Kritéria regularity pro nestacionární nestlačitelné Navier Stokesovy rovnice

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE Šimon Axmann Kritéria regularity pro nestacionární nestlačitelné Navier Stokesovy rovnice Matematický ústav Univerzity Karlovy Vedoucí diplomové práce: Studijní program: Studijní obor: doc. Mgr. Milan Pokorný, Ph.D. Matematika Matematické modelování ve fyzice a technice Praha

Na tomto místě bych rád poděkoval vedoucímu práce, doc. Milanu Pokornému, za čas a ochotu při podnětných konzultacích. Poděkování patří také mým rodičům, kteří mne podporovali v průběhu celého studia.

Prohlašuji, že jsem tuto diplomovou práci vypracoval samostatně a výhradně s použitím citovaných pramenů, literatury a dalších odborných zdrojů. Beru na vědomí, že se na moji práci vztahují práva a povinnosti vyplývající ze zákona č. / Sb., autorského zákona v platném znění, zejména skutečnost, že Univerzita Karlova v Praze má právo na uzavření licenční smlouvy o užití této práce jako školního díla podle 6 odst. autorského zákona. V Praze dne 5. 7.

Název práce: Kritéria regularity pro nestacionární nestlačitelné Navier Stokesovy rovnice Autor: Šimon Axmann Ústav: Matematický ústav Univerzity Karlovy Vedoucí diplomové práce: doc. Mgr. Milan Pokorný, Ph.D., Matematický ústav Univerzity Karlovy Abstrakt: V předložené práci studujeme globální podmíněnou regularitu slabých řešení Cauchyho úlohy pro nestacionární nestlačitelné Navier Stokesovy rovnice ve třech prostorových dimenzích. V první části podáváme přehled známých podmínek implikujících plnou regularitu uvažovaných rovnic. Z důvodu přehlednosti uvádíme pouze kritéria regularity na škále Lebesgueových prostorů, a to zejména podmínky pro rychlost a její složky, pro gradient rychlosti a jeho složky, pro tlak a vířivost. V následující částech dokazujeme pomocí dvou odlišných technik zobecnění čtyř kritérií regularity. Oproti známým výsledků uvažujících jednu složku rychlosti, resp. její gradient uvažujeme projekci rychlosti do obecného vektorového pole. Pro použití druhé metody jsme rovněž zobecnili multliplikativní Gagliardo Nirenbergovu nerovnost. Klíčová slova: slabé řešení Navier Stokesových rovnic; regularita řešení Title: Regularity criteria for instationary incompressible Navier Stokes equations Author: Šimon Axmann Institute: Mathematical Institute of Charles University Supervisor: doc. Mgr. Milan Pokorný, Ph.D., Mathematical Institute of Charles University Abstract: In the present thesis we study the global conditional regularity of weak solutions to the Cauchy problem for instationary incompressible Navier Stokes equations in three space dimensions. In the first section, we present an overview of known conditions implying the full regularity of the equations under consideration. For the sake of clarity, we expose only the regularity criteria on the scale of Lebesgue spaces, especially in terms of the velocity and its components, the gradient of the velocity and its components, the pressure and the vorticity. In the subsequent sections, we generalize four regularity criteria using two different techniques. We are able to replace one velocity component or its gradient, considered in the known results, by a projection of the velocity into a general vector field. For the purpose of the second method, we also generalize the multiplicative Gagliardo Nirenberg inequality. Keywords: weak solution to the Navier Stokes equations; regularity of the solution

Obsah Úvod. Krátký exkurz do historie Navier Stokesových rovnic........ Slabá, silná a klasická řešení..................... 3 Nestručný přehled globálních kritérií regularity 6. Podmínky na velikost rychlosti a jejích složek........... 6. Podmínky na gradient rychlosti a jeho složky............ 7.3 Podmínky na tlak............................4 Podmínky na vířivost..........................5 Další kritéria regularity........................ Zobecnění několika kritérií regularity 4. Poznatky z teorie prostorů funkcí.................. 4.. Multiplikativní Gagliardo Nirenbergova nerovnost..... 5. Členy nižšího řádu.......................... 8.3 Dvě kritéria vycházející z rovnice pro vířivost............3. Jedna složka rychlosti.....................3. Gradient jedné složky rychlosti............... 3.4 Další dvě významná kritéria regularity............... 37.4. Jedna složka rychlosti.................... 38.4. Gradient jedné složky rychlosti............... 5 Závěr 7 Seznam použité literatury 73

Úvod Navier Stokesovy rovnice pro neznámé vektorové pole rychlosti v a skalární pole tlaku p, se zadanou konstantní kinematickou viskozitou ν a vnějšími objemovými silami f v t + v v ν v + p = f ) div v = ) představují spolu s příslušnými okrajovými a počátečními podmínkami nejjednodušší všeobecně přijímaný model pro nestacionární proudění vazké nestlačitelné tekutiny. Jedná se o soustavu nelineárních parciálních diferenciálních rovnic, přičemž jediná nelinearita v rovnicích je kvadratická a nemá svůj původ v uvažovaném modelu pro tekutinu, nýbrž v geometrickém argumentu přinášejícím do rovnic tzv. konvektivní derivaci. Dále si můžeme na první pohled všimnout, že neznámé v a p v rovnicích )-) nevystupují symetricky, což je způsobeno tím, že tlak zde hraje roli Lagrangeova multiplikátoru pro podmínku nestlačitelnosti ). Galdi [4], str. 4) ke struktuře rovnic poznamenává, hlavní potíž Navier Stokesových rovnic spočívá ve sdruženém vlivu zmíněných dvou skutečností, tedy absence symetrie a přítomnosti nelineárního členu.. Krátký exkurz do historie Navier Stokesových rovnic První odvození systému )-) uvedl v roce 8 francouzský inženýr Claude- Louis Navier 785-836), jeho odvození ovšem fyzikové zavrhli pro na první pohled nerealistické fyzikální předpoklady. Později, jak uvádí Darrigol [9], str. 95), byly rovnice znovu odvozeny nejméně čtyřikrát: Cauchy 83), Poisson 89), Saint-Venant 89) a Stokes 845), přičemž žádný z nich nebral v úvahu, nebo přinejmenším plně nedocenil výsledky svých předchůdců. Zároveň každý použil jiný způsob odvození rovnic. Prvními, kdo seriózně vyšetřovali existenci a vlastnosti řešení Cauchyho úlohy pro )-), byli švédský teoretický fyzik Carl Wilhelm Oseen 879 944) v [5] a francouzský matematik Jean Leray 96-998), který ve své doktorské práci a sérii článků [36], [37] položil základy matematické teorie Navier Stokesových rovnic. Zatímco ve dvou prostorových dimenzích se mu podařilo dokázat existenci a jednoznačnost klasického řešení, ve třech dimenzích stejný výsledek nezískal. Dokázal pouze existenci tak zvaného turbulentního řešení, což v dnešní terminologii odpovídá slabému řešení splňujícímu silnou energetickou nerovnost, viz 3), 5). Jak připomíná Temam [66], str. ), není bez zajímavosti, že samotný koncept slabé formulace parciálních diferenciálních rovnic se poprvé objevuje právě ve zmíněných Lerayových pracích, a to ještě před tím než L. Schwartz [57] představil svou teorii distribucí a krátce před tím než S. L. Sobolev [6] zavedl teorii prostorů nesoucích nyní jeho jméno. Leray zároveň ukázal, že toto řešení sestává z posloupnosti regulárních řešení, přičemž singulární časy tvoří uzavřenou množinu Lebesgueovy míry nula a že řešení, které odpovídá dostatečně malé

počáteční podmínce zůstává regulární. Sám Leray [37], str. 93) našel...důvod věřit, že existují proudění, která v konečném čase přestanou být regulární a navrhl také metodu jak ukázat, že klasické řešení obecně globálně v čase nemusí existovat. Skutečnost, že tuto metodu nelze použít, byla ukázána teprve v článcích [4], [4] a [67]. Po druhé světové válce v článku [7] Eberhard Hopf 9-983) rozšířil výsledky Leraye i do omezených oblastí. Zhruba o desetiletí později se objevuje Olga Alexandrovna Ladyženská 9-4) [34], která se téměř celý svůj dlouhý život navzdory komunistickému režimu ) intenzivně Navier Stokesovým rovnicím věnovala. Dále se v průběhu druhé poloviny minulého století zabývala celá řada dalších význačných matematiků různými aspekty matematické teorie Navier Stokesových rovnic, od častečné regularity a rekonstrukce tlaku přes chování řešení poblíž nekonečna až po kritéria regularity, o složité problematice okrajových podmínek a numerických metod nemluvě. Zde připomeneme pouze některá důležitá jména: J.-L. Lions [38], Caffarelli, Kohn, Nirenberg [], P.-L. Lions [39] a čtenáře odkazujeme na shrnující články [66], [33], či novější monografii [35]. Ačkoli od přijetí systému )-) jako smysluplného fyzikálního modelu pro proudění vody uplynulo již více jak 6 let, zájem ze strany odborníků i amatérů o tento klíčový problém mechaniky tekutin rozhodně neupadá, zvláště poté co byla otázka existence hladkého řešení Cauchyho, resp. periodické úlohy zařazena mezi tak zvaných Sedm otevřených problémů Clayova matematického institutu v Massachusetts []. I přes to základní otázka týkající se Navier Stokesových rovnic, tak jak ji zformulovala O. A. Ladyženská v [33], str. 5), tedy zda Navier Stokesovy rovnice skutečně spolu s příslušnými počátečními a okrajovými podmínkami poskytují deterministický popis proudění nestlačitelné tekutiny, zůstává stále otevřená.. Slabá, silná a klasická řešení V této části připomeneme nejčastěji používané koncepty řešení Cauchyho úlohy ve třech prostorových dimenzích pro Navier Stokesovy rovnice a jejich vzájemné vztahy. Podrobnosti a další vlastnosti řešení, jakož i definice příslušných prostorů lze nalézt v řadě klasických monografií věnovaných Navier Stokesovým rovnicím [34], [4], [39], [65], či ve skriptech [54], [55]. Pro jednoduchost budeme dále předpokládat f =. Zatímco potenciální objemové síly lze zahrnout do členu s tlakem, na nepotenciální lze snadno naklást předpoklady na hladkost tak, aby všechny následující výsledky zůstaly po příslušné modifikaci v platnosti. Definice. Nechť v L div R3 ). Řekneme, že funkce v L, T, W, div R3 ) )) L, T, L ))) s v L, T, W, t div R3 ) ) ) je slabým řešením Navier Jak píše Struwe [64], str. ), její otec Alexander I. Ladyženský byl odsouzen jako nepřítel ruského lidu k trestu smrti... a ačkoli měla svou závěrečnou práci dokončenou v roce 95, nebylo jí umožněno ji obhajovat dříve než v roce 953, po Stalinově smrti. 3

Stokesových rovnic odpovídající počáteční podmínce v, jestliže v t, ϕ + v v) ϕ dx W, div R3 )),W, div R3 ) R 3, + ν v : ϕ)dx =, ϕ Wdiv R3 ), s.v. t, T ), R 3 lim vt, ) ϕ dx = v ϕ dx, ϕ L div ). t + 3) Pokud navíc slabé řešení splňuje tzv. energetickou nerovnost, kterou formálně získáme otestováním rovnice ) samotným řešením, t vt) dx + ν v dxdτ v dx, pro s.v. t, T ) 4) nazveme jej slabým Leray Hopfovým řešením. Poznámka. Dosud nebylo dokázáno ani vyvráceno, zda mohou existovat slabá řešení, která by nesplňovala energetickou nerovnost. Někdy se místo 4) uvažuje následující silnější podmínka, která se nazývá silná energetická nerovnost t vt) dx + ν s v dxdτ vs) dx 5) pro skoro všechna s [, T ) a pro všechna t [s, T ), přičemž s = je v podmínce zahrnuto. Definice. Řekneme, že slabé řešení je silné, jestliže navíc splňuje v L, T, W, div R3 ) )) L, T, W, ))). Tvrzení. Každé silné řešení splňuje dokonce energetickou rovnost a je tedy speciálně Leray Hopfovým řešením a zároveň je jednoznačné ve třídě slabých Leray Hopfových řešení viz [56]). Platí následující dvě důležitá tvrzení, důkaz lze nalézt např. ve skriptech [54]. Věta. Nechť v W, div R3 ). Nechť je v silným řešením Navier Stokesových rovnic. Pak je v tak hladké, jak dovolují data úlohy, v našem případě Cauchyho úlohy s nulovou pravou stranou tedy C, T ) ). Věta. Nechť v W, div R3 ). Pak existuje T = T v W, div R3 ), ν) tak, že na krátkém) časovém intervalu, T ) existuje právě jedno silné řešení Navier Stokesových rovnic. Navíc platí T Cν3 v 4. 4

Obecně není známo, zda je třída slabých řešení třídou jednoznačnosti, vzniká tedy přirozená otázka, za jakých podmínek je obecně slabé řešení regulární a tedy jednoznačné. Uspokojivou odpověď na tuto otázku se snaží poskytnout tzv. kritéria regularity, jejichž hledáním se zhruba posledních deset let intenzivně věnuje celá řada matematiků. Bohužel ne všichni autoři jsou dostatečně obeznámeni s předchozími výsledky a tak nezřídka získají výsledek již dávno známý. Cílem první kapitoly je proto snaha podat co nejúplnější přehled kritérií regularity. V druhé kapitole je pak dokázáno určité zobecnění čtyř dříve dokázaných kritérií regularity. 5

. Nestručný přehled globálních kritérií regularity V této kapitole se pokusíme podat co nejúplnější přehled globálních kritérií regularity pro Navier Stokesovy rovnice ve třech prostorových dimenzích na škále Lebesgueových prostorů. Z důvodu větší přehlednosti záměrně nebudeme uvádět podmínky v jiných prostorech ani ve vyšších prostorových dimenzích.. Podmínky na velikost rychlosti a jejích složek Slavné Prodi Serrinovy podmínky zaručující regularitu pro v L t, T, L s ))), t + 3, s s 3.) mají poměrně zajímavou historii. Nejprve na přelomu 5. a 6. let minulého století pro třídu v L t, T, L s ))), t + 3 s <, s 3.) dokázal Prodi [56] jednoznačnost, na jeho práci navázali Ohyama [49] a Serrin [6], kteří za předpokladu s > 3 dokázali též regularitu řešení. Fabes, Jones a Rivière [] dokázali, že pro hladkost v stačí předpokládat t + 3, s > 3. s Skutečnost, že Prodi Serrinovy podmínky zaručují regularitu i pro s = 3 ukázali Escauriaza, Seregin a Šverák v článku [] teprve na počátku. století převedením problému na zpětnou jednoznačnost rovnice vedení tepla viz také [59]). Díky podmínce div v = je možné relativně snadno ukázat, že splnění tzv. Prodi Serrinových podmínek stačí předpokládat pouze o dvou složkách rychlosti viz např. [], či [5]) v, v L t, T, L s ))), t + 3, s > 3..3) s Vzhledem k tomu, že ve dvou prostorových dimenzích je známa plná regularita Navier Stokesových rovnic, je přirozené hledat kritéria regularity ve tvaru podmínky pouze na jednu složku rychlosti. Ukazuje se, že je to možné nejen pro v 3 L, T, L ))),.4) jak ukázali Neustupa a Penel lokálně pro vhodné slabé řešení v [45] a nezávisle na nich podobnou metodou pro Cauchyho úlohu He v článku [6], ale rovněž pouze pro v 3 L t, T, L s ))), t + 3 s, s > 6,.5) Někdy se uvažované podmínky na památku tohoto článku nazývají Prodi Ohyama Serrinovy podmínky. To lze též formálně vyjádřit jako v 3 L t, T, L s ))), t + 3 s =. 6

viz Neustupa, Novotný a Penel [44] pro vhodné slabé řešení a Zhou [77] pro globální kritérium regularity pro Cauchyho úlohu. Ve všech těchto případech bylo dosaženo potřebných apriorních odhadů studiem rovnice pro vířivost. Novou metodou dosáhli výrazného zlepšení dosavadních výsledků Kukavica a Ziane v článku [3], když dokázali, že globálním kritériem regularity je rovněž podmínka v 3 L t, T, L s ))), t + 3 s 5 8, s > 4 5,.6) přičemž na místo vířivosti zaměřili svou pozornost na roli tlaku, který rozložili a odhadovali po částech. Zatím poslední zcela nový přístup k problému přinesl článek [] autorů Cao a Titi, kteří využívajíce multiplikativní Gagliardo Nirenbergovy nerovnosti ukázali, že stačí předpokládat v 3 L t, T, L s ))), t + 3 s 3 + 3s, s > 7..7) Poznamenejme, že autoři pracovali s periodickými okrajovými podmínkami, ale metodu lze přímočaře převést na globální kritérium regularity a dále si všimněme, že tento výsledek je lepší než.6) předpokládá menší regularitu), ačkoli neodpovídá přirozenému škálování Navier Stokesových rovnic. Podle autorových informací je v současnosti nejlepším výsledkem týkajícím se jedné složky rychlosti práce Zhoua a Pokorného [79], kde je dokázána regularita pro v 3 L t, T, L s ))), t + 3 s 3 4 + s, s > 3..8) Výsledek lze získat též trochu jinou technikou použitou v [78], jak je tamtéž poznamenáno. Na závěr této části připojme ještě jedno anisotropní kritérium Neustupy a Penela z [47], kde je dokázáno jako lokální pro vhodné slabé řešení, které ovšem lze převést na globální a které se týká všech tří složek rychlosti, o nichž se předpokládá následující v 3 L t, T, L s ))), v, v L t, T, L s ))), s, t, + 3, s 3, t s + 3 ) + + 3 ), +, + <. t s t s t t s s. Podmínky na gradient rychlosti a jeho složky Jako první nejspíše uvažoval podmínky na gradient rychlosti Beirão da Veiga, který v [3] dokázal regularitu pro v L t, T, L s ))), t + 3, s [3, )..9) s Tento výsledek je přirozeným rozšířením klasických Prodi-Serrinových podmínek.), z nichž pro s [ 3, 3) použitím Gagliardo Nirenbergovy nerovnosti přímo vyplývá. 7

Podobně jako v případě podmínky na rychlost lze ukázat, že stačí předpokládat viz např. [8]) 3 v, v L t, T, L s ))), t + 3 s, s ) 3,,.) což je opět pro s 3, 3) důsledek.3). V souvislosti s podmínkami na jednu složku rychlosti se objevily též kritéria uvažující gradient jedné složky. Prvním, kdo se tímto problémem zabýval, byl He v článku [6], když předpokládal v 3 L t, T, L s ))), t + 3 s, s 3..) Tento výsledek záhy vylepšili Pokorný [53] a nezávisle na něm Zhou [73], kteří dokázali regularitu pro v 3 L t, T, L s ))), t + 3 s 3, s,.3) viz také [6] pro s=3 a t=4). Poznamenejme, že pro s [, 3) vyplývá kritérium z odpovídající podmínky pro rychlost.5). Dalšího významného vylepšení dosáhli Kukavica a Ziane v článku [3] podobnou metodou, jakou získali kritérium.6), když dokázali, že regularitu implikuje podmínka v 3 L t, T, L s ))), t + 3 s [ 54 6, s 3, 8 ]..4) 5 Všimněme si, že na rozdíl od předchozích případů se pro žádné s o důsledek.6) nejedná. S použitím idey z [] dále pokročili Zhou a Pokorný v [79], kde předpokládali pouze v 3 L t, T, L s ))), a dále velice podobnou technikou v [78] v 3 L t, T, L s ))), t + 3 s t + 3 s { 9 53 + s s 3 9 3 4s s 3, ] 9),, s 9, 54 8 s 53 6 5, s [ 54, ), 4 4s 9 3, s [, 3], 7 4 +, s ] 3, s 3, 3 + 4, s, ]. 3s 3.5).6) Všimněme si, že s vyjímkou s [, 3] podmínky neodpovídají přirozenému škálování Navier Stokesových rovnic. 3 Srovnej též s [4], kde bylo dříve ukázáno totéž pro v, v L t, T, L s ))), t + 3, s [3, ]..) s 8

Kromě gradientu jedné složky lze.9) modifikovat též uvažováním derivace rychlosti pouze v některých směrech. První krok v tomto smyslu učinili Penel a Pokorný v článku [5], kde dokázali regularitu pro ale také pro 3 v L t, T, L s ))), 3 v 3 L t, T, L s ))), a 3 v i L t, T, L s ))), t + 3 s 3, s,.7) + 3, t s s 3 + 3, t s s > 3, i =,, či 3 v 3, v L t, T, L s ))), t + 3 s, s > 3.4.8) Kukavica, Ziane v [3] nicméně ukázali, že ve skutečnosti lze.9) nahradit derivací rychlosti v jednom směru a to dokonce na stejné škále 3 v L t, T, L s ))), t + 3 [ ] 9 s, s 4, 3,.9) konečně Cao [] rozšířil interval možných s následovně 3 v L t, T, L s ))), t + 3 s, s > 7 6..) Penel a Pokorný v článku [5] ukázali kritérium zobecňující v jistém smyslu.9), když uvažovali splnění následujících anisotropních podmínek, pro nějaká α, β, taková, že α + β = 6, 3 v L t, T, L s ))), 3 v L t, T, L s ))), 3 v 3 L t 3, T, L s 3 ))), kde + 3 [ ] 9, s t s 4, 3 + 3 [ ] [ 9 α, s t s + α, 3, α, 5 ),.) α + 3 { β, s 3 max, 3 } ] 3,, β, ]. t 3 s 3 β β V již zmiňovaném článku [5] Penel a Pokorný rovněž podali první kritérium týkající se pouze jedné z devíti složek gradientu rychlosti, konkrétně 3 v 3 L, T, L )))..) Později toto kritérium výrazně vylepšili použitím Gagliardo Nirenbergovy nerovnosti nezávisle na sobě Zhou s Pokorným v článku [79] na 3 v 3 L t, T, L s ))), t + 3 s < 4 5, s > 5 4..3) 4 Toto kritérium prezentoval o několik let později v jiném prestižním časopise rovněž Zhang [7], což jen ilustruje, jak obtížné je se zorientovat v téměř nepřeberném množství různých kritérií regularity. 9

a Cao a Titi [], kteří předpokládali 3 v 3 L t, T, L s ))), t + 3 s 3 4 + 3 s, s >.4) a kteří navíc ve stejném článku přidali následující kritérium pro nediagonální prvky gradientu rychlosti j v k L t, T, L s ))), j k, t + 3 s + 3, s > 3..5) s Poznamenejme, že pro 3 v 3 a s > 3 dává.3) lepší výsledek než.4). Podmínku.4) nedávno rovněž získal Zhang [7] jako speciální případ obecnějšího kritéria, viz.46)..3 Podmínky na tlak Jako první explicitně vyšetřoval roli tlaku ve vztahu k podmíněné regularitě řešení Kaniel v článku [8], když dokázal regularitu pro řešení s tlakem v prostoru p L, T, L s ))), s > 5..6) O několik desetiletí později se k problému vrátil Berselli v článku [8], kde mu stačilo předpokládat p L t, T, L s ))), t + 3 s 9 ) 9 s, s 4, 3..7) Formální aplikací divergence na Navier Stokesovy rovnice s následným použitím Calderón Zygmundovy teorie dostáváme p t,s v t,s, odkud vidíme, že následující kritérium, které dokázali Chae a Lee v [5], implikuje klasické Prodi Serrinovy podmínky.) p L t, T, L s ))), t + 3 ) 3 s <, s,..8) Mezním případem se zabývali Berselli a Galdi v [9], kde dokázali regularitu pro ale také p L t, T, L s ))), p L t, T, L s ))), t + 3 s =, s > 3,.9) t + 3 s = 3, s [ ] 9 7, 3..3) Zhou v [76] zjednodušil důkaz.9) a zároveň odstranil omezení na s v.3), když předpokládal pouze p L t, T, L s ))), t + 3 s 3, s [, ]..3)

Otázka regularity pro p L, T, L 3/ ) )) je dosud otevřená. Kvalitativně nový výsledek přinesl článek [58] Seregina a Šveráka, kteří dokázali regularitu za podmínky, že je tlak p omezený zdola..3) V souvislosti s kritérii na jednu složku rychlosti se objevila také dvě kritéria, týkající se derivace tlaku v jednom směru. Nejprve Cao a Titi v [] předpokládali, 3 p L t, T, L s ))), t + 3 s < 7, s > 6,.33) až se konečně Zhou a Pokorný v [79] dostali pro jistá s ještě blíže optimální podmínce.3), když jim stačilo předpokládat 3 p L t, T, L s ))), t + 3 s < 9 3, s > 3, ]..34) 3.4 Podmínky na vířivost Zajímavou oblastí týkající se podmíněné regularity Navier Stokesových rovnic je otázka role vířivosti rychlostního pole ω = rot v viz např. shrnující článek [7]). Již v roce 984 se analogickým problémem pro Eulerovy rovnice zabývali Beale, Kato a Majda v článku [], kde dokázali regularitu pro ω L, T, L )))..35) Později Beirão da Veiga [3] ukázal, že v případě Navier Stokesových rovnic lze obecněji uvažovat ω L t, T, L s ))), t + 3 ) 3 s, s,,.36) srovnej s.9). Na jeho práci návázali Chae a Choe [4], kteří ukázali, že totéž stačí předpokládat pouze o dvou složkách vířivosti ω, ω L t, T, L s ))), t + 3 ) 3 s, s,..37) Na místo na velikost ω zaměřili v článku [7] Constantin a Fefferman svou pozornost na směr vířivosti ξx) = ωx) a dokázali, že, označíme-li Φx, x + y, t) ωx) úhel, který svírá vířivost v bodech x, t) a x + y, t), dostáváme hladké řešení za podmínky, že existuje K > taková, že platí sin Φx, x + y, t) y ρt), pro ρt) L, T ).38) pro ωx, t) > K a zároveň ωx + y, t) > K. Beirão da Veiga a Berselli v [6] vylepšili kritérium, když předpokládali, že kromě K > existuje α [, ] a funkce gx, t) Lt, T, L s ))), kde t + 3 s = α, [ ] s 6 α,,

taková, že na stejné množině jako výše platí sin Φx, x + y, t) gx, t) y α..39) V článku [74] Zhou rozšířil možné volby α na α [, 3 ). Zhou dále v [75] dokázal propojit podmínky na velikost vířivosti s podmínkami na její směr, když předpokládal splnění následujících dvou podmínek pro nějaké α [, ] sin Φx, x + y, t) c y α, na množině ωx, t) > K ωx + y, t) > K a ω L t, T, L s ))), t + 3 [ 3 s + α, s + α, 3 )..4) α Všimněme si, že pro α = toto kritérium přechází na.36), zatímco pro α = se redukuje na.38), neboť druhá podmínka je pro Leray Hopfovo řešení splněna automaticky. Toto kritérium je tedy přirozeným zobecněním těchto dvou dříve dokázaných kritérií..5 Další kritéria regularity Zajímavé kritérium regularity prezentoval v článku [68] Vasseur, kde uvažoval podmínku na směr rychlosti, konkrétně div v/ v ) L t, T, L s ))), t + 3 s, s [6, ]..4) V článku Seregina a Šveráka [58] je uvedeno kritérium, které zajišťuje regularitu za podmínky, že je veličina v + p omezená zeshora..4) Beirão da Veiga [4] dokázal regularitu za předpokladu, že p + v Lt, T, L s ))), t + 3 s =, s 3, ]..43) Lze nalézt další kritéria uvažující podíl tlaku a rychlosti, viz např.: [5] pro p p + v + v δ. p + v δ, resp., či [48] pro kritérium s veličinou + v δ Kromě výše uvedených kritérií se v literatuře objevují další kritéria regularity uvažující různé kombinace podmínek na různé složky rychlosti a jejího gradientu, vybíráme z nich pouze některá. Penel a Pokorný [5] dokázali regularitu pro slabé řešení, které navíc splňuje v 3 L t, T, L s ))), a zároveň jednu z následujících podmínek t + 3 s, s 3, ]. 3 v, 3 v L t, T, L s ))), t + 3 s, s 3, ],. v, v L t 3, T, L s 3 ))), t 3 + 3 s 3, s [, 3],

3. 3 v L t 4, T, L s 4 ))), v L t 5, T, L s 5 ))), t i + 3 s i, i = 4, 5, s 4 3, ], s 5 [, 3]. Druhou podmínku se podařilo nedávno zeslabit v článku [7] Zhang et. al., kde je dodatečný předpoklad oslaben na ω 3 L t, T, L s ))), t + 3 ] 3 s, s, 3,.44) ve stejném článku je navíc regularita dokázána za splnění podmínek 3 v 3 L t, T, L s ))), ω 3 L t, T, L s ))), + 3 ] 3, s i t i s i,, i =,..45) Poslední kritérium, které v této části uvedeme, je dílem Zhanga [7], který technikou z článku [79] dokázal regularitu pro v 3 L t, T, L s ))), 3 v 3 L t, T, L s ))) + 3 = α, + 3 = β, p < nebo p <.46) t s t s ) s s = /t + 3/8 = 9/4 β 3/8 /t α 3/4 >. Volbou t =, s =, α = 3, β = 3 4 + 3 s dostáváme.4). 3

. Zobecnění několika kritérií regularity Cílem této části je zobecnit čtyři globální kritéria regularity, v nichž je regularita řešení důsledkem lepší integrability jedné složky rychlosti, resp. jejího gradientu. Tyto výsledky budou rozšířeny na případ, kdy předpokládáme odpovídající lepší regularitu jisté projekce rychlosti do obecnějšího vektorového pole, které se může v čase i prostoru měnit, resp. hladkost gradientu této projekce. Nejprve připomeneme některé základní poznatky a uvedeme pomocná tvrzení, která budeme v dalším využívat. Zároveň zde uvádíme klíčový předpoklad omezující možné volby vektorového pole v případě použití zobecněné multiplikativní Gagliardo Nirenbergovy nerovnosti.. Poznatky z teorie prostorů funkcí Lemma. Hölderova nerovnost). Buďte p, q tzv. konjugované exponenty ). + = Nechť f L p R m ), g L q R m ), pak funkce f g p q L R m ) a platí fg f p g q. Lemma 3. Zobecněná Hölderova nerovnost). Buďte p i, i = k,..., k konjugované exponenty, to jest =. Nechť f i L p i R m ), pak funkce f := k f i L R m ) a platí i= i= p i f k f i pi. i= Lemma 4. Youngova nerovnost). Buďte < p, q < konjugované exponenty. Pak pro libovolná nezáporná reálná čísla a, b platí a b ap p + bq q. Často budeme používat výše uvedenou Youngovu nerovnost v následujícím modifikovaném tvaru. Lemma 5. Youngova nerovnost s ε). Buďte < p, q < konjugované exponenty. Pak pro libovolné ε > a libovolná nezáporná reálná čísla a, b platí a b εa p + C ε b q p ε, kde C ε := q p p. Připomeňme ještě dvě tvrzení o interpolacích v Lebesgueových a Sobolevových prostorech viz např.: Kufner, John, Fučík [3] nebo skripta [54]). 4

Lemma 6. Nechť f L p R m ) L q R m ), p < q. Pak je pro libovolné p r q také f L r R m ) a pro α splňující = α + α platí r p q f r f α p f α q..) Lemma 7. Nechť f L p ) W,q ), p <, q < 3. Pak je pro p r 3q také f 3 q Lr ) a existuje konstanta Cp, q, r) taková, že pro α splňující r = α q ) + α 3 p platí f r C f α q f α p. Platí následující lemma o ekvivalenci norem na W, ), jehož důkaz lze nalézt například ve skriptech [54]. Lemma 8. Buď f W, ), pak existují konstanty C a C takové, že platí C f f C f... Multiplikativní Gagliardo Nirenbergova nerovnost Pro zobecnění výsledků z [78] a [79], budeme potřebovat zobecnit následující multiplikativní verzi Gagliardo Nirenbergovy nerovnosti, jejíž důkaz lze nalézt například v prvním dílu Galdiho monografie [3]. Lemma 9. Multiplikativní Gagliardo Nirenbergova nerovnost). Nechť f W, ), pak existuje konstanta C taková, že platí f 6 C f x 3 f x 3 f x 3 3..) V této nerovnosti chceme nahradit normy parciálních derivací na pravé straně odpovídajícími normami projekcí gradientu do obecných, ovšem navzájem ortogonálních směrů. Za tímto účelem zavedeme následující důležitý Předpoklad. Daný vektor bt, x) = b 3 t, x) lze doplnit na ortonormální bázi vektorů {b i t, x)} 3 i= a to tak, že bj t, x) mají v prostoru a čase definované dostatečně hladké) derivace. Pro zjednodušení zápisu budeme dále užívat následující užitečné Značení. v b i t, x) := 3 b i kt, x)v k t, x) = b i t, x) vt, x) k= b it, x) := 3 b i kt, x) k = b i t, x) k= a dále definujme ortogonální matici tenzor) B, kde B ik t, x) = b i k t, x). 5

Fixujme čas t, v každém čase pak pomocí teorie obyčejných diferenciálních rovnic snadno dostaneme tři navzájem ortogonální systémy křivek {ϕ i,x τ i )} 3 i=, takové, že ϕ i,xτ i ) = b i t, x), i =,, 3.3) Díky tomu, že jsou křivky ϕ i,x τ i ) parametrizované obloukem a parametr τ i nabývá všech hodnot z, + ), lze libovolný integrál přes rozepsat jako ) F x)dx = F Φτ ) dτ dτ dτ 3,.4) kde Φ = ϕ τ), ϕ τ), ϕ 3 τ) ). Nyní již můžeme postupovat zcela analogicky jako v klasickém případě, viz např. skripta [4], či monografie [3]. Odhad dokážeme pro hladké funkce, pro funkce z W, ) se pak použije standardní argument s hustotou hladkých funkcí. Lemma. Gagliardo). Nechť f i C R m ), i =,..., m, m, kde f i = f i τ i ). Pak platí m m m f i τ i ) dτ m f i τ i ) dτi. R m i= i= R m Důkaz. Důkaz provedeme pouze pro m =, 3, neboť nás zajímá právě třírozměrný případ, z postupu však bude více méně vidět, že výsledek platí i pro vyšší dimenze. m = Platnost lemmatu pro m = je přímým důsledkem Fubiniho věty m = 3 f τ ) f τ ) dτ = R R f τ ) dτ Použijeme dvakrát Hölderovu nerovnost 3 f i τ i ) dτ dτ dτ 3 = f τ, τ 3 ) i= R f τ, τ 3 ) R f dτ ) R f τ ) dτ..5) ) f f 3 dτ dτ dτ 3 ) f 3 dτ dτ dτ 3 R R f τ, τ 3 ) [ R dτ dτ 3 ) f τ, τ 3 ) dτ R f 3 τ, τ ) dτ ]dτ dτ 3 ) R R g τ 3 ) R g 3 τ ) V podstatě zavádíme křivočaré souřadnice. Používáme symbol pro vynechání, spec. τ i = τ,..., τ i, τ i+,..., τ m ) 6

a pak výsledek pro m = na funkce g, g 3 3 f i τ i ) dτ dτ dτ 3 i= R f τ, τ 3 ) R f τ, τ 3 ) dτ dτ 3 ) dτ dτ 3 ) R f 3 τ, τ ) = dτ dτ 3 ) 3 i= R f i dτi ). Věta 3. Zobecněná multiplikativní Gagliardo Nirenbergova nerovnost). Buď p [, 3), p = 3p. Nechť B splňuje Předpoklad. Pak pro f 3 p C ) platí f p p 3 b if 3 3 p p..6) Důkaz. Důkaz provedeme ve dvou krocích, nejprve tvrzení dokážeme pro p =, pak vhodnou substitucí dostaneme výsledek i pro libovolné p, 3) fx) = fϕ i,x τ i )) = τ i i= d ds f ϕ i,x s) ) ds = = τ i τ i b i t, x) f ϕ i,x s) ) ds = ϕ i,xs) f ϕ i,x s) ) ds τ i b if ϕ i,x s) ) ds, takže fx) b if ϕ i,x s) ) ds, i =,, 3, a tedy fx) 3 R 3 i= R b if ϕ i,x s) ) ) ds. Nerovnost přeintegrujeme přes celé a dostaneme 3 f 3/ 3/ b if ϕ i,x s) ) ) ds dτ dτ dτ 3. i= R Na pravou stranu nerovnosti použijeme Gagliardovo lemma pro funkce f i τ i ) = b if ϕ i,x s) ) ) ds, odkud konečně dostáváme 3 f 3/ 3/ R i= ) 3 bif dx. 7

Pro p, 3) nyní uvažujme funkci f = g γ, kde γ = p. Z předchozího 3 p plyne, že ) g γ 3γ 3 3 ) 3 = g bi g γ 3 dx. Člen na pravé straně nerovnosti upravme pomocí Hölderovy nerovnosti ) p bi g γ dx γ g γ γ b ig dx γ g p p p dx big p dx Celkem tedy g ) 3γ 3 γ díky naší volbě γ máme ekvivalentně ) 3p 3 p g 3 p 3 p i= ) p γ g p p p dx odkud vydělením dostáváme žádaný výsledek.. Členy nižšího řádu ) p 3p p g 3 p dx 3 b ig 3 p, i= 3 b ig 3 p, i= ) p. Uvedeme ještě několik tvrzení o chování členů tzv. nižšího řádu, tedy členů obsahujících derivace koeficientů B. V následujícím používáme Einsteinovu sčítací konvenci. Lemma. Per partes). Nechť v, w W, ), pak platí biv) wdx = biv) wdx + Z,.7) kde Z = div b i )v wdx. Důkaz. Důkaz je snadné cvičení. Lemma. Nechť v, w W, ), nechť navíc div v =. Pak platí v bj bjw) wdx =..8) Důkaz. Důkaz spočívá v jednoduchém výpočtu. j v bj bjw wdx = v bj bk kw wdx = = j k bk bj l v }{{} l ) w dx = =δ kl j bk v b j k w dx k v k w dx = 8

Následující lemma ukazuje, že derivace ve směru, který se v prostoru mění, se sice nechová zcela analogicky jako obyčejná parciální derivace, ovšem chybu tvoří členy nižšího řádu. Lemma 3. Nechť v, w W, ), nechť navíc div v =. Pak platí. b k b iv = b i b kv + J i + J k, kde J j dx b j v dx.9). b jv b j = J, kde J dx b j v dx.) 3. b j l v = l b jv + J j, kde J j dx b j v dx..) Důkaz. Důkaz všech tří tvrzení spočívá ve velmi jednoduchém výpočtu.. b k b iv =b k j j b i m m v ) = b k j j b i m) m v + b i mb k j m j v) + b i m m b k j j v b i m m b k j j v = b i b kv + b kb i m) m v m v b ib k m). 3. b jv b j = b j l l b j k v ) k = b j l bj k }{{ lv } k +b j l lb j k )v k = b j l lb j k )v k = b j l v = b j k k l v = b j k l k v = l b j k kv) l b j k ) kv = l b jv) l b j k ) kv Lemma 4. Nechť v a B jsou dostatečně hladké, pak platí: v b k v + v b k.) b iv b k b iv + v b k.3) b iv b k b iv + v b k + v b k + b k b i ).4) Důkaz. Jedná se o jednoduchý výpočet, proto dokážeme pouze třetí nerovnost, která není na první pohled zřejmá. b iv b k = b ib k j v j ) = b k j b iv j ) + b ib k j )v j ) =b k j b iv j ) + b k j ) b iv j + b ib k j ) v j ) + b i l l b k j )v j =b k j b iv j ) + b k j ) b iv j + b ib k j ) v j ) + b i l) l b k j v j + b i l l b k j )v j.5) 9

.3 Dvě kritéria vycházející z rovnice pro vířivost Cílem této části je zobecnit dvě globální kritéria regularity vycházející z apriorního odhadu, jehož základní idea tkví v testu rovnice pro vířivost rychlosti samotnou vířivostí. Nejprve zobecníme výsledek o složce rychlosti, který získali J. Neustupa, A. Novotný a P. Penel [44] a nezávisle na nich Y. Zhou [77]. Poté stejnou technikou rozšíříme výsledek o gradientu jedné složky z článků M. Pokorného [53] a Y. Zhoua [73]. Pro jednoduchost budeme dále kromě f = předpokládat také ν =, velikost viskozity totiž nebude v našich úvahách hrát žádnou roli..3. Jedna složka rychlosti Uveďme zde pro úplnost znění původního kritéria Věta 4. Nechť v je slabé Leray Hopfovo řešení Navier Stokesových rovnic odpovídající počáteční podmínce v W, div R3 ). Nechť navíc existuje jedna složka rychlosti splňující v L t, T, L s ))), t + 3 s, 6 < s. Pak je v silným řešením Navier Stokesových rovnic na intervalu [, T ]. Označme Y := L L ) L W, ). 3 Budeme pracovat s hladkým řešením na maximálním intervalu existence [, T ) a ukážeme, že T T. Nejprve z rovnice pro vířivost rychlosti odvodíme v Lemmatu 5) odhad na b ω v normě prostoru Y, poté otestujeme Navier Stokesovy rovnice v, odkud s využitím prvního testu získáme potřebný odhad na normu v. Lemma 5. Nechť v je hladké řešení Navier Stokesových rovnic odpovídající počáteční podmínce v W, div R3 ). Nechť navíc existuje vektor bt, x) dost hladký tak, že v b := b v L t, T, L s ))), t + 3 s, s > 6. Pak ω b := b ω splňuje následující odhad na normu ω b Y ω b, + ω b, C + C v Y..6) Důkaz. Případným vhodným zmenšením t lze vždy dosáhnout toho, že t + 3 s =. Aplikujeme-li na rovnici ) operátor rotace ), dostáváme: Přenásobme každou rovnici b i t, x). ω i t + v ω i = ω v i + ω i, i =,, 3 b i ω i t + b iv ω i = b i ω v i ) + ω i )b i 3 V dalším značíme normy v Bochnerových prostorech následovně f Lt L s ) = f t,s.

Posčítejme 3, přenásobme ω b = 3 b i ω i a upravujme postupně jednotlivé členy. i= Celkem tedy dostaneme i= ω i ω b b i t = ω ω b b t ω b i b t ω i b i v ω i )ω b = v ω b )ω b v b i )ω i ω b b i ω v i )ω b = ω v b )ω b ω b i )v i ω b ω i )b i ω b = ω b b i ω i ω i b i ) ω b ω b t ω b + v ω b ω b = ω v b ω b + ω b ω b + další členy nižšího řádu, speciálně na pravé straně b i + ω i t ω b + ω i v b i )ω b v i ω b i )ω b b i ω i ω b ω i b i )ω b. }{{} =I Integrací přes celý prostor s použitím per partes dostáváme: d dt ω b + ν ω b v ω b ω b dx + ω v b ω b dx + Idx R } 3 {{ } = ω v b ω b dx ω b ω i v b dx x i ε ω b + C ε ω v b dx ε ω b + C ε v v b dx v b v dx v b s v s s v b s v s v s 4 K v b s v 6 s v 6 s v =K v b s v 4 t v 6 s v Odhadujme zbývající členy nižšího řádu I: ω b i i t ω b v i ω b i )ω b + ν b i ω i ω b + ω i b i ) ω b + ω i v b i )ω b dx C ε v [ b t 3 ] + b 3 + b + 3ε ω b + b ω v ω b dx

Poslední integrál lze odhadnout pomocí Hölderovy nerovnosti, interpolace a Youngovy nerovnosti následovně b Celkem tedy máme ω v ω b dx b v v 3 ω b 6 ɛ ω b + C ε b v v 3. d dt ω b + δ) ω b K v b s v 4 t v 6 s v + C ε b) v + v 3 ). Integrujme nerovnost přes čas = pak t dτ, s použitím Hölderovy nerovnosti t + 3 s + d dt t ω b τ) dτ + δ) ω b, C ε b) t v b s v 4 t v 6 s v + v dτ + t v 3 v dτ. Poslední integrál lze odhadnout díky interpolační nerovnosti následovně t v 3 v dτ v 4, v 4,3 v, v 4,3 v,. Připomeňme, že z energetické nerovnosti máme pomocí počáteční podmínky odhad na normu v v prostoru L, T, W, div R3 ))) a díky interpolaci také v prostoru L 4, T, L 3 )) 3 ). d dt t ω b τ) dτ + ν δ) ω b, [ ] C ε b) v b t,s v 4 t, v 6 s, + v, odkud plyne závěr lemmatu 4 t + 6 s = ). + C ε b) v, v 4,3 v,,

Věta 5. Nechť v je slabé Leray Hopfovo řešení Navier Stokesových rovnic odpovídající počáteční podmínce v W, div R3 ). Nechť navíc existuje bt, x), b L, T, L ))), b t, b L, T, L 3 ))), bt, x) odražená od nuly tak, že v b t, x) := bt, x) vt, x) L t, T, L s ))), t + 3 s, 6 < s. Pak v je silným řešením Navier Stokesových rovnic na intervalu [, T ]. Důkaz. Bez újmy na obecnosti lze předpokládat, že bt, x), jinak bt, x) nanormujeme. Pak pro každé t, T ), x existuje alespoň jedna složka b j t, x) taková, že b j t, x) >. Vektorová funkce bt, x) je dle předpokladu na, T ) spojitá, takže množiny Ω r,t = { x b r t, x) > } a Ωr+3,t = { x b r t, x) < }, r =,, 3 dohromady tvoří v každém čase pokrytí šesti otevřenými množinami {Ω r,t } 6 r=. Pro zjednodušení zápisu dále označme b r+3 := b r, r =,, 3. Použitím rozkladu jednotky viz např. [3]) získáme funkce ϕ r,t C Ω r,t ), ϕ r,t x) navíc takové, že r ϕ r,t =. Na každé množině Ω r,t budeme testovat jinou testovací funkcí následující ekvivalentní tvar Navier Stokesových rovnic ) v ν v = ω v p + ) t v..7) Postup ukážeme na Ω,t, kde použijeme testovací funkci l ϕ,t b l v) sumační konvence). Vlastně testujeme 6 l ϕ r,t b r l v) na celém.) Upravme jednotlivé členy. Ω r= v t lϕ,t b l v)dx = v l ϕ,t b l v)dx = Ω k Ω Ω Ω p + ) v l ϕ,t b l v k )dx = Ω t lv ϕ,t b l vdx 4 ϕ d,t dt v dx v ϕ,t b l l v + l ϕ,t b ) l v) dx ϕ,t v dx + l Ω v l ϕ,t b ) l vdx =Z p + v ) k ϕ,t b l v k )dx Ω = Ω Ω l p k ϕ,t b ) l v k dx =Z + l v k ϕ,t b ) l v k dx Ω } {{ } =Z 3 3

Ω ω v) l ϕ,tb l v) dx = Ω ϕ,t b ω v) vdx Ω ω v) l ϕ,t b ) l vdx }{{} =Z 4 Výraz na pravé straně rozepišme a přičtěme a odečtěme vhodné výrazy. Tedy b ω v) v = b ω v 3 v b ω v 3 v +b ω v v 3 b ω 3 v v +b ω 3 v v b ω v v 3 +b ω v 3 v b ω v 3 v +b 3 ω v 3 v 3 b 3 ω v 3 v 3 b ω 3 v v +b ω 3 v v b 3 ω 3 v v 3 +b 3 ω 3 v v 3 +b 3 ω 3 v 3 v +b ω v v 3 b 3 ω 3 v 3 v b ω v v 3 b ω v) v =ω v 3 v b ω 3 v v b +ω b v v 3 ω b v 3 v +ω 3 v b v ω 3 v b v + členy nižšího řádu I 4, I 5 ). Pozorování. Pokud by byl vektor bt, x) konstantní v prostoru, pak výše uvedená rovnost platí bez dodatečných členů nižšího řádu, vzniklých zanedbáním derivací bt, x) tedy použitím následující identity ϕ,tω l v m )b l v n dx = Ω Ω ϕ,tω l v m ) b l v n )dx Ω ϕ,t ω l v m )v n b l + ϕ,t v n b l ω l v m )dx. Nyní posčítejme r =,..., 6, dostáváme 4 d dt v dx + v dx 6 Z + Z + Z 3 + Z 4 + CI 4 + CI 5 ) + r= 3 ε ijk I + I + I 3 ),.8) i= kde 4

ω k v b v j dx, I = ω b v j v k dx, I 4 = I = R 3 R 3 I 3 = R 3 I 5 = v ϕ r,tb) ω v dx, Z = R 3 R 3 Z = l p k ϕ r,tb r ) l v k dx, Z 3 = R 3 Z 4 = ω v) l ϕ r,tb r ) l vdx. ω j v k v b dx, ω v ϕ r,t b) dx, v l ϕ r,tb r ) l vdx, l v k ϕ r,t b r ) l v k dx, Odhady integrálů I, I, I 3 provedeme analogicky jako v [77], pouze v případě I poněkud přímočařeji. t I =ε jmn t I dτ C t ε v, + ω k v b v j dxdτ t v b s ω k s 3 s ω k 3 s v j dτ t C ε v b s s 3 s v dτ ε v, + C εt ) v b s s 3 t,s v, m v n v k v b dx = ε jmn v b s ω k s v j s dτ m l v n v k l v b dx ε jmn t = s ) s 3 m v n l v k l v b dx = ε jmn m l v n v k v b,ldx +ε jmn m l v n l v k v b dx +ε jmn l l v k m v n v b dx J J J 3 J m l v n v k l v b dx ε v + K ε ε v K ε v b l l v b v kdx K ε v k l v b ) dx ).9) v b l v b l v k dx 5

Odhadujme první integrál na pravé straně nerovnosti.9). t t v b l l v b vkdxdτ b v v b v dxdτ R } 3 {{} J t + b v v b v dxdτ t + b v b v 3 dxdτ J J 3 J t K Díky 4s/s+6) + 3 3s/s 3) = 3 v v b s v 4s dτ s t v v b s v 3s v s 3 6 dτ K v, v b t,s v 4s s+6, 3s s 3 můžeme použít interpolaci v 4s s+6, 3s s 3 v,6 Cs) v s 6 s, v 3 s 3 s, a s použitím Youngovy nerovnosti a energetické nerovnosti dostáváme J ε v, + K ε v b t,s v,. Odhadněme členy nižších řádů J a J 3. Máme t J t v b s v b v 4s dτ s v b s v b v 3s v s 3 6 dτ v b t,s v, b, v 4s s+6, 3s s 3 K v b t,s v,, v,6 t J 3 C t v b s v 6 v 3s s 3 b 3 dτ v b t,s v, v 4s s+6, 3s s 3 K v b t,s v,, 6 b,3 dτ

kde jsme v obou případech použili Hölderovu nerovnost v prostoru a čase + + s+6 = ), předpokladů kladených na bt, x) a odhadu z energetické nerovnosti na normu řešení v v prostoru L 4s 3s t 4s s+6, T, L s 3 )) 3 ). Odhadujme nyní poslední integrál z nerovnosti.9). t v b l v b l ) v k dxdτ t v b v v b dxdτ =J 4 t + v b b v v dxdτ J 5 =J J 4 C Z interpolace t v t t, 3s s 3 v b s v 3 v 3s dτ C v b s 3 t,s v 4,3 v t t, 3s s 3 K v /t, v t )/t,6 a v 4,3 K v, v, a Youngovy nerovnosti plyne t ) v b l v b l v k dxdτ ε v, + C ε v b t,s v,, což dohromady dává odhad na J ve tvaru t ) J dτ 3ε v, + C ε v b t,s + v b t,s v,. Dále t t J + J 3 dτ t t l m v n l v k v b dx + v v b s v s dτ s C v b s v s 3 s v 3 s v dτ ε v, + C ε v b t,s v,, l l v k m v n v b dxdτ 7

t t I 3 dτ t ω b v j v k dxdτ ε v, + C ε ε v, + C ε v,3 ω b,6. v 3 ω b 6 dτ Díky v,3 v, v,6 C v, a odhadu.) dostáváme { v,3 ω b,6 C v, K v b t,s v 4 t, v 6 s, + C ɛ b) + C v, v, v 4,3 C v, + C v b t,s v + 4 t, v 6 s, + K v 3, v, v 4,3. Youngova nerovnost dává 3 + t+4 = ) s t ) v,3 ω b,6 ε + v 8 3 4,3 + v b 4t t+4 v, + K. Konečně odhadněme zbylé členy nižšího řádu, obsahující derivace bt, x). t,s } t t I 4 dτ t ω v ϕ r,t b) dxdτ v 6 v 3 v 6 ϕ r,t b) 3 dτ t ε v, + C ε v v 3 ϕ r,tb) 3 dτ ε v, + C ε v, v 4,3 ϕ r,tb) 4,3 t t Z dτ v ϕ r,tb) v dxdτ ε v, + C ε v, ϕ r,tb), t t I 5 + Z + Z 3 + Z 4 dτ C v ϕ r,tb) ω v + l p k b r l v k + l v k b r l v k + ω v) l b r l v dxdτ t v 6 v v 3 b + ) dτ ) C v, v, v 4,3 b 4, + T ε v, + C ε v, v 4,3 8

Dejme dohromady odhady pro I až Z 4 : ν δ) 4 v, + v, ε + K v b t,s + K v 8 3 4,3 +K 3 v b 4t t+4 t,s + K 4 v b t,s + K 5b) v 4,3 + K 6 ϕ r,t b), ) v, + K.) Vhodnou volbou parametru ε a tedy δ a délky integračního intervalu [, t ] lze dosáhnout toho, že ε + K v b t,s + K v 8 3 4,3 + K 3 v b 4t t+4 t,s + K 4 v b t,s ) +K 5 b) v 4,3 + K 6 ϕ r,t b), < 4 na, t ). Dosazením tohoto vztahu do.) dostaneme v, + v, Cv ) na, t ). vt ) lze pak uvažovat jako novou počáteční podmínku pro Navier Stokesovy rovnice a celý předchozí postup opakovat. Díky nezávislosti konstant na integračním intervalu dosáhneme po konečném počtu kroků času T. 9

.3. Gradient jedné složky rychlosti V této části zobecníme výsledek z [53], [73] týkající se regularity zajištěné podmínkou na gradient jedné složky. Technika použitá v důkazu je do značné míry stejná jako v části předchozí, proto budeme v tomto případě postupovat poněkud rychleji. I zde však připomeneme původní výsledek, včetně základní myšlenky důkazu. Věta 6. Nechť v je slabé Leray Hopfovo řešení Navier Stokesových rovnic odpovídající počáteční podmínce v W, div R3 ). Nechť navíc existuje jedna složka rychlosti splňující v L t, T, L s ))), + 3 3, s. Pak je v t s silným řešením Navier Stokesových rovnic na intervalu [, T ]. Idea důkazu. Vezmeme hladké řešení na maximálním intervalu existence [, T ) a ukážeme, že T T, neboť předtím nemůže nastat blow-up. Nejprve odhadneme jednu složku vířivosti ω, poté celý v. Členy nižšího řádu navíc odhadneme díky tomu, že Leray Hopfovo řešení splňuje v L t, T, L s ))), t + 3 s 3, s 6. Lemma 6. Nechť v je slabé Leray Hopfovo řešení Navier Stokesových rovnic odpovídající počáteční podmínce v W, div R3 ). Nechť navíc existuje vektor bt, x) dost hladký tak, že v b := b v = 3 b i v i splňuje v b L t, T, L s ))), + 3 3 s. t s Pak ω b := 3 b i ω i splňuje následující odhad na normu ω b Y i= i= ω b, + ω b, C + C ω Y..) Důkaz. Ekvivalentní tvar Navier Stokesových rovnic.7) přenásobme skalárně s bt, x). b i ω i t + b iv ω i = b i ω v i ) + ω i )b i Přenásobením ω b = 3 i= b iω i dostáváme ω b t ω b + v ω b ω b = ω v b ω b + ω b ω b + další členy nižšího řádu, speciálně na pravé straně b i + ω i t ω b + ω i v b i )ω b u i ω b i )ω b b i ω i ω b ω i b i )ω b. }{{} =I Integrací v prostoru s použitím per partes dostáváme d dt ω b + ν ω b v ω b ω b dx + ω v b ω b dx + R } 3 {{ } = Idx. 3

K danému s jistě existují p 6, q 3 taková, že + + =. s p q Navíc k takto zvolenému p existují s 6, q 3 splňující rovněž s + + =,.) p q tyto exponenty použijeme pro odhad členů nižšího řádu. Pro s 6 lze brát s = s a q = q. ω v b ω b dx v b s ω b p ω q 6 p p v b s ω b ε ω b + C v b 3p 6 p 6 q q ω b 6 ω ω 4p 6+p s 3q 6 q 6 ω p 6 q q 6+p ω p 3q 6 q 6+p 6 ω b 6 p 6+p, kde jsme postupně použili Hölderovu nerovnost, interpolaci a Youngovu nerovnost. Odhadujme zbývající členy nižšího řádu I analogicky jako hlavní část, ovšem s použitím s, q a p následovně [ I [ ω b i i t ω b v i ω b i )ω b ν b i ω i ω b ω i b i )ω b + ω i v b i )ω b dx ) b ω t + b + b v ω b dx + ω b ω b dx, R } 3 {{ } R } 3 {{ } =I =I v s b + v s b + b t b t ] + ν b s ω b p ω q s ] 6 p 3p 6 6 q p p q + ν b s ω b ω b 6 ω ω s 3 q 6 q 6 ε ω b [ ] 4p + C v s b + b 6+p + ν b s ω p q 6 q 6+p ω p q 3 q 6 6+p 6 ω b 6 p 6+p t s Poslední integrál odhadneme obdobně I = ω b ω b dx ω b p ω b p p Celkem tedy máme ω b p p 6 p p ω b ω b ε ω b + C ω 6+p b 4p 3p 6 p 6 4p 6+p p p ω b 6 p 6+p. d dt ω b + ν δ) ω b 4p C v 6+p b s ω p 6 q q 6+p ω p 3q 6 q 6+p 6 ω b 6 p 6+p [ ] 4p + C v s b + b 6+p + ν b s ω p q 6 q 6+p ω p q 3 q 6 6+p 6 ω b 6 p 6+p t s 3..

Poznamenejme, že pro p 6 je 6 p 6+p a tedy díky d ω dt b ω b 6 p 6+p = K d dt ω b 4p 6+p 4p 4p 6+p 6+p ω b t) ω b ) + C ω 4 p q +C ω 4 p q což je t 3 q 6+p, [ v s b +, 3 q 6+p b t t v b 4p 6+p s ] 4p + ν b s s ω b, C + C ω Y, p 3q 6 6+p 6+p ω ω p q 6 dτ 6+p p ω 6+p 3 q 6 6+p ω p q 6 dτ, odkud zpětným dosazením do výpočtu výše již závěr lemmatu snadno plyne. Věta 7. Nechť v je slabé Leray Hopfovo řešení Navier Stokesových rovnic odpovídající počáteční podmínce v W, div R3 ). Nechť navíc existuje vektor bt, x) :, T ) R b L, T, L ))), b t, b L 6, T, L s ))) viz.)), b L 6, T, L ))), navíc bt, x) odražená od nuly tak, že v b := b v splňuje v b L t, T, L s ))), t + 3 s 3, s. Pak v je silným řešením Navier Stokesových rovnic na intervalu [, T ]. Důkaz. Nyní budeme postupovat úplně stejně jako v případě jedné složky. Lze předpokládat b, takže množiny Ω r,t = { x b r t, x) > } a Ωr+3,t = { x b r t, x) < }, r =,, 3 tvoří v každém čase pokrytí otevřenými množinami {Ω r,t } 6 r=. Použitím rozkladu jednotky získáme funkce ϕ r,t C Ω r,t ), ϕ r,t x) takové, že r ϕ r,t =. Na každé množině Ω r,t budeme testovat jinou testovací funkcí. Postup ukážeme na Ω,t, kde použijeme testovací funkci l ϕ,t b l v) sumační konvence). Vlastně testujeme 6 l ϕ r,t b r l v) na celém.) Upravme jednotlivé členy. Ω r= v t lϕ,t b l v)dx Ω 4 ϕ d,t dt v dx Ω v l ϕ,t b l v)dx Ω ϕ,t v dx + 3 Ω v l ϕ,t b ) l vdx =Z

Ω k p + v ) l ϕ,t b l v k )dx = Ω l p k ϕ,t b ) l v k dx =Z + l v k ϕ,t b ) l v k dx Ω } {{ } =Z 3 Ω ω v) l ϕ,tb l v) dx = + Ω ϕ,t b ω v) vdx Ω ω v) l ϕ,t b ) l vdx }{{} =Z 4 Výraz na pravé straně rozepišme a přičtěme a odečtěme vhodné výrazy. Tedy b ω v) v = b ω v 3 v b ω v 3 v +b ω v v 3 b ω 3 v v +b ω 3 v v b ω v v 3 +b ω v 3 v b ω v 3 v +b 3 ω v 3 v 3 b 3 ω v 3 v 3 b ω 3 v v +b ω 3 v v b 3 ω 3 v v 3 +b 3 ω 3 v v 3 +b 3 ω 3 v 3 v +b ω v v 3 b 3 ω 3 v 3 v b ω v v 3 b ω v) v =ω v 3 v b ω 3 v v b +ω b v v 3 ω b v 3 v +ω 3 v b v ω 3 v b v + členy nižšího řádu. Pozorování. Pokud by byl vektor b konstantní v prostoru, pak výše uvedená rovnost platí bez dodatečných členů nižšího řádu, vzniklých zanedbáním derivací b a ϕ,t. Nyní posčítejme r =,..., 6, dostáváme 4 d dt v dx + v dx 6 Z + Z + Z 3 + Z 4 + CI 4 + CI 5 ) + r= 3 ε ijk I + I + I 3 ),.3) i= 33

kde I = ω k v b v j dx, I = R 3 I 3 = ω b v j v k dx, I 4 = R 3 I 5 = v ϕ r,tb) ω v dx, Z = R 3 Z = l p k ϕ r,tb r ) l v k dx, Z 3 = R 3 Z 4 = ω v) l ϕ r,tb r ) l vdx. ω j v k v b dx, ω v ϕ r,t b) dx, v l ϕ r,tb r ) l vdx, l v k ϕ r,t b r ) l v k dx, Odhady integrálů provedeme podobně jako v citovaných článcích. I ω k v b v j dx v b 3t ω j 6t v t t+ C v b s v ω t v t t t I dτ C v b s v ω t v t dτ ε v, + C ε t v b t s v dτ I = ε jmn m v n v k v b dx =ε jmn m l v n v k l v b dx ε jmn m v n l v k l v b dx J J J ε v + C ε v v b dx V odhadu integrálu na pravé straně nerovnosti budeme rozlišovat dva případy: Pro s 3 máme v v b dx v b s v s s v b 4s 6 s v s v 6 s s ε v + C ε v b s s 3 s v, 34

zatímco pro s > 3 v v b dx v b 6s Dále díky 5s 6 3 s Navíc 5s 6 s 6 a můžeme interpolovat v 5s 6 3 s v b 4s 5s 6 C v 4s 5s 6 v 6s v 5s 6. v b 4s 5s 6 v + v b ) 4s 5s 6, takže dohromady s použitím Youngovy nerovnosti v v b dx C v b 6s 5s 6 s v 4s 5s 6 Odhad J i I 3 provedeme analogicky jako v [53] J v b s v s s 3 5s 6 s v + K b) ). ε v + C ε v b s s 3 s v, I 3 v ω b 3 v 6 ε v + ε ω b 4 3 + C ε v 4. Konečně odhadněme členy nižšího řádu, obsahující derivace bt, x). I 4 ω v ϕ r,t b) dx v 6 v v 6 ϕ r,t b) 6 ε v + C ε v v ϕ r,tb) ) 6. Z v ϕ r,tb) v dx I 5 + Z + Z 3 + Z 4 ε v + C ε v ϕ r,tb) v ϕ r,tb) ω v + l p k b r l v k + l v k b r l v k + ω v) l b r l v dx C v 6 v v 3 b + ) ε v + C ε v v 3 b + ) ε v + C ε v v 4 3 + b 4 + ) 35

Dejme dohromady odhady pro I až I 5 v, + δ) v t ε, + C ε t { gs) v b s s 3 s ω b 4 3 dτ K b) + v b s s 3 s } + b 6 + v 4 3 + b 4 + v v dτ, kde gs) =, pro s 3, gs) =, pro s > 3. Z Lemmatu 6 dostáváme t a aplikací Gronwallovy nerovnosti ω b 4 3 dτ C + C v Y v, + v, Cv, v b t,s ). 36

.4 Další dvě významná kritéria regularity V následujících řádcích se zaměříme na zobecnění dvou kritérií, která těží z propojení myšlenky odhadů na h v = v, v) a 3 v, poprvé uvedené v článku [3] od dvojice Kukavica, Ziane; spolu s multiplikativní Gagliardo Nirenbergovou nerovností, jak ji použili Cao a Titi v []. Jedná se o výsledky M. Pokorného a Y. Zhoua z článku [79], resp. [78]. Připomeňme a rozšiřme značení zavedené v první kapitole: 3 v b i := b i kv k = b i v b i := k= 3 b i k k = b i k= b b := b Pro zjednodušení zápisu odhadů členů nižšího řádu jsme zavedli ortogonální maticitenzor) B, kde B ik = b i k, pod B dále rozumíme matici 3 3 3) sestávající ze všech derivací všech b i k tedy prvků jb i k, B značíme matici 3 3) t obsahující prvky bi k a tak dále... t K pomocným tvrzením z části o členech nižšího řádu připojme nyní ještě jedno užitečné lemma, které je přímou analogií Lemmatu. z článku Kukavica, Ziane [3], a které v podstatě odráží skutečnost, že ve dvou prostorových dimenzích pro v W, div R ) W, R ) platí v v) vdx =. R Lemma 7. Nechť v W, div R3 ) W, ), B tvoří ve všech bodech prostoru ortonormální bázi. Pak ) v bm bmv bj k b i k b i l l v b j dx = b3v b3 bjv bi bjv bi dx i,j,m= ) i,j= b3v b3 bv b bv bdx + kde Z C B v Bv) bbv) dx. Důkaz. Integrujme levou stranu per partes i,j,m= = v bm bmv bj k i,j,m= ) b i k b i l l v b j dx + biv bm bmv bj biv bj dx I 37 b3v b3 bv b bv bdx i,j= v b3 b3 bjv bi )dx + Z, i,j,m= v bm bi bmv bj biv bj dx. I