Diferenciáln lní geometrie ploch
Vjádřen ení ploch Eplicitní: z = f(,) ; [,] Ω z Implicitní: F(,,z)=0 + + z = r z = sin 0, π ; 0,1
Implicitní ploch bloob objects,, meta balls Izoploch: F(,,z)=konst.
Implicitní ploch bloob objects,, meta balls Izoploch: F(,,z)=konst. Skalární pole, které každému bodu prostoru P přiřadíčíslo I (P) I ( P) c F ( d ) i i i i
Parametrizace kulové ploch OM1 = d = d cosϕ d = r cosψ z = d sinϕ z = r sinψ = r cosψ cosϕ = r cosψ sinϕ Μ z = r sin ψ ; π π ϕ 0, 2 π ); ψ, ϕ ψ Μ 1
Parametrické vjádřen ení ploch Regulární plocha tříd C n je dána vektorovou funkcí P(u,v): Ω E 3, [u, v] [,,z ] P (u,v) = [(u,v); (u,v); z (u,v)] splňující následující vlastnosti: 1. Ω je otevřená kompaktní množina 2. Ω E 3 je vzájemně jednoznačné zobrazení se spojitými derivacemi do n-téhořádu P P, u v 3. parciální derivace jsou lineárně nezávislé z Ω [u 0,v 0 ]
Kvadrik algebraické ploch 2. stupně Trojosý elipsoid z z a b c 2 + + = 1 2 O = acos ucos t = b cosu sin t z = c sinu Jednodílný hperboloid z z a b c 2 + = 1 2 = a cosh u cost = bcosh usin t z = c sinhu Dvoudílný hperboloid z z a b c 2 = 1 2 O = a cosh u = b cost sinhu z = csin t sinh u
Kvadrik algebraické ploch 2. stupně Parabolický paraboloid z a + = z b O = at = bu z = t + u Hperbolický paraboloid a = z b z = at = bu z = t u Kuželová plocha z a + = z b 2 0=V = at cos u = bt sinu z = t
Plocha P(u,v) = [(u,v) ; (u,v) ; z(u,v)] Křivka na ploše Křivka na ploše má parametrické vjádření K(t) = [ (u(t), v(t)); (u(t), v(t)); z (u(t), v(t))] = (u(t), v(t)) = (u(t), v(t)) z = z (u(t), v(t)) u konstantní u=u 0... parametrická v křivka K(v)=P(u 0,v) = [(u 0,v) ; (u 0,v) ; z(u 0,v)] v konstantní v=v 0... parametrická u křivka K(u)=P(u,v 0 ) = [(u,v 0 ) ; (u,v 0 ) ; z(u,v 0 )]
Implicitní rovnice: 2 + 2 = r 2 Parametrické rovnice: = r cos u = r sin u z= v, u <0, 2π>, v <0, h> křivka na ploše: u = t, v = t, t <0, 4π> Rotační válec
Parametrické křivk - izočár
u ( u,v ), v ϕ ( ) = ϕ = 1 2 1. ϕ, ϕ jsou tříd C 1 1 n Transformace parametru u,v. Nechť 2. na Ω je Jakobián J nenulový J ϕ1 ϕ2 u u = ϕ1 ϕ2 v v ( ) Plocha je dána vektorovou funkcí P u, v na oblasti Ω a nechť je dána bijekce Ω Ω P := [ cosh( u ) cos( v ), cosh( u ) sin( v ), sinh( u) ] Pt := [ cosh( u ) cos ( v + 2 u ), cosh( u ) sin ( v + 2 u ), sinh( u) ]
Transformace parametru
Tečná rovina ploch Pokud tečn všech křivek k i tvoří rovinu τ, pak bod T nazveme regulárním bodem ploch a rovinu τ tečnou rovinu ploch. Plocha je dána parametrick: P (u,v) = [(u,v); (u,v); z (u,v)] Tečná rovina ploch v bodě T: τ u v T + ut + vr (, ) z t Τ τ r t r z = ; ; u u u z = ; ; v v v Normála ploch přímka kolmá na tečnou rovinu n = t r
Normála ploch Normála ploch přímka kolmá na tečnou rovinu z t = ; ; u u u z r = ; ; v v v n = t r
Příčné vektor ploch Plocha je dána parametrick: P (u,v) = [(u,v); (u,v); z (u,v)] Tečné vektor parametrických u-křivek v bodech okrajové v-křivk ploch nazýváme příčné vektor plátu podél okrajové v-křivk. Tečné vektor parametrických v-křivek v bodech okrajové u-křivk ploch nazýváme příčné vektor plátu podél okrajové u-křivk.
První základní forma ploch P(u,v) Křivka na ploše má parametrické vjádření K(t) = P(u(t), v(t))). Tečný vektor křivk K(t): První základní forma ploch: ( ( ), ( )) du ( t) ( ), ( ) ( ) ( ) 1 E du 2F du dv G dv Φ = + + ( ) dv ( t) dk P u t v t P u t v t = + dt u dt v dt dk dk P P P P P P Φ = = + dt dt u u u v v v ( du) ( du dv) ( dv) 1 2 P P P P P P E = i ; F = i ; G = i u u u v v v
Druhá kvadratická forma ploch P(u,v) Křivka na ploše nechť je parametrizována obloukem K(s) = P(u(s), v(s))). Tečný vektor křivk K(s): P u ( s ), v ( s ) du s P u s, v s dv s Křivost normálového řezu Druhá základní forma ploch: Φ = L du + 2M du dv + N dv 2 ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) dk = + ds u ds v ds = + 2 + + + = k n 2 k d K P du P du dv P dv P d u P d v ds u ds u v ds ds v ds u ds v ds n = n k d K P du P du dv P dv k norm = n = ± n 2 n n 2 2 + + 2 ds u ds u v ds ds v ds 2 2 2 P P P L = n ; M = n ; N = n ; u u v v
kn = k nk n = k cosα n...normála ploch n...hlavní normála křivk k k...křivost křivk Normálov lová křivost křivek k na ploše k n k α k n n Normálová křivost všech křivek na ploše, které se v bodě ploch dotýkají společné tečn je stejná k n Φ = Φ 2 1
Hlavní směr ploch = Směr, ve kterých normálová křivost nabývá etrémálních hodnot
Hlavní křivk ploch- křivoznačnéčár
Křivosti ploch k 1, k 2.. etrémální normálové křivosti ploch. 2 LN M G = k1 k2 = 2 EG F k1 + k2 NE 2MF + LG H = = K = k + k abs 1 2 2 ( EG F ) Gaussova křivost Střední křivost Absolutní křivost Gaussova křivost
Klasifikace bodů na ploše Bod T nazýváme : Eliptický G>0 bod T j eizolovaný (nebo jediný) bod průnikové křivk ploch a tečné rovin T Hperbolický G<0 bod T je uzlovým bodem průnikové křivk ploch a tečné rovin T Parabolický G=0 bod T je regu ostatních případech T T
Řez anuloidu tečnou rovinou v hperbolickém bodě Řez anuloidu tečnou rovinou v parabolickém bodě Eliptické a hperbolické bod na anuloidu
Množina eliptických a hperbolických bodů na ploše e je oddělena křivkou k parabolických bodů. hperbolické bod Řez tečnou rovinou τ v parabolickém bodě τ eliptické bod
Theorema egregium Dvě ploch lze na sebe vzájemně rozvinout právě tehd, mají-li v odpovídajících si bodech tutéž Gaussovu křivost.