitím tvrzení prvního. Pro každou mocninnou řadu tak nastává jedna z možností: -konvergujejenvbodě0, - konverguje pro všechna x, 7 x
- existuje pro ni číslo R zvané poloměr konvergence tak, že uvnitř intervalu ( R, R) řada konverguje(absolutně) a vně intervalu R, R řada diverguje. (Vpředchozíchdvoupřípadechklademe R=0,resp. R=+.) Obor konvergence pak dostaneme tak, že k intervalu( R, R) přidáme ty krajní body intervalu konvergence, v nichž řada konverguje. Tato konvergence může být i neabsolutní. Úloha 5.7.3. Stanovte obor konvergence řady n= x n n2 n. Řešení. Vyšetříme absolutní konvergenci užitím Cauchyova limitního kritéria: x n x C n = n n2n= 2 n n x 2 < x <2 R=2. Ještě vyšetříme krajní body intervalu konvergence, tj. body 2 a 2. Dosadíme-li dočlenůřady x=2,dostanemepozkrácenízákladníharmonickouřadu,kteráje divergentní. Dosadíme-li x = 2, dostaneme alternující neabsolutně konvergující řadu(neboť řadou absolutních hodnot je základní harmonická řada). Oborem konvergence je tedy interval 2, 2). 5.8 Násobení řad V odstavci 5.2 byly připomenuty lineární operace s řadami: sčítání řad a násobení řady reálným číslem. Viděli jsme, že vlastnosti konečných součtů se na řady přenášejí s jistými výhradami: například konvergentní řady lze sečíst a součet je opět konvergentní řada, ale konvergentní řadu ve tvaru součtu nelze obecně rozdělit na součet konvergentních řad. Při násobení konečných součtů a=(a + +a n ), b=(b + +b m ) násobíme každý člen jednoho součtu každým členem druhého součtu a při libovolnémuspořádánítaktovzniklýchsoučinů a i b j dostanemevždytýžvýsledek ab. Riemannova věta z?? nás varuje, abychom neočekávali totéž pro libovolné konvergentnířady.vdalšíčástiodstavcepředpokládejme n N 0,tedy a n je symbol pro řadu a 0 + a + a 2 +. Uvažujeme-li analogii s konečnými součty, očekáváme, že výsledkem násobení dvouřadbymělabýtřada,vnížjsouvšechnysoučiny,kdekaždýčlenjednéřady 8
násobíme každým členem druhé řady. Toto násobení lze zorganizovat pomocí čtvercovéhoschématu ( ): a 0 a a 2 a 3 b 0 a 0 b 0 a b 0 a 2 b 0 a 3 b 0 b a 0 b a b a 2 b a 3 b b 2 a 0 b 2 a b 2 a 2 b 2 a 3 b 2 b 3 a 0 b 3 a b 3 a 2 b 3 a 3 b 3........ Nyní jde o to, jak všechny prvky tohoto schématu uspořádat. Nelze například pořádcích nebo posloupcích (tobychomnepoužilivšechnyprvky),alelze například podiagonálách : a 0 b 0 + a 0 b + a b 0 + a 0 b 2 + a b + Pro uspořádání prvků ze schématu však lze použít i pravidlo čtverců( rámování ),kterédářadu a 0 b 0 + a 0 b + a b + a b 0 + a 0 b 2 + a b 2 + Věta 5.8.(Cauchyovaonásobenířad).Jsou-liřady a n, b n absolutně konvergentní a mají součet a resp. b, pak řada vytvořená ze součinů dle schématu ( ) vzatých v libovolném pořadí je také absolutně konvergentní a má součet ab. Důkaz.Křadě a i b j všechsoučinůzeschématu( )uvažujmeřaduabsolutních hodnot: a i b j ajejí n-týčástečnýsoučet σ n.označme m=max {i s,k s }.Pak platí σ m = a 0 b 0 + a 0 b + + a m b m ( a 0 + a + + a m ) ( b 0 + b + + b m ) < a b, kde a, b jsousoučtypříslušnýchřadabsolutníchhodnot.ježtoposloupnost {σ n }jeneklesajícíashoraomezená,existujejejívlastnílimita,řadaabsolutních hodnot součinů je konvergentní, tedy řada součinů je absolutně konvergentní. Podle věty o přerovnání absolutně konvergentních řad nezávisí součet této řady na pořadí členů řady(na jejich uspořádání). Nyní určíme součet této řady. K tomu lze zvolit libovolné uspořádání členů řady;výhodnéseukážeuspořádání rámováním,kdenavícsdružímevždyvšechny členyztéhož rámu : a 0 b 0 +(a 0 b + a b + a b 0 )+(a 0 b 2 + a b 2 + )+ 9
Posloupnost { s p }částečnýchsoučtůtétořadyjevybranázposloupnosti {s n } částečnýchsoučtůřadypůvodní.označíme-ličástečnésoučtyřad a n, b n jako s n, s n,pakzřejměplatí s 0 = s 0s 0, s = s s, s 2 = s 2s 2,... s m = s ms m. Ježto s m a, s m b,je s m ab,tedy s=ab. Definice5.8.2.Mějmeřady a n, b n.pakřadu c n nazývámecauchyův součin daných řad, právě když platí c 0 = a 0 b 0, c = a 0 b +a b 0, c 2 = a 0 b 2 +a b +a 2 b 0,... c n = a 0 b n + +a n b 0,... Vidíme,žesdruženímvhodnýchčlenůpřiuspořádání podiagonálách dostaneme Cauchyův součin nebo též, že posloupnost částečných součtů v Cauchyově součinu je vybraná z posloupnosti částečných součtů při uspořádání po diagonálách. Pokud by nám stačilo tvrzení o Cauchyově součinu řad, mohli bychom oslabit předpokladynařady a n, b n atotak,žejednajeabsolutněkonvergentní, ale druhá(jen) konvergentní. Úloha 5.8.3. Najděte řadu se součtem a) užitím sčítání řad, b) užitím násobení řad. Řešení. Využijeme toho, že q 3 2 x x 2 jepro q <součetgeometrickéřady +q+ q 2 + +q n + = ad a) Rozložíme na parciální zlomky: kde 3 2 x x 2 = ( ) q = x < x x+2 = x 2 = n=0 x n 2 ( q 2 = x ) < 2 n=0 + x 2 n=0 q n. ( x 2) n, x (,). 20
ad b) Rozložíme na součin: 3 = 3 2 x x 2 2 x+ x 2 ( = 3 + ) ( + x n 2 n=0 n=0 ) ( x ) n 2 kde opět ( ) q = x < ( q 2 = x ) < 2 x (,). 2