METODIKA OPTIMALIZACE KONSTRUKCÍ S POŽADOVANOU ÚNAVOVOU ŽIVOTNOSTÍ

METODIKA OPTIMALIZACE KONSTRUKCÍ S POŽADOVANOU ÚNAVOVOU ŽIVOTNOSTÍ Miroslav Balda 1 1 Úvod S kocem roku 1997 skočilo i řešeí stejojmeého tříletého gratového projektu GAČR 11/95/87 Na rozdíl od dosavadích přístupů k optimalizaci kostrukcí přišel projekt s ovou myšlekou (viz i [1]) vycházející ze skutečosti, že jakákoliv rozměrová změa má vliv eje a hmotost, ale i a tuhost kostrukce, a tím a její dyamické vlastosti a a rozložeí statické i dyamické apjatosti Protože je zámo, že většia lomů má úavový charakter, je zřejmé, že optimálí ávrh musí dodržet kromě všech parametrů garatovaých z hlediska techologické fukce kostrukce, i její bezporuchovou dobu života a v eposledí řadě i její ceu Právě doba života je charakteristikou, ve které se kombiují jak pevostí, tak i dyamické vlastosti kostrukce Deklarovaým cílem projektu byl ávrh metodiky optimalizace kostrukce díla použitelý v etapě techické přípravy výroby, tedy v době, kdy veškeré zásahy do kostrukce jsou relativě sadé, rychlé a levé, protože se realizují a matematických modelech Metodikou se ozačuje souhr metod a odborých techik k řešeí kokrétích vědeckých problémů i pracovích úkolů V ásledujících partiích je podá přehled jedotlivých fází řešeí daého projektu s jim příslušejícími metodami 2 Metodika Vývoj optimálí kostrukce má dále popsaé fáze uvedeé rověž ve schematu a Úvodí ávrh kostrukce Jde o stadardí etapu kostruováí, v íž se uplatňuje ivece kostruktéra Jí se zajišťují všechy fukčí a výkoové parametry a vytvářejí výchozí údaje o kostrukci Již v této etapě lze vybrat parametry (apř rozměry), jimiž bude možo řídit vlastosti výrobku b Materiál a jeho vlastosti Výběr materiálu patří mezi velice výzamé čiosti kostruktéra techologa, protože jím lze výzamě ovlivit výsledé vlastosti díla Výběr materiálu je ovšem tak specifická čiost s výrazě diskrétím charakterem možostí, že obvykle patří 1 Prof Ig Miroslav BALDA, DrSc, Ústav termomechaiky AVČR & Západočeská uiverzita, Veleslavíova 11, 31 14 Plzeň, mbalda@herazcucz

k čiostem, které se ezahrují do počítačového systému optimalizace, ale poechávají se a rozhodutí člověka Te však musí dbát a co možá dokoalou zalost pevostích i úavových charakteristik materiálu, který avrhuje k použití, tak aby mohly sloužit v procesu optimalizace k výpočtům odhadů poškozeí K těmto cha- Úvodí ávrh kostrukce rakteristikám patří: Materiál a jeho vlastosti Matematický model kostrukce Matematický model buzeí Optimalizace kostrukce Úprava výkresové dokumetace Výroba a zkoušky prototypu Dokočeí techické přípravy výroby Výroba mez pevosti R m mez pružosti (kluzu) R e modul pružosti E Wöhlerova křivka Haighův diagram citlivost materiálu k vrubům vliv kvality povrchu a úavu vliv velikosti a úavu Je zřejmé, že staoveí všech těchto údajů vyžaduje dobře orgaizovaý materiálový výzkum s databází výsledků Pro účely řešeí daého úkolu se provedly ové zkoušky ([18], [2]) a studoval se obecý model výpočtu poškozeí z uvedeých dat (viz [8], [19]) c Matematický model kostrukce Volba matematických modelů se u tvarově složitých kostrukcí vytvořeých z kotiuí omezuje a modely skládaé z koečých prvků Jimi se zajišťuje prostorová diskretizace díla do systému o koečém počtu stupňů volosti jehož chováí popisuje systém obyčejých difereciálích rovic M q(t) + L q(t) + K q(t) = f N ( q, q, t), (1) kde M je matice hmotostí, L matice složeá z útlumové matice a matice gyračích čleů, K tuhostí matice a f N ( q, q, t) = f f ( q, q, t) je vektor vějšího působeí korigovaého a vliv eliearit a estacioarit systému vektorem f ( q, q, t) I když koečé prvky se volí relativě velké ([9], [11], [12], ) a bez detailího popisu kostrukčích vrubů, který by začě zkomplikoval model, vychází počet stupňů volosti velmi velký To by ve svých důsledcích vedlo a eúosě dlouhé výpočtové časy při optimalizaci Tuto epřízivou vlastost lze aštěstí do začé míry omezit pomocí redukce počtu stupňů volosti modelu Existuje řada metod pro redukci modelů, z ichž uveďme zde alespoň dvě objektiví metody metodu iterace podprostoru a metodu Laczosovu ([2], [3]) Jejich objektivost spočívá v tom, že jakmile uživatel zvolí hloubku redukce, tj počet stupňů volosti redukovaého systému, emůže dále ovlivit redukčí proces Naproti tomu metody subjektiví, azývaé také metodami kodezace, jsou výsledky i po zvoleém počtu stupňů vol-

osti kodezovaé soustavy ovlivěy uživatelovou volbou jejich lokalit v soustavě ([4], [5]) Kromě prostorové diskretizace se u dyamických úloh diskretizuje i čas Existuje rověž řada umerických metod pro itegraci obyčejých difereciálích rovic, z ichž metoda Newmarkova s lieárím průběhem zrychleí v itervalu vzorkovací periody a metoda maticové expoeciály se ukázaly být ejlepší (viz [3]) d Matematický model buzeí Problematika umerického geerováí zatěžovacích procesů ebyla předmětem citovaého gratového úkolu, protože byla v miulosti již úspěšě vyřešea Existují v podstatě dva možé přístupy k zavedeí buzeí do matematického modelu systému Prví spočívá ve využití avzorkovaého charakteristického zatěžovacího procesu s případým oměřítkováím Jde o postup, který je běžý apř u seizmických úloh V případě druhého přístupu se zatěžovací proces geeruje počítačem Jsou zvláduty postupy pro vytvářeí časových řad jak determiistických tak i áhodých budících procesů s požadovaými statistickými charakteristikami jako jsou rozložeí, korelačí fukce a pod (viz [31]) e Optimalizace kostrukce Kostrukci ozačíme za optimálí, splí-li ásledující požadavky: f(p ) < f(p) g(p) ɛ R m (2) h(p) = ɛ R p, kde p ɛ R m je vektor volých kostrukčích parametrů a g(p) a h(p) jsou vektory a ě kladeých omezeí typu erovostí a rovostí Jde obvykle o úlohu elieárího programováí, protože f(p), g(h) a h(p) bývají elieárími fukcemi vektoru kostrukčích parametrů p Vektor p je vektor z prostoru parametrů p vymezeého podmíkami g(p) a h(p), při ěmž cílová fukce abývá ejmeší hodotu S ohledem a výše řečeé by jí měla být cea výrobku, aebo zisk z jeho produkce Obě fukce jsou velice choulostivé, protože závisejí a moha v daém okamžiku ezámých parametrech včetě kojukturálích a marketigových Mohem stabilější charakter á s ceou těsě spjatá vlastost, totiž hmotost výrobku, která je závislá a jeho rozměrech a tudíž i a jeho parametrech p (viz [1], [29], [3]) Podmíky 1 skupiy, g(p), budou patrě obsahovat většiu podmíek kladeých a kostrukci Nejdůležitější z ich bude podmíka dodržeí garatovaé doby života L G V souladu s rov (3) bude mít tvar L(p) L G Do této skupiy budou patřit i podmíky techologické (vyrobitelosti, smotovatelosti, [21]) Podmíky druhé skupiy, g(p), budou pravděpodobě méě četé Budou se týkat sjedocováí rozměrů (p k = p l ), ebo dodržeí ormovaých veliči, příp rozměrů z katalogů (p k = q(p)) Žádá z dalších fází ze schématu ebyla součástí řešeí gratového projektu, a proto se jí zde ebudeme podrobě zabývat Je by bylo vhodé a tomto místě upozorit a důležitost experimetálího ověřeí prototypu Výpočet optimalizovaé kostrukce umoží, aby prototyp splňoval požadavky, které a jeho kostrukci byly kladey v matematickém modelu Pokud byl model věrý, lze očekávat, že i dílo bude blízké optimálímu a ebude předimezováo ebo poddimezováo Ovšem celá řada vlastostí díla ebyla modelem pokryta Proto závěrečé experimetálí ověřeí se jeví jako ezbyté

3 Optimalizačí procedura Protože optimalizačí procedura a její součásti mají zásadí výzam a řešeí, bude jí yí věováa větší pozorost Úvodem lze kostatovat, že eexistuje jediá uiverzálí optimalizačí procedura vhodá pro libovolou úlohu To je i důvod, proč v jazyku MATLAB, který byl zvole za jazyk pro realizaci všech zkoušeých modulů, existuje dlouhá řada optimalizačích procedur, které jsou shruty do speciálí kihovy esoucí ázev Optimizatio Toolbox Je pravidelě aktualizováa a obsahuje posledí verze ejefektivějších algoritmů pro optimalizaci 31 Cílová fukce Na rozdíl od testovacích úloh všech algoritmů je aše úloha velmi komplikovaá a áročá a strojí čas potřebý pro výpočet hodoty kriteriálí fukce a omezeí Proto výběr efektiví procedury představuje poloviu úspěchu řešeí K dispozici jsou v zásadě dvě skupiy procedur U obou je zapotřebí vypočítat v daém bodě p prostoru parametrů fukčí hodotu f(p) a u jedé z ich dokoce i hodotu gradietu f(p) Metody patřící do této skupiy se ozačují jako gradietí Tyto metody mají výhodu spočívající v rychlejší kovergeci řešeí, avšak vyžadují, aby cílová fukce f(p) byla hladká a aby se i parametry mohly měit plyule a bez omezeí Potom ve shodě s předchozí diskusí lze za cílovou fukci volit f(p) = m i (p), (3) i kde m i (p) je hmotost i-tého elemetu kostrukce a vektor gradietu je f(p) = f(p) p (4) Neí bez zajímavosti, že pro případ, kdy p i = m i, bude vektor gradietu slože ze samých jedotek S ohledem a diskrétí omezeí ebude však f(p) spojitou fukcí, a tak ezbude, ež použít ěkterou z metod ecitlivých a espojitosti Do této třídy patří i simplexová metoda Nelderova-Meadova, která ese ázev fmis a je součástí stadardí verze MATLABu (tedy vě kihovy Optimizatio Toolbox) Jde o robustí metodu, která za ceu pomalejší kovergece aleze řešeí p s podstatě větší jistotou ež metody gradietí Omezeí g(p) a h(p) se zavádějí jako pokuty ebo bariéry Jimi se modifikuje původí cílová fukce f(p) a kde g(p) a h(p) jsou apř pokuty f(p) = f(p) + g(p) + h(p) (5) g(p) = g T (p) W g (p) g(p) h(p) = h T (p) W h (p) h(p) Zde W g (p) a W h (p) jsou diagoálí matice ezáporých vah, jejichž prvky a diagoálách jsou ulové při splěí jim odpovídající podmíky a rostou s velikostí jejího porušeí V MATLABu by se mohly tyto pokuty vypočítat z hodot podmíek uložeých ve vektorech g a h apř takto (6)

gp = ((g <)*scalesg*g) *g hp = ((h~=)*scalesh*h) *h, kde scalesg resp scalesh jsou vektory vhodých měřítek pokut Aby edocházelo k výzamému překračováí podmíek, měla by být měřítka dosti veliká, aby pokuty byly přísé Nadměrá velikost je však a závadu, protože zpomaluje proces optimalizace Příjemou vlastostí takto použitého algoritmu fmis je možost startováí úlohy z libovolého bodu, tedy i z toho, který esplňuje deklarovaé podmíky 32 Doba života Zatímco ostatí podmíky kladeé a kostrukci mají obvykle charakter jedoduchých omezeí, týkajících se rozměrů, představuje podmíka a splěí garatovaé životosti ejobtížější a také ejméě spolehlivou část celého postupu Důvodů pro toto tvrzeí je ěkolik: víceosá apjatost je ahražea efektiví jedoosou, edokoalé modely porušováí materiálů, velký rozptyl materiálových charakteristik, edokoalé databáze materiálových dat Často je uto pracovat s odhady, které emusí pro daou kostrukci a techologii její výroby zcela přesě platit Přesto dále uvedeý postup vycházející z miimálích apriorích iformací vede k řešeí, které je ovšem zatížeo eurčitou chybou vyplývající z přijatých aproximací Jakékoliv zpřesěí úvodích iformací má za ásledek zpřesěí výsledku 321 Wöhlerova křivka a zobecěý Haighův diagram Leštěý ormalizovaý válcový vzorek materiálu (s idexem vlevo ahoře = bez vrubu) vystaveý opakovaému harmoickému zatěžováí o středí hodotě s m jedoosého amáháí a amplitudě s a > s cm = s a (s m ) vydrží do lomu N m cyklů podle obrázku a Závislost je vyesea v obrázku b a azývá se Wöhlerovou křivkou Ta se láme do kostatího apětí s cm při N cm cyklech Závislost s cm a s m, která je vyesea v obr c, se azývá Haighovým diagramem V tomto obrázku je vyesea i závislost mezí úavy vrubovaých vzorků s cm (s idexem vlevo ahoře charakterizujícím typ vrubu a zatížeí) a s m s a log s a b s cm s c = s c stadardí vzorek c s a s m ṫ s cm log N m N cm s c = s c β s cm = s cm s cm s m s F vrubovaý vzorek s m

Mez úavy vrubovaého vzorku lze určit za pomoci experimetálě staoveého koeficietu β vrubovaého vzorku jako s cm = s cm β s ( c 1 s )k m H (7) β s F Pokud koeficiet kocetrace apětí β = β( K t, k V, k q ) eí zám, může být odhadut pomocí formule β = β( K t ) k V k q, (8) kde K t je teoretický koeficiet kocetrace apětí příslušející typu vrubu a zatížeí ozačovaý také jako α H, k V je koeficiet velikosti součásti a k q je koeficiet vyjadřující účiek kvality povrchu a kocetraci apětí a povrchu Existuje řada vztahů, kterými lze aproximovat závislost β a K t Např podle Neuberovy formule je β( K t ) = 1 + K t 1 1 + A ϱ, (9) kde A(R m ) [mm] je Neuberův koeficiet závislý a pevosti materiálu R m a tím i velikosti jeho zra a ϱ [mm] poloměr křivosti vrubu Pro praktické účely může pro jeho určeí sloužit vztah A = 289, 1/Rm, 1217 (1) 322 Faktory kvality povrchu a velikosti součásti Z rovice (8) vyplývá, že pro odhad meze úavy skutečé součásti je zapotřebí zát i faktory kvality povrchu součásti k q a velikosti součásti k V Pro tyto účely byly aproximováy jejich diagramy regresími formulemi, které byly alezey delším umerickým experimetem: k q = 1 ( x T q C q y q ) 2, (11) kde x q = [ 1, x q, x 2 q ] T a y q = [ y q, yq, 2 yq, 3 ] T s proměými x q = R c2 qx m resp y q = R c2 qt a Matici regresích koeficietů lze alézt v [22] Koeficiet vlivu velikosti součásti k V = ( ) ( ) D 3m 1 + γ A (12) d kde d je průměr zkušebího vzorku, a ěmž byla zjišťováa mez úavy, a D je průměr skutečé součásti Expoet m je z itervalu, 6 m, 3 Koeficiet A se odhaduje podle rov (1) Veličia γ je t zv poměrý gradiet apětí a povrchu sledovaého kritického místa ([22]) 323 Teoretický koeficiet kocetrace apětí Výzkume velikosti teoretického koeficietu apětí se v miulosti zabývala řada vědců včetě Neubera Japoské práce Nisitaiho a jeho pokračovatelů ukázaly, že Neuberovy formule vykazují systematické odchylky od hodot K t staoveých podrobými umerickými experimety Šlo o 17 typů vrubů a zatížeí podle obrázku:

ϱ / d / D V6 ϱ U / d V6 ϱ U / D d D V6 ϱ U d D ϱ d D Bohužel japoské práce obsahovaly řadu chyb, které se ai po přímém kotaktu s autory epodařilo zcela odstrait Naštěstí však jimi publikovaé tabulky výsledků výpočtů tyto chyby evykazovaly, a proto bylo možo je zpracovat vlastím postupem Po dlouhých zkouškách přesosti áhrady jsme opustili japoský přístup spočívající v korekci Neuberova koeficietu kocetrace apětí K tn a zvolili přímou áhradu dvouparametrických tabulek K t formulí K t = 1 + x T C K K y K, (13) Jeho závislost a geometrii vrubu a a typu zatížeí je obsažea v matici regresích koeficietů C K a ve vektorech x K a y K, které jsou fukcemi bezrozměrých proměých ξ = (D d)/d a η = ϱ/d umocěých a expoety, které jsou rověž výsledkem regrese: x = ξ c x ; y = η c y x K = [ p 1 (x), p 2 (x), p 5 (x) ] T y K = [ y 2, y 3, y 4, y 5 ] T (14) Prvky vektoru x K jsou ortogoálí polyomy Jejich koeficiety stejě jako umerické hodoty všech regresích koeficietů jsou uvedey v [22] pro všech 17 případů vrubů Výsledek regrese pro jede případ je v posledím obrázku 324 Poškozeí a doba života Rovici středí části Wöhlerovy křivky, která se v logaritmických souřadicích jeví jako přímka, lze zapsat (s vyechaými ěkterými idexy) jako N a N c = ( sc s a ) w (15) Rozložíme-li apěťové procesy ve všech kritických bodech kostrukce do plých cyklů postupem popsaým v [17] (rai-flow-method), pak relativí poškozeí vyvolaé i-tým cyklem za předpokladu platosti lieárího zákoa kumulace poškozeí (Palmgrea-Miera) bude ve vrubu se zatížeím typu d i = 1 = 1 ( ) sai w c N (16) ai N c s cmi

5 RVB 45 4 4 15 Kt 3 2 35 3 25 5 1 r/d 5 (D d)/d 1 Kt 25 5 2 1 15 25 1 1 5 % 5 2 4 6 8 1 (D d)/d 5 1 r/d 5 (D d)/d 1 Ukázka zpracováí tabulky hodot koeficietu kocetrace apětí vrub typu = RVB = kruhový vzorek (R), vrub tvaru V 6, ohyb (B) a) 2D diagram K t (ξ, η) ; zadaé body ( ), aproximace( ) b) 3D diagram K t (ξ, η) c) 3D diagram rozložeí chyb áhradyv %

Celkové relativí poškozeí v j-tém kritickém místě za čas pozorováí T o bude D jo = i d ij (17) Jemu odpovídající doba života by měla být Lj = T o / D jo Protože však záko lieárí kumulace poškozeí eplatí přesě, bude skutečá životost L j = k dj Lj O životosti díla potom rozhoduje miimálí délka života L j Koeficiety k dj ejsou zámy předem a mohly by se určit dodatečě experimetálě zkouškami prototypů Pokud eí zám lepší odhad, volí se k dj = 1 4 Závěr Právě popsaý metodický postup je řešeím gratového projektu GAČR 11/95/87 a zčásti i projektu 11/97/226 Metodika byla ověřováa a speciálích typech matematických modelů a to jak umericky, tak i experimetálě Zkoušeé matematické modely byly hřídelového typu ([9], [15], [28]) a příhradové ([1], [27], [3]) Experimetálě se ověřovala pouze příhradová kostrukce Pro tyto typy kostrukcí byla ověřea fukčost metodiky a dokoce vziklé programové vybaveí sestaveé v jazyku MATLAB je k dispozici i pro kokrétí aplikačí využití Referece [1] M BALDA: Optimalizace kostrukcí z hlediska úavové životosti IN: Výpočtová mechaika 95, 11 kof ZČU-FAV Plzeň, Perik, 1995 [2] M BALDA: Výpočet kmitáí rozsáhlých mechaických soustav IN: Dyamika strojů 95, Kolokvium ÚT AV ČR, Praha, 1995 [3] M BALDA: A compariso of methods for umerical solutio o dyamic oliear multidegree of freedom systems IN: Proc of Nith World Cogress IFToMM, Milao, 1995 [4] V ZEMAN, Z HLAVÁČ: Mathematical modellig of vibratio of gear trasmissios by modal sythesis method IN: Proc of Nith World Cogress of IFToMM, Milao, 1995 [5] V ZEMAN: Matematické modelováí, kmitáí ozubeých převodů IN: Výpočtová mechaika 95, 11 kof ZČU-FAV Plzeň, Perik, 1995 [6] J DUPAL: Laděí ekozervativích lieárích kotiuí IN: Výpočtová mechaika 95, 11 kof ZČU-FAV Plzeň, Perik, 1995 [7] L KOVÁŘ, J DUPAL: Spektrálí laděí hřídelů kruhového průřezu IN: Výpočtová mechaika 95, 11 kof ZČU-FAV Plzeň, Perik, 1995 [8] M KEPKA, M HEJMAN: Rozbor modelů úavového poškozováí z hlediska použití při optimalizaci kostrukcí Výzk zpráva VZVU 985, ŠKODA VÝZKUM s r o, Plzeň, 1995 [9] V ZEMAN, J DUPAL: Modelováí dyamické apjatosti hřídelových soustav IN: Dyamika strojů 96, Kolokvium ÚT AVČR, Praha, 1996, [1] V ZEMAN, J DUPAL: Dyamický model a modálí sytéza těleso osíkových systémů IN: Ižeýrská mechaika 96, Vol II, Kof TU Bro, Svratka, 1996,

[11] J DUPAL, V ZEMAN: Mathematical modellig of multibody beam system vibratio Předáo k publikováí do časopisu ZAMM [12] V ZEMAN, L KOVÁŘ: Dyamická aalýza mechaických systémů složeých ze subsystémů VII Iteratioal Cogress o the Theory of Machies ad Mechaisms, Liberec, 1996 [13] Z HLAVÁČ: Formulace cílových fukcí a jejich gradietu pro úlohy sížeí vibrací mechaických soustav VII Iteratioal Cogress o the Theory of Machies ad Mechaisms, Liberec, 1996 [14] V ZEMAN, L KOVÁŘ: Příspěvek k predikci úavové životosti ozubeí IN: Výpočtová mechaika 96, Kof ZČU-FAV Plzeň, Perik, 1996, pp 261 268, [15] Z HLAVÁČ: Optimalizace hřídelových soustav s ozubeými koly z hlediska životosti ozubeí IN: Výpočtová mechaika 96, Kof ZČU-FAV Plzeň, Perik, 1996, pp 59 68, [16] J DUPAL: Vliv struového efektu a kmitáí prostorových rámů IN: Výpočtová mechaika 96, Kof ZČU-FAV Plzeň, Perik, 1996, pp 35 4, [17] M BALDA: Vícekaálové sledováí kumulace poškozeí v reálém čase IN: Dyamika strojů 96, Kolokvium ÚT AVČR, Praha, 1996, [18] J MICHÁLEK: Dyamické úavové zkoušky kostrukčí uhlíkové ocele ČSN 411523 Výzk zpráva, ZČU FAV ÚFY, 146 VP, Plzeň, 1996 [19] M KEPKA: Metodika odhadu parametrů sytetické Wöhlerovy křivky vrubovaého tělesa Výzk zpráva ŠKODA Výzkum sro Plzeň, 1996 [2] M KEPKA, J CHVOJAN: Křivky životosti základího materiálu a modelové součásti z oceli 11 523 Výzk zpráva ŠKODA Výzkum sro Plzeň, 1996 [21] M BALDA: Optimalizace kostrukcí s vruby z hlediska úavové životosti IN: Dyamika strojů 97, Kolokvium ÚT AVČR, Praha,1997 [22] M BALDA: Koeficiety kocetrace apětí a úava Výzkum zpráva ÚT AVČR Z-1234/97, Plzeň, 1997 [23] M BALDA: Nové formule pro výpočty koeficietů kocetrace apětí IN: Výpočtová mechaika 97, koferece ZČU-FAV Perik, 1997 [24] M BALDA: Predictio of damage cumulatio i vibratig rotors IN: Proc IFToMM Coferece Rotor Dyamics, Darmstadt, Sep 1-1, 1998 [25] J DUPAL: Predictio of lifetime of periodically excited structures Zeszyty aukove Nr 4, XXXVI Sympozjo Modelowaie w mechaice, Politechika Śl aska, Gliwice, 1997, pp 121-126 [26] V ZEMAN, L KOVÁŘ: Dyamical Aalysis of the Large Mechaical Systems Cotaiig Subsystems ZAMM (v tisku) [27] V ZEMAN, J DUPAL: Optimalizace osíkových kostrukcí z hlediska úavové životosti IN: Výpočtová mechika 97, 13 kof ZČU-FAV Plzeň, Perik, 1997, pp 277-284 [28] Z HLAVÁČ: Příspěvek k optimalizaci hřídelových soustav s ozubeými koly IN: Výpočtová mechika 97, 13 kof ZČU-FAV Plzeň, Perik, 1997, pp 83-9 [29] V ZEMAN, J DUPAL, Z HLAVÁČ: Parametrická optimalizace kostrukcí z hlediska úavové životosti Výzk zpráva č 12-6-97, ZČU-FAV-KME, Plzeň, 1997 [3] J DUPAL: Optimalizace osíkových kostrukcí z hlediska životosti IN: Dyamika strojů 98, ÚT AVČR, Praha, 1998 [31] M BALDA: Simulace diskrétích áhodých procesů se zadaými charakteristikami IN: Zaťažovacie systémy, SAV-ÚMS,Modra, 1977