LOŠNÉ INTEGRÁLY V praxi se vyskytuje potřeba integrovat funkce nejen podle křivých čar, ale i podle křivých ploch (např. přes povrch koule). uzavřená hladká kraj
LOCHY lochy v prostoru, které byly zatím hlavně používány, byly grafy funkcí dvou proměnných. To je, stejně jako u křivek, speciální případ zadání parametricky, nebo speciální případ zadání funkcí tří proměnných (tj., jako množina bodů splňujících rovnost g(x, y, z) = 0 pro nějakou spojitou funkci g, obvykle mající spojité parciální derivace). uzavřená hladká kraj
locha je množina {(ϕ(u, v), ψ(u, v), τ(u, v)); (u, v) I}, kde ϕ(u, v), ψ(u, v), τ(u, v) jsou reálné spojité funkce definované na nějakém omezeném intervalu I v rovině. ředchozí se nazývá uzavřená, jestliže I je uzavřený a všechny body z hranice I se zobrazí do jediného bodu. uzavřená hladká kraj
Kulová je uzavřená, povrch kvádru je uzavřenou plochou, graf funkce dvou proměnných není uzavřenou plochou. Necht 1, 2 jsou zadané na intervalech I 1, I 2 resp., které mají společnou jednu svou stranu. Spojení ploch 1, 2 je pak jejich sjednocení definované na I 1 I 2. Značí se 1 + 2. Indukcí lze tento pojem zavést pro spojení konečně mnoha ploch. Např. povrch kvádru vznikne postupným spojením všech obdélníků této. locha zadaná parametry ϕ(u, v), ψ(u, v), τ(u, v) na intervalu I se nazývá hladká, jestliže platí: 1. funkce ϕ, ψ, τ mají spojité první parciální derivace na I; 2. pro každé (u, v) I má matice ( ϕ u ϕ v ψ u ψ v hodnost 2; 3. každý bod je obrazem jediného bodu (u, v) I s jedinou možnou výjimkou: obrazy bodů z hranice I mohou splývat. Kraj se někdy nazývá hranice, ale pak je nutné odlišovat hranici v R 3 (to je obvykle celá ) a hranici, která se tu nazývá kraj. ro představu si vezměte kruh, jakkoli položený v prostoru, třeba i zvlněný. Je jasné, co znamená kraj tohoto obrazce. řesná definice je dost komplikovaná a nebude zde uváděna. V případech zde používaných bude intuitivně jasné, co kraj znamená. τ u τ v ) uzavřená hladká kraj
locha s prázdným krajem je totéž, co uzavřená. o částech hladká je spojení konečně mnoha hladkých ploch. říkladem je povrch krychle nebo válce, nebo,,leporelo",,,sněhulák" nebo lemniskata vynásobená úsečkou. ovrch krychle nebo válce, i,,sněhulák", jsou příklady po částech hladké uzavřené. Každá je parametricky zadaná reálnými spojitými funkcemi ϕ(u, v), ψ(u, v), τ(u, v), které jsou definované na nějakém omezeném intervalu I v rovině, přičemž ϕ(u, v), ψ(u, v), τ(u, v) mají spojité parciální derivace všude v I kromě konečně mnoha úseček. o částech hladká, parametricky zadaná zobrazením Φ na uzavřeném intervalu I, se nazývá jednoduše uzavřená jestliže Φ je prosté na vnitřku I, konstantní na hranici I s hodnotou různou od hodnot na vnitřku I. Jednoduše uzavřená rozděluje prostor na dvě souvislé části, jednu omezenou, zvanou vnitřek (značení ι ) a druhou neomezenou. Orientace znamená, že lze mluvit o dvou stranách, jedna se označí za kladnou a druhá za zápornou. uzavřená hladká kraj
Je-li orientována, normála vždy sme r uje nad kladnou stranu. U jednoduše uzavr ených ploch, pokud není stanoveno jinak, se za kladnou stranu bere vne jší strana a normála tedy sme r uje ven, nikoli dovnitr. U grafu funkcí dvou prome nných se za kladnou stranu bere horní strana. Orientace hladké znamená, že v každém jejím bode je urc en sme r normály a to spojitým zpu sobem: jestliže pu jdete po jednoduše uzavr ené kr ivce na dané ploše, musíte dojít do výchozího bodu ve stejné poloze. Je-li orientovaná kr ivka C c ástí kraje orientované, r íká se, že obe orientace jsou souhlasné, jestliže pr i chu zi po kr ivce v kladném sme ru a po kladné strane, máte plochu po levé strane. uzavr ená hladká kraj po c ástech hladká jedn.uzavr ená sme rové kosiny te žište desky r íklady Cvic ení Uc ení
Nebude-li řečeno jinak, bude se vždy předpokládat, že a jejich kraje jsou orientovány souhlasně. Musí se dávat pozor při orientaci po částech hladkých ploch, protože ve styčných hranách obecně neexistují normály. Necht jsou jednotlivé spojované orientovány a necht jejich kraje jsou uzavřené křivky, které jsou orientovány souhlasně s příslušnými mi. ak je celá orientována, jestliže části krajů, které se stýkají (právě dvě) jsou navzájem orientovány opačně. 1 1 1 uzavřená hladká kraj
LOŠNÉ INTEGRÁLY 1.DRUHU Myšlenka výpočtu integrálu funkce f : R na ploše je podobná jako u křivkového integrálu 1.druhu. omocí určovacích parametrických funkcí se,,narovná" a spočítá se integrál přes podmnožinu roviny. Ono narovnání je trochu složitější než u křivek. Tam bylo nutné příslušnou funkci vynásobit faktorem který odpovídal změně délky při narovnání křivky (od ds se přešlo k dx). Stejně tak u je třeba použít faktor, který udává změnu velikosti křivé při narovnání. V bodě (x, y, z) se velmi malá ploška ds okolo tohoto bodu dá považovat za rovinnou a zjistí se poměr její velikosti ku poměru jejího průmětu, např. do roviny xy (není-li tento průmět úsečka nebo bod). V rovině xy má průmět velikost dx. dy. Skutečná ploška má velikost větší, a to ds = dx. dy/ cos γ, kde γ je úhel, který svírá normála k ploše v (x, y, z) s rovnoběžkou v (x, y, z) s osou z v kladném směru. Je nutné předpokládat, že cos γ 0, tj., že ploška není rovnoběžná s osou z. uzavřená hladká kraj
odle druhé podmínky definice hladkých ploch musí být v každém bodě aspoň jeden uvedený kosinus nenulový. locha se rozdělí na nejvýše tři části, a v každé je jeden daný kosinus nenulový. Integrál přes plochu je pak součtem integrálů přes tyto části. odle volby takové části se berou průměty i do rovin xz nebo yz a dostávají se velikosti plošek dx. dz/ cos β, resp. dy. dz/ cos α, kde úhly β, α jsou opět úhly mezi normálou a příslušnými osami (y, resp. x). Kosiny těchto úhlů se nazývají normály. DEFINICE. Necht f je funkce zadaná na hladké ploše, na které je v každém bodě cos γ 0. ak se definuje funkce f přes plochu jako dx dy f(s) ds = f(s) cos γ. M uzavřená hladká kraj
Na pravé straně je dvojrozměrný integrál, v něm se za proměnné S, x, y, γ musí dosadit příslušné hodnoty (viz dále). Samozřejmě lze požadavek nenulovosti směrového kosinu oslabit podmínkou, že může nabývat 0 jen na malé množině (nulové). římo z definice lze ukázat následující vlastnosti: OZOROVÁNÍ. Následující 2 rovnosti platí, jakmile mají smysl pravé strany, poslední nerovnost platí, pokud existuje levá strana. 1. (αf(s) + βg(s)) ds = α f(s) ds + β g(s) ds; 2. 1 + 2 f(s) ds = 1 f(s) ds + 2 f(s) ds; 3. f(s) ds O( ) max S f(s), kde O( ) je obsah. Úhel γ se samozřejmě mění spolu s bodem (x, y, z) a pro výpočet plošného integrálu je obvykle třeba cos γ vyjádřit pomocí nějakých souřadnic. VĚTA. Necht je grafem funkce h(x, y). otom 1 ( h ) 2 ( h ) 2 cos γ = 1 + +. x y VĚTA. Necht je dána parametricky rovnostmi x = ϕ(u, v), y = ψ(u, v), z = τ(u, v). otom 1 EG F cos γ = 2, J(ϕ, ψ) uzavřená hladká kraj
kde ( ϕ ) 2 ( ψ ) 2 ( τ ) 2 E = + + ( u u u ϕ ) 2 ( ψ ) 2 ( τ ) 2 G = + + v v v F = ϕ ϕ u v + ψ ψ u v + τ ϕ u τv. a J(ϕ, ψ) je Jakobián funkcí ϕ, ψ. Nyní lze uvést převod plošného integrálu 1.druhu na obyčejný integrál přes rovinnou množinu. VĚTA. Necht f je funkce definovaná na hladké ploše. 1. Necht je grafem funkce h definované na množině A. ak ( h ) 2 ( h ) 2 f(s) ds = f(x, y, h(x, y)) 1 + + dx dy. x y A 2. Necht je určena parametricky funkcemi ϕ, ψ, τ na množině A. ak f(s) ds = f(ϕ(u, v), ψ(u, v), τ(u, v)) EG F 2 du dv. A uzavřená hladká kraj
2 2 2 2 uzavřená hladká kraj
LOŠNÉ INTEGRÁLY 2.DRUHU DEFINICE. Necht je hladká orientovaná a f : R 3 má souřadnice (f 1, f 2, f 3 ). ak se definuje plošný integrál 2.druhu funkce f přes rovností f. dn = (f 1 (x, y, z) dy dz + f 2 (x, y, z) dx dz + f 3 (x, y, z) dx dy). R 2 Integrál na pravé straně je součtem tří integrálů a každý lze brát přes projekci do příslušné roviny (yz nebo xz nebo xy resp.). V definici je pro jednoduchost uvedena integrace přes celou rovinu (rozumí se, že integrovaná funkce se dodefinuje nulou ve zbývajících bodech). uzavřená hladká kraj
Opět se snadno ukáže: OZOROVÁNÍ. Následující 3 rovnosti platí, jakmile mají smysl pravé strany. 1. (αf(s) + βg(s)) ds = α C f(s) ds + β C g(s) ds; 2. 1 + 2 f(s) ds = 1 f(s) ds + 2 f(s) ds; 3. f(s) ds = f(s) ds; odle uvedené definice plošného integrálu 2.druhu však nelze integrál většinou přímo počítat, protože např. R 2 (f 1 (x, y, z) dy dz obsahuje i proměnnou x, která závisí na y a z. Tato závislost se musí do integrálu dosadit. oužije se věta o substituci na jednotlivé části integrálu podle toho, jak je zadaná. VĚTA. Necht f : R 3 je funkce definovaná na hladké ploše. 1. Necht je grafem funkce g definované na množině A. ak f ds = ( f 1 (x, y, g(x, y)) g x dx dy f 2(x, y, g(x, y)) g A uzavřená hladká kraj y dx dy+f 3(x, y, g(x, y)) dx dy).
2. Necht je určena parametricky funkcemi ϕ, ψ, τ na množině A. ak f ds = ± f 1 (ϕ(u, v), ψ(u, v), τ(u, v))j(ψ, τ) du dv A ± f 2 (ϕ(u, v), ψ(u, v), τ(u, v))j(ϕ, τ) du dv A ± f 3 (ϕ(u, v), ψ(u, v), τ(u, v))j(ϕ, ψ) du dv, A kde znaménka před integrály se určí podle souhlasu s obvyklou orientací souřadnicových množin. oslední věta o určení znaménka znamená, např. pro poslední integrál na pravé straně, že znaménko bude stejné jako znaménko Jakobiánu J(ϕ, ψ), pokud při pohledu seshora na rovinu xy vidíme kladnou stranu v nějakém vybraném bodě, ve kterém se nějaké jeho okolí na ploše zobrazuje prostě na rovinu xy. OZOROVÁNÍ. f ds = Necht f : R 3 je funkce definovaná na hladké ploše. otom (f 1 (x, y, z) cos α + f 2 (x, y, z) cos β + f 3 (x, y, z) cos γ) ds, kde uvedené kosiny jsou v bodech z. V integrálu f ds lze tedy f ds chápat jako skalární součin vektoru f s vektorem ds = (cos α, cos β, cos γ) ds 3 3 3 uzavřená hladká kraj
3 uzavřená hladká kraj
GAUSSOVA OSTROGRADSKÉHO VĚTA Greenova věta převádí křivkový integrál po jednoduše uzavřené křivce na integrál přes vnitřek této křivky. osunutím o dimenzi výše by se měla dostat věta o převodu plošného integrálu po jednoduše uzavřené ploše na integrál přes vnitřek této. Greenův vzorec měl dvě podoby: pro křivkový integrál ze skalárního součinu s tečným vektorem nebo s normálovým vektorem. VĚTA. Necht G je otevřená podmnožina prostoru a je jednoduše uzavřená orientovaná ležící i s vnitřkem v G. Necht f = (f 1, f 2, f 3 ) je funkce G R 3 mající spojité parciální derivace na G. ak platí ( f1 (x, y, z) dy dz + f 2 (x, y, z) dx dz + f 3 (x, y, z) dx dy ) = = ι ( f1 x + f 2 y + f 3 z Důkaz je naznačen v oznámkách a Otázkách. ) dx dy dz. uzavřená hladká kraj
odobně jako Greenova věta, dá se i Gaussova Ostrogradského věta vyslovit pro konečná sjednocení ploch. 4 4 4 uzavřená hladká kraj
STOKESOVA VĚTA Na rozdíl od Gaussovy Ostrogradského věty se bude v tomto případě vycházet z Greenova vzorce pro skalární součin funkce a tečného vektoru: VĚTA. Necht C je jednoduše uzavřená křivka v prostoru, která je krajem po částech hladké ιc. Necht C i ιc leží v otevřené množině G, na které je definována funkce f = (f 1, f 2, f 3 ) : G R 3 mající spojité parciální derivace na G. ak platí (f 1 (x, y, z) dx + f 2 (x, y, z) dy + f 3 (x, y, z) dz) = ιc C ( ( f3 y f 2 z ) dy dz + ( f1 z f 3 x ) dx dz + ( f2 x f 1 y ) ) dx dy. odobně jako Greenova věta, dá se i ova věta vyslovit pro mající za kraj konečná sjednocení jednoduše uzavřených křivek v prostoru. 5 5 uzavřená hladká kraj
OUŽITÍ LOŠNÝCH INTEGRÁLŮ Obdobně jako u křivkových integrálů, se nyní dají počítat velikosti ploch a jejich těžiště. ro tuto velikost bude používán termín míra. DEFINICE. 1. Míra po částech hladké je rovna ds. 2. Hmotnost zakřivené desky ve tvaru po částech hladké je rovna h ds, kde h je funkce na udávající hustotu. 3. Těžiště zakřivené desky ve tvaru po částech hladké mající hustotu h má souřadnice xh ds yh ds T x =, T y = m m, T zh ds z = m, kde m je hmotnost desky. V integrálech se musí za x, y, z, ds dosadit příslušné výrazy podle toho, jak je popsána. Čitatelé ve vzorcích pro těžiště jsou momenty (statické) vzhledem k rovinám yz nebo xz nebo xy resp. Opět stejně jako u použití Greenovy věty pro míry rovinných obrazců, lze použít Gaussovu Ostrogradského větu pro výpočet objemu tělesa. ostup je zcela stejný. Je-li G otevřená podmnožina prostoru mající za hranici uzavřenou po částech hladkou plochu G, pak objem V (G) tělesa G (nebo jeho uzávěru G) je roven uzavřená hladká kraj
V (G) = G x dy dz = G y dx dz = G z dx dy = 1 3 G (x dy dz + y dx dz + x dx dy). 6 6 6 z kapitoly LOŠNÉ INTEGRÁLY uzavřená hladká kraj
LOCHY locha je množina {(ϕ(u, v), ψ(u, v), τ(u, v)); (u, v) I}, kde ϕ(u, v), ψ(u, v), τ(u, v) jsou reálné spojité funkce definované na nějakém omezeném intervalu I v rovině. uzavřená hladká kraj
ředchozí se nazývá uzavřená, jestliže I je uzavřený a všechny body z hranice I se zobrazí do jediného bodu. Necht 1, 2 jsou zadané na intervalech I 1, I 2 resp., které mají společnou jednu svou stranu. Spojení ploch 1, 2 je pak jejich sjednocení definované na I 1 I 2. Značí se 1 + 2. Indukcí lze tento pojem zavést pro spojení konečně mnoha ploch. locha zadaná parametry ϕ(u, v), ψ(u, v), τ(u, v) na intervalu I se nazývá hladká, jestliže platí: 1. funkce ϕ, ψ, τ mají spojité první parciální derivace na I; 2. pro každé (u, v) I má matice ( ϕ u ϕ v ψ u ψ v hodnost 2; 3. každý bod je obrazem jediného bodu (u, v) I s jedinou možnou výjimkou: obrazy bodů z hranice I mohou splývat. Kraj se někdy nazývá hranice, ale pak je nutné odlišovat hranici v R 3 (to je obvykle celá ) a hranici, která se tu nazývá kraj. ro představu si vezměte kruh, jakkoli položený v prostoru, třeba i zvlněný. Je jasné, co znamená kraj tohoto obrazce. locha s prázdným krajem je totéž, co uzavřená. o částech hladká je spojení konečně mnoha hladkých ploch. ovrch krychle nebo válce jsou příklady po částech hladké uzavřené. τ u τ v ) uzavřená hladká kraj
Každá po c ástech hladká je parametricky zadaná reálnými spojitými funkcemi ϕ(u, v), ψ(u, v), τ (u, v), které jsou definované na ne jakém omezeném intervalu I v rovine, pr ic emž ϕ(u, v), ψ(u, v), τ (u, v) mají spojité parciální derivace všude v I krome konec ne mnoha úsec ek. o c ástech hladká, parametricky zadaná zobrazením Φ na uzavr eném intervalu I, se nazývá jednoduše uzavr ená jestliže Φ je prosté na vnitr ku I, konstantní na hranici I s hodnotou ru znou od hodnot na vnitr ku I. Jednoduše uzavr ená rozde luje prostor na dve souvislé c ásti, jednu omezenou, zvanou vnitr ek (znac ení ι ) a druhou neomezenou. Orientace znamená, že lze mluvit o dvou stranách, jedna se oznac í za kladnou a druhá za zápornou. Je-li orientována, normála vždy sme r uje nad kladnou stranu. U jednoduše uzavr ených ploch, pokud není stanoveno jinak, se za kladnou stranu bere vne jší strana a normála tedy sme r uje ven, nikoli dovnitr. U grafu funkcí dvou prome nných se za kladnou stranu bere horní strana. uzavr ená hladká kraj po c ástech hladká jedn.uzavr ená sme rové kosiny te žište desky r íklady Cvic ení Uc ení
Orientace hladké znamená, že v každém jejím bodě je určen směr normály a to spojitým způsobem: jestliže půjdete po jednoduše uzavřené křivce na dané ploše, musíte dojít do výchozího bodu ve stejné poloze. Je-li orientovaná křivka C částí kraje orientované, říká se, že obě orientace jsou souhlasné, jestliže při chůzi po křivce v kladném směru a po kladné straně, máte plochu po levé straně. Nebude-li řečeno jinak, bude se vždy předpokládat, že a jejich kraje jsou orientovány souhlasně. Musí se dávat pozor při orientaci po částech hladkých ploch, protože ve styčných hranách obecně neexistují normály. Necht jsou jednotlivé spojované orientovány a necht jejich kraje jsou uzavřené křivky, které jsou orientovány souhlasně s příslušnými mi. ak je celá orientována, jestliže části krajů, které se stýkají (právě dvě) jsou navzájem orientovány opačně. uzavřená hladká kraj
LOŠNÉ INTEGRÁLY 1.DRUHU V bodě (x, y, z) se velmi malá ploška ds okolo tohoto bodu dá považovat za rovinnou a zjistí se poměr její velikosti ku poměru jejího průmětu, např. do roviny xy (není-li tento průmět úsečka nebo bod). V rovině xy má průmět velikost dx. dy. Skutečná ploška má velikost větší, a to ds = dx. dy/ cos γ, kde γ je úhel, který svírá normála k ploše v (x, y, z) s rovnoběžkou v (x, y, z) s osou z v kladném směru. Je nutné předpokládat, že cos γ 0, tj., že ploška není rovnoběžná s osou z. odle druhé podmínky definice hladkých ploch musí být v každém bodě aspoň jeden uvedený kosinus nenulový. locha se rozdělí na nejvýše tři části, a v každé je jeden daný kosinus nenulový. Integrál přes plochu je pak součtem integrálů přes tyto části. uzavřená hladká kraj
odle volby takové části se berou průměty i do rovin xz nebo yz a dostávají se velikosti plošek dx. dz/ cos β, resp. dy. dz/ cos α, kde úhly β, α jsou opět úhly mezi normálou a příslušnými osami (y, resp. x). Kosiny těchto úhlů se nazývají normály. DEFINICE. Necht f je funkce zadaná na hladké ploše, na které je v každém bodě cos γ 0. ak se definuje funkce f přes plochu jako dx dy f(s) ds = f(s) cos γ. Na pravé straně je dvojrozměrný integrál, v něm se za proměnné S, x, y, γ musí dosadit příslušné hodnoty (viz dále). ožadavek nenulovosti směrového kosinu lze oslabit podmínkou, že může nabývat 0 jen na malé množině (nulové). VĚTA. Necht je grafem funkce h(x, y). otom 1 ( h ) 2 ( h ) 2 cos γ = 1 + +. x y Necht je určena parametricky funkcemi ϕ, ψ, τ na množině A. ak normálový vektor n k ploše je vektorovým součinem vektorů parciálních derivací ( ϕ n = u, ψ u, τ ) ( ϕ u v, ψ v, τ ) v M uzavřená hladká kraj
Vektorový součin vektorů a = (a 1, a 2, a 3 ) = a 1 i + a 2 j + a 3 k a b = (b 1, b 2, b 3 ) = b 1 i + b 2 j + b 3 k je definován i j k a b = a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 = a 2 a 3 a b 2 b i 1 a 3 a 3 b 1 b j + 1 a 2 3 b 1 b k 2 Nyní lze napsat převod plošného integrálu 1.druhu na obyčejný integrál přes rovinnou množinu. VĚTA. Necht f je funkce definovaná na hladké ploše. 1. Necht je grafem funkce h definované na množině A. ak ( h ) 2 ( h ) 2 f(s) ds = f(x, y, h(x, y)) 1 + + dx dy. x y A 2. Necht je určena parametricky funkcemi ϕ, ψ, τ na množině A. ak f(s) ds = f(ϕ(u, v), ψ(u, v), τ(u, v)) n du dv. A uzavřená hladká kraj
1 n n v u říklad. Vypočtěte povrch koule B o poloměru a pomocí sférických souřadnic. Řešení. Máme vypočítat integrál 1 ds. kde Sféru B tedy parametrizujeme B ϕ(u, v) = a cos u cos v, ψ(u, v) = a sin u cos v, τ(u, v) = a sin v, Spočítáme parciální derivace u ( π, π), v ( π 2, π ). 2 u (ϕ, ψ, τ), v (ϕ, ψ, τ) uzavřená hladká kraj
a spočítáme vektorový součin těchto dvou vektorů. Výsledek označme n = (n 1, n 2, n 3 ). ak platí Dostáváme B n 2 1 + n 2 2 + n 2 3 = a 4 cos 2 v. 1 ds = a 2 π π π 2 π 2 cos v dv du = 4πa 2. říklad. Zintegrujte funkci x + y + z přes povrch krychle. říklad. Vypočtěte z2 ds, kde je část kužele daná parametrizací x = r cos ϕ sin α, y = r sin ϕ sin α, z = r cos α, r [0, a], ϕ [0, 2π] a α (0, π/2) je konstanta. uzavřená hladká kraj
LOŠNÉ INTEGRÁLY 2.DRUHU DEFINICE. Necht je hladká orientovaná a f : R 3 má souřadnice (f 1, f 2, f 3 ). ak se definuje plošný integrál 2.druhu funkce f přes rovností f. dn = (f 1 (x, y, z) dy dz + f 2 (x, y, z) dx dz + f 3 (x, y, z) dx dy). R 2 Integrál na pravé straně je součtem tří integrálů a každý lze brát přes projekci do příslušné roviny (yz nebo xz nebo xy resp.). V definici je pro jednoduchost uvedena integrace přes celou rovinu (rozumí se, že integrovaná funkce se dodefinuje nulou ve zbývajících bodech). odle uvedené definice plošného integrálu 2.druhu však nelze integrál většinou přímo počítat, protože např. R 2 (f 1 (x, y, z) dy dz obsahuje i proměnnou x, která závisí na y a z. Tato závislost se musí do integrálu dosadit. oužije se věta o substituci na jednotlivé části integrálu podle toho, jak je zadaná. uzavřená hladká kraj VĚTA. Necht f : R 3 je funkce definovaná na hladké ploše. 1. Necht je grafem funkce g definované na množině A. ak f ds = ( f 1 (x, y, g(x, y)) g A x dx dy f 2(x, y, g(x, y)) g y dx dy+f 3(x, y, g(x, y)) dx dy). f ds = f(x, y, g(x, y)). n dx dy, kde n = ( g x, g y, 1) je normálový vektor k ploše. A
2. Necht je určena parametricky funkcemi ϕ, ψ, τ na množině A. ak f ds = ± f 1 (ϕ(u, v), ψ(u, v), τ(u, v))j(ψ, τ) du dv A ± f 2 (ϕ(u, v), ψ(u, v), τ(u, v))j(ϕ, τ) du dv A ± f 3 (ϕ(u, v), ψ(u, v), τ(u, v))j(ϕ, ψ) du dv, A kde znaménka před integrály se určí podle souhlasu s obvyklou orientací souřadnicových množin. f ds = f(x, y, g(x, y)). n dx dy, kde ( ϕ n = u, ψ u, τ ) u je normálový vektor k ploše. A ( ϕ v, ψ v, τ v OZOROVÁNÍ. Necht f : R 3 je funkce definovaná na hladké ploše. otom f ds = (f 1 (x, y, z) cos α + f 2 (x, y, z) cos β + f 3 (x, y, z) cos γ) ds, f ds = f. n n ds, ) uzavřená hladká kraj
kde uvedené kosiny jsou v bodech z. Ve druhém vyjádření jde o složku f ve směru normály k ploše (spočítáno skalárním součinem f a jednotkového vektoru n = (cos α, cos β, cos γ). n říklad. Vypočtěte integrál I = M x dy dz + y dz dx + z dx dy, kde M je sféra o poloměru a orientovaná ve směru vnější normály. Řešení. Substitucí převedeme integrál do sférických souřadnic. oložme tedy kde otom ϕ(u, v) = a cos u cos v, ψ(u, v) = a sin u cos v, τ(u, v) = a sin v, I = M = a 3 π = π π π u ( π, π), v x dy dz + y dz dx + z dx dy = ( π 2 ( π 2 π 2 což jsme měli spočítat. π 2 ( π 2, π ). 2 ) (cos 2 u cos 3 v + sin 2 u cos 3 v + sin 2 v cos v) dv du = ) cos v dv du = 4πa 3, uzavřená hladká kraj
GAUSSOVA OSTROGRADSKÉHO VĚTA VĚTA. Necht G je otevřená podmnožina prostoru a je jednoduše uzavřená orientovaná ležící i s vnitřkem v G. Necht f = (f 1, f 2, f 3 ) je funkce G R 3 mající spojité parciální derivace na G. ak platí ( f1 (x, y, z) dy dz + f 2 (x, y, z) dx dz + f 3 (x, y, z) dx dy ) = = ι ( f1 x + f 2 y + f 3 z ) dx dy dz. uzavřená hladká kraj
STOKESOVA VĚTA VĚTA. Necht C je jednoduše uzavřená křivka v prostoru, která je krajem po částech hladké ιc. Necht C i ιc leží v otevřené množině G, na které je definována funkce f = (f 1, f 2, f 3 ) : G R 3 mající spojité parciální derivace na G. ak platí (f 1 (x, y, z) dx + f 2 (x, y, z) dy + f 3 (x, y, z) dz) = ιc C ( ( f3 y f 2 z ) dy dz + ( f1 z f 3 x ) dx dz + ( f2 x f 1 y ) ) dx dy. uzavřená hladká kraj
OUŽITÍ LOŠNÝCH INTEGRÁLŮ DEFINICE. 1. Míra po částech hladké je rovna ds. 2. Hmotnost zakřivené desky ve tvaru po částech hladké je rovna h ds, kde h je funkce na udávající hustotu. 3. Těžiště zakřivené desky ve tvaru po částech hladké mající hustotu h má souřadnice xh ds T x =, T y = m kde m je hmotnost desky. yh ds m, T z = zh ds m, V integrálech se musí za x, y, z, ds dosadit příslušné výrazy podle toho, jak je popsána. Čitatelé ve vzorcích pro těžiště jsou momenty (statické) vzhledem k rovinám yz nebo xz nebo xy resp. Opět stejně jako u použití Greenovy věty pro míry rovinných obrazců, lze použít Gaussovu Ostrogradského větu pro výpočet objemu tělesa. ostup je zcela stejný. Je-li G otevřená podmnožina prostoru mající za hranici uzavřenou po částech hladkou plochu G, pak objem V (G) tělesa G (nebo jeho uzávěru G) je roven V (G) = x dy dz = y dx dz = z dx dy = 1 (x dy dz + y dx dz + x dx dy). G 3 G G říklad. Najděte těžiště horní polosféry. G uzavřená hladká kraj